ime2007_dicas_matematica

8/9/2019 ime2007_dicas_matematica

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www.elitecampinas.com.br

IME 2007 MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMTICA DICAS PARA A PROVA

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CONHEA O PROCESSO SELETIVO IME 2007

O IME conhecido por ter um dos exames mais desafiantes do pas.O ingresso fruto de muito esforo dos candidatos, mas no umamisso impossvel. O grau de complexidade dos contedos cobradose das questes propositalmente elevado para selecionar apenasaqueles candidatos melhor preparados e que esto decididos a entrarem uma instituio reconhecida como uma das melhores engenharias

do pas, ao lado do ITA.Nos propomos com este material a passar algumas dicas para omelhor rendimento neste exame que est por vir, lhe acompanhandodia a dia com resumos de tpicos no to enfatizados (e at mesmono vistos) no ensino mdio. Estes tpicos fazem parte da filosofia dovestibular: cobrar cada vez assuntos mais especficos, para valorizaraquele candidato que se preparou exclusivamente para estevestibular.

Para ajud-lo, analisamos os anos anteriores e fizemos nossasapostas. A cada dia, voc ganhar um resumo, que ir lhe ajudar emalgumas questes que possuem alta probabilidade de seremcobradas. Estes resumos estaro tambm disponveis em nosso site(www.elitecampinas.com.br), bem como a resoluo das provas quevoc realizou.

DICAS IMPORTANTES

De maneira geral, para as questes dissertativas do vestibular doIME, o candidato deve necessariamente esclarecer como chegou resposta. Na correo dado ponto parcial, ou seja, ele podeconseguir algum ponto por resolver apenas parte da questo. Porisso, importante no deixar nenhuma questo em branco

Um bom plano de prova fundamental. Para administrar bem otempo, candidato deve comear a prova pelas questes mais fceis.Elas tem o mesmo valor das difceis e por isso, no perca tempo emquestes muito complexas, deixando pouco tempo (e eventualmentenenhum) para as mais simples.

importante ressaltar que o IME est com uma nova proposta nesteano, para minimizar o trabalho com a correo: uma prova objetiva foiinserida no calendrio. Somente sero corrigidas as provas doscandidatos que tiverem nota superior a 50% no primeiro dia. Outrocritrio de desclassificao do candidato a no obteno de 40% emqualquer prova, ou se a mdia total ficar inferior a 50%.

Para o clculo da mdia, leva-se em conta pesos diferenciados paracada prova:

Matria PesoProva objetiva de Matemtica, Fsica e Qumica 1,0Prova discursiva de Matemtica 3,0Prova discursiva de Fsica 2,0Prova discursiva de Qumica 2,0

Prova discursiva de Portugus 1,0Prova discursiva de Ingls 1,0

Apesar destas informaes, s se preocupe com a sua nota aps osexames. Mesmo se voc acha que no atingiu os critrios mnimosem uma prova, no abandone o concurso. Primeiro porque voc notem certeza: questes podem ser anuladas, correes podem serbrandas. Segundo porque, mesmo se voc no passar este ano, noexiste melhor treino para o vestibular que o prprio vestibular. Nomnimo voc estar ganhando experincia, diminuindo o nervosismo eat aprendendo!

Voc deve se concentrar nas prova dia a dia. As provas anteriores jforam e voc no tem como mudar suas respostas. As posteriores,encare quando vier. Se sua preparao foi boa, no importa o nvel de

dificuldade: voc sabe a matria! Tenha o mesmo pensamento aoresolver as questes. Cada uma um desafio que ser superado porvoc.

Voc est preparado para encarar este desafio. Para auxili-lo, seguea seguir um resumo terico do que tem maior probabilidade de sercobrado na prova de amanh do IME de 2007. Bons estudos!

(19) 3251 1012Rua Antnio Lapa, 78 - Cambu

TURMA ITA/IME/AFAPara garantir uma preparao adequada aosconcorridssimos vestibulares do ITA, do IME e da AFA,esta turma possui aprofundamento nas disciplinas deexatas fortssimo! O nvel de complexidade dasquestes abordadas no possui precedentes emCampinas e regio.Isto permite ao nosso aluno atingiro elevado nvel de domnio necessrio para enfrentar comsucesso as provas destes vestibulares.

APROVAES Ingresso em 2006

ALUNOS DO ELITE APROVADOSNACIONALMENTE

AFA 113 alunos aprovadosITA 32 alunos aprovadosIME 27 alunos aprovados

Conhea um pouco mais das turmas direcionadas,do ELITE PR-VESTIBULAR tambm em



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A MATEMTICA NO IME

S uma palavra define a prova de Matemtica do IME: bela. Essaprova possui exerccios que exigem grande conhecimento e domnioda matria por parte dos candidatos, e normalmente apresenta algunsproblemas que conseguem desafiar at mesmo as mentes mais bempreparadas Claro que isso no significa que a prova impossvel deser resolvida, mas com certeza um desafio tentador.

A partir de uma anlise rpida dos ltimos anos, notamos que certostemas esto sempre fadados a aparecer. A prova bastante variada,mas notamos que temas como polinmios, logaritmos(normalmente misturados com outros temas tais como determinantes,sistemas lineares, etc.), teoria dos nmeros e seqncias(principalmente progresso aritmtica) aparecem com uma freqnciaassustadora. Isso porque nem sequer citamos as questes degeometria plana e trigonometria que com certeza estaro presentesna prova.

Mas provavelmente voc j estudou cada um desses temas, e sabeque existem vrios livros muito bons sobre cada um desses assuntos.Entretanto, existem alguns detalhes que caem nas provas que exigemdeterminados cuidados por parte do candidato, detalhes que noaparecem em vrios livros. Como exemplo, basta observar que nos

ltimos 6 anos, palavras como demonstre, prove e mostre foramcitadas aproximadamente 22 vezes, uma mdia de quase 4 itens porano. Proporcionalmente, mais fcil aparecer um item com a palavrademonstre do que um item com um polinmio!

A ltima prova do IME no apresentou nenhuma questo dedemonstrao, o que fortalece ainda mais as chances de que esteano essas questes apaream. Por isso, boa leitura!

Alm da parte de demonstraes, este material tambm trazformulrios de trigonometria, logaritmos e cnicas (assuntos que soabordados em praticamente todas as provas do IME), alm da relaode Stewart, que extremamente prtica em alguns problemas degeometria plana.

Bom, todos ns um dia nos deparamos com algum exerccio do tipoprove que ou demonstre que. E, provavelmente, a pergunta como que eu provo isso? com certeza j foi feita em alguma dessassituaes.

Exerccios de demonstrao tm duas partes fundamentais: umahiptese e uma tese. A tese o que queremos provar, por isso,enquanto no for provada, jamais pode ser encarada comoverdadeira. J a nossa hiptesenormalmente algo que o exerccionos fornece como verdadeiro, e o ponto de partida que temos paranossa demonstrao.

Em resumo:

Assim, se a partir da sua hiptese voc conseguir, atravs de umasrie de processos lgicos, mostrar que sua tese verdadeira, entovoc conseguiu demonstrar essa tese. Em resumo, o processo dedemonstrao est baseado na seguinte seqncia:

hiptese processos lgicos tese

Obs: nem sempre o exerccio fornecer uma hiptese. Nesses casospodemos utilizar como hiptese qualquer fato reconhecidamente

verdadeiro sobre o assunto.Normalmente, trabalhamos com hipteses que so, matematicamentefalando, razoveis. No entanto, no processo de demonstrao,podemos nos deparar com teses totalmente absurdas. Nem sempreser necessrio demonstrar, s vezes, podemos encontrar algo quechamamos contra-exemplo, ou seja, podemos, atravs deexemplificao, mostrar que a nossa tese absurda.

Exemplos:

1. Prove ou d um contra-exemplo: 222 ba)ba( +=+ .Hiptese: no foi fornecida

Tese: 222 ba)ba( +=+

Observe que nesse exerccio no temos uma hiptese para o incio dademonstrao. Dessa forma, qual seria ento uma hiptese razovelpara iniciarmos nossa demonstrao? Como sugesto, lembre-se que

sempre verdade que 222 bb.a.2a)ba( ++=+ . Vamos utilizar essefato como hiptese. A partir dessa hiptese, perceba que, caso nossa

tese seja verdadeira ento 2222 babb.a.2a +=++ . Porm, se isso

for verdade, temos ento que 0b.a.2 = .Bem, em momento algum foidito que isso teria que acontecer! Assim, provavelmente deve existiralgum CONTRA-EXEMPLO. Tomando 1ba == , temos que

4)11()ba( 22 =+=+ , enquanto que 211ba 2222 =+=+ , ou seja,

encontramos um exemplo no qual nossa tese no verdadeira.

2. Prove que se 222 ba)ba( +=+ ento 0a= ou 0b= .

Hiptese: 222 ba)ba( +=+

Tese: 0a= ou 0b=

Em nosso exerccio, essa hiptese uma VERDADE ABSOLUTA.Mesmo com uma hiptese aparentemente estranha, as regrasmatemticas continuam vlidas. Assim, ainda verdade que

222 bb.a.2a)ba( ++=+ . Dessa forma, temos ento que:

0b.a.20babb.a.2a

babb.a.2a)ba(2222

22222

==++

+=++=+

A partir de processos lgicos encontramos ento que, caso2 2 2( )a b a b+ = + ento 0b.a.2 = . Bem, a multiplicao de dois

nmeros s nula quando um deles for zero, logo, se 0b.a.2 = ento

0a= ou 0b= . Considerando a cadeia de implicaes

0bou0a0b.a.2ba)ba( 222 ===+=+ , temos ento que

necessariamente 0bou0aba)ba(222

==+=+ , e nossa tese estprovada.

REDUO AO ABSURDO

Um modo extremamente conhecido de demonstrao chamado dereduo ao absurdo. Esse processo baseado nas seguintesetapas:1. analisamos nossa hiptese e nossa tese;2. supomos que nossa tese FALSA;3. a partir de processos lgicos, acabamos por obter algum resultadoque absurdo.Se isso ocorre, ou seja, se a partir do fato de transformarmos nossatese em uma coisa supostamente falsa encontramos um resultadoque absurdo, ento nossa tese deve ser verdadeira, e ento ela est

provada.

Exemplo:prove que existem infinitos nmeros primos.

Tese: existem infinitos nmeros primos.

Suponha justamente o contrrio, ou seja, suponha que existe umnmero finito de nmeros primos. Assim, seja }p,...7,5,3,2{ o conjunto

de todos os nmeros primos existentes. Dessa forma, seja ento N onmero formado pelo produto de todos esses nmeros, ou seja,

p...32N =

Bom, esse nmero composto e divisvel por todos os nmerosprimos. Porm, e o nmero 1N + ? O que podemos falar sobre ele?Ora, o nmero 1N + , quando dividido por 2, d resto 1. Da mesma

forma, quando for dividido por 3, d resto 1. Alm disso, quando essenmero for dividido por p, tambm teremos resto 1. Assim, 1N + no divisvel por nenhum nmero alm dele mesmo e do nmero 1, logo,

1N + um nmero primo. Porm ns partimos do princpio de que pera o nosso ltimo nmero primo, e isso nos gera um ABSURDO.Assim, devem existir ento infinitos nmeros primos.

COMO QUE EU PROVO ISSO???

Hiptese base da nossa demonstrao (pode serencarado como verdadeiro no exerccio).

Tese o que queremos provar.


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CNICAS

O tpico de cnicas normalmente no enfatizado no ensino mdio.Isto ocorre primeiramente por sua complexidade e pela poucaincidncia em vestibulares deste assunto. Entretanto, no vestibular doIME, temos 7 questes na ltima dcada de vestibulares que abordameste assunto:

1997 PARBOLA

1998 ELPSE e HIPRBOLE e PARBOLA2000 ELPSE e HIPRBOLE2002 PARBOLA2004 PARBOLA2005 ELPSE2006 HIPRBOLE

Assim, importante para o candidato estar preparado para resolverquestes a respeito deste assunto no vestibular de 2007, pois aprobabilidade dele ser novamente cobrado alta. A seguir um resumodas principais propriedades das cnicas:

DEFINIESELIPSE

Dados dos pontos F1 e F2distantes 2c. Uma elipse de

focos em F1 e F2 o conjuntodos pontos cuja soma dasdistncias a F1e F2 constante2a, com 2a > 2c.

HIPRBOLEDados dos pontos F1 e F2distantes 2c. Uma hiprbole defocos em F1 e F2 o conjuntodos pontos cujo mdulo dadiferena das distncias a F1 eF2 constante 2a, com 2a < 2c.

PARBOLA

Dados um ponto F e uma reta d(Fd) e p a distncia entre eles.Parbola o conjunto dospontos do plano eqidistantesde F e d.

Elementos principais:ELIPSE

F1e F2focosOcentroA1A2 eixo maior(2a)B1B2 eixo menor(2b)

2cdistncia focalc/aexcentricidade

HIPRBOLEF1e F2focosOcentroA1A2eixo real (2a)B1B2eixoconjugado outransverso (2b)2cdistncia focalc/aexcentricidade

PARBOLAFfocoddiretriz2pparmetroVvrtice

Relaes notveis:ELIPSE HIPRBOLE PARBOLA

a2= b2+ c2 c2= a2+ b2 ( )d VF p=

Equaes ReduzidasELIPSEFocos em Ox (-c,0) e (c,0) Focos em Oy (0,-c) e (0,c)

1by

ax

2

2

2

2=+ 1

bx

ay

2

2

2

2=+

HIPRBOLEFocos em Ox (-c,0) e (c,0) Focos em Oy (0,-c) e (0,c)

1b

y

a

x2

2

2

2

= 1b

x

a

y2

2

2

2

=

PARBOLAFoco em Ox (p,0) Foco em Oy (0,p)

y2= 4px x2= 4pyEquaes Reduzidas centro em (xo,yo)

ELIPSE

( ) ( )1

b

y-y

a

x-x2

20

2

20 =+

( ) ( )1

b

x-x

a

y-y2

20

2

20 =+

HIPRBOLE

( ) ( )1

b

y-y

a

x-x2

20

2

20 =

( ) ( )1

b

x-x

a

y-y2

20

2

20 =

PARBOLA - Equao Reduzida vrtice em (xo,yo)

(y y0)2= 4p.(x x0) (x x0)

2= 4p.(y y0)

RECONHECIMENTO DE UMA CNICADada uma equao do 2ograu redutvel forma

( ) ( )1

k

y-y

k

x-x

2

20

1

20 =+

k1>0, k2>0 e k1>k2 elipse de eixo maior horizontal

k1>0, k2>0 e k10 e k2 0conc. p/ cimaa < 0conc. p/ baixo

a > 0conc. p/ direitaa < 0conc. p/ esquerda

Rotao de eixosAs coordenadas de um ponto P(x,y) aps a rotao de eixos deum ngulo so dadas por (x`,y`) tais que

x = x`.cos - y`.sen y = x`.sen + y`.cos

Interpretao de uma equao do 2ograuDada a eq. geral do 2ograu:

Ax2+ 2Bxy + Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0 sempre possvel eliminar o seu termo retngulo (2Bxy) atravsde um rotao de eixos de um ngulo tal que

A = C = / 4 A

C tg 2

= 2B/ (A C)


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IME 1998 UM EXEMPLO DE CNICAS

Em 1998 foi cobrada uma questo bastante interessante a respeitodeste tpico pouco enfatizado no ensino mdio. Ele relacionaparbola, hiprbole e elipse, necessitando um certo traquejomatemtico nestas trs cnicas:QUESTO: Considere uma elipse e uma hiprbole centradas naorigem, O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com

o eixo OX. Os focos da elipse so vrtices da hiprbole e os focos dahiprbole so vrtices da elipse.

Dados os eixos da elipse como 10 cm e20

3 cm, determine as

equaes das parbolas, que passam pelas intersees da elipse eda hiprbole e so tangentes ao eixo OY na origem.SOLUO:Do enunciado temos:

I) Para a elipse

Temos a = 5; b =10

3e portanto a equao da elipse :

2 291

25 100

x y+ =

Como a2 = b2+ c2, temos que c2= 25 -100

9celipse=

5 5

3

Note que temos celipse= ahiprboleII) Para a hiprbole

Temos a =

5 5

3 ; c = 5

Como c2 = a2+ b2, temos que b2= 25 -125

9b =

10

3

Assim, a equao da hiprbole :2 29x 9y

1125 100

=

Pontos de interseo das CnicasSomando as equaes das cnicas:

2 29:

25 100

x yE +

2 2

1

9x 9y:125 100

H

=

22 214 125 2002

125 7 631

xx y

= = =

=

As parbolas tangentes ao eixo OY, tm equaes da forma:2 4y px=

Logo:200 125 7 200 8 35

4 4 463 7 125 63 63

p p p

= = =

Assim, a equao das parbolas so dadas por: 28 35

:63

P y x=

GEOMETRIA A RELAO DE STEWART

Um teorema bastante importante, que pode facilitar a vida docandidato em geometria o teorema de Stewart:

y.x.aazycxb 222 =+

IME 2005 UM EXEMPLO DE APLICAO DE STEWART

QUESTO: Considere uma elipse de focos F e F', e M um ponto

qualquer dessa curva. Traa-se por M duas secantes MF e 'MF , eque interceptam a elipse em P e P', respectivamente. Demonstre que

a soma ( FP/MF ) + ( 'P'F/'MF ) constante.

Sugesto: Calcule inicialmente a soma (1/MF) + (1/FP).

SOLUO:Considere a seguinte representao:

M

P

FF

P

am

n

c

b

d

Considereeixo maior da elipse: 2aeeixo menor da elipse: 2bedistancia entre focos: 2ce

Para visualizarmos a Relao de Stewart no tringulo MPF', temos:MP = a = m + nMF = mFP = n

FF = d = 2cfMF = bPF = c

Da, pela Relao de Stewart, temos:m.c2+ n.b2- a.d2= a.m.n

Das propriedades da elipse, temos:A) b + m = c + n = 2ae(soma das distncias de um ponto aos focosconstante) b = 2ae m e c = k nB) d = 2ce

Substituindo na relao de Stewart:m.(2ae n)

2+ n.(2ae m)2 = (m + n).4ce

2+ (m + n).m.nm.(4ae

24aen+n2) + n.(4ae

24aem+m2) = (m+n).4ce

2+ (m+n).m.n(m + n).4ae

2 8aemn + (m + n).m.n = (m + n).4ce2+ (m + n).m.n

(m + n).(4ae2 4ce

2) = 8aemn

2 2

8

4 4e

e e

am n

m n a c

+=

2 281 1

4 4e

e e

am n a c

+ =

Lembrando que ae2= be

2+ ce2, temos

2

21 1 e

e

a

m n b+ = que constante.

Assim, tomando-se2

2 e

e

aK

b= = constante, vem:

1 1K

PF MF + = (I); analogamente,

1 1

' 'K

PF MF + = (II)

Multiplicando (I) por MF e (II) por MF, chega-se a:

1MF

K MFPF

+ = (III) e'

1 ''

MFK MF

PF + = (IV)

De (III) + (IV) temse:

( )'

2 ''

MF MF K MF MF

PF PF + + = +

Da propriedade da elipse (MF+ MF') = 2ae'

2 2' e

MF MF K a

PF PF + = = C = constante

Observao:Clculo da constante C:

C = 2ae.K 2 = 22

2 eee

aa

b 2 =

2 2

2

4 2e e

e

a b

b

=

( )2 22

2 e e

e

a c

b

+

OBSERVAO FINAL

Como observao final, gostaramos de deixar bem claro que, emqualquer exerccio de Matemtica, a argumentao fundamental,principalmente em exerccios que envolvem demonstraes. Nobasta apenas chegar a um resultado, tambm necessrioespecificar o modo como esse resultado foi obtido.

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