I. SISTEMA DE PARTÍCULAS IDÊNTICAS E SEGUNDA QUÂNTIZAÇÃO

A. Permutação de Partículas

Vamos considerar um sistema formado de 2 elétrons. Na Mecânica Quântica, surge uma

nova situação quando tratar mais de uma partículas idênticas, diferentemente no caso de

Mecânica Clássica. Na Mecânica Clássica, o fato de que os dois elétrons serem idênticos

não gera problema especial, pois duas partículas são sempre mantém suas identidades sepa-

radamente, e podemos distinguir-las seguindo suas trajetórias, em princípio. No entanto, na

Mechânica Quântica, quando as funções de ondas de duas partículas superpõem, a questão

de indistinguibilidade de duas partículas traz um novo aspecto para o estado quântico do

sistema composto de duas partículas como vemos em seguida.

Sejam |ϕα〉 uma base para o espaço de Hilbert de uma das elétrons. O sistema compostoé descrito pelo conjunto de estados de produto externo destes vetores de estado da base de

cada uma e, portanto, o conjunto,

|ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉

forma a base do espaço de Hilbert do sistema composto, onde ⊗ representa o produto direto(produto externo), sendo que os primeiro e segundo elementos correspondem, respectiva-

mente, aos espaços de Hilbert da primeira e da segunda elétron.

Se as duas partículas forem distintas, os dois estados como

|ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉, |ϕβ〉 ⊗ |ϕα〉 (1)

obviamente devem representar estados distintos do sistema composto. Por outro lado,

quando as duas partículas são idênticas, não teremos condição de associar uma dela para o

espaço de Hilbert de primeira, e outra no segundo e mantendo essa associação. No sentido

quântico, temos um único estado, para que podemos dizer que existe um elétron no estado

α e outro no estado β.

Ou seja, embora no sentido matemático, os dois vetores acima representariam dois vetores

distintos no espaço de produto externo, não todas combinações lineares desses dois vetores

necessariamente correspondem a situação física para um sistema de duas partículas idênticas.

Mas, sim, existe apenas uma certa combinação linear que deve corresponder ao estado, em

que existe um elétron no estado α e outro no estado β, sem distinguir-las. Deve haver uma

redução do espaço do produto direto para descrever os estados de sistema de dois elétrons.

1

Para ver que tipo de combinação linear pode ocorrer, podemos considerar um operador

P que troca o papel de duas partículas 1 e 2 no espaço de produto externo. Por exemplo,

P |ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉 = |ϕβ〉 ⊗ |ϕα〉.

Obviamente temos

P 2 |ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉 = |ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉,

para qualquer estados |ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉, portanto,

P 2 = 1.

e os autovalores são ±1, com autovetores,

|ψ±〉 =1√2|ϕα〉 ⊗ |ϕβ〉 ± |ϕβ〉 ⊗ |ϕα〉 .

Como falamos, o fato de que as duas partículas serem idênticas implica em que o estado

físico corresponde ao sistema de duas partículas devem ser um dos autoestados do operador

P. Isto porque, se duas partículas são idênticas, a operação P sobre um estado físico do

sistema não deve altera o estado. Assim, um estado físico deve corresponder, ou para uma

combinação linear símetrica, ou para uma combinação linear antisímetrica dos dois estados,

Eq.(1).

Para obter a função de onda, podemos introduzir uma base de configuração,

|~r1〉 ⊗ |~r2〉 (2)

e temos

ψ± (~r1, ~r2) = (|~r1〉 ⊗ |~r2〉, |ψ±〉)

=1√2〈~r1|ϕα〉〈~r2|ϕβ〉 ± 〈~r1|ϕβ〉〈~r2|ϕα〉

=1√2ϕα (~r1)ϕβ (~r2)± ϕβ (~r1)ϕα (~r2) .

Note que a base Eq.(2) é só quando as partículas não possuem graus de liberdade internos

como spin, ou isospin. Quando existem graus de liberdades internos, devemos utilizar as

coordenadas

~ξ = (~r, χ) (3)

2

onde χ representa o conjunto de números quânticos que especifica os graus de liberdades

internos. Por exemplo, no caso de elétron, α representaria o estado de spin e assume um

dos dois valores +1/2 ou −1/2. Assim, neste caso devemos utilzar a base,|~ξ1〉 ⊗ |~ξ2〉

(4)

B. Grupo de Permutação e Sua Representação

Aproveitando a discussão sobre a natureza de partículas idênticas, vamos revisar a noção

de grupo de permutação e o significado e aplicação das suas representações irredutiveis na

mecânica quântica.

C.

Consideremos um conjunto de operações g = α, β, ... que manter o sistema invariantee esse conjunto forma um grupo. Por grupo, entendemos primeiramente que está definida

uma operação entre quaisquer dois elementos α e β do g, cujo resultado também é elemento

do g. Essa operação é chamado produto do grupo e denotamos por ·. Assim, o conjunto éfechado pelo produto, e expressamos esse fato

∃ γ = α · β ∈ g, ∀α, β ∈ g. (5)

Para formar um grupo, o produto · e o conjunto g têm que satisfazer as seguintes pro-

priedades.

1. Existência do elemento de identidade e ∈ g, tal que

e · α = α · e = α, ∀α ∈ g, (6)

2. Existência do elemento inverso α−1 para ∃α ∈ g, tal que

α−1 · α = α · α−1 = e. (7)

3. Associatividade do produto, ou seja,

α · (β · γ) = (α · β) · γ. (8)

3

1 32

a b c

1 32

b c a

1 2 33 1 2

Para um sistema deN partículas, o conjunto de todas as operações de trocar os estados de

partículas forma obviamente um grupo, convencionando a operação de não troca nada como

o elemento de identidade. Esse grupo é chamado o grupo de permutação de N elementos e

denotamos por SN . Um elemento do grupo SN é comunmente denotado por

Pi1i2...,iN =

1 2 · · · Ni1 i2 · · · iN

(9)

indicando que a ordenação (1, 2, .., N) transforma em outra (i1, i2, .., iN) . Por exemplo, con-

sideramos N caixas numerados de 1 a N fixos na mesa e colocamos N bolas com cores

diferentes. Podemos definir a operação correspondente a Pi1i2...,iN como sendo um procedi-

mento para colocar a bola na caixa 1 na caixa i1, a bola na caixa 2 na caixa i2, assim por

diante. Veja o examplo na figura abaixo no caso de P312. Note que nesta convenção, as

caixas não alteram mas permutamos os conteúdos das caixas.

Para a aplicação na mecânica quântica, podemos associar essas operações como trocar

os estados de cada partículas no sistema de N partículas. Convencionamos que as caixas

acima correspondem à partículas, e os conteúdos os estados que partículas ocupam. Assim,

para uma função de onda do sistema de 3 partículas distinguíveis, sendo as partículas 1, 2 e

3 estão nos estados α, β e γ, respectivamente,

ψ(~ξ1, ~ξ2, ~ξ3

)= ϕα

(~ξ1

)ϕβ

(~ξ2

)ϕγ

(~ξ3

), (10)

a aplicação da operação P312 a função de onda do sistema se torna

ψ′(~ξ1, ~ξ2, ~ξ3

)= P312ψ

(~ξ1, ~ξ2, ~ξ3

)= ϕβ

(~ξ1

)ϕγ

(~ξ2

)ϕα

(~ξ3

). (11)

4

Se as partículas são distinguíveis mas idênticas físicamente (por exemplo, como na bolas

na figura acima, onde as bolas tem mesmas propriedades físicas mas distinguíveis pela, por

exemplo, seus cores ou letras impressas), as duas funções de ondas dadas pelas Eqs.(10) e (11)

correspondem aos dois estados distintos. Entretanto, se as duas partículas são fisicamente

idênticas, a energia do estado da Eq.(10) deve ser idêntica a do estado da Eq.(11). Assim,

neste caso, existem 2 estados distintos para um dado valor de energia, ou seja, o nível de

energia é degenerado. Entretanto, se as duas partículas são realmente indistinguíveis, não

devem existir tais estados distintos quando trocamos os estados entre as partículas.

Vamos formular matematicamente a relação entre a degenerescência do espectro de en-

ergia e o grupo de simetria do sistema. Para isto, introduzimos o conceito de representação

do grupo. Quando um mapeamento de um grupo para um outro grupo preserva a regra de

produto do grupo original, o mapeamento é chamado uma representação. Um exemplo mais

simples de representação é a representação trivial. Para um grupo qualquer, a representação

trivial é o mapeamento de qualquer elemento do grupo para o número 1. O conjunto formado

de um único elemento 1 forma um grupo pela regra normal de produto. Assim, se

∀α ∈ g, α→ 1,

e

αβ = γ,

obviamente preserva a regra de multiplicação, pois 1× 1 = 1.

Quando os elementos de grupo representam algum procedimento físico, podemos con-

siderar sempre o conjunto de estados que são afetados pelo esse procedimento do grupo.

Por exemplo, vamos considerar o grupo S2. Esse grupo tem dois elementos apenas, um é a

identidade e, e outro a permutação de dois números, P12 e a regra de produto do grupo é

e · e = e,

e · P12 = P12, (12)

P12 · e = P12,

P12 · P12 = e.

5

Podemos considerar as duas configurações possíveis de ordenamento de 2 números, (1, 2) e

(2, 1) e associamos dois vetores ortonormais no espaço vetorial bidimensional, como

(1, 2)→

1

0

,

(2, 1)→

0

1

.

No caso de S2, Já que

e (1, 2) = (1, 2) ,

e (2, 1) = (2, 1) ,

P12 (1, 2) = (2, 1) ,

P12 (2, 1) = (1, 2) ,

podemos associar 2 matrizes que representam as operações acima como

e → U (e) =

1 0

0 1

(13)

P12 → U (P12) =

0 1

1 0

(14)

de tal forma que

U (e)

1

0

=

1

0

,

U (e)

0

1

=

0

1

,

U (P12)

1

0

=

0

1

,

U (P12)

0

1

=

1

0

.

6

Note que o mapeamento Eqs.(13) e (14) preserva as regras de produto do grupo S2, ou seja,

a Eq.(12) fica preservada em termos de produtos matriciais,

U (e)U (e) = U (e) ,

U (e)U (P12) = U (P12) ,

U (P12)U (e) = U (P12) ,

U (P12)U (P12) = U (e) .

Assim, o mapeamento, Eqs.(13) e (14) é uma representação do grupo S2 em termos de

matrizes 2× 2.

Vamos considerar o grupo S3, ou seja, o conjunto de todas as permutações de 3 diferentes

objetos que estão nas caixas 1, 2 e 3. Para simplicidade, representamos os 3 objetos em

termos de 3 números, 1,2 e 3. Denotanos uma determinada configuração dos objetos nas

caixas, por exemplo, 3 na caixa 1, 2 na caixa 2, e 1 na caixa 3, por[3 2 1

]. (15)

Obviamente para S3, as operações de permutar os objetos nas caixas, podem resultar em 6

configurações possíveis, [1 2 3

], (16)[

2 1 3], (17)[

1 3 2], (18)[

3 2 1], (19)[

2 3 1], (20)[

3 1 2], (21)

Note que essas confugurações acima não são os elementos do grupo, mas os possíveis re-

sultados que um elemento do grupo que causa a partir de uma configuração dada. Por

exemplo, se a configuração inicial for[

1 2 3], as configurações acima podem ser obtidas

pelas operações do grupo S3 por

P213

[1 2 3

]=[

2 1 3], (22)

7

P132

[1 2 3

]=[

1 3 2]. (23)

P321

[1 2 3

]=[

3 2 1], (24)

P312

[1 2 3

]=[

2 3 1], (25)

P231

[1 2 3

]=[

3 1 2]. (26)

Lembre que a notação Pi1i2i3 indica que mudar o conteúdo da caixa 1 na caixa i1, da caixa

2 na caixa i2, e da caixa 3 na caixa i3.

É obvio que as duas operações sucessivas do grupo S3 resultam num das 6 configurações

acima. Assim, podemos construir a tabela de "multiplicação" do grupo como

P1 P2 P3 P4 P5 P6

P1 P1 P2 P3 P4 P5 P6

P2 P2 P1 P6 P5 P4 P3

P3 P3 P5 P1 P6 P2 P4

P4 P4 P6 P5 P1 P3 P2

P5 P5 P3 P4 P2 P6 P1

P6 P6 P4 P2 P3 P1 P5

(27)

onde para facilitar visutal, associamos

P123 → P1, (28)

P213 → P2, (29)

P132 → P3, (30)

P321 → P4, (31)

P312 → P5, (32)

P231 → P6, (33)

Na tabela (27), estão indicado os resultados dos produtos dos dois elemento do grupo i×j =

k, sendo i na primeira coluna, e j na primeira linha. Por exemplo, da tabela (aqui, ainda

8

para simplificar, omitimos a letra P em P1, P2, ..etc).

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 1 6 5 4 3

3 3 5 1 6 2 4

4 4 6 5 1 3 2

5 5 3 4 2 6 1

6 6 4 2 3 1 5

(34)

temos

P3× P4 = P6 (35)

indicando

P132P321 = P231 (36)

Podemos representar os elementos do grupo S3 em termos de matrizes. Para isto, consid-

eramos o espaço vetorial de 6 dimensões, associando para cada configuração um vetor base

ortonormal,

[1 2 3

]→ ~ξ1 =

1

0

0

0

0

0

,[

2 1 3]→ ~ξ2 =

0

1

0

0

0

0

,[

1 3 2]→ ~ξ3 =

0

0

1

0

0

0

,

[3 2 1

]→ ~ξ4 =

0

0

0

1

0

0

,[

2 3 1]→ ~ξ5 =

0

0

0

0

1

0

,[

3 1 2]→ ~ξ6 =

0

0

0

0

0

1

. (37)

Podemos considerar o mapeamento acima como o mapeamento um a um do elemento do

grupo de N elementos a vetores ortonormais num espaço vetorial de dimensão N.

9

A regra de produto do grupo é nada mais que uma transformação de um elemento do

grupo para um outro elemento. Assim, no espaço vetorial acima construido, podemos as-

sociar os elementos do grupo para operadores no espaço, ou seja matrizes. Essa associação

constitui uma representação do grupo. No caso do grupo S3, a representação fica as matrizes

de 6× 6, e obviamente devemos ter

P123 →

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

. (38)

Para construir o resto da representação, podemos seguir o seguinte procedimento. Primeiro,

trocar a ordem de linhas na tabela de multipricação, de tal forma que o elemento na tabela

1 fica sempre na posição diagonal. No caso da tabela (27), trocamos a 5a linha e 6a linha,

tendo,

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 1 6 5 4 3

3 3 5 1 6 2 4

4 4 6 5 1 3 2

5 5 3 4 2 6 1

6 6 4 2 3 1 5

−→

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 1 6 5 4 3

3 3 5 1 6 2 4

4 4 6 5 1 3 2

6 6 4 2 3 1 5

5 5 3 4 2 6 1

. (39)

Agora, extrai o quadro da parte (6× 6) da tabela,

1 2 3 4 5 6

2 1 6 5 4 3

3 5 1 6 2 4

4 6 5 1 3 2

6 4 2 3 1 5

5 3 4 2 6 1

. (40)

10

e construimos um comjonto de matrizes, Mi, i = 1, .., 6 colocando 1 no elemento da matriz

correspondente no local onde aparece i no quadro acima.

M1 =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

, M2 =

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

, M3 =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

,

M4 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

, M5 =

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

, M6 =

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

. (41)

Com isto, vejamos a tabela de multiplicação está representada em termos de matrizes.

Por exemplo, temos de fato,

M3M4 =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

=

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

= M6, etc. (42)

Assim, estabelecemos uma representação do grupo S3 pelas matrizes, Mi, i = 1, .., 6 .Uma representação como essa, onde exitem correspondência um a um entre os vetores

base da representação e os elementos do grupo é chamado "representação fiel". Para um

grupo discreto e finito, podemos construir sempre a representação fiel a partir da tabela de

multiplicação do grupo. Assim, as matrizes para a representação fiel de um grupo com N

elementos é (N ×N) .

Por outro lado, podemos construir outras representações com dimensão menor. Por exem-

plo, vamos considerar o espaço vetorial formado pela base Eq.(37). Embora a representação

11

fiel utliza o espaço todo, se olharmos com cuidado, existem algum subespaços que fica in-

variante sob à aplicações das matrizes da Eq.(41). Por exemplo, consideramos o vetor,

~eS =1√6

1

1

1

1

1

1

.

Então, obviamente

M1~eS = ~eS,

e para outras matrizes verficamos facilmente que

Mi~eS = ~eS, i = 1, 2, .., 6.

Isto porque, as matrizes M ′is possui sempre apenas um elemento 1 em cada linha.

O resultado acima mostra que o subespaço (unidimensional) formado do vetor ~eS é não

alterado pelas aplicações dos elementos do grupo. O tal espaço é chamado subespaço invari-

ante da representação do grupo.

Podemos ver que exite um outro subespaço invariante na representação fiel para o grupo

S3. Dedinindo

~eA =1√6

1

−1

−1

−1

1

1

.

12

verificamos facilente que

M1~eA = ~eA,

M2~eA = −~eA,

M3~eA = −~eA,

M4~eA = −~eA,

M5~eA = ~eA,

M6~eA = ~eA,

o que mostra que o subespaço formado pelo vetor ~eA (unidimensional) é novamente invariante

sob operações de matrizes Mi, i = 1, .., 6 . Isto porque, os elementos de ~eA com sinais

negativos correspondem aos elementos do grupo S3 com sinais de permutação netativa.

Note que os dois vetores, ~eS e ~eA são ortogonais.

(~eA · ~eS) = 0.

Assim, o espaço vetorial original de dimensão 6 fica decomposto com

6 = 1S ⊕ 1A ⊕ 4 . (43)

Podemos construir a base do subespaço de dimensão 4 com 4 vetores ortogonais a ~eA e ~eS.

Para isto, temos que achar 4 vetores ortogonais entre si e tambem ortogonal a ~eS e ~eA.Vamos

denotar tais vetores como

~ei =

ai

bi

ci

di

ei

fi

, i = 1, 2, 3, 4.

A condi;áo de ortogonalidade com ~eS fica

ai + bi + ci + di + ei + fi = 0,

e com ~eA fica

ai − bi − ci − di + ei + fi = 0.

13

Com isto, temos dois grupos separados, correspondente aos espaços de sinal de permutação

positiva e negativa.

ai + ei + fi = 0,

bi + ci + di = 0.

Uma possible conjunto de 4 soluções linearmente independentes para esse sistema é, por

exemplo,

a1 = 1, e1 = −1, f1 = 0,

b1 = 0, c1 = 0, d1 = 0,

a2 = 1, e2 = 1, f2 = −2,

b2 = 0, c2 = 0, d2 = 0,

a3 = 0, e3 = 0, f3 = 0,

b3 = 1, c3 = −1, d3 = 0,

a4 = 0, e4 = 0, f4 = 0,

b4 = 1, c4 = 1, d4 = −2,

de tal forma que os normalized vetores, ~ei ficam

~e1 =1√2

1

0

0

0

−1

0

, ~e2 =

1√6

1

0

0

0

1

−2

, ~e3 =

1√2

0

1

−1

0

0

0

, ~e4 =

1√6

0

1

1

−2

0

0

.

Esses vetores formam uma base ortonormal no subespaço 4 ortogonal a ~eS e ~eA . Éfácil de verificar que a aplicação de qualquer elemento do grupo do S3 nunca ter componentes

dos ~eS e ~eA . Ou seja,

~eS ·Mi~ej = 0,

~eA ·Mi~ej = 0.

14

Por exemplo,

M3~e4 =1√6

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0

1

1

−2

0

0

=

1√6

1

0

0

0

−2

1

que claramente ortogonal a ~eS e ~eA . A razão disto é que numa representação fiel, a

aplicaçao de qualquer elemento do grupo resulta em permutação dos elementos do vetor.

Também, os componentes no subespaço de um determinado sinal de permutação passa para

o subespaço de outra se o sinal do elemento do grupo for negativo, e permanece no mesmo

subespaçco se o sinal for positivo.

Podemos calcular os elementos de matrizes,

〈~ei|Mα|~ej〉

que constituirá a representação matricial de dimensão 4. Entretanto, em vez desta base,

~ei, i = 1, 2, 3, 4 , vamos utilizar uma outra base,

~ζ1 =1√2

(~e1 + ~e3) , ~ζ2 =1√2

(~e1 − ~e3) ,

~ζ3 =1√2

(~e2 + ~e4) , ~ζ4 =1√2

(~e2 + ~e4) ,

15

e construimos matrizes M (4)α , α = 1, ..., 6, formadas de elementos de matriz 〈~ζi|Mα|~ζj〉.

Temos

M(4)1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, M(4)2 =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

, M(4)3 =

−1/2 0 0 −

√3/2

0 1/2√

3/2 0

0√

3/2 −1/2 0

−√

3/2 0 0 1/2

,

M(4)4 =

−1/2 0 0

√3/2

0 1/2 −√

3/2 0

0 −√

3/2 −1/2 0√

3/2 0 0 1/2

, M(4)5 =

−1/2 0 0

√3/2

0 −1/2√

3/2 0

0 −√

3/2 −1/2 0

−√

3/2 0 0 −1/2

,

M(4)6 =

−1/2 0 0 −

√3/2

0 −1/2 −√

3/2 0

0√

3/2 −1/2 0√

3/2 0 0 −1/2

.

Observando cuidadosamente na forma matricial acima, percebemos que existe dois sube-

spaços invariantes no subespaço 4 . Ou seja, se consideramos o subespaço formado apenas~ζ1, ~ζ4

, os elementos do grupo ficam mapeados à matrizes (2× 2) como

P1→M(2)1 =

1 0

0 1

, P2→M(2)2 =

1 0

0 −1

, P3→M(2)3 =

−1/2 −√

3/2

−√

3/2 1/2

P4→M

(2)4 =

−1/2√

3/2√

3/2 1/2

, P5→M(2)5 =

−1/2√

3/2

−√

3/2 −1/2

, P6→M(2)6 =

−1/2 −√

3/2√

3/2 −1/2

.

(44)

Podemos verificar que a regra de multiplicação está preservada. Por exemplo,

P5× P3→

−1/2√

3/2

−√

3/2 −1/2

−1/2 −√

3/2

−√

3/2 1/2

=

−12

12

√3

12

√3 1

2

→ P4

(veja a tabela (27)). O mapeamento forma a representação do grupo S3 de dimensão 2,e

vamos denotar como 2 .

16

O subespaço formado de~ζ2, ~ζ3

também é invariante. Neste espaço, temos o mapea-

mento,

P1→

1 0

0 1

, P2→

−1 0

0 1

, P3→

1/2√

3/2√

3/2 −1/2

P4→

1/2 −√

3/2

−√

3/2 −1/2

, P5→

−1/2√

3/2

−√

3/2 −1/2

, P6→

−1/2 −√

3/2√

3/2 −1/2

.

(45)

o que também constitui uma representação de dimensão 2 que denotamos como 2′ . Final-mente, a representação inicial (representação fiel) do grupo de dimensão 6 fica decomposto

em 4 distintas representações menores, correspondendo a decomposição do o espaço vetorial

original de dimensão 6 em espaços vetoriais invariantes sob o grupo, como

6 = 1S ⊕ 1A ⊕ 2 ⊕ 2′ . (46)

Essa decomposição pode ser feito através de uma transformação unitária que faz a mudança

da base da partir da base original para as novas bases em subespaços invariantes,~ξ1, ~ξ2, ~ξ3, ~ξ4, ~ξ5, ~ξ6

U−→~eS, ~eA, ~ζ1, ~ζ4, ~ζ2, ~ζ3

(47)

Com isso, as matrizes da representação original se torna na forma diagonal em blocos,

UMiU−1 =

1 0 0 0 0 0

0 ε 0 0 0 0

0 0 M(2)i (1,1) M

(2)i (1,2) 0 0

0 0 M(2)i (2,1) M

(2)i (2,2) 0 0

0 0 0 0 M′(2)i (1,1) M

′(2)i (1,2)

0 0 0 0 M′(2)i (2,1) M

′(2)i (2,2)

, i = 1, .., 6 (48)

onde ε representa ±1, de acordo com o sinal da permutaçãoMi, eM(2)i (α,β) é o (α, β)-elemento

da matriz da representação em 2 .Nos subespaços 2 e 2′ , não existe nenhum subespaço menor. Neste caso, não podemos

achar as representações de menor dimensão, e 2 e 2′ são ditas as representações irre-dutíveis.

O procedimento acima esclarece a idéia de como chegar a decomposição completa de

representação do grupo S3, mas no caso de Sn o método se torna impraticável. Por exemplo,

17

o proximo grupo, S4, temos que trabalhar com o espaço vetorial de dimensão 4! = 24. As

matrizes ficam 24 × 24. Entretanto, existe uma forma mais poderosa para identificar os

subespaços invariantes.

D. Decomposição de produto direto de representação de um grupo

Vamos considerar um sistema composto de 2 partículas com spin 1/2. O estado de spin

do sistema pode ser obtido com a adição de momento angular,

~1

2⊕~1

2= ~0 +~1

As funções de onda correspondentes são obtidas utilzando os coeficientes de Clebsch-Gordan,

|1,m〉 =

1/2∑µ=−1/2

(1

2

1

2µm− µ|1m)|1

2, µ〉(1)|1

2,m− µ〉(2)

para o estado j = 1, e

|0, 0〉 =

1/2∑µ=−1/2

(1

2

1

2µ − µ|00)|1

2, µ〉(1)|1

2,m− µ〉(2)

para o estado j = 0. Explicitamente, temos

|1, 1〉 = |12,1

2〉(1)|1

2,1

2〉(2)

|1, 0〉 =1√2

|12,1

2〉(1)|1

2,−1

2〉(2) + |1

2,−1

2〉(1)|1

2,1

2〉(2)

|1,−1〉 = |1

2,−1

2〉(1)|1

2,−1

2〉(2)

e

|0, 0〉 =1√2

|12,1

2〉(1)|1

2,−1

2〉(2) − |1

2,−1

2〉(1)|1

2,1

2〉(2)

Notamos que os estados de j = 1 são todos simetricos em relação à troca de partícula,

|ψa〉(1)|ψb〉(2) ⇐⇒ |ψb〉(1)|ψa〉(2)

no entanto o estado de j = 0 é antisimetrico, trocando o sinal. Este fato de que todos os

estados que possuem a mesma propriedade de simetria ficam agrupados num mesmo estado

de j não é acidental. Vamos considerar um sistema composto de n partículas. Neste caso,

o espaço de Hilbert para o sistema como todo é o produto direto de espaços de Hilbert,

H = H 1 ⊗H 2 ⊗ · · · ⊗ H n

18

e estados do sistema são escritos como

|ψ >=∑

Ci1 i2 ···in|ψi1 >(1) |ψi2 >(2) · · · |ψin >(n)

Consideramos ainda um grupo de simetria g para cada partícula. Denotando o gerador deste

grupo para i-esimo partícula por Λ(i), o gerador do grupo para o estado do sistema todo é

Λ =∑i

Λ(i)

ou seja vale a adição dos geradores. Mas neste caso, qualquer permutação das partículas

não altera o gerador do grupo. Em outras palavras, denotando o operador de permutação

entre partículas por P , temosP ΛP−1 = Λ

Como sabemos, o conjunto de todas as permutações formam um grupo, Sn. Obviamente

um subespaço invariante do grupo g é um subespaço invariante do grupo Sn, e vice-versa.

Isto é a razão das simetria dos estados no exemplo acima. Em geral, se decompomos o

espaço de acordo com o grupo Sn, podemos ter os subespaços invariantes para o grupo g,

simultaneamente. Caso em que estes são únicos subespaços invariantes do grupo g, teremos

automaticamente as representações irredutíveis do grupo g quando o espaço é decomposto

em subespaços invariantes irredutíveis do grupo Sn.

E. Diagrama de Young

Os subespaços invariantes do grupo Sn são classificados atraves de Diagrama de Young.

Por exemplo, no caso de n = 2, existem 2 subespaços invariantes, simetrico e antisimetrico.

Representamos diagramaticamente estes subespaços por

a b

e

a

b

respectivamete. No primeiro diagrama, as caixas horizontais representam que os índices den-

tro das caixas são simetricos, no entanto, no segundo diagrama, as caixas verticais indicam

que os índices são antisimetricos. Para n = 3, analogamente o diagrama

19

a b c

representa os índices são simetricos em relação a todas as permutações. O vetor correspon-

dente nesta simetria seria,

|ψS >=1√6

∑Perm

|i(1)1 〉|i

(2)2 〉|i

(3)3 〉

onde a soma é feita sobre todas as permutações dos estados, i1, i2, i3. Por outro lado, odiagrama,

i1

i2

i3

representa os índices são antisimetrico em relação as permutações. O vetor correspondente

nesta simetria seria

|ψA >=1√6

∑Perm

(−1)P |i(1)1 〉|i

(2)2 〉|i

(3)3 〉

onde (−1)P é o sinal da permutação ( permuntação par= −1, permuntação ímpar= −1). No

caso n = 2, os dois subespaços invariantes do S2, simetrico e antisimetrico, esgotam o espaço

total. Mas, para n > 2, existem subespaços invariantes, não completamente simetricos nem

antisimetricos. Por exemplo, podemos verificar pelo cálculo direto, os dois vetores,

|ψ1〉 =|a〉(1)|b〉(2)|c〉(3) + |b〉(1)|a〉(2)|c〉(3)

− |c〉(1)|b〉(2)|a〉(3) − |c〉(1)|a〉(2)|b〉(3)

|ψ2〉 =|a〉(1)|b〉(2)|c〉(3) + |b〉(1)|a〉(2)|c〉(3)

− |a〉(1)|c〉(2)|b〉(3) − |b〉(1)|c〉(2)|a〉(3)

formam uma base (não ortogonal) para a representação do grupo S3 de dimensao 2 e são

linearmente independentes aos vetores, |ψS〉 e |ψA〉. Isto é, qualquer permutação aplicadonestes estados pode ser escrita como combinação linear destes. A inspeção destes veotres

mostra que eles tem simetria em relação a troca de a←→ b e antisimetrica para a troca de

a←→ c ou b←→ c. Podemos expressar simbolicamente a simetria destes dois estados por

a b

c.

20

Outro conjunto de vetores que linearmente independente aos |ψS〉, |ψA〉, |ψ1〉 e |ψ2〉 é com-posto de dois vetores tipo,

|ψ3 >=|a〉(1)|c〉(2)|b〉(3) + |c〉(1)|a〉(2)|b〉(3)

− |b〉(1)|c〉(2)|a〉(3) − |b〉(1)|a〉(2)|c〉(3)

|ψ4 >=|a〉(1)|c〉(2)|b〉(3) + |c〉(1)|a〉(2)|b〉(3)

− |a〉(1)|b〉(2)|c〉(3) − |c〉(1)|b〉(2)|a〉(3)

que também forma uma base não ortogonal para a representação do grupo S3. Podemos

expressar simbolicamente este conjunto por

a c

b

Em geral, os espaços invariantes do grupo Sn é representados através de diagrama de

Young,

a1 a2 · · · · · · · · · an1

b1 b2 · · · · · · bn2

...

z1 · · ·Fig. Diagrama de Young

onde o número de caixas de i−esima linha é denotado por ni satisfazendo

n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nl

No diagrama acima, as letras numa linha horizontal representam os índices simetricas e as

letras numa coluna vertical representam os índices antisimetricas. Para dada partição do

número n, n ≡n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nl corresponde um diagrama de Young e por sua vez

corresponde a um subespaço invariante do grupo Sn. A dimensão deste subespaço invariante

pode ser obrida pela maneira de preencher as caixas do diagrama pelos números 1, ..., n,satisfazendo as seguintes regras:

1. Números numa linha horizontal deve ser crescente de esquerda para direita.

21

2. Números numa coluna vertical deve ser crescente acima para baixo.

Por exemplo, para S4, temos diagramas,

, , , ,

Para o primeiro diagrama, existe só uma maneira de preencher as caixas pelos números

satisfazendo as regras acimas, i.e.,

1 2 3 4 ,

portanto para o segundo diagrama, temos 3 maneiras,

1 2 3

4,

1 2 4

3,

1 3 4

2.

Assim, a dimensão do subespaço invariante correspondente ao primeiro diagrama é um, no

entanto, do segundo, a dimensão é 3. É fácil de verificar que o diagrama

corresponde ao subespaço de dimensão 2,

Em geral, existe m subespaços que correspondem ao mesmo diagrama de Young de di-

mensão m.

F.

G. Bósons e Férmions

É estabelecido empiricamente que, as partículas existem na realidade, são classificadas

em termos de autovalores do operador P. Para uma dada espécie de partícula, o autovalor

de P é sempre manter mésmo. Por exemplo, para elétron, P = −1, e para fótons, P = +1.

Partículas que possuem autovalor de P positivo é chamado de Bósons e partículas que

possuem autovalor negativo é chamado de Férmions.

22

Um outro fato importante é que os bósons têm spin inteiro (0, 1, 2..) e fermions têm spin

semi-inteiro (1/2, 3/2, ..) . Esta relação entre spin e estatística não pode ser entendido dentro

do contexto da Mecânica Quântica não relativística, mas num formalismo de teoria quântica

de campos relativístico, podemos mostrar a necessidade de tal relação. Abaixo, mostramos

spin de alguns partículas elementares.

Férimons de Spin 1/2 leptons (elétrons, neutrinos, muons, etc. que não interage forte-

mente), quarks e suas antipartículas.

Bósons de spin 1 Fótons, Bósons Fracos (W, Z) e gluons

Bósons de spin 2 Graviton (ainda não é detetado)

A relação entre spin e estatística vale também para um sistema composto. Por exemplo,

o proton é composto de 3 quarks e gluons. Assim, o spin do proton é semi-inteiro (1/2 no

estado fundamental) e, portanto, é um férmion. O méson π é um estado composto de quark

e antiquark e gluons. Assim, π tem spin inteiro (no estado fundamental 0) e, portanto, um

bóson. O núcleo de 4He é composto de 2 prótons e 2 neutrons, tendo spin inteiro (no estado

fundamental 0) e é bóson, no entanto, 3He é um férmion.

Para um sistema composto, na verdade o spin do sistema é o momento angular do sistema

e, portanto, a soma de momento angular orbital e a soma de spins de cada constituintes.

H. Sistema de N partículas

Podemos extender o argumento para os estados de um sistema composto de mais de

2 partículas idênticas. Podemos mostrar que somente 2 possibilidades para um sistema

composto de N parttículas. Para o estado onde tem uma partícula no estado α1, outra no

α2 e por diante, o vetor de estado fica

|ΨS α1, α2, . . . , αN〉 =1√N !

∑P

|ϕα1〉 ⊗ |ϕα2〉 ⊗ · · · ⊗ |ϕαN 〉, (49)

ou

|ΨA α1, α2, . . . , αN〉 =1√N !

∑P

(−1)P |ϕα1〉 ⊗ |ϕα2〉 ⊗ · · · ⊗ |ϕαN 〉, (50)

onde o somatório∑

P representa a soma sobre todas as pertumutações de indices α =

α1, α2, . . . , αN e (−1)P é a paridade da permutação P. Para um sistema de N bósons

23

idênticos, o estado do sistema é descrito pelo |ΨS〉 (S para simétrico) e para um sistema de

N fermions idênticos, o estado do sistema é descrito pelo |ΨA〉 (A para anti-simétrico). Osestados de uma partícula |ϕα1〉 são chamados como estados de partículas simples.

I. Princípio de Exclusão de Pauli e Determinante de Slater

Uma conseguência direta da afirmação acima é que, para um sistema de fermions, se

alguns de índices de estados coincidem, o vetor de estado |ΨA α1, α2, . . . , αN〉 se tornanulo. Ou seja, não há estado do sistema composto que contém mais de uma partícula no

mesmo estado. Esse resultado é nada mais que o Princípio de Exclusão de Pauli. Para o

sistema de bósons, não há esta limitação.

Para a função de onda, introduzindo a base de configuração,

|~r1〉 ⊗ |~r2〉 ⊗ · · · ⊗ |~rN 〉

temos

ΨSα (~r1 , ~r2 , ...~rN ) =

1√N !

∑P

ϕα1 (~r1)ϕα2 (~r2) · · ·ϕαN (~rN) , (51)

e

ΨAα (~r1 , ~r2 , ...~rN ) =

1√N !

∑P

(−1)P ϕα1 (~r1)ϕα2 (~r2) · · ·ϕαN (~rN) . (52)

Note que a função de onda, Eq.(52) pode ser escrita na forma de um determinante (deter-

minante de Slater),

ΨSα (~r1 , ~r2 , ...~rN ) =

1√N !

det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕα1 (~r1) ϕα2 (~r1) · · · ϕαN (~r1)

ϕα1 (~r2) ϕαN (~r2)...

...

ϕα1 (~rN) ϕαN (~rN)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (53)

Note que um estado geral é uma combinação linear desses estados,

ΨS,A (~r1 , ~r2 , ...~rN ) =∑α

CαΨSα (~r1 , ~r2 , ...~rN )

onde a somatória tem que ser feita sobre as configurações, α = α1, α2, . . . , αN .

24

II. REPRESENTAÇÃO DE OCUPAÇÃO E ESPAÇO DE FOCK

Um estado de sistema de partículas idênticas, seja bósons ou seja fermions, é especificado

completamente quando sabemos quais estados α1, α2, . . . , αN estão ocupados. Assim,

podemos considerar uma representação de estado em termos de número de partículas que

ocupam os estados. Por exemplo, um estado de 3 bosons, tipo

|ΨS α1, α2, α1〉 (54)

pode ser escrito também como

|ΨS nα1 = 2, nα2 = 1〉 (55)

já que a ordem de α′s na Eq.(54) é irrelevante, ou seja, |ΨS α1, α2, α1〉 =

|ΨS α1, α1, α2〉 = |ΨS α2, α1, α1〉, etc.Por outro lado, especificar toda hora quais são os estados ocupados é inconveniente. Para

isto, podemos extender a representação para todos os estados α′s como

|n1 , n2, n3, .., ni, ...〉 (56)

onde os índices 1, 2, .. indicam estados ordenadas de acordo com certa régra (em geral a

ordem da energia) e n′is podem ser zeros. Por exemplo, um estado de sistema de 3 bosons,

que tem 2 partículas no terceira estado e um no quinto estado é expresso por

|0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, .., 0, ...〉.

Um sistema de N bósons então pode ser representado na forma Eq.(56) com∑i

ni = N. (57)

Chamamos essa representação como a representação de numero de ocupação de partículas

simples. Para um sistema de fermions, também podemos expressar como

|n1 , n2, n3, .., ni, ...〉 (58)

só que neste caso, ni assume somente o valor 0 ou 1, devido ao Princípio de Exclusão de

Pauli.

25

Quando envolve processos que criação de partículas ou absorção de partículas, o número

de partícula N não necessariamente mantido. Desta forma, podemos generalizar N para

qualquer número, ou seja despensar Eq.(57). O espaço formado de conjunto de vetores,

Eq.(56) para bósons, e Eq.(58) para férmions, para qualquer N é dito o espaço de Fock.

Naturalmente o espaço de Hilbert de partículas com número total de partícula fixo é um

subespaço de espaço de Fock.

III. EXEMPLO: GASES IDEAIS QUÂNTICOS

Segundo a Mecânica Estatística, a propriedade termodinâmica de um sistema em equi-

líbrio com temperatura T e potencial químico µ confinado num volume V é calculada a

partir de uma quantidade,

Z = Z(V, T, µ) =∑α

e−(Eα−µNα)/kT , (59)

onde k é a contante de Boltzmann. Esta funcão é conhecida como função de partição para

ensemble gran canonico, onde o somatório tem que ser feito sobre todos os estados do sistema,

α, e Eα e Nα são a energia e o número de partícula do sistema para o estado α. O chave é

que a probabilidade de encontrar o sistema exatamente no mícroestado α é dada por

pα =1

Ze−(Eα−µNα)/kT . (60)

Um estado quântico α é especificado em termos de número de ocupação de partículas

simples. Isto é,

α = n1 , n2, n3, .., ni, ...

e

Nα =∑i

ni, (61)

Eα =∑i

εi ni, (62)

onde εi é a energia de partícula simples no i-esmo estado.

Somar sobre todos os α implica somar em todas as possibilidades de ocupações,

26

n1 , n2, n3, .., ni, ... , e portanto, ∑α

=∑n1

∑n2

· · ·∑ni

· · ·

=∏i

(∑n1

)(63)

Quando sabemos explicitamente a função de partição em termos de µ and T , podemos

calcular as quantidades termodinamicas como:

E = − ∂ lnZ

∂β

∣∣∣∣µβ

, (64)

N =1

β

∂ lnZ

∂µ

∣∣∣∣β

, (65)

S =1

T(E − µN) + k lnZ. (66)

onde E é a energia, N o número de partículas, S a entropia do sistema. Note que a derivada

parcial na Eq.(64) deve ser feita fixando a quantidade λ = µβ.

Comparando Eq.(66) com a relação termodinâmica,

S =1

TE − µ

TN +

1

TPV, (67)

podemos identificar1

βlnZ = PV, (68)

que chamamos o potencial termodinâmico para o ensemble gran canonico.

A. Gás de Fermi Ideal

Vamos calcular a função de partição explicitamente para um sistema de férmions não

interagentes (partículas livres), ou seja gás ideal de fermions. Para fermions, vale o Princípio

de exclusão de Pauli, Fermi gas, e os números de ocupação, ni para cada estado i assumem

27

apenas 0 ou 1. Assim, podemos calcular,

Z (V, β, µ) =∑α

e−β(Eα−µNα)

=∑n1

∑n2

∑n3

· · ·∑ni

· · · exp

−β∑i

ni (εi − µ)

=∏i

∑ni=0,1

e−βni(εi−µ)

=∏i

1 + e−β(εi−µ)

= exp

∑i

ln[1 + e−β(εi−µ)

]. (69)

No caso de um gás ideal, o estado de partícula simples pode ser identificado como uma onda

plana com número de onda ~k, podemos substituir o somatório sobre i por uma integral em

~k no limite termodinâmico, ∑i

→ gV

(2π~)3

∫d3k ,

onde g é o fator estatistico, que conta os graus de liberdade de spin da partícula. For a spin

1/2 particle, this factor is 2.

Para simplicidade, a partir de agora, utilizamos o sistema de unidade em que ~ = c = 1.

Temos

lnZ (V, T, µ) =gV

(2π)3

∫d3k ln

[1 + e−β(εk−µ)

], (70)

onde εk é a energia da partícula com momento ~k.

A energia total do sistema fica

E = − ∂

∂βlnZ (V, T, µ)

∣∣∣∣βµ

=gV

(2π)3

∫d3k

εk e−β(εk−µ)

1 + e−β(εk−µ)

=gV

(2π)3

∫d3k

εkeβ(εk−µ) + 1

(71)

e o número total de partículas fica

N =1

β

∂

∂µlnZ (V, T, µ)

∣∣∣∣β

=gV

(2π)3

∫d3k

1

eβ(εk−µ) + 1. (72)

28

As expressões acima, Eqs.(71) e (72) indicam que o número de occupação do nível de energia

εk do um gás ideal de fermion é dada por

f (εk) =1

eβ(εk−µ) + 1. (73)

Essa distribuição é conhecido como a função de distribuição de Fermi. A pressão pode ser

calculada como

P =g

(2π)3

1

β

∫d3k ln

[1 + e−β(εk−µ)

]. (74)

Finalmente, a entropia do sistema é dada por

TS = E − µN + PV.

B. Gás Ideal de Bosons

Para bosons, a soma sobre estados difere do caso de fermion. Não há restrição sobre os

números de ocupação ni de estados de partícula simples, temos que somar sobre todos os

números inteiros não negativos. Temos

Z (V, β, µ) =∑α

e−β(Eα−µNα)

=∑n1

∑n2

∑n3

· · ·∑ni

· · · exp

−β∑i

ni (εi − µ)

=∏i

∞∑ni=0

e−βni(εi−µ)

=∏i

1

1− e−β(εi−µ)

= exp

−∑i

ln[1− e−β(εi−µ)

], (75)

onde assumimos

εi − µ > 0. (76)

Essa condição é necessária para que a soma converge. Introduzindo novamente a integral

sobre estados de ondas planas, temos

lnZ (V, T, µ) = − gV

(2π)3

∫d3k ln

[1− e−β(εk−µ)

]. (77)

29

Na forma análoga no caso de fermions, temos expressões para a energia, o número de par-

ticulas, e a pressão como

E =gV

(2π)3

∫d3k

εkeβ(εk−µ) − 1

, (78)

N =gV

(2π)3

∫d3k

1

eβ(εk−µ) − 1. (79)

e

P = − g

(2π)3

1

β

∫d3k ln

[1− e−β(εk−µ)

]. (80)

A entropia é dada novamente

TS = E − µN + PV. (81)

No caso de bósons, o número de ocupação do nível de energia εk do estado de partícula

simples fica

f (εk) =1

eβ(εk−µ) − 1. (82)

Note que temos que ter εk > µ para todo k, então,

ε0 > µ (83)

onde ε0 é a menor energia de partícula simples.

C. Gás Ideal Relativístico

As expressões acima valem mesmo para um gás relativístico.

εk =√k2 +m2, (84)

onde m é a massa da particula. Expressões para a densidade de número de partículas n, a

densidade de energia, e a pressão P ficam escritas na forma de integral,

n =g

2π2

∫ ∞0

dk k2 1

eβ(√k2+m2−µ) ± 1

, (85)

ε =g

2π2

∫ ∞0

dk k2

√k2 +m2

eβ(√k2+m2−µ) ± 1

, (86)

P = ± g

2π2

1

β

∫ ∞0

dk k2 ln[1± e−β(

√k2+m2−µ)

], (87)

onde os sinais ± correspondem, respectivamente para o caso de férmions e bósons. Em

certas situações, estas integrais podem ser avaliadas analiticamente.

30

IV. SEGUNDA QUANTIZAÇÃO

A. Caso de Bósons

Foi dito que a noção de espaço de Fock é fundamental para tratar processos que envolvem

produção e absorção de partículas, tais como o efeito fotoelétrico ou emissão de fótons pela

transição eletromagnética de partículas carregadas. Mas mesmo para os problemas com o

número total de partícula N fixo, o espaço de Fock oferece uma forma sistemática de tratar

a dinâmica quântica de um sistema de N corpos. Na representação de estado quântico em

termos de espaço de Fock, os estados são especificados em termos de números de ocupação

dos estados. Assim, uma mudânça de estados pode ser feito pela mudânça de números de

ocupação.

1. Operadores de criação e aniquilação

Por exemplo, no espaço de Fock, podemos introduzir um operador ai que elimina uma

partícula no estado i. Inversamente, podemos introduzir o operador a+ que cria uma

partícula no estado i. Então, o operador

a+j ai

elimina uma partícula no estado i e em seguida cria uma partícula no estado j. O efeito

deste operador para um estado no espaço de Fock

|n1 , n2, n3, .., ni, ...〉

fica

a+j ai|n1 , n2, n3, .., ni, ., nj, ..〉 = K|n1 , n2, n3, .., ni − 1, ., nj + 1, ..〉,

onde K é um constante que pode depender de ni e nj. Assim, o operador a+j ai representa a

transição de uma partícula do estado i para o estado j para um sistema de N corpos.

No tratamento de um oscilador hârmonicos, já vimos os operadores que cria e elimina

quântum de osciladores. Podemos aproveitar a estrutura matemática que aprendemos la.

Vamos então introduzir operadores

a1, a2, ...

31

e seu conjugado hermitiano, a†1, a

†2, ...

,

satisfazendo as seguintes régras de comutação,[ai, a

†j

]= δij, (88)

e introduzimos os operadores de número de partícula Ni para cada estado i por

Ni = aia†i . (89)

Podemos mostrar que os comutadores

[Ni, aj] = −aiδij,[Ni, a

†j

]= a†iδij.

e os autovalores de Ni são inteiros não negativos.

Sejam n1, n2, ..., ni, ... autovalores de N ′is. Ou seja, idenficamos o estado de Fock,

|n1, n2, ..., ni, ...〉

como o autoestado de N ′is,

Ni|n1, n2, ..., ni, ...〉 = ni|n1, n2, ..., ni, ...〉, ∀i.

Supomos que o estado de Fock é normalizado,

〈n′1, n′2, ..., n′i, ...|n1, n2, ..., ni, ...〉 = δn′1n1δn′2n2

· · · δn′ini · · · .

Com isto, podemos mostrar que

ai|n1, n2, ..., ni, ...〉 =√ni|n1, n2, ..., ni − 1, ...〉,

a†i |n1, n2, ..., ni, ...〉 =√ni + 1|n1, n2, ..., ni + 1, ...〉

e

|n1, n2, ..., ni, ...〉 =∏i

1√ni!

(a†i

)ni|0, 0, 0, 0, ...., 0, ...〉

32

B. Operadores Gerais no Espaço de Fock

1. Operador de 1 corpo (partícula simples)

Queremos representar operadores correspondente a observáveis em termos de operadores

de criação e aniquilação acima introduzidos. Inicialmente consideramos o operador de

partículas simples.

Um operador partícula simples (por exemplo, a energia cinética) de uma partícula tem a

forma no espaço de Hilbert de partícula simples,

T (1) =∑i

∑j

|i〉〈i|T (1)|j〉〈j|, (90)

onde o superscript (1) significa que esse é um operador de partícula simles. Para um estado

de N partículas, o operador do sistema seria a soma deste operador para cada partícula.

Assim, na representação de produto direto,

|ΨS α1, α2, . . . , αN〉 =1√N !

∑P

|ϕα1〉 ⊗ |ϕα2〉 ⊗ · · · ⊗ |ϕαN 〉,

o vaor esperado deste operador deve ser

〈ΨS α1, α2, . . . , αN | T |ΨS α1, α2, . . . , αN〉 =N∑l=1

〈ϕαl |T (1)|ϕαl〉

=∑i

ni 〈i|T (1)|i〉 (91)

pois a quantidade T para o sistema de N partículas é dada como a soma de conttibuição de

cada uma das partículas.

O operador

|i〉〈j|

na Eq.(90) faz o papel de transforma um es-

tado |j〉 em estado |i〉, e para qualquer outro estado ortogonal a |j〉, resulta em vetor nulo.

Desta forma, podemos considerar o operador correspondente no espaço de Fock, como

|i〉〈j| → a†iaj.

O operador correspondente a Eq.(90) será

T =∑i

∑j

〈i|T (1)|j〉a†iaj

33

Queremos verificar a Eq.(91). Para isto,

〈n1, n2, ..., ni, ...|T |n1, n2, ..., ni, ...〉 =∑i,j

〈i|T (1)|j〉〈n1, n2, ..., ni, ...|a†iaj|n1, n2, ..., ni, ...〉

=∑i,j

〈i|T (1)|j〉 (ai|n1, n2, ..., ni, ...〉, aj|n1, n2, ..., ni, ...〉)

=∑i,j

〈i|T (1)|j〉√ninj〈n1, n2, ..., ni − 1, ...|n1, n2, ..., nj − 1, ...〉

=∑i,j

〈i|T (1)|j〉√ninjδij

=∑i

ni〈i|T (1)|i〉

o que verifica a Eq.(91).

2. Operadores de 2 corpos

O operador de dois corpos atua no estado, alterando estados de duas partículas simul-

taneamente. Um exemplo como este é o potencial entre dois corpos. O operador de 2 corpos

no espaçco de Hilbert de duas partículas pode ter escrito na forma

V (2) =

(∑i

|i〉〈i|)⊗(∑

j

|j〉〈j|)V (2)

(∑l

|l〉〈l|)⊗(∑

m

|m〉〈m|)

para partículas não idênticas. Para as partículas idênticas, em particular no caso de bósons,

temos que utilizar a completeza no espaço de Hilbert simmetrizado. A completeza para um

espaço de dois corpos simétricos fica

1(2)S =

1

2

∑(i,j)

(|i〉 ⊗ |j〉+ |j〉 ⊗ |i〉) (〈i| ⊗ 〈j|+ 〈j| ⊗ 〈i|)

onde 1(2)S significa o operador de identidade no espaço de Hilbert de duas bósons idênticos e

o somatório é feito sobre os pares de (i, j). Assim, o operador de dois corpos deve ser escrito

34

como

V (2) =1

2

∑(i,j)

(|i〉 ⊗ |j〉+ |j〉 ⊗ |i〉) (〈i| ⊗ 〈j|+ 〈j| ⊗ 〈i|)V (2) 1

2

∑(l,m)

(|l〉 ⊗ |m〉+ |m〉 ⊗ |l〉) (〈l| ⊗ 〈m|+ 〈m| ⊗ 〈l|)

=

(1

2

)2∑(i,j)

∑(l,m)

(|i〉 ⊗ |j〉+ |j〉 ⊗ |i〉)

〈ij|V (2)|lm〉+ 〈ij|V (2)|ml〉+ 〈ji|V (2)|lm〉+ 〈ji|V (2)|ml〉

(〈l| ⊗ 〈m|+ 〈m| ⊗ 〈l|)

=1

2

∑i,j

∑l,m

|Ψ(2)S (i, j)〉〈ij|V (2)|lm〉〈Ψ(2)

S (l,m) |, (92)

onde o elemento de matriz, 〈ij|V (2)|lm〉 é definido como

〈ij|V (2)|lm〉 =(|i〉 ⊗ |j〉, V (2)|l〉 ⊗ |m〉

),

e agora, os somatórios são feitos sobre todos os indices e não sobre pares. Para simplificar,

introduzimos também a notação

|Ψ(2)S (i, j)〉 =

1√2|i〉 ⊗ |j〉+ |j〉 ⊗ |i〉

para o estado simétrico de duas partículas, uma no estado de i e outro no j.

A expressão Eq.(92) mostra que o funcionamento de um operador de dois corpos é

transformar um estado simético de duas particulas |Ψ(2)S (l,m)〉 em outro estado simétrico,

|Ψ(2)S (i, j)〉. Fazendo analogia com o caso de operador de partícula simples, podemos concluir

que a representação de um operador de dois corpo no espaço de Fock deve ser

V =1

2

∑i,j

∑l,m

〈ij|V (2)|lm〉a†ia†jalam.

3. Operador de Campo

Como mencionamos, os estados de partículas simples, |i〉 formam uma base ortonormaldo espaço Hilbert de uma partícula. Ou seja, os oeradores de criação e aniquilação são

representados em termos desta base. Para descrição de estado de uma partícula, podemos

considerar a representação de coordenadas, |~r〉 . Assim, podemos também considerar os

operadores de criação e aniquilação na representação de coordenadas.

35

Para isto, vamos definir um operador,

ψ (~r) =∑i

ϕαi (~r) ai

onde

ϕαi (~r) = 〈~r|i〉

é a função de onda do estado i. Temos as propriedade de ortonormal e completeza,∫ϕ∗αi (~r)ϕαj (~r) d3~r = δij,∑i

ϕαi (~r)ϕ∗αi (~r′) = δ3 (~r − ~r′) .

Usando a relação de ortonormaldade, podemos inverter a relação entre ψ (~r) e ai,

ai =

∫ϕ∗αi (~r)ψ (~r) d3~r.

O conjugado hermitiano de ψ (~r) é

ψ† (~r) =∑i

ϕ∗αi (~r) a†i .

A relação de comutação entre dois operadores com posição diferente,[ψ (~r) , ψ† (~r′)

]=∑i

∑j

ϕαi (~r)ϕ∗αj (~r)[ai, a

†i

]=∑i

∑j

ϕαi (~r)ϕ∗αj (~r′) δij

=∑i

ϕαi (~r)ϕ∗αi (~r′)

= δ3 (~r − ~r′) (93)

O operador de número de partícula do sistema,

N =∑i

a†iai

pode ser expesso em termos de ψ (~r) . Temos

N =∑i

∫ϕαi (~r)ψ† (~r) d3~r

∫ϕ∗αi (~r′)ψ (~r′) d3~r′

=

∫ ∫ ∑i

ϕαi (~r)ϕ∗αi (~r′)ψ† (~r)ψ (~r′) d3~rd3~r′

=

∫ ∫δ (~r − ~r′)ψ† (~r)ψ (~r′) d3~rd3~r′

=

∫ψ† (~r)ψ (~r) d3~r

36

As regras de comutação com N e ψ (~r) e ψ† (~r) fica

[N,ψ (~r)] = −ψ (~r) ,[N,ψ† (~r)

]= ψ† (~r) .

Com isto, podemos concluir que o operador de campo, ψ (~r) aniquila uma partícula no ponto

~r, e ψ† (~r) cria uma partícula no ponto ~r.

C. Segunda Quantização

O procedimento de introdução de operadores de criação e aniquilação no espaço de Fock

acima é feito para formular problemas de muitos corpos na forma sistemática. Entretanto, o

método está diretamente relacionado com a quântização de uma teoria quântica de campo.

Consideramos um problema de formular a equação de Schrödinger do ponto de vista

de Princípio Variacional de teoria clássica de campos. Considerando um campo escalar

complexo, ψ (~r, t) e a ação

I =

∫dt

∫d3~r i~ψ∗∂tψ − ψ∗Hψ (94)

onde H é o operador de Hamiltoniano de uma equação de Schrödinger,

H = − ~2

2m∇2 + V (~r) .

Considerando ψ (~r, t) e ψ∗ (~r, t) como duas varáveis independentes, temos

δI =

∫dt

∫d3~r [i~∂tψ −Hψ δψ∗ + −i~∂tψ∗ −Hψ∗ δψ]

onde no segundo termo, foi utilizada a integral por partes e hermiticidade do operador H.

Assim, δI = 0 para ∀δψ, δψ∗ implica em

i~∂tψ = Hψ,

e

−i~∂tψ∗ = Hψ∗.

As ambas equações são nada mais que a equação de Scrödinger usual. Assim, podemos

considerar

L = i~ψ∗∂tψ − ψ∗Hψ (95)

37

é a densidade de Lagrangiana para um sistema de campo ψ que satisfaz a equação de

Schrödinger. Seguindo o procedimento usual, então o momento canonicamente conjugado,

π à variável ψ no ponto ~r é dado por

π (~r, t) =∂L∂ψ

= i~ψ∗ (~r, t) . (96)

Resumindo, esquecendo sua origem, a equação de Schrödinger pode ser considerado um

sistema de campo clássico com a densidade de Lagrangiana Eq(95) com o momento canoni-

camente conjugado, obdescendo o procedimento usual da mecânica clássica de campo.

Agora, o que acontece se esse campo clássica seja quantizado? Ou seja, a amplitude do

campo ψ no ponto ~r não é mais númmero mas é um operador, sendo que os autovalores

deste operador tem papel de valor observado para o ampitude?

Neste caso, podemos seguir o procedimento natural de quantização, ou seja, introduzir

a régra de comutação canônica entre o operadores de ψ e seu momento canonicamente

conjugado, π. Considerando todos os pontos distintos são independentes, temos (o tempo t

tem que ser comun),

[ψ (~r, t) , π (~r′, t)] = i~δ3 (~r − ~r′) . (97)

Utilizando Eq.(96), vemos que essa condição de quântização canônica fica nada mais que a

Eq.(93).

Resumindo, o sistema descrito por um campo clássico obdescendo sua equação de movi-

mento, quando quântizar, fica equivalente a sistema de muitos corpos idênticos, cujo função

de onda de cada uma dela é descrita pelo campo clássico, e a equação de Schrödinger para

partícula simples pode ser vista como a equação de movimento do campo clássico. Esse é

razão que o método de espaço de Fock com operadores de criação e aniquilação é referido

como 2nda quantização do sistema.

D. Caso de Fermion

O conjunto de operadoresai, a

†i

que satisfazem a regra de comutação Eq.(88) com a

definição de operadores de número de partículas, Eq.(89) são aplicaveis somente para bósons,

pois autovalores de Ni são inteiros não negativos sem restrição. Para fermions, temos que

ter um conjunto de operadores onde o número de partícula possui autovalores 0 e 1, apenas.

38

Para ter tal propriedade, o operador de número de partícula Ni tem que satisfazer

N2i = Ni.

Por outro lado, queremos escrever

Ni = b†ibi.

Para satisfazer as propriedades, podemos impor a seguinte regra de anti-comutação,bi, b

†j

+

= δij, (98)

bi, bj+ = 0, (99)b†i , b

†j

+

= 0, (100)

onde A,B+ ≡ AB + BA é chamado anti-comutador. De fato, da Eq.(98), podemos

escrever

N2i = b†ibib

†ibi

= b†i

[1− b†ibi

]bi

= Ni − b†ib†ibibi

Mas da Eq.(99) ou da Eq.(100), bibi = b†ib†i = 0. Assim, temos

N2i = Ni

o que guarante os autovalores de Ni são ou 1 ou 0.

Podemos calcular o comutador de Ni e bj. Temos

[Ni, bj] = −biδij,[Ni, b

†j

]= b†iδij.

Seja

|n1, n2, . . . , ni, ...〉

o autoestado de operadores N1, N2, ..., Ni, .... . Temos ni = 0 ou ni = 1 para todos i.

Podemos mostrar que

bi|n1, n2, . . . , ni, ...〉 = 0, se ni = 0,

bi|n1, n2, . . . , ni, ...〉 = |n1, n2, . . . , 0, ...〉, se ni = 1,

39

e

b†i |n1, n2, . . . , ni, ...〉 = 0, se ni = 1,

b†i |n1, n2, . . . , ni, ...〉 = |n1, n2, . . . , 1, ...〉, se ni = 0,

Assim, podemos concluir que, de fato, bi e b†i são operadores de aniquilação e criação de

partíucla (ferminon) no estado i.

E. Aplicações do Método de Segunda Quantização

1. Aproximação de Hartree-Fock - Noção de campo médio

Vamos considerar o sistema de Z elétrons de um átomo com o núcleo de número atómico

Z. Como a massa do núcleo é bemmaior que as massas de elétrons, podemos desprezar, numa

boa aproximação, o movimento do núcleo quando trata a estrutura do átomo. Tomando a

origem de coordenadas na posição do núcleo, o Hamiltoniano do sistema de Z elétrons na

forma de 1a quantização,

H =Z∑i=1

Ti −Z∑i=1

e2Z

ri+e2

2

∑i 6=j

1

|~ri − ~rj|

onde Ti é a energia cinética de i esma partícula, e ~ri sua posição. O primeiro termo é a

energina cinética, o segundo termo a energia Coulobmiana entre elétrons e núclio, e o último

temo, a energia Coulombinano entre elétrons.

O Hamiltoniano no espaço de Fock, ou seja, na forma de segunda quantização, fica

H = H0 +e2

2

∫d3~r1

∫d3~r2ψ

† (~r2)ψ† (~r1)1

|~r1 − ~r2|ψ (~r1)ψ (~r2) ,

onde

H0 =

∫d3~rψ† (~r)

(− ~

2

2m∇2 − e2Z

r

)ψ (~r)

é a parte do Hamiltoniano que envolve apenas o operador de partículas simples. Aqui,

queremos determinar o estado fundamental do sistema de Z elétrons, e obter o valor da

energia, e restringimos a discussão para os estados estacionários. Desta forma, todas as

quantidades não depende do tempo t.

A presença de termo de interação entre elétrons implica que os elétrons não se comportam

independentemente, e existem correlações entre eles. Ou seja, o vetor de estado do sistema

40

não pode ser escrito como apenas um produto direto de estados de cada partículas. Para

incluir as correlações no estado não é trivial.

Por outro lado, o fato experimental demostra que uma imagem de partículas simples fun-

ciona bastante bem quando trata de transição de um elétron de uma camada para outra. Isto

não somente ocorre para os fenômenos atômicos, mas também ocorrem na Fisica Nuclear,

onde a Hamiltoniano para nucleons (prótons e neutrons) tem a forma

H = H0 +1

2

∫d3~r1

∫d3~r2ψ

† (~r2)ψ† (~r1)V (|~r1 − ~r2|)ψ (~r1)ψ (~r2) ,

onde agora

H0 =

∫d3~rψ† (~r)

(− ~

2

2m∇2

)ψ (~r)

e V (|~r1 − ~r2|) é o potencial de força nuclear entre dois nucleons. O sucesso de modelo

de camada proposto em 1949 para a descrição de espectro nuclear foi uma surpresa, pois

diferentemente no cso atomico, no caso nuclear, sabemos que não existe a força central. O

comportamento de nucleons num núcleo mostra que eles sentem um campo comun e atuam

como se fosse independente dos outros.

A idéia básica é introduzir a noção de campo médio. Escrevendo o Hamiltoniano do

sistema como

H = H0 + V (2),

onde V (2) representa o termo de interações de 2 corpos, podemos introduzir um potencial

de 1 corpo U,

H = H0 + U + (V (2) − U),

de tal forma que minimizar o efeito de interação residual, (V (2) − U). Por enquanto, não

sabemos como escolher U. Mas, podemos proceguir de seguinte forma.

A parte de um corpo,

H(1) = H0 + U

pode ser escrita como

H(1) =

∫d3~r

∫d3~r′ ψ† (~r′)

(δ3 (~r′ − ~r)

[− ~

2

2m∇2 + Vc (~r)

]+ U (1) (~r′, ~r)

)ψ (~r) ,

onde Vc (~r) é o potencial Coulombiano do núcleo, e U (1) (~r′, ~r) é o potencial de um corpo, e

consideramos a possibilidade de que isto não seja necessariamente um potencial local.

41

Agora, suponhamos que temos os autoestados completos do operador de um corpo,(− ~

2

2m∇2 + VC

)φα (~r) +

∫d3~r′ U (1) (~r, ~r′)φα (~r′) = εαφα (~r) . (101)

O conjunto, φα (~r) forma uma base para o espaço de Hilbert de uma partícula. Portanto,podemos expressar qualquer função de ~r em termos desta base. Portanto, o campo ψ (~r)

pode ser escrito como

ψ (~r) =∑α

aαφα (~r) ,

onde os coeficientes aα são agora operadores de aniquilação, satisfazendo,[aα, a

†β

]+

= δαβ,

[aα, aβ]+ = 0,[a†α, a

†β

]+

= 0.

2. Método Variacional

Para determinar quais são essas funções φα (~r) e ao mesmo tempo, o potencial decampo médio, vamos utilizar o método variacional. Para isto, primeira supomos que o

estado fundamental do sistema é descrito como o estado de energia menor possível nesta

base. O estado de menor energia pode ser obtido, ocupando os primeiros Z estados de

energia εα. Na representação de Fock, teremos

|Ψ(0)GS〉 = |1, 1, ..., 1

Z, 0, 0, ..., 0, ...〉

=

Z∏α=1

a†α|0〉

onde os estados de ocupação são ordenados em ordem crescente das energias εα e

|0〉 = |0, 0, ..., 0, ..., 0, ...〉

é o vácuo dos estados φα . Naturalmente, esse estado depende da escolhe da base φα (~r) ,ou seja um funcional de φα (~r) .Consequentemente, o valor esperado da energia total,

〈E〉 = 〈Ψ(0)GS|H|Ψ

(0)GS〉

é um funcional de φα (~r) ,〈E〉 = E [φα (~r)] . (102)

42

Podemos determinar as funções φα (~r) como sendo o ponto mínimo no espaço de funçõesvia procedimento variacional,

δφα 〈E〉 = 0.

Para executar o programa acima, devemos explicitar a forma funcional Eq.(102). Es-

crevemos o Hamiltoniano na forma,

H =∑α,β

hαβa†αaβ +

1

2

∑α,β,µ,ν

a†αa†βaµaν uβαµν ,

onde

hαβ =

∫d3~rφ†α (~r)

(− ~

2

2m∇2 − e2Z

r

)φβ (~r) ,

uβαµν =1

2

∫d3~r1

∫d3~r2φ

†β (~r2)φ†α (~r1)V (|~r1 − ~r2|)φµ (~r1)φν (~r2) .

Podemos verificar fácilmente que no termo, a somatário 〈Ψ(0)GS|∑

α,β hαβa†αaβ|Ψ

(0)GS〉, somente

contribui quando α = β. Portanto,

〈Ψ(0)GS|∑α,β

hαβa†αaβ|Ψ

(0)GS〉 =

∑α

a†αaαhαα

=Z∑α=1

hαα (103)

Por outro lado, no termo da somatório,

〈Ψ(0)GS|

∑α,β,µ,ν

a†αa†βaµaν uβαµν |Ψ

(0)GS〉

só tem contribuição quano [α = µ, β = ν] ou [α = ν, β = µ] . Então,

〈Ψ(0)GS|

∑α,β,µ,ν

a†αa†βaµaν uβαµν |Ψ

(0)GS〉 = 〈Ψ(0)

GS|∑α,β

a†αa†βaαaβ uβααβ|Ψ

(0)GS〉

+ 〈Ψ(0)GS|∑α,β

a†αa†βaβaα uβαβα|Ψ

(0)GS〉

=∑α,β

〈Ψ(0)GS|a†αa

†βaαaβ |Ψ

(0)GS〉 (uβααβ − uβαβα)

Usando a propriedade de anticomutação podemos calcular o termo 〈Ψ(0)GS|a†αa

†βaαaβ |Ψ

(0)GS〉

〈Ψ(0)GS|a†αa

†βaαaβ |Ψ

(0)GS〉 = 〈Ψ(0)

GS|a†α[δαβ − aαa†β

]aβ |Ψ(0)

GS〉

= 〈Ψ(0)GS|a†αaα

[δαβ − a†βaβ

]|Ψ(0)

GS〉

= 〈Ψ(0)GS|Nα [δαβ −Nβ] |Ψ(0)

GS〉

43

onde Nαé o operador de número de ocupação do estado α.Temos então

〈Ψ(0)GS|

∑α,β,µ,ν

a†αa†βaµaν uβαµν |Ψ

(0)GS〉 =

∑α,β

〈Ψ(0)GS|Nα [δαβ −Nβ] |Ψ(0)

GS〉 (uβααβ − uβαβα)

= −Z∑

α,β=1

(uβααβ − uβαβα) (104)

A expressão da valor esperado da energia do sistema então fica

〈E〉 =Z∑α=1

∫d3~rφ∗α (~r)

(− ~

2

2m∇2 − e2Z

r

)φα (~r)

+1

2

Z∑α,β=1

∫d3~r1

∫d3~r2φ

∗β (~r1)φ∗α (~r2)V (|~r1 − ~r2|)φβ (~r1)φα (~r2)

− 1

2

Z∑α,β=1

∫d3~r1

∫d3~r2φ

∗β (~r1)φ∗α (~r2)V (|~r1 − ~r2|)φα (~r1)φβ (~r2) (105)

Essa é a forma explicita da energia como funcional de conjunto de funções, φα (~r).Podemos então executar o programa de método variacional. Mas antes de calcular as vari-

ações em φα, lembramos que essas variações são sujeitas a condição de ortonormalidade,∫φ†α (~r)φβ (~r) = δαβ,

que impõe os vínculos para variaçoes. Assim, devemos utilizar o método de constante

multiplicadora de Lagrange,

δ

[〈E〉 −

∑α,β

λαβ

∫φ†α (~r)φβ (~r)

]= 0.

Considerando φα e seu conjugado complexo φ∗α como variáveis independentes, temos

δ 〈E〉 −∑

α,β λαβ∫φ†α (~r)φβ (~r)

δφ∗α (~r)=

(− ~

2

2m∇2 − e2Z

r

)φα (~r)

+

Z∑β=1

∫d3~r1φ

∗β (~r1)V (|~r − ~r1|)φβ (~r1) φα (~r)

−Z∑β=1

∫d3~r1φ

∗β (~r1)V (|~r1 − ~r|)φα (~r1) φβ (~r)

−∑β

λαβφβ (~r) .

44

Consequentemente a equação que determina o conjunto de φα que otimiza a energia totalé (

− ~2

2m∇2 − e2Z

r

)φα (~r) +

∫d3~rU (~r, ~r′) φα (~r′) =

∑β

λαβφβ (~r) ,

onde

U (~r, ~r′) =Z∑β=1

∫d3~r1φ

∗β (~r1)V (|~r − ~r1|)φβ (~r1) δ3 (~r − ~r′)−

Z∑β=1

φ∗β (~r′)V (~r − ~r′)φα (~r′) φβ (~r) .

(106)

Na verdade, podemos sempre introduzir uma transformação unitária entre a base φα detal forma que sem perder generalidade, a matriz λαβ fica diagonal. Então, as equaçõesacima fica (

− ~2

2m∇2 − e2Z

r

)φα (~r) +

∫d3~r′U (~r, ~r′) φα (~r′) = εαφα (~r) . (107)

Vemos que essa equação é exatamente a Eq.(101). A única coisa que deve tomar cuidado é

que o potencial de um corpo U acima depende de outros estados. Ou seja, a Eq.(106) deve

ser resolvido autoconsistentemente com o conjunto de Z estados,

φα (~r) , α = 1, ..., Z .

O potencial de um corpo, Eq.(106) pode ser diagramaticalmente expresso como

Vr r’

Vrr’

b b

a

a

a

a

O diagrama esquerdo mostra que a função de onda de uma partícula no estado φα (~r) recebe

o efeito de potencial V (~r − ~r′) de 2 corpos no ponto ~r, com todas as demais partículas nos

outros pontos em ~r′.O diagrama direito mostra que, devido a presença de correlação entre

duas partículas idênticas, surge um efeito não local.

A energia total do sistema é dada pela Eq.(105). Diagramaticamente, a contribuição da

energia potencial pode ser espressa como

45

V V

1

2

Note que a soma das energias de partículas simples da Eq.(107) é dada por

Z∑α=1

εα =

∫d~rφ†α (~r)

(− ~

2

2m∇2 − e2Z

r

)φα (~r) +

∫ ∫d3~rd3~r′φ†α (~r)U (~r, ~r′) φα (~r′)

não coincide com Eq.(105) (o fator 1/2 no potencial U).

46

Lista de Exercícios:

1. A partir de hipótese de que a probabilidade a priori de um mícro estado α é igual,

mostre que para um ensemble grand canonico, a probabilidade de ter um microestado

α para uma dada temperatura T e o potencial químico µ, Pα (T, µ) é dada por

Pα (T, µ) ∝ e−(Eα−µNα)/T ,

2. Recupere ~, c e k nas Eqs.(85,86,87)

3. Para um gás ideal de elétrons com T = 0, podemos ingegrar analiticamente as

Eqs.(85,86,87). Elimine o potencial químico µ e expresse ε e P como função de n.

4. Ainda para T = 0 de gás ideal de elétrons, demonstre que

P →

K1n5/3

K2n4/3

~ (3π2n)1/3 mc

~ (3π2n)1/3 mc

e determine K1 e K2.

5. Obtenha o valor de densidade em (1/cm3) para o qual a pressão de elétron se torna

relativística.

6. Um tipo de estrela, chamada anã branca, é considerada num estado de equilíbrio

hidrostatica entre a pressão de gás de elétrons degenerados e a pressão gravitacional.

Considerando uma anão como uma esfêra homogênea de atomos de Ca, demonstre

que existe um limite superir de massa do sistema que obter o equilíbrio hidrostatico.

Considere que a pressão gravitacional como

PGrav = −dEGravdV

,

onde

EGrav =3

5

GM2

R,

com M é a massa da estrela, R o raio. Calcule o valor da massa limite MChandra em

termos de massa de massa solar, M⊕ = 2× 1033g.

47

3.

F. Teoria de Campo Classica e Tensor de Energia e Momento

Consideramos um sistema de campo escalar φ(~r, t), cuja densidade de Lagrangeana é

dada por (~ = c = 1)

L =1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2(∇φ)2 − V (φ)

A ação é

I =

∫dt

∫d3~r

1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2(∇φ)2 − V (φ)

. (108)

Supormos que φ satisfaz a condição de contorno,

r |φ (~r, t)| , r |∇φ (~r, t)| → 0, para |~r| → ∞,

Exercícios: 1. A partir de princípio variacional, obtenha a equação de movimento para

φ (~r, t) .

2. A Lagrangeana do sistema é dada por

L =

∫d3~r

1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2(∇φ)2 − V (φ)

.

Definindo o momento canonicamente conjugado,

π ≡ δL

δφ=∂L∂φ

=∂φ

∂t,

podemos obter a Hamiltoniana,

H =

∫d3~r H

=

∫d3~r

π∂φ

∂t− L

.

Calcule a densidade de Hamiltoniana, H.

3. Consideramos uma mudança de sistema de coordenadas através de transformação

de Lorentz, t

~r

→ t′

~r′

= Λ

t

~r

(109)

48

onde Λ é uma matriz, satisfazendo

ΛTGΛ = G,

onde

G =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.

Demonstre que a equação de movimento para φ é covariante sobe a ransformação,

ou seja, a equação de movimento para φ em termos de novas variáveis, (t′, ~r′) tem

a mesma forma da equação em (t′, ~r′) .

4. Para simplificar a notação, escrevemos

x0 = t,

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z

ou

(xµ) =

t

~r

.

Escrevemos também

(xµ) = G

t

~r

=

t

−~r

. (110)

Nesta notação, temos

L =

∫d3~r

1

2

3∑µ=0

∂µφ∂µφ− V (φ)

,

onde

∂µ =∂

∂xµ,

∂µ =∂

∂xµ.

49

Ainda, segundo Einstein, abreveamos o simbolo de somatório∑3

µ=0 sempre que

existem dois índices repetidos, um como superscripto e outro como subscripto.

Assim, temos

L =

∫d3~r

1

2∂µφ∂µφ− V (φ)

.

A transformação de Lorentz, Eq.(109) também fica expressa como

xµ → xµ′ = Λµνx

ν . (111)

Na equação acima, existe a somatório em ν = 0, ..3. Mostre que a densidade de

Lagrangiana, L é uma escalar sob a transformação de Lorentz mas a LagrangianaL não é uma escalar.

5. Escrevemos

(gµν) = G.

Assim, a Eq.(110) pode ser expressa como

xµ = gµνxν ,

ou seja, a matriz (gµν) é utlizada para “abaixar”indice. Mostre isto vale para o

operador diferencial, isto é,

∂µ = gµν∂µ

6. Dentro das régras acima, mostre que é consistente escrever

Λ−! = (Λµν)T

tal que

ΛλµΛλ

ν = δµν

onde

(δµν) = I

é a matriz de identidade.

7. Mostre que a ação, Eq.(108) é invariante a transformação,

xµ → xµ′ = xµ + εµ

50

ou seja, a translação de sistema de coordenadas. Neste caso, demostre que

∂µTµν = 0,

onde

T µν ≡∂L∂φµ

φν − δµνL

com

φµ =∂φ

∂xµ.

8. Verifique que

T 00 = H

51

Lista 03

1. Consideramos 2 tipos de partículas fermionicas (por exemplo, quark u e quark d ). Os

operadores de criação e aniquilação dessas partículas do estado n são denotados por

u†n, un, d

†n, dn

satisfazendo as regras de anticomutação

un, u

†m

=dn, d

†m

= δnm,

un, um = dn, dm = 0,

un, dm = 0.

Supormos que o Hamiltoniano do sistema é dado por

H =∑n

εn(u†nun + d†ndn

).

(a) Demonstre que o número total de quarks (u, d) ,

Nq =∑n

u†nun + d†ndn

conserva.

(b) O iso-spin,

~I =∑n

(u†n d†n

) 1

2~σ

un

dn

também uma quantidade conservada, onde ~σ = (σx, σy, σz) é o vetor matricial de

Pauli.

(c) Demonstre que [Nq, ~I

]= 0,

[Ii, Ij] = iεijkIk, (i, j, k cıclica)

onde Ii é o componente i do ~I.

52

2. Sejam a†n, an operadores de criação e aniquilação (bosonico ou fermionico). Consider-

amos um conjunto de operadores de combinação linear desses operadores,

O(α) =∑n

(x(α)n an + y(α)

n a†n), α = 1, 2, ...

e denotamos o vácuo por |0〉, onde

an|0〉 = 0, ∀n

Prove os seguintes propriedades.

(a)

〈0|O1O2 · · ·ON |0〉 = 0

se N é ímpar.

(b) Para N = 2M com M um inteiro e sendo a†n, an operadores bosonicos,

〈0|O1O2 · · ·ON |0〉 =∑

Decomp

〈0 |Oi1Oj1| 0〉 〈0 |Oi2Oj2| 0〉 · · · 〈0 |OiMOjM | 0〉

onde a somatório deve ser feita sobre todas as possíveis decomposições de

(1, 2, ..., N) em pares, (i1, j1) , (i2, j2) , .., (iM , jM) , com ik < jk, k = 1, ..,M.

Ou seja, a sequência i1, j1, i2, j2, · · · , iM , jM é a permutação de 1, 2, .., N sat-isfazendo ik < jk, k = 1, ..,M e i1 < i2 < .. < iM . Por exemplo, para N = 4,

todas as decomposições em pares são

(1, 2) (3, 4)

(1, 3) (2, 4)

(1, 4) (2, 3)

(c) Para N = 2M com M um inteiro e sendo a†n, an operadores fermionicos,

〈0|O1O2 · · ·ON |0〉 =∑

Decomp

(−1)P 〈0 |Oi1Oj1| 0〉 〈0 |Oi2Oj2| 0〉 · · · 〈0 |OiMOjM | 0〉 ,

onde P é a paridade da permutação, 1, 2, .., N P→ i1, j1, i2, j2, · · · , iM , jM

3. Para um oscilador hârmonico,

H = ~ω(a†a+

1

2

)53

sabemos que quando o número de ocupação é bem maior que 1, o comportamento do

sistema aproxima ao da mecânica clássica. Isto é equivalente a dizer que os operadores

a† e a comportam como numero c.Ou seja, na regra de comutação

aa† − a†a = 1

desprezamos 1 em relação a N. Tendo esse na mente, podemos considerar que se os

números de ocupação de um campo bosonico nos todos os estados simples se tornam

bem grande, podemos imaginar que o campo se comporta como um campo clássico.

Para fixar a idéia, consideramos o caso de apenas 2 níveis com o Hamiltoniano

H = ε1a†1a1 + ε1a

†2a2 + λ

(a†2a1 + a†1a2

).

Para simplicidade, assumimos que λ > 0.

(a) Descreve as equação de movimento de Heisenberg para a1 e a2.

(b) O estado do sistema está com autovalores de N1 = a†1a1, N2 = a†2a2 >> 1, então

podemos considerar a1 e a2 como se fossem número c, e escrevemos

a1 =√N1e

iθ1 ,

a2 =√N2e

iθ2 .

Obtenha as equações de desenvolvimento temporal dos números,√N1,√N2 e θ1

e θ2.

(c) Calcule o fluxo de partículas que passa do estado 1 para o estado 2 e expresse em

termos de N1, N2 e ∆θ = θ1 − θ2.

54

V. TEORIA DE ESPALHAMENTO

O processo de espalhamento é um método de “ver”os objetos microscópicos e constitue

o método fundamental para investigar a estrutura da matéria. Nesta sessão, estudare-

mos como formular este problema dentro de contexto da Mecânica Quântica. Após da

introdução de conceitos básicos de processo de espalhamentos ou reações, primeiramente

tratamos o espalhamento elástica por um potencial em detalhe. Em particular, para um

potencial esfericamente simétrica, introduzimos a representação da base de momento angu-

lar, e a defazagem de ondas parciais. Estudaremos alguns exemplos concretos tais como o

espalhamento Coulombiano, potencial de força de Yukawa, etc., além de métodos de aprox-

imação, por exemplo, teoria de alcance efetivo, aproximação de Born e aproximação de

Glauber. Estudaremos também como a estrutura do objeto influencia nos observáveis de

processo de espallhamentos.

A. Seção de Choque

Os dados experimentais em geral são apresentados sob a forma de seção de choque.

Como vimos na Mecânica Clássica, a seção de choque é definida como a taxa de transição do

estado incidente para determinado estado final por unidade de fluxo incidente. Na linguagem

experimental, a taxa de transição é determinada como a contagem (rendimento - yield) por

unidade de tempo, dos eventos ocorridos.

Suponha que um detector registra somente os eventos, quando uma quantidade física,

α, fica dentro de um intervalo de valor, [ α , α + ∆α ]. Aqui, α pode ser um conjunto de

números, por exemplo, α = ~p (momento linear de partícula detetada). Seja ∆C o número

de contagens que este detector registrou num intervalo de tempo T . No regime estacinária,

∆C/T a média da taxa de contagem. A seção de choque (parcial) dσ é então calculada por

∆σ =∆C

T φ Nalvo

=∆C

Ninc Nalvo/A(112)

onde Nalvo e Ninc são, respectivamente, os números de alvos e partículas incidentes envolvi-

dos no processo, e A é a área transversal do fluxo incidente. Note que σ tem a dimensão de

área.

Para ∆α suficientemente pequeno, ∆σ fica proporcional a ∆α. Assim, definimos a seção

55

de choque diferencial pordσ

dα= lim

∆α→0

∆σ

∆α(113)

Em particular, quando detetamos partículas espapalhadas na direção especificada pela de-

terminada por um ângulo sólido dΩ, temos a distribuição angular das partículas espalhadas,

dσ

dΩ.

Exercise 1 Consideremos o espalhamento clássico de fluxo de partículas puntiformes com

massa m e energia Einc, incidindo ao longo do eixo Z, sobre uma esfera de raio R com

superfície lisa, fixa na origem.

1. Calcule a seção de choque diferencial,

dσ

dΩ(114)

sendo Ω o ângulo sólido.

2. Calcule a seção de choque total.

Exercise 2 No lugar da esfera, consideremos um disco de raio R, superfície lisa, estando

o centro do disco na origem e em rotação em torno do eixo X com velocidade angular ω.

Repita os cálculos do item 1.

VI. ESTADOS FINAIS DE MULTI-PARTÍCULAS

Nos exercícios acima, as seões de choque não dependem da energia, dando simplesmente a

seção de choque geométrica. Mas, em geral, a seção de choque depende da energia incidente.

Por exemplo, podemos considerar uma esfera de cristal, cujo índice de absorção da luz

depende da sua frequência. Neste caso, obviamente a seção de choque de espalhamento da

luz depende da sua frequência. Lembramos, também, que a definição de seção de choque não

é só aplicada para os processos de espalhamento, mas para reações e produção de partículas,

dependendo como especificamos o estado final. A seção de choque fornece a medida que

um determinado processo ocuparia uma área se este processo fosse da natureza geométrica.

56

Neste sentido, a seção de choque representa a área efetivo para o processo em questão toma

lugar. (Em francês, a seção de choque é chamada section effi cace ).

Na definição da seçao de choque, podemos identificar a quantidade

∆C

TNalvo

por a taxa de transição por um sistema projétil-alvo. Essa quantidade pode ser calculada

num formalismo teórico. Então, escrevendo

∆C

TNalvo

= dωi→f

e podemos calcular a seção de choque como

dσi→f =1

φdωi→f . (115)

Note que a definição acima pode ser utilizado não apenas para um processo de es-

palhamento de partícula indidente, mas podemos aplicar para os processos que envolvem

reações provocado pela colisão de partículas incidentes. Por exemplo, podemos considerar

um processo de reação de dois objetos A e B, produzindo várias partículas,

A+B → a+ b+ c+ · · ·

e a seção de choque de produção de partícula específica, digamos a.

dσA+B→a+X =1

φA+B

dωA+B→a+X

onde X representa qualquer coisa que não seja a no estado final da reação. Em outras

palavras, na seção de choque acima, apenas identifica a partícula a, sem considerar os estados

de outras partículas. Este tipo de seção de choque é chamado seção de choque inclusiva.

Em contraste, a seção de choque que deteta todas as partículas no estado final,

dσA+B→a+β+γ+··· =1

φA+B

dωA+B→a+β+γ+···

é chamado a seção de choque exclusiva.

Se observamos apenas uma das partículas nos estados finais (seção de choque inclusiva)

para um intervalo de momento, [~p, ~p+ ∆~p] , podemos definir o espectro desta partícula,

d3σA+B→a+X

d3~p(116)

57

Se integramos em ~p, obtemos a seção de choque de produção de partícula a, no processo de

reações, A+B,

σA+B→a+X =

∫d3~p

d3σA+B→a+X

d3~p.

Exercício: Expresse a fórmula para calcular a energia média da partícula a produzida

quando a Eq.(116) é dada como função de ~p.

Exercício: Consideramos o processo de reação entre dois protons de massa m. No sistema

de Laboratório, o próton incidente colide com o alvo fixo com a energia incidnte Ein

(contando a energia de repouso também). Expresse a energia da colisão no sistema de

Centro de Massa, onde o momento total do sistema é nulo.

Exercício: Na regime relativística de colisão entre protons, o fenômeno característico é a

produção de muitas partículas (principalmente mésons). A seção de choque inclusiva

de pions,d3σp+p→π+X

d3~pπ

é uma quantidade escalar sob a transformação de Lorentz do sistema de Laboratório

para o sistema de Centro de Massa? Se não, encontre a quantidade escalar que repre-

senta o espectro de pions (seção de choque invariante).

Podemos considerar a seção de choque semi-inclusiva. Por exemplo, numa colisão A+B,

detetamos simultaneamente num evento as partículas a e b. Temos

d6σA+B→a+b+X

d3~pad3~pb.

Quando o mecanismo de produção de partículas a e b é um processo independente de um a

outro, então esperamos que

d6σA+B→a+b+X

d3~pad3~pb∝ d3σA+B→a+X

d3~pa

d3σA+B→b+X

d3~pb.

como função de ~pa e ~pb. Normalmente isto não ocorre quando o espaço de fase de X não é

grande. A razão, (d6σA+B→a+b+X

d3~pad3~pb

)/d3σA+B→a+X

d3~pa

d3σA+B→b+X

d3~pb

fornece uma importante informação para a mecanismo de reação para produzir partículas a

e b e as vezes referida como função de correlação.

58

VII. SISTEMA DE REFERÊNCIA

Como no caso da Mecânica Clássica, o sistema de referência para descrição de processo

de colisão é bastante importante. Para o processo de colisão

A+B,

o sistema de referência em que B é inicialmente repouso, e A incide com o momento PA

é chamado o sistema Laboratório, LAB. Um outro sistema de referência frequentemente

utilizado é o sistema de Centro de Massa, CM, onde A e B colidem com mesmo módulo de

momento P , mas direção oposta, ou seja

P =∣∣PCM

A

∣∣ =∣∣PCM

B

∣∣e

~PCMA = −~PCM

B .

A definição do sistema de referencia CM também pode ser usado no regime relativístico.

Isto porque a seção de choque dσ é uma quantidade invariante de sistema de referência. Por

outro lado, o intervlao cinemático, d3~p é uma quantidade depende do sistema de referência

utilizado.

VIII. ESPALHAMENTO ELÁSTICO DE UMA PARTÍCULA POR UM POTEN-

CIAL

Para fixar a idéa, inicialmente tratamos o processo de espalhamento elástico de uma

partícula por um potencial de força central, V (r) onde r é a distância radial da partícula

do centro do potencial. A equação de Schrödinger para estado estacionário com a energia

E fica [− ~

2

2m∇2 + V (r)

]ψ (~r) = Eψ (~r) . (117)

Suponhamos que o potencial satisfaz a condição,

V (r)→ 0, r →∞,

ou seja, a partícula se torna livre de força asintoticamente. Nesta região, a equação Eq.(117)

fica

− ~2

2m∇2ψ (~r) ' Eψ (~r) , r →∞, (118)

59

e a energia E representa a energia cinética de movimento translacional. Assim, temos

E > 0

e podemos escrever

E =~2k2

2m.

Se utilizamos a separação de varáveis em coordenadas cartesianas, podemos verificar que

a solução geral da Eq.(118) pode ser escrita como a combinação linear de ondas planas,

ψ (~r) '∑~k

[A(~k)ei~k·~r +B

(~k)e−i

~k·~r]

(119)

onde o vetor ~k é formado pelos 3 números kx, ky e kz,

~k =

kx

ky

ky

sendo que esses tres números foram introduzidos através do processo de separação de var-

iáveis em x, y e z. Pela condição de separação de variáveis, temos o vínculo,

k2x + k2

y + k2z = k2.

Como sabemos, uma onda plana, junto com o fator temporal,

e−iEt~ ei

~k·~r

representa a propagação de uma onda na direção do vetor ~k, e de fato, se calculamos o

corrente correspondente, temos

~j =~

2mi(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)

=~~km

representa a velocidade do fluxo de partículas.

Como vimos na Mecânica Quântica I, podemos também utilizar as coordenadas esféri-

cas (r, θ, φ) para separação de variáveis na Eq.(118) em vez de coordenadas Cartesianas.

Escrevendo

ψ (~r) = R (r)Y`m (θ, φ) ,

60

onde Y`m (θ, φ) é a função harmonica esferica, a equação radial para Eq.(118) fica

− ~2

2m

1

r

d2

dr2(rR) +

~2` (`+ 1)

2mr2R =

~2k2

2mR.

Escrevendo

χ (r) = rR,

temos

−d2χ

dr2+` (`+ 1)

r2χ = k2χ

Como estamos considerando no domínio asintótica, r → ∞, a equação acima ainda ficasimplificada, pois o segundo termo do lado esquerdo pode ser desprezado neste limite. Temos

−d2χ

dr2= k2χ

que tem as duas soluções linearmente independentes,

χ ∝ e±ikr.

Assim, na região asintótica, r →∞, podemos escrever a solução geral como

ψ (~r) ' 1

re−ikrg (θ, φ) +

1

re+ikrf (θ, φ) , (120)

onde

g (θ, φ) =∑`,m

g`,mY`m (θ, φ) ,

f (θ, φ) =∑`,m

f`,mY`m (θ, φ) ,

são soluções gerais da parte angular. As ondas esfericas,

1

re−ikr,

1

re+ikr

junto com o fator temporal, e−iEt/~, representam as ondas convergente e emergente, respec-

tivamente.

A solução geral ainda não representa uma determinada situação física. Para descrever

uma determinada situação física, temos que escolher as condições de contorno compatível

com a situação física. No caso de estado estacionário de espalhamento, umfluxo de partículas

com momento bem definida, incidindo constantemente ao potencial V (r) , gerando um fluxo

61

de partículas espalhadas. Neste caso, a função de onda estacionária na região asintótica,

r →∞ deve ser escrita como uma superposição da onda incidente,

e+i~ki·~r

com a onda espalhada, ou seja, uma onda emergente apenas,

1

re+ikrf (θ, φ)

já que o potencial não deve produzir uma onda convergente. Assim, esperamos que a função

de onda correspondente a um estado estacionário para uma dada onda plana incidente tem

a forma asintotica,

ψ (~r) ' e+i~ki·~r +1

re+ikrf (θ, φ) . (121)

Exercício: Na região asintótica r → ∞, calcule o número de partícula que atravessa porunidade do tempo num elemento de superfície

d~S = r2d~Ω

da onda espalhada1

re+ikrf (θ, φ) ,

onde d~Ω é vetor normal da súperfície com o môdulo igual ângulo sólido sin θdθdφ.

IX. TEORIA DE PERTURBAÇÃO DEPENDENTE DO TEMPO

A. Desenvolvimento no tempo

Queremos obter a solução da Equação de Schrödinger,

i~∂

∂t|ψ (t)〉 = (H0 + λHI (t)) |ψ (t)〉, (122)

onde agora o Hamiltoniano perturbativo pode depender no tempo t. Escrevemos esta

equação na forma (i~∂

∂t−H0

)|ψ (t)〉 = λHI (t) |ψ (t)〉. (123)

62

O procedimento perturbativo consiste em aproximação sucessiva do vetor |ψ (t)〉. Podemosconsider a expansão em série em relação a λ,

|ψ (t)〉 =∑n=0

λn|ψ(n) (t)〉.

Substituindo esta expansão na Eq.(123) e igualando os termos de mesma ordem em λ, temos

a seguinte série de equações hiaraquicas,

n = 0 :

(i~∂

∂t−H0

)|ψ(0) (t)〉 = 0,

n = 1 :

(i~∂

∂t−H0

)|ψ(1) (t)〉 = λHI (t) |ψ(0) (t)〉.

n = 2 :

(i~∂

∂t−H0

)|ψ(2) (t)〉 = λHI (t) |ψ(1) (t)〉.

...

Suponhamos que conseguimos obter a sulução até a ordem n, |ψ(n) (t)〉 a seguinte ordempode ser obtida da equação,(

i~∂

∂t−H0

)|ψ(n+1) (t)〉 = λHI (t) |ψ(n) (t)〉. (124)

Note que esta equação tem a forma de uma equação diferencial linear vetorial inhomogênea

Dt ~y (t) = ~f(t),

onde Dt representa um operador diferencial em t. Para obter a solução, basta encontrar a

função de Green do operador Dt

DtG (t, t′) = δ (t− t′) 1,

onde G (t, t′) é a função de Green (matriz m ×m se o vetor ~y (t) é m− dimensional) comcondição de contorno adequada. Aqui, 1 representa a matriz de identidade (m×m). Temos

a solução geral,

~y (t) = ~y0 +

∫ ∞−∞

dt′ G (t, t′) ~f(t′),

onde ~y0 é a solução geral da equação homogênea,

Dt ~y0 (t) = 0.

63

No nosso caso da Eq.(124), temos(i~∂

∂t−H0

)G0 (t, t′) = δ (t− t′) 1, (125)

onde agora G0 (t, t′) é um operador no espaço de Hilbert[1]. A solução fica

|ψ(n+1) (t)〉 = λ

∫ ∞−∞

dt′G0 (t, t′)HI (t′) |ψ(n) (t′)〉. (126)

Aqui, não precisamos o termo correspondente da solução homogênea não precisaria, pois já

está incluído na solução de ordem n = 0.

B. Não Unicidade e Condição de Contorno da Função de Green

Vamos obter a função de Green resolvendo a equacão (125)(i~∂

∂t−H0

)G0 (t, t′) = δ (t− t′) 1. (127)

Sabemos que

δ(t− t′) = 0

para t 6= t′, temos (i~∂

∂t−H0

)G0 (t, t′) = 0, t 6= t′.

Isto sugere que a função de Green é dada pela uma solução geral desta equação tipo

h0 (t, t′) =∑i

e−iEit/~|φEi〉 〈bi|, (128)

para t 6= t′, onde |φEi〉 são autoestados de Ho,

H0|φEi〉 = Ei|φEi〉

e 〈bi| são vetores arbitrárias.

Exercise 3 Mostre que (i~∂

∂t−H0

)h0 (t, t′) = 0.

Por outro lado, para ter o comportamento singular tipo a função de δ em t = t′ na sua

derivada temporal, a função de Green G0 (t, t′) deve ter uma discontinuidade em t. Assim,

advinhamos que a forma de função de Green incluindo o ponto t = t′ deve ser

G0 (t, t′) =∑i

e−iEit/~|φEi〉 [θ (t− t′) 〈bi|+ θ (t′ − t) 〈ci|] .

64

De fato,(i~∂

∂t−H0

)G0 (t, t′) =

(i~∂

∂t−H0

)∑i

e−iEit/~|φEi〉 [θ (t− t′) 〈bi|+ θ (t′ − t) 〈ci|]

= i~∑i

e−iEit/~|φEi〉 [〈bi| − 〈ci|] δ (t− t′) .

Escolhendo

[〈bi| − 〈ci|] =1

i~e+iEit

′/~〈φEi |, (129)

podemos ver que(i~∂

∂t−H0

)G0 (t, t′) = δ (t− t′)

∑i

e−iEi(t−t′)/~|φEi〉〈φEi |

= δ (t− t′) 1.

A condição Eq.(129) não determina univocamente 〈bi| e 〈ci|. Isto quer dizer que existemvárias soluções distintas para a função de Green da Eq.(127). Isto é natural, pois uma vez

obtida uma função de Green G0 (t), podemos obter uma outra solução para a Eq. .(127)

adicionando qualquer solução homogênea da Eq.(128),

G0 (t)→ G0 (t) + h0(t, t′).

Dentro destas possibilidades para G0 (t, t′) , uma escolhe conveniente é,

〈bi| =1

i~e+iEit

′/~〈φEi|,

〈ci| = 0.

A função de Green correspondente fica

G0 (t, t′)→ G(+)0 (t, t′) =

1

i~θ (t− t′)

∑i

e−iEi(t−t′)/~|φEi〉 〈φEi | , (130)

que é chamada de função de Green causal, ou propagador. Isto porque, por exemplo, o vetor

de estado até a primeira ordem correspondente a esta escolhe da função de Green fica

|ψ(+) (t)〉 ' |φ (t)〉+

∫ t

−∞dt′G

(+)0 (t, t′)λHI (t′) |φ (t′)〉, (131)

onde |φ (t)〉 é o vetor de estado dependente no tempo não perturbado pelo λHI (t′). Podemos

interpretar esta equação de seguinte modo. O efeito da perturbação λHI (t′) no instante t′

cria um novo vetor,

λHI (t′) |φ (t′)〉,

65

+

t

λHI∫ dt’

|Φ0 ( t) >

|Φ0 ( t’) >

G0 (t,t’)

que se propaga até o tempo t,

λHI (t′) |φ (t′)〉 → G(+)0 (t, t′)λHI (t′) |φ (t′)〉.

O vetor de estado resultante é a soma (integral) sobre todos os instantes t′ para o qual a

perturbação ocorre. Podemos expressar a situação diagramaticamente como O escolhe da

função de Green causal é justamente incorporar o fato de que o efeito da perturbação no

instante t′ não altera o estado anterior a isto.

Note que podemos ainda simplificar a Eq.(130) da seguinte forma. Escrevendo τ = t− t′,temos

G(+)0 (τ) =

1

i~θ (t)

∑i

e−Eiτ/~|φEi〉 〈φEi |.

=1

i~θ (t)

∑i

e−H0τ/~|φEi〉 〈φEi |

=1

i~θ (t) e−H0τ/~

=1

i~θ (t) U0 (τ) , (132)

onde utilizamos a propriedade

H0|φEi〉 = Ei|φEi〉,

66

e a completeza, ∑i

|φEi〉 〈φEi | = 1.

U0 (τ) = e−iH0τ

O operador unitário

U0 (τ) = e−iH0τ/~

é nada mais que o operador de deslocamento temporal que já vimos. Assim, exceto o fator

(i~)−1, a função de Green causal é de fato o operador que transforma um estado no tempo

de t′ → t com t > t′.

Podemos incluir os termos de orderm superiores da perturbação, tendo

|ψ(+) (t)〉 = |φ (t)〉+ λ

∫ t

−∞dt1G

(+)0 (t, t1)HI (t1) |φ (t1)〉

+ λ2

∫ t

−∞dt1

∫ t1

−∞dt2G

(+)0 (t, t1)HI (t1)G

(+)0 (t1, t2)HI (t2) |φ (t2)〉

+ λ3

∫ t

−∞dt1

∫ t1

−∞dt2

∫ t2

−∞dt3 × [

G(+)0 (t, t1)HI (t1)G

(+)0 (t1, t2)HI (t2)G

(+)0 (t2, t3)HI (t3) |φ (t3)〉]

+ · · · (133)

Exercise 4 Obtenha a equação acima. Escreva a forma do n− esimo termo.

A representação diagramatica da expressão Eq.(133) fica Como se ver, o efeito da pertur-

bação sobre a dinâmica do sistema é a superposição de diagramas que tem uma interação

(atuação da perturbação), duas vezes, tres veses, etc., nos instantes sucessivos, conectados

pelos propagadores G(+)0 (t, t′). Na figura acima, entende-se que devem ser feitas as integrais

sobre todos os tempos intermediários para quais ocorem as interações.

C. Representação Espectral

Para desenvolvimento posterior, é conveniente introduzir a representação espectral (trans-

formada de Fourier) de G por

G(+)0 (E) =

∫ ∞−∞

dτ eiEτ/~G(+)0 (τ) , (134)

67

+

t

λHI(t1 )

|Φ0 ( t) >

|Φ0 ( t1) >

G0 (t,t1)G0 (t,t1)

λHI(t1 )

λHI(t2 )

+ G0 (t1,t2)

|Φ0 ( t2) >

+ ...

onde τ ≡ t− t′, e agora G0 (E) é um novo operador que depende de um parâmetro contínuo

E. Para não complicar muito a expressão, utilizamos a mesma letra G para os dois casos e

distinguimos somente pelo argumento G (τ) ou G (E), mas deve lembrar que são operadores

distintos e não apenas mudança dos argumentos.

Substituindo a Eq.(134) na Eq.(127), temos

G(+)0 (E) =

1

i~∑i

∫ ∞0

dτ ei(E−Ei)τ/~|φEi〉 〈φEi | . (135)

Aqui, a integral ∫ ∞0

dτ ei(E−Ei)τ/~

pode ser feita independentemente dos outros fatores, mas como está, não tem um bom com-

portamento para o limite superior. Para gurantir um bom comportamento, vamos deslocar

o valor do argumento E na direção imaginária infinitesimalmente,

E → E + iη.

Com isto, a integral fica convergente,∫ ∞0

dτ ei(E+iη−Ei)τ/~ = i~1

E + iη − Ei.

68

Assim, temos

G(+)0 (E + iη) =

∑i

1

E + iη − Ei|φEi〉 〈φEi|

=∑i

1

E + iη −H0

|φEi〉 〈φEi |

=1

E + iη −H0

. (136)

Aqui, utilizamos a relação de completeza∑i

|φEi〉 〈φEi| = 1.

O propagador ( função de Green causal) dependente no tempo é dado pela transformação

inversa da Eq.(134)

G(+)0 (t, t′) =

1

2π~

∫ ∞−∞

dE e−iE(t−t′)/~G(+)0 (E)

=1

2π~

∫ ∞−∞

dE e−iE(t−t′)/~ 1

E + iη −H0

. (137)

É ilustrativo recuperar a expressão Eq.(130),

G(+)0 (t, t′) =

1

i~θ (t− t′)

∑i

e−iEi(t−t′)/~|φEi〉 〈φEi | ,

a partir da Eq.(137). Utilizando a completeza, temos

G(+)0 (t, t′) =

1

2π~

∫ ∞−∞

dE e−iE(t−t′)/~ 1

E + iη −H0

∑i

|φEi〉 〈φEi|

=∑i

1

2π~

∫ ∞−∞

dE e−iE(t−t′)/~ 1

E + iη − Ei|φEi〉 〈φEi |

=∑i

Fi (t− t′) |φEi〉 〈φEi |.

onde

Fi (τ) ≡ 1

2π~

∫ ∞−∞

dE e−iEτ/~1

E + iη − Ei. (138)

Vamos calcular a integral utilizando o método de residuo. Para aplicar o teorema de Cauchy

na integral da Eq.(138), devemos transformar a integral em E de (−∞,∞) para uma integral

sobre um caminho fechado, completando um semi-circulo no raio infinitemente grande.∫ ∞−∞

dE →∮C

dE.

69

τ<0

Im E

Re Eτ>0

Im E

Re E

Para não alterar o valor da integral, devemos escolher o semi-circulo de acordo com o sinal

da variável τ de tal forma que a contribuição da parte semi-circulo é nulo. Assim, devemos

escolher o caminho tal que

τ < 0→ ImE > 0,

τ > 0→ ImE < 0.

Note que o único polo do integrando está em

E = Ei − iη,

isto é, está no semi-plano ImE < 0 (indicado pelo ponto preto na figura acima). Pelo

teorema de Cauchy, temos immediatamete

F (τ) =

0,

−i/~ e−iEiτ ,τ < 0

τ > 0.

Para τ < 0, a integral é nula pois o caminho não inclui o polo. O extra (−) sinal no caso

τ > 0 vem da direção da integral ao longo ao caminho fechado. Resumindo, temos

Fi (τ) =1

i~θ (τ) e−iEiτ/~.

70

Finalmente, temos

G(+)0 (τ) =

1

i~θ (τ)

∑i

e−Eiτ/~|φEi〉 〈φEi |.

D. Taxa de transição e Regra de Ouro

Antes de desenvolver a teoria de propagadores, vamos aplicar os resultados até aqui

obtidos. O vetor de estado com correção de primeira ordem da perturbação é dada por

|ψ(+) (t)〉 ' |φ (t)〉+ λ

∫ t

−∞dt1G

(+)0 (t, t1)HI (t1) |φ (t1)〉.

Podemos considerar o processo de emissão de um elétron atómica pela absorpção de um

fóton dentro desta aproximação. Suponhamos que um elétron esteja num autoestado do

átomo

|φ (t)〉 → e−iEit|Ei〉.

O Hamiltoniano de perturbação é proporcional ao campo eletromagnético a ser absorvido.

Um campo eletromagnético de frequência ω tem a dependência

∼ e−iωt,

assim, podemos escrever o Hamiltoniano

λHI (t) = eEe−iωtθ (t)

onde e é a constante de acoplamento eletromagnética e E é a amplitude do campo[2], e ofator θ (t) representa que a irradiação iniciou no tempo t = 0.

No instante t, a amplitude de se encontrar o estado, digamos j é dado por

Ai→j (t) = eiEf t〈Ef |ψ(+) (t)〉.

Já que

G(+)0 (t, t1) =

1

i~θ (t− t1) e−iH0(t−t1)/~,

temos

|ψ(+) (t)〉 ' e−iEit|Ei〉+1

i~

∫ t

0

dt1e−iH0(t−t1)/~eEe−iωt1e−iEit1 |Ei〉,

71

e se i 6= j,

Ai→j (t) =1

i~eiEf t〈Ef |

∫ t

0

dt1e−iH0(t−t1)/~eEe−iωt1e−iEit1|Ei〉

=1

i~

∫ t

0

dt1ei(Ef−~ω−Ei)t1/~〈Ef |eE|Ei〉

= − 1

Ef − ~ω − Ei

[ei(Ef−~ω−Ei)t/~ − 1

]〈Ef |eE|Ei〉.

A probabildade de se encontrar o estado f é dada por

Pi→f (t) =

∣∣∣∣− 1

Ef − ~ω − Ei

[ei(Ef−~ω−Ei)t/~ − 1

]〈Ef |eE|Ei〉

∣∣∣∣2 . (139)

Note que este resultado é praticamente idêntica ao da Eq.(??), com a correspondência,

εi0 → Ei + ~ω,

εi → Ef ,

λ〈i|HI |i0〉 → 〈Ef |eE|Ei〉.

O deslocamento da energia inicial, εi0 → Ei + ~ω neste caso pode ser entendido que a

energia inicial do sistema deve contar não só a energia do elétron, mas também tem que

incluir a energia do fóton que é absorvido. Um outro ponto é que a fórmula Eq.(139) pode ser

utilizado independentemente da natureza do espectro de H0, degenerada ou não degenerada.

No regime onde a teoria de perturbação dependente no tempo se aplica, a quantidade de

interesse não é a probabilidade de se encontrar o estado final j num determinado instante t,

mas sim, a taxa de transição por unidade do tempo. Isto porque, como no caso de transição

de estado de elétron pela irradiação de fóton sobre um amostra que contém muitos elétrons,

esperamos que o número de elétrons observados no estado final j deve ser proporcional ao

tempo de irradiação. Se este for verdade, podemos definir a taxa de transição

ωi→f = limt→∞

1

tPi→f (t)

= φ (Ef − ~ω − Ei) |〈Ef |eE|Ei〉|2 ,

onde

φ (Ef − ~ω − Ei) = limt→∞

1

t

∣∣∣∣− 1

Ef − ~ω − Ei

[ei(Ef−~ω−Ei)t/~ − 1

]∣∣∣∣2≡ lim

t→∞φt (Ef − ~ω − Ei) .

72

com

φt (E) =

(2

Etsin

E

2~t

)2

t.

Esta função tem a seguinte propriedade,

limt→∞

φt (E) = 0, E 6= 0, (140)

limt→∞

φt (0)→∞, (141)

além da constânça da normalização (x = Et/2~),∫ ∞−∞

φt (E) dE =2

~

∫ ∞−∞

(1

xsinx

)2

dx

=2π

~. (142)

As três propriedades Eqs.(140,141,142) garantem que

limt→∞

φt (E) =2π

~δ (E) .

Finalmente temos

ωi→f =2π

~δ (Ef − Ei − ~ω) |〈Ef |eE|Ei〉|2 . (143)

A expressão Eq.(143) é conhecido como a “regra de auro”para calcular a taxa de tran-

sição. A função de delta de Dirac mostra a conservação da energia na ocasião da transição,

inclusive a energia do fóton absorvido. Na seção mais adiante, deduzimos esta fórmula do

ponto de vista mais formal.

E. Densidade dos estados finais

A fórmula Eq.(143) mostra que a transição do estado de elétron só occore para o estado

final que tem a energia

Ef = Ei + ~ω, (144)

quando absorve um fóton de frequência ω. Isto mostra que o fóton de frequência ω tem a

energia ~ω, recuperando a relação de Planck.

Por outro lado, pode se estranhar que o valor de taxa ω se torna infinito para a energia

final exatamente igual ao valor dado pela Eq.(144). Vamos considerar a situação em que o

elétron no estado fundamental de um átomo seja emitido fora do átomo pela absorção do

73

fóton. Queremos medir a taxa desta transição do processo acima. Neste caso, o que fazemos

na prática é colocar um (ou vários) detetor(es) que transmite o sinal quando captura um

elétron. Cada detetor tem certa largura de sensibilidade (janela) para o estado do elétron

a ser detetado. Em outras palavras, um detetor deteta não apenas um determinado estado

de elétron, mas não distingue os estados que pertençe a um certo conjunto.

Para descrever a situação mais especificamente, vamos denotar por Γf o conjunto de todos

os parâmetros que especificam o estado final do sistema. Por exemplo, para um partícula,

podemos escolher a representação do estado final em termos de componentes Carteseanos

do momento final da partícula,

Γf = (Px, Py, Pz)f ,

ou em termos da energia Ef e o vetor ângulo sólido da direção final,

Γf =(Ef , ~Ωf

),

ou também o modulo do momento final pf e o ângulo,

Γf =(pf , ~Ωf

),

Um determinado detetor captura partícula quando o estado final dela entra num intervalo de

destes parâmetros finais, digamos dΓf . Assim, o que obtemos pelo experimento utilizando

um detetor é a soma das taxas de transição

dωi→Γf =∑f∈dΓf

ωi→f

=∑f∈dΓf

2π

~δ (Ef − Ei − ~ω) |〈Ef |eE|Ei〉|2 .

Nas certas situações, o quadrado do elemento de matriz final

|〈Ef |eE|Ei〉|2

não varia tanto dentro do intervalo infinitesimal dΓf para os estados,

f ∈ dΓf ,

e podemos considerar constante dentro deste intervalo. Neste caso, tirar o elemento de

matriz a fora da soma e podemos escrever

dωi→Γf =2π

~ρ (Γf ) dΓf |〈Ef |eE|Ei〉|2 ,

74

onde definimos a quantidade

ρ (Γf ) dΓf ≡∑f∈dΓf

δ (Ef − ET )

e ρ (Γf ) é chamado de densidade dos estados finais. ET = Ei +~ω representa a energia total

do sistema.

Vamos considerar um exemplo. Suponha que o estado final de uma partícula é no estado

contínuo e especificado por

Γf =(Ef , ~Ωf

).

Neste caso,

dΓf = dEfd~Ωf

e

ρ(Ef , ~Ωf

)dEfd~Ωf ≡

∑f∈dΓf

δ (Ef − ET )

=1

(2π~)3dEfd~Ωf

∫d3~p δ (Ep − Ef ) δ2

(~Ωp − ~Ωf

)δ (Ef − ET )

=1

(2π~)3dEfd~Ωf

∫p2dpd2~Ωp δ (Ep − Ef ) δ2

(~Ωp − ~Ωf

)δ (Ef − ET )

=1

(2π~)3dEfd~Ωf

∫p2 dp

dEdEd2~Ωp δ (Ep − Ef ) δ2

(~Ωp − ~Ωf

)δ (Ef − ET )

=1

(2π~)3dEfd~Ωf p

2 dp

dEδ (Ef − ET ) .

Utilizando

Ep =1

2mp2,

dEp =1

mpdp,

temos

p2 dp

dE= m√

2mE,

e, portanto,

ρ(Ef , ~Ωf

)dEfd~Ωf ≡

1

(2π~)3dEfd~Ωf m

√2mEδ (Ef − ET ) .

75

F. Exemplos de Propagadores

Vamos calcular explicitamente o propagador G(+)0 (E) para alguns casos conhecidos.

Primeira, vamos estudar o caso de uma partícula livre.

H0 =1

2m~P 2.

Queremos calcular a representação de coordenadas do propagador,

〈~r1|G(+)0 (E + iη) |~r2〉 = 〈~r1|

1

E + iη −H0

|~r2〉.

Substituindo a completeza em estado de momento linear,∫d3~p |~p〉〈~p| = 1,

temos

〈~r1|G(+)0 (E + iη) |~r2〉 =

∫d3~p 〈~r1|~p〉〈~p|

1

E + iη −H0

|~r2〉

=1

(2π~)3

∫d3~pe−i~p·(~r1−~r2)/~ 1

E + iη − ~p2/2m

=2π

(2π~)3

∫ ∞0

p2dp1

E + iη − p2/2m

∫ 1

−1

dxe−iprx/~,

onde

r = |~r1 − ~r2| ,

x = cos θ

é o coseno do ânglulo entre os dois vetores, ~p e ~r1 − ~r2. Temos

〈~r1|G(+)0 (E + iη) |~r2〉 =

2π

(2π~)3

∫ ∞0

p2dp1

E + iη − p2/2m

~ipr

eipr/~ − e−ipr/~

=

2π~ 2m

(2π~)3 ir

∫ ∞−∞

pdp1

2mE + iη − p2eipr/~.

Esta integral pode ser feita pelo método de residue. O caminho da integral deve ser fechado

com o semi-círclo superior para garantir a convergência no caminho. Os polos sâo

p = ±(√

2mE + iη),

e na integral, só contribui o polo,

p0 = +√

2mE + iη.

76

Temos

〈~r1|G(+)0 (E + iη) |~r2〉 = −2π~ 2m 2πi

(2π~)3 ir

p0

2p0

eip0r

= − 1

4π

(2m

~2

)1

|~r1 − ~r2|eip0|~r1−~r2|. (145)

Exercise 5 A Eq.(136) pode se escrita como

(E + iη −H0)G(+)0 (E) = 1.

Expresse esta equação na forma de equação diferencial para a representação de fução de

Green,

G(+)0 (~r, ~r′E) ≡ 〈~r|G(+)

0 (E) |~r′〉.

No caso de um partícula livre, a Eq.(145) é de fato uma solução desta equação diferencial.

X. DEDUÇÃO FORMAL DO REGRA DE AURO

A. Matriz S

Vamos introduzir uma quantidade básica para a discussão de processo dinâmica, chamada

de Matriz S. Considere um sistema cujo Hamiltoniano é H0, aplicamos a perturbação HI

durante o intervalo de tempo, de ti a tf . Isto é, o Hamiltoniano pode ser escrito como

H =

H0,

H0 +HI ,

H0

t < ti,

ti < t < tf ,

t > tf .

. (146)

Aqui supormos que HI não depende do tempo, por simplicidade e colocamos λ = 1. Neste

caso, o desenvolvimento temporal do sistema no intervalo ti < t < tf é dado por

|ψ (t)〉 = e−iH(t−ti)/~|φi (ti)〉, ti < t < tf .,

com

H = H0 +HI ,

e

|φi (ti)〉

77

é o vetor de estado no tempo t = ti. Sabemos que este estado satisfaz a equação de

Schrödinger,

i~∂

∂t|φi (t)〉 = H0|φi (t)〉, (147)

para t < ti. Aqui, o índice i do vetor |φi〉 especifica o estado. Podemos considerar umconjunto,

|φi (t)〉 ,

satisfazendo a completeza a cada instante,∑i

|φi (t)〉〈φi (t) | = 1, t < ti. (148)

Para t > tf , o sistema também satisfaz a mesma equação,

i~∂

∂t|ψ (t)〉 = H0|ψ (t)〉, t > tf ,

e portanto, podemos introduzir uma base completa,

|φf (t)〉 ,

tal que ∑f

|φf (t)〉〈φf (t) | = 1, t > tf .

Podemos expandir o estado |ψ (t)〉 nesta base no instante t = tf ,

|ψ (tf )〉 =∑f

|φf (t)〉〈φf (t) |ψ (t)〉

=∑f

|φf (tf )〉〈φf (tf ) |e−iH(tf−ti)/~|φi (ti)〉

=∑f

|φf (tf )〉 Ufi (tf , ti) .

Aqui,

Ufi (tf , ti) = 〈φf (tf ) |e−iH(tf−ti)/~|φi (ti)〉 (149)

é a amplitude total de transiçao do estado i para f como consequência da aplicação da

perturbção HI durante o intervalo de tempo T = (tf − ti).Como vimos na seção anterior, para calcular a taxa de transição de um estado esta-

cionário, é necessário tomar os limites T → ∞, ou equivalentemente

ti → −∞,

tf → +∞.

78

A taxa de transição é definida como

ωi→f = limti→−∞tf→+∞

1

(tf − ti)|Ufi (tf , ti)|2 .

Definimos a matriz S como a matriz asintótica do operador U ,

Sfi ≡

limti→−∞tf→+∞

Ufi (tf , ti) . (150)

O limite deve ser tomado sempre no final no nível de observável.

Note que a matriz U aqui é essencialmente o propagador G(+),

Ufi (tf , ti) = i~G(+) (tf − ti) ,

já que tf − ti > 0, só que aqui o Hamiltoniano contém a parte perturbativa,

H0 → H = H0 +HI .

Na analogia no caso de H0, vamos introduzir a transformada de Fourier da Função de Green,

G(+)(τ), com τ ≡ t− t′,

G(+)(E + iη) ≡∫ +∞

−∞dτ G(0)(τ) e+i(E+iη)τ/~ =

1

E + iη −H , (151)

e inversamente,

G(+)(τ) ≡ 1

2π~

∫ +∞

−∞dEG(E) e−iEτ =

1

2π~

∫ +∞

−∞dE

1

E + iη −H e−iEτ/~. (152)

Utilizando a identidade1

A=

1

B+

1

B(B − A)

1

A, (153)

podemos escrever,

1

E + iη −H =1

E + iη −H0

+1

E + iη −H0

HI1

E + iη −H . (154)

Podemos então estabelecer a relação entre o progador perturbado

G(+) (E) =1

E + iη −H ,

e o propagador não pertubado

G(+)0 (E) =

1

E + iη −H0

79

como

G(+)(E) = G(+)0 (E) +G

(+)0 (E) HI G

(+)(E). (155)

A Eq.(155) pode ser resolvida formalmente para G(+)(E) supondo que o segunte proced-

imento de recorrência converge,

G(+)(E) = G(+)0 (E) +G

(+)0 (E) HI G

(+)(E)

= G(+)(E) +G(+)0 (E) HI

G

(+)0 (E) +G

(+)0 (E) HI G

(+)(E)

= G(+)(E) +G(+)0 (E) HIG

(+)0 (E)

+G(+)0 (E) HIG

(+)0 (E) HI

G

(+)0 (E) +G

(+)0 (E) HI G

(+)(E)

= · · ·

Se este procedimento converge, então, podemos escrever

G(+)(E) =∞∑n=0

(G0(E)HI)nG0(E) (156)

ou também

G(+)(E) = G0(E)∞∑n=0

(HIG0(E))n (157)

ou ainda

G(+) (E) =1

1 −G0(E)HI

G0(E). (158)

Uma outra forma importante é

G(+) (E) ≡ G(+)0 (E) +G

(+)0 (E) T (E) G

(+)0 (E), (159)

onde introduzimos um novo operador T (E) por

T (E) =

∞∑n=0

(HIG0(E))n HI . (160)

e este é chamado a matriz de espalhamento.

Podemos verificar que

G(E) HI = G0(E) T (E), (161)

e

T (E) = HI +HI G0(E) T (E). (162)

80

Agora, substituindo Eq.(159), na definição da matriz S, temos

Sfi = limtf→+∞ti→−∞

i

2π〈f (tf ) |

∫ +∞

−∞dE e−iEτ [G

(+)0 (E) +G0(E) T (E) G0(E) ]|i (ti)〉 (163)

onde τ = tf − tf . Vamos considerar o processo estacionário, ou seja, escolhemos que os

estados iniciais e finais como os autoestados do Hamiltonoano H0.

| i (ti)〉 = e−iEi ti/~ | Ei〉, (164)

| f (tf )〉 = e−iEf tf/~ | Ef〉. (165)

Neste caso, a Eq.(163) fica

Sfi = limtf→+∞ti→−∞

i

2π

∫ +∞

−∞dE ei(E−Ei)ti/~ e−i(E−Ef )tf/~

× 〈Ef | [G0(E) +G0(E) T (E) G0(E) ] |Ei〉

= limtf→+∞ti→−∞

i

2π

∫ +∞

−∞dE ei(E−Ei)ti/~ e−i(E−Ef )tf/~

× 〈Ef | [1

E + iη −H0

+1

E + iη −H0

T (E)1

E + iη −H0

] |Ei〉

= limtf→+∞ti→−∞

i

2π

∫ +∞

−∞dE ei(E−Ei)ti/~ e−i(E−Ef )tf/~

× 〈Ef | [1

E + iη − Ei+

1

E + iη − EfT (E)

1

E + iη − Ei] |Ei〉 (166)

Agora, na regime asimtótica, podemos utilisar as fórmulas,

limt→+∞

e−i(x−a)t

x− a+ iη= −2πi δ(x− a) , (167)

limt→−∞

e+i(x−a)t

x− a+ iη= −2πi δ(x− a) . (168)

Após a pouca algebra, temos finalmente,

Sfi = 〈Ef |Ei〉 − 2πi δ(Ef − Ei) 〈Ef | T (Ei) | Ei〉. (169)

A matriz S tem uma propriedade importante. Como ela é essencialmente o operador de

deslocamento no tempo U (ti → tf ) que é unitário, a matriz S é unitária. Temos∑f

S∗i′fSfi = δi′i,

81

o que representa básicamente a conservação da probabilidade durante o processo de espal-

hamento. Esta propriedade pode ser utilizada para obter o teorema ótico (Ver o exercício

posterior).

Exercise 6 Mostre as Eqs.(156,(157 e (158.

Exercise 7 Mostre as Eqs.(159) e (160).

Exercise 8 Prove as relações (168) e (167).

Exercise 9 Mostre a Eq.(169).

A Eq.(163) é a relação fundamental entre a matriz S e a matriz de espalhamento T ,

que por sua vez explicita a relação entre a matriz S e a função de Green do sistema. A

probabildade de transição Pi→f (i 6= f) fica em termos de matriz T ,

Pi→f = | 2πi δ(Ei − Ef )〈Ef |T (E)|Ei〉| 2 = (2π)2δ(0)δ(Ei − Ef ) | 〈Ef |T (E)|Ei〉| 2. (170)

Aqui, rigorosamente falando, a quantidade δ(0) não é definida matematicamente. A razão

da aparência deste objeto estranho é que estamos calculando a “probabilidade" de transição

entre dois estados estacionários. Num estado estacionário, a integral da probabilidade de

transição no intervalo de tempo infinito (t→ +∞ , t′ → −∞) naturalmente diverge. Paraos estados estacionários, somente a taxa de transição teria sentido, e não a probabilidade

total. Uma maneira correta de evitar este problema é utilizar os pacotes de ondas no lugar

de auto-estados exatos de energia. Entretanto, este método envolve cálculos trabalhoso e

perde a visão. Podemos evitar esta complicação com o seguinte argumento heurístico.

2π~ δ(E = 0) = limEf→Ei

limtf→+∞ti→−∞

∫ tf

ti

dte−i(Ef−Ei)t/~ (171)

=

limtf→+∞ti→−∞

∫ tf

ti

dt e0 =

limtf→+∞ti→−∞

(tf − ti) . (172)

onde tf − ti pode ser interpretado como o intervalo de tempo total para o qual o regime

estacionário seja estabelecido. Consequentemente, a taxa de transição do estado i para o

estado f , ωi→f é dada por

ωi→f ≡ limtf→+∞ti→−∞

Pi→f/ (tf − ti) =2π

~δ(Ei − Ef )| 〈Ef |T (E)|Ei〉| 2. (173)

82

Exercise 10 Sejam

H0 |φE〉 = E |φE〉 , (174)

e

H |ψE〉 = E |ψE〉 . (175)

Mostre que

| ψE〉 = | φE〉 +1

E + iη −H0

HI | ψE〉 . (176)

(Equação de Lippmann—Schwinger).

Exercise 11 Prove que

HI | ψE〉 = T (E) | φE〉 . (177)

B. Espalhamento Não Relativístico por Um Potencial

Vamos aplicar o formalismo para calcular a seção de choque no caso de espalhamento de

uma partícula não relativıstica com massa m, energia Ei, por um potencial, V (~r). Neste

caso,

H0 =~P 2

2m(178)

HI = V (~r) , (179)

Representamos o estado incidente por um onda plana

| Ei〉 = | ~ki〉 (180)

que naturalmente satisfaz

~P | ~ki〉 = ~ki | ~ki〉, (181)

H0 | ~ki〉 = Ei | ~ki〉 (182)

com~ki

2

2 m= Ei (183)

Introduzimos a base de coordenada, |~r〉, com a normalizaçao,∫d3~r | ~r〉〈~r | = 1 , (184)

〈~r | ~r ′〉 = δ3(~r − ~r ′). (185)

83

Fixamos a normalização dos estados de onda plana por

〈~r | ~k 〉 = e+i~k·~r/~. (186)

Isto é, estamos normalizando o estado de onda plana por densidade. Neste caso, temos,

〈~k | ~k ′〉 =

∫d3~r〈~k | ~r〉 〈~r | ~k′〉 (187)

= (2π~)3 δ3(~k − ~k ′). (188)

A condição de completeza fica,

1

(2π~)3

∫d3~k | ~k〉 〈~k | = 1 . (189)

Note que a equação acima indica que a soma sobre os estados de momentos deve ser efetuada

em termos de integral sobre ~k com o fator 1/(2π~)3,∑i

−→ 1

(2π~)3

∫d3~k (Sem o fator de volume V ) . (190)

Com esta normalização do estado de momento, o fluxo incidente fica

φ =kim, (191)

já que a densidade é normalizada por um. Podemos calcular a seção de choque diferencial,

somando sobre todos os estados finais, dividida pelo fluxo.

dσ

dΩ=∑f

(Ωf=Ω)

ωi→f /φ =1

(2π~)3

∫d3~k δ2(~Ωf − ~Ωk)

2π

~δ(Ei − Ef ) | 〈~kf |T (Ei)| ~ki〉 | 2

=

∣∣∣∣ (1

4π) (

2m

~2) 〈~kf |T (Ei)| ~ki〉

∣∣∣∣2 . (192)

Esta é a fórmula que estabelece o relacionamento entre a seção de choque e o elemento da

matriz de espalhamento T (E).

C. Uso da Equação de Lippmann-Schwinger

A expressão (192) pode ser obtida pela Equação de Lippmann—Schwinger, Eq.(176

| ψE〉 = | φE〉 +1

E + iη −H0

HI | ψE〉 (193)

84

Aqui, identificamos

| φE〉 ≡ | ~ki〉 (194)

e | ψE〉 representa o estado estacionário do sistema com a interação. A representação desta

equação em coordenadas fica

〈~r | ψE〉 = 〈~r | ~ki〉 + 〈~r | G0(E) HI |ψE〉 (195)

= 〈~r | ~ki〉 + 〈~r | G0(E) T (E) | ~ki〉, (196)

onde utilizamos a propriedade da matriz T ,

HI |ψE〉 = T (E) | φE〉.

Em termos da função de onda (a representação em coordenadas), temos

ψE(~r) = ei~ki·~r +

∫d3~r ′〈~r | G0(E) | ~r ′〉 〈~r ′ | T (E) | ~ki〉 (197)

Já vimos que a representação de coordenadas da função de Green para partícula livre G0(E)

é dada pela Eq.(145),

〈~r | G0(E) | ~r ′〉 = − 1

4π(2m

~2)

1

|~r − ~r ′|e+ik|~r−~r ′|/~, (198)

e podemos executar a integral em relação a ~r ′ na Eq.(197), se sabemos a dependência do

elemento de matriz

〈~r ′ | T (E) | ~ki〉,

mas isto só é possível quando especificar o potencial V (~r). Mas no caso de um potencial de

alcance finito, a contribuição do fator 〈~r ′| T (E) | ~ki〉 ao integrando se torna nula fora destealcance.

〈~r ′| T (E) | ~ki〉 6= 0, |~r ′| < R, (199)

onde R é o alcance do potencial. Deste modo, a integral em ~r ′ fica limitada dentro do

alcance do potencial,∫d3~r ′〈~r | G0(E) | ~r ′〉 〈~r ′ | T (E) | ~ki〉 →

∫|~r ′|<R

d3~r ′〈~r | G0(E) | ~r ′〉 〈~r ′ | T (E) | ~ki〉

85

Assim, para | ~r | suficientemente grande, podemos sempre considerar que | ~r| | ~r′|. Nestelimite, podemos utilizar a fórmula,

|~r − ~r ′| =√|~r − ~r ′|2

=√r2 − 2rr′ cos θ + r′2

' r

(1− r′

rcos θ

)= r − r′ cos θ,

e a funcão de Green G0(E) acima tem a forma assintótica,

〈~r | G0(E) | ~r ′〉 −→ − 1

4π(2m

~2)1

re+ikr/~e−ikr·~r

′/~ (200)

onde r é o vetor unitário na direção do ~r.

Definindo o vetor ~kf por

~kf ≡ kr (201)

a forma assintótica da Eq.(193) fica,

ψE(~r) −→rr′

ei~ki·~r/~ − 1

4π(2m

~2)1

re+ikr/~

∫d3~r ′e−i

~kf ·~r ′/~〈~r ′ | T (E) | ~ki〉

= ei~ki·~r − 1

4π(2m

~2)1

re+ikr/~

∫d3~r ′〈~kf | ~r ′〉 〈~r ′ | T (E) | ~ki〉

= ei~ki·~r~ − 1

4π(2m

~2)1

re+ikr/~〈~kf | T (E) | ~ki〉 (202)

Esta tem a forma,

ψE(~r) ' ei~ki·~r~ +

1

re+ikr/~f (θ, φ) (203)

Com esta expressão, fica claro que a função de onda do sistema no estado estacionário é

composta de uma onda plana incidente (primeiro termo) e de uma onda esferica emergente

(segundo termo) com a amplitude de espalhamento que depende de ângulos e energia do

momento final ~kf . A amplitude de espalhamento f(θ, φ) é definida por

f(θ, φ) = − 1

4π(2m

~2) 〈~kf | T (E) | ~ki〉. (204)

Note que a seção de choque diferencial é também dada como a razão entre o fluxo emergente

e o fluxo incidentedσ

dΩ(r) =

~j (~r)out · r∣∣∣~j (~r)in

∣∣∣ . (205)

86

Os fluxos podem ser obtido da forma usual da expressão de corrente da probabilidade,

~j =~

2imψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗ .

Temos finalmente

dσ

dΩ= | f(θ, φ) | 2 =

∣∣∣∣− 1

4π(2m

~2) 〈~kf | T (E) | ~ki〉

∣∣∣∣2 . (206)

o que é idêntico a Eq.(192).

Exercise 12 Da Eq.(205) obtenha a Eq.(206).

Exercise 13 Em certas situações, podemos aproximar a matriz T (E) por V (aproximação

de Born de 1a ordem ). Discuta a validade desta aproximação.

Exercise 14 Refaça todas as contas desta sessão quando a função de onda incidente é

normalizada por

〈~r | ~k〉 =1

V 1/3e+i~k·~r (207)

e verifique quais expressões ficam independentes da normalização.

Exercise 15 Calcule, na aproximação de Born de 1a ordem, a seção de choque diferencial

e total para o potencial de Yukawa,

V (~r) =g2

4πre−µ r (208)

onde g e µ são constantes.

Exercise 16 Utlizando a propriedade unitária da matriz S, prove o Teorema Ótico,

σTot =4π

kiIm f(0, 0) (209)

onde Im (X) representa a parte imaginária da quantidade X.

D. Simetria do Sistema e Dinâmica na Matriz S, Potencial Central e Ondas Par-

ciais

Como vimos, a δ de Dirac em relação a energia sempre existe para os processos esta-

cionários, representando a conservação da energia. Assim, é interessante definir a matriz S

na camada de energia, por

Sfi = δ (Ef − Ei)Sfi(E) (210)

87

para os processos estacionários.

Para explicitar a camada de energia, podemos introduzir a base como produto direto de

autoestado da energia E e os outros números quânticos, α,

|E;α〉 = |E〉 ⊗ |α〉 .

Nesta base, da Eq.(169), esta matriz S na camada de energia é relacionada com a matriz de

espalhamento T (E) por

Sfi(E) = 〈f |i〉 − 2πi〈f |T (E)|i〉, (211)

ou como operador no espaço de |α〉,

S(E) = 1− 2πi〈f |T (E)|i〉 (212)

O papel da simetria do sistema também tem um papel importante na sua dinâmica e,

portanto, se reflete nas propriedades do propagador. Vamos considerar um exemplo onde

o sistema tem simetria esférica, mesmo com a perturbação. Isto acontece, por exemplo, no

processo de espalhamento por um potencial esfericamente simetrico. Neste caso, temos

H = H0 +HI ,

com [H0, ~J

]= 0,[

HI , ~J]

= 0,

e naturalmente [H, ~J

]= 0.

Como a Matriz S é essencialmente o operador de deslocamento no tempo,

S ∼ U = e−iH(tf−ti)/~,

ela também comutaria com ~J . Em outras palavras, se utilizamos a base dos autoestados de

momento angular, |α〉 = |j,m〉, a matriz S deve ficar diagonal.

Sfi = limtf→∞ti→−∞

〈Ef , jfmf ; tf |U (ti, tf )|Ei, ji,mi; ti〉

∝ δ (Ef − Ei) δjf jiδmfmi .

88

Além disto, pela Lema de Schur, a matriz S fica proporcional a identidade num subespaço

de j fixo. Assim, temos

〈jf ,mf |S(E)|ji,mi〉 = S(j) (E) δjf jiδmfmi . (213)

Para o processo de espalhamento de uma partícula sem spin através de um potencial esférico,

os vetores |`,m;E〉 constituim uma base completa, onde escrevemos

j → `,

pois o momento angular vem do movimento orbital e portanto deve ser um inteiro. Neste

caso, S(j) (E) é apenas um número e pela propriedade unitária da matriz S, temos∣∣S(j) (E)∣∣ = 1. (214)

Assim, podemos escrever

S(`) (E) = e2iδ`(E), (215)

onde δ` (E) é um número real. O fator 2 foi incluido pela conveniência, o que vai ser

esclarecido mais adiante. Utilizando a relação entre S (E) e T (E), Eq.(212) temos

〈jf ,mf |T (E)|ji,mi〉 = δjf jiδmfmi1

2πi

(1− ei2δ`(E)

), (216)

ou equivalentemente

T (E) =∑`,m

|`,m〉 1

2πi

(1− ei2δ`(E)

)〈`,m|. (217)

A conlcusão acima mostra que o processo de espalahamento de uma partícula sem spin

por um potencial esfericamente simétrico é descrito completamente quando sabemos a função

δ` (E) . Esta função é chamada de deslocamento de fase por razão a ser esclarecida logo em

seguida. Desta forma, a descrição do processo de espalhamento fica mais otimizada quando

utiliza-se a base de autoestado de momento angular. Temos

〈~kf |T (E) |~ki〉 =∑`,m

〈~kf |`,m〉1

2πi

(1− ei2δ`(E)

)〈`,m|~ki〉

=∑`

1

2πi

(1− ei2δ`(E)

) (2π~)3

mk

∑m

Y`m

(~Ω~kf

)Y ∗`m

(~Ω~ki

). (218)

onde utilzamos a relação

|~k〉 =

√(2π~)3 dE

k2dk|E〉 ⊗ |~Ωk〉

89

e portanto, na camada de energia E, temos

〈~k|`,m〉 →

√(2π~)3

mkY`m

(~Ω~k

).

Por outro lado, o estado incidente de um onda plana não é um autoesado de momento

angular. Podemos então expandir o estado de onda plana na base de autoestado de momento

angular e o autoestado da energia,

|~ki〉 =∑`,m

CE`m|E, `,m〉. (219)

A representação em coordenadas desta função fica

〈~r|~ki〉 =∑`,m

CE`m〈~r|E, `,m〉

=∑`,m

CE`mR

E` (r)Y`m

(~Ω~r

),

onde ~Ω~r representa o vetor unitário na direção de ~r. Já vimos que esta corresponde a fórmula

da expansão de uma onda plana em termos de harmonicos esfêricos,

ei~ki·~r/~ =

∞∑`=0

(2`+ 1) i`j` (kir/~)P` (cos θ)

= 4π∞∑`=0

i`j` (kir/~)∑m

Y`m

(~Ω~r

)Y ∗`m

(~Ω~ki

). (220)

Vamos considerar o comportamento asintótico desta função quando |~r| → ∞. Isto é,observamos a função de onda estacionária bem longe do centro espalhador. Utilizando a

forma asimtótica da função de Bessel esférica,

j` (kr/~) ' ~kr

cos

(kr/~− `+ 1

2π

)=

~2kr

[ei(kr/~−

`+12π) + e−i(kr/~−

`+12π)],

temos

ei~ki·~r ' 4π

∑`

i`~

2kr

[ei(kr/~−

`+12π) + e−i(kr/~−

`+12π)]∑

m

Y`m

(~Ω~r

)Y`m

(~Ω~ki

). (221)

90

Substituindo as Eqs.(218) e (221) na Eq.(202), e lembrando que temos

ψE ' 4π∑`

i`~

2kr

[ei(kr/~−

`+12π) + e−i(kr/~−

`+12π)]∑

m

Y`m

(~Ω~kf

)Y ∗`m

(~Ω~ki

)− 1

4π(2m

~2)1

re+ikr/~

∑`

1

2πi

(1− ei2δ`(E)

) (2π~)3

mk

∑m

Y`m

(~Ω~kf

)Y ∗`m

(~Ω~ki

)= 4π~

∑`

eiπ2`

2kr

[e−i(kr/~−

`+12π) + ei2δ`(E)e+i(kr/~− `+1

2π)]∑

m

Y`m

(~Ω~kf

)Y ∗`m

(~Ω~ki

)= 4π~

∑`

eiπ2`

2kr

[e−i(kr/~−

`+12π) + ei2δ`(E)e+i(kr/~− `+1

2π)]

(2`+ 1)P` (cos θ) . (222)

Podemos interpretar este resultado da seguinte forma. A soma em ` representa a decom-

posição do estado estacionário ψE em termos de autoestado de momento angular orbital `.

O componente da função de onda para momento angular ` é chamado de onda parcial-`.

O primeiro termo na chave [] representa a onda esférica convergente. O segundo termo é a

onda esférica divergente. Assim, a função de onda tem a estrutura,

ψE =∑`

(φ

(in)E,` + S`φ

(out)E,`

),

isto é, a onda estacionária é a soma da onda convergente e a onda divergente correspondente,

alterada pela aplicação da matriz S. Se não existe o potencial,

δ` (E) = 0,

e, portanto,

S` = 1,

e a Eq.(222) recupera a forma asintótica da onda plana. Para uma dada onda parcial-`, o

efeito do potencial desloca a fase da onda divergente em relação ao caso da partícula livre

(sem potencial).

e+i(kr/~− `+12π) → e+i(kr/~− `+1

2π+2δ`).

A onda parcial-` tem a forma,

ψ`E ∼ 4πi~eiπ2 `eiδ`

2kr

[e−i(kr/~−

`2π+δ`) − e+i(kr/~− `2π+δ`)

](2`+ 1)P` (cos θ)

= −4π~eiπ2 `eiδ`kr

[sin

(kr/~− `

2π + δ`

)](2`+ 1)P` (cos θ) .

Comparando a expressão acima no caso de sem potencial ( δ` = 0 ), a única diferença é o

deslocamento de fase da função de onda radial na região asintótica (r → ∞), como se verna figura abaixo.

91

r

δ>0

Para δ > 0, a função de onda radial fica deslocado a origem pela fase δ, como se fosse o

potencial “puxa”a função de onda para dentro. Para δ < 0, a situação é contrária,

r

δ<0

o efeito do potencial “empurra”a função de onda para a fora. Em geral, quando o potencial

é atrativo, temos δ > 0 e quando o potencial é repulsivo, δ < 0.

A decomposição de função de onda em ondas parciais é equivalente a seguinte expansão

da amplitide de espalhamento em termos de polinômios de Legendre,

f (θ, φ) =~

2ik

∞∑`=0

(2`+ 1)(e2iδl − 1

)P` (cos θ) (223)

=~k

∞∑`=0

(2`+ 1) eiδ` sin δ`P` (cos θ) . (224)

92

A seção de choque diferencial,dσ

dΩ= |f (θ)|2

não fica numa soma simles de ondas parciais, mas a seção de choque total fica

σ =

∫dΩ

dσ

dΩ

=4π~2

k2

∑`

(2`+ 1) sin2 δ`, (225)

isto é a soma das seção de choque de ondas parciais,

σ =∑`

σ`,

onde

σ` =4π~2

k2(2`+ 1) sin2 δ`.

1. Parâmetro de Impacto

A expressão Eq.(225) fornece uma interpretação interessante. Classicamente a seção

de choque diferencial é dada pela área de feixe incidente correspondente ao intervalo do

paramêtro impacto [b, b+ db]

dσ = 2πbdb.

Por outro lado, o momento angular é dado por

~L = bki,

portanto,

dσClassico = 2π

(~k

)2

LdL

= π

(~k

)2

d~L2

→ π

(~k

)2

(2`+ 1) ,

onde na última linha, usamos que

L2 = ` (`+ 1) ,

d`→ 1.

93

A seção de choque total fica

σClassico = π

(~k

)2∑`

(2`+ 1) ,

o que lembra a Eq.(225). Desta forma, a fora do fator

4 sin2 δ`,

que vem essencialmente o efeito quântico, a soma das ondas parciais corresponde a integral

em parâmetro de impacto. De fato, a função Bessel esferica j` (kr/~) que representa a função

de onda incidente tem máximo justamente quando

r ' b =~√` (`+ 1)

k.

E. Propriedade Analítica de Matriz S, polos e resonâncias

Frequentemente os dados experimentais de seção de choque manifestam picos agudos

como função da energia incidente, que chamamos de ressoâncias (as ressonâncias se referem

aos picos da seção de choque como função da energia incidente, e não aos picos em fução de

parametros de estados finais, tipo difração). As ressonâncias são intimamente ligadas aos

estados quase ligados do sistema, e fornecem importantes informações sobre o Hamiltoniano

do sistema. Para ver isto, lembramos que a amplitude de espalhamento é proporcional ao

elemento de matriz T ,

T (E) = HI +HI1

E + iη −H HI (226)

onde o primeiro termo é chamado o termo de Born e em geral não possui o comportamento

ressoante, ou seja, a dependência em energia aguda. A contribuição para ressonâncias vem

do segundo termo. Por esta razão, e para simplificar o argumento, omitimos a contribuição

de Born na discussão do comportamento ressoante da seção de choque aqui.

Pelo teorema ótico, a seção de choque total é proporcional à parte imgaginária da ampli-

tude de espalhamento na direção dianteira,

fE ≡ f(θ = 0, φ = 0) ∼ =m [ 〈~ki | HI1

E + iη −H HI | ~ki〉 ], (227)

onde o termo de Born foi omitido. Seja | ψEj 〉 o conjunto completo dos auto-estados de

94

H. Utilizando a completeza destes estados, podemos escrever

〈~ki | HI1

E + iη −H HI | ~ki〉 =∑Ej

〈~ki | HI | ψEj 〉1

E + iη − Ej〈ψEj | HI | ~ki〉

=∑j

ρjE + iη − Ej

+

∫E′>0

dE ′ ρ(E ′)

E + iη − E ′ (228)

onde

ρj ≡ | 〈~ki | HI | ψEj 〉 | 2, (229)

ρ(E ′) ≡∑

j,Ej=E′

| 〈~ki | HI | ψEj 〉 | 2 (230)

e na última linha da Eq.(228), separamos a contribuição dos estados discretos da energia

dos estados contínuos. Podemos ver assim que se a energia incidente E coincidisse com

um dos autovalores discretos, Ej, f divergiria. Mas, isto não acontece nos procecessos de

espalhamento, pois os autovalores discretos da energia são dos estados ligados e em geral

menores que 0, enquanto o valor da energia incidente para um processo de espalhamento

é positivo. De qualquer forma, se consideramos a amplitude de espalhamento como uma

função matemática da variável E, estendendo seu domínio em E até valores complexos,

a amplitute terá os polos nos valores dos auto-estados de energia do sistema. A integral

do segundo termo da Eq.(228) mostra que há um corte no eixo real positivo. A estrutura

analítica da amplitude de espalhamento como uma função de variável complexa E é ilustrada

na Figura abaixo.

A Eq.(228) lembra o teorema integral de Cauchy,

f(z) =1

2πi

∮D

dz′f(z′)

z′ − z , (231)

onde f é uma função analítica em z, exceto por singularidades isoladas, no domínio D. De

fato, se a amplitude f(E) é uma função analítica em E exceto nos polos e cortes indicados

na figura, podemos escrever

f(E) =1

2πi

∮D

dE ′f(E ′)

E ′ − E , (232)

onde o domínio D é ilustrado na Fig.2. Supondo que f(E) decresça rapidamente para

| E | → ∞ de tal maneira que a contribuição para a integral sobre o círculo grande se

95

torna nula, temos

f(E) = polos +1

2πi

∫ ∞0

dE ′[f(E ′ + iη)

E ′ + iη − E − f(E ′ − iη)

E ′ − iη − E ]

=∑j

Rj

E − Ej+

1

π

∫E′>0

dE ′=mf(E ′)

E ′ + iη − E (233)

onde Rj são resíduos das singularidades discretas. Em particular, se utilizamos a condição

de unitaridade para a matriz T,

1

2πi[T †(E)− T (E) ] = T †(E)

∑j,Ej=E

| ψj〉 〈ψj | T (E) (234)

vemos a equivalência das Eqs.(74) e (70). A Eq.(74) é chamada relação de dispersão. É

importante lembrar que na Eq.(70), nenhuma propriedade da Equação de Schrödinger foi

utilizada. Os únicos elementos básicos para estabelecer a relação de dispersão são a analiti-

cidade e unitaridade da amplitude de espalhamento. Os polos (e seus resíduos) e a parte

imaginária são imediatamente relacionados aos observáveis. Desta forma, a relação de dis-

persão é utilizada para discutir as propriedades gerais da amplitude de espalhamento sem

depender do modelo específico. Em termos de função analítica de E, os auto-estados do sis-

tema ( i.e, os estados ligados ) se manifestam como os polos da amplitude de espalhamento

no eixo real. Além destes polos, a amplitude pode ter outros polos. Quando um polo está

bem próximo do eixo real,

∼ R

E − Epolo, Epolo = ERes − i

Γ

2(235)

sendo ERes > 0 e R é o resíduo. Então, para E ∼ ERes, a amplitude f(E) pode ser

aproximada por

f(E) ∼ R

E − ERes + i Γ/2(236)

Assim, a seção de choque total perto desta energia se comporta como

σtot = −4π

ki=m f(E) ∼ 4πR

ki

Γ/2

(E − ERes)2 + Γ2/4(237)

que é a fórmula de Breit—Wigner da ressonância de um nível.

F. Decaimento de um Estado Quase ligado

O polo da amplitude que contribui para a ressonância é o polo do propagador do sistema,

G(E). Para compreender o significado físico deste polo, vamos estudar o desenvolvimento

96

do estado preparado inicialmente no estado | 0 > cuja energia está perto do estado de

ressonância. No tempo t, este estado é dado por

| Ψ(t)〉 = U+(t, 0)| 0〉 =i

2π

∫ +∞

−∞dE G(E) e−iEt| 0〉. (238)

A probabilidade do sistema permanecer no estado inicial | 0 > é dada por

P (t) = | 〈0| Ψ(t)〉 | 2 = | i

2π

∫ +∞

−∞dE < 0|G(E)|0 > e−iEt| 2. (239)

Se o estado está perto de ressonância, podemos aproximar a quantidade 〈0|G(E)|0〉 por

〈0|G(E)|0〉 ∼ R

E − ERes + iΓ/2. (240)

Substituindo esta aproximação na Eq.(80), temos

P (t) ∼ R e−Γt . (241)

Isto é, a probabilidade decresce exponencialmente no tempo, indicando que este estado decai

em tempo com a vida média

t1/2 = ln 2 /Γ . (242)

Assim, estabelecemos a relação entre a vida média de um estado quase ligado e a largura da

ressonância. Qualitativamente falando, a reação ressonante é interpretada como a formação

do estado quase ligado, e este estado sobrevive num certo intervalo de tempo e decai nos

estados finais. A vida média deste estado intermediário está de acordo com o Princípio da

Incerteza,

∆t ∆E ' ~. (243)

A característica do decaimento de um estado ressonante é que, exceto os números quânticos

conservados, a perda das informações contidas no estado inicial. Por exemplo, se duas

partículas sem spin espalham através de um estado ressonante, a distribuição angular ficaria

isotrópica.

Podemos calcular a energia da ressonância e sua largura, aplicando a teoria de pertur-

bação. Até a segunda ordem em HI , temos

G(E) = G0(E) +G0(E) HI G0(E) + G0(E) HI G0(E) HI G0(E) (244)

97

Com isto, temos

〈0 | G(E) | 0〉 = 〈0 | G0(E) | 0〉 + 〈0 | G0(E) HI G0(E) | 0〉

+ 〈0 | G0(E) HI G0(E) HI G0(E)| 0〉

=1

(E − E0)2

E − E0 + 〈0 | HI | 0〉 +∑l

| 〈0 | HI | l〉 | 2

E + iη − El

(245)

No último termo, podemos usar a fórmula,

1

E + iη − El= Pr

1

E − El+ πi δ(E − El). (246)

onde Pr representa a parte principal. A Eq.(245) fica

〈0 | G(E) | 0〉 =1

(E − E0)2[E−E0 + 〈0 | HI | 0〉 + πi

∑l

| 〈0 | HI | l〉 | 2 δ(E−El) (247)

Na Eq.(247) a contribuição da parte principal foi desprezada, pois esta é a correção da

segunda ordem na parte real do deslocamento em energia. Dentro da mesma apro-ximação,

temos

1

< 0 | G(E) | 0 >= (E − E0) ×

[1 +

< 0 | HI | 0 > + πi∑l | < 0 | HI | l > | 2 δ(E − El)E − E0

]−1

(248)

'E − E0− < 0 | HI | 0 > − πi∑l

| < 0 | HI | l > | 2 δ(E − El).

(249)

Assim, podemos identificar os parâmetros da Eq.(240) por

ERes = E0 + < 0 | HI | 0 > , (250)

Γ = 2π∑l

| < 0 | HI | l > | 2 δ(E − El) , (251)

e o resíduo R é um. Note que a largura é igual à soma das taxas de transições sobre todos

os estados (cf. a regra de ouro).

Exemplos

98

XI. ESPALHAMENTO POR POTENCIAL “ESFERA RIGIDA”

Consideramos o problema de espalhamento de uma partícula com massam pelo potencial

de ”esfera rigida”,

V =

∞,0

r ≤ a

r > a..

Vamos obter a seção de choque diferencial. No caso da Macânca Clássica, temos

dσ

dΩ=

1

4a2.

Para resolver este problema, o tratamento de ondas-parciais é conveniente. Uma das vanta-

gens da abordagem de ondas parciais é que dependendo da energia incidente, apenas número

finito de ondas parciais são relevantes. No limite de baixa energia, apenas onda S contribui

para a seção de choque. Como vimos, para obter a seção de choque, devemos calcular a

defasagem, δ` para o momento angular `. A seção de choque diferencial é dada por

dσ

dΩ= |f (θ)|2 ,

com

f (θ) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1) eiδ` sin δ`P` (cos θ) , (252)

e a seção de choque total

σ =4π

k2

∑`

(2`+ 1) sin2 δ`, (253)

onde

k =

√2mE

~2

e E é a energia incidente.

A defasagem δ` pode ser obtida pela a solução de equação de Schrödinger radial,[− ~

2

2m

1

r

d2

dr2r +

~2

2m

` (`+ 1)

r2+ V (r)

]R (r) = ER (r) . (254)

Esta equação tem a forma,

− ~2

2m

d2χ (r)

dr2+ Veff (r)χ (r) = Eχ (r) , (255)

onde

Veff (r) = V (r) +~2

2m

` (`+ 1)

r2, (256)

χ (r) = rR (r) . (257)

99

Para r →∞, isto é, para r tal que~2

2m

` (`+ 1)

r2 E,

a Eq.(255) fica asintoticamente

− ~2

2m

d2χ (r)

dr2' Eχ (r) ,

e sua solução pode ser escrita na forma,

χ ' A sin(kr − π

2`+ δ`

).

Aqui, a defasagem δ` é um parâmetro e não pode ser determindada pelo somente na região

asintótica. Para saber δ`, precisa saber a solução da Eq.(255) com a condição de contorno.

Para r ≥ a, a Eq.(254) fica[− ~

2

2m

1

r

d2

dr2r +

~2

2m

` (`+ 1)

r2

]R (r) = ER (r)

ou

R′′ +2

rR′ +

[k2 − ` (`+ 1)

r2

]R = 0,

que é a equação de Bessel esferica. Portanto, a solução pode ser escrita como uma combi-

nação linear de duas soluções linearmente independentes,

R (r) = Aj` (kr) +Bn` (kr) .

A fora da normalização, os coeficientes A e B devem ser determinados para satisfazer a

condição de contorno,

R (r = a) = 0,

pois para r < a, V →∞. Temos

Aj` (ka) +Bn` (ka) = 0,

e consequentemente temos

R (r) = C n` (ka) j` (kr)− j` (ka)n` (kr) .

A forma asintótotica desta função fica

R (r) ' C1

kr

n` (ka) sin

(kr − `π

2

)+ j` (ka) cos

(kr − `π

2

)= C

√j` (ka)2 + n` (ka)2 sin

(kr − `π

2+ δ`

),

100

onde

tan δ` =j` (ka)

n` (ka).

Para ka 1, temos

δ` ' − (ka)2`+1 ,

e vemos que apenas ` = 0 que contribui na amplitide de espalahmento. Neste caso, temos

dσ

dΩ' const,

e

σ ' 4πa2, (258)

isto é, a seção de choque total fica 4 vezes maior que o valor geométrico da esfera rígida.

Por outro lado, para ka 1, podemos utilizar a forma asintótica de função de Bessel

para j` (ka) e n` (ka) e

tan δ` ' −sin(ka− `π

2

)cos(ka− `π

2

) ,portanto,

δ` ' ka− `π

2.

O somatório na Eq.(253) deve estender até ` ' `max = ka, o que corresponde ao valor

máximo do momento angular para o qual o espalhamento clássico pode ocorrer. Como

`max 1, podemos substituir o somatório pela integral,

σ =4π

k2

∑`

(2`+ 1) sin2 δ`

→ 4π

k2

∫ `max

0

d` (2`+ 1) sin2(ka− π

2`)

' 2πa2. (259)

Como se ver, a seção de choque total neste limite fica 2 vezes da seção de choque geométrica.

XII. TEOREMA ÓTICO (VIA ONDAS PARCIAIS)

Pela unitaridade da matriz S, vimos que vale o teorema ótico,

σTot =4π

kiIm f(0, 0).

101

Vamos verificar explicitamente esta propriedade usando as Eqs.(252) e (253). Temos

f (0, 0) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1) eiδ` sin δ`P` (0)

=1

k

∞∑`=0

(2`+ 1) eiδ` sin δ`.

Portanto,

Im f (0, 0) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1) sin2 δ`.

Comparando com

σTot =4π

k2

∑`

(2`+ 1) sin2 δ`,

temos immediatamente

σTot =4π

kiIm f(0, 0).

XIII. APROXIMAÇÃO DE BORN

Na fórmula,

f (θ, φ) =

(− 1

4π

)(2M

~2

)〈~kf |T (E) |~ki〉,

com

T (E) = V + V1

E + iη −H0

T (E) ,

esperamos que a contribuição do segundo termo deve ser pequeno para E V com V finito.

Desta forma, a aproximação

T (E) ' V (~r) ,

deve valer para a enegia suficientemente alta. Esta aproximação é chamada de aproximação

de Born (da primeira ordem). Temos

f (θ, φ) =

(− 1

4π

)(2M

~2

)〈~kf |V (~r) |~ki〉

=

(− 1

4π

)(2M

~2

)∫d3~rV (~r) e−i(

~kf−~ki)·~r2/~

=

(− 1

4π

)(2M

~2

)V (~q) ,

onde

~q = ~kf − ~ki,

102

é chamado de momento transferido e V é a transformada de Fourier do potencial V (r).

A amplitude de espalhamento é proporcional a transformada de Fourier do potencial V (~r)

em termos de momento transferido. Como sabemos, a transformada de uma função cor-

responde a decomposição em várias frequências de oscilação da variável. Desta forma, a

amplitude de espalhamento f (θ, φ) seleciona o componente do potencial V (~r) da frequência

correspondente ao momento transferido ~q. No caso de espalhamento elástico, temos

|~q|2 = 2k2 (1− cos θ) ,

e para um dado ângulo de espalhamento, o momento transferido fica maior para maior

energia. Isto é, a amplitude de espalhamento “ver” o componente do potencial oscilante

cada vez menor complimento de onda, quando aumenta a energia incidente. Isto é, com

maior energia, vemos a menor estrutura do potencial.

103

Lista de Questões

1. Considere os significados físicos dos limites de baixa e alta energias da seção de choque

de espalhamento por uma esfera rígida,

σTot =

4σGeometrica,

2σGeometrica

E → 0,

E →∞.

2. Calcule a defasagem δ` para o potencial

V =

V0 < 0,

0

r ≤ a

r > a..

Resposta:

tan δ` (k) =γj` (ka)− kj′` (ka)

γn` (ka)− kn′` (ka),

com

γ =j′` (qa)

j` (qa),

e

q2 =2m (E + V0)

~2.

3. A aproximação de Born vale quando a função de onda dentro do alcance do potencial

não difere muito da onda incidente. Ou seja,

‖|φ0〉‖ ∥∥∥∥ 1

E + iη −H0

V |φ0〉∥∥∥∥ . (260)

Para um poço de potencial

V (r) = −V0, r < a,

= 0, r > a

aplique a condição Eq.(260) e demostre que a aproximação de Born pode ser utilizado

mesmo para baixas energias, desde que o potencial não possui estados ligados.

4. Considere um potencial de Yukawa,

V (r) = −V0e−µr

µr(261)

104

(a) Calcule a seção de choque diferencial e a seção de choque total utilizando a

aproximação de Born.

(b) Determine a condição de aplicabilidade acima em termos de energia incidente.

(c) Obtenha o valor de seção de choque total na unidade de mb (1mb = 10−27 cm2)

para a colisão de proton e neutron, com o momento incidente do proton no sistema

de centro de massa = 50 MeV/c, V0 = 10MeV e µ =1.3 fm (= 10−13cm). As

massas de proton e neutron são 940 MeV.

5. Considere um potencial Coulombiano entre duas cargas, eZ1 e eZ2,

V (r) =Z1Z2e

2

r. (262)

Calcule a seção de choque diferencial na aproximação de Born e compare com a seção de

choque de Rutherford, obtida clássicamente. A seção de choque total tem significado?

Porque na vida real, não tem esse problema?

6. Da expressão,

ψE =∑`

(φ

(in)E,` + S` (E)φ

(out)E,`

),

e fazendo a contiuniação analítica da energia no domínio E < 0, argumente que o polo

da matriz S` (E) para cada onda parcial corresponde o estado ligado deste momento

angular.

7. Escrevemos a decomposição de ondas parciais de amplitude de espalhamento por um

potencial como

f (θ) =∑`

(2`+ 1) f` (E)P` (cos θ) .

(a) Mostre que

f` (E) =1

k cot δ` (E)− ik . (263)

(b) Podemos definir a seção de choque parcial σ` como

σTot =∑`

σ`,

onde

σ` (E) =4π (2`+ 1)

k2sin2 δ` (E) .

105

Para um dado `, variando a energia, a seção de choque parcial σ` (E) pode mani-

festar picos agudos como função de E,quando sin δ` → 1, e cot δ` → 0. Escrevendo

o valor da energia que cot δ` (E)E=ER= 0, podemos expandir na proximidade

desta energia, podemos escrever

δ` (E) ' − 2

Γ(E − ER) +O

((E − ER)2) ,

onded

dEcot δ` (E)

∣∣∣∣E=ER

= − 2

Γ,

obtenha a fórmula de Breit-Wigner para a resonância,

σ` '4π (2`+ 1)

k2

(Γ2

)2

(E − ER)2 +(

Γ2

)2 .

(c) Como discutimos, a presença de resonância é considerado a existência de um

estado "quase ligados". Que tipo de estado quase ligado que resulta na resonância

acima?

8. O espalhamento por um potencial Coulombiano pode ser resolvido exatamente, sem

utilizar a aproximação de Born. Consideramos a equação de Schrödinger para a coor-

denada relativa ~r, (− ~

2

2µ∇2 +

ZZ ′e2

r

)ϕE (~r) = EϕE (~r) .

Escrevendo

E =~2k2

2µ=

1

2µv2, γ =

ZZ ′e2

~v,

temos (∇2 + k2 − 2γk

r

)ϕE (~r) = 0.

(a) Se colocamos

ϕE (~r) = eikzf (r − z) ,

a função f (ξ) é dada pela função hipergeométrica confluente

f (ξ) = cF (−iγ; 1; ikξ) ,

onde c é uma constante e a função hipergeométrica confluente F (a; b; z) é definida

como a solução da equação,

zd2F

dz2+ (b− z)

dF

dz− aF = 0.

106

Aqui, F é normalizada como F (a; b; 0) = 1.

(b) Utilizando a forma asintótica de F , demonstre que

ϕE (~r) ∼ exp [i (kz + γ ln (r − z))]

[1− γ2

ik (r − z)+ · · ·

]|r−z|→∞

+ fC (θ)1

rexp [i (kr − 2γ ln 2kr)] (264)

onde

fC (θ) =exp

[−iγ ln

(sin2 θ

2

)]2ik sin2 θ

2

Γ (1 + iγ)

Γ (−iγ)

(c) O fator,

exp [i (kz + γ ln (r − z))]

nunca converge a uma onda plana mesmo para |r − z| → ∞. Entretanto, demon-stre que a corrente,

~j =1

µRe

[ϕ∗E (~r)

~i∇ϕE (~r)

]converge a

~jinc = ~v =~kµ

para z → −∞.

(d) Calcule a corrente para a parte da onda espalhada e demonstre que

~jesp =~r

r3v |f (θ)|2 .

(e) Calcule a seção de choque diferencial e compare o resultado com a seção de choque

clássica de Rutherford.

A. Equação de Klein-Gordan

A equação de Schrödinger para uma partícula livre de massa repousa m0,

i~∂

∂tψ(t, r) =

p2

2m0

ψ(t, r) (265)

107

ovbiamente não é covariante, pois as derivadas temporal e espacial entram na equação de

forma não simétrica. Uma maneira imediata de obter a equação covariante é utilizar a

substituição,

E → i~∂

∂t,

p→ ~i∇ ,

na relação de energia-momento,

(E/c)2 − p2 = (m0c)2

Assim, obtemos a Equação de Klein-Gordan,

(i~∂

c∂t)2φ(t, r)− (

~i∇)

2φ(t, r) = (m0c)

2φ(t, r)

ou

(∂µ∂µ + µ2)φ(t, r) = (+ µ2)φ(t, r) = 0 (266)

onde µ = m0c/~.

Exercise 17 Exercício: Determine a dimensão do µ. (A quantidade, 1/µ é chamada o

complimento de Planck da partícula).

A equação (266) é covariante se a função φ(t, r) é escalar, pois o operador entre parentese

é escalar como visto no Exercício anterior).

B. Interação Eletromagnética

Consideramos o movimento de uma partícula carregada num campo elétrico ~E = ~E(~r, t)

e magnético ~B = ~B(~r, t). Primeira, vamos ver a mecanica clássica não relativística. A força

de Lorentz que atua para a partícula com carga e é dada por

~F = e

[~E +

1

c~v ×B

]. (267)

Agora, escolhendo o potencial escalar Φ = Φ(~r, t) e o potencial vetorial ~A(~r, t), podemos

sempre escrever

~E = −1

c

∂ ~A

∂t−∇Φ, (268)

~B = ∇× ~A, (269)

108

Assim, em termos destes potenciais, a força de Lorentz é expressa por

~F = e

[−1

c

∂ ~A

∂t−∇Φ + ~v ×∇× 1

c~A

].

Mas

~v ×∇× ~A = ∇(~v · ~A)− (~v · ∇) ~A, (270)

então

~F = e

[−1

c

∂ ~A

∂t−∇Φ +∇(~v · 1

c~A)− (~v · ∇)

1

c~A

]. (271)

Agora, o campo vetorial ~A depende no tempo e na posição,

~A = ~A(~r, t).

onde ~r e t são variáveis independentes. Mas a variação temporal deste campo dA vista pela

partícula carregada num intervalo do tempo, [t, t+ dt] será dada por

d ~A ≡ ~A(~r + ~vdt, t+ dt)− ~A(~r, t)

=

vx∂ ~A

∂x+ vy

∂ ~A

∂y+ vz

∂ ~A

∂z+∂ ~A

∂t

dt

=

[(~v · ∇) ~A+

∂ ~A

∂t

]dt,

pois a partícula se move a distância, ~vdt. Assim, temos

d ~A

dt= (~v · ∇) ~A+

∂ ~A

∂t. (272)

Substituindo esta expressão na Eq.(271), temos

~F = e

[−1

c

d ~A

dt−∇Φ +∇(~v · 1

c~A)

]. (273)

A equação de movimento da partícula carregada fica então,

md2~r

dt2= e

[−1

c

d ~A

dt−∇Φ +∇(~v · 1

c~A)

], (274)

oud

dt

md~r

dt+e

c~A

= −∇

eΦ− e

c(~v · ~A)

. (275)

109

Pela inspecção, esta equação pode ser escrita na forma de uma equação de Euler-Lagrange,

d

dt

∂L

∂(d~rdt

) = ∇L, (276)

se escolhemos

L =1

2m

(d~r

dt

)2

+e

c

(d~r

dt

)· ~A− eΦ (277)

=1

2m~v2 +

e

c

(~v · ~A

)− eΦ, (278)

onde ~v é a velocidade da partícula. Quando comparar com a forma,

L = T − U, (279)

então,

U = eΦ− e

c

(~v · ~A

). (280)

Isto é, o potencial correspondente a interação com o campo eletromagnético depende não só

da posição mas também depende da velocidade da partícula. Note que, devido a dependencia

em ~v do potencial U , o momento canonico para ~r já não é mais m~v. Temos

~p =∂L

∂~v= m~v +

e

c~A 6= m~v ! (281)

O Hamiltoniano fica

H = ~v · ~p− L

=m

2~v2 + eΦ

=1

2m

(~p− e

c~A)2

+ V + eΦ

Assim, a relação de energia e momento para uma partícula não relativística é dada por

E − eΦ =1

2m

(~p− e

c~A)2

. (282)

A generalização relativística da equação acima pode ser obtida, considerando que

pµ =

E/c

~p

e

Aµ =

Φ

~A

110

são quadri-vetores, podemos definir quadri-vetor

pµ − e

cAµ =

(E − eΦ) /c

~p− e/c ~A

,

e interpretar a Eq.(282) como sendo o limite não relativístico da condição de môdulo con-

stante deste vetor, (pµ − e

cAµ)2

= (mc)2 . (283)

Da relação acima, e substituição,

pµ → i~∂µ =

i~∂0

−i~∇

,

temos a equação de Klein-Gordan para uma partícula carregada, interagindo com um campo

elétromagnético,[(i~∂t − eΦ)2 /c2 −

(~i∇− e/c ~A

)2

− (mc)2

]φ (~r, t) = 0.

ou (∂µ + i

e

~cAµ

)2

+ µ2

φ = 0 (284)

C. Limite Não Relativístico

Para recuperar a equação de Schrödinger, suponhamos que a solução tenha a forma:

φ(t, r) = e−iµ x0

ψ(t, r), (285)

com x0 = ct. Substituindo na Eq.(266), o termo de µ2 cancela com a segunda derivada em

t do pre-fator e−iµ x0e temos

−2iµ∂

∂x0ψ(t, r) + (

∂

∂x0)2ψ(t, r)− ∇2ψ(t, r) = 0 (286)

Se a magnitude da variação espacial da função ψ(t, r) é comparável com a da variação

temporal num sistema de unidade onde c 1 (o que é caso nummovimento não relativístico)∣∣∣∇ψ(t, r)∣∣∣ ∼ |∂tψ(t, r)| ,

então podemos desprezar o segundo termo em relação à outras, pois∣∣∣∇ψ(t, r)∣∣∣ 1

c|∂tψ(t, r)| (287)

111

Assim, temos

i~∂

∂tψ(t, r) = − ~2

2m0

∇2ψ(t, r) (288)

que é a equação de Schrödinger de uma partícula livre.

Se tiver o efeito de campo eletromagnético, em vez da Eq.(266), utilizando a Eq.(284),

mantendo somente os termos de ordem mais baixa em relação a (1/c) , temos a Equação de

Schrödinger de uma partícula carregada no campo eletromagnético.

i~∂

∂tψ(t, r) =

− ~2

2m0

(∇−i e

~c~A)2

+ eΦ

ψ(t, r)

D. Solução de Onda Plana

Eq.(266) tem a solução de onda plana,

φ(±)p (x) = e∓

i~ p·x = e∓

i~ (p0ct− p·r) (289)

onde p constitui 3 parametros livres que especifca a onda plana e

p0 =√p2 + (m0c)2 (290)

A solução geral é a combinação linear destas ondas planas.

φ(x) =

∫d3p [ape

− i~ p·x + bpe

+ i~ p·x ] (291)

Para explicitar a covariância da solução, podemos re-escrever a solução acima por

φ(x) =

∫dp0d3p δ(p0 −

√p2 + (m0c)2) [ape

− i~ p·x + bpe

+ i~ p·x ]

=

∫d4p δ(p2 − (m0c)

2)Θ(p0) [a(p)e−i~ p·x + b(p)e+ i

~ p·x ] (292)

onde Θ é a função de Heaviside e definimos a(p) = 2p0ap e b(p) = 2p0bp. Desta forma,

se a(p) e b(p) são funções escalares de p, podemos ver claramente que φ(x) é uma função

escalar.

E. Corrente Conservada

Como vimos, o fato de que φ é um escalar garante que a equação de Klein-Gordan

é covariante. Por outro lado, já que φ é escalar, ele não pode ser interpretado como a

112

amplitude de probabilidade. Ou seja,

|φ|2 → ρ

não pode ser feita, pois a densidade de probabilidade ρ não é escalar. A densidade de

probabilidade é necessariamente o 0-esmo componente de um quadrivetor. Isto pode ser

visto pela equação de continuidade,

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (293)

onde j é a corrente de probabilidade. Para a equação de continuidade seja uma expressão

covariante, ρ e j devem formar um quadrivetor,

jµ = cρ, j (294)

Da equação de Klein-Gordan, podemos verificar que a quantidade

jµ =i~

2m0

(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) ≡ i~2m0

(φ∗←→∂µφ), (295)

satisfaz o requisito de ser quadrivetor para densidade de probabilidade, onde o operador com

a seta dupla é definido por

A←→∂ B = A (∂B)− (∂A)B.

A constante em frente da parentese foi introduzido para reproduzir a expressão de den-

sidade e corrente da probabilidade no caso de não relativístico. De fato substituindo

φ = e−im0c2t/~ψ(t, r) e tomando até primeira ordem em 1/c, temos

ρ = ψ∗ψ, j =~

2m0i(ψ∗←→∇ ψ) (296)

reproduzindo corretamente a densidade de probabilidade e corrente no caso de Equação de

Schrödinger.

Entretanto, para regime relativística, a definição de densidade de probabilidade

ρ =i~

2m0c(φ∗∂tφ− φ∂tφ∗) (297)

encontra-se a dificuldade, pois esta não garante a positividade da densidade de probabilidade.

Assim, temos um dilema: Para aceitar a Equação de Klein-Gordan como a generalização de

Equação de Schrödinger para situação relativística, φ tem que ser escalar, mas seu môdulo

quadrado não oferece a densidade de probabilidade.

113

F. Campo de Meson

Naturalmente, se ρ da Eq.(297) não precisa ser interpretada como a densidade de prob-

abilidade, a equação de Klein-Gordan pode ser utilizada para descrever a dinâmica de um

campo relativística. (Neste caso, ρ pode ser interpretada como a densida de de carga.)

Em analogia de campo eletrostatico, podemos consider o campo φ estática com uma fonte

localizada em origem. A equação para este caso fica

∇2φ− µ2φ = gδ(r) (298)

cuja solução é dada por

φ(r) = − g

4π

e−µ r

r(299)

que é conhecida pelo potencial de Yukawa para força de curto alcance.

G. Equação de Dirac

Para resolver a dilema, Dirac considerou a seguinte possibilidade. Lembrando que uma

partícula que tem o grau de liberdade intrinsêca, a função de onda pode ser expressa em

termos de vetor de coluna que tem mais que um componente. Vamos supor que a função de

onda de uma partícula relativística é descrita por um vetor de coluna de n componentes.

ψ(x) =

ψ1

ψ2

...

ψn

(300)

A dificuldade de definir a densidade de probabilidade não negativa no caso de Equação de

Klein-Gordan vem de fato que a equação contem a derivada de segunda ordem em tempo. As-

sim, supormos que a desejada equação relativística seja uma equação diferencial de primera

ordem no tempo. Neste caso, devido a simetria em tempo e espaço, a equação deve ser

também linear em derivada espacial. Assim, a forma mais geral deve ser

i(γ0∂0 + γ1∂1 + γ2∂2 + γ3∂3)ψ = µψ (301)

114

onde γµ = γ0, γ1, γ2, γ3 são matrizes n × n, e a constante no lado direito foi escolhido

como µ = m0c/~ sem perder generalidade. Para compactar a notação, escrevemos também

(iγ · ∂ − µ)ψ = 0 (302)

Agora, impormos que esta equação tenha a solução de onda plana equivalente a equação de

Klein-Gordan. Para isto, é suficiente que a Eq.(302) reduza a Equação de Kelin-Gordan.

Multiplicando o operador (−iγ · ∂ − µ) aos dois lados da Eq.(302), temos

[(γ · ∂)2 + µ2]ψ = 0 (303)

Lembrando as matrizes γ não necessariamente comutam entre si, temos

(γ · ∂)2 =∑µν

γuγν∂µ∂ν =1

2

∑µν

(γuγν + γνγµ) ∂µ∂ν (304)

Assim, se as matrizes γ satisfaz

γuγν + γνγµ = 2gµν (305)

Eq.(303) se torna a equação de Kelin-Gordan

(∂µ∂µ + µ2

)ψ = 0. (306)

Da Eq.(305), temos

(γ0)2 = −(γ1)2 = −(γ2)2 = −(γ3)2 = 1 (307)

portanto os autovalores de γ0 é ±1. Por outro lado, temos por exemplo,

γ0γ1 + γ1γ0 = 0

ou

γ0 = −γ1γ0(γ1)−1 (308)

Mas como (γ1)2 = −1, então, (γ1)−1 = −γ1. Assim,

γ0 = γ1γ0γ1 (309)

Tomando o traço de dois lados, temos

Tr(γ0) = Tr(γ

1γ0γ1) = Tr(γ1γ1γ0) = −Tr(γ0) (310)

115

mostrando que o traço da matriz γ0 é nulo. Podemos mostrar analogamente os traços das

demais matrizes γ são nulos. Juntando o fato de que os autovalores de γ0 são ±1 e seu traço

é nulo, concluimos que a dimensão desta matriz n tem que ser par. Naturalmente n > 0, as

possibilidades são n = 2, 4, 6, ... Entretanto, n = 2 é impossivel construir as matrizes que

satisfazem Eq.(305). Assim, o menor valor de n para qual existem 4 matrizes que satisfazem

Eq.(305) é 4.

Vamos estudar o caso n = 4.

Exercícios :

1. Prove que n = 2 é impossível.

2. Mostre que γi (i = 1, 2, 3) é matiz antihermitiana.

3. Mostre que 㵆 = γ0γµγ0.

4. Mostre que (n = 4) ,

• Tr(γi) = 0, i = 1, 2, 3.

• Tr(γµγν) = 4gµν

• Tr(γµγνγλ) = 0 (em geral, o traço de produtos de γ ímpar é nulo).

• Tr(γµγνγλγσ) = 4(gµνgλσ − gµλgνσ + gµσgνλ)

Para obter uma representação explicita, podemos escolher uma base tal que γ0 seja di-

agonal tendo a forma

γ0 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(311)

Da relação γi = −γ0γiγ0 e considerando que γi é anti-hermitiano, podemos escolher que as

γi’s tem a forma

γi =

0 σi

−σi 0

(312)

onde σi é a matriz hermitiana 2× 2. As relaçoes de anticomutadores entre γi em termos de

σi ficam

σiσj + σjσi = 2δij (313)

116

Assim, podemos identidifar as σi’s como as matrizes de Pauli. Desta forma, uma possível

representação de matrizes γ é

γ0 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

, γ1 =

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

, γ2 =

0 0 0 −i0 0 i 0

0 −i 0 0

i 0 0 0

, γ3 =

0 0 1 0

0 0 0 −1

1 0 0 0

0 −1 0 0

XIV. LORENTZ TRANSFORMATION OF DIRAC EQUATION

Nos vimos que, se φ é um escalar a equação de Klein-Gordan é covariante, e conse-

quentemente não pode interpretar como equação para amplitude de probabilidade. Mas isto

não quer dizer que a Eq.(306) não permite outra possibilidade. Sendo ψ um vetor coluna,

podemos ter possibilidade de que, quando muda um sistema de referencia para outra, ψ

pode se transformar como

ψ → ψ′ = Sψ,

sendo S uma matriz (n× n) ,que depende de transformação de Lorentz correspondente,

S = S (Λ) .

Obviamente, para uma transformação de sistema,

xµ

Queremos que a Eq.(302) mantenha sua forma quando visto de um outro sistema de

referencia relacionado por uma transformação de Lorentz. Sob a transformação de Lorentz,

os coordenadas se transformam como

x′µ = Λµνx

ν ,

xµ = Λ µν x′ν

e consequentemente as derivadas transformam como

∂′µ =∂xν

∂x′µ∂ν

= Λ νµ ∂ν , (314)

117

Supormos que a função de onda ψ também se transforma como

ψ (x)→ ψ′ (x′) = Sψ (x) , (315)

onde S é uma matriz que é função de Λ.

S = S (Λ) .

A Eq.(302) no sistema transformado é

iγµ∂′µψ′ (x′) = µψ′ (x′)

Substituindo Eqs.(314) e (315), temos

iγµSΛ νµ ∂νψ (x) = µSψ (x)

ou

i(S−1γµS

)Λ νµ ∂νψ (x) = µψ (x)

Para guarantir a covariancia, temos que ter(S−1γµS

)Λ νµ = γν

ou

S−1γµS = Λµνγ

ν . (316)

Essa equação determina quem é a matriz S para uma dada transformação de Lorentz Λ.

Vamos estudar um pouco a propriedade geral desta matriz.

No primeiro lugar, vamos deduzir a equação de continuidade a partir da Eq.(302). Para

isto, reescrevemos a Eq.(302) como

iγ0∂0ψ + i~γ · ∇ψ = µψ

Multiplicando γ0 e transferindo o termo que contem ∇,temos

i~∂ψ

∂t=

(c~α · ~

i∇+mc2γ0

)ψ (317)

onde recuperamos ~ e c, com µ = mc/~ e definimos

~α = γ0~γ =

0 ~σ

~σ 0

.

118

A Eq.(317) tem a forma de uma equação de Schrödinger,

i~∂ψ

∂t= Hψ,

onde

H = c~α · ~i∇+mc2γ0

= c~α · ~p+mc2γ0.

é o Hamiltoniano da Equação de Dirac.

Utilizando o método analogo, podemos deduzir a equação de continuidade,

∂ρ

∂t+∇ ·~j = 0,

onde

ρ = |ψ|2 ,

~j = cψ†~αψ

XV. SIMETRIA DE CALIBRE

A discussão extensa sobre a simetria unitária para os sabores de partículas elementares

acima foi desenvolvida na decada ’60. Essa simetria é global no sentido de a transformação

de simetria atua em todos os pontos no espaço-tempo universalmente. Embora a simetria

de sabores revelou uma estrutura de partículas elementares, na verdade não esclareceu a

origem da sua interação.

Para tratar simétrias nas descrições de interações entre partículas elementares, não

podemos deixar de falar a simetria de calibre. Aqui, apresentamos um conceito básico

de simetria de calibre.

Consideramos um sistema de osciladores harmônicos, ~qi (t) , i = 1, ..., i, ..., , localizadosnos pontos unidimensional xi, i = 1, 2, ... igualmente espaçados com distância ∆. Seja

Lagrangiana L do sistema dada por

L =∆

2

∑i

(d~qidt

)2

− ∆

2

∑i

(~qi − ~qi−1

∆

)2

, (318)

119

onde o vetor ~q é um elemento de espaço vetorial V abstrato, e não tem relação com o nosso

espaço tridimensional. Para evitar confusão de indices, denotamos

~qi (t)→ ~q (t, xi) ,

tal forma que consideramos ~q (x) como um campo. No limite contínuo, ∆→ 0,temos

L→∫dx

1

2

(∂~q

∂t

)2

− 1

2

(∂~q

∂x

)2. (319)

Para observar a quantidade ~q no ponto xi, devemos introduzir uma base, ~em,m = 1, .., ronde r é a dimensão de V, de tal forma que os produtos escalares

qm = (~em, ~q) , m = 1, .., r (320)

definem os valores observados (aqui estamos falando ainda no sentido da mecânica clássica)

do campo ~q. Assim, introduzimos notação

qObs =

(~e1, ~q)...

(~er, ~q)

para o campo observavel. É importante notar que a base no espaço vetorial V de um ponto

xi pode ser dependente do ponto xi, também pode depender do tempo. Ou seja, não temos

garantia de que uma base escolhido num ponto num instante tem que ser igual ao resto dos

pontos e tempo. Assim, devemos considerar em cada ponto xi,

~em (t, xi) , m = 1, .., r .

Invertendo a relação acima, temos

~q =∑m

~em (~em, ~q) . (321)

Introduzindo um outro conjuto de base comun a todos os pontos e tempo (base universal),~ξm,m = 1, .., r

, podemos escrever(

~ξm, ~q)

=∑m

∑l

(~ξl, ~em

)(~em, ~q) .

120

Podemos definir um vetor coluna,

qPhys =

(~ξ1, ~q

)...(

~ξr, ~q) ,

e ele é equivalente ao campo ~q original. Entretanto, note que esse vetor não é observável,

pois não podemos ter acesso a base universal~ξm,m = 1, .., r

. A relação entre qPhys e qObs

fica

qPhys = M qObs

onde M é um matriz,

M = (Mlm)

com

Mlm =(~ξl, ~em

).

Como a base ~em (t, x) , m = 1, .., r depende em t e x,

M = M (t, x) .

Podemos escrever a Lagrangiana em termos de observáveis físicas,

L =

∫dx

1

2

(∂qPhys∂t

)2

− 1

2

(∂qPhys∂x

)2

=

∫dx

1

2

(∂ (M qObs)

∂t

)2

− 1

2

(∂ (M qObs)

∂x

)2

=

∫dx

1

2

([∂

∂t+MT ∂M

∂t

]qObs

)2

− 1

2

([∂

∂x+MT ∂M

∂x

]qObs

)2,

onde utilizamos o fato de que a matriz M é uma matriz ortogonal. Agora, introduzimos um

campo matricialGµ, µ = 0, 1

(observável)

G0 =i

gMT ∂M

∂t,

G1 =i

gMT ∂M

∂x,

ou seja, na notação relativística,

Gµ =i

gMT∂µM, (322)

121

onde g é um constante que ajusta a dimensão do observável G. O simbolo,foi introduzidopara emfatizar que G é matriz no espaço de representação do grupo da simetria. De fato,

um operador

U (x, x+ dx) = egiGµdxµ

transporta um vetor qObs no ponto x para o ponto x+ dx,

q// (x→ x+ dx) = U (x, x+ dx) qObs (x) . (323)

Os campos Gµ então escritos como combinação linear de geradores da algebra de Lie do

grupo,

Gµ =∑i

Aiµ (x)λi,

com λis os geradores do grupo de simetria, satisfazendo a algebra de Lie correspondente,

[ λi, λj ] =∑k

Ci,jk λk. (324)

Introduzimos a derivada covariante por,

D0 =∂

∂t+g

iG0,

D1 =∂

∂x+g

iG1,

ou em geral,

Dµ = ∂µ +g

iGµ (325)

Enão, temos

L(qObs, Gµ

)=

∫dx

1

2(D0qObs)

2 − 1

2(D1qObs)

2

=

∫dx DµqObs ·DµqObs (326)

Embora a Lagrangiana acima tem duas variáveis, qObs e Gµ, a física é descrita por qPhys.

Ou seja, se introduzimos uma transformação em qObs e Gµ de tal que

qObs → q′Obs = U qObs, (327)

Gµ → G′µ =i

g

(MUT

)T ∂ (MUT)

∂xµ

= UGµUT +

i

gU∂UT

∂xµ(328)

122

a Lagrangiana fica invariante. Isto porque, a transformação acima mantem qPhys invariante,

qPhys → q′Phys = MUTU qObs

= qPhys

O conjunto de transformações, Eqs.(327) e (328) é conhecido como transformação de

calíbre, e primeiramente reconhecida no contexto de eletromagnetismo. A equação de

Schrödinger para uma partícula carregada num campo eletromagnético, expresso por po-

tencial eletromagnético,(φ, ~A

)é dada por

i~∂

∂tψ (t, ~r) =

[1

2m

(~i∇− e

c~A

)2

+ eφ

]ψ (t, ~r) . (329)

Notamos que, se introduzimos uma transformação de fase da função de onda,

ψ (t, ~r)→ ψ (t, ~r)′ = ei~χ(t,~r)ψ (t, ~r) ,

com a fase arbitrário, χ (t, ~r) , a equação acima fica

i~∂

∂tψ (t, ~r)′ +

∂χ

∂tψ (t, ~r)′ =

[1

2m

(~i∇−∇χ− e

c~A

)2

+ eφ

]ψ (t, ~r)′ .

Introduzindo

eφ′ = eφ− ∂χ

∂t,

e

c~A′ =

e

c~A+∇χ,

a equação fica

i~∂

∂tψ (t, ~r)′ =

[1

2m

(~i∇− e

c~A′)2

+ eφ′

]ψ (t, ~r)′ . (330)

Isto é, a equação de Schrödinger de uma partícula carregada fica invariante sob a transfor-

mação de calíbre,

ψ (t, ~r)→ ψ (t, ~r)′ = ei~χ(t,~r)ψ (t, ~r) , (331)

eφ′ = eφ− ∂χ

∂t, (332)

e

c~A′ =

e

c~A+∇χ, (333)

123

A situação é muito parecida com o que discutimos anteriormente. Para ver isto, podemos

associar um vetor de 2 componentes para a função de onda ψ,separando as partes real e

imaginaria como

ψ → ~ψ =

Reψ

Imψ

.

Nesta representação, a transformação de fase em ψ fica

ψ′ = ei~χψ

=(

cosχ

~+ i sin

χ

~

)(Reψ + i Imψ)

= cosχ

~Reψ − sin

χ

~Imψ

+(

cosχ

~Imψ + sin

χ

~Reψ

)e, portanto,

~ψ′ =

cos χ~ Reψ − sin χ

~ Imψ

cos χ~ Imψ + sin χ

~ Reψ

=

cos χ~ − sin χ

~

sin χ~ cos χ

~

Reψ

Imψ

= U ~ψ.

Este é uma transformação O(2) ' U(1). Consequentemente

U∂UT

∂t=

0 1~∂χ∂t

− 1~∂χ∂t

0

,

U∂UT

∂x=

0 1~∂χ∂x

− 1~∂χ∂x

0

,

e definindo

G0 =e

i

0 −φφ 0

,

G1 =e

i

0 −Ax/cAx/c 0

,

124

com g → e, podemos de fato verificar que as transformações, Eqs.(331,332,333) são equiva-

lente a Eqs.(327,328). Neste caso, o grupo de simetria tem um único parametro real, cos χ~ − sin χ

~

sin χ~ cos χ

~

e o gerador do grupo é

λ =1

i

0 −1

1 0

.

Assim, vimos que a interação de campo eletromagnético com partícula carregada é de-

scrita numa forma de teoria de calibre, com simetria de transformação O(2) ' U(1). Esse

grupo é um grupo Abeliano. Note que os campos de calíbre são essencialmente os geradores

de grupo da simetria em questão.

XVI. DINÂMICA DE CAMPO DE CALÍBRE

Os campos de calíbre também podem ter sua dinâmica própria, como no caso de campo

elétromagnética. Neste caso, a expressão, Eq.(322) não fica válida, pois para um dado

campo de calíbre Aµ (~r, t) ,pode não existir M para satisfazer Eq.(322) na forma universal.

Para um dado Aµ (~r, t) , não podemos obter M de forma univoca, pois a solução depende

de condição de contornos. Mesmo assim, a estrutura descrita acima continua valendo. A

situação é parecido com a gravitação. A mudança de sistema de coordenadas, aceleradas,

pode gerar a força, equivalente a força gravitacional. Assim, podemos considerar localmente

a força gravitacional é equivalente a mudança de sistema de coordenadas. Por outro lado,

não podemos eliminar todo o campo gravitacional por simples transformação de sistema de

coordenadas, quando existe um fonte para o campo gravitacional. No nosso caso, se o campo

de calíbre for sempre escrito como na Eq.(322), podemos escolher uma transformação,

U = M−1,

então A′µ ≡ 0.

125

A. Campo Eletromagnético

No caso de campo eletromagnético, é conhecido que a densidade de Lagrangiana de um

campo livre fica escrita como

LEM =ε02~E2 − 1

2µ0

~B2

= − 1

4µ0

F µνFµν (334)

onde

Fµν = Fµν

(~E, ~B

)=

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 −Bz By

−Ey/c Bz 0 −Bz

−Ez/c −By Bz 0

e

F µν = Fµν

(− ~E, ~B

).

Note que podemos escrever

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (335)

com

Aµ =

(φ

c,− ~A

),

e

~E = −∂~A

∂t−∇φ,

~B = ∇× ~A

Note que o tensor de campo eletromagnético Fµν é invariante sob a transformação de

calíbre,

F ′µν = Fµν

(~E ′, ~B′

)= Fµν

(~E, ~B

),

pois os próprios campos eletromagnéticos(~E, ~B

)são invariante sob a transformação de

calíbre.

126

B. Caso de Simetria de Grupo Não Abeliano

A primeira formulação de teoria de calíbre foi feito por Yang e Mills na decada 50,

motivada de introduzir o principio de localidade numa teoria de campo com simetria unitária.

Para um grupo de simetria não Abeliano, a dinâmica do campo de calíbre deve ser descrita

também pela uma densidade de Lagrangiana,

LCalibre = −1

4TrF µνFµν

(336)

onde agora os elementos do tensor F µν não são constituidos por números normais, mas

matrizes associadas a Gµ. O traço é necessário para ter um escalar para LCalibre. Aqui, otensor F µν tem que ser invariante sob a transformação de calíbre.

Para a forma de F µν , a Eq.(335) sugere que

F µν ?→ ∂µGν − ∂νGµ. (337)

Entretanto, no caso de um grupo não abeliano, podemos ver facilmente que a expressão

acima não fica invariante sob a transformação de calíbre. Isto porque, como vimos na

Eq.(323), o campo Gµ (x) dxµ é um espécie de gerador de transformação de calíbre, para

transportar um vetor no espaço V de um ponto x ao ponto de visinhança x+ dx. Como no

ponto x+ dx transforma diferentemente no ponto x, precisamos um espécie de conexão afin

para a derivada na Eq.(337).

A resposta correta para F µν é dada por

F µν =i

g[Dµ, Dµ]

= ∂µGν − ∂νGµ + ig[Gν , Gν

].

A expressão acima está ligado a curvatura associado a conexão entre os espaços V definidos

em cada ponto de espaço tempo. Finalmente, um teoria de campo de calíbre pode ser escrita

em termos de densidade de Lagrangiana,

L = LCalıbre + LMateria

onde LCalıbre é dada pela Eq.(336) e LMateria é obtida da densidade de Lagrangiana de um

campo livre, substituindo as derivadas espaciais ∂µ por derivadas covariante Eq.(325). Por

127

exemplo, a densidade de Lagrangiana de uma equação de Dirac de partícula livre de massa

m é

LDirac = ψ (iγµ∂µ +m)ψ.

onde ψ é um spinor de Dirac. Se existem n campos

ψ =

ψ1

...

ψN

sendo cada ψi spinor de Dirac, a densidade de Lagrangiana da matéria que acopla com o

campo de calibre fica

LMateria = ψ (iγµDµ +m)ψ.

Para uma teoria de calíbre de grupo de simetria SU(n), então, teremos n campos para

representar a matéria (ou seja, n tipo de partículas) e os campos de calibre (os campos

vetoriais) com mesmo número de geradores do grupo, ou seja, n2−1. Hoje, acreditamos que

as teorias para descrever as interações fundamentais entre partículas elementares devem ser

teoria de calíbre. No caso de interação eletro-fraca, o grupo de simetria é U (1) ⊗ SU(2)

(teoria de Salam-Glashow-Weiberg) e no caso da interação forte, o grupo é SU(3) para graus

de liberdade de cores de quarks (cromodinâmica quântica). No caso de eletrofraca, temos no

total de 1 + (22 − 1) = 4 campos de calíbres. Esses 4 campos de calíbres são fótons γ para

interação eletromagnética, e Z e W± para interações fracas. No caso de Cromodinâmica,

temos 32 − 1 = 8 campos de calíbre, os gluons.

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[1] O subscripto o foi introduzido para explicitar que este é a função de Green associado ao Hamil-

toniano H0.

[2] A amplitude do campo eletromagnético atua como operador nos estados de elétrons, pois na

representação de coordenadas, o campo é uma função de posição.

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