III-Caos

ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke

Springer(1997)

1-Expoentes de Lyapunov

Expoente de Lyapunov para Órbitas Periódicas

Mapa unidimensional xn+1 = f ( xn ) Órbita de periodo k (f k (x1) ʹ) = ʹf (xk ) ʹf (xk−1)... ʹf (x1) Note que (f k (xi ) ʹ) =(f k (x j) ʹ)

Em média, para cada iteração (f k (x j) ʹ) = A1 k

Distância entre dois pontos iniciais x1 e ʹx1

Após uma iteração x2 − ʹx2 = A1 k x1− ʹx1

Após k iterações xk+1− ʹxk+1 = A x1− ʹx1

Se A = ak, a seria o número de LyapunovA < 1→ aproximação entre as órbitasA > 1→ afastamento entre as órbitas

Expoente de Lyapunov para Órbitas Caóticas

[ ]

n )(xf ln ... )(xf ln )(xf ln

lim)(xh

Lln h Lyapunov de Expoente

)(xf...)(xf)(xf lim )(x L Lyapunov de Número

}...x ,x,{x ÓrbitaR em suave imensional unid mapa um f Seja :Definição

n21

n 1

n1

n21 n 1

n21

ʹ++ʹ+ʹ=

≡

ʹʹʹ=

∞→

∞→

k)(xfln ...)(xfln

)h(x k, período de órbita Para

)(xfln h , xfixo ponto Para

L número terá)(x f xmapa o

L, Lyapunov de número tiver )(x f xmapa o Se

k11

11

kn

k1n

n1n

ʹ++ʹ=

ʹ=

=

=

+

+

2- Órbitas Caóticas

nte.eventualme periódica termoo se-usa periódica, exatamente órbita uma Para

n para periódica órbita uma para converge ela se periódica amenteassintotic é ...} , x... ,{x Órbita

Definições

n1

∞→

Órbitas Caóticas

0 h positivo,for Lyapunov de expoente o -2amenteassintotic periódicafor não -1

se caótica é ...}, x...,x,{x limitada não órbitaR em suave f mapa Para : Definição

n21

>

Alligood Chaos

Exemplos de Mapas com Órbitas Caóticas

1/2 por x passe não queperiódica não órbitaqualquer para valeresultado Esse

2ln n

2ln lim

n

)(xfln lim h

1/2, xcom órbitas Para

1/2 x em odescontínu Mapa1) (mod x2 x

h de Cálculo do Exemplo

n

1 i n

n

1 ii

n

j

i1i

=

==ʹ

=

≠

=

=

∑∑=

∞→

=

∞→

+

Mapa da Tenda

periódica órbita5/45/2 4/5 2/5 4/5 3/5 10/7x

periódica órbita13/613/10 8/13 4/13 2/13 12/13 13/6x

fixo ponto0 0 1/2 3/4 3/8 16/3x

instável) (variedade (0) Ux0xlim

estável) (variedade (0) Sx0xlim 1/4 xPara

1 x 1/2 para x)- (1 21/2 x 0 para x 2

)(x T Mapa

0

0

0

0n - n

0n n 0

→→→→→→=

→→→→→→=

→→→→→=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⊂→=

⊂→==

⎩⎨⎧

≤<

≤≤=

∞→

∞→

3- Conjugação de Mapas

Itinerários do Mapa Logístico

Órbitasdomapa logístico G, com a=4 xn+1=4xn (1−xn )

Cada intervalo assinalado contêm ospontos cuja órbita passapelasequência doseunome.

Regras (intervalo com final L )

LL → LLL, LLR (número par  de  R )RL → RLR, RLL (número impar  de  R )

(intervalo com finalR)RR → RRL, RRR (número par de R)LR → LRR, LRL (número impar de R)

Intervalo S1S2.....Sk ; S1 = L ou R

Itinerários do Mapa Logístico

Alligood et al. Chaos

Transições do Mapa Logístico

Alligood et al. Chaos

Alligood Chaos

Itinerários do Mapa da Tenda

k-k1 2 é S.......S

intervalo do larguraA iguais. intervalos todos Simetria →

Alligood Chaos

Conjugação dos Mapas da Tenda e Logístico

Pontos Fixos Conjugados

12- (3/4)f 3/4 x

instável fixo Ponto Logístico Mapa

12- (2/3)f 2/3 x

instável fixo Ponto Tenda da Mapa

>=ʹ

=

>=ʹ

=

Órbitas Periódicas Conjugadas

{ }

{ }1451-5- 1- (0.905)f (0.346)f

0.905 , 0.346 2 período com instável Órbita

Logístico Mapa

142-2 (0.8)f (0.4)f 0.8 , 0.4

2 período com instável Órbita Tenda da Mapa

>=+=ʹʹ

>==ʹʹ

C. contínuo mapa o para CG T C é, isto ,biunívocas scoordenada de mação transforumapor

osrelacionad são eles se conjugados sãoG e T mapas Os :Definição

de.estabilida mesma a com logístico mapa no {C(x)}entecorrespond órbita uma há tendada mapa no {x} órbita cada Para

=

Alligood Chaos

Conjugação entre os Mapas da Tenda e Logístico

( )

(x) T C (x) CG Portanto

xsen2

x2 cos - 12

T(x) cos - 1 ) (x) T ( C

xsenxcos 12

x cos 12

x cos - 14))C(x - (1 )C(x 4 ) C(x) (G

intervalo outro no feitoser pode mesmo o1/2 x 0 intervalo No

1 x 1/2 ) x1- 1 ( 21/2 x 0 x2

) x( Tx tendada Mapa

) x- (1 x4) x(G xlogístico Mapa

2

22

nn

nn

nnn1 n

nnn1 n

=

===

=−=

=+

==

≤≤

⎩⎨⎧

≤<

≤≤==

==

+

+

πππ

ππ

ππ

Alligood Chaos

Trajetórias Conjugadas

(x) C (x)T C (x)CCT C (x) C G poisC(x) C(x) G ,G de fixo ponto (x) C

x (x) T , T de fixo pontox

C(x) T(x) C (x) CG poisC(x) C(x)G G, de fixo ponto (x) C

x (x) T , T de fixo pontox

CCTCTC....CTCCTCG Assim,

C (x) T C (x)G (x) T C (x) CG que Note

k1-kk

kk

kk

1-n1-1-1-n

-1

===

=

→=

==

=

→=

==

=→=

periódicas órbitas para ocorre ênciacorrespond essa Portanto,

) (x) C ( )(G (x) )(T obtemos , x (x) T Para

G e T de fixos pontos dos deestabilida na ênciacorrespond uma há Portanto,

) (x) C ( G (x) T (x) C ) (x) C ( G (x) T )x (Cobtemos , x (x) T Para

(x) C ) (x) C ( G (x) T ) (x) T(Cobtemos ) (x) C (G ) (x) T ( C De

Periódicas Órbitas e Fixos Pontos dos deEstabilida

kkk ʹ=ʹ=

ʹ=ʹ→ʹʹ=ʹʹ

=

ʹʹ=ʹʹ

=

x)( C)x( CG para12 (x) C)(G12 )x()(T x,)x(T Para

instáveis são 4) (bG logístico mapa doperiódicas órbitas e fixos pontos os Todos

kkk

kkk

=>=ʹ

→>=ʹ=

=

Cálculo do Expoente de Lyapunov do Mapa Logístico (b=4)

{ }{ }

)(xC)(xC ) )C(x ( G ............ ) )C(x ( G

)(xC )(xC ) )C(x ( G

)(xC )(xC ) )C(x ( G.............

)(xC )(xC ) )C(x ( G

)(x T)(x T...)(x T obtemos)(xC ) )C(x ( G )(x T ) )(x T ( C e x)(x T Como

G mapa do conjugada caótica órbita )(x CT mapa do conjugada caótica órbita x

1 k

11k

2

11

3

22

1 k

kk

12k

iiii1 ii

i

i

+

+

+

ʹ

ʹʹʹ=

=ʹ

ʹʹ

ʹ

ʹʹ

ʹ

ʹʹ=

=ʹʹʹ

ʹʹ=ʹʹ=

ln ʹT (xk )........ ʹT (x1) = ln ʹT (xi )i =1

k

∑

= ln ʹC (x1) − ln ʹC (xk + 1) + ln ʹG (xi )i =1

k

∑ →

limk→∞

ln ʹT (xi )i =1

k

∑

k= lim

k→∞

ln ʹG (xi )i =1

k

∑

k⇒ h ( mapa T) = h ( mapa G )

Portanto, o mapa logístico G (b = 4) tem órbitas caóticas

Alligood Chaos

Itinerários do Mapa da Tenda

k-k1 2 é S.......S

intervalo do larguraA iguais. intervalos todos Simetria →

Itinerários do Mapa Logístico

Alligood et al. Chaos

Larguras dos intervalos são desiguais

1 k 12

x

x

x

x

x

x

x

x21

21

22)xx(dx

2dx) x(sen

2

dx dxdCdx)(x C])(x C ,)(x C[

conjugado intervalo um de largura G, Mapa

2] x,x[ intervalo um de largura T, Mapa

2

1

2

1

2

1

2

1

+

−

=−

=≤=

==ʹ=

=

∫∫

∫∫

ππππ

π

k

Alligood Chaos

4- Bacias de Atração

Alligood Chaos

I em fixo ponto um possue f I (I) f que tal b] [a, I intervalo

reais dos linha na contínuo mapa f:fixo ponto do Teorema

⇒

⊇=

Existência de Órbitas Periódicas

Alligood Chaos

b (c) f c] (b, em x x, (x) f b e b (b) f se 2)

b (a) f b) [a, em x b, (x) f x e b (b) f se 1)

R em contínuo mapa f: Teorema

k

k

1

→⇒

∀<<=

→⇒

∀<<=

Existência de Bacia de Atração de Pontos Fixos Atratores

reais números dos conjunto :fixo ponto desse Baciafixo ponto 0 x

1a xa)(x f,R em Mapa :Exemplo

0 )p(f - )x(flim que talx

pontos de conjunto o é p de atração de baciaA atrativo. fixo ponto p,R em mapa f :Definição

Atração de Bacia

n1 n

kk

k

n

=

<=

→

+

∞→

!!!

!!

Alligood Chaos

Bacias de Atração

Bacia do ponto fixo x = 1, x > 0 Bacia do ponto fixo x = -1, x<0

Pontos fixos x = 0 repulsor x = 1, x = -1 atratores

Alligood Chaos

Bacia de Atração

∞→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≥

=

r Atrator

) (1,

0) (1,atrator 0) (0,

:fixos Pontos

2 00r ) sen - ,r ( ) r, ( f 2

π

πθ

θθθ

Mapa Logístico0 < a < 1 → x = 0 é atrator; bacia: [0, 1]

1 < a < 3 →x = 0 é repulsor

x = a - 1a

é atrator; bacia: [0, 1]

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3<a →x = 0 repulsor

x = a - 1a

repulsor

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Diagrama de Bifurcação

Alligood et al. Chaos

MudançadeVariáveisparaoMapalogísLco

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Alligood Chaos