IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE … · implementaÇÃo de algoritmos de integraÇÃo implÍcita...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO

IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-

PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO GEOMECÂNICA.

LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA

Recife, PE

Agosto de 2010

IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA

MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO

GEOMECÂNICA.

LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA

Dissertação submetida ao corpo docente do

programa de pós-graduação em engenharia civil da

Universidade Federal de Pernambuco como parte

integrante dos requisitos necessários à obtenção do

grau de Mestre em Engenharia Civil.

Área de concentração: Engenharia Geotécnica.

ORIENTADOR : LEONARDO JOSÉ NASCIMENTO GUIMARÃES

CO-ORIENTADOR : IVALDO DÁRIO DA SILVA PONTES FILHO

Recife, PE

Agosto de 2010

Catalogação na fonte Bibliotecária Rosineide Mesquita Gonçalves Luz / CRB4-1361 (BCTG)

B554i Beserra, Leila Brunet de Sá.

Implementação de algoritmos de integração implícita para modelos constitutivos Elasto-Plásticos na simulação geomecânica / Leila Brunet de Sá Beserra. - Recife: O Ator, 2011. Vii,80f., figs., tabs., gráfs.

Orientador: Prof. Dr. Leonardo José Nascimento Guimarães. Co-Orientador. Prof. Dr. Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2011. Incui Referências.

1.Engenharia Civil. 2. Elasto -Plasticidade. 3. Elementos Finitos. 4. Integração Implícita. 5. Permeabilidade. 6. Acoplamento Hidro –Geomecânico. I. Guimarães, Leonardo José Nascimento (Orientador). II. Pontes Filho, Ivaldo Dário da Silva (Co-Orientador). I. Título.

624 CDD (22. Ed.) UFPE/BCTG206/2011

IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO

GEOMECÂNICA.

Leila Brunet de Sá Beserra DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO PARTE INTEGRANTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL.

_____________________________________________ Leonardo José do Nascimento Guimarães

Orientador, Ph. D.

_____________________________________________ Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho

Co-Orientador, D. Sc.

_____________________________________________ Osvaldo Luís Manzoli

Examinador Externo, Ph. D.

_____________________________________________ Nestor Alberto Zouain Pereira

Examinador Externo, Ph. D.

Recife, PE Agosto de 2010

Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010

i

AGRADECIMENTOS

Aos professores Leonardo Guimarães e Ivaldo Pontes, por todos os ensinamentos, explicações

e orientações tão importantes para a realização e conclusão desta dissertação.

Ao Vitor e a minha mãe Sânia pelo esforço e sacrifício em conviver com a minha ausência ao

longo do período do mestrado, a minha mãe Clara que sempre foi um suporte técnico para

todos da nossa casa e aos meus pais Bety e Jarbas que mesmo um pouco longe sempre

torceram pelo meu sucesso.

A todos os meus amigos do LMCG, Julliana, Igor, Nayra, Inaldo, Vinícius, Thiago, Jonathan

e Luciana pela constante companhia, amizade e incentivo, e em especial às minhas queridas

amigas, Marcela, por compartilhar a casa comigo, e Débora, com sua energia sempre

estimulante, todos me ajudaram a fazer o mestrado na UFPE.

A todos os funcionários da UFPE pelo apoio, em especial à Rose, que é capaz de resolver

qualquer problema, e a Brito com seus cafés na hora certa.

A todos os professores que contribuíram para a minha formação, desde a escola até a pós-

graduação, em especial ao prof. Gilson da UFPB, que me ajudou nos meus primeiros passos

da vida científica.

Ao CNPq e a ANP, por meio do PRH-26, pelo apoio financeiro oferecido durante o

desenvolvimento de minha pesquisa.


ii

RESUMO

A previsão do comportamento dos solos e rochas, principalmente quando submetidos a

variações no estado de tensões, necessita de uma modelagem que leve em conta o fato do

meio poroso ser deformável. Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de

modelos constitutivos mecânicos e hidráulicos que considerem a variação da permeabilidade

intrínseca da rocha (parâmetro chave do problema hidráulico) em função da porosidade, que

por sua vez poderá variar devido à deformação do meio (parâmetro do modelo constitutivo

mecânico). Uma etapa importante no processo de simulação de meios porosos consiste na

escolha de um algoritmo para a integração das relações constitutivas que seja eficiente do

ponto de vista computacional, neste sentido foram implementados no código de elementos

finitos CODE_BRIGHT algoritmos implícitos de integração de tensões para os modelos

constitutivos elasto-plásticos de von Mises (Simo & Hughes, 1998) e de Drucker-Prager.

(Souza Neto et al, 2008). Também foi proposta uma modificação no algoritmo de integração

implícita com projeção explícita do multiplicador plástico, denominado IMPLEX (Oliver et

al., 2008), resultando numa melhor aproximação deste. Na etapa de validação dos algoritmos

implementados foram simulados, um caso de expansão de cavidade cilíndrica com solução

exata conhecida e dois casos em escala de campo, o escorregamento de um talude, onde

somente o modelo mecânico pode ser testado e um caso de perfuração de poço, onde o

acoplamento hidro-mecânico é avaliado. Foi modelado ainda, um ensaio triaxial, onde foi

observada a modificação proposta para o IMPLEX. A análise dos resultados obtidos mostrou-

se satisfatória.

Palavras-chave: Plasticidade, Elementos finitos, Integração implícita, Permeabilidade,

Acoplamento hidro-geomecânico.


iii

ABSTRACT

Predicting the behavior of oil reservoirs, especially when they are under variable effective

stresses, requires a model that takes into account the deformation of porous media. This link

is done considering permeability and porosity variations as a function of stress-strain state.

The numerical tool used in this paper was the finite element code CODE_BRIGHT which

solves the equilibrium and fluid flow equations in a coupled way. In this kind of problem, an

important component of the finite element code is the algorithm for the integration of stress-

strain relationships, which generally are based on highly non-linear elastic-plastic constitutive

laws. A new version of the implicit algorithm with an explicit prediction of the plastic

multiplier, called IMPLEX (Oliver et al., 2008), was adopted in this paper. This algorithm

improves the efficiency and robustness of the numerical code, allowing solving bigger and

more complex problems. A simulation of well stability was carried out and the results showed

the performance of the implemented algorithm.

Key-words: Plasticity, Finite Element Methods, Implicit integration, Permeability, Hydro-

mechanical coupled


iv

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003) .................................................... 12

Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com endurecimento e com amolecimento,

respectivamente .................................................................................................................. 13

Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003) ......... 14

Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005) ... 15

Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006) .......................................... 19

Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004) .................................. 21

Figura 3.1 - Algoritmo de retorno ao vértice (Souza Neto et al, 2008) .................................. 41

Figura 4.1 - Geometria do problema de cavidade cilíndrica ................................................. 54

Figura 4.2 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 54

Figura 4.3 - Curva carga-deslocamento ............................................................................... 55

Figura 4.4 - Esquema do ensaio triaxial ............................................................................... 56

Figura 4.5 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises) ............................ 57

Figura 4.6 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises) ............................ 58

Figura 4.7 -Geometria e condições de contorno do problema .............................................. 60

Figura 4.8 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 61

Figura 4.9 - Variação da altura crítica do talude com o fator de gravidade ........................... 62

Figura 4.10 - Evolução dos deslocamentos horizontais com o fator de gravidade ............... 62

Figura 4.11 - Evolução dos deslocamentos verticais com o fator de gravidade.................... 63

Figura 4.12 - Evolução das deformações plásticas cisalhantes com o fator de gravidade ... 64

Figura 4.13 - Evolução das deformações plásticas volumétricas com o fator de gravidade . 64

Figura 4.14 - Distribuição dos deslocamentos...................................................................... 65

Figura 4.15 - Vetores de deslocamento ............................................................................... 65

Figura 4.16 - Deformações plásticas cisalhantes ................................................................. 65


v

Figura 4.17 - Deformações plásticas volumétricas ............................................................... 65

Figura 4.18 – Distribuição de porosidade ............................................................................. 66

Figura 4.19 - Trajetória de tensões para o caso do talude vertical ....................................... 67

Figura 4.20 - Geometria do problema e malha de elementos finitos .................................... 69

Figura 4.21 - Deformações plásticas desviadoras ................................................................ 70

Figura 4.22 - Imagem ultrasônica de perfil de poço apresentando breakout na direção da

tensão principal menor no plano normal ao poço. ................................................................ 71

Figura 4.23 - Variação de porosidade .................................................................................. 72

Figura 4. 24 - Variação de permeabilidade .......................................................................... 72

Figura 4. 25 - Distribuição da pressão de líquido ................................................................. 73

Figura 4.26 - Trajetória de tensões ...................................................................................... 73


vi

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 - Parâmetros do material do cilindro ................................................................... 54

Tabela 4.2 -Propriedades do material do ensaio triaxial ....................................................... 57

Tabela 4 3 – Parâmetros do Problema de Talude Vertical ................................................... 60

Tabela 4. 4 - Parâmetros do material do maciço escavado .................................................. 69


vii

SUMÁRIO

1.Introdução ........................................................................................... 1

1.1. Introdução ............................................................................. 1

1.2. Objetivos ............................................................................... 2

1.3. Organização da Dissertação ..................................................... 3

2.Caracterização hidromecânica e relações constitutivas ....................... 5

2.1. Cinemática e Equilíbrio ............................................................ 6

2.2. Modelo Constitutivo Elasto-plásticos ............................................ 8

2.2.1. Invariantes ............................................................................. 8

2.2.2. Decomposição Aditiva do Tensor de Deformações. ..................... 10

2.2.3. Resposta Elástica ................................................................. 10

2.2.4. Resposta Plástica ................................................................. 11

2.2.5. Potencial Plástico .................................................................. 13

2.2.6. Lei de Edurecimento .............................................................. 14

2.2.7. Matriz Constitutiva Elasto-plástica ............................................ 15

2.2.8. Critério de Plastificação de von Mises ....................................... 18

2.2.9. Critério de Plastificação de Drucker Prager ................................ 19

2.3. Modelo Constitutivo Hidráulico ................................................. 21

2.3.1. Equação da Conservação de massa ......................................... 22

2.3.2. Relação entre Permeabilidade e Porosidade .............................. 23


viii

2.3.3. Deformações Plásticas e Variação da Permeabilidade ................. 24

3.Formulação Numérica ....................................................................... 26

3.1. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Von Mises com

Endurecimento ......................................................................................... 27

3.1.1. Estado de tensões trial ........................................................... 28

3.1.2. Endurecimento Linear ............................................................ 33

3.1.3. Módulo Tangente Consistente Elasto-Plástico ............................ 34

3.1.4. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 36

3.2. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Drucker Prager 39

3.2.1. Equações Constitutivas .......................................................... 39

3.2.2. Algoritmo de Retorno para o Modelo de Drucker Prager ............... 41

3.2.2.1 Retorno à Superfície do Cone ................................................. 42

3.2.2.2 Retorno ao Ponto de Singularidade (Vértice) .............................. 43

3.2.2.3 Escolha do Retorno Apropriado ............................................... 44

3.2.3. Matriz Tangente Consistente ................................................... 44


3.3. Algoritmo de Integração Implícita-Explícita (IMPLEX) para o Modelo

de Drucker Prager .................................................................................... 47


4.Casos Analisados .............................................................................. 52

4.1. Expansão de Cavidade Cilíndrica ............................................. 52

4.2. Ensaio Triaxial ...................................................................... 56

4.3. Análise de Talude Vertical ...................................................... 58


ix

4.4. Perfuração de Poço ............................................................... 67

5.Conclusões ........................................................................................ 75

5.1. Sugestões Para Trabalhos Futuros ........................................... 76

6.Referências Bibliográficas ................................................................. 77


1

1. INTRODUÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO

A disponibilidade crescente de recursos computacionais cada vez mais robustos e

disseminados abre espaço para a utilização de ferramentas de trabalho mais poderosas e

alavanca o desenvolvimento de teorias e modelos cada vez mais complexos para a

representação dos diversos fenômenos e comportamentos.

Essa realidade não é diferente para a Engenharia Geotécnica, que tradicionalmente esteve

apoiada nos conceitos da Mecânica dos Solos desenvolvidas por Terzaghi, na Teoria da

Elasticidade e nas teorias de plasticidade. A partir das observações em campo e em ensaios de

laboratório, diversos modelos constitutivos foram desenvolvidos com intuito de representar o

comportamento dos solos. Esses modelos são construídos como simplificação das condições

reais mediante a adoção de hipóteses simplificadoras que visam diminuir o grau de

complexidade matemática da formulação bem como possibilitar a resolução do sistema de

equações resultantes. Com o advento da modelagem computacional pode-se aproveitar ao

máximo as vantagens oferecidas pelos modelos constitutivos mais avançados, porém tais

modelos não devem possuir um grau de complexidade que inviabilize sua aferição ou

interpretação de seus resultados.

O modo como os parâmetros do problema variam no espaço e no tempo assim como as

relações existentes entre as grandezas relevantes na análise devem ser contempladas na etapa

de descrição fenomenológica, de maneira a validar o modelo proposto. Durante a etapa de

simulação matemática do comportamento de um material sob solicitação mecânica, devem ser

consideradas suas propriedades físicas e estruturais, além de sua constituição físico-

mineralógica, responsáveis pela maneira particular com a qual se verifica a resposta do meio

solicitado (Vasconcelos, 2007).

Os materiais normalmente estudados nos campos da Engenharia Geotécnica e de

Reservatórios de Petróleo apresentam uma estrutura porosa, cujos vazios podem estar total ou


2

parcialmente preenchidos por líquidos. O estado de deformação e as condições de resistência

de tais meios necessitam, para sua total compreensão, de recursos teóricos que vão além dos

fundamentos básicos da Mecânica dos Sólidos. Constata-se que a presença de fluido nos

poros e sua interação com e as partículas sólidas influenciam na resposta global do meio

poroso (Lambe & Whitman, 1976).

Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de modelos constitutivos

mecânicos e hidráulicos que levem em conta o fato do meio poroso ser deformável. Neste

caso, a permeabilidade intrínseca (ou absoluta) da rocha, um dos parâmetros chave do

problema hidráulico, será considerada em função da porosidade, que por sua vez poderá variar

quando o meio se deforma. Esta deformação ocorre quando há variações no estado de tensões

efetivas, dadas pelo tensor de tensões totais menos o tensor esférico das poro-pressões.

Do ponto de vista matemático, este problema acoplado hidro-mecânico é representado por um

sistema de equações não-lineares em derivadas parciais que, quando discretizado, resulta num

sistema de equações algébricas não-lineares onde as equações de fluxo são modificadas

através da incorporação do termo de deformação da matriz porosa, enquanto que a equação

mecânica passa a incluir um termo de pressão e saturação, provenientes das equações de

fluxo. Diferentes esquemas de solução podem ser usados, a depender do tamanho e nível de

acoplamento entre os problemas hidráulico e geomecânico.

Nesse contexto se insere a ferramenta CODE_BRIGHT (COupled DEformation, BRIne, Gas

and Heat Transport), utilizada neste trabalho, e que se presta a modelar problemas em até três

dimensões, caracterizados por fenômenos de natureza mecânica, hidráulica, térmica e

química, permitindo ainda o acoplamento entre duas ou mais destas modalidades.

1.2. OBJETIVOS

O presente trabalho tem como principal objetivo acrescentar à ferramenta CODE_BRIGHT

uma família de algoritmos de integração implícita para leis constitutivas tensão-deformação.


3

Visando um ganho de eficiência computacional e uma simulação numérica mais satisfatória.

Especificamente podemos listar os seguintes objetivos principais.

- Desenvolver implementações numéricas de algoritmos de integração implícita e

implícito-explícita (IMPLEX) para o cálculo das tensões e deformações segundo os modelos

elasto-plásticos de von Mises e Drucker Prager.

- Simular os ensaios de laboratório, permitindo que os resultados destes sejam

extrapolados para a escala de campo através da modelagem numérica.

- Simular problemas acoplando fluxo e deformação em problemas que interessam a

engenharia geotécnica e a indústria de petróleo.

1.3. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

A presente dissertação é composta de cinco capítulos. Inicialmente, no capítulo 1, são

apresentados os objetivos que se pretende alcançar com o trabalho e também as motivações

que levaram a escolha do tema a ser desenvolvido.

No capítulo 2 são descritas brevemente as teorias e formulações matemáticas que

caracterizam a modelagem do problema acoplado hidro-mecânico. São apresentados os

modelos constitutivos mecânico e hidráulicos adotados no desenvolvimento do trabalho e

também uma breve revisão sobre alguns aspectos da teoria da plasticidade que concernem ao

tema desenvolvido na dissertação.

No capítulo 3 estão descritos os algoritmos que foram inseridos no código em elementos

finitos CODE_BRIGHT. Para integração de tensões foi implementado o algoritmo de

integração implícita apresentado por Simo & Hughes (1998) para o modelo de von Mises,

enquanto para o modelo de Drucker Prager foi utilizado o algoritmo proposto por de Souza

Neto et al (2008) e ainda foi acrescentada uma simplificação do algoritmo implícito proposta

por Oliver et al(2008).


4

No capítulo 4 são apresentados alguns exemplos de validação dos algoritmos implementados

através de simulações de ensaios de laboratórios e problemas com soluções conhecidas. São

também mostradas as análises da modelagem de dois problemas que interessam à engenharia

geotécnica, o estudo de estabilidade de taludes verticais e a perfuração de poços em rochas

frágeis.

Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões da dissertação e então são sugeridas

futuras linhas de pesquisa a serem desenvolvidas tendo em vista a continuidade do trabalho,

bem como a melhora dos modelos utilizados para simular o comportamento do meio poroso e

da eficiência computacional da ferramenta CODE_BRIGHT.


5

2. CARACTERIZAÇÃO HIDROMECÂNICA E RELAÇÕES

CONSTITUTIVAS

Neste capítulo serão apresentados os conceitos e as hipóteses básicas adotadas na modelagem

hidro-mecânica que descreve o comportamento de solos saturados, deformáveis e

comportamento elasto-plástico, quando submetidos a programas cargas quasi-estáticas.

Os solos e rochas são materiais trifásicos constituídos por partículas sólidas e vazios que

podem estar total ou parcialmente preenchidos por líquidos. Os movimentos e o estado de

equilíbrio destes sólidos porosos necessitam, para sua total compreensão, dos fundamentos

básicos e recursos teóricos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos, para solicitações quase-

estáticas e fluxo de baixa velocidade. A interação do fluido nos vazios e o esqueleto sólido

influenciam na resposta global do meio (Skempton, 1961; Lambe & Whitman, 1976; Sousa

Pinto, 2000).

Nesta modelagem serão consideradas as seguintes hipóteses (Maier e Cocchetti, 2002):

• SATURAÇÃO COMPLETA DO ESQUELETO SÓLIDO POR UM ÚNICO FLUIDO;

• PERMEABILIDADE CONSTANTE COM O TEMPO;

• HIPÓTESE DE PEQUENAS DEFORMAÇÕES, OU SEJA, RELAÇÃO CINÉTICA LINEAR;

• PROGRAMA DE CARGAS QUASI-ESTÁTICO, ISTO É, PROGRAMA DE CARGAS EXTERNAS

LENTO E SEM EFEITOS INERCIAIS, MAS RÁPIDO O SUFICIENTE COM RELAÇÃO AO

PROCESSO DE FLUXO;

• VALIDADE DO PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS, COMO DESCRITO A SEGUIR.

Em meados da década de 1920, Karl Terzaghi introduziu o conceito de tensões efetivas com o

intuito de explicar a resposta de um meio poroso saturado quando submetido a solicitações

externas. Ele observou experimentalmente que as deformações produzidas nestes meios

saturados são dependentes de um estado de tensões efetivas atuantes sobre o meio. Quando há

uma solicitação em termos de tensões totais (σ) e existe uma fase líquida na qual ocorre uma


6

pressão no líquido pl., então o tensor de tensões efetivas definido por Terzaghi é caracterizado

a partir da seguinte relação:

Iσσ lp−=' (2.1)

onde σ representa o tensor de tensões totais, 'σ o tensor de tensões efetivas, e lp a pressão

exercida pelo fluido contido nos poros e I é o tensor unitário de segunda ordem. É importante

assinalar que as variações de movimento (deslocamento, deformações, variação volumétrica)

no corpo são devidas exclusivamente a variações nas tensões efetivas (Bishop & Blight,

Atkinson & Bransby, 1978; Lancellotta, 1995).

A equação (2.1) descreve satisfatoriamente o comportamento dos solos saturados quando são

observadas as condições de incompressibilidade dos grãos. Quando esta condição não é

satisfeita a resposta mecânica dos solos e das rochas é mais precisamente controlada por uma

tensão efetiva que é função da tensão total aplicada e da poro-pressão, de acordo com a

seguinte expressão:

Iσσ' pα−= (2.2)

que corresponde a uma reformulação do modelo de Terzaghi com a introdução do parâmetro

α (coeficiente de Biot) relacionado à compressibilidade do meio (Biot, 1941), sendo α :

sK

K−=1α

(2.3)

onde, K e sK são os módulos volumétricos da matriz porosa e dos grãos, respectivamente.

2.1. CINEMÁTICA E EQUILÍBRIO

Vamos considerar então, um meio saturado com domínio Ω e uma fronteira Γ, composta por

duas partes disjuntas e complementares Γu e Γf nas quais são prescritos os deslocamentos e as


7

forças externas, tais que (Γu U Γf = Γ) e (Γu ∩ Γf = Ø). Analogamente Γp e Γq são as partes de Γ

nas quais estão prescritas a pressão do fluido pl e o fluxo q, tais que (Γpl U Γq = Γ) e (Γpl ∩ Γq

= Ø), com Γ regular.

Alguns aspectos diferenciam o solo de outros materiais, a exemplo da plastificação sob

carregamento exclusivo das tensões médias. Para uma determinada massa de solo, uma

parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou não estar

preenchidos de líquido. Para que haja uma mudança no volume desta massa de solo é preciso

que haja movimento da fase fluida (ar e água) existente nos vazios. Esse movimento

volumétrico vai depender das restrições impostas pelo esqueleto sólido. As variáveis que

relacionam a proporção entre os vazios e as partículas sólidas são o índice de vazios:

e a porosidade:

onde Vv é o volume de vazios e Vt o volume total.

As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas

das componentes de deslocamento. Para o caso de pequenas deformações, tal relação assume

uma configuração linear conforme representada pela seguinte equação:

( )Tuuε ∇+∇=2

1 em Ω (2.6)

Enquanto o equilíbrio fica caracterizado por:

0bσ =+div em Ω (2.7)

t

v

V

Ve = (2.4)

e

e

+=

1φ (2.5)


8

2.2. MODELO CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO

A teoria da plasticidade descreve o comportamento de uma classe de materiais bastante

relevante para a engenharia geotécnica, rochas, argilas e solos de uma maneira geral. Esses

materiais, após serem submetidos a um carregamento, apresentam uma deformação

permanente (ou plástica) mesmo quando completamente descarregados.

Em particular, neste trabalho, a teoria da plasticidade está restrita à pequenas deformações e à

descrição de materiais para os quais a deformação não é dependente da taxa de aplicação do

carregamento.

Segundo Sousa (2004) são critérios essenciais para a formulação de um modelo elasto-

plástico, a relação elástica, o critério de plastificação, a existência de um potencial plástico e

as leis de endurecimento e amolecimento

2.2.1. INVARIANTES

Devido à influência que a deformação volumétrica exerce no comportamento dos solos, é

conveniente, no tratamento de problemas geotécnicos, trabalhar com invariantes que

possibilitem separar os efeitos associados à variação de volume daqueles associados à

mudança de forma (distorção).

Para melhor compreensão dos conceitos que serão apresentados, faz-se necessária a definição

de alguns invariantes, como se segue.

O tensor de tensões é definido como:


9

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

στττστττσ

σ

(2.8)

e o tensor desviador é definido como:

IσS p−= (2.9)

onde I é o tensor identidade e p a tensão média, definido como:

)(31

)(31

)( 321 zyxtrp σσσσσσ ++=++== σ

(2.10)

Portanto:

−−

−=

p

p

p

zyzxz

yzyxy

xzxyx

στττστττσ

S

(2.11)

O segundo invariante adotado é definido como:

S2

1=J

(2.12)

( )

+++

+−+−+−=

222

222

2

)()()(

21

yzxzxz

zyx pppJ

τττ

σσσ

(2.13)

Segundo Chen & Baladi (1985) os invariantes p e J relacionam-se com a energia associada à

variação volumétrica e à energia associada à distorção respectivamente.


10

2.2.2. DECOMPOSIÇÃO ADITIVA DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES.

Uma das principais hipóteses da teoria da plasticidade para pequenas deformações é a

decomposição do tensor de deformações totais ε em um tensor de deformações elásticas (ou

reversíveis) εe e um tensor de deformações plásticas (ou irreversíveis), εp.

pe εεε += (2.14)

2.2.3. RESPOSTA ELÁSTICA

A elasticidade linear independe do tempo e da história de carregamento, e considera que todas

as mudanças de deformação em função das variações do estado tensional são instantâneas e o

sistema é completamente reversível, ou seja, a energia absorvida é totalmente recuperada no

processo de descarregamento.

A deformação elástica pode ser definida através do princípio da decomposição aditiva, que

decompõe a deformação total em uma parcela elástica e outra plástica (Eq. 2.14).

Nesse caso, a lei constitutiva para a tensão pode ser expressa como:

eeεDσ = (2.16)

onde De é a matriz de rigidez elástica.

pe εεε −= (2.15)


11

2.2.4. RESPOSTA PLÁSTICA

De acordo com Gens & Prat (2003) na teoria da Plasticidade a superfície de fluência é uma

função das tensões e de outros parâmetros que separa, no espaço das tensões, a região onde o

material possui comportamento elástico da região onde o comportamento é plástico, também

denominada região das tensões plasticamente admissíveis.

A expressão geral que define a superfície de fluência se escreve como:

onde h é um vetor de parâmetros de estado que controlam o endurecimento.

A região onde o material se comporta elasticamente denomina-se domínio elástico e é

definida por:

A função de fluência delimita uma região fechada no espaço, através de uma superfície de

fluência, descrita como:

Quando o material está em regime plástico, ou seja, deformando-se de maneira irreversível, o

estado de tensões sempre deve estar sobre a superfície de fluência, sendo o exterior da

superfície a região das tensões inadmissíveis, como mostra a Figura 2.1.

0),( =hσf (2.17)

0),(| <=Ε hσσ feσ (2.18)

0),(| ==Ε∂ hσσ fσ (2.19)


12

Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003)

Em geral a superfície é dependente das tensões atuantes σ e seu tamanho varia como uma

função dos parâmetros de estado h. Para plasticidade perfeita h é constante e a superfície de

fluência não muda de tamanho durante o carregamento. Para plasticidade com endurecimento

ou amolecimento h varia com as deformações plásticas e a superfície de fluência se expande

ou diminui durante o carregamento.

Na Figura 2.2 é possível observar o comportamento dos materiais elasto-plásticos perfeitos,

com endurecimento e com amolecimento. Na plasticidade perfeita, os materiais apresentam

patamar de escoamento definido pela tensão de escoamento σy, parâmetro do material para

determinado sistema de cargas e condições de contorno, que se mantém constante. Para

materiais com endurecimento a tensão de escoamento inicial é excedida e em materiais com

amolecimento a tensão de escoamento decresce.


13

Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com endurecimento e com amolecimento, respectivamente (uniaxial.)

2.2.5. POTENCIAL PLÁSTICO

Sob condição uniaxial é considerado implicitamente que a direção das deformações plásticas

incrementais é coincidente com a direção da tensão imposta. Contudo em um caso multiaxial

a situação se torna mais complexa devido à existência de seis componentes de tensões e

deformações. É necessário se estabelecer a direção de deformação plástica em qualquer estado

de tensão. Assim para definir as direções das deformações plásticas incrementais recorre-se a

existência de um potencial plástico g, tal que, a lei de escoamento plástico é caracterizada por:

Onde dεij representa as seis componentes da deformação plástica incremental, λ é chamado de

multiplicador plástico e é um escalar que fornece a magnitude da deformação plástica. A

direção é dada pelo gradiente de g, a função potencial plástica, que é expressa como,

Onde ξ é um vetor característico dos parâmetros do material.

ijij

σ

gdε

∂∂= λ (2.20)

0),( =ξσg (2.21)


14

A direção da deformação plástica é paralela a direção do gradiente do potencial plástico e,

portanto, perpendicular a superfície determinada por g, como mostra a figura 2.3.

Quando a superfície de fluência e o potencial plástico coincidem (f=g), trata-se de

plasticidade associada, no caso contrário trata-se plasticidade não-associada (Gens e Prat,

2003).

Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003)

2.2.6. LEI DE EDURECIMENTO

Com o início da plastificação, poderá ocorrer um aumento ou diminuição da superfície de

fluência e são as leis de endurecimento ou amolecimento, respectivamente, que regulam este

fenômeno. A definição dessas leis pode ser feita estabelecendo-se a variação do parâmetro h,

quando definidas tais leis permitem descrever as mudanças de posição e de tamanho da

superfície de plastificação.

Podem ser considerados dois tipos de endurecimento: isotrópico ,quando apenas o tamanho da

superfície é alterado; e cinemático, quando a superfície é deslocada sem sofrer variação de


15

forma ou tamanho sofrendo apenas translação na direção do fluxo plástico. A figura 2.4

ilustra os dois comportamentos.

Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005)

Para controlar tal variação do tamanho, forma ou posição da superfície de fluência devem ser

definidos os parâmetros de endurecimento h, que por sua vez são funções da deformação

plástica acumulada como a seguir.

2.2.7. TENSOR CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO

É preciso definir a relação entre as tensões e deformações incrementais para sua conseqüente

utilização nos modelos constitutivos elasto-plásticos.. As equações são apresentadas em

função das taxas (derivadas em relação ao tempo) de tensão e de deformação.

Definindo Dep como sendo o tensor constitutivo elasto-plástico, em contraposição à matriz

elástica De, a relação entre as tensões e deformações para um material elasto-plástico, pode

ser escrita da seguinte forma.

)( pεhh = (2.22)

εDσ &&ep= (2.23)


16

onde σ& é o incremento do tensor de tensões e ε& o incremento do tensor de deformações. O

incremento total de deformação pode ser dividido em duas parcelas, a elástica (eε& ) e a

plástica ( pε& ) como mostrado a seguir,

De acordo com (2.16) e (2.20) tem-se que,

Combinando (2.26) e (2.25) com (2.24), pode-se escrever

Conforme visto anteriormente, os materiais em regime plástico devem satisfazer a condição

F(σ,h)=0. Além disso, para atender a condição de consistência, o diferencial de F deve ser

igual a zero (Mendonça, 2005), de onde se deduz que,

e o multiplicador plástico resulta em:

pe εεε &&& += (2.24)

σDε &&1−= ee

(2.25)

σ

Ψσε

∂∂= ),(gp λ& (2.26)

∂∂−=

σ

ΨσDεDσ

),(geee λ&& (2.27)

0),(),(

),( =

∂∂+

∂∂= h

hhσ

σσ

hσhσ &&&

TTff

f (2.28)

Agf

f

Te

T

eT

+

∂∂

∂∂

∂∂

=

σ

ΨσD

σ

hσ

εDσ

hσ

),(),(

),(&

λ

(2.29)


17

Onde,

O parâmetro A varia de acordo com a condição de plasticidade do material. Para plasticidade

perfeita, h é uma constante e A=0. Para o caso de endurecimento ou amolecimento, (2.30) é

reescrita como,

Devido à relação linear entre h e εp, o parâmetro λ pode ser cancelado e A torna-se

determinado. Caso a relação seja não-linear o parâmetro escalar não é cancelado e A se torna

indeterminado. Tal dificuldade é estendida à determinação da matriz elasto-plástica. Na

prática todos os modelos assumem uma relação linear entre o parâmetro de estado h e as

deformações plásticas εp (Sousa, 2004).

Substituindo (2.29) em (2.27) obtém-se,

E por fim, substituindo (2.32) em (2.23), tem-se a expressão da matriz constitutiva elasto-

plástica,

hh

hσ&

Tf

A

∂∂−= ),(1

λ (2.30)

pp

Tf

A εε

hh

hσ&

∂∂

∂∂−= ),(1

λ (2.31)

Agf

fg

Te

T

eT

e

e

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

σ

ΨσD

σ

hσ

εDσ

hσσ

ΨσD

εDσ),(),(

),(),(&

&&

(2.32)


18

2.2.7.1.1. CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE VON MISES

De acordo com (Souza Neto et al, 2008) este modelo, que é mais apropriado a descrição do

comportamento elasto-plástico dos metais, foi proposto por von Mises em 1913. De acordo

com o critério de Von Mises, a plastificação se inicia quando o tensor das tensões desviadoras

S atinge um valor crítico. Tal modelo não considera que a parte esférica do tensor de tensões

tenha influência nas deformações plásticas. A superfície de fluência para este modelo pode ser

escrita como,

Onde σy é a tensão de escoamento e varia para cada material. A superfície de fluência de von

Mises tem a forma de um cilindro circular no espaço das tensões principais, conforme ilustra

a Figura 2.5. A superfície é independente da tensão média p e a parcela yσ

3

2 representa seu

raio. As deformações plásticas ocorrem normalmente à superfície de fluência no sentido do

espaço de tensões inadmissíveis. Neste trabalho será considerado o modelo de von Mises

associado, portanto f=g.

Agf

fg

Te

T

eT

e

eep

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

σ

ΨσD

σ

hσ

Dσ

hσσ

ΨσD

DD),(),(

),(),(

(2.33)

yf σ3

2),( −= Shσ (2.34)


19

Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006)

2.2.8. CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE DRUCKER PRAGER

O modelo proposto por Drucker e Prager, como uma suavização do modelo de Mohr-

Coulomb (Souza Neto et al, 2008), consiste na modificação do critério de von Mises onde

um termo é introduzido para que o modelo se torne sensível às variações volumétricas. O

modelo de Drucker Prager prevê que a plastificação tem início quando o invariante de tensões

desviadoras, J, e a tensão média, p, atingem uma combinação de valores críticos. Para este

modelo podemos definir a função de fluência da seguinte forma,

Sendo,

cpJf ξη −+=),( hσ (2.35)

),( ; ),( ϕξϕη cc (2.36)


20

Onde a coesão (c) e o ângulo de atrito (ϕ) são parâmetros do material. A superfície de

plastificação de Drucker Prager é um cone cilíndrico como mostrado na figura 2.6 e os

parâmetros η e ξ são escolhidos de acordo com a aproximação à superfície de Mohr-Coulomb.

Duas das mais comuns aproximações são obtidas fazendo-se coincidir os vértices internos ou

externos da superfície de Mohr-Coulomb. A coincidência dos vértices externos é dada por

E a coincidência dos vértices internos é dada por,

Os cones externos e internos são conhecidos respectivamente como cone de compressão e

cone de extensão. Uma seção do plano-π de ambas as superfícies é mostrada na figura 2.6.

)sin3(3

sin6

φφη

−= (2.37)

)sin3(3

cos6

φφξ

−= (2.38)

)sin3(3

sin6

φφη

+= (2.39)

)sin3(3

cos6

φφξ

+= (2.40)


21

Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004)

Uma lei de fluxo plástico não associada pode ser obtida para o modelo de Drucker Prager

adotando-se como função do potencial plástico a mesma função de fluência onde o ângulo de

atrito (ϕ) é substituído pelo ângulo de dilatância (ψ) sendo escrito da forma a seguir,

onde, para o cone externo:

e, para o cone interno:

2.3. MODELO CONSTITUTIVO HIDRÁULICO

pJg η+=),( hσ (2.41)

)sin3(3

sin6

ψψη

−= (2.42)

)sin3(3

sin6

ψψη

+= (2.43)


22

Um aspecto particular que diferencia o solo de outros materiais é que para uma determinada

massa de solo, uma parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou

não estar preenchidos de líquido. É consenso que para que haja uma mudança no volume

desta massa de solo é preciso que a fase fluida (ar e água) existente nos vazios se movimente.

Esse movimento dos fluidos vai depender da restrição que o esqueleto sólido impõe, e a

variável utilizada para mensurar a dificuldade que a fase fluida tem de se movimentar entre os

vazios do solo é a permeabilidade. A permeabilidade depende da forma e do tamanho das

partículas sólidas e também da proporção em volume existente entre os vazios e os grãos,

denominado de índice de vazios.

2.3.1. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA

Para o problema hidráulico, as equações de conservação de quantidade de movimento das

fases fluidas são substituídas pela lei de Darcy generalizada, cuja validade restringe-se a uma

condição de fluxo laminar (Bear, 1988). Considerando o meio poroso como saturado por um

único fluido, a água, a conservação de massa da fase líquida é expressa como,

onde ρl é a densidade do líquido e ql é o fluxo volumétrico de líquido, dado pela Lei de Darcy

da seguinte forma,

sendo k é o tensor de condutividade hidráulica, definido como

0)()( =+∇+∂∂

uq &lllltφρρφρ (2.44)

)( gkq lll p ρ+∇−= (2.45)

lµκ

k = (2.46)


23

onde g é o vetor de gravidade, κ o tensor de permeabilidade intrínseca para o meio saturado e

µl a viscosidade do fluido.

2.3.2. RELAÇÃO ENTRE PERMEABILIDADE E POROSIDADE

O acoplamento hidromecânico pode ser obtido por meio de uma relação direta entre a

variação de uma variável mecânica e a evolução de uma propriedade do comportamento

hidráulico e vice-versa. Na literatura as tentativas focam uma relação direta entre a

permeabilidade intrínseca com o estado de tensões, porém, essa tarefa, em termos práticos

encontra limitações decorrentes da complexidade relativa ao problema. Sendo assim, as

relações comumente encontradas permitem determinar as variações de permeabilidade

intrínseca através de leis que relacionam esta grandeza com a porosidade (Sousa, 2004).

Sabe-se que a permeabilidade do meio poroso não depende unicamente da porosidade, porém

de uma série de fatores que devem ser considerados (tamanho e distribuição dos poros,

percentual de finos, diâmetro efetivos dos grãos, etc). Em decorrência da complexidade

concernente à determinação de uma relação simples e geral, comumente são utilizadas

relações experimentais que se prestam para uma estimativa aproximada da variação de tais

parâmetros.

No programa de elementos finitos CODE_BRIGHT, que resolve de maneira acoplada as

equações do problema hidromecânico (Sousa et al, 2005) há uma equação que expressa a

dependência da permeabilidade intrínseca com a porosidade por meio de uma lei exponencial

empírica (Febex, 2001), descrita como,

Onde b é um parâmetro de ajuste que serve pra regular a amplitude da influência da variação

da porosidade do meio sobre a permeabilidade. A magnitude dos valores assumidos por este

parâmetro se justifica pela maior ou menor densidade da rocha, visto que tais características

[ ])(exp. 00 φφ −= bκκ (2.47)


24

influenciam na maneira como o índice de vazios varia (e conseqüentemente, a porosidade

também). Em geral valores elevados de b são empregados para rochas densas devido a

pequena magnitude da variação da porosidade (Sousa, 2004). Essa lei permite representar, de

maneira aproximada, o comportamento hidromecânico de diversas classes de meios porosos,

mediante a escolha de valor adequado para o parâmetro de ajuste.

2.3.3. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS E VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE

As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas

das componentes de deslocamento, que para pequenas deformações, assume a forma:

Sendo o meio poroso um sistema constituído por várias fases, além da equação da

conservação de massa da fase líquida deve ser considerada a conservação de massa da fase

sólida, que uma vez admitida a hipótese de deformabilidade do meio, pode ser expressa como:

Sendo u& o vetor de velocidade da fase sólida devido à deformabilidade do meio poroso.

Definindo-se a derivada material de uma variável qualquer φ(x,y,z,t) como (Ferreira, 1996 e

Oller, 2001):

torna-se possível estabelecer a variação da porosidade em função da deformação volumétrica,

( )Tuuε ∇+∇=2

1 (2.48)

[ ] [ ]u&sstρφρφ )1()1( −∇+−=

∂∂

(2.49)

ϕϕϕ ∇+∂∂= u&

tdt

d (2.50)


25

Onde vε& é a taxa de deformação volumétrica e dt

d sρé o termo de compressibilidade da fase

sólida. Quando se admite a incompressibilidade da fase sólida, o primeiro termo da equação

(2.49) se anula, de modo que a variação da porosidade é influenciada apenas pela variação na

deformação volumétrica.

De acordo com a formulação matemática do problema hidromecânico, a determinação do

estado de tensão em cada ponto do meio poroso possibilita a atualização do campo de

deformação por meio da relação constitutiva característica do meio. Isso proporciona a

determinação do campo de deslocamento correspondente (incógnita do problema mecânico)

pela equação (2.48), por outro lado a equação da conservação de massa da matriz porosa

(2.51) juntamente com a equação que caracteriza o acoplamento hidromecânico (2.47)

determina a atualização das respectivas variáveis de tal modo a se obter a incógnita do

problema hidráulico (pressão de líquido). (Vasconcelos, 2007)

vs

s dt

d

dt

dε&)1(

)1( φρρ

φφ −+−= (2.51)


26

3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA

A seguir estão descritos os algoritmos que foram implementados no programa de elementos

finitos CODE_BRIGHT , que é capaz de resolver problemas acoplados termo-hidro-

mecânicos e geoquímicos em meios porosos. Este programa foi desenvolvido por Olivella et

al (1995) e a primeira versão foi apresentada com o propósito de solucionar problemas

relacionados a materiais salinos num contexto de disposição de resíduos nucleares.

Posteriormente, sua aplicação estendeu-se à modelagem de sistemas de barreiras de proteção

ambiental, transporte de solutos, aterros, escavações, barragens de terra, pavimentação, solos

colapsíveis e solos expansivos (Nóbrega, 2008).

O presente trabalho trata da implementação de algoritmos de integração implícita de modelos

constitutivos elasto-plásticos, aplicados a problemas acoplados hidro-mecânicos em meios

porosos

Segundo Sousa (2004) as aplicações do método dos elementos finitos na plasticidade

envolvem a solução de dois conjuntos de equações diferenciais:

(a) Relação incremental tensão-deformação, em nível de ponto de Gauss.

(b) Equação global carga-deslocamento, em nível de toda malha de elementos finitos.

No problema de integração da lei constitutiva tensão-deformação, a escolha dos algoritmos

totalmente implícitos foi principalmente motivado por estes serem incondicionalmente

estáveis, por não possuírem grande restrição em relação ao tamanho do passo de tempo e

possibilitarem a dedução de um operador tangente consistente, essencial para o uso em

conjunção com um procedimento global de Newto-Raphson (convergência quadrática).

Portanto, tais algoritmos permitem tornar o CODE_BRIGHT uma ferramenta

computacionalmente mais eficiente.


27

3.1. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA O MODELO DE VON MISES

COM ENDURECIMENTO

Neste trabalho, a implementação do modelo de von Mises, tem por base a formulação

apresentada em Simo & Hughes (1998). No capítulo anterior foram apresentadas as equações

concernentes ao problema tensão-deformação, para integrar essas equações numericamente é

conveniente adotar um intervalo de tempo fictício, definido como:

Assim as equações apresentadas podem ser reescritas em termos incrementais.

Pode-se listar como as equações básicas adotadas na implementação do modelo de von Mises:

(a) Lei elástica

onde De é o tensor elastico isotrópico

(b) Função de fluência

onde

nn ttt −=∆ +1 (3.1)

eeεDσ = (3.2)

yyf σσ3

2),( −= Sσ (3.3)

)( pyy εσσ = (3.4)


28

é a tensão de escoamento do material e é uma função da deformação plástica acumulada, pε .

(c) Lei de fluxo associada

(d) Lei de endurecimento, onde a equação para evolução da variável interna de

endurecimento é dada por

3.1.1. ESTADO DE TENSÕES TRIAL

Dado o incremento de deformação:

onde 1+nε correspondente a deformação no tempo tn+1 e nε a deformação no tempo tn. Sendo

ainda conhecidas variáveis de estado pn

en εε ,

em tn. A deformação elástica trial e a

deformação plástica acumulada trial são dadas por:

SS

2

3γσ

γε =∂∂= fp

& (3.5)

pε&&

3

2=ε (3.6)

nn εεε −=∆ +1 (3.7)

εεε ∆+=+en

trialen 1 (3.8)

pn

trialpn εε =+1

(3.9)


29

A tensão trial correspondente é calculada como:

onde, a tensão média, p, e o tensor desviador S, são calculados, respectivamente, como:

onde εd e εv são, respectivamente, as componentes desviadoras e volumétrica da deformação,

enquanto que G é o módulo elástico cisalhante e K o módulo elástico volumétrico, definidos

como:

sendo E o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson.

A tensão de escoamento é definida como:

Uma vez determinado o estado elástico trial , o próximo passo do algoritmo é verificar se o

estado de tensõestrialn 1+σ está contido ou não a superfície de fluência.

Se estiver no interior da superfície de fluência, portanto

trialen

etrialn 11 : ++ = εDσ (3.10)

trial

ned

trialn G 11 2 ++ = εS (3.11)

trial

nev

trialn Kεp 11 ++ =

(3.12)

( )ν+=

12

EG (3.13)

( )ν213 −= E

K

(3.14)

nyp

nytrial

ny σεσσ ==+

)(1

(3.15)

0),( ! ≤+ nytrialnf σσ (3.16)


30

Então o passo do intervalo [tn, tn+1] é puramente elástico e o estado elástico trial é a solução

para a problema de integração, nesse caso as variáveis são atualizadas como se segue.

Se o estado de tensões trialn 1+σ estiver no exterior da superfície definida pela função f no espaço

das tensões principais, então o passo [tn, tn+1] é elasto-plástico e o algoritmo de retorno a

superfície de fluência deve ser aplicado.

Para o modelo de von Mises, o algoritmo de retorno corresponde a resolver o seguinte sistema

de equações não lineares:

O qual deve ser resolvido para γε ∆++ e , 11p

nenε e o tensor de deformação plástica pode ser

atualizado de acordo com a seguinte fórmula:

O sistema apresentado acima pode ser simplificado e o algoritmo de retorno à superfície de

fluência do modelo de von Mises pode ser reduzido a uma única equação não linear, sendo o

incremento do multiplicador plástico a incógnita do problema. Essa redução no número de

trialen

en 11 ++ = εε (3.17)

trialnn 11 ++ = σσ

(3.18)

pn

pn

pn εεε == ++ 11 (3.19)

nytrial

nyny σσσ ==++ 11

(3.20)

1

111 2

3

+

+++ ∆−=

n

ntrialen

en S

Sεε γ (3.21)

γεε ∆+=+p

np

n 1

(3.22)

0)(3

211 =− ++

pnyn σ εS (3.23)

1

11 2

3

+

++ ∆+=

n

npn

pn S

Sεε γ (3.24)


31

equações é de extrema importância no sentido de fazer o cálculo do estado de tensões atual

mais eficiente do ponto de vista computacional e melhorar o desempenho do esquema de

elementos finitos como um todo. Antes da simplificação das equações (3.21), (3.22) e (3.23)

deve-se notar que o vetor de fluxo de von Mises é puramente desviador, portanto (3.21),

(3.22) e (3.23) podem ser divididas em:

o que equivale, em termos de tensão, a:

Este é o algoritmo de retorno apenas para a componente desviadora da tensão. A tensão

média, pn+1, tem o valor computado no passo elástico e pode ser eliminada do sistema de

equações. A simplificação a seguir decorre do rearranjo da equação de atualização das tensões

desviadoras (3.28), obtendo-se:

As tensões desviadoras trial e as elasto-plásticas se relacionam da seguinte forma:

triale

nve

nv 11 ++ = εε (3.25)

1

111 2

3

+

+++ ∆−=

n

ntrial

ned

e

nd SS

εε γ (3.26)

trialnn pp 11 ++ = (3.27)

1

111 2

32

+

+++ ∆−=

n

ntrialnn G

SS

SS γ (3.28)

trialnn

n

G11

1

2

2

31 ++

+

=

∆+ SSSγ

(3.29)

trialn

trialn

n

n

1

1

1

1

+

+

+

+ =S

SSS

(3.30)


32

Então o vetor de fluxo e o estado de tensões atualizado coincidem, substituindo a identidade

acima em (3.28) temos a seguinte fórmula de atualização simplificada para as tensões

desviadoras:

onde,

é a tensão de von Mises, calculada na tentativa elástica. Desde que Sn+1 seja um tensor

constante no algoritmo de retorno, a tensão desviador Sn+1 é função linear do ∆γ apenas na

formula de atualização acima. Da expressão (3.31) pode-se deduzir que no algoritmo

totalmente implícito do modelo de von Mises, a atualização da tensão desviadora é obtida

dividindo a tensão desviadora trial pelo fator trialnqG 1/31 +∆− γ .

Finalmente substituindo (3.31) em (3.22) dentro da condição de consistência plástica (3.23), o

sistema das equações (3.21), (3.22) e (3.23) do algoritmo de retorno a superfície de fluência

para o modelo de von Mises se reduz a seguinte equação escalar (geralmente não linear) tendo

o incremento do multiplicador plástico como sua única incógnita:

A equação acima é então resolvida em um esquema Newton-Raphson e, com a solução de ∆γ,

as variáveis de estado são atualizadas como se segue:

trialntrial

n

trialntrial

n

n q

GG1

11

1

1

31

223

1 ++

++

+

∆−=

∆−= SSS

Sγγ

(3.31)

trialn

trialnq 11 2

3++ = S (3.32)

0)(3)(~

1 =∆+−∆−≡∆ + γεσγγ pny

trialn Gqf (3.33)

trialntrial

nn q

G1

11

31 +

++

∆−= SSγ

(3.34)

ISσ trialnnn p 111 +++ +=

(3.35)


33

Se requerido, o tensor de deformações plásticas é atualizado por (3.24).

3.1.2. ENDURECIMENTO LINEAR

A única fonte de não linearidade no algoritmo de retorno de von Mises (3.33) é a curva de

endurecimento, definida pela equação (3.4). Para materiais com endurecimento linear esta

função é expressa como

Onde σ0 é a tensão de escoamento inicial do material virgem e H é a constante de

endurecimento do material, neste caso(3.33) transforma-se em,

E o incremento do multiplicador plástico pode ser obtido, na forma fechada,

No caso de plasticidade perfeita (H=0), a expressão para ∆γ recai em,

[ ] trial

nevnn

een ε

G 111

1

1 3

1

2

1: +++

−+ +== SσDε (3.36)

γ∆+=+p

np

n εε 1

(3.37)

ppy εHε += 0)( σσ (3.38)

0])([3)( 01 =∆++−∆−≡∆ + HεGqf pn

trialn γσγγ (3.39)

HG

f trial

+=∆

3γ (3.40)

G

f trial

3=∆γ (3.41)


34

Para este caso a atualização da tensão é a simples projeção do passo elástico trial na

superfície de fluência ao longo de rua direção radial. Esta é a projeção do ponto mais próximo

do estado de tensões trial na superfície de fluência.

3.1.3. MÓDULO TANGENTE CONSISTENTE ELASTO-PLÁSTICO

Dentro do contexto dos elementos finitos incrementais, usamos o operador tangente

consistente dado pela equação (3.42).

Sob fluxo plástico, ou seja, quando o algoritmo de retorno é usado então a tensão é atualizada

como:

onde ∆γ é a solução da seguinte equação.

Na equação (3.44), a tensão elástica trial de von Mises,trialnq 1+ , é função da deformação

elástica trial segundo a equação:

1

1

+

+

∂∂≡

n

n

ε

σD (3.42)

trialn

edtrial

n

en q

G1

1

2

1 :6

+

++

∆−= εIDσγ

(3.43)

0)(3)( 1 =∆+−∆−≡∆ + γσγγ pny

trialn εGqf (3.44)


35

E o módulo tangente consistente elasto-plástico para o presente modelo é obtido pela

diferenciação de (3.42) sendo,

Da equação (3.45), com alguma manipulação, obtém-se:

onde foi, convenientemente definido, o vetor de fluxo unitário:

fazendo uso da identidade d

trial

ned

trial

ned I:11 ++ = εε , quando aplicada a regra da cadeia.

Da diferenciação da equação implícita (3.44) para o ∆γ, considerando (3.47), temos:

onde H é a constante de endurecimento do material.

trial

ned

trialn Gq 11 2

32 ++ = ε (3.45)

trialn

e

trialntrial

nedtrial

ntrialn

e

trial

nedtrial

ndtrial

n

etrialn

e

n q

q

G

q

G

q

G

1

112

1

2

11

1

2

1

2

1

1

)(

666

+

++

+++

+++

+

∂∂⊗∆+

∂∆∂⊗−∆−=

∂∂

εε

εεID

ε

σ γγγ (3.46)

11

1

2

32 +

+

+ =∂∂

ntrialn

e

trialn G

qN

ε (3.47)

trial

ned

trial

ned

trialn

trialn

nn

1

1

1

111 3

2

+

+

+

+++ ==≡

ε

ε

S

SΝN (3.48)

11

1

1 2

3

3

2

3

1+

+

+

+ +=

∂∂

+=

∂∆∂

ntrialn

e

trialn

trialn

e HG

Gq

HGΝ

εεγ

(3.49)


36

Finalmente, substituindo (3.47) e (3.49) em (3.46) obtém após alguma manipulação, a

seguinte expressão para o operador tangente elasto-plástico consistente com o algoritmo de

retorno implícito para o modelo de von Mises com endurecimento isotrópico:

É importante ressaltar que para este modelo em particular e este algoritmo de integração, o

operador Dep é simétrico.

3.1.4. ALGORITMO BÁSICO IMPLEMENTADO

Algoritmo implícito Backward Euler.

1) Base de Dados.

Cálculo dos módulos elásticos volumétrico e cisalhante:

IINNI

NNIDD

⊗+⊗

+−∆+

∆−=

=⊗

+−∆+∆−=

++++

++++

KHGq

Gq

GG

HGqG

q

G

nntrialn

dtrialn

nntrialn

dtrialn

eep

111

2

1

111

2

1

2

3

16

312

3

16

6

γγ

γγ

(3.50)

pnnnn εεεσ ; ; ; ; ε∆

(3.51)

KHE y ; ; ; ; σν (3.52)

)1(2 ν+= E

G (3.53)

)21(3 ν−= E

K e (3.54)


37

2) Estado Trial.

3) Verifica se Passo é Elástico ou Elasto-plástico.

εDσσ ∆+=+ :1e

ntrialn (3.55)

ntrialn Kq ε−=+1 (3.56)

ntrialn Hεq

3

21 −=+

(3.57)

( )trialny

trialn

trialn qf 111 3

2+++ −−= σβ

(3.58)

trialn

trialn

trialn qS 111 +++ −=β

(3.58)

trialntrial

n

trialn 1

1

1

1+

++ = β

βn

(3.59)

Se 01 ≤+trial

nf (3.60)

Então

=

===

+

+

+

++

pn

pn

nn

nn

trialnn

εε

εε

σσ

1

1

1

11

εε

(3.61)


38

Fim

4) Matriz Tangente Consistente von Mises

Verifica se matriz elástica ou elasto-plástica:

Senão

[ ]

+=

−=

+=

−=+

=

++

++

+

+++

+

11

11

1

111

1

3

2

2

3/)(2

npn

pn

nnn

nn

ntrialnn

trialn

G

KHG

f

nεε

nεε

nσσ

γγ

γεε

γ

γ

(3.62)

Se

0

≤γ (3.63)

Então

===

0n

0

1

2

1

δδ

(3.64)

Senão

[ ]( )

=

−−++

=

−=

+

+

+

trialn

trialn

trialn

KHG

G

1

1

12

1

1

1

3

11

1

21

β

βn

β

δδ

γδ

(3.65)

(3.66)


39

3.2. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA O MODELO DE DRUCKER

PRAGER

Na presente seção é apresentado o algoritmo para o modelo de Drucker Prager que foi

implementado no código em elementos finitos, para esta implementação foi tomada como

referência o algoritmo de integração implícita descrito por Souza Neto et al (2008).

3.2.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

A superfície de plastificação de Drucker Prager é definida pela seguinte função de fluência.

Onde p é a tensão hidrostática e c é a coesão do material. As constantes η e ξ são escolhidas

de acordo com a aproximação à superfície de Mohr-Coulomb adotada, segundo as seguintes

equações.

Calcula matriz tangente consistente:

111

1 : +++

+ ∆=∆⇒∆∆= n

epn

n

nepεDσ

ε

σD

nnD ⊗−

⊗−+⊗= 21 2113

1211 δδ GIGK eep

(3.67)

( ) cpcf ξη −+= Sσ22

,

(3.68)


40

Para o modelo implementado foi adotada uma regra de fluxo não associado, onde a função

potencial é definida como.

Onde η é função do ângulo de dilatância ψ e pode ser calculado de acordo com as seguintes

equações.

Para coincidência dos

vértices externos

(cone de compressão)

)sin3(3

sin6

φφη

−=

)sin3(3

cos6

φφξ

−=

(3.69)

Para coincidência dos

vértices internos

(cone de tração)

)sin3(3

sin6

φφη

+=

)sin3(3

cos6

φφξ

+=

(3.70)

Para coincidência do

eixo de ruptura

3

sin3 φη =

3

cos2 φξ = (3.71)

pg η+= S22

(3.72)

Para o cone externo

)sin3(3

sin6

φφη

−= (3.73)

Para o cone interno

)sin3(3

sin6

φφη

+= (3.74)


41

Para a superfície do cone de Drucker Prager, o vetor de fluxo é dado como,

Para o ponto de singularidade do cone (vértice), o vetor de fluxo é o subgradiente de f, ou

seja, n é um vetor contido no cone complementar, como mostra a Figura 3.1.

Figura 3.1 - Algoritmo de retorno ao vértice (Souza Neto et al, 2008)

3.2.2. ALGORITMO DE RETORNO PARA O MODELO DE DRUCKER PRAGER

O algoritmo de integração para o modelo de Drucker Prager é relativamente simples,

primeiramente devido à existência de uma única singularidade em sua superfície, o vértice. E

também porque a superfície de fluência, é totalmente simétrica em relação ao eixo

hidrostático.

Para coincidência do eixo de ruptura

3

sin3 φη = (3.75)

1SS

σn

32

2 η−=∂∂= g

(3.76)


42

A forma geral de atualização do tensor de tensões é:

onde 1: +∆− ne nDγ é o vetor de retorno à superfície de fluência

3.2.2.1. RETORNO À SUPERFÍCIE DO CONE

Para a porção suave do cone, onde o vetor de fluxo é definido por (3.76), o incremento de

deformação plástica é calculado como.

E corresponde à seguinte fórmula de atualização das tensões.

Que equivale às seguintes equações, em termos das componentes desviadora e hidrostática.

111 : +++ ∆−= netrial

nn nDσσ γ

(3.77)

+∆=∆=∆

+

++ 1

S

Snε

32

2

1

11

ηγγtrialn

trialn

np

(3.78)

+∆−=

+

+++ I

S

Sσσ ηγ KG

trialn

trialntrial

nn

1

111 2

(3.79)

trialntrial

n

n

G1

1

1

21 +

++

−= S

SS

γη ∆−= ++ Kpp trialnn 11

(3.80)


43

A condição de consistência para o caso presente é dada por.

Substituindo (3.80) em (3.81) resulta na seguinte equação para o multiplicador plástico.

Com alguma manipulação, chegamos em:

Após a solução da equação acima, a tensão é atualizada conforme (3.79).

3.2.2.2. RETORNO AO PONTO DE SINGULARIDADE (VÉRTICE)

No vértice, o vetor de retorno, deve estar contido no cone complementar esquematicamente

ilustrado na Figura 3.1.A condição de consistência (3.81) é reduzida a:

022

111 =−+≡ +++ cpf nnn ξηS

(3.81)

0)(22

)(~

11 =−∆−++∆−≡∆ ++ cKpGf trialn

trialn ξγηηγγ S

(3.82)

ηηγ

KG

f trialn

+=∆ +1

(3.83)

01 =∆+− +p

vtrialn Kpc ε

ηξ

(3.84)


44

As tensões são atualizadas segundo a equação:

3.2.2.3. ESCOLHA DO RETORNO APROPRIADO

Inicialmente, adota-se o algoritmo de retorno a superfície do cone, uma vez determinado o

γ∆ ,procede-se a seguinte verificação:

Então algoritmo de retorno é validado, senão deve-se aplicar o retorno ao vértice

3.2.3. MATRIZ TANGENTE CONSISTENTE

A determinação implícita da matriz tangente consistente elasto-plástica é dado pela expressão:

Iσ )( 11pv

trialnn Kp ε∆−= ++

(3.85)

Se 022

1 ≥∆−+ γGtrialnS

(3.86)

( ) ( ) 11n11n

nnS

11IS

⊗−+⊗+⊗−

⊗

−+

⊗−

−=

++

AKKGAK

GAG

GG

GD

dd

ddtrialn

trialn

ep

ηηηη

γγ

12

2

22

3

1

2

212

11

(3.87)


45

Se o estado de tensões estiver no domínio elástico (γ = 0), recupera-se a matriz elástica:


Algoritmo implícito Backward-Euler:

1) Base de Dados


2) Estado Trial

1111I ⊗+

⊗−= KGD e

3

12

(3.88)

pnn εεσ , ,∆

ψφν , , , , cE

(3.89)

)21(3 ν−= E

K

)1(2 ν+= E

G

(3.90)

εDσσ ∆+=+ :1e

ntrialn (3.91)


46

3) Verifica se Passo é Elástico ou Elasto-plástico

4) Verifica tensão no vértice

Fim

cpf trialn

trialn

trial ξη −+= ++ 1122

S

(3.92)

Se

0≤trialf

(3.93)

Então

=∆

= ++

0

11

p

trialnn

ε

σσ

(3.94)

Senão

∆−=∂∂=∆

+=

++

+

+

peptrialnn

np

trialn

g

KG

f

εDσσ

σε

:

)(

11

1

1

γ

ηηγ

(3.95)

Se 1

2+< n

trial

γS

(3.96)

Então

−=∆

=

+

+

)(: 1

1

nnepp

n

c

σσηξσ

Dε

(3.97)


47

3.3. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA-EXPLÍCITA (IMPLEX) PARA O

MODELO DE DRUCKER PRAGER

Oliver et al. (2008) propuseram um algoritmo de integração de tensões bastante robusto que é

uma simplificação do algoritmo implícito apresentado na seção anterior. A idéia é diminuir a

não linearidade do algoritmo de retorno estimando o multiplicador plástico a partir das

tensões, deformações e variáveis de história do passo anterior. Desta forma não é mais

necessário calcular as derivadas do multiplicador plástico, simplificando o algoritmo de

integração e a obtenção da matriz tangente consistente. Claro, com esta simplificação paga-se

o preço de não se cumprir exatamente a condição de consistência, o que pode ser minimizado

com a adoção de incremento de carga (ou passos de tempo) menores. Também para

problemas onde se tem estados de tensões uniformes na malha, como nos casos de reprodução

de ensaios, o algoritmo proposto por Oliver et al. (2008) apresenta oscilações que os autores

também mostram que podem ser controladas com o tamanhos de passos de tempo dados

durante a análise de elementos finitos.

No presente trabalho o algoritmo de Oliver et al. (2008) foi modificado e propõe-se uma nova

maneira de estimar o multiplicador plástico, que permanece constante no algoritmo de retorno

(não precisando ser derivado), e elimina as oscilações observadas pelos autores do algoritmo

original para problemas de estados de tensões uniformes. Essa melhor aproximação do

multiplicador plástico no algoritmo de retorno também resulta numa menor violação da

condição de consistência.

No algoritmo proposto por Oliver et al. (2008), o algoritmo de retorno é o mesmo da seção

anterior para integração implícita, porém faz-se uma extrapolação explícita do multiplicador

plástico do passo atual ( 1+nγ ) escalonado pelos incrementos de tempos dos passos atual

)( 1+∆ nt e anterior ( nt∆ ). Da seguinte forma:

nn

nn

t

t γγ∆

∆=+

+1

1

(3.98)


48

No algoritmo proposto neste trabalho, calcula-se a estimativa do multiplicador plástico a

partir da projeção das deformações totais do tempo anterior:

Posteriormente, com esta projeção das deformações totais estima-se um estado de tensões

trial:

Vale ressaltar que este estado de tensões trial *

1trialn+σ é projetado a partir do estado de tensões

nσ , convergido do passo de tempo anterior, o que irá melhorar a estimativa do multiplicador

com relação ao proposto por Oliver et al. (2008) na equação (3.99). Assim, com base no

estado de tensões trial *

1trialn+σ verifica-se o estado de plastificação do material:

e, caso haja violação da superfície de fluência, obtém-se o multiplicador plástico para o passo

de tempo atual:

Todo o resto do algoritmo para o método IMPLEX é igual à integração implícita apresentada

na seção anterior. Porém, a matriz tangente consistente tem seu cálculo bastante simplificado

uma vez que o multiplicador plástico foi calculado com valores do passo de tempo anterior

nn

n

n t

tεε ∆

∆∆=∆

+

+

1*

1 (3.99)

*1

*1 : ++ ∆+= n

en

trialn εDσσ

(3.100)

cpf trialn

trialn

trial ξη −+= ++*

1*

1*

22

S

(3.101)

)(

*1

ηηγ

KG

f trialn

+=+

(3.102)


49

(convergido) e sua derivada é zero (Oliver et al., 2008), tornando o sistema muito mais

robusto do ponto de vista computacional.

Com a simplificação introduzida pelo algoritmo IMPLEX, a matriz consistente elasto-plástica

resulta em:

E, novamente, se elástico 1+nγ = 0 e recupera-se a matriz elástica.


O algoritmo implícito Backward-Euler com as alterações sugeridas para as estimativas

simplificadas do multiplicador plástico é resumido a seguir:

1) Base de Dados


[ ]1

11

31

2

−+

−

⊗−

⊗−+=SS

SS

11IS

neep DD

γ

(3.103)

npnnnn γ; ; ; ; 1 εεεσ ∆∆ +

ψφν ,,,, cE

(3.104)


50

2) Se IMPLEX, estima-se o multiplicador plástico

3) Estado trial definitivo para ambos algoritmos (Implícito e IMPLEX)

4) Se implícito, calcula multiplicador plástico.

)21(3 ν−= E

K

)1(2 ν+= E

G

(3.105)

Oliver et al. (2008): nn

nn

t

t γγ∆

∆=+

+1

1

(3.103)

Presente trabalho

nn

n

n t

tεε ∆

∆∆=∆

+

+

1*

1 *

1*

1 : ++ ∆+= ne

ntrialn εDσσ

cpf trialn

trialn

trial ξη −+= ++*

1*

1*

22

S

)(

*1

ηηγ

KG

f trialn

+=+

(3.104)

11 : ++ ∆+= ne

ntrialn εDσσ (3.105)

cpf trialn

trialn

trial ξη −+= ++ 1122

S

(3.106)


51

5) Verifica se passo é elástico ou elasto-plástico.

6) Verifica tensão no vértice.

Fim

)(1

ηηγ

KG

f trialn

+=+

(3.103)

Se

0≤trialf

(3.104)

Então

=∆

= ++

0

11

p

trialnn

ε

σσ

(3.105)

Senão

∆−=∂∂=∆

+=

++

+

+

peptrialnn

np

trialn

g

KG

f

εDσσ

σε

:

)(

11

1

1

γ

ηηγ

(3.106)

Se

1

2+< n

trial

γS

(3.107)

Então [ ]

−=∆

=

+−

+

)(: 1

1

1

nnepp

n

c

σσ

ηξσ

Dε

(3.108)


52

4. CASOS ANALISADOS

Os casos analisados neste capítulo têm como objetivo verificar a funcionalidade e eficiência

dos algoritmos implementados.

Primeiramente foi simulado um exemplo de um cilindro sujeito a uma pressão interna,

segundo o modelo de von Mises, para este caso os resultados obtidos foram comparados com

uma solução prevista na literatura.

Em seguida foram simulados um ensaio triaxial e dois problemas característicos da mecânica

dos solos, o estudo da estabilidade de um talude vertical e uma perfuração de poço horizontal

em rocha frágil. Estes problemas foram simulados segundo o critério de Drucker Prager

implementado, o modelo Drucker Prager escolhido para as simulação foi o que se aproxima à

superfície de Mohr Coulomb pela coincidência dos vértices externos (cone de compressão).

4.1. EXPANSÃO DE CAVIDADE CILÍNDRICA

Na presente seção serão apresentados os resultados de um exemplo numérico obtido pelo

algoritmo de integração implícita para o modelo de von Mises. Possibilitando, então, a

verificação do seu desempenho e funcionalidade.

O exemplo numérico analisado consiste na simulação do comportamento de um cilindro

metálico com as paredes espessas sujeitas a uma pressão interna. A pressão P, prescrita na

superfície interna é aumentada gradualmente até a carga de colapso (carga limite) ser

alcançada. A plastificação começa na superfície interna e desenvolve-se gradualmente na

forma de uma frente de plastificação cilíndrica em direção a face externa do cilindro. O

colapso ocorre quando a frente de plastificação alcança a face externa e o cilindro torna-se


53

inteiramente plastificado. Ao atingir a carga limite, o cilindro pode expandir-se

indefinidamente sem qualquer acréscimo de carga aplicada.

Hill (1950) propõe uma solução analítica fechada para este problema, onde a carga aplicada

para um determinado raio c da frente de plastificação pode ser expresso por:

onde, para o modelo de von Mises:

A carga limite pode ser determinada pela equação:

A simulação numérica deste problema foi obtida por meio do algoritmo de integração

implícita implementado para o critério de plastificação de von Mises, neste caso foi

considerada plasticidade perfeita.

A geometria e condições de contorno do problema estão esquematizadas na figura 4.1 e as

propriedades do material estão listadas na tabela 4.1. A malha de elementos finitos adotada é

mostrada nafigura 4.2. Devido à simetria, apenas um quarto da geometria do problema foi

discretizado, com as devidas restrições de movimento impostas nos nós externos.

−+

= 2

2

12

1ln

b

c

a

c

Y

P

(4.1)

3

yYσ

=

(4.2)

=a

bP y ln

3

2lim

σ

(4.3)


54

Figura 4. 1 - Geometria do problema de cavidade cilíndrica

Tabela 4.1 - Parâmetros do material do cilindro

Parâmetros

Módulo de Elasticidade (E)

Coeficiente de Poisson (ν)

Tensão de escoamento (σy)

b a

210 GPa 0,3 0,24 GPa 200 mm 100 mm

– 400 elementos do tipo quadrilátero

com quatro nós (pontos de

integração de Gauss).

– Total de 451 nós.

Figura 4. 2 - Malha de elementos finitos


55

Para as dimensões e parâmetros do problema, obtém-se o seguinte valor da carga limite,

calculado por meio da equação (4.3):

Na figura 4.3 são plotados os resultados numéricos obtidos, bem como uma projeção do valor

da carga limite (Equação 4.4), pode ser observado que a carga de colapso da solução numérica

atinge um valor que se aproxima razoavelmente daquele previsto pela solução de Hill (1950).

A solução em elementos finitos utilizada atinge o colapso quando as condições de equilíbrio

não podem mais serem alcançadas e as iterações globais do algoritmo não convergem.

Figura 4.3 - Curva carga-deslocamento

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Pre

ssão

inte

rna

(GP

a)

Deslocamento radial (mm)

Solução numérica

Projeção da carga limite

GPa 192,0lim =P (4.4)

GPa 202,0lim =numéricoP (4.5)


56

Com base nos resultados obtidos, verifica-se que o algoritmo de integração implícita utilizado

apresenta uma aproximação satisfatória em relação à solução analítica para o valor de carga

limite.

4.2. ENSAIO TRIAXIAL

Para ilustrar o melhoramento proporcionado pelo algoritmo proposto neste trabalho, que

modificou o algoritmo IMPLEX original apresentado por Olivier et al, 2008, realizou-se um

ensaio triaxial CU (consolidado e não drenado) para uma material com os parâmetros

apresentados na tabela 4.2. A geometria do problema e a malha de elementos finitos utilizada

são mostradas na figura 4.4, a malha consta de 25 elementos quadrático e 36 pontos nodais,

considerando a simetria do problema, apenas um quarto da amostra é modelado.

Figura 4.4 - Esquema do ensaio triaxial


57

Neste ensaio a amostra saturada de água é confinada a uma tensão de célula de 0,3 MPa e

posteriormente aplica-se uma taxa de deslocamento vertical de smx / 102 7− comprimindo a

amostra.

Tabela 4.2 -Propriedades do material do ensaio triaxial

Parâmetros

Módulo de Elasticidade (E)

Coeficiente de Poisson (ν)

Ângulo de atrito Ângulo de dilatancia

Coesão

100 MPa 0,30 30° 30° 0,30 MPa

Nas figuras 4.5 e 4.6 observa-se no espaço das tensões médias efetivas versus tensões de von

Mises que há uma fase inicial elástica não drenada, onde a trajetória de tensões é vertical,

paralela ao eixo das tensões de von Mises.

Posteriormente, quando o estado de tensões atinge a envoltória de Drucker Prager, o efeito de

dilatancia deste modelo, sob condição não drenada, induz uma geração de poso-pressões

negativas que fazem com que o estado se tensões siga a envoltória no sentido positivo da

tensão média efetiva.

Figura 4. 5 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)

Olivier et al (2008) com sxt 4105=∆


Presente trabalho com sxt 4105=∆


58

Figura 4. 6 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)

Observa-se nas figuras 4.5 e 4.6 que os resultados da simulação do ensaio com o algoritmo

IMPLEX original proposto por Olivier et al (2008) dependem claramente do tamanho do

passo de tempo. Quando considerados maiores valores de incrementos de tempo, a trajetória

de tensões viola significativamente a envoltória de Drucker Prager.

O mesmo ensaio, foi simulado segundo a alteração proposta pelo presente trabalho para o

IMPLEX (Olivier et al, 2008) e, para este caso, o algoritmo não apresentou sensibilidade

significativa em relação ao tamanho do passo de tempo, e a trajetória de tensões não viola a

superfície de fluência mesmo para maiores valores de incrementos de tempo

4.3. ANÁLISE DE TALUDE VERTICAL

Segundo Caputo (1987) o termo talude compreende qualquer superfície que limita um maciço

de solo ou rocha. O estudo da estabilidade de taludes constituem um dos maiores problemas

da Mecânica dos Solos no que se refere a previsão do seu mecanismo de evolução com o

tempo.






59

As forças devido ao peso próprio dos solos são responsáveis por causar instabilidade nos

diversos tipos de taludes. No caso estudado é feita uma análise de estabilidade, quanto à

ruptura, de um talude vertical com de 10 metros de altura, através do modelo elasto-plástico

de Drucker Prager implementado de forma a verificar sua eficiência, pois se trata de um

problema que exige um grande custo computacional.

A análise é feita verificando a formação da superfície de ruptura do talude através da

distribuição das deformações plásticas.

A simulação do carregamento do material do talude é feita através do aumento, com o tempo,

da força de gravidade aplicada. Para esta análise foi adotado um fator de gravidade (Fg)

variando entre zero 0 e 4,5.

A altura crítica do talude é calulada pela expressão analítica (4.7) definida por Terzaghi

(Caputo, 1987) para taludes verticais, em função do peso próprio e que leva em conta o

aparecimento de fendas de tração no topo do talude.

Neste caso a ruptura deverá ter início quando a condição de altura crítica não for mais

satisfeita. O problema físico está esquematizado na figura 4.7 e as propriedades do material

estão descritos na tabela 4.3.

5,40 ≤≤ gF (4.6)

+°=2

45tan67,2 φγ

cHcrit (4.7)


60

Figura 4. 7 -Geometria e condições de contorno do problema

Tabela 4 3 – Parâmetros do Problema de Talude Vertical

Parâmetros

porosidade E (MPa) c (MPa) φ ψ ν sρ (kg/m³)

0,20 5x104 0,30 30° 30° 0,30 1872,25

A malha discretizada para o programa de elementos finitos, mostrada na figura 4.8, é

composta por 2500 elementos quadráticos de quatro nós, que somam 2601 nós.


61

Figura 4. 8 - Malha de elementos finitos

O fator Fg representa o fator de gravidade aplicado ao longo do tempo. Este fator leva ao

aumento incremental do peso próprio do material definido pela equação (4.8).

Onde γt é o peso próprio do talude, ρs é o peso específico do solo e g é a aceleração da

gravidade, cujo valor de referência é de 10,0m/s².

Segundo a solução analítica de Terzaghi para determinação da altura crítica de taludes

verticais, o caso analisado apresentaria comportamento de ruptura para um fator Fg de 2,5,

como pode ser observado na figura 4.9. Para o Fg de 2,5 a altura crítica atinge o valor de 10

metros (altura do talude), portanto para valores de Fg maiores que 2,5 a altura crítica será

menor do que a altura do talude.

gFgst ..ργ = (4.8)


62

Figura 4. 9 - Variação da altura crítica do talude com o fator de gravidade

Os resultados obtidos com a simulação numérica mostraram-se coerentes com a previsão da

solução analítica. As figuras 4.10 e 4.11 apresentam as evoluções dos deslocamentos

horizontais e verticais, respectivamente. Podemos observar que, para o fator de gravidade de

2,5, corre um aumento brusco dos deslocamentos, decorrente do processo de ruptura do

material.

Figura 4. 10 - Evolução dos deslocamentos horizontais com o fator de gravidade

-10

10

30

50

70

90

110

1300 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Altu

ra C

rític

a (m

)

Fator de Gravidade (Fg)

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

0 1 2 3 4 5

Des

loca

men

to H

oriz

onta

l (m

)

Fator de Gravidade

Nó 1

Nó 191

Nó 1852


63

Figura 4. 11 - Evolução dos deslocamentos verticais com o fator de gravidade

O mesmo comportamento pode ser observado na evolução das deformações plásticas

cisalhantes e volumétricas mostradas nas figuras 4.12 e 4.13.

-3,00E-03

-2,50E-03

-2,00E-03

-1,50E-03

-1,00E-03

-5,00E-04

0,00E+00

0 1 2 3 4 5

Des

loca

men

to V

ertic

al (

m)

Fator de Gravidade

Nó 1

Nó 191

Nó 1852


64

Figura 4.12 - Evolução das deformações plásticas cisalhantes com o fator de gravidade

Figura 4 13 - Evolução das deformações plásticas volumétricas com o fator de gravidade

A seguir serão apresentados os resultados gráficos obtidos por meio do pós-processador GiD.

As figuras 4.14 e 4.15 ilustram os deslocamentos totais e os vetores de deslocamento,

respectivamente.

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

3,00E-03

4,00E-03

5,00E-03

6,00E-03

7,00E-03

8,00E-03

0 1 2 3 4 5

Def

orm

açõe

s P

lást

icas

Cis

alha

ntes

Fator de Gravidade

Elemento 1701

Elemento 2445

Elemento 2499

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0 1 2 3 4 5

Def

orm

açõe

s P

lást

icas

Vol

umét

ricas

Fator de Gravidade

Elemento 1701

Elemento 2445

Elemento 2499


65

Figura 4.14 - Distribuição dos deslocamentos

Figura 4.15 - Vetores de deslocamento

A formação da superfície de ruptura pode ser observada nas figuras 4.16 e 4.17, que mostram

a distribuição das deformações plásticas cisalhantes e volumétricas, respectivamente.

Figura 4.16 - Deformações plásticas cisalhantes

Figura 4.17 - Deformações plásticas volumétricas

A variação da porosidade do material segue a forma da superfície de colapso, como mostra a

figura 4.18, aumentando nas áreas plastificadas devido ao comportamento dilatante do

material.


66

Figura 4. 18 – Distribuição de porosidade

A figura 4.19 apresenta a análise das trajetórias de tensões em termos de tensão média e

tensão de von Mises, bem como a envoltória de Drucker Prager. Em todos os elementos

analisados, a trajetória de tensões toca a superfície de fluência, confirmando que o material

está sob regime plástico. É possível observar também que, para o caso analisado segundo o

algoritmo IMPLEX com modificação proposta por este trabalho, as trajetórias de tensões não

violam a superfície de fluência.


67

Figura 4. 19 - Trajetória de tensões para o caso do talude vertical

Para o problema do talude vertical, o algoritmo implementado apresentou resultados

satisfatórios, sendo coerente com a solução analítica proposta por Therzaghi. O algoritmo

também não apresentou problemas de convergência, mesmo sendo um caso que leva a ruptura

do material.

4.4. PERFURAÇÃO DE POÇO

A instabilidade de poços durante o processo de perfuração é uma questões de grande

relevância para a engenharia de petróleo. De acordo com Steiger & Leung (1992) 90 % dos

problemas em poços ocorrem quando se perfura folhelhos, rochas sedimentares bastante

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

-1,00E+00 0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00

Te

nsã

o D

esv

iad

ora

(M

Pa

)

Tensão média (MPa)

Elemento 1701

Elemento 2445

Elemento 2499

Envoltória de Drucker-Prager


68

abundantes nas regiões produtoras e que geralmente apresentam baixas resistência mecânica e

permeabilidade. (Sousa et al, 2005).

De acordo com Souley et al (2001) e Hajiabdolmajid et al (2002), o processo de escavação

em meios rochosos induzem uma redistribuição do estado de tensões no maciço que acarreta

no fissuramento das regiões próximas à execução da perfuração. O aparecimento de fissuras

conduz a um aumento na permeabilidade da rocha que, por sua vez, afeta da redistribuição das

poro-pressões.

Na presente seção, foi executada a modelagem da perfuração de um poço horizontal em

maciço rochoso frágil (folhelho) cujos parâmetros físicos estão listados na Tabela 4. 4. a

geometria do problema (discretizada para o programa de elementos finitos em 2066 elementos

quadráticos de quatro nós, que somam 2135 pontos de integração de Gauss) bem como as

condições de contorno e de carregamento são mostradas na Figura 4.20 a relação entre

variações na permeabilidade em função das alterações da porosidade é determinada pela

equação (2.49)

Para simular tal problema de forma acoplada (equações hidráulicas e mecânicas) foi utilizado

o algoritmo de integração IMPLEX para o modelo de Drucker Prager.


69

Figura 4.20 - Geometria do problema e malha de elementos finitos

Tabela 4. 4 - Parâmetros do material do maciço escavado

Parâmetros

Módulo de Young 5400 MPa

Coeficiente de Poisson 0,35

Parâmetro de Biot-Willis 1,00

Permeabilidade intrínseca inicial 10-17 cm/s

Porosidade inicial 0,20

Coesão 1,0 MPa

Pressão de poros inicial (P0) 25 MPa

Pressão de fluido aplicada na perfuração 30 MPa

Ângulo de atrito (ϕ) 30°

Ângulo de dilatância (ψ) 30°


70

É importante ressaltar que o estado de pressão do fluido injetado é superior ao valor inicial

característico da formação. Sousa & Guimarães (2005) relatam que a injeção de um fluido

pressurizado durante o processo de perfuração de um poço constitui-se como uma condição de

contorno mecânica e hidráulica.

A figura 4.21 mostra a evolução da frente de plastificação do material, nota-se que devido ao

estado geoestático a zona plastificada não se distribui uniformemente ao longo da parede do

poço. Tal comportamento influenciará a redistribuição da porosidade e permeabilidade no

meio e o regime de fluxo em torno do poço.

Figura 4.21 - Deformações plásticas desviadoras

Devido a essa distribuição não uniforme de tensões pode ocorrer o break-out, que segundo

Rocha et al (2007) são zonas de desmoronamento e ruptura por cisalhamento em lados

opostos do poço que se dá no ponto de maior diferencial de tensão e na direção da menor

tensão, que para o caso deste poço a tensão principal menor é a horizontal. A figura 4.22

mostra uma imagem de ultrassom de um poço que sofreu break-out, tal fenômeno muda a

seção do poço de circular para elíptica.


71

Figura 4.22 - Imagem ultrasônica de perfil de poço apresentando breakout na direção da tensão principal menor no plano normal ao poço.

Na figura 4.23 é mostrada a variação de porosidade e a figura 4.24 apresenta a variação do

campo de permeabilidade para o caso analisado, onde é possível visualizar a formação de um

caminho preferencial de fluxo na direção horizontal, onde houve aumento da permeabilidade.

Conforme apresentado na figura 4.25, a frente de avanço das poro-pressões se desenvolve

mais rápido nas zonas plastificadas do meio poroso. Por esta razão a consideração da

permeabilidade como dependente do estado tensão-deformação do material consiste em um

importante acoplamento entre os comportamentos hidráulico e mecânico da rocha.


72

Figura 4. 23 - Variação de porosidade

Figura 4. 24 - Variação de permeabilidade


73

Figura 4. 25 - Distribuição da pressão de líquido

A figura 4.26 apresenta a análise das trajetórias de tensões em termos de tensão média efetiva

e tensão de von Mises, bem como a envoltória de Drucker Prager para os parâmetros

considerados no problema.

Figura 4.26 - Trajetória de tensões

0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01

8,00E+01

9,00E+01

0,00E+00 1,00E+01 2,00E+01 3,00E+01 4,00E+01 5,00E+01 6,00E+01 7,00E+01

Te

nsã

o c

isa

lha

nte

(M

Pa

)

Tensão média (MPa)

Elemento 690

Elemento 1118

Elemento 1122

Elemento 1125

Envoltória


74

Em todos os elementos analisados, a trajetória de tensões toca a superfície de fluência,

confirmando que o material está se deformando irreversivelmente (deformações plásticas).

Portanto para essa simulação acoplada, segundo o algoritmo IMPLEX implementado, as

trajetórias de tensões extrapolam a superfície de fluência, isto pode ocorrer devido ao fato

que, com as simplificações do IMPLEX, a condição de consistência não é exatamente

satisfeita. Apesar do aumento de eficiência computacional e da melhora na convergência do

código que o algoritmo IMPLEX proporciona, é preciso estar atento ao tamanho dos passos

de tempo escolhidos, problemas como o descrito anteriormente podem ser minimizado com a

adoção de incrementos de carga (ou passos de tempo) menores.


75

5. CONCLUSÕES

Neste trabalho foram implementados, no código de elementos finitos CODE_BRIGHT, os

algoritmos de integração implícita de tensões para os modelos constitutivos elasto-plásticos

de von Mises (Simo & Hughes, 1998) e de Drucker-Prager. (Souza Neto et al 2008). Foi

implementado ainda uma simplificação no algoritmo de integração implícita por meio de uma

projeção explícita do multiplicador plástico, denominado IMPLEX (Oliver et al., 2008).

O presente trabalho também propõe uma modificação no algoritmo IMPLEX, com objetivo de

eliminar as oscilações observadas pelos autores do algoritmo original para problemas de

estados de tensões uniformes, tal modificação permite uma melhor aproximação do

multiplicador plástico no algoritmo de retorno e resulta numa menor violação da condição de

consistência.

Em seguida foram selecionados e modelados problemas com o objetivo de verificar a

eficiência dos algoritmos implementados.

Para o modelo de von Mises, foi simulado um caso de expansão de cavidade cilíndrica e os

resultados obtidos se aproximaram da solução analítica prevista por Hill (1950) para problema

semelhante portanto verificou-se a funcionalidade do algoritmo implementado.

Também foram simulados um ensaio triaxial e dois problemas característicos da mecânica dos

solos, o estudo da estabilidade de um talude vertical e uma perfuração de poço horizontal em

rocha frágil. Estes problemas foram simulados segundo algoritmo IMPLEX (Olivier et al ,

2008) do modelo de Drucker Prager.

Na simulação do ensaio triaxial pode-se observar o melhoramento do algoritmo, uma vez que

os resultados obtido pelo IMPLEX original, proposto por Olivier et al, (2008), apresenta uma

dependência significativa do tamanho do passo de tempo, ao contrário do proposto neste

trabalho

Para o problema do talude vertical, os resultados foram coerentes com a solução analítica

proposta por Therzaghi e, neste caso, as trajetórias de tensões não extrapolaram a superfície


76

de fluência, além disso, o algoritmo não apresentou problemas de convergência, mesmo sendo

uma caso que evolui para a ruptura do material.

No problema da escavação do poço foi possível identificar a formação de um caminho

preferencial de fluxo na direção horizontal, onde houve maior plastificação do material,

porém para essa simulação, as trajetórias de tensões violaram a superfície de fluência.

Essa violação da envoltória de Drucker Prager deve-se ao fato que, devido às simplificações

do IMPLEX, a condição de consistência não é exatamente satisfeita, problemas dessa

natureza podem ser minimizado com a adoção de incremento de carga (ou passos de tempo)

menores.

Pode-se concluir que esse controle mais rígido do tamanho do passo tempo faz-se necessário,

principalmente se os problemas simulados são de maior complexidade ou se envolvem

diferentes acoplamentos.

5.1. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Como proposta de continuidade ao trabalho desenvolvido propõe-se verificar a eficiência e

convergência do algoritmo IMPLEX (Olivier, 2008) e a sua modificação proposta quanto à

simulação de problemas de maior porte.

Sendo o IMPLEX, um algoritmo com grande capacidade de convergência é possível

acrescentar diferentes acoplamentos, como térmico e químico contribuindo assim para uma

maior robustez do código CODE_BRIGHT. E como forma de possibilitar a simulação de uma

gama maior de fenômenos geotécnicos.pode-se acrescentar leis de endurecimento e

amolecimento ao modelo de Drucker Prager,bem como incluir nessa formulação implícita

outros modelos constitutivos de solos, como o Morh Coulomb, Cam Clay e BBM


77

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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