II Eletromagnetismo II - · PDF fileCavidade ressonante Bombeio Meio com ... há uma...

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SJBV

•  Impedância de entrada

•  Coef. de reflexão de estruturas multicamadas

Ondas Eletromagnéticas

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Reflexão de Ondas em interfaces múltiplas (Capítulo 11– Páginas 417 a 425)

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Reflexão em Múltiplas interfaces


§  Espelhos em LASERs

1

Cavidaderessonante

Bombeio

Meiocomganho

Luzemitida

Espelhoparcialmenterefletivo

Espelhoaltamenterefletivo

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1

§  Radome de antenas

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•  É mais comum que estas interfaces apareçam em estruturas com uma ou mais

camadas como:


•  Definimos os coeficientes (de reflexão e refração) de Fresnel para uma única

interface entre 2 meios.

§  Cavidades de Fabry-Perot: consistem em duas superfícies parcialmente refletoras paralelas.

•  É possível (diferentes métodos) calcular o coeficiente de reflexão (e transmissão)

equivalente destas estruturas com múltiplas interfaces dielétricas. 1

§  Filtros de filmes finos: estrutura de múltiplas camadas (filmes) dielétricos.

§  Camadas anti-refletivas: estrutura múltiplas.

§  Radome: estruturas para proteção de antenas (muitas vezes deixa passar faixa estreita de frequências) (colocar figuras).

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•  Consideremos três meios com impedância intrínseca η1, η2 e η3 separados por 2

interfaces.

2

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•  Consideremos três meios com impedância

intrínseca η1, η2 e η3.

2

•  A interface entre o 1º e 2º meios está situada

em z = -l e a interface entre o 2º e 3º meios está

em z = 0.

Ex1

+

Et

- l

η1z 0

η2 η3

•  A onda incidente em – l é transmitida para o

meio 2, onde sofre múltiplas reflexões .

•  Em cada reflexão, há ondas transmitidas para o

meio 3 e transmitidas de volta para o meio 1.

•  O Γ da estrutura é calculado considerando todas

as componentes que voltam para o meio 1.

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3

•  Consideremos que a onda incidente no meio 1 é linearmente polarizada em x.

•  No meio 2, há uma onda progressiva Ex2+ (soma da múltiplas componentes) e uma

onda regressiva Ex2-.

•  Estas ondas possuem campo magnético dado por:

Ex2 = Ex20+ e− jβ2z +Ex20

− e jβ2z

Hy2 = Hy20+ e− jβ2z +Hy20

− e jβ2z

•  As amplitudes do campo elétrico das ondas regressiva e progressiva estão

relacionadas por: Ex20− = Γ23Ex20

+

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•  Onde, para incidência normal:

•  O campo magnético está relacionado com o campo elétrico pela impedância

intrínseca:

•  A impedância de onda dependente de ‘z’ é definida como a relação entre os campos

totais:

•  Usando Γ e η2, a impedância ηw pode ser escrita:

Γ23 =η3 −η2η3 +η2

Hy20− = −

1η2Ex20− = −

1η2Γ23Ex20

+

ηw (z) =Ex2

Hy2

=Ex20+ e− jβ2z +Ex20

− e jβ2z

Hy20+ e− jβ2z +Hy20

− e jβ2z

ηw (z) =Ex2

Hy2

=η2e− jβ2z +Γ23e

jβ2z

e− jβ2z − Γ23ejβ2z

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

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•  Utilizando a identidade de Euler:

•  A impedância de onda de onda ηw fica:

•  Simplificando esta expressão:

•  Esta expressão nos dá a impedância de onda em função da posição ‘z’.

e− jβ2z = cosβ2z− j sinβ2z

ηw (z) =η2η3 +η2( ) cosβ2z− j sinβ2z( )+ η3 −η2( ) cosβ2z+ j sinβ2z( )η3 +η2( ) cosβ2z− j sinβ2z( )− η3 −η2( ) cosβ2z+ j sinβ2z( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ηw (z) =η2η3 cosβ2z− jη2 sinβ2zη2 cosβ2z− jη3 sinβ2z⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

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•  A impedância de onda na interface em z = - l permite calcular o Coef. de

Reflexão da estrutura.

•  Os componentes tangenciais dos campos são contínuos (iguais em ambos os lados)

da interface:

•  Onde Ex10+ e Ex10

- são as amplitudes das ondas incidente e refletida no meio 1.

•  Manipulando estas equações e eliminando Ex2, chegamos na expressão para Γ (da

estrutura):

Ex10+ +Ex10

− = Ex2 (z = −l)

Ex10+

η1−Ex10−

η1=Ex2 (z = −l)ηw (z = −l)

e

Γ=Ex10−

Ex10+=ηentrada −η1ηentrada +η1

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•  Na expressão anterior ηentrada é a impedância ηw em z = -l:

•  As duas última expressões permitem calcular o coeficiente de reflexão para a

estrutura com uma camada (com impedância de onda η2).

•  Utilizando Γ é possível obter a potência da onda refletida para uma dada potência de

onda incidente.

ηentrada =η2η3 cosβ2l + jη2 sinβ2lη2 cosβ2l + jη3 sinβ2l⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•  Se as camadas não absorverem radiação EM (premissa para obter eqs. anteriores) a

potência transmitida pode ser obtida a partir das potências incidente e refletida

(como?).

AENTERG

IADENTRO

DACAMADA2PERM

ANECEAM

ESMA.

Potenciaqueentraigualapotênciaquesai.d

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•  Este método pode ser estendido para um problema com qualquer número de

interfaces.

•  Vamos considerar uma estrutura com 2 camadas com espessuras la e lb (próximo

slide).

•  A impedância de onda na entrada da última camada (camada b) é:

ηentrada, b =η3η4 cosβ3l + jη3 sinβ3lη3 cosβ3l + jη4 sinβ3l⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•  A impedância de onda na entrada da penúltima camada (camada a) pode agora ser

calculada com ηetrada, b.

ηentrada, a =η3ηentrada, b cosβ2la + jη2 sinβ2laη2 cosβ2la + jηentrada, b sinβ2lb

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

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8

•  O coef. de Reflexão Γ na entrada do meio 1 fica:

Γ=Ex10−

Ex10+=ηentrada, a −η1ηentrada, a +η1

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•  No geral quando se trabalha com óptica, é mais comum utilizar índices de refração

(no lugar de η).

•  O índice de refração de um material dielétrico com µ = µ0 é:

•  A constante de fase dentro de um meio com índice n é:

•  O comprimento de onda da onda EM dentro do material com índice n é:

n = εr

β = nβ0 = n2πλ0

λ no vácuo

λ =λ0n

vp =cn

•  A relação entre a velocidade de fase no material e no vácuo é dada por:

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•  A relação entre a impedância intrínseca e ‘n’ em um dielétrico é:

η =η0n

•  Lembrando que a impedância intrínseca do vácuo é:

η0 =µ0ε0

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