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HP 12 C - Uma Ferramenta Eficaz em Cálculos Financeiros

1

apresenta

HP 12C

Uma ferramenta eficaz em cálculos financeiros.

Material desenvolvido po r

Profº ANTÔNIO MARTINETTI FILHO


2

Objetivos:

9 Conhecer os principais conceitos da Matemática Comercial e Financeira;

9 Desenvolver habilidades para realizar cálculos comerciais e financeiros usando a

HP 12C;

9 Auxiliar na tomada de decisões corretas com base nos cálculos financeiros.

Introdu ção:

O presente curso visa o desenvolvimento de habilidades para operar a HP 12C e

proporcionar aos participantes a oportunidade de desenvolver um diferencial competitivo,

conhecendo os principais conceitos utilizados na Matemática Comercial e Financeira e

como utilizá-la como ferramenta para auxiliá-los na solução de problemas no dia-a-dia das

organizações e de sua vida profissional.

Conceitos:

A HP 12C é uma poderosa ferramenta programável utilizada na realização de

cálculos financeiros, a disposição de todos os interessados em agregar valores aos seus

conhecimentos visando enfrentar a competitividade interna ou externa a que estão

sujeitos no dia-a-dia. A Matemática Financeira, tem suas aplicações dentro das empresas,

em diversas áreas e devido à velocidade com que a informação está atingindo a todas as

pessoas, torna-se uma ferramenta indispensável a todos aqueles que convivem nas

empresas, bem como a todos que necessitam entender o cotidiano nos setores

comerciais. Este curso, como utilizar a HP 12C mostra de uma maneira clara e simples,

como tirar o melhor proveito dessa poderosa ferramenta, como entender os conceitos

básicos da matemática financeira na resolução de problemas do cotidiano que o

requeiram. Você poderá aprender, atualizar ou reciclar seus conhecimentos. É

fundamental que disponha de uma calculadora HP 12C, realize todos os cálculos

apresentados inclusive os exercícios propostos e com certeza ao final de todas as etapas,

a agregação de valores será muito acentuada. Muito sucesso a todos.


3

HP 12C Tradicional e HP 12C Platinum

Encontramos no mercado, dois modelos de HP 12C, a Tradicional e a Platinum. A

HP 12C que aqui chamo de Tradicional é aquele equipamento que se encontra em

atividade desde o início da década de 1980, e trabalha no modo RPN Notação Polonesa

Reversa. A HP 12C Platinum, lançada neste século, trabalha no modo RPN – Notação

Polonesa Reversa – e no modo ALG Algébrico, possui algumas funções a mais que a

tradicional e mais linhas de programação. Neste curso, focarei as informações no modo

RPN, presente nos dois equipamentos. Portanto se você estiver utilizando uma HP 12C

Platinum não se esqueça de configurar sua calculadora para o modo RPN, acionando as

teclas f e RPN verificando se no visor aparece a sigla RPN no canto inferior esquerdo

do mesmo. Se você estiver utilizando uma HP 12C Tradicional não precisa se preocupar

em configurá-la já que a mesma só aceita este modo.

PRIMEIROS PASSOS

Acione a tecla ON – liga ou d esliga a calculadora.

TECLAS DA HP 12C

Quase que a totalidade das teclas da HP 12C executam duas ou até 3 funções, que aqui

chamamos de função principal e função secundária. Para selecionar uma função

secundária necessitamos acionar a tecla f (dou rada) ou a tecla g (azul) antes de cada

função.

CONFIGURANDO O TIPO DE NOTAÇÃO

A HP 12C aceita dois tipos de notações:

A notação americana do tipo 100,000.00

A notação brasileira do tipo 100.000,00

Observe, na notação americana o ponto é que separa a parte decimal, enquanto

que na notação brasileira a virgula é que separa a parte decimal.


4

Para configurar na notação brasileira, imaginando que sua calculadora esteja na

notação americana, faça o seguinte procedimento:

9 Desligue a calculadora acionando ON

9 Acione ao mesmo tempo as teclas ON e . (ponto) segurando-as pressionadas.

9 Solte a tecla ON e depois a tecla . (ponto).

LIMPANDO UMA INFORMAÇÃO NO VISOR

Acione CLx - zera o visor da calculadora.

TROCANDO O SINAL DE UM NÚMERO QUE APARECE NO VISOR

Acione CHS – troca o sinal do número que está no visor.

CASAS DECIMAIS

Acione a tecla f e em seguida um número que represente a quantidade de casas

decimais desejadas.

Exemplo:

f 5 - fixa 5 casas decimais visor 0,00000



Coloque na sua calculadora a seguinte informação:

3,777777777

Agora acione:

f 6 no visor deverá estar 3,777778




5

Como você pode observar a HP 12C já efetuou o arredondamento da referida

informação automaticamente dentro das normas científicas de arredondamento. Você não

precisa se preocupar com isso.

MEMÓRIAS TEMPORÁRIAS X Y Z T

TECLA ENTER – DESENCADEIA AS SEGUINTES TRANSFERÊNCIAS ENTRE

MEMÓRIAS.

9 CONTEUDO DE X É TRANSFERIDO PARA Y.

9 CONTEUDO DE Y É TRANSFERIDO PARA Z.

9 CONTEUDO DE Z É TRANSFERIDO PARA T.

9 CONTEUDO DE T É PERDIDO.

TECLAS:

�

NUMÉRICAS (0 a 9) - inserir valores.

�

+ - x ÷÷ - operadores aritméticos.

�

x >><< y Permuta os conteúdos das memórias x e y.

�

CHS (CHANGE SIGN) troca o sinal da memória x.

�

y x usada para cálculo de potência.

�

1/x usada para cálculo de fração de numerador igual a 1.

�

R Desencadeia as seguintes transferências: • Conteúdo de X é transferido para T. • Conteúdo de T é transferido para Z. • Conteúdo de Z é transferido para Y. • Conteúdo de Y é transferido para X.

�

STO (STORE) para guardar valores nas 20 memórias fixas da HP 12C. OBS- Essas memórias são indexadas de 0 a 9 e .0 a .9

�

RCL (RECALL) para chamar os valores das 20 memórias para o visor.


6

� n i PV PMT FV teclas financeiras.

TECLAS UTILIZADAS PARA LIMPEZA DE DADOS:

� CLX limpa os valores contidos no visor (memória X)

�

f REG (f CLEAR REG) limpa todos os registros da máquina, exceto a memória de programação.

�

f ΣΣ (f CLEAR ΣΣ ) limpa os registradores estatísticos, os registradores da pilha operacional e o visor.

�

f FIN ( f CLEAR FIN) limpa os registradores financeiros.

� f PRGM (f CLEAR PRGM) limpa a memória de programação

(se no modo PRGM) INICIANDO COM CÁLCULOS NUMÉRICOS: 1) 2 + 5 + 8 2 [ E ] 5 [ + ] 8 [ + ] = 15 2) 6 + 9 + 12 – 15 6 [ E] 9 [ + ] 12 [ + ] 15 [ - ] = 12 3) 3 x 8 3 [ E ] 8 [ x ] 4 [ ÷÷ ] = 6 4

4) 541

22084

++−++

4 [ E ] 8 [ + ] 20 [ + ] 2 [ - ] 1 [ E ] 4 [ + ] 5 [ + ] [ ÷÷ ] = 3

5) (2 + 3) x (8 – 2) 2 [ E ] 3 [ + ] 8 [ E ] 2 [ – ] [ x ] = 30 6) 1,18 x 1,05 1,18 [ E ] 1,05 [ x ] = 1,24

7) 2)360

781( + 1 [ E ] 78 [ E ] 360 [ ÷÷ ] [ + ] 2 [ yx ] = 1,48

8) 12

1

)100

3601( + 1 [ E ] 360 [ E ] 100 [ ÷÷ ] [ + ] 12 [

x

1 ] [ xy ] = 1,14

9) – 10 –15 10 [CHS] [ E ] 15 [ - ] = -25,00


7

10) 100)18,51(12 x−+ 100)1)8,51[( 12

1

x−+

1[ E ] 5,8 [ + ] 12 [x

1][ xy ] 1 [ - ] 100 [x] = 17,32

11) 4 4641,1 1,4641 [ E ] 4 [ x

1][ yx ] = 1,10

REALIZANDO CÁLCULOS PERCENTUAIS COM A HP 12C

O símbolo % representa a expressão “por cento”. Quando dizemos que uma

pessoa teve um aumento de 10% no seu salário estamos dizendo que em cada fração de

R$ 100,00 do salário desta pessoa ocorreu um acréscimo de R$ 10,00.

COMO CALCULAR A PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM

Faremos uso da tecla [ % ]

Exemplos:

1) Vamos supor que queiramos encontrar 15% de R$ 2.500,00.

Fazemos:

2.500,00 [ E ] 15 [ % ] = 375,00

2) Vamos considerar que um produto custa R$ 50,00 e sobre esse valor incide 18%

de IPI. Qual o valor do imposto e qual o valor do produto acrescido do imposto.

Valor do imposto:

50,00 [ E ] 18 [ % ] = 9,00

Valor do produto acrescido do imposto; Basta acionarmos a tecla [ + ] ao final do

cálculo anterior.

50,00 [ E ] 18 [ % ][ + ] = 59,00


8

3) Você vai a uma loja, consulta o preço de um produto e lhe informam que é R$

250,00 para pagamento em duas vezes de R$ 125,00 sendo 1 pagamento no ato

e outro dentro de 30 dias ou lhe concedem um desconto de 5% para pagamento a

vista. Qual o preço a vista deste produto?

250,00 [ E ] 5 [ %] [ - ] = 237,50

COMO CALCULAR A VARIAÇÃO PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES

Faremos uso agora da Tecla [ ∆ % ]

Exemplos:

1) Você trabalha com compras em sua empresa e observa que o preço de um

produto que você adquire com freqüência passou de R$ 125,00 a unidade para R$

134,75. Qual a variação percentual de aumento que você observou?

125,00 [ E ] 134,75 [∆∆ % ] = 7,8%

2) Um investidor aplicou R$ 100.000,00 e resgatou R$ 112.500,00 após um certo

período . De quantos por cento foi o ganho desse investidor?

100.000,00 [ E ] 112.500,00 [∆∆ %] = 12,5%

3) Um produto custou R$ 78,00 e foi vendido por R$ 97,50. Qual o lucro sobre o

preço de VENDA desse produto?

97,50 [ E ] 78,00 [ ∆∆ %] = - 20,00 %

Observe: muito embora tenha dado um resultado acompanhado do sinal negativo,

não significa que ocorreu prejuízo, essa resposta deve ser entendida como lucro

sobre o preço de venda ou seja do valor maior para o valor menor.

Se você calcular 20% de 97,50 que é o preço de venda terá 19,50 que subtraído

dos 97,50 resultam nos 78,00 que corresponde ao preço de custo.


9

4) Um comerciante tem como política de vendas dar 5% de desconto sobre os preços

de tabela dos produtos que comercializa para pagamento a vista, ou o cliente

poderá pagar o preço de tabela em duas parcelas iguais sendo a primeira no ato

da compra e outra dentro de 30 dias. Qual o acréscimo financeiro cobrado por

esse comerciante nas vendas a prazo?

Vamos considerar que um produto custe R$ 100,00. A vista custaria R$ 95,00 ou a

prazo em 2 parcelas de R$ 50,00 (uma no ato e outra 30dias)

Agora veja que ocorre. Se o cliente faz sua opção por pagar a prazo e paga no ato

R$ 50,00 esse valor deve ser dedutível do preço a vista já que o desembolso

ocorreu no ato da compra.

Assim, R$ 95,00 – R$ 50,00 = R$ 45,00 (saldo devedor)

Por esses R$ 45,00 deverá pagar R$ 50,00 dentro de 30 dias, logo o acréscimo

financeiro será:

45,00 [ E ] 50,00 [ ∆∆ %] =11,11% a m

5) Um produto custou R$ 540,00 e foi vendido por R$ 509,00. Qual o prejuízo sobre

o preço de custo e sobre o preço de venda?

a) Prejuízo sobre o preço de custo. Você deve lançar o preço de custo para iniciar

o cálculo.

540,00 [ E ] 509,00 [∆∆ %] = - 5,74%

Interpretação: 5,74% de prejuízo sobre o preço de custo.

b) Prejuízo sobre o preço de venda. Você deve lançar o preço de venda para

iniciar o cálculo.

509,00 [ E ] 540,00 [∆∆ %] = 6,09 %

Interpretação: 6,09 % de prejuízo sobre o preço de venda.


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COMO CALCULAR A PERCENTAGEM DE UM TOTAL

Faremos uso da Tecla [ %T]

Exemplos:

1) Numa partida de basquete, o time vencedor fez 98 pontos. O jogador A foi o

cestinha da partida fazendo 26 pontos. Quantos por cento do resultado final foi

feito pelo jogador A. � �

Dica: Quando for realizar cálculos sobre percentagem de um total, o valor total

deve sempre iniciar os cálculos.

98 [ E ] 26 [%T] = 26,53%

2) Você trabalha em uma empresa, recebe um pedido de 1500 unidades de um

produto. No seu estoque você tem apenas 480 unidades. Quantos por cento do

produto você tem disponível para atender seu cliente imediatamente?

1500 [ E ] 480 [%T] = 32%

3) Você é o responsável pela aplicação de R$ 120.000,00 em 3 modalidades de

investimentos diferentes. Você deve aplicar R$ 50.000,00 na modalidade A, R$

40.000,00 na modalidade B e R$ 30.000,00 na modalidade C. Quantos por cento

do valor total é aplicado em cada modalidade?

Modalidade A � 120.000,00 [ E ] 50.000,00 [% T] = 41,67%

Modalidade B � 120.000,00 [ E ] 40.000,00 [ % T] = 33,33%

Modalidade C � 120.000,00 [ E ] 30.000,00 [%T] = 25,00%


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TRABALHANDO COM AS FUNÇÕES CALENDÁRIO DA HP 12C

Faremos uso agora das teclas

[∆∆ DYS] [DATE] [M.DY] (mês,dia,ano) ou [D.MY] (dia,mês,ano)

Essas teclas exigem que seja acionada antes a tecla [ g ] (azul)

É aconselhável que trabalhemos com 6 casas decimais, portanto digite [ f ] [ 6 ]

Trabalharemos com a notação [D.MY] portanto digite [ g ] [D.MY], irá aparecer no visor

a notação [D.MY] .

Exemplos: usando a tecla [∆∆ D.YS] (número de dias entre duas datas)

1) Uma duplicata venceu em 14/02/2004 e foi paga em 23/05/2004. Com quantos

dias de atraso ela foi paga?

Dica: Informe sempre primeiro a data mais antiga.

Procedimento:

[ f ] [REG]

14.022004 [ E ]

23.052004 [ g ] [∆∆ D.YS]

= 99 dias

2) Quantos dias existem entre 14.042004 e 31.122004?

[ f ] [REG] 14.042004 [ E ]

31.122004 [ ∆∆ D.YS] = 261 dias

Usando a tecla [DATE] 3) Uma aplicação foi realizada em 18/05/2004 por 65 dias corridos. Determine a data

de resgate dessa aplicação.

[ f ] [REG] 18.052004 [ E ] 65 [ g ] [DATE]

= 22.07.2004 4


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ÆÆ Observe que no visor de sua calculadora apareceu além da data de resgate, também o número 4. Esse número representa o dia da semana que caiu 22.07.2004. Para saber o dia da semana consulte a tabela a seguir:

1 – Segunda feira 2 - terça-feira 3 - quarta-feira 4 - quinta-feira 5 - sexta-feira 6 – sábado 7 – domingo.

Portanto 22.07.2004 caiu numa quinta-feira. 4) Em que dia da semana cairá 31.12.2004.

[ f ] [REG] 31.122004 [ E ] 0 [ g ] [ DATE]

31.12.2004 5 = (sexta-feira)

5) Em que dia da semana caiu 07/09/1822?

[ f ] [REG] 07.091822 [ E ] 0 [ g ] [DATE]

07.09.1822 6 = (Sábado) TRABALHANDO COM FUNÇÕES ESTATÍSTICAS

Faremos uso das teclas [ g ] [ ∑∑+] [ x ] [ x w] [ s ]

- MÉDIAS ARITMÉTICAS SIMPLES

Exemplos:

1) O consumo de energia elétrica em uma residência, nos últimos 6 meses foram os seguintes:

Qual foi o consumo médio mensal?

mês Consumo em kw/h

01 835 02 796 03 821 04 769 05 856 06 807


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Qual o desvio padrão da amostra?

Procedimento:

[ f ] [REG] 835 [∑∑+] 796 [∑∑+] 821 [∑∑+] 769 [∑∑+] 856 [∑∑+] 807 [∑∑+]

[ g ] [ x ]

= 814 Kwh [ g ] [ s ]

= 30,50 desvio padrão

- MÉDIA PONDERADA

2) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares cujas quantidades e

preços praticados encontram-se no quadro a seguir:

Valor unitário do alugu el mensal R$

Quantidade de Imóveis alugados

400,00 20 500,00 42 600,00 58 700,00 38 800,00 23

Qual o valor médio do aluguel? Qual a quantidade de imóveis alugados?

Procedimento:

[ f ] [REG] 400,00 [ E ] 20 [ ∑∑+] 500,00 [ E ] 42 [ ∑∑+] 600,00 [ E ] 58 [ ∑∑+] 700,00 [ E ] 38 [ ∑∑+] 800,00 [ E ] 23 [ ∑∑+]

[ g ] [ x w ]

= 601,10. alugu el médio

[RCL] 2 181 imóveis alugados


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- JUROS:

Juro pode ser conceituado como sendo a remuneração pelo direito do uso de determinado capital por um certo período de tempo “Kuhnen e Bauer, 2001, pg 20”.

Para o investidor, juro representa a remuneração gerada pelo investimento.

Para o tomador do empréstimo, juro representa o custo do capital financiado Existem dois regimes de juros:

9 Regime de Juros Simples, onde a taxa combinada, incide sempre sobre o capital

inicial, em todos os períodos. 9 Regime de Juros Compostos, onde os juros produzidos em cada período são

incorporados ao capital e passam a produzir juros no período seguinte. VARIÁVEIS DO CÁLCULO DE JUROS

�

PV - Valor Presente ou Valor do Capital Inicial. �

FV - Valor Futuro ou Montante. �

J - Juros. �

i - Taxa. �

n - Número de Períodos. PV OU VALOR PRESENTE

Corresponde ao capital inicial investido.

MONTANTE OU FV

Soma do Capital (PV) mais os juros produzidos no período. FV = PV + J

TAXA PERCENTUAL

Taxa acompanhada do símbolo %. Exemplo: 1,89% ao mês.


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TAXA UNITÁRIA

Taxa percentual dividida por 100. Exemplo: 1,89% ao mês = 0,0189 ao mês. NÚMERO DE PERÍODOS

É a quantidade de períodos (ano, meses, dias etc.) em que o capital ficou investido. JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

Consideremos a seguinte situação:

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado pelo prazo de 5 anos a uma taxa de 25% ao ano. Qual a quantia a ser devolvida ao final do quinto ano, ao investidor, no regime de juros simples e no regime de juros compostos? � �

REGIME DE JUROS SIMPLES

PERÍODO (n) JUROS S.DEVEDOR 1º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 12.500,00 2º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 15.000,00 3º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 17.500,00 4º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 20.000,00 5º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 22.500,00

TOTAL R$ 12.500,00 22.500,00 � �

OBSERVAÇÕES:

� Os juros foram sempre calculados tomando-se por base o valor inicial investido.

� O valor dos juros anuais são sempre iguais.

JUROS SIMPLES

1 2 3 4 52.500,00

5.000,007.500,00

10.000,0012.500,00

0

5000

10000

15000

1 2 3 4 5


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� � REGIME DE JUROS COMPOSTOS:

PERÍODO (n) JUROS S.DEVEDOR

1º ANO 10.000,00 * 25% = 2.500,00 12.500,00 2º ANO 12.500,00 * 25% = 3.125,00 15.625,00 3º ANO 15.625,00 * 25% = 3.906,25 19.531,25 4º ANO 19.531,25 * 25% = 4.882,81 24.414,06 5º ANO 24.414,06 * 25% = 6.103,52 30.517,58

TOTAL 20.517,58 30.517,58 � �

OBSERVAÇÕES: �

Os juros são calculados sempre pelo valor corrigido. � Os juros crescem ano a ano

USANDO A HP 12C PARA CALCULO DE JUROS SIMPLES

Exemplos:

O capital de R$ 47.800,00 foi aplicado no regime de juros simples pelo prazo de 5 meses a uma mensal de 2,85%. Pede-se:

a) Valor dos juros (ano comercial) b) Valor do montante (ano comercial) c) Valor dos juros (ano civil) d) Valor do montante (ano civil).

Esclarecimentos iniciais:

A HP 12C calcula juros simples, mas algumas regras devem ser observadas: �

A taxa deve sempre ser informada ao ano. � O prazo deve sempre ser informado ao dia.

JUROS COMPOSTOS

1 2 3 4 5

2.500,00 3.125,003.906,25

4.882,816.103,52

0

2000

4000

6000

8000

1 2 3 4 5


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� O valor presente deve ser informado com sinal negativo (saída de caixa)

� No calculo de juros (ano comercial) utilizamos as teclas [ f ] e [INT]

� No calculo de juros (ano civil) após calcular usando as teclas [ f ] e [INT],

também utilizamos [x><y] e [ R ]

Procedimento:

[f ] [REG]

47.800,00 [CHS] [ PV] 5 [ E] 30 [ x ] [ n ] 2,85 [ E ] 12 [ x ] [ i ]

[ f ] [INT]

[+ ]

[ f ] [INT] [ R ]

[ x>

<y]

[ + ]

DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU BANCÁRIO

- Desconto é uma importância que é abatida do Valor Futuro de um título quando este é liquidado antes do seu vencimento. Vamos imaginar que uma pessoa possui uma nota promissória no valor de R$ 2.500,00 com vencimento para 45 dias. Necessitando de dinheiro imediatamente, procura uma Instituição Financeira e realiza uma operação de desconto, a uma taxa de 4,5% ao mês. Quanto essa pessoa receberá por esse título?

PV = FV (1 – i x n )

PV - será o valor líquido do título já efetuado o desconto. FV - será o valor futuro do título ou seja o que se encontra estampado no mesmo. i - será a taxa unitária isto é a taxa percentual dividido por 100 n - será o número de períodos compatíveis com a unidade da taxa.

No nosso caso: PV = 2.500,00 i = 0,045 n = 45 DIAS = 1,5 meses PV = 2.500,00 x ( 1 – 0,045 x 1,5)

PV = 2.500,00 [ E ]1 [E] 0,045 [E] 1,5 [ x ] [ - ] [ x ] PV = 2.331,25

6.811,50 (juros ano comercial) 54.611,50 (montante ou Valor Futuro)

6.718,19 (juros ano civil) 54.518,19 (valor futuro ano civil)


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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

Representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro que se estima ocorrer num determinado intervalo de tempo. FV Entradas (+) o 1 2 3 4 5... n linha do tempo Saídas ( - ) PV

• Linha horizontal corresponde a linha do tempo • Entradas representadas setas acima da linha do tempo com sinal positivo. • Saídas representadas setas abaixo da linha do tempo com sinal negativo. Alguns exemplos de diagramas representativos de fluxos de caixa: 1) Entrada (+) 0 linha do tempo

Saída ( - )

Entrada e Saída ocorrem na mesma data, sem envolver tempo. 2) FV (+) 0

linha do tempo

n

PV ( - )


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3) Fluxo com uma saída e uma entrada. PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5

Linha do tempo

PV

Fluxo com uma saída e diversas entradas iguais consecutivas em períodos de tempos iguais. 4) FV

0 1 2 3 4 5 6 linha do tempo

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Fluxo com várias saídas iguais e consecutivas em intervalos de tempos iguais e uma entrada. 5) PMT PMT PMT

o 1 2 3 4 5 6 linha do tempo

PV


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Fluxo com uma saída e várias entradas iguais em períodos de tempo diferentes 6)

0

1 2 3 4 5 6

linha do tempo

PMT PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

Fluxo com várias saídas diferentes em tempos iguais e uma entrada. 7) PMT

PMT

PMT PMT PMT

1 2 3 4 5 Linha do tempo

PV Fluxo com uma saída e várias entradas diferentes em períodos de tempo iguais

JUROS COMPOSTOS No Regime de Juros Compostos, os rendimentos produzidos num certo período, incorporam-se ao capital e passam a produzir rendimentos no período seguinte. TECLAS FINANCEIRAS DA HP12C • n Usada para registrar número de períodos de capitalização,

expressos em anos, semestres, trimestres, meses, dias, etc. • i Usada para o registro das taxas de juros percentual, compatível com

os períodos de capitalização.


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• PV (PRESENT VALUE) Usada para registro do Valor Presente. • PMT (PERIODIC PAYEMENT) Usada para registro do valor dos

pagamentos periódicos de uma série uniforme (Valor das Prestações). • FV (FUTURE VALUE) Usada para registro do Valor Futuro, ou do

Montante.

IMPORTANTE: Acione as teclas [ STO ] e [EEX] Observe no visor, o aparecimento da letra c . Isto significa que a sua máquina está em condições de realizar operações de juros compostos cujos períodos sejam inteiros ou fracionários. Não precisa desativar a letra c do visor após os cálculos.

OBSERVAÇÃO: Ao efetuar cálculos de Juros Compostos, não esqueça de verificar se as taxas e os prazos encontram-se em unidades compatíveis. Exemplos:

1) O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no Regime de Juros Compostos em uma modalidade de investimento que rende uma taxa de 2,5% ao mês, durante 6 meses. Qual o montante (valor futuro) ao final desse prazo? PV = 10.000,00 i = 2,5% am n = 6 m FV = ?

[ f ] [REG] 10.000,00 [ CHS] [ PV]

2,5 [ i ] 6 [ n ]

[ FV ] =11.596,93 2) Um investidor aplicou o capital de R$ 15.000,00 em uma modalidade de

aplicação financeira e resgatou após 2 meses a importância de R$ 15.851,76. Qual a taxa efetiva mensal de juros que seu capital ficou aplicado. PV = 15.000,00 n = 2m FV = 15.851,76 i = ?

[ f ] [REG]

15.000,00 [ CHS] [PV] 2 [ n ]

15.851,76 [ FV] [ i ]

= 2,8% a m 3) Um certo capital ficou aplicado durante 5 meses em uma modalidade de

investimento a uma taxa efetiva de juros de 3,2% ao mes, proporcionando


22

ao final desse prazo um montante (valor futuro) de R$ 14.046,88. Determine o capital inicial aplicado. PV = ? n = 5m i = 3,2% a m FV = 14.046,88

[ f ] [REG]

14.046,88 [[FV ] 5 [ n ] 3,2 [ i ]

[ PV ] = -12.000,00

Interpretação: Foi aplicado a importância de R$ 12.000,00 o sinal negativo que aparece quando se calcula o PV significa uma saída de caixa.

4) O capital de R$ 7.500,00 foi aplicado em Regime de Juros Compostos a uma taxa de 3,8% ao mês durante 87 dias. Qual o montante (valor futuro) ao final desse prazo? PV = 7.500,00 i = 3,8% ao mês n = 87 dias FV = ?

Observe: Taxa e Prazo estão em unidades diferentes ou não compatíveis. É necessário compatibiliza-las, para tanto devemos dividir o prazo pelo número de dias que compõe a taxa ou seja 87 ÷ 30 (taxa ao mês).

[ f ] [REG]

7.500,00 [CHS] [ PV] 3,8 [ i ]

87 [ E ] 30 [ ÷÷ ] [ n ] [ FV ]

= 8.356,68 ESTUDO DAS TAXAS

- TAXAS PROPORCIONAIS: Você aplica R$ 100,00 em regime de JUROS SIMPLES, pelo prazo de 1 ano a uma taxa de 36% ao ano. Ao final desse prazo você acumula um valor futuro de R$ 136,00. Se você aplicar os mesmos R$ 100,00 em regime de JUROS SIMPLES, pelo mesmo prazo 1 ano a uma taxa de 3% ao mês, também acumulará R$ 136,00 de valor futuro ao final desse prazo. 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano – Prazo de aplicação 1 ano.


23

- TAXA NOMINAL: Observe as seguintes taxas: �

30% ao ano capitalizadas mensalmente. �

18% ao ano capitalizadas trimestralmente. �

16% ao ano capitalizadas semestralmente. O período de referência da taxa é diferente do período de capitalização. Exemplos:

1) Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 3 anos a juros nominais de 8% ao semestre com capitalizações mensais.

PV = 25.000,00 i = 8% a s capitalizados mensalmente n= 36 meses FV=?

[ f ] [REG]

25.000,00 [CHS] [PV] 36 [ n ]

8 [ENTER] 6 [÷÷] [ i ] [FV]

= 40.273,91

2) Calcular o valor de resgate de um titulo de R$ 5.200,00 aplicado a juros nominais de 43,20% ao ano capitalizados mensalmente, considerando um prazo de 4 meses. PV = 5.200,00 i = 43,20% aa capitalizados mensalmente n = 4 meses FV= ?

[ f ] [REG]

5.200,00 [CHS] [PV] 4 [ n ]

43,20 [ENTER] 12 [ ÷÷ ] [ i ] [ FV ]

= 5.990,21 - TAXA EFETIVA: Período da taxa e período de capitalização são iguais. Exemplos: �

30% ao ano capitalizadas anualmente. = 30% a a �

5,75 % ao mês capitalizadas mensalmente. = 5,75% a m �

0,4% ao dia capitalizadas diariamente. = 0,4% a d - TAXAS EQUIVALENTES:


24

No regime de JUROS COMPOSTOS serão consideradas equivalentes, duas ou mais taxas expressas em unidades de tempos distintas, que quando aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, apresentam o mesmo valor futuro. Exemplos: �

10% ao mês é equivalente a 46,41% em 4 meses. �

2,8% ao mês é equivalente a 39,29% ao ano.

CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES - USANDO A HP 12 C: Faça:

PV = 100 i = taxa a ser convertida itaxadaprazo

pretendidataxadaprazon

......

......= FV = ?

Ao resultado obtido de FV subtrair 100. APLICAÇÕES:

1) Determine a taxa bruta mensal oferecida por uma Instituição Financeira que paga uma taxa de juros de 38,24% ao ano?. PV = 100 i = 38,24% aa n = 30 dias = 30 : 360m FV = ?

[ f ] [REG]

100 [CHS] [PV] 38,24 [ i ]

30 [ E ] 360 [ ÷÷ ] [ n ] [ FV ]

100 [ - ] = 2,74% a m

2) Um certo investimento rende uma taxa bruta anual de 24,8%. Determine as taxas brutas que irão remunerar aplicações nos seguintes prazos:

a) 30 dias b) 35 dias c) 62 dias d) 78 dias e) 95 dias.

f REG

100 CHS PV 24,8 i

30 [E] 360 : n FV 100 -

35 [E] 360 : n FV 100 -

62 [E] 360 : n FV 100 -

78 [E] 360 : n


25

FV 100 - 95 [E] 360 : n

FV 100 -

Respostas: a) 1,86% b) 2,18% c) 3,89% d) 4,92% e) 6,02% 3) Decida-se pela melhor taxa de INVESTIMENTO:

30 dias - 2,85% 33 dias - 2,97 % 34 dias - 3,125%

Encontrando as taxas equivalentes para 30 dias em todos os casos teremos: 2,85% em 30 dias é equivalente a 2,85% em 30 dias. 2,97% em 33 dias é equivalente a 2,6964% em 30 dias. 3,125% em 34 dias é equivalente a 2,7523% em 30 dias. Logo a melhor opção para se investir é 2,85% em 30 dias.

TAXA DE JUROS REAL Vamos imaginar que uma aplicação em uma determinada modalidade de investimento apresentou uma taxa de rendimento em um ano de 18,75%. Vamos considerar também que nesse mesmo período anual ocorreu uma inflação 12,57%. Qual a taxa de rendimento real desse investimento. Para calcularmos a taxa de rendimento real, devemos lançar mão de um modelo matemático ou seja:

10011

1x

I

iir

−

++=

onde i = taxa do rendimento dividido por 100 (taxa unitária) I = taxa da inflação no período dividido por 100 (taxa unitária) Assim:

10011257,01

1875,01xir

−

++=

[ f ] [REG]

1 [E ] 0,1875 [ + ] 1 [ E ] 0,1257 [ + ] [ ÷÷ ] 1 [ - ] 100 [ x ] = 5,49%

� �

Interpretação: No nosso exemplo, obtivemos uma taxa de rendimento real de 5,49% no período. Isto representa o que realmente foi ganho já retirado o efeito da inflação.


26

Caso a taxa de inflação seja maior que a taxa de rendimento do investimento, ao realizar os cálculos obteremos uma taxa com sinal negativo. Isto significa que ocorreu uma perda.

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS - Seqüência de parcelas de pagamento ou investimento de mesmo valor efetuadas em períodos de tempos iguais. - Seqüência de pagamentos com o objetivo de extinguir uma dívida contraída, recebe o nome de Amortização. - Seqüência de pagamentos (depósitos em algum tipo de aplicação) com o objetivo de formar um capital recebe o nome de Capitalização. CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES TEMPORÁRIAS – n.º de termos finito.

Exemplo: Aquisição de um bem em X prestações mensais. PERPÉTUAS – n.º de termos infinito.

Exemplo: Prestação de um plano de saúde. PERIÓDICAS – Ocorrem em períodos de tempos iguais.

Exemplo: mensal, quinzenal, trimestral, anual. NÃO PERIÓDICAS – Ocorrem em períodos de tempos desiguais.

Exemplo: Prestações de plano funeral, vinculados a grupos. CONSTANTES – Valor das parcelas iguais. VARIÁVEIS – Valor das parcelas diferentes. POSTECIPADAS – 1º pagamento ocorre ao final do primeiro período combinado.

Exemplo: Séries do tipo 30/60; 30/60/90; 30/60/90/120 .... ANTECIPADAS – 1º pagamento ocorre na data da compra.

Exemplo: Séries do tipo 0/30; 0/30/60; 0/60/120/180; 0/30/60/90/120... DIFERIDAS – 1º pagamento ocorre após um certo período de carência.

Exemplo: Séries do tipo .... 210/240/270/300/330/360.


27

TECLAS UTILIZADAS EM OPERAÇÕES ENVOLVENDO SÉRIES

g END SÉRIES POSTECIPADAS.

g BEG SÉRIES ANTECIPADAS.

n i PV PMT FV APLICAÇÕES: SÉRIES POSTECIPADAS – AMORTIZAÇÃO 1) Preço a vista de um produto numa loja R$ 780,00. Qual deverá ser o valor das

prestações para esse comerciante vender esse produto em 3 parcelas mensais , iguais e sucessivas, sendo a primeira um mês após a compra, se a taxa efetiva de juros a ser cobrada nas vendas a prazo for de 4,85% ao mês?

PV = 780,00 i = 4,85% am n = 3 pmp PMT = ?

[ f ] [REG] [ g ] [END]

780,00 [CHS] [PV ] 4,85 [ i ]

3 [ n ] [ PMT]

Resposta - PMT = 285,62

2) Um veículo está sendo vendido em 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira um mês após a compra no valor de R$ 978,00 cada uma. Nessa venda a prazo foi utilizada uma taxa efetiva de juros de 2,97% ao mês. Qual o valor a vista desse veículo?

PV = ? n = 24 pmp i = 2,97% a m PMT = 978,00

[ f ] [REG] [ g ] [END]

978,00 [PMT] 2,97 [ i ]

24 [ n ] [PV]

Resposta - PV = - 16.616,61

3) Um televisor está colocado a venda nas seguintes condições: A vista R$ 1.360,00 ou com 20% do valor a vista de entrada e o restante em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 1 mês após a compra, Utilizando nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 5,8% ao mês, determine o valor da entrada e das prestações.

VALOR A VISTA = 1.360,00 ENTRADA 20% = 272,00 VR. FINANCIADO = 1.088,00


28

PV = 1.088,00 i = 5,8% a m n = 12 pmp PMT = ?

[ f ] [REG] [ g ] [END]

1.088,00 [CHS] [PV] 5,8 [ i ]

12 [ n ] [PMT]

Resposta = PMT = 128,35 4) Valor financiado R$ 19.750,00. Forma de pagamento: 12 parcelas mensais, iguais e

sucessivas, vencendo a primeira 1 mês após a data de sua efetivação no valor de R$ 2.106,30 cada. Determine a taxa efetiva mensal de juros cobrada nesse financiamento.

PV = 19.750,00 i = ? n = 12 pmp PMT = 2.106,30

[ f ] [REG] [ g ] [END]

19.750,00 [CHS] [PV ] 12 [ n ]

2.106,30 [PMT] [ i ]

Resposta = i = 4,02% a m 5) Quantas prestações mensais de R$ 141,34 cada uma, vencendo a primeira 1 mês

após a compra, serão necessárias para quitar uma dívida de R$ 640,00 se a taxa efetiva de juros utilizada na operação for de 3,4% ao mês.

[ f ] [REG] [ g ] [END]

640,00 [CHS] [PV] 3,4 [ i ]

141,34 [PMT] [ n ]

Resposta = n = 5 APLICAÇÕES - SÉRIES POSTECIPADAS– CAPITALIZAÇÃO 6) Se eu depositar R$ 300,00 por mês, no final de cada mês, em uma modalidade de

aplicação financeira que paga uma taxa efetiva de juros de 1,72% ao mês, quanto acumularei ao realizar o 12o depósito?

FV = ? i = 1,72% a m n = 12 pmp PMT = 300,00

[ f ] [REG] [ g ] [END]

300,00 [CHS] [PMT]


29

1,72 [ i ] 12 [ n ]

[ FV ] Resposta – FV = 3.960,86

APLICAÇÕES - SÉRIES ANTECIPADAS – AMORTIZAÇÃO 7) Uma loja anuncia a venda de um aparelho DVD em 3 pagamentos mensais, iguais e

sucessivos de R$ 275,50 cada um, sendo o primeiro no ato da compra. Considerando nos cálculos uma taxa efetiva de juros de 4,2% ao mês, determine o valor a vista desse aparelho.

PV = ? i = 4,2% a m n = 3 pma PMT = 275.50

[ f ] [REG] [ g ] [BEG]

275,50 [PMT] 3 [n]

4,2 [ i ] [PV]

Resposta – PV = - 793,63

APLICAÇÕES - SÉRIES ANTECIPADAS – CAPITALIZAÇÃO 8) Determine o valor acumulado após o 12º depósito mensal, igual e sucessivo de R$

180,00 cada um, realizados no inicio de cada mês, se a taxa de juros efetiva mensal conseguida nesse investimento foi de 1,32% ao mês.

FV = ? i = 1,32% a m n = 12 PMT = 180,00

[ f ] [REG] [ g ] [BEG]

180,00 [CHS] [PMT] 12 [ n ] 1,32 [ i ]

[FV] Resposta – FV = 2.354,60

APLICAÇÕES - SÉRIES DIFERIDAS 9) Um empresário financia um equipamento industrial no valor de R$ 35.450,00 a ser

liquidado através de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira paga após um período de 6 meses de carência. A taxa efetiva de juros utilizada nos cálculos é de 5,74% ao mês. Determine o valor das prestações.


30

FV = ? PMT = ?

1 2 3 4 5 6 7 8 .............................................................. 30

35.450,00 49.550,96

PV = 35.450,00 n = 6 i = 5,74% a m FV = ?

Resposta – FV = 49.550,96

PV = 49.550,96 n = 24 pmp i = 5,74% a m PMT = ? Resposta - PMT = 3.853,82

FLUXO DE CAIXA E EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA FLUXO DE CAIXA: Série de Entradas e Saídas dispostas ao longo do tempo. DIAGRAMA DE REPRESENTAÇÃO: (+) PMT PMT PMT PMT PMT PMT

o 1 2 3 4 n – 1 n (TEMPO)

PV (-) APLICAÇÕES: SÉRIES COM PERIODICIDADES UNIFORMES APLICAÇÕES:

Consideremos agora o seguinte:

Vr. Titulo Vencimento 6.000,00 1 mês 6.300,00 2 meses 6.615,00 3 meses 6.945,75 4 meses


31

Qual a soma dos valores atuais desses títulos na data focal = 0 e taxa de desconto de 5% ao mês.

FLUXO DE CAIXA REPRESENTATIVO DO PROBLEMA:

6.000,00 6.300,00 6.615,00 6.945,75

0 1 2 3 4 MESES

?

ROTINA HP 12 C

f CLEAR REG 0 CHS g Cfo 6.000,00 g CFj 6.300,00 g CFj 6.615,00 g CFj 6.945,75 g CFj

5 i f NPV

Resposta = 22.857,14.

Determine quanto terei que despender hoje, para quitar um financiamento representado por 5 notas promissórias, cujos valores e vencimentos a partir de hoje encontram-se relacionados no quadro abaixo, sabendo que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 5% ao mês.

Vencimento Valor

30 dias 420,00 60 dias 560,00 90 dias 560,00

120 dias 450,00 150 dias 490,00

[ f ] [REG] [ g ] [END]

0 [CHS] [g] [Cfo] 420,00 [ g ] [Cfj} 560,00 [ g ] [Cfj] 560,00 [ g ] [Cfj] 450,00 [ g ] [Cfj] 490,00 [ g ] [Cfj]

5 [ i ] [ f ] [ NPV ]

PV = 2.145,83

1) Um contrato de arrendamento mercantil ref. a um equipamento industrial foi realizado com as seguintes características:

9 36 parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 5.273,86 cada uma.


32

9 Valor residual garantido a ser pago juntamente com a 36ª parcela no valor de R$ 6.183,34.

9 Taxa efetiva de juros utilizada na operação de 5% ao mês. Determine o valor a vista do equipamento arrendado.

PMT = 5.273,86

11.457,20

1 2 3 4 5 ......................................................... 35 36

?

f CLEAR REG 0 [CHS[ [ g ] [Cfo]

5.273,86 g CFj 35 [g] [ Nj]

11.457,20 [ g ] [CFj] 5 [ i ]

[ f ] [ NPV] Resposta PV = 88.333,38 COEFICIENTES PARA FINANCIAMENTOS São fatores financeiros que multiplicados pelo valor financiado, determinam os valores das prestações. Representam os valores das prestações para cada unidade de capital financiado. SÉRIES POSTECIPADAS

Determine o coeficiente que multiplicado pelo valor a vista forneça os valores das respectivas prestações, para um comerciante vender seus produtos em 3 pagamentos mensais, iguais, sucessivos e postecipados sendo a taxa efetiva de juros de 3,6% ao mês.

PV = 1 i = 3,6% a m n = 3 pmp PMT = ?

[ f ] [REG] [ g ] [END]

[ f ] 7 1 [CHS] [PV]

3,6 [ i ] 3 [ n ] [PMT]

PMT = 0,3576162


33

SÉRIES ANTECIPADAS

Determine o coeficiente que multiplicado pelo valor a vista forneça os valores das respectivas prestações, para um comerciante vender seus produtos em 4 pagamentos mensais, iguais e sucessivos, sendo o primeiro deles no ato da compra, e a taxa efetiva de juros utilizada nos cálculos de 4,2% ao mês.

PV = 1 i = 4,2% a m n = 4 pma PMT = ?

[ f ] [ REG] [g] [ BEG]

[f ] 7 1 [CHS] [PV]

4,2 [ i ] 4 [ n ] [ PMT]

PMT = 0,2656331

Determinar o custo (taxa efetiva de juros) de um determinado financiamento para pagamento em 12 prestações mensais, iguais, sucessivas e postecipadas cujo coeficiente = 0,1117462 multiplicado pelo valor financiado fornece o valor das prestações?

PV = 1 PMT = 0,1117462 n = 12 i = ?

[ f ] [ REG ] [ g ] [END] 1 [CHS] [PV]

0,1117462 [PMT] 12 [n]

[ i ] Resposta = 4,83 % a m

Dicas: �

Se você estiver usando a HP 12C Platinum não esqueça de configurá-la para o modo RPN acionando [ f ] [RPN]. �

Ao iniciar um cálculo não esqueça de zerar os registradores acionando [ f ] [REG] ou [ f ] [FIN ]. �

Verifique se a letra c está no visor de sua máquina, se não estiver acione as teclas [STO] e [ EEX]. �

Procure sempre consultar o manual do equipamento, a medida que você avança em seu aprendizado necessita de muitas informações facilmente encontradas no mesmo. �

Procure praticar sempre, você localizará muitos exemplos a serem resolvidos em livros de Matemática Financeira.

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