Implementações do Método de Aproximação Primal-Dualluna/steiner/apres.pdf · Rafael Pereira...

O Problema da Floresta de SteinerAlgoritmo de Goemans e Williamson

Implementações do AlgoritmoConsiderações Finais

Implementações do Método de AproximaçãoPrimal-Dual

aplicado ao Problema da Floresta de Steiner

Rafael Pereira Luna

Departamento de Ciência da ComputaçãoInstituto de Matemática e Estatística

Universidade de São Paulo

27 de abril de 2006

Rafael Pereira Luna Implementações do Método de Aproximação Primal-Dual

Visão Geral

1 O Problema da Floresta de Steiner

2 Algoritmo de Goemans e WilliamsonAlguns conceitos importantesO algoritmo

3 Implementações do Algoritmo

4 Considerações Finais

Visão Geral

Definição do Problema

Dados: G = (V , E), uma função custo c : E → Q> e umafamília R de subconjuntos de V ,

Encontrar: R-floresta F que minimize c(F ).

Definição de R-floresta

Uma R-floresta F é uma floresta geradora de G tq cadaconjunto de R está contido em alguma componente de F .

Exemplo

Nomenclatura

vértices de Steiner : vértices que não estão em conjuntosda família R;

terminais : vértices que estão em algum conjunto de R;

conjunto de terminais : cada um dos conjuntos de R;

floresta de Steiner : R-floresta quando R está implícito.

Nomenclatura

Aplicações

Projeto de redes;

Roteamento de circuitos VLSI.

Complexidade

O Problema de Steiner em Grafos , que éNP-difícil [Karp72], é um caso particular do Problema daFloresta de Steiner (|R| = 1);

O Problema da Floresta de Steiner é MAX SNP-difícil;

Primeiro algoritmo de aproximação para o Problema daFloresta de Steiner: (2− 2

t )-aproximação projetada porAgrawal, Klein e Ravi [AGW91].

Complexidade

Alguns conceitos importantesO algoritmo

Visão Geral

Algoritmo de Goemans e Williamson (92)

Goemans e Williamson generalizaram o algoritmo deAgrawal, Klein e Ravi e projetaram um algoritmo deaproximação primal-dual que se aplica a uma amplaclasse de problemas de projeto de redes;

Este algoritmo é uma (2− 2t )-aproximação para o Problema

da Floresta de Steiner;

Algoritmo de Goemans e Williamson (92)

Goemans e Williamson generalizaram o algoritmo deAgrawal, Klein e Ravi e projetaram um algoritmo deaproximação primal-dual que se aplica a uma amplaclasse de problemas de projeto de redes;

Este algoritmo é uma (2− 2t )-aproximação para o Problema

da Floresta de Steiner;

Visão Geral

Conjunto ativo: S ⊂ V é ativo se existe algum T ∈ R tal queS ∩ T 6= ∅ e T \ S 6= ∅.

Componente ativa: componente cujo conjunto devértices é ativo;

Componente inativa: componente cujo conjunto devértices não é ativo.

Observação importante

Se F é uma floresta geradora que não tem componentesativas , então F é uma floresta de Steiner .

Componente ativa: componente cujo conjunto devértices é ativo;

Componente inativa: componente cujo conjunto devértices não é ativo.

Se F é uma floresta geradora que não tem componentesativas , então F é uma floresta de Steiner .

Visão Geral

Esboço 1

F ← (V , ∅);Fase iterativa: enquanto F contém componentesativas faça

escolha uma aresta externa boa e que possui pelo menosum extremo em uma componente ativa;EF ← EF ∪ {e}.

Fase da limpeza: encontra floresta de Steiner minimalem F .

Como escolher uma aresta boa?

Esboço 1

Formulação do Problema da Floresta de Steineratravés de um programa inteiro

Se F é uma floresta de Steiner, então, para todo S ativo,EF ∩ δ(S) 6= ∅.

Programa inteiro equivalente ao Problema daFloresta de Steiner

minimize∑

e∈E cexe

sob as restrições∑

e∈δ(S) xe ≥ 1 para cada S ativo,xe ∈ {0, 1} para cada e em E .

Formulação do Problema da Floresta de Steineratravés de um programa inteiro

Se F é uma floresta de Steiner, então, para todo S ativo,EF ∩ δ(S) 6= ∅.

Programa inteiro equivalente ao Problema daFloresta de Steiner

minimize∑

e∈E cexe

e∈δ(S) xe ≥ 1 para cada S ativo,xe ∈ {0, 1} para cada e em E .

Relaxação linear e dual

Relaxação linear

minimize∑

e∈E cexe

e∈δ(S) xe ≥ 1 para cada S ativo,xe ≥ 0 para cada e em E .

maximize∑

S ativo ySsob as restrições

∑S ativo:e∈δ(S) yS ≤ ce para cada e em E ,

yS ≥ 0 para cada S ativo.

Relaxação linear e dual

Relaxação linear

minimize∑

e∈E cexe

e∈δ(S) xe ≥ 1 para cada S ativo,xe ≥ 0 para cada e em E .

maximize∑

S ativo ySsob as restrições

∑S ativo:e∈δ(S) yS ≤ ce para cada e em E ,

yS ≥ 0 para cada S ativo.

Esboço 2

F ← (V , ∅);yS ← 0 para cada S ativo; B y dual viávelFase iterativa: enquanto F contém componentesativas faça

calcule ε máximo;yS ← yS + ε para cada S ativo;e← aresta externa a F tq

∑S ativo:e∈δ(S) yS = c e;

EF ← EF ∪ {e}.Fase da limpeza: encontra floresta de Steiner minimalem F .

Como calcular ε?

Esboço 2

Como calcular ε?

Esboço 2

Como calcular ε?

Esboço 2

Como calcular ε?

Cálculo do ε

Para cada aresta externa uv , calcular folga(uv), o valor doincremento necessário para que

∑S ativo:uv∈δ(S) yS = cuv :

(cuv −∑

S:uv∈δ(S) yS)/2, se u e v pertencem acomponentes ativas;

cuv −∑

S:uv∈δ(S) yS, se u ou v , mas não ambos, pertencea uma componente ativa;

∞, se u e v pertencem a componentes inativas.

Cálculo de ε

ε = min{folga(e) | e é uma aresta externa aF}

Cálculo do ε

(cuv −∑

cuv −∑

Cálculo de ε

Cálculo do ε

(cuv −∑

cuv −∑

Cálculo de ε

Cálculo do ε

(cuv −∑

cuv −∑

Cálculo de ε

Cálculo do ε

(cuv −∑

cuv −∑

Cálculo de ε

Algoritmo MinFS-GW(G,R, c)

1 F ← (VG, ∅)2 Eext← EG3 yS ← 0 para cadaconjuntoS ativo4 enquantoF tem alguma componente ativafaça5 escolhae tal quefolga(e) = min{folga(e) | e ∈ Eext}6 sefolga(e) =∞7 pare: “o problema não tem solução!”8 yS ← yS + folga(e) para cadacomponente ativaS deF9 EF ← EF ∪ {e}

10 Eext← Eext \ {uv | u ev estão na mesma componente emF}11 sejaF ′ umaR-floresta minimal contida emF12 devolvaF ′

Visão Geral

Implementações estudadas

Goemans e Williamson [GW92]: O(n2 log n)

Gabow, Goemans e Williamson [GGW93]:O(n(n +

√m log log n));

Klein [Klein94]: O(√

m log n);

Cole, Hariharan, Lewenstein e Porat [CHLP01]:O(k(m + n) log2 n).

√m log log n));

m log n);

√m log log n));

m log n);

√m log log n));

m log n);

Características comuns

y não é armazenado explicitamente;

as arestas externas são mantidas em heaps de mínimo;

conjunto de vértices das componentes da floresta:union-find.

Questão importante

Como manter atualizada de maneira eficiente a informaçãoque indica o número de extremos de uma aresta que estãoem componentes ativas?

Implementação de GW

Apenas uma aresta externa é considerada para cada par decomponentes.

guardar estas arestas em um heap de mínimo;

chave de cada aresta no heap: folga.

Implementação de GW

Apenas uma aresta externa é considerada para cada par decomponentes.

guardar estas arestas em um heap de mínimo;

chave de cada aresta no heap: folga.

Implementação de GGW

Idéia

Reduzir o número de arestas armazenadas.

Organizar as arestas em heaps menores.

fase iterativa dividida em subfases de no máximo riterações (r =

√m/ log log n);

Implementação de GGW

Idéia

Reduzir o número de arestas armazenadas.

Organizar as arestas em heaps menores.

fase iterativa dividida em subfases de no máximo riterações (r =

√m/ log log n);

Implementação de GGW (continuação)

em cada subfase, são consideradas apenas as 2r“menores” arestas incidentes em cada componente;

Implementação de GGW (continuação)

arestas são mantidas em pacotes com capacidademáxima log n.

Implementação de Klein

IdéiaAtribuir de modo adequado as arestas externas aos seusextremos.

para cada componente S e para cada bicategoria b, umheap h(S, b) guarda as arestas externas de b atribuídasa S;

bicategorias: (ATIVO, ATIVO), (ATIVO, INATIVO),(INATIVO, ATIVO) e (INATIVO, INATIVO);

os heaps h(∗, b) são mantidos em um heap H(b);

arestas não atribuídas a S são mantidas em uma listaligada extra(S).

Implementação de Klein (continuação)

Implementação de CHLP

Idéia

Reduzir para dois o númerode grupos em que as arestasse dividem: {ATIVO, INATIVO}e {INATIVO, INATIVO}.Dividir cada aresta em duaspartes através da adição deum novo vértice de Steinerao grafo .

Implementação de CHLP

Idéia

Reduzir para dois o númerode grupos em que as arestasse dividem: {ATIVO, INATIVO}e {INATIVO, INATIVO}.Dividir cada aresta em duaspartes através da adição deum novo vértice de Steinerao grafo .

Implementação de CHLP (continuação)

vantagem: é possível mover de grupo, de uma só vez, asarestas incidentes em cada componente;

preço: pequena degradação na razão de aproximação[(1 + 1

) (2− 2

Implementação de CHLP (continuação)

vantagem: é possível mover de grupo, de uma só vez, asarestas incidentes em cada componente;

preço: pequena degradação na razão de aproximação[(1 + 1

) (2− 2

Visão Geral

Variedade de estruturas de dados e algoritmosutilizados nas implementações

union-find;

heaps de Fibonacci;

árvores binárias balanceadas de busca;

algoritmos para a seleção do k -ésimo menor elemento emum vetor;

algoritmo para encontrar o ancestral comum mais próximode dois nós em uma árvore.

union-find;

heaps de Fibonacci;

union-find;

heaps de Fibonacci;

union-find;

heaps de Fibonacci;

Implementações do Método de Aproximação Primal-Dualluna/steiner/apres.pdf · Rafael Pereira...

Documents

Transcript of Implementações do Método de Aproximação Primal-Dualluna/steiner/apres.pdf · Rafael Pereira...