Indecibilidade da Lógica de Predicados

Felipe CecagnoGuilherme Lazzarotto de Lima

Luiz Fernando Scheidegger

(UFRGS – Instituto de Informática ­ 2006/2)

Contexto Histórico

• Final do séc. XIX: Intelectuais acreditavam que havia pouca coisa a ser ainda descoberta

• 1900: Congresso Internacional de matemática (Paris). David Hilbert propôs 23 problemas que seriam um fecho da matemática

• em 1931, Kurt Gödel publicou uma prova de que a Lógica de Predicados, junto com uma forma de Aritmética, é necessariamente incompleta

Kurt Gödel (1906 ­ 1978)

• Gödel foi um matemático Austríaco, nascido em Brno, na atual República Tcheca

• Publicou trabalhos importantíssimos para a Lógica Formal

Viveu durante muito tempo nos Estados Unidos, onde conheceu cientistas importantes como Albert Einstein

Problema 2 de Hilbert

• Gödel resolveu, em 1931, o problema 2 dos 23 problemas propostos por Hilbert

• A solução causou controvérsia e contrariou a expectativa geral dos intelectuais da época

• Se acreditava que a Aritmética Formal seria completa

Aritmética de Peano

• Baseada em axiomas:– 0 é um número natural– qualquer número natural tem um sucessor– 0 não sucede nenhum número– dois números diferentes têm sucessores 

diferentes– indução matemática

Exemplos:

• (SS0 + SSS0) = SSSS0• ~(SS0 + SS0) = SSS0• S0 = 0 ­­> 0 = S0

A prova de Gödel

O paradoxo do mentiroso:Esta frase é uma mentira.

­ Formalização de uma construção semelhante para Lógica Formal: 

“Esta afirmativa é verdadeira e não pode ser provada.”

Enumeração de Gödel

• Símbolos são arbitrários, e podem ser substituídos:

0 .... 666S .... 123= .... 111+ .... 112* .... 236^ .... 161v .... 616

etc.

Auto­referência

• Como símbolos são substituídos para números, e números já podem ser tratados na nossa lógica, podemos falar de proposições que se referem a outras proposições:

p(a) ­> p'(a)

SSS........SSS0 = 0(exatamente 133,362,262,323,633,133,163,362,262,323 S's)

Quinificação e Pares de Prova

• Quinificação consiste em colocar dentro de uma fórmula uma referência para seu próprio número de Gödel. Com isso, esta fórmula pode falar sobre si mesma.

• Pares de prova são uma propriedade de alguns números que permitem expressar a noção de existência ou não de uma prova dentro do sistema formal.

Conseqüências

• Depois que a incompletude da lógica de Predicados foi provada, os esforços passaram a ser dispendidos em descobrir se havia como diferenciar fórmulas que tinham provas daquelas que não tinham provas.

Alan Mathison Turing (1912 ­ 1954)

Cálculo Lambda

• Um pouco antes da prova de Turing, entretanto, Alonzo Church publicou, nos Estados Unidos, um artigo sobre o Cálculo Lambda, que efetivamente provava a mesma coisa que Turing provou com suas máquinas universais

Entscheidungsproblem

• Turing desenvolveu o conceito de Máquinas de Turing, e provou, com estas, que não há um algoritmo capaz de decidir se uma fórmula da lógica é provável ou não;

• Prova baseada no argumento de Diagonalização de Cantor

Bibliografia

• HOFSTADTER, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books 1979.

• HAWKING, Stephen. God Created the Integers. Running Press 2005.

• http://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing• http://en.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsproblem