Indecidibilidade

Prof.: Edson Holanda

edsonholanda@gmail.com

Teoria da computação

Programa Hello, World

main( ){ printf( "Hello, World \n"); getch( );}

?????

“O programa P com a entrada E, imprime a string ‘Hello, world’?”

Programa Hello 2main(){ int n, total, x, y, z; scanf("%d", &n); total = 3; while(1) {for (x = 1; x <= total - 2; x++)

for ( y = 1; y <= total -1; y++) { z = total - x - y;

if (exp(x,n) + exp(y,n) == exp (z,n)) { printf("Hello, World");} }

total++; }}

Programa Hello 2

int exp(int i, int n){ int res, j; res = 1; for ( j = 1 ; j <= n ; j++ )

{ res = res * i; } return(res);}

Último teorema de Fermat “Não existem soluções

inteiras para a equação

xn + yn = zn ,

se n > 2”.

Testador hipotético

Testador de Hello, world

H

P

E

Sim

Não

Testador hipotético

H1

P

E

Sim

Hello, World

Testador hipotético

H2P

Sim

Hello, World

O que acontece quando…. ?

H2H2

Sim

Hello, World

Vamos chamar esse problema de ‘Hello, world’

Princípio da Redução

Problema Hello, world

Redução de

Hello, world

Problema Chamar F1

Reduzindo um problema a outro

ConstruirInstância de P1

Sim

Não

Instância de P2

Decidir

Um exemplo de redução Vamos mostrar que o

problema: “ O programa P, dada a entrada E,chamará a função f1?” é indecidível.

Obs.: Vamos supor que o programa possui uma função chamada f1

Prova: Usaremos uma demonstração

por absurdo; Como só conhecemos um

problema indecidível, Hello, world fará o papel de P1 no diagrama mostrado anteriormente.

Prova: (cont.)

Precisamos projetar um algoritmo que converta o problema Hello, world no problema de chamar F1.

Prova: (cont.)

Ou seja, dado o programa P e sua entrada E, devemos contruir uma programa R e uma entrada Z tais que R, com a entrada Z, chame F1 SSE P com a entrada E imprimir Hello, world.

Prova: (cont.) A construção

1. Se P tem uma função F1, renomeie essa função e todas as chamadas a ela. ( vamos chamar esse novo programa de P1)

Prova: (cont.) A construção

2. Adicione a P1 uma função F1. Essa função não faz nada e não é chamada. ( vamos chamar esse novo programa de P2)

Prova: (cont.) A construção

3. Modifique P2 para memorizar os 12 primeiros caracteres que ele imprime (armazenando em um vetor global V. ( vamos chamar esse novo programa de P3)

Prova: (cont.) A construção

4. Modifique P3 de forma que, sempre que executar qualquer instrução de saída, ele verifique em seguida no vetor V se escreveu 12 caracteres ou mais e, se for o caso, se Hello, world são esses 12 primeiros caracteres. Nesse caso, chame a nova função F1. O programa resultade é R e a entrada Z é igual a E.

Prova: (cont.) conclusão

Dessa forma transformamos um problema Hello, world em um caso do problema chamar F1.

Logo, se o problema chamar F1 fosse decidível, então o problema Hello, world também seria. O que é um absurdo poís sabemos que Hello, world é indecidível.

Portanto, o problema chamar F1 também é indecidível.

Importante:

Sobre a prova através de redução:

Observe a importância do raciocínio recursivo na implementação do programa H2.

Importante:

A tese de Church estabelece uma correspondência entre as noções de Algoritmo e Máquina de Turing.

Ou seja, podemos pensar num algoritmo como uma máquina de turing que sempre pára, para qualquer entrada, aceitando ou rejeitando.

Importante:

Lembre que L é uma linguagem recursivamente enumerável (RE) SSE L = L1(M) para alguma Máquina de Turing M.

Ling. Recursivas Decidíveis MT sempre pára.

Uma modificação na MT Seja M = (Q ,, , q0, ß, F) uma

Máquina de Turing.

Assumiremos que a fita é infinita, tanto do lado direito quanto do lado esquerdo.

A palavra de entrada w será formado por todos os símbolos diferentes do branco, desde o mais a esquerda até o mais o direita.

Outro problema indecidível Vamos provar que é indecidível a

linguagem que consiste em pares (M,w) tais que:1. M é uma máquina de turing (codificada em binário), com alfabeto de entrada { 0, 1 }2. w é um string de 0´s e 1´s.3. M aceita a entrada w.

Enumeração dos strings binários Ordene todos os strings de acordo com o

comprimento e os de mesmo comprimento por ordem lexicográfica.

Ex: , 0, 1, 00, 01, ...

Dessa maneira podemos falar do primeiro string (w1), do segundo string (w2), etc.

Codificação para máquinas de Turing

Seja M = (Q ,, , q0, ß, F), precisamos atribuir números naturais aos estados, aos símbolos e aos sentidos (E e D).

1. Sejam q1,q2,...,qr para algum r. Vamos admitir que q1 sempre será o estado inicial e que q2 será o único estado de aceitação (final).

Codificação para máquinas de Turing

2. Sejam X1, X2, ..., Xs para algum s. Vamos admitir que X1 sempre será 0, X2 será 1 e que X3 será ß. Os demais símbolos são atribuídos de maneira aleatória aos próximos naturais.

3. Atribuiremos D1 ao sentido E e D2 ao sentido D.

Codificação para máquinas de Turing

Agora podemos codificar o função de

transição (qi, Xj) = (qk, Xl, Dm), para alguns naturais i, j, k, l e m.

Codificaremos essa regra pelo string

0i10j10k10l10m

Obs.: Como todos os valores i, j, k, l e m são, pelo menos, iguais a 1, não temos dois, ou mais, 1´s consecutivos.

Codificação para máquinas de Turing

Um código para a MT M inteira consiste em todos os códigos para as transições, em alguma ordem, separados por pares de 1´s:

C111C211...Cn-111Cn

Codificação para máquinas de Turing

Exercício: Codifica a MT M abaixo,

M = ({q1,q2,q3},{0,1}, , q1, ß, {q2})

na qual consiste nas regras:

(q1, 1) = (q3, 0, E),

(q3, 0) = (q1, 1, E),

(q3, 1) = (q2, 0, D),

Codificação para máquinas de Turing Lembrem que precisamos codificar pares

que consistem em uma MT e uma string, (M, w).

Para esse par usamos a codificação anterior para M, seguida de 111 e por w.

Obs.: Em um código para uma MT não contém três 1´s consecutivos.

Enumeração de MT´s Agora podemos ordenar todas as MT´s de

acordo com o comprimento e as de mesmo comprimento por ordem lexicográfica.

Assim, podemos falar da Mi(i-ésima máquina de Turing).

Obs.: Se o string não for uma representação bem formada de alguma MT, então ela representa um MT sem movimentos. L(M)={ }

A linguagem da diagonalização A linguagem Ld, a linguagem da

diagonalização, é o conjunto de strings wi tais que wi não está em L(Mi).

Vetor caracteristico: Formado por todas as strings que são aceitas pela MT Mi.

O complementa da diagonal não é o vetor característico de nenhuma MT.

Teorema: Ld não é RE Ou seja, não existe nenhuma MT que

aceite Ld. Prova: Vamos supor que Ld é L(M) para

alguma TM M. Como Ld é uma linguagem sobre o alfabeto {0,1}, M está na lista de MT que construímos, ou seja, existe um código para M, digamos que seja i ( M = Mi).

Teorema: Ld não é RE Wi está em Ld ?

Se wi está em Ld, então Mi aceita wi. Entretanto, por definição de Ld, wi não está em Ld, porque contém somente os valores wj tais que Mj não aceita Mj.

Teorema: Ld não é RE Wi está em Ld ?

Se wi não está em Ld, então Mi não aceita wi. Portanto, por definição de Ld, wi está em Ld.

O que é uma contradição (absurdo) !!