Humberto José...

Cálculo I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 1

28 de agosto de 2007

Aula 1 Cálculo I 1

Apresentação do curso

Aula 1 Cálculo I 2

Conteúdo do curso

Funções de uma variável real.Limites.Continuidade.Derivadas.Estudo da variação de funções.Antiderivação.

Aula 1 Cálculo I 3

Bibliografia

Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1,Sexta edição, Editora Bookman, 2000.

Aula 1 Cálculo I 4

Bibliografia

Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável, volume 1:Uma Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002.

Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável, volume 2:Derivada e Integral. Editora PUC-Rio, 2002.

Aula 1 Cálculo I 5

Bibliografia

James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.

Aula 1 Cálculo I 6

Outras informações

Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.

Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.

Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.

Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.

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Aula 1 Cálculo I 8






Aula 1 Cálculo I 9

Revisão: desigualdades

Aula 1 Cálculo I 10

Um primeiro exemplo

Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais

2 x − 4 > 0.

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42

⇔ x > 2

Resposta: S = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).


Um primeiro exemplo


2 x − 4 > 0.

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42

⇔ x > 2

Resposta: S = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).


Outro exemplo

Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais2 x − 6x − 1

< 1.

CUIDADO!

2 x − 6x − 1

< 1AQUI!

⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5

Existe algo errado neste desenvolvimento? Sim!


Outro exemplo


< 1.

CUIDADO!

2 x − 6x − 1

< 1AQUI!

⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5



Estudo do sinal

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)

x − 1< 0 ⇔ x − 5

x − 1< 0

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).


Estudo do sinal

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)

x − 1< 0 ⇔ x − 5

x − 1< 0

Sinal de

x { 5

Sinal de

x { 1

Sinal de

(x { 5)/(x { 1)

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).


Estudo do sinal

x − 51− x

< 0

Sinal de

x { 5

Sinal de

1 { x

Sinal de

(x { 5)/(1 { x )

S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞, 1[∪]5,+∞[= (−∞, 1)∪(5,+∞).


Desigualdades envolvendo expressões quadráticas

x2 − 6 x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]



x2 − 6 x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]



x2 − 6 x + 8x − 5

≤ 0(Exercício)

⇔ x ∈ S =]−∞, 2] ∪ [4, 5[

2 4



Não existe x ∈ R tal que x2 − x + 1 < 0, isto é, S = ∅.

(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)

x2 + 1 > 0 ⇔ x ∈ S = R

(Note que ∆ = (0)2 − 4 · (1) · (1) = −4 < 0)


Revisão: o módulo de umnúmero real


O módulo de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.


Interpretação geométrica

0{3 {2 {1 1

ADE BC

2 3

d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2



0{3 {2 {1 1

ADE BC

2 3

d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2



a b

d(a, b) =

{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a

= |b − a|.

Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.



a b

d(a, b) =

{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a

= |b − a|.



Duas propriedades importantes

|p| < a ⇔ −a < p < a

|p| > a ⇔ p < −a ou p > a

Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.

0

ap{a


Aplicação

Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.

|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52

< x < −12

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52

< x < −12

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação

Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.

|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Outras propriedades do módulo

|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.

|a · b| = |a| · |b|.

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

, com b 6= 0.

|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.

∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.

√x2 = |x |. CUIDADO!



|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.

|a · b| = |a| · |b|.

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

, com b 6= 0.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



Revisão: funções


Funções reais

Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em umsubconjunto D de R faz corresponder exatamente um elementochamado f (x), em um subconjunto C de R.

D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x


Exemplo

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.


Imagem de uma função real

A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Imagem de f = R





Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Imagem de f = R





Definição

Exemplo

g : R → Rx 7→ g(x) = x2

Imagem de g = [0,+∞)





Definição

Exemplo

h : R → Rx 7→ h(x) = sen(x)

Imagem de h = [−1,+1]


Gráfico de uma função real

O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):

Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.

Definição



f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x



g : R → Rx 7→ g(x) = x2



h : R → Rx 7→ h(x) = sen(x)


Domínio maximal

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio maximal de f é D = R− {0}.


Domínio maximal


Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.



Domínio maximal

Qual é o domínio maximal de f (x) =1√

|x | − x?

|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou

O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.


Domínio maximal


|x | − x?




Revisão: função par efunção ímpar


Função par

Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.

Definição

Exemplo de função par:

f : R → Rx 7→ f (x) = 1− x4 .

De fato: para todo x ∈ R,

f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).


Função par


Definição


f : R → Rx 7→ f (x) = 1− x4 .


f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).


Função par

O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y !


Função ímpar

Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.

Definição

Exemplo de função ímpar:

f : R → Rx 7→ f (x) = x5 + x

.


f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).


Função ímpar


Definição


f : R → Rx 7→ f (x) = x5 + x

.


f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).


Função ímpar

O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem!


Observações

Existem funções que não são pares e nem ímpares:

f : R → Rx 7→ f (x) = 2− x3 .

De fato:

f (−1) = 3 6= 1 = f (1) e f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).


Observações

Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?

Sim! A função identicamente nula definida em R!

Toda função definida em R se escreve como soma de uma funçãopara e uma função ímpar:

f (x) =f (x) + f (−x)

2︸︷︷︸par

+f (x)− f (−x)

2︸︷︷︸ímpar

.


Observações




f (x) =f (x) + f (−x)

2︸︷︷︸par

+f (x)− f (−x)

2︸︷︷︸ímpar

.


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