Implementação e validação de modelos elásticos não ... · 4. Implementação dos Modelos...

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  • Implementao e validao de modelos elsticos no lineares para

    simular o comportamento dos solos

    Ana Rita Parente Mariquitos

    Dissertao para obteno do Grau de Mestre

    Engenharia Civil

    Orientadora: Professora Doutora Teresa Maria Bodas de Arajo Freitas

    Jri

    Presidente: Professora Doutora Maria Rafaela Pinheiro Cardoso

    Orientadora: Professora Doutora Teresa Maria Bodas de Arajo Freitas

    Vogal: Professor Doutor Rui Pedro Carrilho Gomes

    Julho 2017

  • ii

  • iii

    Resumo

    Nas ltimas dcadas a prtica de engenharia geotcnica evoluiu de forma a ser possvel a modelao numrica

    e consequente anlise, atravs do mtodo numricos, de estruturas complexas, bem como problemas de

    interaco solo/estrutura.

    Os mtodos numricos so uma ferramenta com grande potencial de utilizao, mas a validade dos resultados

    que se obtm pela sua aplicao dependem muito dos modelos constitutivos adoptados para descrever o

    comportamento dos geomateriais.

    Nesta dissertao analisam-se os diversos elementos necessrios formulao de modelos constitutivos

    utilizados para reproduzir o comportamento do solo e implementam-se equaes constitutivas em formato

    incremental de dois modelos elsticos no-lineares: modelo K-G e modelo de Jardine (tambm conhecido por

    small strain stiffness model), no software de clculo automtico comercial, PLAXIS. A validao destes modelos

    feita atravs da simulao de ensaios laboratoriais. Adicionalmente, foram instalados dois algoritmos de

    integrao o algoritmo de Euler e de Euler Modificado com e sem substepping e comparado o seu

    desempenho.

    Palavras chave: Modelo de Jardine, Modelo K-G, Mtodo dos Elementos Finitos, Algoritmos de Integrao de

    Tenses

  • iv

  • v

    Abstract

    In the last decades the practice of geotechnical engineering has evolved in a way that it is now possible to

    model and analyze complex structures as well as soil / structure interaction problems through numerical

    modeling (for instance: using the finite element method or finite differences).

    Numerical methods are a tool with great potential, but the validity of the results obtained by their application

    depends on the constitutive models adopted to describe the behavior of the geomaterials.

    This dissertation summarizes the various elements necessary for the formulation of constitutive models used to

    reproduce soil behavior, as well as the implementation of constitutive equations in an incremental format for

    two non-linear elastic models: K-G model and Jardine model (also known as small strain stiffness model), in the

    commercial software, PLAXIS. The validation of these models is done through the simulation of laboratory

    tests. In addition, two algorithms for stress integration Euler and Modified Euler, with and without

    substepping - were implemented and compared.

    Key words: Small Strain Stiffness Model, K-G Model, Finite Element Method, Stress Integration Algorithms

  • vi

  • vii

    Agradecimentos

    A elaborao desta dissertao tornou-se apenas possvel graas orientao da Professora Teresa Freitas, pelo

    apoio e encorajamento demonstrado ao longo deste percurso cheio de obstculos.

    Agradeo minha famlia por me terem apoiado ao longo do curso. Aos meus amigos, pelas palavras de

    incentivo e por me pedirem para explicar o tema da dissertao inmeras vezes.

    Dedico esta dissertao aos meus avs, infelizmente aos que j no se encontram presentes e minha av

    Lurdes. Obrigado por sempre me apoiarem nas minhas escolhas e me incentivarem a prosseguir o caminho que

    escolhi, sem reprovaes.

    Por ltimo, agradeo ao Joo, por pacientemente me ter ajudado com a programao (e fornecido o

    computador compilador!) e me ter emprestado um ouvido amigo em alturas crticas. Quando tudo parecia

    funcionar ao contrrio, o seu apoio incondicional foi fundamental para a concluso desta dissertao.

  • viii

  • ix

    ndice

    Resumo ........................................................................................................................................................... iii

    Abstract ........................................................................................................................................................... v

    Agradecimentos ............................................................................................................................................. vii

    ndice de figuras .............................................................................................................................................. xi

    ndice de Quadros ...........................................................................................................................................xv

    Simbologia e Notaes .................................................................................................................................. xvii

    1. Introduo ............................................................................................................................................... 1

    Consideraes Gerais .......................................................................................................................... 1 1.1.

    Objectivos ............................................................................................................................................ 2 1.2.

    Estrutura da Dissertao ..................................................................................................................... 2 1.3.

    2. Consideraes sobre o Mtodo dos Elementos Finitos ............................................................................. 5

    Princpios do Mtodo de Elementos Finitos ........................................................................................ 5 2.1.

    Mtodo de Newton-Raphson .............................................................................................................. 7 2.2.

    Algoritmos de Integrao de Tenses................................................................................................ 10 2.3.

    Algoritmos de Integrao de Tenses ................................................................................. 10 2.3.1.

    Algoritmos de Integrao utilizado pelo software PLAXIS .................................................. 13 2.3.2.

    3. Consideraes Gerais sobre alguns Modelos Constitutivos dos Solos ..................................................... 15

    Enquadramento Geral ....................................................................................................................... 15 3.1.

    Modelo Elstico Linear ...................................................................................................................... 17 3.2.

    Modelos Elsticos No-Lineares ........................................................................................................ 18 3.3.

    Modelo K-G ......................................................................................................................... 18 3.3.1.

    Modelo de Jardine ............................................................................................................... 20 3.3.2.

    Introduo aos Modelos Elastoplsticos ........................................................................................... 22 3.4.

    Funo de cedncia ............................................................................................................. 23 3.4.1.

    Funo de potencial plstico ............................................................................................... 24 3.4.2.

    Leis de endurecimento e amolecimento ............................................................................. 25 3.4.3.

    Matriz Constitutiva Elastoplstica ....................................................................................... 26 3.4.4.

    Critrios de Rotura .............................................................................................................. 28 3.4.5.

    4. Implementao dos Modelos Constitutivos no PLAXIS ........................................................................... 35

  • x

    Introduo ......................................................................................................................................... 35 4.1.

    Estrutura Geral dos Modelos definidos pelo Utilizador..................................................................... 36 4.2.

    Modelo Elstico Linear ...................................................................................................................... 39 4.3.

    5. Implementao e Validao do Modelo K-G ........................................................................................... 41

    Formulao das Equaes Constitutivas ........................................................................................... 41 5.1.

    Implementao do Modelo K-G no software PLAXIS ........................................................................ 42 5.2.

    Estrutura da Subrotina do Modelo K-G ............................................................................................. 42 5.2.1.

    Implementao de Algoritmos (em IDTASK 2) .................................................................... 44 5.2.2.

    Modelao de Ensaios de Corte em Compresso Triaxial ................................................... 48 5.2.3.

    Validao do Modelo K-G .................................................................................................................. 51 5.3.

    Mtodo de Euler com diferentes nmeros de ciclos .......................................................... 51 5.3.1.

    Mtodo de Modificado de Euler com diferentes nmeros de ciclos .................................. 57 5.3.2.

    Comparao entre algoritmos do Mtodo de Euler e Mtodo Modificado de Euler ......... 62 5.3.3.

    6. Implementao e Validao do Modelo de Jardine ................................................................................ 65

    Formulao das Equaes Constitutivas ........................................................................................... 65 6.1.

    Implementao do Modelo de Jardine no software PLAXIS .............................................................. 66 6.2.

    Estrutura da Subrotina do modelo de Jardine .................................................................... 66 6.2.1.

    Ensaios Triaxiais ................................................................................................................... 69 6.2.2.

    Validao do Modelo de Jardine ....................................................................................................... 69 6.3.

    Modelo de Jardine com Critrio de Rotura de Mohr-Coulomb .......................................... 70 6.3.1.

    7. Concluso .............................................................................................................................................. 75

    Consideraes Finais ......................................................................................................................... 75 7.1.

    Propostas de Desenvolvimentos Futuros .......................................................................................... 77 7.2.

    Referncias .................................................................................................................................................... 79

    Anexos ............................................................................................................................................................. A

  • xi

    ndice de figuras

    Figura 2.1 Exemplos de elementos finitos e pontos nodais .................................................................................... 6

    Figura 2.2 Acumulao de erro em cada incremento com algoritmo da Rigidez Tangente (adaptado de Potts,

    1999) ....................................................................................................................................................................... 8

    Figura 2.3 a) Representao do algoritmo do Mtodo de Newton-Raphson e b) algoritmo do Mtodo

    Modificado de Newton-Raphson ............................................................................................................................ 9

    Figura 2.4 Interpretao geomtrica do mtodo de Euler (adaptado de Chapra & Canale, 2015) ....................... 11

    Figura 2.5 Representao grfica do mtodo de Euler modificado (adaptado de Chapra & Canale, 2015) ......... 12

    Figura 3.1 Tenses num dado sistema de coordenadas e respectivas tenses principais .................................... 15

    Figura 3.2 - Exemplo esquemtico de um ensaio de corte simples com aumento da tenso de corte (adaptado

    de Lade, 2005) ....................................................................................................................................................... 18

    Figura 3.3 Modelo K-G .......................................................................................................................................... 19

    Figura 3.4 Curva caracterstica de rigidez-deformao do solo numa escala logartmica (adaptado de Thomas

    Benz, Schwab, & Vermeer, 2009) .......................................................................................................................... 20

    Figura 3.5 Projeco da curva: rigidez definida como uma funo trigonomtrica em funo da deformao

    (adaptado de Jardine et al., 1986) ........................................................................................................................ 21

    Figura 3.6 a) Material elastoplstico perfeito. b) Material elastoplstico com endurecimento. c) Material

    elastoplstico com amolecimento (adaptado de Cogliati, 2011) .......................................................................... 23

    Figura 3.7 Funo de cedncia (adaptado de Gavel-Solberg, 2014) ..................................................................... 24

    Figura 3.8 a) Superfcie de potencial plstico b) Curva de potencial plstico ....................................................... 25

    Figura 3.9 Tipos de endurecimento (adaptado de Potts & Zdravkovic, 1999) ...................................................... 26

    Figura 3.10 Crculo de Mohr Resistncia no drenada ....................................................................................... 28

    Figura 3.11 Critrio de rotura de Tresca no espao de tenses principais ............................................................ 29

    Figura 3.12 a) Critrio de rotura de Von Mises no espao de tenses principais e b) no plano deviatrico ........ 30

    Figura 3.13 Relao entre tenses de corte e tenses normais (adaptado de Holtz & Kovacs, 1981) ................. 30

    Figura 3.14 a) Envolvente de rotura de Mohr-Coulomb e b) e representao no espao de tenses principais

    (adaptado de Cogliati, 2011) ................................................................................................................................. 31

    Figura 3.15 a) Critrio de rotura de Drucker-Prager no espao de tenses principais e b) representao no plano

    deviatrico (Cogliati, 2011) ................................................................................................................................... 33

    Figura 4.1 Organizao generalizada da subrotina Usrmod .................................................................................. 36

  • xii

    Figura 4.2 a) Representao do problema utilizado para a validao do modelo linear elstico b) Malha de

    elementos finitos utilizada .................................................................................................................................... 40

    Figura 5.1 Fluxograma de IDTask 2 do modelo K-G ............................................................................................... 43

    Figura 5.2 Esquema do Mtodo de Euler no contexto do software ...................................................................... 45

    Figura 5.3 Fluxograma de IDTask 2 do modelo K-G com Mtodo de Euler ........................................................... 46

    Figura 5.4 Esquema do Mtodo Modificado de Euler no contexto do software .................................................. 47

    Figura 5.5 Fluxograma de IDTask 2 do modelo K-G com Mtodo Modificado de Euler ........................................ 48

    Figura 5.6 a) Esquema de um ensaio triaxial drenado no PLAXIS b) Exemplo de um problema axissimtrico

    (adaptado de Brinkgreve et al., 2002) ................................................................................................................... 49

    Figura 5.7 Relao entre deformao volumtrica e tenso mdia na fase de consolidao para diferentes

    nmeros de ciclos para p0=100 kPa (Mtodo de Euler, CD) ................................................................................. 52

    Figura 5.8 Trajectria das tenses para uma tenso de confinamento de 100, 200 e 300 kPa (Mtodo de Euler,

    CD) ......................................................................................................................................................................... 52

    Figura 5.9 Relao entre deformao volumtrica e deformao de corte na fase de corte para diferentes

    nmeros de ciclo para p0=100 kPa (Mtodo de Euler, CD) ................................................................................... 53

    Figura 5.10 Relao entre deformao de corte e tenso deviatrica na fase de corte para diferentes nmeros

    de ciclo para p0=100 kPa (Mtodo de Euler, CD) .................................................................................................. 53

    Figura 5.11 Relao entre deformao volumtrica e tenso mdia na fase de corte para diferentes nmeros de

    ciclo para p0=100 kPa (Mtodo de Euler, CD) ....................................................................................................... 54

    Figura 5.12 Efeito da tenso de confinamento na a) relao entre deformao de corte e deformao

    volumtrica e b) relao entre tenso de corte e deformao de corte ............................................................... 54

    Figura 5.13 Trajectria das tenses efectivas e totais para diferentes tenses de confinamento (Mtodo de

    Euler, CU) ............................................................................................................................................................... 55

    Figura 5.14 Relao entre deformao de corte e tenso deviatrica para diferentes nmeros de ciclos (Mtodo

    de Euler, CU) .......................................................................................................................................................... 56

    Figura 5.15 Relao entre deformao axial e excesso de presso neutra para diferentes nmeros de ciclo

    (Mtodo de Euler, CU) ........................................................................................................................................... 56

    Figura 5.16 Relao entre tenso mdia efectiva e deformao deviatrica na fase de consolidao para

    diferentes nmeros de ciclo para p0=100 kPa (Mtodo Modificado de Euler) ..................................................... 57

    Figura 5.17 Trajectrias das tenses totais para tenses de confinamento de 100, 200 e 300 kPa (Mtodo

    Modificado de Euler) ............................................................................................................................................. 58

  • xiii

    Figura 5.18 Relao entre deformao volumtrica e deformao deviatrica na fase de corte para diferentes

    nmeros de ciclo para p0=100 kPa (Mtodo Modificado de Euler) ...................................................................... 58

    Figura 5.19 Relao entre deformao deviatrica e tenso deviatrica na fase de corte para diferentes

    nmeros de ciclo para p0=100 kPa (Mtodo Modificado de Euler) ...................................................................... 59

    Figura 5.20 Relao entre deformao volumtrica e tenso mdia na fase de corte para diferentes nmeros de

    ciclo para p0=100 kPa (Mtodo Modificado de Euler) .......................................................................................... 59

    Figura 5.21 Trajectria das tenses efectivas e totais para diferentes tenses de confinamento (Mtodo

    Modificado de Euler, CU) ...................................................................................................................................... 60

    Figura 5.22 a) Relao entre deformao deviatrica e tenso deviatrica para diferentes nmeros de ciclos b)

    Relao entre deformao axial e excesso de presso intersticial para diferentes nmeros de ciclos (Mtodo

    Modificado de Euler, CU) ...................................................................................................................................... 61

    Figura 5.23 Resultados dos ensaios triaxiais drenados com tenso de confinamento 100 kPa para diferentes

    algoritmos com n iguais ........................................................................................................................................ 62

    Figura 5.24 Resultados dos ensaios triaxiais no drenados com tenso de confinamento 100 kPa para diferentes

    algoritmos com n iguais ........................................................................................................................................ 63

    Figura 6.1 Comparao da variao do mdulo de deformabilidade volumtrica e de corte normalizado entre

    modelao numrica e soluo aproximada do modelo de Jardine ..................................................................... 70

    Figura 6.2 Trajectrias das tenses para tenses de confinamento de 100, 200 e 300 kPa (Modelo de Jardine

    com Critrio de Rotura de Mohr-Coulomb b) Relao entre deformao volumtrica e deformao deviatrica

    na fase de corte para p0=100 kPa (CD) ................................................................................................................. 71

    Figura 6.3 Resultados dos ensaios triaxiais drenados na fase de corte para p0=100, 200 e 300 kPa do Modelo de

    Jardine com Critrio de Rotura de Mohr-Coulomb (CD) ....................................................................................... 71

    Figura 6.4 a) Trajectrias das tenses para tenso de confinamento de 100 kPa para =0 e b) =15 ............. 72

    Figura 6.5 a) Relao entre deformao deviatrica e tenso b) Relao entre excesso de tenso neutra e

    deformao vertical (CU) ...................................................................................................................................... 72

  • xiv

  • xv

    ndice de Quadros

    Quadro 5.1 Parmetros de entrada do modelo K-G .............................................................................................. 42

    Quadro 5.2 Parmetros de entrada do modelo K-G para ensaios triaxiais no PLAXIS .......................................... 51

    Quadro 5.3 Valores para a resistncia no drenada () para diferentes tenses de confinamento .................. 57

    Quadro 5.4 Valores para a resistncia drenada na rotura (Cu) para diferentes tenses de confinamento com

    Mtodo Modificado de Euler ................................................................................................................................ 61

    Quadro 6.1 Parmetros de entrada para o modelo de Jardine ............................................................................. 66

    Quadro 6.2 Diferentes estados de tenso e correspondente comutador (IArea) ................................................. 68

    Quadro 6.3 Parmetros de entrada do modelo de Jardine para ensaios triaxiais ................................................ 69

  • xvi

  • xvii

    Simbologia e Notaes

    Siglas

    CSP Current Stiffness Parameter

    LEC Linha do Estado Crtico

    MEF Mtodo dos Elementos Finitos

    TTE Trajectria das Tenses Efectivas

    TTT Trajectria das Tenses Totais

    ME Mtodo de Euler

    MEM Mtodo Euler Modificado

    Alfabeto Latino

    B Matriz da Funo de Forma diferenciada

    c Coeso efectiva

    D Matriz Constitutiva

    De Matriz de Rigidez Elstica

    Dp Matriz de Rigidez Plstica

    Dep

    Matriz de Rigidez Elastoplstica

    E Mdulo de Young

    E Mdulo de Young Drenado

    F Funo de cedncia

    FE Vector das Foras Nodais do Elemento

    FG Vector das Foras Nodais Global

    FEx Vector de Carga Externa

  • xviii

    FIn Vector de Carga Interna

    G Mdulo de Deformabilidade de Distoro

    Gt Mdulo de Deformabilidade de Distoro Tangente

    Gi Parmetro do modelo K-G

    K Mdulo de Deformabilidade Volumtrica

    Kt Mdulo de Deformabilidade Volumtrica Tangente

    Ku Mdulo de Deformabilidade Volumtrica No drenado

    Ki Parmetro do modelo K-G

    KE Matriz de Rigidez do Elemento

    KG Matriz de Rigidez Global

    N Matriz de Funes de interpolao

    ncycle Parmetro utilizado na subrotina K-G e Jardine

    p Tenso Mdia Isotrpica Total

    p Tenso Mdia Isotrpica Efectiva

    pc Tenso Mdia Isotrpica Efectiva no estado de tenso actual

    p0 Tenso de confinamento em ensaios triaxiais

    u Vector campo de deslocammentos

    Alfabeto Grego

    K Parmetro utilizado no modelo constitutivo K-G

    G Parmetro utilizado no modelo constitutivo K-G

    Operador

    G Parmetro utilizado no modelo constitutivo K-G

    Peso volmico

  • xix

    ngulo de Lode

    ngulo de Resistncia do Corte

    ngulo de Dilatncia

    Vector de deslocamentos nodais discretos do elemento

    Vector de deslocamentos nodais discretos global

    Vector das deformaes

    Vector da deformao elstica

    Vector da deformao plstica

    Deformao deviatrica

    Deformao de corte

    Deformao volumtrica

    Deformao volumtrica elstica

    Deformao volumtrica plstica

    Vector das tenses totais

    Vector das tenses constitutivas

    Vector das tenses trial stress

  • xx

  • 1

    1. Introduo

    Consideraes Gerais 1.1.

    Um dos pontos fulcrais em Geotecnia sempre foi prever e entender o comportamento dos geomateriais com

    preciso, nomeadamente a relao tenso-deformao dos solos. Para isso, diversos modelos foram

    desenvolvidos ao longo dos anos como resposta a este problema, com diferentes nveis de complexidade e

    baseados em princpios diferentes. Contudo, as lacunas e potencialidades destes modelos nem sempre so

    fceis de identificar por parte do utilizador assim como os requisitos necessrios para obteno dos

    parmetros dos modelos. De facto, quanto mais sofisticado o modelo de solo for, geralmente mais parmetros

    so necessrios definir. Muitos destes parmetros podem ser obtidos directamente a partir de ensaios

    convencionais (de laboratrio ou in situ), porm devido insuficincia de informao, a maior parte destes

    estimado ou correlacionado. Assim, torna-se uma tarefa complicada determinar qual o modelo que se deve

    seleccionar para um problema em concreto, especialmente se no se possuir experincia nem informao

    suficiente.

    Nas ltimas cinco dcadas a prtica de engenharia geotcnica evoluiu de forma a ser possvel a modelao

    numrica e consequente anlise (atravs do mtodo dos elementos finitos ou diferenas finitas do

    comportamento) de estruturas complexas, bem como problemas de interaco solo/estrutura permitindo por

    exemplo, reproduzir de forma expedita a totalidade do processo de construo. O nmero de utilizadores de

    programas baseados no mtodo dos elementos finitos aumentou drasticamente nos ltimos 15 anos,

    especialmente no estrato mais jovem. Isto deve-se principalmente comercializao em larga escala de

    software especializado aliada rpida evoluo tecnolgica e necessidade de se construir por exemplo em

    zonas urbanas onde a anlise da interaco entre a estrutura a dimensionar e as adjacentes mais relevante.

    Por essa razo, essencial que se entenda as potencialidades e limitaes dos modelos a ser utilizados, de

    forma a adoptar os parmetros correctos, interpretar de forma correcta os resultados computacionais e

    traduzir de forma eficaz estes resultados em solues para problemas geotcnicos.

    H ainda que ter presente que a informao fornecida por parte dos programas de clculo comerciais sobre a

    formulao e implementao dos modelos constitutivos por vezes pouco clara, o que dificulta

    adicionalmente a tarefa da escolha do modelo e respectivos parmetros.

  • 2

    Objectivos 1.2.

    Esta dissertao tem como objectivo a implementao e validao de dois modelos constitutivos utilizados

    para reproduzir o comportamento do solo, bem como apresentar de forma generalizada os diversos elementos

    necessrios para a formulao de diferentes tipos de modelos constitutivos (linear e no-linear elstico,

    elstico linear perfeitamente plstico).

    dado especial nfase a modelos constitutivos para solos baseados na elasticidade no-linear, como o caso

    do modelo K-G (Naylor et al., 1981) , cujos parmetros podem ser derivados a partir de ensaios laboratoriais

    convencionais, e o modelo de Jardine (Jardine et al., 1986), tambm conhecido por Small Strain Stiffness

    Model, cujos parmetros so obtidos directamente atravs dos resultados de ensaios triaxais no espectro das

    pequenas deformaes. O primeiro um modelo que reproduz a relao tenso-deformao desde o incio do

    carregamento at rotura (quando o mdulo de deformabilidade de distoro zero), enquanto o segundo

    define a relao tenso-deformao na gama das pequenas deformaes. Assim, proceder-se-

    implementao das equaes constitutivas destes modelos no programa de clculo comercial PLAXIS (verso

    8.2), bem como a sua validao atravs de anlises numricas destinadas a simular ensaios de laboratrio.

    Estrutura da Dissertao 1.3.

    A presente dissertao contm sete captulos principais.

    O primeiro captulo apresenta uma introduo aos temas discutidos nesta dissertao, bem como os objectivos

    que se pretendem alcanar e um breve resumo do contedo de cada captulo.

    No segundo captulo so tecidas consideraes gerais sobre o mtodo dos elementos finitos, nomeadamente

    uma breve descrio dos seus princpios e do seu enquadramento no contexto da engenharia geotcnica. So

    tambm abordadas as estratgias numricas empregues para a resoluo de problemas no-lineares.

    No terceiro captulo descrevem-se alguns modelos constitutivos, nomeadamente o modelo linear elstico e

    dois modelos no-lineares elsticos: modelo K-G e modelo de Jardine. Tambm so discutidos os conceitos

    necessrios formulao de um modelo elastoplstico, nomeadamente a funo de cedncia, a funo de

    potencial plstico e leis de endurecimento/amolecimento. So tambm apresentados os critrios de rotura

    mais utilizados na engenharia geotcnica.

    No quarto captulo realizada uma introduo ao processo de implementao de modelos constitutivos no

    software PLAXIS pelo utilizador.

    No quinto captulo procede-se formulao das equaes que descrevem o modelo K-G e consequente

    implementao no programa PLAXIS. Adicionalmente so considerados diferentes algoritmos de integrao da

    trajectria de tenses e o seu desempenho comparado. Para validao deste modelo, realizaram-se vrias

  • 3

    anlises numricas que simulam ensaios triaxiais a tenses de confinamento distintas, de forma a avaliar as

    capacidades e limitaes do modelo.

    No sexto captulo, de forma anloga ao captulo anterior, prossegue-se formulao das equaes que

    descrevem o modelo de Jardine e posterior implementao no PLAXIS. Este modelo combinado com o

    critrio de rotura de Mohr-Coulomb, permitindo assim formular um modelo elstico no-linear perfeitamente

    plstico, para descrever o comportamento do solo desde pequenas deformaes at rotura. Como validao,

    realizaram-se simulaes numricas de ensaios triaxiais com parmetros retirados da literatura para areia

    aluvionar de Londres.

    Por ltimo, no Captulo 7 so tecidas concluses e recomendaes para desenvolvimentos futuros.

  • 4

  • 5

    2. Consideraes sobre o Mtodo dos

    Elementos Finitos

    Princpios do Mtodo de Elementos Finitos 2.1.

    O mtodo dos elementos finitos (MEF) um mtodo numrico utilizado na anlise de inmeros problemas de

    engenharia. Os subcaptulos seguintes apresentam um breve resumo dos seus principais pressupostos e o

    papel dos modelos constitutivos no seu contexto.

    Actualmente existe uma vasta quantidade de programas que utilizam o mtodo dos elementos finitos aplicado

    a diversos campos da Engenharia. No entanto, muitos destes programas apresentam-se com uma interface

    simples e apelativa, sendo possvel a utilizao destes sem grande conhecimento do mtodo de anlise ou o

    problema ao qual este aplicado, dando lugar a resultados enganadores (Azevedo, 2003; Cook et al., 2002).

    Entre os programas mais populares de uso generalizado do mtodo de elementos finitos encontram-se o

    Abaqus FEA, VisualFEA, ADINA, ANSYS e Mathematica, que simulam um leque bastante variado de situaes. O

    software escolhido para realizar o trabalho apresentado nesta dissertao foi o PLAXIS. Este um programa de

    elementos finitos totalmente direccionado para engenharia geotcnica. Desta forma o utilizador no necessita

    de personalizar de forma exaustiva os problemas de engenharia geotcnica como aconteceria num programa

    de carcter generalizado.

    O nome do mtodo revela o seu princpio, ou seja, considera-se um problema dividido em pequenas partes

    (elementos finitos) ligadas entre si por um conjunto de pontos - pontos nodais ou ns. A juno dessas partes

    resulta no domnio do problema. A associao entre elementos ligados entre si por pontos nodais d origem a

    uma malha. Em cada ponto nodal definido um conjunto de graus de liberdade.

    Os elementos finitos podem possuir uma forma quadriltera ou triangular (Figura 2.1), e os seus lados podem

    ser rectos ou curvos (se os lados do elemento finito forem curvos necessrio que existam pontos nodais

    adicionais, geralmente no ponto mdio de cada lado).

  • 6

    Figura 2.1 Exemplos de elementos finitos e pontos nodais

    No PLAXIS esto disponveis dois tipos de elementos: elemento triangular com 6 ns e com 15 ns. Devido ao

    facto dos computadores actualmente possurem boa capacidade de processamento, recomendvel utilizar-se

    elementos triangulares de 15 ns, de forma a obter uma soluo mais exacta (Brinkgreve, 2002).

    Em anlises de tenso-deformao consideram-se como incgnitas do problema os deslocamentos. Estes so

    designados de variveis primrias e so calculados nos pontos nodais. As variveis secundrias so derivadas a

    partir das primrias e so por exemplo as tenses e deformaes. Assim, dentro de um elemento, o campo de

    deslocamentos, , obtido atravs de valores nodais discretos que se encontram num vector e usando

    funes de interpolao que se encontram na matriz , (Brinkgreve, Broere, & Waterman, 2002):

    {} = []{} (2.1)

    Convenientemente possvel utilizar o mesmo tipo de funes como funes de interpolao e forma,

    classificando assim o elemento como isoparamtrico. Existe uma funo de forma por cada ponto nodal, a qual

    toma o valor unitrio no ponto nodal respectivo e valor nulo nos restantes pontos nodais.

    As deformaes so derivadas do campo de deslocamentos e armazenadas no vector {}. Desta forma o campo

    de deformaes dentro de um elemento pode ser expresso pelo produto da matriz das derivadas das funes

    de interpolao [] por { } (que contm uma lista de deslocamentos nodais para o elemento):

    {} = {} = []{ } com = [] (2.2)

    As tenses ( ) relacionam-se com as deformaes () atravs de uma matriz constitutiva [], que para um

    modelo elstico linear constante (Lei de Hooke). Esta relao escrita na forma incremental quando o

    material possui um comportamento no-linear (Equao (2.3)).

    { } = []{} (2.3)

    Caso se pretenda modelar um solo elstico no-linear ou elastoplstico, a matriz [] deixa de ser constante, e

    passa a variar com a tenso e/ou deformao. Logo, necessrio implementar uma estratgia para resolver a

    mudana constante do comportamento do material, assunto que ser abordado nos subcaptulos seguintes.

  • 7

    Baseando-se no Princpio da Energia Potencial Mnima pode demonstrar-se que para um elemento (Cook et al.,

    2002):

    [ ]{ } = { } (2.4)

    Onde { } corresponde ao vector de foras nodais e [ ] a matriz de rigidez do elemento, que depende da

    matriz constitutiva, [] e da matriz das derivadas das funes de forma, [] :

    [ ] = [][][] (2.5)

    Por fim, a rigidez de cada elemento combinada numa matriz de rigidez global, [ ], e a equao geral do

    problema ento:

    [ ]{ } = { } (2.6)

    Onde { } o vector dos deslocamentos nodais globais e { } o vector de foras nodais global.

    Mtodo de Newton-Raphson 2.2.

    Como foi referido acima, existem vrias estratgias para lidar com problemas no-lineares elsticos e/ou

    elastoplsticos. Todas envolvem escrever a Equao (2.6) em forma incremental global:

    [ ]{ }

    = { } (2.7)

    Onde [ ] a matriz de rigidez global incremental, { }

    o vector de deslocamentos nodais incrementais,

    { } o vector de foras nodais incrementais e por fim, o nmero do incremento. Assim para cada

    incremento, a equao (2.7) deve ser resolvida, e a soluo final de { } obtida somando os resultados

    { } para todos os incrementos. Contudo, devido ao comportamento constitutivo no-linear, [ ]

    depende

    da tenso e/ou deformao correntes, no sendo constante, ou seja, varia ao longo de um incremento. Entre

    os mtodos de resoluo mais populares encontram-se o Mtodo Visco-Plstico, o Mtodo da Rigidez Tangente

    (Tangent Stiffness) e o Mtodo de Newton-Raphson.

    Uma das formas empregues para resolver este problema dividir a carga aplicada numa srie de pequenos

    incrementos e ajustar a matriz de rigidez no final de cada incremento (Mtodo da Rigidez Tangente). No

    entanto, o problema desta aproximao que existe uma acumulao de erros em cada incremento, o que por

    sua vez causa problemas de equilbrio. (Ver Figura 2.2). Para alm disso no eficaz em tempos de computao

    dividir a carga em pequenos incrementos (de forma a minimizar o erro), pois solucionar o sistema global de

    equaes (Equao (2.7)) consome tempo e capacidade do computador.

  • 8

    Figura 2.2 Acumulao de erro em cada incremento com algoritmo da Rigidez Tangente (adaptado de Potts, 1999)

    Alm disso, geralmente difcil predeterminar o tamanho dos incrementos necessrio de forma a alcanar um

    erro aceitvel. Este mtodo pode tambm obter resultados incorrectos quando o solo muda de regime de

    comportamento de elstico para plstico (ou vice versa), no contemplando esta mudana dentro de cada

    incremento. Isto resulta em estados de tenses impossveis que violam o modelo constitutivo.

    Assim, de forma a eliminar a situao descrita previamente comum utilizar-se o Mtodo de Newton-

    Raphson, considerado o mais robusto dos mtodos mencionados anteriormente. O processo iterativo deste

    mtodo consiste em dividir a carga aplicada gradualmente em incrementos, e efectuar iteraes em cada

    incremento de carga para que a soluo incremental seja equilibrada. Inicialmente este mtodo semelhante

    ao da Rigidez Tangente, mas Newton-Raphson distingue-se deste quando assume que a soluo inicial

    provavelmente incorrecta, utilizando os deslocamentos incrementais calculados para estimar a carga residual

    (ou seja, o vector das foras nodais global, { }), como forma de quantificar o erro na anlise. A equao (2.7)

    resolvida de novo com essa carga residual do lado direito e o processo repetido at que o erro seja

    aceitvel, como esquematizado na Figura 2.3. Desta forma, o mtodo de Newton-Raphson tenta rectificar um

    dos problemas do mtodo da Rigidez Tangente, avaliando o comportamento do solo dentro ou muito perto de

    um espao de tenses possvel. Assim, recordando a equao (2.7) aplicadas para este problema:

    [ ]{} = {}

    {}1

    (2.8)

    Onde [ ] a matriz de rigidez tangente global do incremento i, {} o vector de deslocamentos

    incrementais associados ao incremento i, {} o vector de carga externa aplicada, {}

    1 vector de fora

    interna do incremento anterior e refere-se ao nmero do incremento. possvel ento dividir um incremento

    em vrias iteraes:

    [ ]{ } = {}

    {}1

    (2.9)

    onde, refere-se ao nmero da iterao, um vector que contm deslocamentos iterados, que contribuem

    para os incrementos de deslocamentos do incremento :

  • 9

    {} = { }=1 (2.10)

    Alm disso, {} calculado atravs da seguinte frmula:

    {} = []{

    1} (2.11)

    Onde, { 1} diz respeito ao vector das tenses constitutivas. A integrao das tenses ser abordada na

    prxima seco.

    Este problema resolvido (em vrias iteraes) at que a diferena entre os vectores de carga interna e

    externa divididas pelo vector de carga externa, denominado por erro (), esteja dentro da tolerncia definida

    pelo utilizador. Este processo de resoluo repetido para cada incremento de carga externa at que esta

    aplicada na sua totalidade.

    Desta forma, as iteraes deste mtodo comeam de um estado de equilbrio entre deformao e tenso,

    conhecido no incremento anterior. A taxa de convergncia elevada devido computao de uma nova matriz

    de rigidez tangente, correspondente ao estado de deformao-tenso da iterao anterior (Figura 2.3 a)).

    Quanto mais exacta for a matriz tangente de rigidez, menos iteraes so necessrias. Com esta matriz

    (invertida), calcula-se o incremento de deslocamentos com a diferena entre foras internas e externas, e

    determina-se o incremento de deformao com (2.2) e as respectivas tenses constitutivas. Em seguida cria-se

    um novo vector de reaco interna com as tenses constitutivas com a Equao (2.11) e calcula-se e avalia-se o

    erro. Este processo est descrito em pormenor no anexo A do Manual Cientfico do Plaxis (Brinkgreve, 2002).

    Figura 2.3 a) Representao do algoritmo do Mtodo de Newton-Raphson e b) algoritmo do Mtodo Modificado de Newton-Raphson

    Como forma de reduzir as exigncias computacionais, utiliza-se regularmente o Mtodo Modificado de

    Newton-Raphson onde s necessrio calcular a matriz de rigidez tangencial no incio de cada incremento e

    no para cada iterao, precisando no entanto de mais iteraes (Ver Figura 2.3 b)). Se pequenos incrementos

    forem utilizados, algo que acontece regularmente, as diferenas em termos de resultados so pequenas, visto

    que o nmero extra de integraes geralmente compensa o custo computacional de criar a matriz de rigidez

    tangencial em cada iterao. possvel tambm combinar estes dois esquemas caso a convergncia seja

    b) a)

  • 10

    demasiado lenta atravs de um comutador. No caso especfico do PLAXIS, por defeito executado o mtodo

    modificado de Newton-Raphson, excepto se se alterar a seco da subrotina onde se calcula a matriz.

    Algoritmos de Integrao de Tenses 2.3.

    Como se pode constatar da seco anterior, um aspecto essencial para a obteno da soluo para um

    problema no linear a determinao das tenses constitutivas. Estas so obtidas atravs da integrao das

    equaes constitutivas ao longo do incremento de deformao imposto. Existem diversos algoritmos que

    permitem resolver este problema, sendo denominados por stress point algorithms, que podem ser

    classificados como implcitos, explcitos ou uma combinao de ambos. Os mais conhecidos so o substepping

    algorithm (explcito) e o implicit return algorithm (Potts & Ganendra, 1994). Seguidamente sero discutidos

    mtodos de integrao para clculo das tenses.

    Algoritmos de Integrao de Tenses 2.3.1.

    Consideraes gerais

    De seguida sero analisados alguns mtodos numricos para resoluo de situaes que envolvem equaes

    diferenciais. No caso presente desta dissertao so utilizados na integrao das equaes constitutivas em

    cada substep baseando-se no substepping algorithm, que divide as deformaes iterativas em pequenos

    substeps. Estes sero aplicados posteriormente no cdigo dos vrios modelos de solo, sendo os mais utilizados

    o Mtodo de Euler e o Mtodo Modificado de Euler.

    Generalizando, estes mtodos numricos so utilizados no problema do valor inicial, tambm conhecido como

    problema de Cauchy:

    {y(x) = f(x, y(x))

    y(x0) = y0

    a x b

    (2.12)

    Este problema composto por uma equao diferencial juntamente com um valor especificado (valor inicial ou

    condio inicial) de uma funo desconhecida y(x), num determinado ponto. Uma soluo deste problema

    acima ser uma funo diferencivel () que substituda em (, ), conduz igualdade () = (, ())

    e tal que (0) = 0. Por outras palavras a curva = () deve verificar a equao diferencial e a condio

    inicial. A funo (, ) deve ser contnua em todo o domnio do plano x-y, e (0, 0) um ponto nesse

    domnio.

  • 11

    Mtodo de Euler

    o mtodo explcito mais bsico (Atkinson, 1989) e de primeira ordem, o que significa que o erro local (ou

    seja, o erro por step) proporcional ao quadrado do tamanho do step, e o erro global proporcional ao

    tamanho do step.

    O intervalo ou step [a, b] dividido em subintervalos (substeps) de tamanho h (>0), atravs de uma rede ou

    malha de pontos:

    = < < < < = (2.13)

    Em que = ( )/ e = 0 + , com = 0, 1, . . Desta forma, obtm-se aproximaes para os

    valores (), = ,1, , , e no a expresso explcita de uma funo que aproxima (). Assim, o valor

    aproximado em cada obtido atravs dos valores obtidos nos subintervalos anteriores. prtica corrente

    designar uma aproximao de (), ou seja, obtm-se um conjunto de valores aproximados 1, 2, ,

    para (1), (2), , (). Quanto mais pequeno o tamanho do substep (), maior preciso da soluo

    aproximada (comparada com a soluo exacta).

    Por no se considerar relevante no se deduziu aqui a frmula geral para o mtodo de Euler, mostrando-se no

    entanto o resultado final:

    +1 = + (2.14)

    +1

    = + (, )

    (2.15)

    No mtodo de Euler comea-se por obter uma aproximao 1 para (1), traando a recta tangente ao

    grfico de ()no ponto (0, (0)) e toma-se para 1o seu valor em = 1. Isto repetido para o resto dos

    intervalos at se obter a curva geral (Ver Figura 2.4).

    Figura 2.4 Interpretao geomtrica do mtodo de Euler (adaptado de Chapra & Canale, 2015)

    Erro

    Previsto

    Real

  • 12

    Adaptando este mtodo ao tema presente, tem-se que:

    +1 = + ( , ) (+1 ) (2.16)

    Sendo (, ) a matriz de rigidez tangente do material para o estado i e o vector de incrementos de

    deformao nesse mesmo substep.

    Neste mtodo necessrio um valor muito pequeno de (+1 ) ou para se obter valores aproximados,

    contudo isso implica aumentar o nmero de substeps efectuados, aumentando tambm o tempo de clculo.

    dos mtodos menos eficientes e elementares.

    Mtodo de Euler Modificado

    Uma das causas para os erros no mtodo de Euler o facto de ( , ), ou seja a derivada da funo y(x) no

    ponto inicial em (2.12), ser aplicada ao intervalo total. De forma a diminuir o erro proveniente desta causa,

    existem modificaes que se podem executar, como o mtodo de Euler modificado, tambm conhecido como

    mtodo do ponto mdio (midpoint).

    Este mtodo j faz parte de uma famlia maior de tcnicas de soluo, denominada por mtodos de Runge-

    Kutta, apesar de ser um caso particular e simplificado.

    Sucintamente este mtodo prev o clculo da funo f (ou seja a derivada da funo y) no ponto mdio do

    intervalo h. O valor de para o ponto mdio do intervalo, +1/2 (Figura 2.5 a)) :

    +1/2 = + ( , )

    2

    (2.17)

    E de seguida esse valor previsto utilizado no clculo do declive (slope) no ponto mdio:

    +1/2 = (+1/2, +1/2) (2.18)

    Figura 2.5 Representao grfica do mtodo de Euler modificado (adaptado de Chapra & Canale, 2015)

    Assim, o valor da funo no ponto i+1 estimado como sendo:

    +1 = + (+1/2, +1/2) (2.19)

  • 13

    Ou seja:

    +1 = + (+1/2, +1/2) (+1 ) (2.20)

    H que notar que este mtodo baseado na frmula de integrao mais bsica de Newton-Cotes:

    ()

    ( )() (2.21)

    Onde o ponto mdio no intervalo (, ). Desta forma, a Equao (2.20) pode ser expressa desta forma:

    () +1

    (+1/2) (2.22)

    Pode concluir-se que o mtodo de Euler modificado superior ao mtodo de Euler, uma vez que utiliza uma

    estimativa da tangente no ponto mdio do intervalo, consequentemente o erro diminui com maior rapidez.

    assim um mtodo de segunda ordem, onde o erro global de (2) comparado com o de Euler de ().

    Algoritmos de Integrao utilizado pelo software PLAXIS 2.3.2.

    Para a obteno das tenses constitutivas em regime elasto-plstico, o programa PLAXIS utiliza um esquema de

    integrao implcito, sem substepping, proposto por Vermeer (1979).

    Durante um incremento de deformao elastoplstica, a variao no estado de deformao, pode ser

    escrito da seguinte forma:

    { } = []{} []{} = []({} {}) (2.23)

    Em que [] representa a matriz de rigidez elstica para o actual incremento de tenses e {} so os

    incrementos de deformao total obtidos atravs da matriz de interpolao e dos incrementos de

    deslocamentos j referidos em (2.2). De acordo com Brinkgreve et al. (2002) o incremento da deformao

    plstica, {} pode ser estimado da seguinte forma:

    {} = [(1 ) (

    )1

    + (

    )

    ] (2.24)

    Onde o escalar multiplicador plstico e um parmetro que permite indicar qual o tipo de esquema de

    integrao ( = 1 implcito e = 0 explcito). O incremento de factor plstico, calculado sabendo que

    o novo estado de tenso tem que satisfazer a condio de cedncia (ou seja, a funo de cedncia zero):

    =( )

    + com = (

    ) [] (

    )

    (2.25)

  • 14

    E em que o parmetro relacionado com endurecimento/amolecimento ( = 0 para modelos perfeitamente

    plsticos e constante para modelos com endurecimento linear).

    Desta forma, a equao (2.23) pode ser reescrita de maneira a que o valor da tenso seja:

    { } = { } [] (

    )

    = { } ( )

    + [] (

    )

    (2.26)

    Quando ( ) menor ou igual a zero considera-se que ( ) = 0. E considera-se que { } corresponde

    a um trial stress que pode corresponder ao novo estado de tenso caso este se verifique puramente elstico.

    { } = 1 + []{} (2.27)

  • 15

    3. Consideraes Gerais sobre alguns Modelos

    Constitutivos dos Solos

    Enquadramento Geral 3.1.

    Um dos maiores desafios na engenharia geotcnica prever o comportamento do solo, principalmente a

    relao tenso-deformao. Sabendo que o solo um material heterogneo que apresenta consequentemente

    diversos comportamentos que dependem da sua composio, histria de carregamento e tenses actuantes,

    possvel observar atravs de, por exemplo, ensaios triaxiais um aspecto comum presente: o facto das

    deformaes reversveis (elsticas) e irreversveis (plsticas) coexistirem neste (Equao (3.1)).

    = + (3.1)

    Dessa forma, completamente justificvel adoptarem-se modelos elastoplsticos para modelao de solos,

    entendendo-se com isso que quando o material se encontra em regime elastoplstico, as deformaes totais

    so resultado de deformaes reversveis e irreversveis.

    Invariantes de tenso e deformao

    O estado de tenses num ponto pode ser caracterizado pelas tenses actuantes em 3 planos ortogonais (x, y, z)

    definidos, ou alternadamente pelas 3 tenses principais, e respectivas direces. So sempre necessrios 6

    elementos de informao. Assumindo que o comportamento do material isotrpico, a resposta do material

    independente da direco dessas mesmas tenses. Assim na formulao de modelos isotrpicos o estado de

    tenso pode ser caracterizado por 3 elementos de informao: as tenses principais ou 3 invariantes de tenso

    que se definem seguidamente (Figura 3.1).

    Assim, considera-se conveniente especificar s alguns aspectos do vector de tenses atravs de invariantes de

    tenses, especialmente para materiais isotrpicos cujas propriedades so iguais em todas as direces.

    Figura 3.1 Tenses num dado sistema de coordenadas e respectivas tenses principais

  • 16

    Um dos variantes mais utilizados em engenharia geotcnica a tenso mdia isotrpica, aqui expressa em

    tenses principais efectivas:

    = 1

    ( 1

    + 2 +

    ), quando 2 =

    ento = 1

    ( 1

    + 2 ) (3.2)

    Outro invariante a tenso deviatrica, , tambm conhecida como tenso equivalente ou tenso de Von

    Mises:

    = 1

    ( 1

    2)2 + ( 2

    )2 + (

    1)2

    (3.3)

    Para os casos de compresso triaxial onde 2 =

    e extenso triaxial onde 1 = 2

    , pode ser reduzido

    expresso:

    = | 1

    | (3.4)

    Por ltimo, o ngulo de Lode:

    = tan1 [1

    3(2

    ( 2 3

    )2

    ( 1 3

    )2 1)]

    (3.5)

    Em que toma o valor igual a -30 em compresso triaxial e igual a 30 em extenso triaxial.

    De forma anloga possvel definir o vector de deformaes e respectivos invariantes incrementalmente. Em

    engenharia geotcnica comum definirem-se dois invariantes de deformao:

    = 1 + 2 + (3.6)

    = 1

    2[(1 2)

    2 + (2 )2 + (1 )

    2] (3.7)

    Onde a deformao volumtrica incremental e corresponde deformao deviatrica

    incremental em funo das deformaes principais. Os invariantes das deformaes acumuladas so dados

    por:

    = (3.8)

    = (3.9)

  • 17

    Modelo Elstico Linear 3.2.

    Linear elstico isotrpico

    Uma relao linear entre tenses e deformaes a forma mais simples de equacionar um modelo constitutivo

    para solos. Esta implica uma proporcionalidade constante entre incrementos de tenso e deformao.

    Os dois parmetros mais conhecidos para caracterizar um comportamento elstico linear isotrpico so

    (mdulo de Young) e (coeficiente de Poisson). Recordando (2.3), possvel descrever da seguinte forma a

    relao entre incrementos de tenso efectiva e incrementos de deformao utilizando os parmetros definidos

    em termos de tenses efectivas, aos quais atribudo ():

    {

    }

    =

    (1 + )(1 2)

    [ 1 0 0 0

    1 0 0 0

    1 0 0 0

    1 2

    20 0

    1 2

    20

    1 2

    2 ]

    {

    }

    (3.10)

    No entanto tambm possvel utilizar um par alternativo de constantes elsticas: (mdulo de

    deformabilidade volumtrica) e (mdulo de deformabilidade de distoro), onde (3.10) fica:

    {

    }

    =

    [

    + 4 3 2 3

    2 3 0 0 0

    + 4 3 2 3 0 0 0

    + 4 3 0 0 0

    0 0 0

    ]

    {

    }

    (3.11)

    Com: =

    2(1 + ) =

    3(1 2) (3.12)

    Assim, corresponde ao mdulo de Young drenado, ao coeficiente de Poisson drenado e ao mdulo de

    deformabilidade volumtrica drenado. A matriz [] uma relao entre incrementos de tenso efectiva e

    incrementos de deformao. Alternativamente as equaes (3.11) e (3.12) podem escrever-se com parmetros

    que correspondem ao comportamento no drenado (, ) e nesse caso estabelecem a relao entre

    incrementos de tenso total e incrementos de deformao. O parmetro igual em casos drenados e no

    drenados uma vez que a gua no possui resistncia ao corte.

    De acordo com Lade (2005), os modelos baseados na teoria da elasticidade podem prever o comportamento

    dos solos de forma satisfatria, desde que os estados de tenso no se aproximem da rotura. Uma das

    limitaes que se observa que as equaes (3.11) e (3.12) no prevem qualquer acoplamento entre tenses

    de corte e deformaes normais, o qual um aspecto importante do comportamento observado nos solos.

  • 18

    Como exemplo (Figura 3.2), considere-se uma amostra composta por areia densa submetido a um ensaio de

    corte simples.

    Figura 3.2 - Exemplo esquemtico de um ensaio de corte simples com aumento da tenso de corte (adaptado

    de Lade, 2005)

    No caso em que a tenso de corte aumenta, um modelo elstico prev um aumento dos incrementos da

    deformao de corte, (). No entanto, observaes do comportamento real do solo mostram dilatncia, que

    se traduz num aumento da altura da amostra, o que no reproduzido pelo modelo elstico.

    Em problemas geotcnicos, este modelo frequentemente utilizado para representar elementos estruturais

    (por exemplo: muros de suporte, lajes, etc.).

    Modelos Elsticos No-Lineares 3.3.

    Os modelos baseados na elasticidade no-linear podem modelar com mais exactido as deformaes do solo

    do que o modelo linear elstico, uma vez que os parmetros elsticos passam a depender do estado de tenso

    e/ou deformao em que se encontram. No entanto, continua-se a no conseguir reproduzir a tendncia do

    solo para variar de volume quando submetido a foras de corte. Adicionalmente no se consegue geralmente

    representar mecanismos de rotura devido ao facto de na elasticidade as direces dos principais incrementos

    de tenso coincidirem com as dos incrementos de deformao.

    Modelo K-G 3.3.1.

    Este modelo no-linear elstico proposto por Naylor et al. (1981) considera que os mdulos e (Equao

    (3.12)) so tangentes e explicitamente definidos em termos de invariantes de tenses, e , (Figura 3.3) ou

    alternativamente em funo das quantidades e (Equaes (3.17) e (3.18)):

    = + .

    (3.13)

    = + . + .

    (3.14)

    O modelo pode incorporar um critrio de rotura, tal que G tende para zero quando as tenses verificam o

    critrio de rotura atravs da escolha criteriosa dos parmetros , e . Se e so definidos em termos

  • 19

    de e pode ser incorporado o critrio de Drucker-Prager; quando so definidos em termos de e

    possvel introduzir o critrio de Mohr-Coulomb.

    Figura 3.3 Modelo K-G

    Desta forma, este modelo necessita de cinco parmetros, , , , e para descrever o comportamento

    do material. Estes so normalmente escolhidos atravs de ensaios triaxiais, de forma a melhor se ajustarem ao

    material seleccionado. Este modelo surgiu como alternativa ao modelo hiperblico (no abordado nesta

    dissertao), uma vez que este utiliza oito a nove parmetros de entrada e o modelo K-G utiliza apenas 5. Na

    literatura este modelo foi utilizado para modelar enrocamento com elevado contedo de finos bem como

    argila (Naylor et al. , 1997). Sabe-se ainda que:

    =

    (3.15)

    =

    3

    (3.16)

    Considera-se que e so valores positivos e G um valor negativo de forma a que perto da rotura o valor

    do mdulo de deformabilidade distorcional tangente, , se aproxime de zero. Alm disso possvel reproduzir

    condies de descarregamento ao definir-se G igual a zero na descarga. Assim, permanece igual e

    aumenta drasticamente (3.14). Se novo carregamento se proporcionar e o solo se apresente perto da rotura, g

    restabelece o seu valor antigo. Este comportamento para carregamentos e descarregamentos de carga no foi

    abordado na implementao deste modelo na presente dissertao.

    Nesta dissertao utilizar-se- este modelo com um critrio de rotura de Mohr-Coulomb e assim as relaes

    (3.15) e (3.16) so reescritas da seguinte forma:

    = + . (3.17)

    = + . + . (3.18)

    Em que,

    = 1 + 3

    2

    (3.19)

  • 20

    = 1 3 (3.20)

    Os parmetros , e devem estar relacionados de forma a respeitar estas relaes e assim, o critrio de

    rotura de Mohr-Coulomb.

    Modelo de Jardine 3.3.2.

    O comportamento no-linear no intervalo das pequenas deformaes nem sempre valorizado, ignorando-se

    o seu efeito. Anlises que no consideram este comportamento acabam por frequentemente sobrestimar as

    deformaes nos pontos do domnio sujeitos a pequenas perturbaes (pequenos incrementos de tenso) e

    subestimar deformaes mximas das estruturas. Por exemplo, na anlise das deformaes causadas pela

    construo de um tnel a no considerao do comportamento no linear na gama das pequenas deformaes

    leva a subestimar os assentamentos mximos registados (Puzrin, Addenbrooke, & Potts, 1997).

    Observando a Figura 3.4, observa-se que a deformao mxima na qual os solos exibem um comportamento

    quase totalmente recupervel, ou seja elstico, muito pequena (menor que 1 105 em areias). De facto,

    pensa-se que o comportamento existente para as deformaes (de corte) menores que 1 105, ou seja no

    domnio das muito pequenas deformaes, comum a todos os materiais geotcnicos. medida que a

    deformao de corte aumenta, observa-se que a rigidez do solo diminui de forma no-linear, sendo

    particularmente perceptvel numa escala logartmica onde exibe um andamento idntico ao que se mostra na

    Figura 3.4. Considera-se que se entra no domnio das pequenas deformaes quando as deformaes so

    maiores que 1 105 e no domnio das grandes deformaes quando maiores que 1 10 . Esta ltima

    fronteira baseada no limite dos ensaios de laboratrio convencionais ou seja, ensaios triaxiais ou

    edomtricos sem instrumentao especial (ex: medidores de deformaes locais).

    Figura 3.4 Curva caracterstica de rigidez-deformao do solo numa escala logartmica (adaptado de Thomas Benz, Schwab, & Vermeer, 2009)

    Apesar de existirem diversos trabalhos que exploram este comportamento no-linear para pequenas

    deformaes, inclusive propostas de modelos, actualmente a sua aplicao directa no Projecto Geotcnico

  • 21

    ainda no comum (Benz & Nordal, 2010), principalmente devido , por vezes complexa, tarefa de obteno

    dos parmetros necessrios. Embora se possa argumentar que nos ltimos anos este aspecto do

    comportamento do solo esteja mais presente devido ao desenvolvimento do poder de computao, e

    consequente facilidade no acesso a vrios modelos constitutivos disponveis em diversos softwares (Clayton,

    2011).

    Assim, dos vrios modelos presentes na literatura, escolheu-se representar o modelo de Jardine, tambm

    conhecido como Small Strain Stiffness Model. Este modelo descreve a rigidez do solo para pequenas

    deformaes no intervalo 105 10 (Burland, Fourie, Potts, & Jardine, 1986), atravs de duas funes

    peridicas logartmicas que expressam a relao no-linear entre o mdulo de distoro normalizado tangente

    e a deformao de corte/distorcional e a relao no-linear entre o mdulo de rigidez volumtrica normalizado

    tangente e a deformao volumtrica (Figura 3.5).

    Figura 3.5 Projeco da curva: rigidez definida como uma funo trigonomtrica em funo da deformao (adaptado de Jardine et al., 1986)

    Desta forma as equaes das curvas trigonomtricas so as seguintes:

    3

    = A + B cos(X) BX1

    2.303sin(X)

    (3.21)

    Kt

    = R + S cos(Y) SY1

    2.303sin(Y)

    Com:

    (3.22)

    X = log10 (2 3C

    ) = log10

    (

    2

    12[(1 2)

    2 + (2 )2 + (1 )

    2]

    3C

    )

    (3.23)

  • 22

    Y = log10 (volT) = log10 (

    1 + 2 + T

    ) (3.24)

    Onde o mdulo de rigidez volumtrica, o mdulo de rigidez de corte, a tenso efectiva mdia,

    so as deformaes principais, e o nmero de parmetros do material aumentado para 10. Existem tambm

    os limites > > e > > .

    Ao seleccionar os parmetros para este modelo h que ter em considerao que este varia o coeficiente de

    Poisson implicitamente em funo da deformao. Assim, necessrio que o coeficiente de Poisson nunca

    passe dos limites fsicos, ou seja, no exceda o valor de 0,5.

    H que salientar tambm que no foram encontrados registos da utilizao deste modelo em Portugal, sendo

    as referncias mais frequentes do Reino Unido (de onde origina). Este modelo aplicado a solos locais (por

    exemplo: argila rija de Londres, cascalho arenoso aluvionar do Tamisa, etc).

    Este modelo frequentemente usado para descrever a parte elstica de um modelo elastoplstico no mbito

    das pequenas deformaes, sendo aplicado geralmente na anlise numrica dos movimentos induzidos pela

    execuo de tneis e escavaes profundas em meio urbano.

    Introduo aos Modelos Elastoplsticos 3.4.

    Como introduo considera-se a anlise de um problema uniaxial, em que trs comportamentos distintos so

    estudados: comportamento elastoplstico perfeito, comportamento elastoplstico com endurecimento e

    comportamento elastoplstico com amolecimento.

    A Figura 3.6 a) corresponde trajectria da relao de tenso-deformao de uma barra carregada

    uniaxialmente com uma deformao axial, , caracterstica de materiais elastoplsticos perfeitos. No primeiro

    carregamento, a barra comporta-se de forma elstica linear ao longo do trecho AB, sendo o gradiente desse

    trecho dado pelo mdulo de Young, . Se o carregamento removido antes de atingir o ponto B, as

    deformaes experimentadas pelo material so reversveis, ou seja, no so permanentes, e a trajectria do

    descarregamento ocorre ao longo do trecho BA. Se a barra for submetida a uma deformao para alm do

    ponto B, que corresponde tenso de cedncia ou patamar de cedncia, , os subsequentes incrementos de

    deformao so puramente plsticos. A tenso em regime plstico mantm-se constante enquanto a

    deformao aumenta, e caso se remova o carregamento em C, retorna-se ao regime elstico atravs do trecho

    CD, paralelo a BA. No entanto, nesse caso o material apresenta deformaes permanentes, ou seja, no

    retorna sua forma inicial.

    A Figura 3.6 b) representa um comportamento idealizado para materiais elastoplsticos com endurecimento,

    em que o trecho AB exibe um comportamento elstico mas ao contrrio do que acontece na Figura 3.6 a), ao

    se atingir a tenso inicial de cedncia , esta no permanece constante mas aumenta de forma no-linear.

    Dessa forma, como h acrscimo de tenso, ocorrem simultaneamente deformaes elsticas e plsticas. Caso

    haja remoo da solicitao em C, o material segue pelo trecho CD, e se existir recarregamento a tenso de

  • 23

    cedncia agora . Se a barra solicitada ao ponto de chegar a E, a curva da deformao torna-se horizontal

    e a tenso na barra permanece constante, atingindo a rotura (e o comportamento idntico ao descrito para a

    Figura 3.6 a).

    Por fim, a Figura 3.6 c) evidencia um material com comportamento elastoplstico com amolecimento, em que

    o trecho AB corresponde a um comportamento elstico. Em B o material atinge a primeira cedncia se ao ser

    aplicada deformao acrescida ocorrem deformaes elsticas e plsticos seguindo o trecho BC. A tenso de

    cedncia diminui, traduzindo-se numa perda de resistncia por parte do material.

    Figura 3.6 a) Material elastoplstico perfeito. b) Material elastoplstico com endurecimento. c) Material elastoplstico com amolecimento (adaptado de Cogliati, 2011)

    A converso destes conceitos acima descritos para um estado multiaxial de tenses e deformaes exige a

    considerao das seis componentes de tenso e deformao, ou em alternativa, quando o material

    considerado isotrpico, as trs tenses principais ou trs invariantes de tenses.

    A teoria da plasticidade baseia-se no princpio de que no h uma coincidncia entre as direces das tenses

    principais acumuladas e as direces das deformaes incrementais ao contrrio do modelo do

    comportamento elstico onde as direces dos incrementos de tenso e de deformao coincidem.

    possvel representar as tenses principais acumuladas e as deformaes principais incrementais nos mesmos

    eixos do espao multiaxial porque as direces dos incrementos de deformao plstica no so definidas pela

    trajectria de tenses at superfcie de cedncia mas pelo estado de tenso nesse ponto sobre essa

    superfcie. Em contraste em modelos elsticos os incrementos de deformao dependem dos incrementos de

    tenso.

    Para definir um modelo de comportamento plstico so necessrios trs elementos: uma funo de cedncia,

    uma funo de potencial plstico e leis de endurecimento/amolecimento. Estes so apresentados de forma

    mais detalhada na seco seguinte.

    Funo de cedncia 3.4.1.

    Ao contrrio do que acontece para o caso unidimensional, onde possvel definir um valor para a tenso de

    cedncia dos materiais, no estado multiaxial existem diferentes componentes de tenso que requerem uma

    funo, , Equao (3.25). Esta funo expressa em termos das componentes de tenso, { }, e parmetros

    a) b) c)

  • 24

    de endurecimento e/ou amolecimento, {}, e separa o comportamento puramente elstico do

    comportamento elastoplstico.

    = ( , ) = 0 (3.25)

    Para situaes em que a funo ( , ) < 0, a resposta do material puramente elstica, enquanto

    ( , ) = 0 corresponde a comportamento elastoplstico. Um estado de tenso em que ( , ) > 0 no

    possvel para modelos elastoplsticos. Uma representao esquemtica da funo de cedncia considerando a

    tenso principal 2 = 0, apresentada na Figura 3.7.

    Figura 3.7 Funo de cedncia (adaptado de Gavel-Solberg, 2014)

    Funo de potencial plstico 3.4.2.

    O mecanismo de deformao plstica, ou seja, a proporo entre as diferentes componentes de deformao

    plstica, definido pela lei de fluxo expressa pela Equao (3.26). Esta lei definida geralmente por uma

    funo de potencial plstico, ({ }, {}) = 0.

    =

    (3.26)

    Na equao (3.26),

    representa o vector das seis componentes da deformao plstica incremental, um

    escalar multiplicador que determina a magnitude do incremento de deformao plstica, e a funo de

    potencial plstico, conforme referido acima.

    Apenas as derivadas parciais em relao aos eixos (correspondentes s tenses) de so exigidas para definir

    a lei de fluxo, representada graficamente na Figura 3.8. Nesta representao possvel observar uma superfcie

    de potencial plstico no espao das tenses principais.

  • 25

    Figura 3.8 a) Superfcie de potencial plstico b) Curva de potencial plstico

    A direco do fluxo plstico normal funo de potencial plstico e quando essa funo coincide com a

    funo de cedncia, , ento diz-se que se est perante uma lei de fluxo associada, (i.e. ({ }, {}) =

    ({ }, {})). Esta simplificao implica que a matriz constitutiva e a matriz global de rigidez so simtricas.

    Quando a funo de cedncia e a funo de potencial plstico diferem diz-se que se est perante uma lei de

    fluxo no-associada, e as matrizes acima referidas so no-simtricas. Isto implica que a inverso destas

    matrizes requer maior capacidade computacional e mais tempo de anlise. Uma lei de fluxo associada

    geralmente tem um bom desempenho na simulao da resposta de metais, porm menos eficiente em solos

    (Schofield & Wroth, 1968).

    Leis de endurecimento e amolecimento 3.4.3.

    As leis de endurecimento/amolecimento determinam como o parmetro {} e consequentemente o tamanho,

    forma e/ou posio da funo de cedncia, variam com as deformaes plsticas ou com o trabalho plstico.

    Quando o material perfeitamente plstico no ocorre nenhum endurecimento ou amolecimento, e desta

    forma o parmetro {} mantm-se constante e a superfcie de cedncia imutvel.

    Sucintamente as leis de endurecimento/amolecimento permitem descrever mudanas de posio e tamanho

    da superfcie de cedncia em funo das deformaes plsticas.

    Num caso bidimensional de um material elstoplstico com endurecimento, existem duas formas de

    endurecimento: isotrpico e cinemtico como exemplificado na Figura 3.9.

    No caso isotrpico apenas o tamanho da superfcie de cedncia se altera, mantendo-se a sua forma e posio,

    ou seja permanece centrada no mesmo ponto fixo. Por outro lado se a superfcie de cedncia permanece com

    o mesmo tamanho, forma e orientao, e somente muda de posio no referencial de tenses, trata-se de

    endurecimento cinemtico.

    a) b)

  • 26

    Figura 3.9 Tipos de endurecimento (adaptado de Potts & Zdravkovic, 1999)

    Matriz Constitutiva Elastoplstica 3.4.4.

    Com base nas equaes e conceitos enunciados anteriormente pode-se ento definir a relao entre tenses

    incrementais e deformaes incrementais com o objectivo de esta ser utilizada na implementao de modelos

    constitutivos elastoplsticos. Definindo [] como matriz constitutiva elastoplstica e continuando a admitir

    que [] representa a matriz constitutiva puramente elstica, ento a relao entre as tenses incrementais e

    as respectivas deformaes para um material elastoplstico, pode ser escrita da seguinte forma:

    { } = []{} (3.27)

    Sendo que o incremento de deformao {} obtido atravs da soma de uma parcela elstica e outra

    plstica:

    {} = {} + {} (3.28)

    Relembrando as definies de material elstico e lei de fluxo para materiais plsticos, {} e {}

    respectivamente:

    {} = []1{ } (3.29)

    {} = ({ }, {})

    (3.30)

    Combinando as equaes (3.29) e (3.30) com (3.27), possvel escrever que:

    { } = []{} [] {({ }, {})

    } (3.31)

    Conforme apresentado anteriormente, de acordo com a Teoria da Plasticidade, os materiais em regime plstico

    devem satisfazer a condio ({ }, {}) = 0, ou seja aps um incremento de deformao plstica devem

    permanecer na superfcie de cedncia tal que F se mantem igual a zero. Assim pode dizer-se que

    ({ }, {}) = 0.

  • 27

    Utilizando a regra de cadeia neste diferencial, obtm-se a equao denominada por equao de consistncia:

    ({ }, {}) = {({},{})

    }{ } + {

    ({},{})

    }{} = 0

    (3.32)

    Esta ltima equao pode ser escrita de outra forma:

    { } ={({ }, {})

    }

    {}

    {({ }, {})

    }

    (3.33)

    Combinando equaes (3.31) e (3.33), obtm-se:

    ={({ }, {})

    }

    []{}

    {({ }, {})

    }

    [] {({ }, {})

    } +

    (3.34)

    onde

    = 1

    {({ }, {})

    }

    {} (3.35)

    O parmetro A definido na equao (3.36) ir depender da condio de plasticidade do material:

    perfeitamente plstico, plstico com endurecimento ou amolecimento. Quando perfeitamente plstico o

    vector {} constante, o que implica = 0.

    No caso de endurecimento/amolecimento, {} est relacionado com as deformaes plsticas acumuladas,

    {}. Por isso, a equao (3.35) pode ser reescrita da seguinte forma:

    = 1

    {({ }, {})

    }

    {}

    {}{}

    (3.36)

    Por fim, substituindo (3.34) em (3.31) obtm-se:

    { } = []{} [] {

    ({ }, {})

    } {({ }, {})

    }

    []{}

    {({ }, {})

    }

    [] {({ }, {})

    } +

    (3.37)

    Recordando a equao (3.27), possvel compar-la a (3.37). Assim estabelece-se que a matriz constitutiva

    elastoplstica pode ser expressa por:

  • 28

    [] = [] [] {

    ({ }, {})

    } {({ }, {})

    }

    []

    {({ }, {})

    }

    [] {({ }, {})

    } +

    (3.38)

    Critrios de Rotura 3.4.5.

    Segundo Roberts (1977), a condio de rotura atingida quando a taxa de deformao comea a acelerar sob

    cargas constantes ou, se ambas as caractersticas associadas a deformaes elsticas e plstica esto presentes,

    como por exemplo, a percentagem mxima admitida para uma deformao irreversvel ocorre no material.

    Em seguida so apresentados alguns dos critrios de rotura mais utilizados na Engenharia Geotcnica, bem

    como uma descrio dos modelos nos quais so aplicados.

    i. Critrio de Rotura de Tresca

    O critrio de rotura de Tresca uma relao entre o dimetro do crculo de Mohr e a resistncia no drenada:

    ({ }, {}) = 1 2 = 0 (3.39)

    Um modelo que utiliza este critrio foi criado inicialmente para representar o comportamento dos metais e

    trata-se de um modelo elstico perfeitamento plstico, ou seja, sem endurecimento e/ou amolecimento, caso

    em que o critrio de rotura coincide com a superfcie de cedncia. Este modelo bastante utilizado para

    modelar o comportamento no drenado do solo, uma vez que a resistncia no drenada de corte, ,

    relaciona-se com o critrio de rotura de Tresca (Figura 3.10).

    Figura 3.10 Crculo de Mohr Resistncia no drenada

    No caso de um ensaio triaxial no drenado para uma argila saturada, expressando os resultados em termos de

    tenses totais, pode-se escrever:

    1 = 2 (3.40)

  • 29

    Para uma anlise de elementos finitos mais apropriado trabalhar em termos dos invariantes de tenso, , e

    , e desta forma (3.39) reescrita da seguinte forma:

    ({ }, {}) = cos = 0 (3.41)

    Em que =2

    . Esta funo num espao de tenses principais corresponde a um cilindro hexgono regular

    (Figura 3.11).

    Figura 3.11 Critrio de rotura de Tresca no espao de tenses principais

    Para utilizar este modelo para simular o comportamento no drenado de argilas saturadas (situao em que a

    variao volumtrica nula) conveniente assumir a lei de fluxo associado, ({ }, {}) = ({ }, {})). Para

    demonstrar que a condio de variao volumtrica de deformaes plsticas nula deriva-se a funo

    potencial plstica em ordem a :

    =

    ({ }, {})

    =

    ({ }, {})

    = 0

    (3.42)

    Para completar este modelo, necessrio definir os parmetros elsticos, ou e , sendo este ltimo

    = 0.5 (no existe variao elstica de volume). Para alm disto, h que definir tambm o valor para a

    resistncia no drenada, .

    ii. Critrio de Rotura de Von Mises

    O critrio de rotura de Von Mises pode ser escrito da seguinte forma:

    ({ }, {}) = = 0 (3.43)

    Onde um parmetro relacionado com a resistncia no drenada:

    =

    cos

    (3.44)

    Este critrio de rotura elimina as singularidades do critrio de rotura de Tresca. Os cantos do hexgono da

    superfcie de Tresca implicam singularidades que podem causar dificuldades na anlise numrica.

  • 30

    Na Figura 3.12 a) possvel observar a representao no espao de tenses principais do critrio de rotura de

    Von Mises, o qual tem a forma de um cilindro. de salientar que dependendo do parmetro , as superfcies

    de Tresca e Von Mises podem coincidir em pontos especficos, como possvel observar na Figura 3.12 b).

    Figura 3.12 a) Critrio de rotura de Von Mises no espao de tenses principais e b) no plano deviatrico

    iii. Critrio de Rotura de Mohr-Coulomb

    Coulomb props, atravs de ensaios de corte, que a tenso de corte composta por duas componentes, uma

    friccional caracterizada pelo ngulo interno de atrito, , e outra coesiva ou de adeso caracterizada pela

    coeso, (Figura 3.13). Assim, possvel obter uma linha recta que corresponde equao (3.45) num

    referencial ( ).

    = + tan (3.45)

    Figura 3.13 Relao entre tenses de corte e tenses normais (adaptado de Holtz & Kovacs, 1981)

    Em 1900, Mohr props um critrio de rotura para materiais que pode ser expresso atravs da tenso mxima

    de corte, . Desta forma:

    = ( ) (3.46)

    a) b)

  • 31

    Onde a tenso de corte e a tenso normal ao plano de corte. Ao combinar os crculos de Mohr e o

    envelope de rotura de Coulomb, foi possvel criar o critrio de rotura de Mohr-Coulomb como conhecido

    actualmente.

    O critrio de rotura de Mohr-Coulomb, representado na Figura 3.14 a), definido pela recta tangente ao

    crculo de Mohr. Este critrio, bastante utilizado em Engenharia Geotcnica, frequentemente aplicado na

    representao do comportamento de solos em termos de tenses efectivas. O critrio de rotura de Mohr-

    Coulomb expresso em termos das tenses principais dado pela equao seguinte:

    ({ }, {}) = 1

    2 cos ( 1

    ) sin (3.47)

    Figura 3.14 a) Envolvente de rotura de Mohr-Coulomb e b) e representao no espao de tenses principais (adaptado de Cogliati, 2011)

    Em termos de invariantes, possvel reescrever (3.47) da seguinte forma:

    ({ }, {}) = (

    tan + )( ) = 0 (3.48)

    Onde,

    ( ) =sin

    cos +sin sin

    3

    (3.49)

    No espao de tenses principais o critrio de rotura de Mohr Coulomb representado por um hexgono

    irregular, como indicado na Figura 3.14 b). Este critrio de rotura tambm independente da tenso principal

    intermediria, 2.

    O modelo vulgarmente denominado de modelo de Mohr-Coulomb elstico linear perfeitamente plstico, em

    que a funo dada pela Equao (3.47) utilizada como funo de cedncia, podem assumir ou no lei de fluxo

    associada. No caso de ser adoptada lei de fluxo associada, de acordo com a Figura 3.14 a), observa-se que o

    a) b)

  • 32

    vector dos incrementos das deformaes plsticas, , est inclinado num certo ngulo com a vertical,

    indicando deformaes plsticas negativas, o que resulta em deformaes volumtricas plsticas dilatantes.

    Assim, este ngulo define-se como ngulo de dilatncia, , e determinado em funo da direco normal

    superfcie de cedncia. Este ngulo pode geometricamente coincidir com o ngulo de resistncia ao corte, ,

    quando se assume lei de fluxo associada:

    = sin1 ((1

    +

    )

    (1

    ))

    (3.50)

    No entanto, em termos reais as deformaes plsticas volumtricas (i.e. dilatncia) so em geral bastante

    inferiores s previstas pelo modelo. O solo inicialmente pode dilatar ao atingir a superfcie de cedncia mas

    usualmente, com grandes deformaes, alcana uma condio de volume constante, ou seja, variao da

    deformao volumtrica nula. Desta forma como tentativa de resoluo deste problema, pode-se adoptar

    uma lei de fluxo no associada, cuja superfcie potencial plstica dada por:

    ({ }, {}) = ( + )( )

    (3.51)

    onde,

    ( ) =sin

    cos +sin cos

    3

    (3.52)

    E a distncia do vrtice da superfcie cnica obtida e a origem do espao das tenses principais. A funo

    de potencial plstico evidenciada em (3.51) pode tambm ser reescrita no formato da funo de cedncia em

    (3.47), substituindo o ngulo de atrito, , pelo ngulo de dilatncia, .

    H que notar que este modelo possui singularidades (cantos do hexgono e vrtice), onde os gradientes das

    funes de cedncia e de potencial plstico no conseguem ser definidos. Isto especialmente importante na

    implementao deste modelo em programas que utilizam o mtodo dos elementos finitos. Como forma de

    contornar este problema, sugerido por vrios autores (Abbo & Sloan, 1995; Griffiths & Willson, 1986)

    suavizar as singularidades, arredondando os cantos no critrio de rotura; outros (Abaqus, 2010; Mentrey &

    Willam, 1995) sugerem arredondar antes os cantos da superfcie de potencial plstico (que tem como

    consequncia uma lei de fluxo no associada obrigatria, uma vez que a superfcie de rotura e o potencial

    plstico possuem fundamentalmente formas diferentes). No contexto do software PLAXIS, este utiliza uma

    transio abrupta de uma superfcie de cedncia para outra (van Langen & Vermeer, 1990).

    Para finalizar o modelo de Mohr-Coulomb necessrio definir e e ainda os parmetros que caracterizam

    a componente elstica do modelo.

    iv. Critrio de Rotura de Drucker-Prager

    Este critrio foi desenvolvido com a finalidade de eliminar as singularidades existentes na superfcie de

    cedncia do critrio de rotura de Mohr Coulomb. Desta forma, o critrio de rotura toma a forma de um cone

  • 33

    cilndrico, como evidente na Figura 3.15 a), tornando-se dependente da tenso principal intermdia, sendo

    definida em funo dos invariantes da seguinte maneira:

    ({ }, {}) = (

    tan + )

    (3.53)

    onde,

    = ( ) =sin

    cos +sin sin

    3

    (3.54)

    Os critrios de rotura de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager podem coincidir em pontos especficos, Figura 3.15

    b), para um certo valor do ngulo de Lode, .

    Figura 3.15 a) Critrio de rotura de Drucker-Prager no espao de tenses principais e b) representao no plano deviatrico (Cogliati, 2011)

  • 34

  • 35

    4. Implementao dos Modelos Constitutivos

    no PLAXIS

    Introduo 4.1.

    A verso 8.2 do software PLAXIS permite que o utilizador implemente modelos constitutivos (user-defined soil

    models), atravs da criao de subrotinas num determinado formato em linguagem Fortran. O PLAXIS fornece

    tambm no seu manual uma lista de subrotinas para operaes matriciais e algbricas escritas nessa linguagem

    (Brinkgreve et al., 2002). As subrotinas existentes na biblioteca do programa so posteriormente compiladas

    num ou vrios ficheiros no formato .dll (Dynamic Link Library) e copiadas para o directrio do programa. O

    compilador escolhido para esta tarefa foi o Lahey-Fortran Professional verso 7.7, uma vez que apresentava a

    melhor compatibilidade com a verso 8.2 do PLAXIS (lanada em 2002). Testou-se que a maior parte dos

    compiladores opensource recentes falham em compilar o cdigo em Fortran disponibilizado aquando da

    instalao do PLAXIS (biblioteca de funes). Posto isto, os ficheiros .dll podem ser utilizados como qualquer

    outro modelo pertencente ao programa, bastando copi-los para a directoria do software, sendo possvel

    aceder ao modelo na interface e inserir os parmetros deste.

    Estes modelos permitem simular o comportamento do solo num s ponto do material, ou seja, simulam o

    incremento de tenses resultante da aplicao de um incremento de deformao. O comportamento global

    governado pelo mtodo dos elementos finitos inerente ao PLAXIS. Por outras palavras, o utilizador providencia

    a informao sobre como o programa deve determinar as tenses efectivas num dado momento, juntamente

    com possveis variveis de estado, e o PLAXIS providencia ao utilizador os valores anteriores de tenses

    efectivas e variveis de estado e/ou tempo, bem como os incrementos de deformaes e tempo quando

    aplicvel.

  • 36

    Estrutura Geral dos Modelos definidos pelo Utilizador 4.2.

    Dentro do programa de clculo do PLAXIS (calc) podem ser realizadas quatro tarefas (Brinkgreve et al., 2002):