IDENTIFICAÇÃO DE DANOS EM PLACAS … · O dano estrutural é modelado considerando a redução da...

IDENTIFICAÇÃO DE DANOS EM PLACAS UTILIZANDO A MATRIZ DE

FLEXIBILIDADE

Leonardo Nocito Miquelino Cunha

RIO DE JANEIRO

FEVEREIRO DE 2014

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Daniel Alves Castello


FLEXIBILIDADE


PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Daniel Alves Castello, DSc. (Orientador)

________________________________________________

Prof. Lavínia Maria Sanábio Alves Borges, DSc.

________________________________________________

Prof. Fernando Pereira Duda, DSc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2014

I

Cunha, Leonardo Nocito Miquelino.

Identificação de danos em placas utilizando a matriz de

flexibilidade / Leonardo Nocito Miquelino Cunha – Rio de Janeiro:

UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.

XI, 101 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Prof. Daniel Alves Castello.

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Mecânica, 2013.

Referências bibliográficas: p.46 - 47.

1. Introdução 2. Modelo Computacional 3. Existência de um

dano no modelo 4. Identificação do dano 5. Resultados I. Castello,

Daniel Alves II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Título.

II

Agradecimentos

Aos meus pais que se dedicaram e se dedicam assiduamente à minha saúde física

e mental. Eles que me motivaram a seguir os caminhos e oportunidades durante minha

formação, sempre ressaltando a importância do respeito e da ética em qualquer

ambiente convivial.

Ao meu irmão que, além de servir como uma referência diante dos difíceis

obstáculos da vida acadêmica, também me apoiou emocionalmente, sempre

fortalecendo valores como confiança, disciplina e persistência.

A minha família pelo suporte em todas as ocasiões, sobretudo durante

intercâmbio.

Aos meus amigos, que sempre vibraram juntos com as conquistas ao longo do

curso e também apoiaram e consolaram em momentos de derrotas.

Aos professores e funcionários da Escola Politécnica da UFRJ, sobretudo pelo

professor Daniel Alves Castello, orientador desse trabalho, por todos os conhecimentos

compartilhados, desafios propostos, orientações e serviços prestados, consolidando a

excelência da instituição de ensino.

III

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.


FLEXIBILIDADE


Fevereiro/2014

Orientador: Prof. Daniel Alves Castello (DSc).

Curso: Engenharia Mecânica.

Este trabalho apresenta um estudo de caso sobre identificação de danos em

placas. A placa será analisada utilizando-se o modelo clássico de placas finas e o

método de elementos finitos. O dano estrutural é modelado considerando a redução da

rigidez de alguns elementos. A estimativa do campo de dano é buscada através da

minimização de uma função de erro baseada na matriz de flexibilidade da estrutura. Os

resultados numéricos apresentados levam em conta a área afetada pelo dano, o efeito do

ruído nos dados, o posicionamento dos sensores e de incertezas na fixação da placa.

IV

Índice pg

Lista de Figuras ................................................................................................................ V

Lista de Tabelas .............................................................................................................. VI

1 Introdução.................................................................................................................. 1

1.1 Motivação .......................................................................................................... 1

1.2 Objetivo ............................................................................................................. 1

1.3 Organização do trabalho ......................................................................................... 1

2 Modelo computacional .............................................................................................. 3

2.1 Problema físico .................................................................................................. 3

2.2 Solução analítica do problema ........................................................................... 4

2.3 Solução computacional do problema ................................................................. 7

2.4 Modelo estudado e propriedades ....................................................................... 9

3 Existência de um dano no modelo........................................................................... 11

3.1 Modelagem discreta de dano ........................................................................... 11

3.2 Situações de dano analisadas ........................................................................... 11

3.3 Análise preliminar ............................................................................................ 13

4 Identificação do dano .............................................................................................. 15

4.1 Matriz de flexibilidade [2] ............................................................................... 15

4.2 Algoritmo de otimização ................................................................................. 18

5 Resultados ............................................................................................................... 20

5.1 Posicionamento dos sensores ........................................................................... 20

5.2 Casos analisados .............................................................................................. 22

5.3 Efeito da área afetada pelo dano ...................................................................... 22

5.4 Efeito da posição dos sensores ......................................................................... 26

5.5 Efeitos de ruídos experimentais ....................................................................... 29

5.6 Efeitos de incertezas na condição de contorno ................................................ 33

5.7 Refinando-se a malha ....................................................................................... 35

6 Conclusão ................................................................................................................ 37

7 Referências bibliográficas ....................................................................................... 38

V

Lista de Figuras

Figura 2.1 Placa estudada para validação do programa.................................................... 3

Figura 2.2 Forma modal analítica – 1º modo. .................................................................. 6



Figura 2.5 Malha de 25 x 25 e referencial da placa. ......................................................... 7

Figura 2.6 Comparação entre solução analítica e computacional. ................................... 8

Figura 2.7 Análise de convergência. .............................................................................. 10

Figura 3.1 Situação de dano D1...................................................................................... 12



Figura 3.4 Forma modal de estrutura danificada (7º modo 108.7 Hz) ........................... 13

Figura 3.5 Níveis de estrutura danificada (7º modo 108.7 Hz) ...................................... 14

Figura 3.6 Níveis de estrutura não danificada (7º modo 117.8 Hz) ............................... 14

Figura 4.1 Função erro calculada para todos os modos de vibração. ............................. 17

Figura 4.2 Função erro calculada para os 15 primeiros modos de vibração. ................. 18

Figura 5.1 Posicionamento de sensores S1. .................................................................... 21



Figura 5.4 Caso 1 ............................................................................................................ 23

Figura 5.5 Caso 2 ............................................................................................................ 24

Figura 5.6 Caso 3 ........................................................................................................... 25

Figura 5.7 Caso 4 ............................................................................................................ 26

Figura 5.8 Caso 5 ............................................................................................................ 27

Figura 5.9 Caso 6. ........................................................................................................... 28

Figura 5.10 Caso7 ........................................................................................................... 30

Figura 5.11 Caso 8 .......................................................................................................... 31

Figura 5.12 Caso 9 .......................................................................................................... 32

Figura 5.13 Nós liberados marcados em vermelho. ....................................................... 33

Figura 5.14 Caso 10. ....................................................................................................... 34

Figura 5.15 Caso 11. ....................................................................................................... 34

Figura 5.16 Caso 12 - Gexp 10 x 10 ................................................................................. 35

Figura 5.17 Caso 12 - Gexp 20 x 20 ................................................................................. 36

VI

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Propriedades da placa estudada para validar o programa. .............................. 3

Tabela 2 – Frequências naturais analíticas. ...................................................................... 5

Tabela 3 – Frequências naturais computacionais. ............................................................ 7

Tabela 4 – Propriedades da placa estudada por Nichols et al.[6]. .................................... 9

Tabela 5 – Variação das frequências naturais devido ao dano D2 ................................. 13

Tabela 6 – Casos analisados. .......................................................................................... 22

1

1 Introdução

1.1 Motivação

O emprego de placas como componentes estruturais é muito frequente nas

indústrias naval, aeroespacial, civil, automotiva e mecânica. A consolidação de

estratégias de avaliação desse tipo de estrutura é de extrema importância. Inserida nesse

contexto, a identificação de danos em placas é um tópico relevante tanto para o meio

acadêmico quanto para a indústria.

Nos últimos anos, técnicas não destrutivas baseadas em vibrações foram

amplamente desenvolvidas para se estudar a identificação de danos em estruturas. Wei

Fan e Pizhong Qiao [1] realizaram uma síntese comparativa entre os principais métodos

de vibração para identificação de danos em estruturas do tipo viga ou placa. Incluído

nesse conjunto de estudos, o método da matriz de flexibilidade [2] será abordado no

presente trabalho.

1.2 Objetivo

O objetivo desse trabalho é desenvolver uma abordagem simples para realizar

um estudo de caso sobre identificação de danos em placas. Então, primeiramente, a

placa será analisada utilizando-se o modelo clássico de placas finas e o método de

elementos finitos. O dano estrutural é modelado considerando a redução da rigidez de

alguns elementos. A análise de vibração do sistema fornece informações necessárias

para calcular a matriz de flexibilidade da estrutura. A estimativa do campo de dano é

buscada através da minimização de uma função de erro baseada na matriz de

flexibilidade. Os resultados numéricos apresentados levam em conta o efeito do ruído

nos dados, do posicionamento dos sensores disponíveis e de incertezas nas condições de

contorno.

1.3 Organização do trabalho

O primeiro capítulo é a introdução, onde é apresentada a motivação, o objetivo e

a organização do trabalho.

2

No segundo capítulo, foi detalhado o programa realizado em código Matlab®

para se estudar as placas. Alguns testes e comparações foram realizados para se avaliar

a veracidade dos resultados obtidos pelo programa.

O terceiro capítulo é composto pela apresentação do modelo estudado e suas

propriedades.

No capítulo seguinte, é discutida a existência de um dano e sua aplicação no

modelo desenvolvido.

O quinto capítulo mostra o estudo de identificação do dano, bem como a matriz

de flexibilidade e o algoritmo de otimização.

O capítulo seis apresenta os cálculos e aplicações do método para outros

modelos.

O capítulo sete trata da conclusão do trabalho, onde são feitas as considerações

necessárias e observações pertinentes ao projeto.

Finalmente, no capítulo oito estão destacadas todas as referências bibliográficas

consultadas ao longo do trabalho.

3

2 Modelo computacional

O programa foi desenvolvido na plataforma Matlab®, de forma que o estudo

vibracional de uma placa plana fosse implementado. Toda a teoria de elementos finitos

de placa e o estudo de vibrações foram estudadas pelas referências [3] e [5]. O uso da

biblioteca livre de funções “Calfem” [4] para elementos finitos ajudou na montagem da

matriz de rigidez da estrutura.

O programa estabelece as propriedades do material, as dimensões da placa, a

condição de contorno, uma malha de elementos finitos e calcula as matrizes de rigidez e

de massa para a identificação da forma modal da estrutura. Para se validar o programa,

escolheu-se um sistema cuja solução analítica é conhecida.

2.1 Problema físico

A tabela 1 e a figura 2.1 abaixo apresentam as propriedades e as dimensões da

placa utilizada para validação do programa:

Tabela 1 – Propriedades da placa estudada para validar o programa.

Material (aço A36)

Módulo de elasticidade E 210000 Mpa

Coeficiente de poisson v 0.3

Densidade de área ρ 7.85E-10 Kg/mm2

Dimensões

Espessura h 2 mm

a 600 mm

b 600 mm

Condição de contorno

Simplesmente apoiada ao longo das bordas

Figura 2.1 Placa estudada para validação do programa

X

Y

Z

a b h

4

2.2 Solução analítica do problema

A placa retangular uniforme considerada é definida no domínio D, que é

formado pela região 0 < x < a e 0 < y < b. A solução analítica consiste em achar as

frequências naturais ωi e a forma modal W(x,y) da placa apresentada anteriormente. O

livro “Elements of Vibration Analysis, Leonard Meirovitch” [5] foi consultado para

chegar à solução. Portanto, as seguintes hipóteses foram consideradas:

Deflexões são pequenas em relação à espessura da placa.

As tensões normais na direção transversal à da placa podem ser ignoradas.

Não há força resultante na seção transversal de um elemento de placa. O plano

médio da placa não sofre deformação durante a flexão, e pode ser considerado

um plano neutro.

Qualquer linha normal ao plano médio antes da deformação continua

perpendicular ao plano médio durante a deformação.

A equação governante para o estudo da placa considera o deslocamento vertical w da

placa, a rigidez à flexão De, a densidade de força f e a massa específica, como

apresentada abaixo:

Para se estabelecer o problema de autovalor, foi definido f = 0 e uma solução da forma

w = WF, onde W(x,y) contém os deslocamentos verticais (eixo Z da figura 2.1) da

estrutura para cada modo de vibração e F é uma função harmônica dependente do tempo

de frequência ω. Então, a equação diferencial (2.1) é apresentada da seguinte forma:

O operador bi harmônico é definido por:

5

Para a condição de contorno analisada de simples apoio, o deslocamento e os momentos

são nulos nas bordas, como mostram as equações abaixo:

A equação (2.2) é solucionada analiticamente, portanto as frequências naturais do

sistema são escritas da seguinte forma:

((

)

(

)

)√

Os respectivos modos de vibração normalizados são:

√ (

) (

)

A Tabela 2 abaixo apresenta as primeiras frequências naturais calculadas analiticamente

para o sistema definido acima:

Tabela 2 – Frequências naturais analíticas.

Frequência [Hz] - analítica

w1 27,32

w2 68,29

w3 68,29

w4 109,3

w5 136,6

w6 136,6

w7 177,6

w8 177,6

w9 232,2

w10 232,2

w11 245,9

w12 273,2

w13 273,2

w14 341,5

w15 341,5

6

w16 355,1

w17 355,1

w18 396,1

w19 396,1

w20 437,1

Serão apresentados nas figuras 2.2, 2.3 e 2.4 alguns modos de vibração para fins

ilustrativos:

Figura 2.2 Forma modal analítica – 1º modo.


x

y

sin( x (1.0/6.0e2)) sin( y (1.0/6.0e2)) (1.0/3.0e2)

0 100 200 300 400 500 6000

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-3

x

(sin(( x)/600) sin(( y)/600))/300

y

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10-3

x

y

sin( x (1.0/3.0e2)) sin( y (1.0/3.0e2)) (5.434924093888659e15 /2.305843009213694e18 )

0 100 200 300 400 500 6000

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10-3

x

(5434924093888659 sin(( x)/300) sin(( y)/300))/2305843009213693952

y

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 10-3

7


2.3 Solução computacional do problema

Com a finalidade de verificar o modelo computacional desenvolvido no

Matlab®, a placa descrita na seção anterior foi modelada com uma malha de 25 x 25

elementos do tipo “plate” [4], como mostra a figura 2.5. As frequências naturais

obtidas estão apresentadas na tabela 3 a seguir:

Figura 2.5 Malha de 25 x 25 e referencial da placa.

Tabela 3 – Frequências naturais computacionais.

Frequência natural [Hz] –

25x25 elementos

w1 27,34

x

y

sin( x (1.0/2.0e2)) sin( y (1.0/2.0e2)) (8.875193880523619e15 /4.611686018427388e18 )

0 100 200 300 400 500 6000

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 10-3

x

(8875193880523619 sin(( x)/200) sin(( y)/200))/4611686018427387904

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 10-3

X

Y

600 mm (25 elementos)

600 mm (25 elementos)

8

w2 68,52

w3 68,52

w4 109,7

w5 137,6

w6 137,6

w7 178,9

w8 178,9

w9 235,5

w10 235,5

w11 248,1

w12 276,7

w13 276,8

w14 346,0

w15 346,0

w16 363,0

w17 363,1

w18 404,3

w19 404,4

w20 444,0

Para se comparar os resultados computacional e analítico para se analisar a

eficiência do programa, avaliou-se o erro relativo entre o resultado analítico e o

resultado computacional. Então:

‖

‖

Figura 2.6 Comparação entre solução analítica e computacional.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

1 5 9 13 17

Δω

Nº do modo de vibração

9

Observa-se que quanto maior a frequência natural de vibração, maior o erro

obtido entre o resultado analítico e o resultado obtido pelo programa. O erro máximo

obtido para as 20 primeiras frequências naturais é aproximadamente 2,3%.

2.4 Modelo estudado e propriedades

O estudo de caso realizado nesse trabalho está baseado no mesmo

experimento descrito por Niclols et al. [6]. Portanto, as mesmas dimensões e

propriedades da placa foram escolhidas para as análises descritas nos próximos

capítulos. A placa estudada possui as seguintes dimensões e propriedades:

Tabela 4 – Propriedades da placa estudada por Nichols et al.[6].

Material (Al 6061-T6)

Módulo de elasticidade E 52500 Mpa

Coeficiente de poisson v 0.11

Densidade de área 4.185E-09 Kg/mm2

Dimensões

Espessura h 1.55 mm

a 760 mm

b 600 mm

Condição de contorno

Engastada ao longo das bordas

Para se definir uma malha de elementos finitos razoável para o estudo do

problema, foi realizada uma análise de convergência. Isso é importante, pois verifica a

acuracidade da malha, contribuindo para a redução do custo computacional envolvido

no estudo. Portanto, a análise de convergência consiste em avaliar a variação relativa

das frequências naturais calculadas, refinando-se a malha gradativamente.

‖

‖

No gráfico exposto abaixo, o número de elementos nas bordas da chapa estudada

aumenta de acordo com o eixo horizontal. No eixo vertical é inserido o valor de Δω

calculado na equação acima.

10

Figura 2.7 Análise de convergência.

Observa-se que, na medida em que a malha fica mais refinada, a variação das

frequências naturais determinadas pelo programa também diminui. Isso revela a

convergência do método para a solução do problema.

No caso exposto acima, nota-se que a partir de uma malha de 10 x10

elementos, o resultado das frequências naturais varia menos do que 0,2%. Portanto, para

não demandar muito custo computacional, uma malha de 10x10 elementos será

suficiente para a continuação do estudo.

-1,8%

-1,6%

-1,4%

-1,2%

-1,0%

-0,8%

-0,6%

-0,4%

-0,2%

0,0%

5 6 7 8 9 10 11

Δω

Número de elementos em cada borda da estrutura

1º modo

2º modo

3º modo

4º modo

11

3 Existência de um dano no modelo

O trabalho publicado por Stutz et al. [2] aborda a modelagem do dano de forma

contínua no corpo elástico da estrutura. Desse modo, o dano está condicionado a afetar

as propriedades de rigidez dos elementos vizinhos, uma vez que está atrelado à funções

de forma do elemento.

No presente estudo de caso, uma estratégia mais simples para modelagem do

dano será utilizada.

3.1 Modelagem discreta de dano

A estratégia consiste na discretização do campo de dano para cada elemento da

placa. Dessa forma, a matriz de rigidez do elemento danificado é definida

multiplicando-se por um parâmetro βe (beta_dano) sua rigidez original :

(3.1)

O parâmetro βe pode variar de 0 (totalmente danificado) a 1 (estrutura segura).

Portanto, multiplicando-se cada matriz de rigidez Ke por um fator de dano βij ([0,1]),

define-se uma matriz de dano n x m, da mesma dimensão da malha em questão.

3.2 Situações de dano analisadas

Nesse trabalho, todos os casos analisados consideram certa região danificada, na

qual o parâmetro de dano é igual a 0.5. Isso significa que tais elementos possuem

apenas metade da rigidez original (dano grosseiro). Dessa forma, foram estudadas

placas idênticas, porém variando-se a área de atuação do dano estrutural. As imagens

abaixo ilustram as três diferentes situações de dano analisadas: a primeira contém dano

pontual em apenas dois elementos, a segunda possui grande área afetada pelo dano e a

terceira apresenta múltiplos danos. Para ilustrar a localização do dano, os elementos

coloridos em rosa indicam os elementos danificados.

12

a) Dano D1:

Figura 3.1 Situação de dano D1

b) Dano D2:


c) Dano D3:


13

3.3 Análise preliminar

Como análise preliminar, foi avaliado o comportamento modal da placa sem dano e com

dano D2. A tabela abaixo apresenta uma pequena variação das frequências naturais em

função do dano estrutural:

Tabela 5 – Variação das frequências naturais devido ao dano D2

Frequência natural (Hz)

Com dano D2 Sem dano

1º modo 24,9 26,2

2º modo 43,8 46,2

3º modo 58,2 61,4

4º modo 74,3 79,7

5º modo 76,8 80,5

Nas imagens abaixo é mostrada a forma modal da estrutura com dano. É notável a perda

de simetria de vibração, uma vez que o dano atinge uma extensa região da placa.

Figura 3.4 Forma modal de estrutura danificada (7º modo 108.7 Hz)

0

5

10

15

02

46

810

12

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-40

-20

0

20

40

60

14

Figura 3.5 Níveis da forma modal de estrutura danificada (7º modo 108.7 Hz)

Figura 3.6 Níveis da forma modal de estrutura não danificada (7º modo 117.8 Hz)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

2 4 6 8 101

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

15

4 Identificação do dano

Os principais trabalhos de identificação de dano em estruturas utilizam um

algoritmo de atualização do modelo de elementos finitos. Esses métodos procuram

determinar mudanças em propriedades físicas que minimizam uma função erro que

compara dados experimentais ao modelo de elementos finitos [5].

Frequentemente esses métodos consideram parâmetros modais (frequências, formas

modais, etc), que dependem das propriedades físicas da estrutura (massa e rigidez).

Portanto, flutuações ocorrentes das propriedades físicas devido a algum tipo de dano

acarretam em flutuações nos parâmetros modais, que podem ser medidos

experimentalmente e utilizados para inferir dano estrutural.

A apresentação do método da matriz de flexibilidade descrito abaixo foi totalmente

baseada do artigo “L.T. Stutz, D.A. Castello, F.A. Rochinha. A flexibility-based

continuum damage identification approach.” [2], para melhor entendimento do presente

relatório.

4.1 Matriz de flexibilidade [2]

Uma importante classe de métodos de identificação de danos está baseada na matriz

de flexibilidade. Visto que na prática é muito difícil excitar os modos de vibração mais

elevados da estrutura, os métodos baseados na flexibilidade são bem atraentes, uma vez

que requerem apenas medidas dos primeiros e mais baixos modos de vibração.

Além disso, a matriz de flexibilidade apresenta alta sensibilidade ao dano (matriz β).

Na seção 3.3, por exemplo, foi mostrado que mesmo em uma estrutura com grande área

danificada, as frequências naturais se alteram pouco, senso então pouco sensíveis ao

dano. Sensibilidade é um aspecto chave para identificação de dano. Portanto, a matriz

de flexibilidade é um bom indicador de dano na estrutura.

A matriz de flexibilidade G está definida abaixo como função de parâmetros modais:

∑

(5.1)

Onde é a matriz de forma modal normalizada com a matriz de

massa e

é uma matriz diagonal que contém o quadrado das

frequências naturais do sistema [2].

16

Devido a limitações experimentais, apenas algumas primeiras frequências

naturais podem ser medidas. Além disso, quanto maior a frequência natural, menor a

contribuição para a matriz de flexibilidade. Portanto, boas aproximações para a matriz

de flexibilidade experimental podem ser encontradas medindo-se apenas as primeiras

frequências naturais do sistema.

Além disso, o numero de graus de liberdade medidos experimentalmente são

muito inferiores ao numero de graus de liberdade existentes no modelo de elementos

finitos. Então, a matriz de flexibilidade determinada experimentalmente GE computa

apenas os graus de liberdade instrumentados:

∑

(5.2)

Em busca de uma relação entre a matriz de flexibilidade experimental e

informações sobre as propriedades de rigidez da estrutura, as matrizes originais do

modelo G, K e Ф foram particionadas em relação aos graus de liberdade medidos.

Então, o índice m representa os graus de liberdade medidos e o índice o representa os

graus omitidos. As matrizes particionadas encontram-se abaixo:

{

} (5.3)

[

] , [

]. (5.4)

Pode-se demonstrar que a inversa da matriz de flexibilidade analítica G referente

aos graus de liberdade medidos é igual ao sistema reduzido de Guyan para a matriz de

rigidez K em relação aos mesmos graus de liberdade [9] [10]:

. (5.5)

Consequentemente, mudanças nas propriedades físicas de rigidez K da estrutura

refletem mudanças nas propriedades modais baseadas na matriz de flexibilidade

reduzida Gmm. Essa relação reduzida será utilizada para identificação de dano.

Considerando a análise preliminar da seção 3.3, a matriz de flexibilidade foi

calculada para todos os graus de liberdade verticais, obtendo-se a função erro |G – Gexp|

17

para duas situações: computando todos os modos de vibração, e apenas os 15 primeiros

modos. As figuras abaixo mostram a função erro para as duas situações.

Figura 4.1 Função erro calculada para todos os modos de vibração.

18

Figura 4.2 Função erro calculada para os 15 primeiros modos de vibração.

É notável que quanto menos modos são medidos, o que na prática acontece, o resultado

é um pouco menos nítido, mas o dano ainda é identificado. Medir todos os graus de

liberdade verticais é impossível, pois necessitaria inúmeros sensores. Então, o algoritmo

de minimização do erro é importante, pois trabalha com dados limitados de apenas

algumas medições, para estimar o dano.

4.2 Algoritmo de otimização

A matriz de flexibilidade apresenta um parâmetro interno de dano (βij), por meio da

equação 3.1. O processo iterativo fundamenta-se em minimizar uma função erro J(β),

definida abaixo:

‖ ‖

(5.6)

onde βij ϵ [0,1], i,j = 1, ..., n(número de elementos).

19

Isso representa um problema de otimização não linear com restrições, que é resolvido

numericamente pelo método de Newton. O algoritmo foi implementado através da

função Lsqnonlin do Matlab®, que resolve problemas de mínimos quadrados não

lineares de ajuste de dados da forma mostrada abaixo:

Portanto, considerando-se o problema em questão, o algoritmo consiste em achar a

matriz β que minimiza a função de erro entre a matriz de flexibilidade obtida

experimentalmente e a matriz calculada pelo modelo computacional.

É importante ressaltar que o número de parâmetros ajustáveis βij é igual ao

número de elementos finitos da chapa. Para o problema analisado, o valor inicial da

matriz β deve ser definido para começar o algoritmo de otimização. Supondo-se que a

estrutura normalmente não apresenta danos visíveis e de fácil identificação, o valor

inicial definido foi βij = 1 para i,j = 1, ..., 10. Isso significa que o algoritmo começa

considerando que a estrutura não apresenta dano.

20

5 Resultados

Nesse capítulo serão apresentados os resultados para as configurações de dano

apresentadas na seção 3.2 e de sensores que serão apresentadas na seção 5.1. Portanto,

as matrizes (1-β) de parametrização de dano estrutural 10 x 10 que minimizam a função

erro descrita na seção 4.2 serão plotadas em gráficos de barra discretos e na forma de

níveis, variando-se algumas características da simulação.

É importante reforçar que o experimento citado nesse relatório foi realizado pelo

mesmo programa que gera o modelo computacional a ser comparado. Portanto, é

preciso que alguns recursos sejam inseridos no experimento, tais como incertezas nas

medições e condições de contorno, para que o método seja avaliado corretamente.

Além disso, quanto mais modos são computados no somatório envolvido no

cálculo da matriz de flexibilidade, melhor é o resultado. Entretanto, deve-se lembrar que

trabalhar com altas frequências naturais pode ter elevado custo e ainda danificar a

estrutura. Portanto, quanto mais baixas as frequências, mais aplicável será o método.

Por isso, apenas as primeiras frequências naturais foram computadas nos resultados

mostrados nesse capítulo.

Na seção 5.3 será avaliada a área afetada pelo dano e como o algoritmo reage

quando se tem um dano extenso, pontual ou múltiplo. Em seguida, será avaliado o

posicionamento dos sensores e como isso pode afetar o processo de identificação de

dano. A seção 5.5 simula o impacto das incertezas de medição, como ruídos, na matriz

de flexibilidade. O objetivo é se aproximar ao máximo da realidade de um experimento.

Em sequência, a condição de contorno “engastada” será questionada e perturbada para

avaliar a sensibilidade do processo. Para finalizar, um modelo mais refinado será

estudado para confrontar os resultados obtidos anteriormente.

5.1 Posicionamento dos sensores

Três configurações de posicionamento dos sensores foram estudadas. É

importante ressaltar que o mesmo programa em Matlab® é utilizado para simular o

experimento computacional. Os sensores representam os nós do modelo, cujos graus de

liberdade verticais serão medidos para a identificação de dano. Uma incerteza de 1% a

3% sobre essas medidas será imposta para tornar a simulação mais real. As figuras

abaixo mostram as três configurações de sensores:

21

a) Sensores S1:

Figura 5.1 Posicionamento de sensores S1.

b) Sensores S2:


c) Sensores S3:


22

5.2 Casos analisados

Os diferentes casos apresentados na tabela abaixo serão analisados em sequência

nas próximas seções:

Tabela 6 – Casos analisados.

Caso Ruído (%) Configuração

de dano*

Posicionamento

dos sensores**

Nº de modos

computados

1 3 D1 S3 30

2 3 D2 S3 30

3 3 D3 S3 30

4 3 D1 S1 30

5 3 D1 S2 30

6 3 D1 S3 30

7 1 D1 S2 30

8 3 D1 S2 15

9 3 D2 S2 15

10 1 D1 S3 30

11 1 D2 S3 15

12 1 D1 S3 15

Efeito da área afetada pelo dano (seção 5.3)

Efeito da posição dos sensores (seção 5.4)

Efeito de incertezas de medição (seção 5.5)

Efeito da incerteza de fixação (seção 5.6)

Refinando-se a malha (seção 5.7)

* apresentados na seção 3.2.

** apresentados na seção 5.1.

5.3 Efeito da área afetada pelo dano

Para cada uma das as três diferentes configurações de dano, foram calculadas as

matrizes de flexibilidade, computando os 30 primeiros modos de vibração. O processo

de identificação de dano foi executado e a matriz de parametrização do dano (1-β)

exibida abaixo:

23

Figura 5.4 Caso 1

Dano identificado pelo algoritmo está bem próximo ao dano da estrutura, porém o valor

de β é maior do que 0.5, como definido no capítulo 3.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 -

be

ta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

102 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

24

Figura 5.5 Caso 2

Dano identificado pelo algoritmo está bem próximo ao dano da estrutura. O valor de β é

próximo de 0.5, como definido no capítulo 5.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 -

be

ta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

102 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

25

Figura 5.6 Caso 3

Dano identificado apenas em algumas regiões. O dano não foi identificado na região

inferior à esquerda da placa. Entretanto, a magnitude do dano identificado foi próxima

de 0.5.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.41

- b

eta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

102 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

26

5.4 Efeito da posição dos sensores

Para analisar o efeito da posição dos sensores no processo de identificação de

dano, foram avaliadas as três configurações de medições mostradas na seção 5.1.

Também foram computados apenas os 30 primeiros modos de vibração para cálculo da

matriz de flexibilidade experimental. O dano D1 foi considerado para essa análise e os

resultados exibidos a seguir:

Figura 5.7 Caso 4

Para esse posicionamento de sensores S1, o algoritmo de otimização não realiza

nenhuma iteração. Isso que dizer que o valor inicial da matriz β é um mínimo local, e o

gradiente da função erro é muito pequeno. Portanto, esse posicionamento não foi uma

boa opção para essa simulação, uma vez que depende de muitas frequências naturais

para convergir.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.5

1

1.5

2

x 10-8

27

Figura 5.8 Caso 5

Dano identificado pelo algoritmo está bem próximo ao dano da estrutura. O valor de β,

porém não se aproxima de 0.5, como definido no capítulo 4.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

102 4 6 8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

28

Figura 5.9 Caso 6.

Dano identificado pelo algoritmo está próximo ao dano da estrutura. O valor de β,

porém, é aproximadamente metade de 0.5, como definido no capítulo 4.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

102 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

29

O posicionamento simétrico dos sensores não foi uma boa opção para a identificação

do dano local em apenas 2 elementos. Isso aconteceu porque a matriz de flexibilidade

relacionada aos graus de liberdade medidos não é sensível suficiente ao dano estudado.

As outras configurações de sensores foram mais eficientes para a identificação do dano.

5.5 Efeitos de ruídos experimentais

A incerteza citada anteriormente representa o ruído nas medições experimentais que

aconteceriam em um experimento real. Portanto, para plotar esses resultados, foram

tomadas dez medidas. Abaixo, para ilustrar, serão apresentadas quatro medições das dez

realizadas e a média dessas matrizes (1-β) será destacada. O ruído é definido por uma

função aleatória de distribuição normal, cuja média é zero e o desvio padrão é unitário.

Essas incertezas estão incluídas nas medições de frequência natural e forma modal.

Dessa forma, três séries de medições são apresentadas em seguida.

30

Figura 5.10 Caso7

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 -

be

ta (

mé

dio

)

31

Figura 5.11 Caso 8

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 -

be

ta (

mé

dio

)

32

Figura 5.12 Caso 9

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 -

be

ta (

me

dio

)

33

Para os resultados apresentados acima, é notável a alta sensibilidade da matriz de

flexibilidade. Mesmo variando-se 1% nas medidas de frequência natural e forma modal,

verifica-se grande variação na matriz de parametrização de dano β. A média das 10

medidas apresenta um bom resultado tanto para a localização do dano como para

determinar sua magnitude. Quando apenas as 15 primeiras frequências naturais são

analisadas, o resultado é pouco preciso. Entretanto, considerando-se que nada se sabe

sobre a estrutura, pelo menos uma previsão coerente da região de dano pode ser

realizada por esse método.

5.6 Efeitos de incertezas na condição de contorno

Pode-se também testar se a identificação do dano é satisfatória para incertezas na

condição de contorno. Portanto, os casos 10 e 11 foram estudados, de forma que três

nós em cada extremidade tivessem seus respectivos graus de liberdade liberados,

simulando um possível desprendimento da placa. As figuras 5.13, 5.14 e 5.15

apresentam os nós liberados, o resultado para o caso 10 e o resultado para o caso 11,

respectivamente:

Figura 5.13 Nós liberados marcados em vermelho.

34

Figura 5.14 Caso 10.

Figura 5.15 Caso 11.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11

-be

ta

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1-b

eta

35

A identificação do dano apresentou alguns falsos danos na borda da estrutura.

Entretanto, é possível verificar que a região danificada ainda foi identificada.

5.7 Refinando-se a malha

Para estudar o problema exposto abaixo, com dano atuando em apenas dois elementos,

faremos comparações entre uma malha de 10x10, que vem sendo utilizada até agora e

uma malha de 20x20 elementos. Sabe-se que para esse problema, medindo-se apenas os

15 primeiros modos de vibração o resultado obtido não é muito satisfatório, uma vez

que o dano identificado não é posicionado na parte central da chapa.

Figura 5.16 Caso 12 - Gexp 10 x 10

Quando a malha é refinada para 20x20 elementos, o resultado obtido é razoável, uma

vez que permite a localização do dano, mesmo que não verifique precisamente a

gravidade do dano de 50% da rigidez.

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 -

be

ta

36

Figura 5.17 Caso 12 - Gexp 20 x 20

12

34

56

78

910

12

34

56

78

910

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

37

6 Conclusão

Este trabalho procurou apresentar um estudo de caso de identificação de dano

em placas, utilizando-se o método de elementos finitos de placas finas e análise modal

para se calcular a matriz de flexibilidade experimental e analítica. Um parâmetro β que

representa o dano é inserido nas propriedades físicas do material (matriz de rigidez) e,

por meio de um algoritmo de otimização, a diferença entre a matriz de flexibilidade

experimental e computacional é minimizada, estimando-se, assim, o parâmetro de dano.

Considerando-se o total desconhecimento da integridade da estrutura, os

resultados obtidos já representam uma estimativa razoável do dano localizado. A malha

utilizada de 10 x 10 elementos poderia ser refinada nos locais próximos ao primeiro

resultado obtido e todo o processo repetido. Uma vez finalizado o projeto, o próximo

passo é realizar um experimento em laboratório e aperfeiçoar o algoritmo de

otimização. Uma opção seria implementar no programa o algoritmo “enxame de

partículas” para se ter uma melhor estimativa do valor inicial do parâmetro de dano.

Além disso, reduzir ao máximo o número de graus de liberdade verticais medidos pelos

sensores, obtendo-se ainda um resultado razoável. Outra melhoria seria estudar o

melhor posicionamento dos sensores, para se obter o melhor resultado; e também

considerar incertezas nas propriedades físicas do material, tais como módulo de

elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade de área.

Para finalizar, é importante ressaltar que esse projeto possibilitou grande

aprendizado na engenharia mecânica, uma vez que exigiu a implementação de códigos

Matlab® para o estudo vibracional de placas, de elementos finitos e de otimização. Para

adaptar ou criar esses códigos, muitas vezes do zero, foi preciso muita compreensão

sobre o assunto e muita pesquisa a artigos publicados.

38

7 Referências bibliográficas

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comparative study.” Struct Health Monit (2011);10:83–129.

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continuum damage identification approach, J. Sound Vib. 279 (2005) 641–667.

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York, CRC Press, pp 150 – 300.

[4] P-E AUSTRELL, O DAHLBLOM, J LINDEMANN, A OLSSON, K-G OLSSON,

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Calfem – A Finite Element Toolbox, version 3.4.

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442 – 643.

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[7] Kyongchan Song, Thesis submitted to the Faculty of Virginia Polytechnic Institute

and State University.

[8] Q.W. YANG , B.X. SUN, “Structural damage identification based on best

achievable flexibility change”. Applied Mathematical Modelling 35 (2011) 5217–

5224

[9] R.J. GUYAN, “Reduction of stiffness and mass matrices”. AIAA Journal 3 (2)

(1965) 380.

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