IEFEITOS POLRRONICOS EM ESTRUTURRS ......índice Lista de figuras e tabelas Agradecimentos...
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IEFEITOS POLRRONICOS EM 1 ESTRUTURRS SEMICONDUTORRS EM UM~ E DU~S DIMENSaES." , Francisco'~p. Pinto Os6rio
Transcript of IEFEITOS POLRRONICOS EM ESTRUTURRS ......índice Lista de figuras e tabelas Agradecimentos...
IEFEITOS POLRRONICOS EM1
ESTRUTURRS SEMICONDUTORRS EMUM~ E DU~S DIMENSaES."
,Francisco'~p. Pinto Os6rio
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Dr. Paulo Sergio Soares Guimaraes
1'7 1'~~.,
Diva e ~line e aminha familia,
índice
Lista de figuras e tabelasAgradecimentosPublicaçelesResumo
Abstract
Primeira Parte: MagnetopoLarons em heterojunç~es e poçosquânticos de Ga~s-RLGaRs
CapítuLo 1: Introdução. 6CapítuLo 2: DesenvoLvimento Teórico.
2.1. CáLcuLo do desLocamento de energiados níveis de Landau. 12
2.2. MagnetopoLarons bidimensionais(2D). 182.2.a. Campo magnético fraco. 192.2.b. Campo magnético forte. 202.2.c. Campo magnético ressonante. 21
2.3. MagnetopoLarons em poços quânticos e hetero-junç~es de Ga~s-~LGa~s. 28
2.3.a. Fatores de forma quase-bidimensionais. 292.3.b. Efeito da bLindagem da interação eLétron-
fonon LD. 38
2.3.c.N~o parabolicidade da banda deconduç~o da GaAs.
Capítulo 3: Compara~ão com as dadas experimentais
e conclus~es.
Segunda Parte: Efeito polarônico sobre a energia de ligação
de uma lmpureza hidrogenóide em um fioquântico quase unidimensional.
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2.8 [ompara~~o entre os fatores de forma da neterojun~~o e dopo~o quantico.
2.S Efeito da blindagem da intera~~o eletron-fonon LO sobre amassa de ciclotron de um gas de eletrons 2D.
3.1 [ompara~~o entre os resultados te6ricos e experimentais parauma neterojun~~o com densidade eletronica N. = 1,4 X 1011 cm-3 edensidade de carga na camada de deple~lo Nd = 0,42 X 1011 cm-3
3.4 Compara~~o entre os resultados te6ricos e experimentais paraum po~o quantico com densidade eletronica N. = 107 cm-3•
5.1 Energia de liga~lo de uma impureza hidrogen6ide colocada nocentro de um fio quantico de GaRs-RlGaRs, com barreirasinfinitas.
5.2 Energia de liga~lo em fun~lo de Lx para Ly=100 R para tresposi~8es da impureza em um fio com barreiras infinitas.
5.3 Energia de liga~lo do estado fundamental de uma impurezanidrogen6ide no centro de um fio quantico retangular combarreiras finitas, sem a presen~a da intera~lo eletro-fonon LO,
5.4 Energia de Liga~ao de uma impureza LocaLizada no centro de
um fio retangular, com Ly=50 angstrons, para varias
concentra~~es de aluminio nas dire~~es (X,Y).
5.5 Energia de liga~ao em fun~ao das posi~~es da impureza no
fio, conforme esta se move ao Longo da diagonal, para diferentes
alturas das barreiras de potenciais.
5.6 Energia
concentra~ao
impureza.
de liga~ao em fun~ao da
y fixa em dais valores
concentra~ao x para
para duas posi~~es
5.7 Energia de liga~ao do estado fundamental de uma impureza
situada no centro de um fio quantico, com e sem a presen~a da
intera~ao eletron-fonon La.
5.8 Energia de liga~ao para um fio com concentra~~es x=y=O,3 e
Ly=50 angstrons, em fun~ao de Lx, com e sem a presen~a da
intera~ao eLetron-fonon La.
5.9 Energia de liga~ao para um impureza se deslocando na
diagonal de um fio quantico, com e sem a contribui~ao polaronica.
5.10 Energia de Liga~ao em fun~ao das concentra~~es (x=y) com e
sem a presen~a da intera~ao eletron fonon La, para dais fios com
5.11 Compara~~o entre os resuLtados para a energia de Liga~~o,para as duas fun~~es de onda da impureza, gaussiana ehidrogen6ide unidimensionaL.
5.12 Compara~~o entre as resuLtados para a energia de Liga~~o,
para as duas fun~~es de onda da impureza, gaussiana ehidrogenoide tridimensionaL.
5.13 Compara~~o entre os dais modeLos para um fio com aimpureza no centro e x=y=O,3.
5.14 Compara~~odesLocando na
entre as dais modeLos para umadiagonaL de um fio quantico,
impureza separa varias
5.15 Energia de Liga~~o em fun~~o de Lx, para Ly fixo em tresvaLores, para um fio com impureza no centro e x=y=O,3.Com e sem acontribui~~o poLaronica, segundo modeLo.
5.16 Energia de Liga~~o em fun~~o de Lx, para Ly fixo em tresvaLores, para um fio com impureza no centro e x=y=O,15. Com e sema contribui~~o poLaronica, segundo modeLo.
5.17 Energiaconforme eLa
Liga~~odesLaca
fun~JodiagonaL
da posi~~o da impurezade um fia para duas
5.18 Energia de liga~~o como fun~~o das concentra~aes (x=y) para
um fio com Lx=Ly= 100 angstrons e impureza no centro. (om e sem a
intera~~o eletron-fonon LO
5.1 (ompara~~o da energia de liga~~o com e sem a presen~a dos
fonons LO I para alguns tamanhos de fio.
5.2 [ompara~~o da energia de liga~~o com e sem a presen~a dos
fonons LO , para algumas posi~aes da impureza no fio.
5.3 [ompara~~o da energia de liga~~o para fios quadrados com osresultados para fios ciLindricos, de mesma area de sec~~o
transversaL.
5.4 [ompara~~o da energia de Liga~~o com e sem a presen~a dos
fonons LO I para alguns tamanhos de fios.Para a fun~~o gaussiana,
segundo modeLo.
5.5 [ompara~~o da energia de Liga~~o para fios quadrados com os
resuLtados para fios cilindricos, de mesma area de sec~~o
transversal.Segundo modelo.
~grade~o a todos aqueles que direta ou indiretamentecolaboraram para a elabora~~o deste trabalho. Em especial:
~o professor Dr. Oscar Hipolito por seu apoio e incentivo desdeo inicio de nossas atividades.
~o professor ~braham M. Cohen pelas produiivas discuss~es e
pelo apoio.A Funda~~o de ~mparo a Pesquisa do Estado de 5~o Paulo
(F~PE5P) pelo auxilio financeiro.
Bound impurity in GaAs-GaAlAs Quantum wires u;FranciscoA.P.Osorio, Marcos H.Degani and Oscar Hipolito, Physical Review B37, 3, 1402 (1988)
" Magneto-PoLaron in GaAs-GaALAs heteroestructure" ,F.A.P.Osorio,M.H.Degani and O.Hipolito, in Proceedings of the Third BraziLianSchooL on Semiconductor Physics, edited by O.HipoLito,G.E.Marques and A.Fazzio, World Scientific Publishing [0.,
Singapore (1987)
Neste trabalho estudamos os efeitos polaronicos sobre um gas
de eletrons quase bidimensional presente em heteroestruturas
semicondutoras (heterojun~~es e po~os quanticos de Ga~s-~lGa~s)
sob a a~~o de um campo magnetico uniforme aplicado na dire~~o
perpendicuLar a interface, atraves de teoria de perturba~~o de
segunda ordem. CaLcuLamos a massa cicLotronica considerando a
intera~~o eletron-fonon LO e os efeitos de bLindagem e n~o
paraboLicidade da banda de condu~~o do GaRs. Os resuLtados
obtidos s~o comparados com recentes dados experimentais de
ressonancia cicLotronica e apresentam 6tima concordancia.
Estudamos tambem a energia de Liga~~o do estado fundamentaL
de uma impureza hidrogen6ide Localizada no interior de um fio
quantico retanguLar de GaRs envoLvido por RlGaRs, como fun~~o
das dimens~es do fio para varias aLturas das barreiras de
variacionaL, usando varias formas para a fun~~o de onda tentativa
do sistema. Consideramos tambem a contribui~~o poLaronica aenergia de liga~~o. Comparamos nossos resuLtados com recentes
calcuLos da energia de Liga~~o, efetuados por outros autores.
In this work we study the poLaronic effects on the two
dimensionaL eLectron gas present in semiconductor
heteroestructures (GaRs-RLGaRs heterojunctions and quantum weLLs)
when a uniform magnetic field is applied perpendicular to the
interface, using second order perturbation theory. By taking into
account the effect of nonparaboLicity and screening of the
eLectron-fonon LO interaction the caLcuLated effective mass is
compared to the recent experimentaL date. Good agreement is found
with avaiLabLe date.
The binding energies of a hydrogenic impurity Located in
quantum weLL wires of GaRs surrounded by RLGaRs are caLcuLated as
a functions of the size of the wire for severaL vaLues of the
heights of the potentiaL barriers and diferent positions of the
impurity inside the wire. We foLLow a variationaL approach
choosing severaL triaL wave functions for the ground state. The
poLaronic contribution to the binding energy is considered. We
compare our resuLts with those previously obtained by other
authors.
CRPITULO O:INTRODU~RO GERRL
compostas de materiais dos grupos III-Veil-VI. Dentre essas as.
pi~~VSTE(A'Oo'iNsT'iTiiro~i;tffSK'AEQUiMIU:'r;[~Xo"c;;~i@i~wt' Fis I CA
".,.""".-"' __ <Oo;.""._._.~ •••• ,., .._")",,, •• _ ~ "II_~~ __ • ""
bandas de condu~~o e valencia), as qualidades preditas em muitosmodelos te6ricos n~o s~o satisfat6rias, 0 que requer que essesparametros sejam determinados experimentalmente. Experimentosrecentes (3) reviram os valores anteriormente aceitos (2] de~Ec/AEo = 0.85 e AEv/AEo = 0.15 para 0.60 e 0.40 respectivamente,onde AEo e a descontinuidade da energia de gap.
Particularmente se em uma heterojun,~o de RlGaRs-Gags 0
material da barreira (RlGaRs) e dopado com impurezas doadorasenquanto 0 GaRs e mantido pure (dopagem modulada), osfornecidos peLas impurezas ir~o se aLojar no materiaLmenor, 0 GaRs, ficando confinados por um po,o de
eletronsde gap
potenciaLunidimensionaL pr6ximos a interface dos dois semicondutores. Estepo~o de potenciaL e originado peLa diferen~a de gap entre os doismateriais e peLas impurezas doadoras no RLGaRs.
R presen~a desse potenciaL quantiza 0 movimento eletronicona dire~~o normal a interface em subbandas, que s~o dinamicamentebidimensionais (20), desde que os eLetrons s~o praticamenteLivres para se moverem no pLano paraLeLo a interface, mas possuemseu movimento quantizado na dire~~o normaL a interface. Pelomesmo processo de dopagem moduLada podemos ter a presen~a do gasde eLetrons quase bidimensionaL em po~os quanticos isolados esuper redes, que s~o compostas pela superposi~~o deheterojun~aes.
Essas estruturas bidimensionais s~o caracterizadas porintrigantes fenomenos nunca antes observados no volume (bulk) desemicondutores. Um exemplo importante e que essas estruturasexibem aLtas mobiLidades eLetronicas, devido a separa~~o espaciaL
entre os eletrons e as impurezas doadoras, diminuindo assim 0
espalhamento elastico. Tambem a presen~a de impurezas ionizadastem atraido muita aten~~o, porque 0 confinamento espacialbeneficia em muito a intera~~o coulombiana originando energias deliga~~o mais altas que as encontradas no volume do semicondutor.
Dutro fato interessante e que os materiais dos grupos III-Ve II-VI s~o fracamente polares .. E em semicondutores polares 0
movimento eletronico e acompanhado do campo de polariza~~o dosfonons longitudinais opticos (LO) formando a quase particulachamada de polaron. Os efeitos desse acoplamento (efeitospolaronicos) se manifestam diminuindo a energia do eletron poruma quantidade correspondente a energia de liga~~o do polaron eaumentando sua massa efetiva.
Mais recentemente 0 elevado grau de desenvolvimento nastecnicas de crescimento de cristais tem tornado possivel afabrica~~o de estruturas semicondutoras Quase unidimensionais(Q10).PesQuisadores (4] usando MBE e fotolitografia associadascom processos de corros~o Quimica cresceram fios Quanticos deGa~s envolvidos por ~lGa~s, com sec~~o de area da ordem de 10~angstrons Quadrados e de varios centimetros de comprimento.Nessas estruturas 0 gas de eletrons comporta-se como Q10 tendoseu movimento livre ao Longo do comprimento do fio e Quantizadonas duas dire~aes normais a ele. ~ presen~a de uma impurezahidrogenoide em um fio Quantico de Ga~s-~lGa~s foi consideradapor varios autores. ~ importancia do confinamento eletronico emestruturas 20, sugere Que efeitos mais dramaticos ocorram Quandoa impureza e colocada em um meio Q10. ~ energia de liga~~o da
impureza devera ser maior que aqueLas encontradas em estruturas2D, devido ao confinamento adicionaL do eLetron. Tambem aqui aintera~~o eLetron-fonon LO, efeito poLaronico, devera atuar dandouma contribui~~o significante para a energia de Liga~~o daimpureza.
Este trabaLho se divide em duas partes, sendo que em cadauma deLas tratamos de probLemas distintos. Na primeira partedeste trabaLho tratamos da intera~~o eLetron-fonon LO sobre umgas de eletron Quase-bidimensional (020) presente em po~osquanticos e heterojun~~es de RlGaRs-GaRs. Reproduzimos a situa~~oexperimental considerando a presen~a de um campo magneticouniforme aplicado na dire~~o normal a interface, que quantiza 0
movimento eletronico no plano paralelo a interface em niveis deLandau. Oessa maneira 0 gas de eletrons e totalmente Quantizadode modo que os efeitos polaronicos podem ser observados emexperimentos de Ressonancia ciclotronica (Re), atraves, dadependencia da massa de ciclotron com 0 campo magnetico.
Os tres primeiros capitulos que seguem tratam deste assunto.No capitulo 1, temos uma breve introdu~~o ao estudo dosmagnetopolarons (polarons em campos magneticos),onde de maneirasuscinta discutimos suas propriedades e alguns trabalhos maisimportant~s a eles dedicados. No capitulo 2, desenvolvemos toda ateoria do problema, obtendo atraves da teoria de perturba~~o desegunda ordem a express~o do deslocamento da energia dos niveisde Landau devido ao efeito polaronico, para um gas de eletrons020, considerando a blindagen da intera~~o eletron-fonon LO
efetiva do magnetopoLaron atraves da transi~~o entre as niveisn=O e n=1 de Landau. Na sequencia estudamos a Limite para a gasde eLetrons 2D e obtemos importantes resuLtados quaLitativos.Ent~o estudamos a efeito da Largura finita do gas de eLetrons eefeitos da bLindagem da intera~~o eLetron-fonon LO considerandoefeitos de ocupa~~o dos niveis de Landau.
FinaLmente tratamos as bandas de condu~~o do GaRs como n~oparaboLicas deixando nossa teoria em condi~aes de ser comparadacom as resuLtados experimentais. No capituLo 3 e que fazemos essacompara~~o.
Na segunda parte deste trabaLho caLcuLamos a energia doestado fundamentaL de um eLetron Ligado a uma impurezahidrogenoide situada no interior de um fio quantico de GaRsenvolvido par RLGaRs. Consideramos 0 fio como tendo sec~~o dearea transversaL retangular e calcuLamos a energia de liga~~o emfun~~o das dimensaes do fio para varias alturas das barreiras depotenciais e posi~aes da impureza no fio. RvaLiamos tambem acontribui~~o poLaronica para a energia de Liga~~o, que e obtidaatraves de um metoda variacionaL supondo varios modelosdiferentes para a fun~~o de onda do sistema.
Nossos resuLtados para as energias de Liga~~o dos variadosmodeLos s~o comparados entre si e com resuLtados teoricos deoutros autores para fios retanguLares e ciLindricos.No capitulo 4fazemos uma breve introdu~~o, reLatando as estudos feitos porvarios autores para fios quanticos. No capituLo 5 desenvoLvemos ateoria e as compara,aes descritas acima. Nossas concLusaes s~oapresentadas no capituLo 6.
onde~e ~s~o as constantes dieletric:as do material para altas e
baixas frequenc:iasJ mb e a massa de banda do eletronJ hWLO e a
fonon LO e fraco no sentido que «1; par exemplo, para a Ga~s~=O.06B e para a InSb ~=O.02. ~ssim sendo podemos obter asefeitos polaronicos atraves da teoria de perturba~~o de segundaa rdem, que e exa ta pa ra ()(...•C.
Em experimentos de ressonancia ciclotronica (RC), um campo
magnetico B uniforme e aplicado a amostra na dire~~operpendicular a interface, quantizando 0 movimento eletronico no
plano paralelo a interface em niveis de Landau. R energia doenesimo nivel de Landau e
onde Wc=eB/mbc e a frequencia de ciclotron e c a velocidade daluz.
~ intera~~o eletron-fonon LO (efeito polar8nico) desloca aenergia dos niveis de Landau par uma quantidade 6E"correspondente a energia de liga~Jo do magnetopolaron, provocandotambem a renormaliza~Jo da massa do eletron para um valorligeiramente diferente. Resultados de RC para p-InSb[Sl,CdHgTe[6l e heteroestruturas de ~lGa~s-Ga~s mostram a existenciado efeito polar8nico atraves da dependencia da massa de ciclotroncom a campo magnetico B.
Para pequenos campos magneticos (Wc«W~o) a crescimentoda massa de ciclotron e uma fun~~o quase linear com a crescimentodo campo magnetico . Em semicondutoresparabolicidade das bandas de condu~aocrescimento quase linear da massa de
m~ = eBh ~ _c \.~l- ~o"1
espacial dos portadores. No entanto os resultados experimentaisn~o confirmam por completo essa previs~o. Experimentos de RC emp-InSb realizadas par Horst e outros[5l constataram 0 aumento dosefeitos polaronicos quando comparados aqueles do volume do InSb.Entretanto varios experimentos de RC para heterojun~~es de GaRs-RlGaRs [10-14] est~o em contraste com esses resultados e indicamque em heterojun~aes os efeitos polaronicos s~o reduzidos emrela~~o aos do voLume do GaRs.
Lassnig e Zawadzki [15) estudaram os efeitos da intera~~oeletron-fonon LO em MOS de p-InSb, considerando 0 gas de eletronsquase-bidimensional e a forte n~o parabolicidade das bandas doInSb. Estes calculos descrevem bem quantitativamente os dados deHorst e outros[5l e conclue-se que os efeitos de muitos corposn~o s~o importantes neste material. Esta e a diferen~a essencialcom a heterojun~~o de GaRs-RLGaRs1 onde os efeitos de bLindagems~o importantes e responsaveis peLa atenua~~o dos efeitospolaronicos quando comparados aos do volume do GaRs. Isso se devea grande concentra~~o de portadores presentes em heterojun~aeslsuperior em quatro ou cinco ordens de magnitude as concentra~aestipicas de sistemas 3D.
Peeters e outros[16] e Xiaoguang e outros [17] numa serie detrabalhos tem usado 0 form~lismo da fun~~o memoria para 0 calculodo espectro de RC de poLarons Q2D em heterojun~aes de RlGaRs-GaRs. Nestes caLculos os efeitos de blindagem e da n~oparabolicidade das bandas de condu~~o do GaRs s~o considerados.Estes resultados teoricos est~o em boa concordancia com osresultados experimentais de Hopkins e outros [13] na regi~o do
limite quantico e observa-se que para densidades N.>1,4x1011cm-2,
a massa efetiva do magnetopolaron e menor do que a correspondentepara 0 volume do Ga~s.
Neste trabalho estudaremos os efeitos polaronicos sobre umgas de eletrons quase-bidimensional presente em po~os quanticos e
heterojun~5es de AlGa~s-Ga~s, considerando efeitos de blindagem
da intera~~o eletron-fonon LO atraves da constante die let rica
estatica calculada na aproxima~~o RPR(Randon phaseapproximation). No calculo da blindagem 0 efeito de ocupa~~o dosniveis de Landau e levado em conta. Tratamos as bandas do Ga~scomo n~o parab6licas e calculamos 0 deslocamento da energia dosniveis de Landau, atraves da teoria de perturba~~o de segundaordem, discutindo os varios tipos de teorias de perturba~~o quepodem ser utilizadas no problema.
Este trabalho e organizado da seguinte forma: no capitulo 2deduzimos a express~o para 0 deslocamento da energia dos niveisde Landau para um gas de eletrons a20. ~nalisamos detalhadamenteo Limite estritamente 20, obtendo as principais caracteristicasqualitativas do sistema anaLiticamente. Na sequencia apresentamosos fatores de forma para heterojun~5es e po~os quanticos,estudando seus efeitos sobre 0 gas de eletrons 20. Ent~oincorporamos a blindagem e a corre~~o a energia dos niveis deLandau devido a n~o parabolicidade das bandas de condu~~o doGa~s. No capitulo 3 comparamos nossos resultados com osresultados experimentais.
Ho = H~, +Ho,L + L ~\U\.o ~Q b~ (2)G
com 2y')( i. '2.
("'-~1' ')Ho" = + 1W\~c. (3)Z W\'o 2
Ho.1. =~.t -+ " l..~\ (4)
2, 'M'o
do eLetron. bgCbg) s~o os operadores de cria,~o Cdestrui,~o) dosfonons LO, com vetor de onda Q=Cq,qz) e frequencia WLO' 0
respectivamente, e E C~) a fun,~o
ClO
L
onde In> ~ a fun,~o de onda de um oscilador harm6nico simples com
o centro de~locado pela quantidade x =~~~~ IKy>= ~~~ ~ a fun~~o
de onda do el~tron livre na dire,~o y e ~(Z) a fun~~o de onda
on d e ~- <em ~ a d i fer en, a en t rea s en erg ia s do s n i v e is deL and au
perturba~~o para 0 item 2.2, para que possamos concluir a dedu~~o
da express~o de AEn, que e importante para uma discuss~o a esse
De volta a equa~~o (8) , podemos calcular 0 elemento de-matriz M""",,, ( a) , de modo que teremos
co 2 2L L '1
6En = \ \Ie \ \'1~W\rQ)\ (fl~)1 ( 12)-lW\a 0 Q'O"t\'W\
n1=max(n,m), q=(qx,qy) e 0 vetor de onda bidimensional dos fonons
LO e t" e 0 polinomio associado de Laguerre.
F(q) = ~ h ~ao 0
2-\ l.l~,)\
o fator de forma, que leva em considera~~o a dimensionalidade dot.
sistema na dire~~o Z. Dessa express~o podemos ver que se 1\(Zll=
na dire~~o normal a interface. Temos ainda 0 raio do polaron~rp=(h/2mbW~ol~ e ~ e a area do cristal. Passando a equa~~o (16)
ti\\: '" '4 ~ \._""'2. 2-
\ A '2. "" yo l LA.') "l 'f\ 2 \,1'/).~)\ (1 8 )
l~'2.-l 1- ~ 'Y\ _ (€"" - C'fv\~~~\.o
niveis de Landau, devido a
bidimensionaL(Q2D). Na express~o (18) usamos ainda a nota~~o:~
~=Wc/W~ol u=q.rp e F(u) e 0 fator de forma em unidades
At), - 6.Eo . l~lV\.o" .;..
estritamente bidimensional(2D), sem blindagem (£ (~)=1) e as
calculos n~o consideraremos efeitos de blindagem da intera~~oeLetron fonon LO fazendo E. (q)=1 e trataremos as bandas do GaRs
Na regiJo de campos fracos (~«1), 0 denominador [1-(n-m)l]
~ -'\ -\ ~'V\-'M'>..'?.
_____ 1..______ = \ Q e. 6."L (24)i.- l~-'M') ~'2.
0
co _ .;t ~1-~1. 'Y\ l.
\ a~ e* ~ 1 t \.~-;2(All ),~)1~ d\: ~t..u.~~-\:",'"(""-,,,'1\ (25 J
o
onde f\ (X) e a func;~o gama de X. No caso em que >..2. < <1/podemos
ex pan d i r as fun c;Cl e s 9 am a em te rmo 5 de 1 I ).."2. / par a >...~ .••• O. ~ s s im
campo magnetico aplicado. No limite de campos extremamente fracos2.
(). ••• O) a massa de ciclotron se aproxima da massa do polaron a
"Z.Na regi~o de campos fortes (X »1) a contribuic;~o dominante
termos com (n~m) a equac;~o (23) po de ser reescrita da forma~-1>..
•. ~'l.
e
os resuLtados de campos fortes e fracos. Para campos fortes no1-
Limite de A'-'co I a massa de ciclotron aproxima a massa de banda
os dois resuLtados e que a campos fortes a corre~~o na massaefetiva e proporcionaL a 1/~ I enquanto a campos fracas eLa e
~( ~ =1) deve ser tratada com muito cuidado a
'Z.Na ressonancia ( n oX =1 ) 0 nivel de energia n e degenerado~
com 0 nivel de energia n=Q mais um fonon LO real ( ~/2 + 1 ),
a mais adequada, pois na regi~o de altos campos magneticos a4energia E1 como vemos da figura tende ao valor (1+~/2t~Eo), que
~limita a energia En ao valor C1+A/2),
0,00,0 18.0 27,0
B (T)
Pr6ximo do campo ressonante onde Wc=WLO a energia E1 se separa em•••dais ramos E1 e E1• Rs setas indicam as transi,5es com maiar
2-notem a correto valor da energia limitante (1+ ~/2+ AEo> sendo
SISTEMA ESTRITAMENTE20
00.082E
""IIIE
- 0,078
0,070mp
0,0660,0 0,4 0,6
WC/~LO
correspondendo a separa~~o ressonante de E1 em dois ramos. R2
contribui~~o dominante quando ~ =1 para 0 desLocamento de energia
A E"I\ = _ _O<__ A _i.- ~ V\. _ "t"\ ~ 7.
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Polaron ressonante ~Y4 R '2.,/; 01.2/3 - 'I,0<[ (m~ -m.i:. ) 1m]
4I~CZ) I = cS CZ)
~ Cl>,
onde P(Z) e a densidade eletronica e Nd e a densidade de cargas
na camada de deple~~o.
Para a fun~Jo de ondareal '(Z), usamos uma aproxima~~o
i<Zl= ~!f1\it
lo de \ (Z) pela rela\;~o b=3/Zo. a fator de forma e facilmentecalculado substituindo ~(Z) na equa~~o (18). Temos assim
F(q} = 1.e
1,06
-.Qe" 1,05-e-
1.03 Q2DheteroJ unCGo
1,02
IWBPTa·0,068 20
F(q)·1
1,000,0
COS(K1Lz/2)eCK2Lz/2)]eK2Z
i' (Z) = B cos(K1Z) I Z 1< Lz /2
Z>Lz/2
..L <:.o~ ('t<l \.'i 1'2.) -+..1- ~~'" \(ll1.\(2 ').\<~
K2 = 2~2. l\io-E~~'Z.
Substituindo-se a express~o para ~CZ} dada peLa equa~~o C48}
- ~ -~l'l= 4 ~ c.o~ (\(1 \.c 1'2.~ ~ %. ~ 1. + 2 '8tJ. ~ ("ll~ /, ') e.
(2't<2.~~~ (\2~~~1.'2 ~ (2\(2.","~'\~
+ ~~ c..o~(\t '<.~\.~12.), + 2 '(l~~~ ~ l)t + ~e." 2 K,l\.~ \\(7, l2.\(~~ C\ " ,,( ~ ~ -\-4~~') l ~1 -j
+ 2'\ ~4 ~ '3lc ;. '5t.", (\(, l~) -\0 s-e.", l2.\(, lr~ \~t.,,"4.~l' L 8 2.'<i l.." '(:1 \
+ 2. '(',4 Pt~~'\¥\ \(1. ~",l ""L. 'I-\, Z'l::,' - '\ c.osl,\<o.\.~152)~ 7.. -+ '\,,~ L '\
-- ~:, ••..,.'iG,mm. -.; q
,-...,;,F-S';";C,;,.",;,..,,--;-:;a"""',;·-,c~-'~"""-:·7-:.:.-~:-E:-:;:.:.~~{~S~~.~~\j,......;.~_.~"., .•. '.)-
Uma compara,~o entre as fatores d~ forma para heterojun,aes
e po~os quanticos ~ mostrada na Figura 2.8. Para Lz=Zo=22 ~, F(q)
4,0 6,0Q
,,",
1,140
LZ -22 A
1,120
Lz-IOOA
1,10~e"e 1,08-
1,000,0
eletran-fanan LO sabre um gas de eletrons estritamente 20. Rcanstante dieletrica est&tica ECu) obtida dentra da aproxima~~o
f (u)1.
V(u..\ fo (~1/~~)= 1 + 4 "fwI'o e. 'l,,1. eo )J..
on de\~ ~X
_0- xFo(a) = e e_~
0)(
E (u) = i+ C\, tW\", ••'2. f (\A.'\~Eo J.),.
[om a introdu~ao da bLindagem a expressao para aE" sera1-
dividida por t(u)11 ,e 0 efeito da bLindagem como pode ser visto da
A teoria do magnetopolaron 2D adicionamos ent~o a blindagemda intera~~o eletron-fonon LO e a extens~o finita de ~ eZ). De
o~ 0~ 1- 02 ~1= o~
onde
0: = (n+1/2) ~WC + Ecz
BIDIMENSIONAL PURO (20 J
a· 0,0681,16 IWBPT
IJ4
1,10-.J:le"e 1,08·
1,000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
(.\)c I (.\)LO
2.9: Efeito da bLindagem da intera~~o eLetron-fonon
o coeficienle bZ aparecenda na equa~~o (58) e delerminado
b-z. 1- (~-~~f= l+ )(~h. (SO)1.-\- )(1.12-
onde( .1,
Xl = t~ A I€.,\\
e
Y1 = "N\'a I~o
sendo ~ a energia de gap do Ga~s e A a separa~~o das bandas de
vaLencia devido a intera~~o spin-orbita. Os c~LcuLos originais
para 0 !RodeLo de tres bandas d~o 0 vaLor de bZ=O.83 para 0 Ga~s.
No entanto c~LcuLos recentes que incLuiram contribui~~es de cinco
62entre 1.1 [25J e 1.5 [25.aJ foram encontrados para 0 Ga~s no
Ro calcularmos a corre~~o de energia ~E" devido ao efeito
eletron-fonon LO. Nosso modelo e que a n~o parabolicidade afetanossa hamiltoniana apenas mudando a energia do eletron D~ para a
w." = (",-"",) ';:-l1.-~~d'+2E.:.•~_("t\~_W\~)
onde Eg= ~/~WLO e ~~= Ecz/nWLO'
CRPITULO 3:COMPRRRC~0 COM OS REsULTRDOsEXPERIMENTRIS E CONCLUSnES
AlGaQs-GaQs e inferido 0 valor da massa efetiva da rela~~o-1-
m" = '1'1\ 'b \ !.:I- ~ ••v ~ 6.~'2.B1At4y = - 202, ( ~+ €c..c\ J t't 'e
-1.2-x ~o)..7..
respectivamente 0.068,12.8 e 36.77 meV. Para a energia de gap
tomamos ~ =1520 meV. R massa de banda do eLetron no GaRs e
desconhecida bem como a coeficiente SZI par isso deixaremos esses
parametros Livres e determinaremos seus vaLores ajustando nossos
0,075
0,074
01)73
0,072
~ 0,071E.-.E_ 0,070
0,0670,0
N s - I. 4 . lOll em- 2
Nd- 0,42. lOll an-2
mb- 0.0660 mo0t- 1,0
10,0BIT)
para mb=O,066 mo e 5~=1; mo e massa do eletron livre.
Na figura 3.1 vemos a varia~~o da massa de ciclotron(m~/mo) em fun~~o do campo magnetico B (Tesla) para uma
heterojun~~o de AlGaAs-GaAs com uma densidade eletronica
Ng=1,4x1011 cm-2 e com uma carga na camada de deple~~o
Nd=O,42x1011 cm-2. Os pontos experimentais (cruzes) foram obtidos
em experimentos de RC por Hopkins e outros[13J. Obtemos uma boa
concordancia entre teoria e experiencia ajustando mb =0,066 mo e
'2=1. Os efeitos polaronicos s~o, evidentes na figura 3.1, desdeque a n~o parabolicidade (NP) sozinha (linha tracejada) produz um
aumento da massa de cicLotron apenas Linear com 0 campo magnetico
No caso desta primeira amostra a densidade eletronica e
baixa 0 suficiente para que todos os pontos experimentais estejam
no limite quantico(V (1). Em particular temos Y =1 para 8=2,94 T.
Para densidades eletronicas maiores, onde a baixos campos
magneticos V>1, outros niveis de Landau alem do n=O poder~o ser
ocupados por eletrons e transi~~es entre os niveis n -. n+1 com
n>O podem ocorrer, complicando consideravelmente 0 problema e
neste caso nossa simples teoria n~o devera dar bons resultados.
Na figura 3.2 comparamos nossos resultados teoricos com os
experimentais de Hopkins e outros [13] para uma heterojun~~o de
~lGa~s-Ga~s com Ns=3,4x1011 cm-2 e Nd=O,275x1011 cm-2• Tomamos os
vaLores de mb eh~como determinados para a primeira amostra de
densidade mais baixa, de modo que nJo ha parametros de ajuste.
Como esperado ha uma boa concordancia na regiJo em que Y <1
Quando 1< Y <2 0 segundo nivel de Landau estara parcialmente
preenchido e transi~~es entre os niveis n=1 e n=2 tambem s~o
0,074
0,073
-()E 0,070
••••••••E
0,0670,0
N,s· 3,4 . lOll cm-2
Nd· 0,27 . lOll cm- 2
mb·0,066moO2• 1,0
5,0 10,0BIT)
J20.0
Na figura 3.3 mostramos os resultados experimentais obtidospor Horst e outros [12] para uma amostra com N.=4.07x1011 cm-2 •
Neste caso em particular a densidade eletronica na camada dedeple~~o n~o foi medida experimentalmente, de modo que nos ausamos como um fator de ajuste entre as curvas. R concordanciaentre a teoria e os dados de Horst como pode ser notado da figuraesta um pouco aquem do esperado. Determinamos Nd=2.4x1011 cm-2
para a nossa melnor curva e encontramos boa concordancia somentepara 8>12,5 T, enquanto que para a densidade em quest~o ~=1 paraB= 8,54 tesla. ~ diferen~a entre este caso e as comparadosanteriormente e atribuida a ma qualidade da amostra de Horst, quepossuia uma mobilidade dez vezes menor que a de Hopkins.
Recentemente Singleton e outros [26] realizaram experimentosde RC em um estreito (22 ~) po~o quantico composto de RlNGa1_NRs-Ga~s-~lHGa1_HRs com concentra~~o de aluminio x=O,36. a po~o n~ofoi dopado com impurezas de modo que a baixas temperaturas assubbandas eletronicas estavam despopuladas de eletrons. Comilumina~~o continua obteve-se uma densidade eletronica no po~oestimada em 107 cm-2• as resultados para a massa de ciclotron emfun~~o da energia <hWc} s~o comparados com as nossos na figura3.4. Como a densidade e muito baixa as efeitos de blindagem daintera~~o eletron-fonon LO s~o despreziveis e somente 0 fator deforma Q20 e que sera a responsavel pela atenua~~o dos efeitospolaronicos em rela~~o ao caso 20. Rssim a valor da massa deciclotron no po~o estara proximo aquele para a volume do GaRs en~o estara abaixo dos valores 30 como ocorria para as amostrasanteriores.
Ns • 4.07 X lOll cm2.
Nd • 2.4 X lO" em-2
mb • 0.066 moO2 • 1.0
0.0725a-0
E 0.0715 a
"-* NPE aa- l'I a0.0705 at
a
10
B (T)
Boa concordancia entre experimento e teoria e obtida para
mb=O.066 mo e ~L=O.95. Como vemas para a mesmo valor de mb' aparametro 6~ ~ menor no po~o quantico do que na heterojun~~o.Neste capitulo nassas resultados teoricos foram comparados com as
heteroestruturas de GaRs-RlGaRs. Encontramos boa corcondancia
entre as resultados teoricos e experimentais na regi~o do limite
quantico, onde ~ <1. Isso porque nesta regi~o ocorrem somente
heterojun~oes 0 valor da massa de banda do eletron (mb=O,066 mole do coeficiente (6~=1) da amostra de mais baixa densidadeeletronica, para a qual todos os pontos experimentais estavam naregido de v(1 e 0 ajuste entre os dois resultados foi 6timo.
Para 0 po~o quantico, usamos 0 valor de mb determinado paraheterojun~oes e determinamos 6~=O,S5, um valor menor que 0
encontrado para heterojun~oes. ~qui tambem 0 ajuste entre ascurvas foi muito bom. Concluimos entdo que a ndo parabolicidadedas bandas de condu~do para heterojun~oes e maior que no po~oqu~ntico e que ambas SdO maiores que no volume do Ga~s.
0,Q89
0.088
0,087-0e;;-. 0,086E-0/J85
0/J830,0
a=0,068Lz - 22 AHs- 107 cm-2mb- 0,066 mo02- 0,95
10,0taw&
15,0(meV)
para urn gas de eLetrons Q2D em urn po~o quantico com Largura Lz=22
~. Os dados experirnentais (i ) s~o de Singleton e outros I para
..,CRPITULO 4:INTRODU~RO
r0~;,vj,..", ,::.".,,"~" ':~~';;~i~,(I:/:l"'""l:~;:/.:-(':0L~i':'ii\il·A •••••.••••. '_.",.,.""_~" .•••.~"'lI,~"""'_,,...,,......~~_J$I;:l' ••••_=~.....""..,·~""-'~-.·...,·;·;"''''~''''''''''-:'''-''''''-'''''"'''''''~'''""
opticos e acusticos. Tambem a absor~~o optica devido as
transi~~es diretas inter-subbandas foram estudadas[40J. Numcalculo recente Chitta e Marques[31] obtiveram as dispers8es das
subbandas de valencia e condu~~o ao Longo do eixo de um fio
quantico de Ga~s-~lGa~s. Eles mostraram a presen~a de um forteacopLamento entre as subbandas de vaLencia e condu~~o nestesistema.
Um dos problemas cruciais na fisica de semi~Qndutores eparticuLarmente nessas novas estruturas quase-unidimensionais ea presen~a de impurezas ionizadas que desempenham um papeLfundamentaL nos mecanismos de transporte a baixas temperaturas.as estados eLetronicos associados as impurezas s~o hidrogen6idescomo aqueLes encontrados nos probLemas de impurezas em estruturassemicondutoras bidimensionais. No entanto, devido ao confinamentoadicionaL do eLetron em fios quanticos a energia de Liga~~o seraaumentada para vaLores superiores aqueLes encontrados em po~osquanticos bidimensionais.
~Lguns autores tem investigado os varios aspectos dos niveisde energia de impurezas em sistemas quase-unidimensionais. Lee eSpector [32] calcuLaram a energia de Liga~~o de uma impurezahidrogenoide coLocada sobre 0 eixo de um fio quantico ciLindricode barreiras infinitas e mostraram que 0 vaLor da energia deLiga~~o do estado fundamentaL era bem maior que os vaLores paraduas e tres dimensoes, conforme 0 raio do fio era reduzido. Defato a energia de Liga~~o no Limite unidimensionaL e infinita[33].
cilindrico de barreiras finiltas e encontrou que no limite em que
o raio tende a zero, a energia n~o diverge, e tende ao valortridimensional. Os calculos previos foram feitos com a impurezano eixo do fio, enquanto que e bem conhecido que impurezas forado eixo desempenham um papel fundamental nas propriedades opticasde sistemas quase bidimensionais. Sendo assim Brum[3SJ calculouas energias de liga~~o de uma impureza hidrogenoide em urn fioquantico retangular, acrescentando 0 fato que a impureza podia
estar em varias posi~~es dentro do fio. Entretanto neste calculoas alturas das barreiras de potenciais s~o infinitas.
Algum tempo depois Bryant[36J,com 0 intuito de estudar 0
efeito da forma geometrica escolhida para 0 fio sobre a energiade liga~~o tambem calculou a energia de liga~~o de uma impurezaem um fio Quantico retangular de barreiras infinitas. Comparandoseus resultados para fios cilindricos e Quadrados ele estabeleceuque fios com areas da sec~~o transversal identicas possuiamenergias de liga~~o aproximadamente iguais. R diferen~a entre osresultados para as diferentes geometrias com areas iguais dasec~~o reta foi atribuida ao fato de que 0 confinamento e maiorem certas dire~~es em uma geometria do que em outra.
Os calculos citados anteriormente foram realizadospara fios cilindricos com alturas das barreiras de potenciaisfinitas e infinitas e para fios retangulares com barreirasinfinitas. Um dos motivos de se escolher a forma cilindrica parao fio Quantico e Que nesta geometria os calculos s~o mais faceisde serem efetuados, desde Que a equa~~o de Schrodinger Quedescreve 0 movimento do eletron no po~o de potencial normal ao
fia e separaveL permitindo a determina~~o anaLitica das fun~aesde onda do eletron no po~o n~o perturbado. Do mesmo modo ocorre
paraNesse
fias retanguLares com barreiras de potenciais infinitas.caso em particular 0 estado fundamental do po~o retangular
n~o perturbado, sem a presen~a da impureza, e descrito exatamente[37] como a sobreposi~~o dos estados fundamentais de dois po~osunidimensionais independentes um em cada dire~~o de quantiza~~o.
Nenhum calculo que seja do nosso conhecimento foi realizado
para fios retangulares reais com alturas finitas das barreiras depotenciais. a motivo para isso e que 0 potencial que descreve 0
po~o de confinamento normal ao fio n~o e separavel. Isso causagrandes transtornos, porque as funcoes de onda que descrevem amovimento do eletron no po~o retangular n~o perturbado n~o podemser obtidas analiticamente.
No capitulo 5 a seguir, calculamos a energia de liga~~o deum eletron no estado fundamental de um fio quantico retangular deGa~s envolvido par ~lGa~s, ligado a uma impurezahidrogenoide. Consideramos a efeito da intera~~o do eletron comas fonons logitudinais opticos (La) do volume do Ga~s, efeitopolaronico, sabre a energia de liga~~o.
Usamos a metoda variacional para 0 calculo da energia deliga~~o, escolhendo formas distintas para a fun~~o de ondatentativa e calculamos as energia de liga~~o como fun~~o dasdimens8es Lx e Ly do fio para varias alturas das barreiras depotenciais e posi~aes da impureza no fio, com e sem 0 efeito daintera~~o eletron-fonon La.
Comparamos nossos resultados com as obtidos por Brum[35l
para um fio retangular com barreiras infinitas e com os deBryant[34] para um fio cilindrico com alturas das barreirasfinitas. Nossas conclusaes est~o contidas no capitulo 6.
CRPITULO 5:DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E RESULTRDOS
2-P
2~
+ak (ak) s~o os operadores de cria~~o (destrui~~o) dos-fonons LO de frequência WLC e vetor de onda k:(kx,ky,kz). O
com ~ e V a constante dielêtrica a altas frequências e o volume
~ ( X I Y / Z; K) = ~ (X) ~ (Y) ~ (Z) U2 I o )
onde <p(X) é a bem conhecida funç~o de onda de um elétron no
~(X) = Rxcos(K1XX)(Rxcos(K1XLx/2)e<K2XLx/Z)]e"2XX
2'W\'J ( \lox - Ex \~'2.
de maneira similar obtemos as expressões para <p(y).R impureza hidrogenóide é representada pela funç~o de onda
_ ~ \c.\T
U2 = eXP[~(fl<a+l<-f~al<)]\(
~ energia do sistema é obtida minimizando-se o valor médio
da hamiltoniana E = < ~ IHI ~ ), que tem a seguinte forma
em relaç~o ao parâmetro À
H( q" qx ) = \ d.ll. \ <\> Lll. '\ ~
G( q, )= \ 0.'\ \ ~ l'\\t co-.. ~~""-~i. \ q,~
-..J ,~~i.\1C - )(~ \
e
_Gl)(H (q 1 , qz ) = 2 A~ e 1.. ~ t ( \<v. LX 1'2.) c.oSt '" Go ~~
G + Z \(,)(
A~ \ ~ -~ ~+ __ ,. 4'<)...: + 2 e. 2. c...o~~ G II\. "~1-Se'l\ l'().x \.)(lQ~.• 4~ Q
Q'Z. u:>&"t ~ ~:tLK~ - '2.~ ~ ~ Z Gl c.os.'Z. (~'" 11(\1 (23)
~ 2.!.com Q = ( q1 + qz ),
EpOL =<<<1:lhWLO"£,a""l<aK +~(VKaKelk.'" + V~a~e-Ik.'" l~)
\( "
IV
VI< = < ~ ( r ) I VI( elk •••. I ~ ( r» :oi
..•Substituindo essa express~o para VK na equa~~o (29) e
2 ' 2.FO'O (Kz) = \ at- \ 0'" ~a~\ a'S \~ll(l \~ (In \ \.l)lx')\ \ ~l~'\
\<0 \. '('9:.-J~'/.--I..\"\\t~ •.~~,': 1 (34)
que pode como antes ser posta na forma
co
~
, ,FIHO(Kz) = <\~~ Gt\l\ ~("elC\~' (35)
V'\l'Z.+ '(~,
0
- -Jo,.~-'t J \)C.- )(' \~ (36)
A~ ~ ..L se.'f\ '\ ~ l~l,~ 2
<;~V\ ('2.~~- '\.~\ l~ /'2. \2l2~q-,\~) 1
l' seV\ t2\(1~~'\.\.)~ 12~ (2. '(~~~ '\1\
50.00 DLYLx
44.00"'~'I)
~ 3e~OO~(,)~.Q)
32.00'"-.J
~~ 26.00.•....•Q!)~
~llj
20.00
8.000,00 50.00 100.QO 150.00 200.00
(Lx If)
40,B A
36 Lyc
32 Lx
0.....28 Ly·IOO A .:::>
QIe...,0
'lCIu 24CIl!J-..J:.LJQ
20CI-l!Ja::UJzUJ 16
12
o 50 100 150 200o
L x (A)
Figura 5.2: Energia de liga~~o em fun~~o de Lx para Ly=100 ~,
impureza hidrogen6ide em um fio quantico retangular com barreirasinfinitas. Em seus calculos ele usou uma fun~ao de onda tentativada mesma forma que a dada na equa~~o (6)/ s6 que para a fun~~o de
dada abaixo<\>CX/y,l) = N e~t \: AV ()(_)(\"&+l~-,,\\.,~~?/z1 (42)
em vez da simples forma da equa~~o (11). ~ vantagem dessa ultimae que os calculos s~o facilitados e a desvantagem e que no limitede fios muito grandes (Lx/ Lv .•.•co) nos n~o recuperamos asresultados tridimensionais, como a express~o acima da equa~~o(42) 0 faz. No entanto os nossos resultados e os obtidos por Brumna regi~o de fios finos s~o muito proximos. Por exemplo/para umfio com Lx=Lv=100 angstrons e impureza no centro ele encontrou 0
valor 24.4 meV para a energia de liga~~o e nos 0 valor 24.6 meV.~ figura 5.3 mostra os resultados para a energia de liga~~o
de uma impureza hidrogenoide localizada no centro de um fioquantico comconcentra~eles
aLturas das barreiras de potenciais finitas. ~sde aLuminio nas barreiras s~o x=y=O.3 e x=y=O.15.
Como podemos notar para um mesma concentra~~o de aluminio e umvaLor determinado de LVI a energia de liga~~o apresenta a mesmapropriedade qualitativa obtida previamente para po~os quanticosbidimensionais [391. 0 valor da energia de liga~~o cresce ate umponto onde atinge um vaLor maximo e ent~o decresce tendendo aovaLor da energia de Liga~do de uma impureza no volume do ~LGa~s.~ energia de Liga,~o. cresce com 0 aumento das alturas das
28
26
240
...• 22Ly8100A
::>IIe
'-J
0 20)~
L.Joa: 18~0-4-J
'JJ 16ca:....•~ 14a:::UJzUJ
12 ,10 :.
o 50 100 150 200oLx(A)
Na Figura 5.4 mostramos a energla de liga,~o de uma impurezasituada no meio de um fio qu~ntico com Lv=50 n, para diferentes
valores das concentra~oes de aluminio nas duas dire~oes dequanti,a~ao. Trocando as alturas das barreiras de confinamento
nas dire~oes X e V obtemos valores distintos das energias deLiga~ao, no caso onde as concentra~oes de aluminio sac (0.3,0.15)e (0.15,0.30) nas dire~oes (X,V), podemos ver da Figura que paraLx>Ly=50 ~ a energia de liga~ao esta relacionada ao confinamentona dire~~o Y, onde a barreira de potenciaL i mais aLta. De outramaneira para Lx<Lv=50 a 0 confinamento i mais pronunciado nadire~ao X, que tem a concentra~ao maior de aluminio.Podemos verda figura que 0 modeLo infinito para as barreiras de potenciaissuperestima os vaLores das energias de Liga~~o.
as resultados para a energia de liga~~o conforme a impurezase desLoca ao Longo da diagonal de um fio quantico com Lx=Ly=200
os estados Ligados em um fio quantico com barreiras finitas temenergias de Liga~~o mais baixas do que em um fio com barreirasinfinitas quando a distancia da impureza ao centro do fio i menor
se aproxima dos cont8rnos a situa~ao se inverte e a energia deLiga~ao para fios com barreiras finitas i mais aLta. Essa mudan~a
significativas quando as barreiras de potenciais tim as alturasfinitas.
34
32
30 0Ly8S0A
28
26....•:>GI 24e
'-oJ
1~ 22l.Joa:I!J...• 20-J
UJQ
a: 18...•I!Ja::UJ 16zUJ
14
12
100 50 100 150 200
0
L x (A)
AI: (Q30. 0.30 )
(0.15. Q30 J(0.30,0.15 )
(0.15.QI5J
15
14
13AI:(0.30,0.30),...
:> 12 (0.30,0.15 )QlE•....0
'la:LJoCI IIL!)-....JUJ~a: 10•...•L!)c:::UJzUJ
9
0 25 50 75 100•...• cthPOSICQO DQ IHPUREZQ (Xi=Yi)
Figura 5.5 Energia de Liga\;:io em fun<;:4o das posi\;t:Ses daimpureza no fio, conforme esta se move ao Longo da diagonaL de um
pasi~Bes da impureza, no centro e no centro de um das ladas de umfia com Lx=Lv=100~. Pademas abservar que a energia de liga~~o
mais alta para a impureza no centro.20.00 Jli-yl-O
~Cb
e'- 18.00
~(.)
~ 16.00......"J
~~ 14.00.....
~
~ 12.00
-----, ....•....•-- (I)",,""
'",",,
II
I,I
I:III
_---------(2)---..---oO'!'-;.:
.10 .20 .30CONCENTRACAO X
Figura 5.6:Energia de liga~~a em fun~~o da concentra~~o x, fixada a
(linhascheias), para duas posi~Bes da impureza,no centro (1) eno centro de um dos lados (2), de um fio com Lx=Lv=100 a.
Uma compara~ao entre os resultados para a energia de liga~~ode uma impureza localizada no centro de um fio quantico comconcentra~aes de aluminio x=y=O,3 com e sem a contribui~~o
poLaronica e mostrada na figura 5.7. Os valores de Ly s~o fixados
em 50 e 100 angstrons. R diferen~a entre as energias de liga~~o
(~E) considerando a intera~~o eletron-fonon LO e sem considera-la
para um mesmo valor de Ly, cresce com 0 crescimento de Lx ateatingir um vaLor maximo no pico da curva (Lx=30 ~) e ent~odecresce para valores maiores de Lx. Para Lx fixo AE cresce com adiminui~ao de Lv,por exempla Lv=100 ~ AE= 1,77 meV e Lv=50 ~~E=2,09 meV.Na tabela 5.1 podemos observar 0 valor quantitativada varia~ao da energia de liga~ao com e sem a presen~a dos fononsLO. Note-se que para Lv fixe a contribui~ao percentual do efeitopolaronico para a energia de liga~ao e praticamente constante.
Lx ~ llga~~o C llga~~o acreSClmo A~
(~) com fonon sem fonon , (meV)15 27 33 25.38 7.70\ 1.95230 28.96 26.88 7.76\ 2 08560 26.90 24.97 7.76\ 1 937120 22.47 20.85 7.73\ 1 613ZOO 18,52 17,20 7,77\ 1 325
Tabela 5.1:Para urn fio quantico com Lv=50 ~ e x=y=0,30 e impurezano centro, mostrames para alguns valores de Lx a energia deLiga~ao 'com e sem a presen~a dos fonons LO, bem como 0 acrescimopercentual e a diferen~a -Af entre as energias.
30.00
~ 26.00~
~
~ 24.00
~~Q)
~ 2~OO
~
~ 20.00~
~
~I
18.00 II
14.000.00
Ly•(0. OJ
•Ly·/OOA
---COlli fonon-semfonon
50.00 100.00 150.00 200.00LxIii)
liga~~o do estado fundamental de impureza
polaronica em termos percentuais cresce. Na figura 5.8 para um
fio com Ly=50 ~ e x=y=O,30 mostramos a varia~~o da energia de
varia~~o da energia ~E e menor quando a impureza esta Longe docentro, mas a varia~~o percentual e maior.
30.001 '_,
I \
28.00 / "I \I \
I ", \I \, ", \I \,
26.00
'"'"~
Cb.~ 24.00"-.f::)G~ 22.00.•.•..-...J
~ 20.00
~.•.•..
~ 18.00~ ,~ I,
16.00 I
14.00 ~r---~I ---'-1 ----..---.0.00 50.00 100.00 50.00 200.00
•Lx(A)Figura 5.8: Energia de Liga~~o para um fia com concentra~aes(0,3, 0,3) e Ly=50~. Tomamos duas pasi~aes para a im~ureza no
deslocamos a lmpureza ao Longo da diagonaL de um fio comLx=Ly=200 ~ para duas alturas das barreiras de potenciais.
Infinito 116.00 "", ,,,-... ,
~ (0,30.0./0 J•• 14.00It'-
~ 12.00(j.
~Q)..••..•••••
~10.00
~Q)Q: 8.00l&J:tl&J
6.00 - --C()/II fonon- s.", fonon• •200A M200A
4.000.00 25.00 50.00 75.00 100.00
POS/CAO DA IMPUREZA (XI.yi)
Figura 5.9: Energia de liga~~o para uma impureza se deslocando na
diaqonal de um fio 200 ~ X 200 ~, com (linhas tracejadas) e sem
Na tabeLa 5.~ apre~entamas alguns n6meras pertencentes ~ figura5.9. ~ variac;ao da diferenc;a entre as energias de ligac;ao, hE
6.E=0.722 meV para X1=Yx= 100 fl. Embora AE diminua com 0
distanciamento da impureza 030 centro, em termos de parcentagens a
contribuic;ao poLaronica aumenta a energia de ligac;Jo de 7,63\
para 13,65\ respectivamente.
Xx ELigac;~o ELiga~ao acrescimo AE(th com fonon sem fonon \ (meV)5 13.34 12 39 7 63\ 0.94610 13 21 12 26 7 70\ 0 84420 12.94 11 75 7 80\ 0 93340 10.94 10 04 8 8S\ 0 893'80 7 22 6 44 12 0\ 0.773100 6 01 5 28 13 6\ 0.722
TabeLa 5.2 : Para um fio quantico com Lx=Ly=200 ~ e x=y=0.3,mostramos para aLguns vaLores de Xx a energia de Liga~ao (meV)com e sem a presen~a dos fonons LO, bem como 0 acrescimopercentuaL devido 030 efeito poLaronico e a diferenc;ae Las.
Para compLetar nossa discussao na figura 5.10 pLotamos aenergia de Ligac;ao com e sem a presenc;a dos fonons LO em func;aodas concentra~oes x=y para dais fios diferentes, um com tamanhoLx = 50 ~ e Ly = 150 ~ e a impureLa LocaLizada no centro e outro
com dimens~es Lx = 100 ~ e Ly = 200 ~ e a impureza no centro do
polaronica cresce com a aumento das concentra~aes,por exemplo
para x=y:0.03 temos AE=O,625 a que cor responde a um crescimento
da energia de liga~~o da ordem de 1\, enquanto que para x=y=O,4
temos AE=1,55 meV um acrescimo da ordem de 7,6\.
No segundo caso onde a fio e maior e a impureza esta fora do
centro, 0 crescimento da energia de liga~~o em fun~~o das
concentra~~es e mais discreto,sendo que para valores acima de
x=y=0.06 a energia de liga~~o e quase insensivel as altera~~es
nas alturas das barreiras de potenciais. 0 aumento impasto pelo
efeito polaronico varia de 10\ em 0,03 a 13,6\ em 0,4, portanto
maior que a caso anterior onde a impureza esta no centro do fio,
mas em termos de crescimento da energia, AE neste caso e menor
sendo de 0.629 e 0,912 para x=O,03 e x=O,4.
Na referencia [361, Bryant calculou a energia de liga~~o de
um impureza hidrogen6ide no centro de um fio quantico retangular
com alturas infinitas das barreiras de potenciais e comparou seus
resuLtados com os obtidos previamente [341para fios ciLindricos
tambem com barreiras infinitas. ELe encontrou que para fios
quadrados e ciLindricos com areas das sec~~es transversais iguais
a energia de Liga~~o mudava muito pouco, menDs de 5\. Tal
propriedade tambem deve ser vaLida para fios com aLturas das
barreiras finitas.
22.00 Lx~~
L,~/50/~,..
.",.",'"20.00 "/
//
//,
18.00I
~ I~ I6 I'- I
~16.00 I
I(.S I
~II'" 14.00•••••• I CDm fonon
lc.I 1~ I
~,
ib 1200 II:tit:"~,
~ 10.00 I,(50,100)
8.00~/----,-
" 100J,/600
.00 .10 .20 .30 .40CONCENTRACAO DE ALUMINIO x=y
quadrados com os resultados de Bryant para fios cilindricos com
barreiras finitas com a mesma area da sec~~o transversal. Essa
compara~~o e feita na tabela 5.3 abaixo,
ralo do Lado do ELiga\;~o ELiga\;~o " em reLa\;~o diferen\;a
ilindro quadrado cilindro quadrado ao fio quadr. energias(~) (~) (meV) (meV) (meV)
26,27 47 27,31 26,18 4,3' 1,129
39,41 70 24,78 22,86 8,4' 1,92
52,55 93 21,71 20,07 8, l' 1,63
65,7 116,5 19,16 17,88 7,2' 1,28
78,83 140 17,6 16,16 8,9' 1,44
147,1 280 11,87 10,43 13,9' 1,44
Tabela 5.3: Compara~~a entre os resultados de Bryant para 0 fiacilindrica e os nos 50S obtidos com 0 uso da fun~~o tentativa dadana equa~~o (6), para fios com barreiras finitas,impureza nocentro e x=y=O,3.
valores calculados para fios cilindricos com a mesma area. Para
fios com L>200 ~ a diferen,a e maiorl mas neste intervalo nosso
~'l. ~1."\- •• lDtlC ~~~ 1
't <X Y Z· K) = V 0(~ • ~ "'< X. Y • Z) U, 10)2. I , , "" 'f
onde ~ e~s~o parametros variacionais e U2 e '0> foram definidos
fun~~o de onda variacional reLacionada a impureza hidrogen6ide,~(X,y,Z). ALem daqueLa usada anteriormente definida peLa equa~~o
't.l rL fll.•E = < . k I H I '1:'1}
24.00
~
'» 22.00~
I~~ 2000~'"•••••~ 18.00
~~~ 16.00~~
).z2-_rZ} ....•-T>./v---.fZ}..e-T
11-,-03Jti-,,,.-o
60.00 120.00 teOoo 240.00 30000LxlI)
24.00
~~~ 22.00
~
,~~ 20.00~"..,.J~ 18.00~
~<!S 16.00~~~
14.00
10.000.00 60.00 120.00 ISOOO 240.00 300.00
Lx(A)
~~ 22.00
~
I~~ 2000~..•.."~ 18.00
~(,!)
~ 16.00~l&.I
10.00000
).z2-_rz)"".-T
>./Z/---_(Z)..•-T
x·y·aJx;·yi-f)
60.00 120.00 18000 240.00 30000LxIJ}
mostra diferen~as t~o marcantes, como po de ser observado nafigura 5.12. Como era esperado na regi~o onde L~)200 a a fun~~o
onde ~, (?> e A
tt (X, Y ,ljK)
~ '1. '2. '2. 'I. )-t(ot)(-\-~"\)p't\)('!\'" ~e.~= N:I. e U:a 10)
despreziveL ('" io~~;'1.)I dando uma conl:ribui\;~o muil:o pequena para
+~fd \~-4~ l~i~\.
+h4t~
onde ~ (X) ~ a funt;~o erro definida como
~(X) = 2 eXWj
o
-t'e o:t
\.'2.'\Ec 0 U 1 = <~,\ . 1. \'~./1/ lx_)(\.''\l~-~\,'l,,\~"Z.i
1V l)(-X~~l~-~\)'\e'Z.
°1 ~2. )
e dado por2.
~- \(" ~- \("') - '(~---- <\~2."'" 4ot~ e~AVI< = VI< e e (56)
o.~1/(\ ~2 ~\) t\~'2.~\)l\~2 tit'\
avalia~oes numericas da energia de liga~~o e conhecida e sera
minimizada em rela{;Jo aos parametros oi I ~ e )\ .
26.00\\\
24.00 \'\\'\'\\
22.00 \.
~'\
\.Cb ,
~
,,~
20.00,,,
(.) "~ "!e••••• 18.00~.~
~ 16.00~
~
~ 14.00
- - -2~mode/o-/!lmode/ox·y~O.3
10.00QOO 5000 100.00 15000 20000
LxIi)
variacionalmente a funç~o de onda do estado fundamental do poço
não perturbado. Na figura 5.13 para um fio quântico com a
impureza localizada no centro e concentraç~es de alumínio x e y
nas barreiras iguais a 0,3, mostramos nossos resultados para a
energia de ligação do sistema sem a presença dos fonons LO para
os dois modelos discutidos anteriormente. Comparando os dois
resultados vemos que com a funç~o de onda gaussiana (linhastracejadas) obtemos melhores resultados. Com o primeiro modeloreferente à equaç~o (S) para a funç~o tentativa (linhas cheias)só obtemos bons resultados na regi~o de fios muito finos (Lx ( 40~ e Ly = 50 ~). ~ diferença entre os dois resultados cresce com otamanho Lx para um valor determinado de Ly, chegando a ~er daordem de 2 meV em Ly= 200~. Percentualmente a diferença crescecom o tamanho do fio sendo de 11,7~ quando Lx=200 A e Ly=50 ~ até1S\ para Lx=Ly=200~. Outra comparaç~o entre os dois modelos éapresentada na figura 14 quando a impureza se desloca na diagonalde um fio 100 X 100 ~2 para várias concentraç8es de alumínio.Como vemos os resultados obtidos com a funç~o de onda tentativagaussiana s~o melhores, para todas as posiç8es da impureza aolongo da diagonal.
Mostramos nossos resultados para as energias de ligaç~oobtidas com a funç~o de onda gaussiana com e sem a contribuiç~opolarênica para duas concentraç8es de alumínio (0,15, 0,15) e(0/3, O,3) nas direç8es (X,V) quando a impureza está no centro dofio nas figuras 5.15 e 5.16.
25.00
23.00
..••.."'\/nfinitD
,0,
\
~
21.00 \
b""":::.. \'»
~ 19.00~~'lilt(!) 17.00•••••....,~
~ 15.00(!)
~~
~ 13.00
-- -/~modtllo
~2llmodtllo
IOOA1I 100J
9.00aoo 10.00 20.00 3000 40.00 50.00
(POSICAO DA IMPUREZA) xz"yz
Figura 5.14: Compara~~o entre as dais modelos, para uma impureza
se deslocando na diagonal de um fio 100X100 ~2, para varias
~ diferen~a entre as energlas de liga~ao com e sem a
~ 22.0041)
~
~ 20.00u~...........•18.00&uQ
~ 18.00<iQ::Iou~Iou 14.00
---tli.. fr!JRotI-.,. ft!Jf!H/)R)It&Y'·~~
10.000.00 80.00 12000 180..00 240.00 300.00•Lx«A)
Em termos de quantidades essa propriedade pode ser observadana tabeLa 5.4, par~ um fio com concentra~~es x=y=0,3.
acresclmo A
dh com fonon sem fonon \ (meV)
20 4 54 22 60 8 70\ 1 940
5 71 23 68 8 60\ 2 030
1 68 20 92 8 43\ 1 760
200 18 02 17 55 8 381. 1 470
300 16 71 15 42 8 37\ 1 280
Tabela 5.4: Para um fio quantico com Ly=100 ~ e x=y=0,30 e
impureza no centro, mostramos para alguns valores de Lx a energia
de liga~~o com e sem a presen~a dos fonons LO, bem como a
acr~scimo percentu~L e a diferen~a AE entre as energias.
constante ao lonigo da curva com Ly fixo e um dado par de
con c en t ra~ el e s . P a,ra x =y =0 ,3 pod emas ve r da tab e la 4 , que a
contribui~~o polar6nica varia de 8,7\ em Lx=20 ~ ati 8,37\ em
Lx=300 ~, uma varia\;~o da ordem de 0,31.. Para x=y=0,15 a varia\;~o
percentual e um pouco maior variando de 9,281. at~ 8,421., uma
varia\;~o da ordem de 0,86\ portanto malor que a observada para as
concentra\;~es x=y~0,3. No entanto AE e menor neste caso variando
de AE=1,35 meV ate bE=1,19 meV para as mesmos valores da tabela
5.4. Comparando as resuLtados de nossa primeira solu\;~o com a
presente, podemos observ~r que 0 primeiro modelo subestima a
contribui~~o ele~ron-fonon LO para a energia de liga~~o em cerca
de 1\.
2LOO 1-'I \, \, \
I \\
20.00 I \I \\\\
1900
~Cb
~ 18.00
~ Iloa~ \~ ,Q) ".•... ,'" , ,l&.I 16.00 ,,
"~,,
'",,~ 1500 " ,~ ,~
,,,~
,14.00
4- - com fononI
+-- sem fanon~.y.aI5
12.000.00 8000 120.00 180.00 240.00 30000•LxI A)
comportam~nto da energia de liga,~o com e semI
contribui~~o pola~6nica conforme a impureza se desloca ao Longo,
da diagonal de um ~io 100 a x 100 a~
figura 5.9. ~ vari'~~o de ~E e de 1,7 meV quando a impureza estano centro, 0 que r.presenta um acrescimo de 8,1\ devido ao efeito
polar6nico sabre a!energia de liga~~o e quando a impureza esta na
Finalmente nai figura 5.18 mostramos a varia~~o da energia deliga~ao com e se~ os fonons LO em fun~~o da concentra~~o x=y,para um fio com a impureza no centro e dimens~es 100X100 ~2. 0
resultados h~ um~ diferen~a entre as estimativas percentuais,
crescimento das c~ncentra~~as de x=y=O,03 para x=y=O,4. Rgora 0
~ 21.00Cbe'-(:)
~
~--...~
~
!-~o'" fanon~oo7::=l
~\:\, \, \, \, ,, ,,,,\
,\,\
""""""""""~,"""9,;00 ,
0·00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00POS/CAD DA IMPUREZA (xl.yl)
Lx=Lv=100~, par~ duas concentra~~es (0,3, 0,3) e (0,15, 0,15).
i
!
raio do Lado do Eliga~~o Eliga~~o \ em rela\;~o diferen~a
~ilindro quadrado cilindro quadrado ao fio quadr. energias(~) (r.1) (meV) (meV) (meV)
:
!
26,27 47 27,31 26,32 3,7\ 0,99!
39,41 70 24,78 23,93 3,51. 0,85
52,55 93 21,71 21,61 0,5\ 0,1!
65,7 116,5 19,16 19,67 - 2,7\ -0,51.
78,83 140 17,6 18,09 - 2,8\ -0,49!
47,1 280 11,87 12,63 - 6,4\ -0,76
esperamos que nosso modelo gaussiano para a funç~o tentativa deresultados melhores. Embora a diferença entre as energias deligaç~o mude de sinal ao passar por L=116,S a, elas s~o pequenase reforçam os argumentos de Bryant [34] obtidos para o modêlo debarreiras infinitas, que o parâmetro que relaciona as energias deligaç~o para fios com diferentes geometrias é a área de secç~otransversal do fio. ~s diferenças entre os resultados ficam por
conta da geometria que por si só modela e Limita o universo desoluções que podem ser utilizadas. Ent~o para fios finos Lx e Ly
menores que 200 ~, a funç~o de onda tentativa gaussiana é uma boa
aproximaç~o para a soluç~o do problema.
Neste capítulo nós obtivemos a energia de ligaç~o de um
elétron a uma impureza hidrogenóide em um fio quântico retangular
de Ga~s envolvido por ~l~Ga1_H~s através do método variacional
escolhendo várias formas diferentes para as funções de onda
tentativas. Obtivemos a energia de ligaç~o como funç~o das
dimensões Lx e Ly do fio para várias alturas das barreiras de
potenciais e posições da impureza no fio. Também avaliamos a
éontribuiç~o do efeito da interaç~o eletron-fonon LO para a
energia de ligaç~o e comparamos nossos resultados com aqueles
para fios cilíndricos com barreiras finitas com a mesma área da
secç~o transversal. O próximo capítulo é reservado para nossas
conclusões.
•IOOA26.00 [;].• 100 A
(0.01
24.00,,"
.ti'.ti'
"","'" 22.00 /
/~ /~ /
I! //'- /20.00 /
~,I<..i I
~ I~ 18.00 I••••••
I•••••••••• I~ I
~16.00 I
~II
~l.aJ 14.00
- - - CO/ll fonon-semfonon
10.00~OO 20
xey
Figura 5.18: Energia de ligaç~o como funç~o das concentraç8es(x=y) para um fio com Lx=Ly =100 a com a impureza no centro. Com
CRPITULO 6: CONCLUSnES
campo magnético uniforme apLicado na direç~o normiL ~ interface(direç~o Z). CaLcuLamos o desLocamento da energia do eLétronatravés da teoria de pertubaç~o de segunda ordem Levando emconsideração os efeitos da não paraboLicidade das bandas de
condução do Ga~s, via um modeLo de trªs bandas, e os efeitos da
bLindagem da interação eLetron-fonon .LD através de uma constante
dieLétrica obtida peLa aproximação R.P.~., que Leva em conta a
ocupaç~o dos níveis de Landau.
Comparamos nossos resultados teóricos para a massa
ciclotrônica, inferida das transições entre os níveis n=O e n=1,
com recentes dados experimentais de ressonância ciclotrônica.
Para heterojunções determinamos o valor da massa de banda do
elétron como sendo mb=0,066 mo e o coeficiente b~ como igual à
unidade. Com esses vaLores obtivemos boa concordância entre os
resultados teóricos e experimentais na regi~o do limite quântico,
onde V <1. Nessa regi~o só temos transições entre os níveis n=O e
n=1 e é por esse motivo que há um bom ajuste entre os resultados.
Com o mesmo valor de mb, determinado para heterojunções,
obtivemos também boa concordância entre os resuLtados teóricos e
os experimentais para um poço quântico com baixa densidade
eLetrônica (V (1). O meLhor ajuste entre os resuLtados foi obtido
p a r a Ô2 = O, 95 ,
heterojunç~es.das bandas de
heterojunções.
~té agora todas as medidas da massa ciclotrônica para
heteroestruturas de Ga~s foram realizadas na regi~o abaixo da
ressonância, porque os campos necessários para alcançar a regi~o
aClma da ressonância, precisariam ser muito altos 8>22 T. Porisso até agora a descontinuidade da massa de cíclotron n~o
Isso nos Leva a concluir que a n~o parabolicidadeconduç~o é menor no poço Quântico do Que em
foi observada para estas estruturas.
Na segunda parte, calculamos as energias de ligação para o
estado fundamental de uma impureza hidrogenóide localizada em um
fio Quântico de Ga~s envolvido por ~lGa~s de secção de área
retangular. Para esse cálculo usamos um método variacional,
considerando diferentes formas para a função de onda do sistema.
Mostramos que a energia de ligação está fortemente relacionada às
dimens~es Lx e Ly do fio, às alturas das barreiras de potenciais
e posiç~es da impureza e Que seus valores são maiores Que em
comparáveis poços Quânticos a20.
Constatamos Que fios Quadrados e cílíndricos com alturas
finitas das barreiras de potenciais e mesma área da secção
transversal possuem energias de ligaç~o aproximadamente iguais.
~s diferenças ficam por conta da geometria, sendo inferiores a 5\
na região de fios finos (L<200 ~), Quando as energias de ligação
dos fios Quadrados são calculadas com o uso da funç~o variacional
gaussiana. De nossas avaliaç~es numéricas vimos Que o efeito
poLarânico contribui significantemente ( 8,5 \) para a energia de
Ligaç~o do sistema e portanto n~o pode ser desconsiderado.
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