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EXERCíCIOS 12.3

CalculandoIntegraisPolaresNos exercícios 1-16, mude a integral cartesiana para uma integralpolar equivalente. Então calcule a integral polar.

fl

f~

fl

f~

1. dy dx 2. dy dx-I o -I -~-

fl

f~

3. o o (X2+ y2)dx dy

fl

f~

4. (X2 + y2) dy dx-I -~

fa

f~

5. -a _~dydx

f2

f\1'4=1

6. O O (X2 + y2) dxdy

7. fo6f: X dx dy 8. fO2fox y dy dx

fof

o 29 dy dx. -I -~ 1 + YX2 + y2

fi

f o 4yx2 + y210. 2 2dx dy

-I -~ 1 + X + Y

fln2

fY(ln2)2-l e v'7i7 dx dy11. o o

f1

f~

12. o o e-(~ + l) dy dx

f2fYI-(X-I)2 X + Y13. ~dydx

o o x +y

14. f2

f o .xy2dx dyo -YI-(y-1)2

f1

f~

15. ln (X2+ y2 + 1)dx dy-I -~

fl

f ~ 216. 2 2 2 dy dx

-I -~ (1 + x + Y )

Encontrando a Áreaem CoordenadasPolares17. Encontrea área da regiãocortadado primeiroquadrantepela

curva r = 2(2 - sen 28)1/2.

18. Cardióidesobrepondo-sea uma circunferênciaEncontre a área daregião que está dentro da cardióide r = 1 + cos 8 e fora da cir-cunferência r = 1.

19. Umapétala de uma rosácea Encontre a área dentro de uma péta-la da rosácea r = 12 cos 38.

20. Conchade caracol Encontre a área da região limitada pelo eixox positivoe pela espiralr = 48/3, O :5 8 :5 27T.A região separece com uma concha de caracol.

21. Cardióideno primeiro quadrante Encontre a área da região corta-da do primeiro quadraJ)te pela cardióide r = 1 + sen 8.

22. Cardióidessobrepostas Encontre a área da região comum aosinteriores das cardióides r = 1 + cos 8 e r = 1 - cos 8.

Massas e Momentos23. Primeiromomento de umaplaca Encontre o primeiro momento

em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade constanteS(x, y) = 3, limitada abaixo pelo eixo x e acima pela cardióider = 1 - cos 8.

24. Momentospolare de inérciade um disco Encontre o momento deinércia em relação ao eixo x e o momento polar de inércia emrelação à origem de um disco fino limitado pela circunferência

.X2 + y2 = a2 se a densidade do disco em um ponto (x, y) forS(x, y) = k(X2+ y2), sendo k uma constante.

25. Massade uma placa Encontre a massa de uma placa fina quecobre a região externa à circunferência r = 3 e interna da cir-cunferência r = 6 sen 8 se a função densidade da placa forS(x, y) = lIr.

26. Momento polar de uma cardióide sobrepondo-se a uma circunferência

Encontre o momento polar de inércia em relação à origem deuma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióider = 1 - cos 8 e fora da circunferência r = 1 se a função densi-dade da placa for S(x, y) = lIr2.

27. Centróidede uma cardióide Encontre o centróide da região den-tro da cardióide r = 1 + cos 8.

28. Momento polarde uma cardióideEncontre o momento polar de inér-cia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióider = 1 + cos 8 se a função densidade da placa for 8(x, y) = 1.

ValoresMédios29. Altura média de.um hemisfério Encontre a altura média do

hemisfério z = Ya2 - X2 - y2 acima do disco X2 + l :5 a2no

plano .xy.

30. Alturamédiade um cone Encontre a altura média do cone sim-

ples z = y X2 + y2 acima do disco X2 + l :5 a2 no plano xy.

31. Distânciamédiado interior do discoao centro Encontre4adistân-cia média de um ponto P(x, y) no disco X2+ l :5 a2 à origem.

32. Distânciamédiaquadrática de um ponto em um discoa umpontoem sua fronteira Encontre o valor médio do quadrado da dis-tância do ponto P(x, y) no disco r + l :5 1 ao 'ponto de fron-teiraA(l, O).

Teoriae Exemplos33. Convertendouma integralcartesianaempolar Integre f(x, y) =

[ln (X2 + /)]/\1 X2 + y2 sobre a região 1 ::::;X2 + / ::::;e.

34. Convertendouma integralcartesianaempolar Integre f(x, y) -[ln (X2 + y2)]I(X2 + y2) sobre a região 1 ::::;X2 + y2 ::::;e2.

35. Volumede um cilindroreto não circularA região dentro da car-dióide r = 1 + cos 8 e fora da circunferência r = 1 é a base de

um cilindro sólido reto. O topo do cilindro está no plano z = x. .Encontre o volume do cilindro.

36. Volumede um cilindroreto não circularA região limitada pelàlernniscata r2 = 2 cos 28 é a base de um cilindro reto sólido

cujo topo é limitado pela esfera z = ~. Encontre ovolume do cilindro.

37. Convertendointegrais cartesianas em polares

(a) A maneira usual de calcular a integral imprópria I =f;;'e-i> dx é primeiro calcular seuquadrado:

[' = (f: e -.c dx )U: e -idy )~ f:f: e -(>'+>'Jdx dy.

Calcule essa integral usando coordenadas polares e resol-va a equação resultante para encontrar I.

(b) Calculx.

Ix 2 -r-r ~dt.lim erf(x)= x~~ o y;.x-->00

38. Convertendo uma integral cartesiana em polar Calcule a integral

fOO

fOO 1dxdy.

o o (1 + X2+ y2?

39. Escrevendoparaaprender Integre a função f(x, y) = 1/(1 - X2- y2) sobre o disco X2+ y2 ::::;3/4. A integral def(x, y) sobre odiscox2 + y2 ::::;1 existe? Justifique sua resposta.

40. Fórmula da área em coordenadas polares Use a integral dupla emcoordenadaspolares para deduzir a fórmula

ff:ll

A = - r 2 d8a 2

para a área da região em formato de leque entre a origem e acurva polar r = f( 8), a ::::;8::::;{3.

12.4 Integrais Duplasna FormaPolar 385

41. Distânciamédia para um dadoponto dentro de um disco Seja Poum ponto dentro de um círculo de raio a e seja h a distância dePoao centro do círculo. Seja d a distância de um ponto arbitrá-rio P até Po. Encontre o valor médio de d2 sobre a região limi-tada pelo círculo. (Dica: Simplifique seu trabalho colocando ocentro do círculo na origem e Posobre o eixo x.)

42. Área Suponha que a área de urna região no plano de coordena-das polares seja

f37T/4

f2 sen 11

A = r dr d8.7T/4 cosec 11

Esboce a região e encontre sua área.

( USANDO O COMPUTADOR

Mudança de CoordenadasNos exercícios 43-46, use um SAC para mudar as integrais carte-sianas para urna integral polar equivalentee calcule a integralpolar. Siga os passos indicados em cada exercício.

(a) Representegraficamentea regiãocartesianade integraç.ãono plano xy.

(b) Troque cada curva-limite da região cartesiana no item (a)por sua representação polar resolvendo sua equação carte-siana para r e 8.

(c) Usando os resultados do item (b), represente graficamentea região polar de integração no plano r8.

(d) Mude o integrando de coordenadas cartesianas para pola-res. Determine os limites de integração a partir de seu grá-fico no item (c) e calcule a integral polar usando a ferra-menta de integração do SACo

III1 y43. z-z dy dx

o xX +y fl

fXI2 x

44. z-z dy dxo o x +y

fl

J Yl3 Y dx dy45. o -y13\lx2 + y2 f

l

f2-y

46. ~dxdyo y