Identificação de defeitos em equipamentos a partir de...

IDENTIFICACAO DE DEFEITOS EM EQUIPAMENTOS A PARTIR DE

ANALISES DO ENVELOPE DE VELOCIDADE

Eduardo Alonso Moraes de Almeida

Projeto de Graduacao apresentado ao

Departamento de Engenharia Mecanica da

Escola Politecnica, Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios para a obtencao do tıtulo de

Engenheiro Mecanico.

Orientador: Daniel Alves Castello

Rio de Janeiro

Setembro de 2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecanica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Examinada por:

Prof. Daniel Alves Castello, DSc

Prof. Anna Carla Monteiro de Araujo, DSc

Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, DSc

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2016

Moraes de Almeida, Eduardo Alonso

Identificacao de defeitos em equipamentos a partir de

analises do envelope de velocidade/Eduardo Alonso Moraes

de Almeida. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica,

2016.

XVI, 28 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola

Politecnica/Departamento de Engenharia Mecanica,

2016.

Referencias Bibliograficas: p. 24 – 24.

1. Analise de Vibracao. 2. Envelope. 3. Particle

Swarm Optimization. 4. Identificacao de defeitos. I.

Alves Castello, Daniel. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, UFRJ, Departamento de Engenharia Mecanica.

III. Identificacao de defeitos em equipamentos a partir de

analises do envelope de velocidade.

iv

”A coisa mais bonita que podemos

experimentar e o misterio. Ele e

a fonte de toda arte e ciencia

verdadeiras.”

Albert Einstein

vi

Agradecimentos

A Deus, por ter me abencoado durante toda a trajetoria de minha vida academica.

A meus pais, Alonso e Denise e a meu irmao Gabriel, meus grandes alicerces,

pelo incentivo, pela torcida, vibracao, pelo grande amor e pelo apoio incondicional.

A meus avos Helio e Elza, meus grandes exemplos de amor, pelo suporte emocional

e incentivo. A meu tio Emerson, pelas aulas de matematica que tanto me ajudaram

a chegar ate aqui.

Ao orientador Daniel, pela excelencia academica, pela sua dedicacao na orientacao

deste projeto, pela paciencia e boa vontade.

Ao professor Helcio, grande amigo da Mecanica, pela boa vontade, pelas ori-

entacoes sabias e suporte emocional.

Ao professor Nısio, pelo convite ao CONBRAVA 2015; experiencia que guardarei

para sempre na memoria, pela amizade e pelas orientacoes tao significativas.

Ao grande amigo e meu chefe na Petrobras, Marcelo, pela ideia deste projeto

final, pelo incentivo, boa vontade, ajuda e pela experiencia inesquecıvel que adquiri.

Aos amigos da Petrobras, engenheiros Alvaro e Hugo, pela grande ajuda neste

projeto.

Ao aluno de mestrado, Gabriel, pela imensa ajuda na parte de otimizacao.

Ao amigo Paulo Henrique, pela enorme ajuda no LaTeX.

Ao meu grande amigo Victor Jose, que sempre tirou minhas duvidas, pela

paciencia, boa vontade e exemplo.

Aos amigos Guilherme, Pedro, Rodrigo, Paulo e a todos os amigos que fizeram

parte desta jornada, pelo companheirismo e parceria.

A todos os professores de graduacao em Engenharia Mecanica, minha eterna

gratidao pelos ensinamentos.

Ao Tito, por sempre ter me ajudado com muita boa vontade.

A UFRJ, templo do saber, pela formacao humana, cidada e tecnica.

viii

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico.




Setembro/2016


Curso: Engenharia Mecanica

Este trabalho apresenta uma analise de otimizacao para identificacao de defeitos

em equipamentos em ambiente offshore. A analise e feita a partir de envelopes de

velocidade gerados a partir de um modelo massa-mola-amortecedor de dois graus de

liberdade simulado no software MATLAB. O algoritmo Particle Swarm Optimization

(PSO) e empregado para a referida analise com o intento de estimar parametros

de entrada a partir de dados de resposta do sistema. Os resultados sao bastante

satisfatorios para a maior parte dos casos analisados.

x

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

IDENTIFICATION OF DEFECTS IN EQUIPMENTS BASED ON VELOCITY

ENVELOPING ANALYSIS


September/2016

Advisor: Daniel Alves Castello

Course: Mechanical Engineering

In this work an optimization analysis for the identification of defects in equipments

in an offshore environment is presented. The analysis is made based on velocity

envelopes generated by a two-degree-of-freedom spring-mass-damper model simulated

on MATLAB. The Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm is used for the

referred analysis with the goal of estimating input parameters using output data

from the system. The results are very satisfactory for the majority of the analysed

cases.

xii

Sumario

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xvi

1 Introducao 1

1.1 Motivacao tecnica e objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivacao pessoal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Organizacao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Estudo do envelope 3

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Definicao matematica do envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Envelopes de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Modelo de 2 graus de liberdade 9

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Desenvolvimento em Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Simulacao no MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Influencia do parametro kp sobre a resposta do sistema . . . . . . . . 16

4 Otimizacao 18

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Particle Swarm Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Conclusoes 22

Referencias Bibliograficas 24

A Codigos em MATLAB 25

A.1 Envelope de uma funcao generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.2 Sistema em Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

xiv

Lista de Figuras

2.1 Sinal original e seu respectivo envelope - Exemplo 1 . . . . . . . . . . 4

2.2 FFT do sinal original - Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 FFT do envelope do sinal - Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5





2.8 FFT do envelope do sinal - Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Curvas de nıvel - Envelope de Aceleracao. . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Curvas de nıvel - Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Sistema de 2 graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Media de Mz - 1000 realizacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6 Media de Menv - 1000 realizacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.7 Media de Menv - kp=1 kp=0.95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16



5.1 Media de Menv - cp=0.5 cp=1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

xv

Lista de Tabelas

3.1 Valores dos parametros do modelo - Condicao saudavel . . . . . . . . 13

4.1 kp - Sem ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 kp - Com ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 cp - Sem ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 cp - Com ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 kp - Sem ruıdo e com excitacao z(t) alterada . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 kp - Com ruıdo e com excitacao z(t) alterada . . . . . . . . . . . . . . 21

xvi

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Motivacao tecnica e objetivos do trabalho

Segundo MOBLEY [1], a analise de vibracao e uma ferramenta e tecnica muito

util para a manutencao preditiva e para a geracao de diagnosticos de maquinas. Todo

equipamento mecanico em movimento possui um perfil caracterıstico de vibracao que

reflete sua condicao de operacao. Isso vale tanto para movimento rotativo, quanto

para movimento linear.

Como exemplos de equipamentos tipicamente monitorados por intermedio da

analise de vibracao, temos: bombas e compressores (centrıfugos e alternativos),

motores (eletricos e de combustao interna), turbinas, ventiladores e chillers.

A analise de vibracao e de vital importancia na industria de oleo e gas, que

necessita de equipamentos robustos e extremamente caros. A identificacao antecipada

de defeitos em tais equipamentos e de grande importancia neste sentido.

Os principais objetivos deste trabalho sao o desenvolvimento de um modelo de

2 graus de liberdade a fim de simular o comportamento dinamico de equipamentos

encontrados em plataformas de petroleo e a deteccao de defeitos por meio de um

algoritmo de otimizacao.

1.2 Motivacao pessoal

Durante dois anos, tive o privilegio de estagiar no departamento de manutencao

preditiva da Petrobras onde pude aplicar diversos conhecimentos adquiridos na

universidade. Aprendi muito sobre diversos fundamentos e praticas da industria

de oleo e gas, em especial a tecnica de analise de vibracao. A partir dessa incrıvel

experiencia, surgiu a motivacao para fazer esse projeto de graduacao.

1

1.3 Organizacao do trabalho

No dia a dia de analise de vibracao, deseja-se frequentemente monitorar o

parametro envelope de aceleracao. No capıtulo 2, a discussao a respeito do en-

velope sera apresentada. Em seguida, no capıtulo 3, sera desenvolvido um modelo

massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade, por intermedio do MATLAB,

com o intuito de simular o comportamento de maquinas em ambiente offshore. No

capıtulo 4, o algoritmo PSO (Particle Swarm Optimization) sera apresentado com o

intento de identificar defeitos em equipamentos. Por fim, no capıtulo 5, sera feita

uma analise dos resultados obtidos.

2

Capıtulo 2

Estudo do envelope

2.1 Introducao

O envelope e uma ferramenta que possibilita a descoberta de importantes in-

formacoes a respeito da vida e saude de ativos de uma planta industrial. Ela e

utilizada para a deteccao antecipada de falhas em rolamentos.

O envelope de aceleracao e um parametro valioso a ser monitorado, por permitir o

monitoramento contınuo da condicao de equipamentos. Este parametro pode revelar

falhas em seus estados iniciais; antes destas serem detectaveis por outras medicoes

de vibracao. Sem uma ferramenta como essa, os estados finais de falhas podem

chegar a ocorrer; onde nıveis elevados de vibracao se fazem presentes, lubrificantes

contaminam-se e as temperaturas aumentam. Neste momento, a vida util restante

das maquinas defeituosas pode ser muitıssimo pequena e o dano mais grave do que

seria se as falhas tivessem sido detectadas previamente [2].

2.2 Definicao matematica do envelope

Seja um sinal real no domınio do tempo xr(t). Este pode ser associado a um

sinal complexo xc(t), definido como [3]:

xc(t) = xr(t) + jxi(t) (2.1)

xc(t) e conhecido como sinal analıtico. A sua parte real e igual ao sinal original

xr(t); e a sua parte imaginaria, xi(t), e a Transformada de Hilbert de xr(t).

O envelope e definido como sendo a magnitude de xc(t):

E(t) = |xc(t)| =√

xr(t)2 + xi(t)2 (2.2)

3

2.3 Envelopes de sinais

Foi desenvolvido um script (disponıvel na Secao A.1 do Apendice) na plataforma

MATLAB que implementa o envelope de uma funcao generica usando a Transformada

de Hilbert.

Serao indicados tres exemplos. O objetivo e mostrar o envelope de um sinal

generico no domınio do tempo e da frequencia. Para passar do domınio do tempo

para o domınio da frequencia, foi utilizada a FFT (Fast Fourier Transform).

1) Como primeiro exemplo, arbitra-se uma frequencia de amostragem igual a

10000 Hz e uma funcao x definida por:

x = [1 + cos(2.π.50.t)].cos(2.π.1000.t) (2.3)

Sao apresentados tres graficos. Na Figura 2.1, tem-se em azul o sinal original e

em coloracao vermelha o envelope do mesmo (domınio do tempo). Na Figura 2.2,

tem-se a FFT do sinal original; e na Figura 2.3, a FFT do envelope do sinal original.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1Tempo (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5xenv(x)

Figura 2.1: Sinal original e seu respectivo envelope - Exemplo 1

4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000Frequência (Hz)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

H(x

)

Figura 2.2: FFT do sinal original - Exemplo 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Frequência (Hz)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

H(e

nv(

x))

Figura 2.3: FFT do envelope do sinal - Exemplo 1

5

2) Como segundo exemplo, arbitra-se uma frequencia de amostragem de


x = 2.sin(2.π.5.t) (2.4)

Sao apresentados dois graficos. Na Figura 2.4, tem-se em azul o sinal original e


tem-se a FFT do sinal original.

0 0.5 1 1.5Tempo (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5xenv(x)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frequência (Hz)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

H(x)


6

3) Como terceiro exemplo, arbitra-se uma frequencia de amostragem de


x = sin(2.π.5.t).exp(−t) (2.5)

Sao apresentados tres graficos. Na Figura 2.6, tem-se em azul o sinal original e


tem-se a FFT do sinal original; e na Figura 2.8, a FFT do envelope do sinal original.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Tempo (s)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

xenv(x)


0 2 4 6 8 10 12Frequência (Hz)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

H(x

)


7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frequência (Hz)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

H(e

nv(x

))

Figura 2.8: FFT do envelope do sinal - Exemplo 3

8

Capıtulo 3

Modelo de 2 graus de liberdade

3.1 Introducao

No dia a dia de analise de vibracao, faz-se medicoes dos nıveis de vibracao dos

equipamentos em intervalos de tempo regulares. Duas grandezas comumente obtidas

em tais medicoes sao a velocidade e o envelope de aceleracao. De uma forma geral,

ambas sao dadas no domınio da frequencia.

A tıtulo de exemplo, tem-se dois graficos (curvas de nıvel) de 8 medicoes de

uma bomba centrıfuga de uma plataforma da Petrobras. As grandezas medidas

sao respectivamente o envelope de aceleracao e a velocidade (ambas no domınio da

frequencia). A frequencia de amostragem e de 2.5 Hz e as medicoes foram feitas em

intervalos de 35 dias.

08

0.5

6 2000Enve

lope

de

Acel

eraç

ão (g

Env)

1

1500

Medições

4

Frequência (Hz)

1000

1.5

2 5000 0

Figura 3.1: Curvas de nıvel - Envelope de Aceleracao.

9

08

1

2

6 1000

Velo

cida

de (m

/s)

3

800

Medições

4

4 600

Frequência (Hz)

5

4002 2000 0

Figura 3.2: Curvas de nıvel - Velocidade.

3.2 Desenvolvimento em Espaco de Estados

Sera construıdo um modelo de 2 graus de liberdade com o intuito de simular o

comportamento dinamico de equipamentos em plataformas de petroleo.

Em tal modelo, esquematizado na figura 3.3, ha uma maquina (de massa mp),

uma base (de massa mb) e um corpo representando a plataforma com deslocamento

prescrito z(t). Alem disso, existem duas molas e dois amortecedores.

Da teoria da representacao de sistemas em espaco de estados, tem-se [4]:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) , y(t) = Cx(t) +Du(t) (3.1)

x =

x1

x2

x3

x4

(3.2)

10

Figura 3.3: Sistema de 2 graus de liberdade.

No presente caso, as variaveis de estado serao os deslocamentos no tempo da base

e da maquina, bem como suas derivadas temporais (velocidades).

x1 = xb , x2 = xp , x3 = xb , x4 = xp (3.3)

x =

xb

xp

xb

xp

(3.4)

11

A entrada u tera 4 componentes: z (deslocamento prescrito da plataforma),

z (derivada temporal de z); F1 e F2 (forcas externas assumidas como zero).

u =

z

z

F1

F2

(3.5)

Para encontrar as matrizes A e B, deve-se resolver o sistema de forcas que atuam

tanto na base como na maquina. Sera assumido que os dois amortecedores sao

viscosos e as duas molas sao lineares [5].

mbxb = xb(−kp−kb)+xb(−cp−cb)+kp(xp)+kb(z(t))+cb(z(t))+cp(xp)+F1 (3.6)

mpxp = kp(xb − xp) + cp(xb − xp) + F2 (3.7)

De posse dos resultados, tem-se:

A =

0 0 1 0

0 0 0 1

(−kp− kb)/mb kp/mb (−cp− cb)/mb cp/mb

kp/mp −kp/mp cp/mp −cp/mp

(3.8)

B =

0 0 0 0

0 0 0 0

kb/mb cb/mb 1/mb 0

0 0 0 1/mp

(3.9)

A matriz C sera:

C =[0 0 0 1

](3.10)

A razao para C possuir tal forma e que o interesse esta na velocidade

da maquina (x4).

D =[0 0 0 0

](3.11)

12

3.3 Simulacao no MATLAB

Foi desenvolvido um script (disponıvel na Secao A.2 do Apendice) por intermedio

do software MATLAB onde esta definido o sistema com base em espaco de estados.

Sera suposto que para uma condicao dita saudavel da maquina, os valores dos

parametros serao os seguintes:

mp = 5 kgmb = 3 kgkb = 5 N/mcb = 2 (N.s)/mkp = 1 N/mcp = 1 (N.s)/m

Tabela 3.1: Valores dos parametros do modelo - Condicao saudavel

As frequencias naturais do sistema sao:

w1 = 0.4067rad/s , w2 = 1.4195rad/s (3.12)

Para a entrada z(t) e a resposta do sistema (x4), tem-se o seguinte Diagrama de

Bode:

0 1 2 3 4 5 6Frequência (rad/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

(x4) /

z (

(m/s

)/m)

Figura 3.4: Diagrama de Bode

13

Serao definidos tres parametros:

w = (w1 + w2)/2 = 0.9131rad/s (3.13)

σw = w −w1 = 0.5064rad/s (3.14)

ωr = w + (σw.randn) (3.15)

randn e um comando da plataforma MATLAB que gera numeros aleatorios,

segundo uma distribuicao normal padrao.

Com o intuito de se modelar um ambiente no qual a excitacao de forcas seja

aleatoria, adota-se, neste trabalho, um modelo estocastico para z(t); entrada do

sistema que representa o deslocamento da plataforma. Como uma primeira proposta,

adotou-se:

z(t) =10∑i=1

1.sin(t.ωr(i)) (3.16)

Vale ressaltar que ωr assume um valor diferente para cada termo do somatorio.

Segue a parte do codigo do MATLAB onde esta definido z(t):

z=0;

for pp=1:10

var aux = wmed + sigw*randn;

z=z + 1*sin(t*var aux);

end

Sera aplicada a FFT (Fast Fourier Transform) em z(t); chegando a H(z).

Tem-se grande interesse na resposta do sistema que esta representada pela

velocidade da maquina. Sera aplicado o envelope na resposta e depois a FFT (Fast

Fourier Transform), chegando a H(env(xp)) (envelope de velocidade).

Serao feitas 1000 realizacoes. Define-se uma matriz Mz e uma matriz Menv que

guardam os valores das excitacoes H(z) e os valores de H(env(xp)); respectivamente,

para todas as realizacoes. Pode-se fazer uma media de Mz e de Menv ao longo das

1000 realizacoes.

Os graficos a seguir mostram; respectivamente, a media de Mz e a media de

Menv no domınio da frequencia, bem como os percentis de 2 e 98 (em vermelho

tracejado).

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Méd

ia d

e M

z (m

)

Figura 3.5: Media de Mz - 1000 realizacoes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Méd

ia d

e M

env

(m/s

)

Figura 3.6: Media de Menv - 1000 realizacoes.

15

3.4 Influencia do parametro kp sobre a resposta

do sistema

Nesta secao, o objetivo e mostrar que a perda de rigidez do sistema impacta

profundamente na resposta do mesmo; representada pela media de Menv. Para tal

fim, kp sera reduzido em 5%, 50% e 90%; e serao indicados tres graficos contemplando

tais casos. Nestes graficos, e mostrado em cor preta a resposta do sistema para

kp=1 (kp original) e em coloracao vermelha a resposta para kp com a reducao. Vale

ressaltar que foram mantidas as 1000 realizacoes para a presente analise.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Méd

ia d

e M

env

(m/s

) kp=1

kp=0.95

Figura 3.7: Media de Menv - kp=1 kp=0.95

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Méd

ia d

e M

env

(m/s

) kp=1

kp=0.5


16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Méd

ia d

e M

env

(m/s

)

kp=1

kp=0.1


Como pode-se notar claramente, quanto maior a diminuicao de kp, mais discre-

pante a resposta do sistema fica da resposta para a condicao dita saudavel (kp=1).

17

Capıtulo 4

Otimizacao

4.1 Introducao

Neste capıtulo, tem-se por objetivo fazer uma analise de otimizacao do modelo

apresentado no capıtulo anterior. A analise sera feita com o intento de detectar

defeitos do equipamento. O objetivo e estimar os parametros kp e cp a partir da

resposta do sistema, representada pela media de Menv; sendo que esta resposta

e de uma condicao do equipamento dita nao saudavel (equipamento com defeito).

Para tal fim, sera construıdo um algoritmo baseado em Particle Swarm Optimization

(PSO).

4.2 Particle Swarm Optimization

Segundo YANG [6], o algoritmo de Particle Swarm Optimization (PSO) foi

desenvolvido por Kennedy e Eberhart em 1995, baseado no comportamento de

“enxame”que pode ser observado na natureza no caso de peixes e passaros (grandes

grupos se movendo conjuntamente), por exemplo.

Tal algoritmo busca um espaco de uma funcao objetivo; ajustando as trajetorias

de agentes individuais, chamados de partıculas, como o caminho por partes formado

por vetores de posicao de maneira quase-estocastica. O movimento da partıcula pos-

sui dois componentes: um componente estocastico e um componente determinıstico.

A partıcula e atraıda em direcao a posicao do melhor global atual, enquanto ao

mesmo tempo possui uma tendencia a se mover randomicamente. Quando a partıcula

encontra uma localizacao que e melhor que qualquer localizacao previamente encon-

trada, entao esta torna-se a nova melhor atual para a partıcula i. Existe um melhor

atual para todas as n partıculas.

18

O objetivo e encontrar o melhor global entre todos os melhores atuais ate que a

funcao objetivo nao melhore mais ou apos certo numero de iteracoes.

4.3 Resultados

Foi desenvolvido um script no MATLAB, consultando ORLANDE et al. [7], RINI

et al. [8] e KAIPIO e SOMERSALO [9]; onde foi inserido o algoritmo PSO. Para a

condicao de equipamento dito saudavel, tinha-se que kp=cp=1.

O objetivo da presente secao e estimar os parametros de entrada kp e cp a partir

da resposta do sistema para seis diferentes casos.

1) kp - Sem ruıdo

No primeiro caso, deseja-se estimar kp a partir da resposta do sistema gerada

com kp=0.5. Tal caso representa uma perda de rigidez por parte do sistema. Nao ha

ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.

O script e rodado cinco vezes e os seguintes resultados sao encontrados:

Estimativas Erros (%)0.497683 0.460.507306 1.460.468329 6.330.500068 0.010.491237 0.88

Tabela 4.1: kp - Sem ruıdo

2) kp - Com ruıdo

No segundo caso, deseja-se estimar kp a partir da resposta do sistema gerada

com kp=0.5. Insere-se ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.



Tabela 4.2: kp - Com ruıdo

19

3) cp - Sem ruıdo

No terceiro caso, deseja-se estimar cp a partir da resposta do sistema gerada com

cp=0.5. Nao ha ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.



Tabela 4.3: cp - Sem ruıdo

4) cp - Com ruıdo

No quarto caso, deseja-se estimar cp a partir da resposta do sistema gerada com

cp=0.5. Insere-se ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.



Tabela 4.4: cp - Com ruıdo

5) kp - Sem ruıdo e com excitacao z(t) alterada

No quinto caso, deseja-se estimar kp a partir da resposta do sistema gerada com

kp=0.5. Alem disso, a excitacao (entrada) z(t) e alterada para:

z(t) =10∑i=1

(1/ωr(i)).sin(t.ωr(i)) (4.1)

Nao ha ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.



Tabela 4.5: kp - Sem ruıdo e com excitacao z(t) alterada

20

6) kp - Com ruıdo e com excitacao z(t) alterada

No sexto caso, deseja-se estimar kp a partir da resposta do sistema gerada com

kp=0.5. Alem disso, a excitacao (entrada) z(t) e alterada para:

z(t) =10∑i=1

(1/ωr(i)).sin(t.ωr(i)) (4.2)

Insere-se ruıdo nas medicoes sinteticas para o presente caso.



Tabela 4.6: kp - Com ruıdo e com excitacao z(t) alterada

21

Capıtulo 5

Conclusoes

Os resultados dos quatro primeiros casos foram bastante satisfatorios. Tal analise

pode parecer equivocada ao se observar o quarto caso que possui percentuais de erro

muito elevados. Contudo, a explicacao para tal questao esta na sensibilidade do

sistema.

No grafico a seguir, tem-se em coloracao preta a resposta do sistema para cp=0.5

e em cor vermelha a resposta para cp=1.17.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.pi.f (rad/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Méd

ia d

e M

env

(m/s

)

cp=0.5

cp=1.17

Figura 5.1: Media de Menv - cp=0.5 cp=1.17

Observa-se nitidamente que a resposta do sistema nao varia muito para uma

variacao elevada do parametro cp.

22

Os resultados para os dois ultimos casos nao foram satisfatorios. Conclui-se que

a alteracao na excitacao z(t) nao modela de forma acurada o sistema estudado.

Tentou-se usar o algoritmo de Levenberg-Marquardt, ao inves do algoritmo PSO

para as presentes analises. Contudo, como trata-se de um metodo que procura

mınimos locais; o mesmo nao e adequado para o presente sistema. Isto se deve

ao fato de haver uma entrada de natureza aleatoria (z(t)). Portanto, utilizou-se o

algoritmo PSO que procura mınimos globais.

23

Referencias Bibliograficas

[1] MOBLEY, R. K. An Introduction to Predictive Maintenance, v. 2. Butterworth-

Heinemann, 2002. ISBN: 978-0750675314.

[2] ORBIT MAGAZINE. “Acceleration Enveloping – Higher Sensitivity, Ear-

lier Detection”. Disponıvel em: <http://www.orbit-magazine.com/

wp-content/uploads/2014/07/2q04accelenvel.pdf>. Acessado em 8

de setembro de 2016.

[3] LYONS, R. G. Understanding Digital Signal Processing, v. 2. Prentice Hall, 2004.

ISBN: 978-0131089891.

[4] NISE, N. S. Control Systems Engineering, v. 6. Wiley, 2010. ISBN: 978-0470-

91769-5.

[5] RAO, S. S. Mechanical Vibrations, v. 5. Pearson, 2010. ISBN: 978-0132128193.

[6] YANG, X.-S. Introduction to Mathematical Optimization - From Linear Pro-

gramming to Metaheuristics. Cambridge, UK, Cambridge International

Science Publishing, 2008. ISBN: 978-1-904602-82-8.

[7] ORLANDE, H. R. B., FUDYM, O., MAILLET, D., et al. Thermal Measurements

and Inverse Techniques. CRC Press, 2011. ISBN: 978-1439845557.

[8] RINI, D. P., SHAMSUDDIN, S. M., YUHANIZ, S. S. “Particle Swarm Opti-

mization: Technique, System and Challenges”, International Journal of

Computer Applications, v. 14, n. 1, 2011.

[9] KAIPIO, J., SOMERSALO, E. Statistical and Computational Inverse Problems.

Springer, 2004. ISBN: 978-0387220734.

24

http://www.orbit-magazine.com/wp-content/uploads/2014/07/2q04accelenvel.pdf

http://www.orbit-magazine.com/wp-content/uploads/2014/07/2q04accelenvel.pdf

Apendice A

Codigos em MATLAB

A.1 Envelope de uma funcao generica

% x is the input vector

% Fs is the sampling frequency

function [x fft,y fft,f] = fFFT(x,Fs)

x=x(1,:);

Ns = size(x,2);

T = Ns/Fs;

x fft = abs(fft(x,Ns))/Ns;

x fft = x fft(1:size(x fft,2)/2);

f = 0:Fs/Ns:Fs/2-Fs/Ns;

t = 0:T/Ns:T-T/Ns;

y = abs(hilbert(x));

y fft = abs(fft(y,Ns))/Ns;

y fft = y fft(1:size(y fft,2)/2);

figure;

plot(t,x);

hold on;

plot(t,y,'r');

legend('x','env(x)');

figure;

plot(f,x fft);

figure;

plot(f,y fft,'k');

25

A.2 Sistema em Espaco de Estados

close all;

clear all;

mp=5;

mb=3;

cb=2;

cp=1;

kp=1;

kb=5;

A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; (-kp-kb)/mb kp/mb (-cp-cb)/mb cp/mb; kp/mp ...

-kp/mp cp/mp -cp/mp];

B=[0 0 0 0; 0 0 0 0; kb/mb cb/mb 1/mb 0; 0 0 0 1/mp];

C=[0 0 0 1];

D=[0 0 0 0];

sys=ss(A,B,C,D);

%%propriedades modais

[my Wn,my Z,my pP] = damp(sys);

wmin = my Wn(1);

wmax = my Wn(3);

wmed = 0.5*(wmin + wmax);

sigw = wmed-wmin;

Fs = 10;

passo=1/Fs;

t=0:passo:100;

F1 = zeros(size(t));

F2 = zeros(size(t));

Nmc = 1000;

Mz = zeros(length(t),Nmc);

Mkenv=zeros(length(t),Nmc);

Mkenv fft=zeros(length(t),Nmc);

for kk=1:Nmc

z=0;

26

for pp=1:10

var aux = wmed + sigw*randn;

z=z + 1*sin(t*var aux);

end

T=max(t);

Ns=Fs*T+1;

finicial=0:Fs/Ns:(Fs-(Fs/Ns));

z fft=abs(fft(z,Ns))/Ns;

Mz(:,kk)=z fft';

zponto=[z(1) diff(z)/passo];

zponto fft=abs(fft(zponto,Ns))/Ns;

K=lsim(sys,[z;zponto;F1;F2],t);

Kenv=abs(hilbert(K));

Mkenv(:,kk)=Kenv;

K fft=abs(fft(K,Ns))/Ns;

Kenv fft=abs(fft(Kenv,Ns))/Ns;

Mkenv fft(:,kk)=Kenv fft';

end

meanMkenv=zeros(2,3);

meanMkenv=mean(Mkenv,2);

meanMkenv fft=zeros(2,3);

meanMkenv fft=mean(Mkenv fft,2);

meanMz=zeros(2,3);

meanMz=mean(Mz,2);

figure(1)

hold on

plot(2*pi*finicial,meanMz,'k');

hold on

prctileMz 2=prctile(Mz',2);

27

prctileMz 98=prctile(Mz',98);

plot(2*pi*finicial,prctileMz 2,'r--')

hold on

plot(2*pi*finicial,prctileMz 98,'r--')

figure(2)

hold on

plot(2*pi*finicial,meanMkenv fft,'k');

hold on

prctilemeanMkenv fft 2=prctile(Mkenv fft',2);

prctilemeanMkenv fft 98=prctile(Mkenv fft',98);

plot(2*pi*finicial,prctilemeanMkenv fft 2,'r--')

hold on

plot(2*pi*finicial,prctilemeanMkenv fft 98,'r--'

28

Identificação de defeitos em equipamentos a partir de...

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