Índice de Morisita, teste de Durbin-

Watson, estatística circular e

geoestatística aplicados a dados

ecológicos

Dr. Luis Fernando Alberti

Os tópicos abordados nos presentes slides [e mais outros tópicos

adicionais] farão parte de um futuro livro a ser publicado pelo autor.

Índice de Morisita

Pergunta:

O padrão espacial dos

indivíduos de Campomanesia

pubescens no cerrado é

aleatório, agregado ou regular?

(Morisita é mais recomendado

nesse caso)

Maasaki Morisita

Fonte:

http://gap.entclub.o

rg/taxonomists/Mo

risita/index.html

Padrão aleatório:

Unidade amostral

utilizada para detectar

ou não o padrão das

plantas

Área de cerrado estudada

Espécie vegetal

Padrão agregado

Padrão agregado: variância entre aumenta...

Padrão regular

Resposta: utilizar o Índice de Morisita (1959)*

Morisita, M. (1959). "Measuring of the dispersion and

analysis of distribution patterns". Memoires of the Faculty of

Science, Kyushu University, Series E. Biology. 2: 215–235.

*Há também o Índice padronizado de Morisita

[http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_law

] que é menos sensível ao N amostral e ao tamanho das

unidades amostrais utilizadas na amostragem das plantas. É

um pouco mais trabalhoso de calcular, mas é mais confiável.

Para pensar: Índices são realmente

confiáveis? É confiável reduzir toda a

informação ecológica em um único

número? Com. pess. de Peter Feinsinger

O padrão temporal da floração do cacau é aleatória,

agregada ou regular?

(Morisita é menos recomendado nesse caso)

Análises de dados espaciais muito mais confiáveis: para

autocorrelação - teste de Breusch-Pagan, teste Q de Box Ljung,

teste ‘m’ de Durbin, tópicos a serem abordados em palestras

futuras.

Fonte: http://www.newsbiscuit.com/2007/10/03/bushs-thoughts-no-longer-with-dead-soldiers-

families-211/

Índice de Morisita conforme Poole (1974) e Sakai et al. (1999):

I= , em que:

– ni = número de indivíduos na i-ésima amostra;

– n = número total de indivíduos em todas as amostras;

– N = número de amostras (datas de coleta).

Se I for igual a 1, o padrão fenológico da fenofase é aleatório. Se I >1, o padrão é agregado

ou sazonal, e, se I <1, o padrão é regular. A significância do I pode ser testada usando-se a

estatística F como segue:

F =

O valor de F calculado é comparado com o F tabelado com N-1 graus de liberdade no

numerador e ∞ (infinito) no denominador.

H0 = O padrão não é sazonal / H1 (caso de rejeitar H0): O padrão é sazonal.

ni(ni 1)

n(n 1) x Ni 1

N

I (n 1) N n

N 1

Poole RW. 1974. An introduction to quantitative ecology. New York: McGraw-Hill.

Sakai S, Momose K, Yumoto T, Nagamitsu T, Nagamasu H, Hamid AA, Nakashizuka T. 1999.

Plant reproductive phenology over four years including an episode of general flowering in a

lowland dipterocarp forest, Sarawak, Malaysia. Am. J. of Bot. 86:1414–1436.

Exemplo do uso do Índice de Morisita (Id) em fenologia:

Uma floresta apresenta o seguinte número de árvores com

flores:

Id = [10 (10 – 1 )] + [9 ( 9 – 1 )] + ... + [8 ( 8 – 1 )]

____________________________________ x 12

(10 + 9 + ... + 8 = 53) x ( 53 - 1)

Id = 314 / 2756 x 12

Id = 1,3672

Id > 1 = padrão sazonal, Id ~ 1 = padrão aleatório, Id < 1, padrão regular.

Id = padrão agregado ou sazonal.

Significância estatística:

F calculado = Id ( 53 – 1 ) + 12 – 53 / 12 - 1

F calculado = 2,7359

Meses do ano de 2001 j f m a m j j a s o n d

Núm. de árvores com flores 10 9 8 5 2 1 1 1 1 3 4 8

Índice padronizado de Morisita I.C.

numerador colunas

denominador

linhas1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞

40 2.835 2.44 2.23 2.09 2 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38

60 2.791 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.6 1.54 1.51 1.48 1.44 1.4 1.35 1.29

120 2.748 2.35 2.13 1.99 1.9 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.6 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19

∞ 2.706 2.3 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.6 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.3 1.24 1.17 1

F tabelado (12° no num. e infinitos ° de lib. no den.) para 0.05 de

prob. de erro = 1,55

Se F calculado > F tabelado, o Id é significativo.

Tabela do teste F para P de erro de 0,05

2,73 > 1,55, o Id é significativo.

Conclusão: A frutificação da floresta é sazonal, (se rejeita H0,

consequent. Se aceita H1) ou seja, a floração se concentra em

uma única estação do ano (verão).

O teste de Durbin-Watson [DW](figura 1):

Figura 1. James Durbin e G.S. Watson

Fonte:

http://en.wikipedia.org/wiki/James

_Durbin;

http://www.latrobe.edu.au/mathem

atics-and-statistics/about-the-

department/watson-lecture

Forma poderosa de

detectar autocorrelação

espacial em dados

coletados em linha

[transecções] por meio

de regressão.

Mas o que é autocorrelação? É a propriedade de variáveis

aleatórias separadas por uma dada distância possuírem

pares de valores mais ou menos similares do que seria

esperado em pares de observações aleatoriamente

associadas (Legendre 1998). Ou seja, é a falta de

independência entre os erros de dados de campo devido à

proximidade geográfica. Uma característica dos dados

autocorrelacionados é a presença de manchas com valores

similares de uma determinada variável y (Legendre et al.

2002.

Legendre P & Legendre L. 1998. Numerical ecology (2ed).

Elsevier.

Legendre P, Dale MRT, Fortin M, Gurevitch J, Hohn M & Myers

D. 2002. The consequences of spatial structure for the design and

analysis of ecological field surveys. Ecography 25: 601–615.

Mais algumas ideias: Na autocorrelação, valores da variável

y próximos (região de influência do processo que gera

autocorrelação em y) determinam mais o valor de y

observado no centro geográfico da avaliação y do que

valores de outras variáveis.

Diz-se que o valor da variável y num dado local resulta de

um processo dinâmico intrínseco a própria variável y

(Legendre et al. 2002),

Note que estruturas espaciais (dependência espacial) nos

dados podem ser obtidas sem terem sido causadas por

processo de autocorrelação, o que é uma diferença sutil e

difícil de perceber na prática. Na dependência espacial um

valor da variável y é mais correlacionado com valores de

outras variáveis no espaço do que com um valor de y

próximo.

Swihart RK & Slade NA 1985.

Tests for independence of

observations in animal movements.

Ecology 66: 1176-1184.

Levich RM & Rizzo RC. 1998.

Alternative tests for time series

dependence based on autocorrelation

coefficients. Symposium on Global

Integration and Competition,

sponsored by the Center for Japan-

U.S. Business and Economic Studies,

Stern School of Business, New York

University, March 27-28, 1997.

O teste DW foi desenvolvido

sobre a razão de Von Neumann

V por J. Durbin e G.S. Watson

em 1950 (Swihart & Slade 1985)

e testa a significância estatística

do valor Д associado ao

coeficiente de autocorrelação

rho () dos erros de uma

regressão linear simples.

Segundo Levich & Rizzo (1998)

é o teste de hipótese sobre

autocorrelação mais conhecido

no mundo.

Exemplo numérico:

O teste DW utiliza os erros da regressão linear simples de

uma variável aleatória y [circunferência a altura do peito de

uma planta - cab] em função das distâncias lineares

acumuladas onde cada cab foi obtido.

Cab (y) Distância (x)

4 31,2

4,5 51,2

3,5 54,9

4 59,9

2,5 63

3,5 65,9

4 70,2

6 74,8

4 81,3

2,5 84,6

A regressão linear simples (RLS, tabela 1, figura 2) é o

modelo mais simples que se pode ajustar a dados ecológicos.

Consiste de uma reta que passa entre os pontos observados

(●) de forma a minimizar seus erros em relação aos valores

estimados pelo modelo, aqui representados por (O). Por

convenção, na maioria dos trabalhos científicos, os valores de

saída do modelo são representados pela própria reta. A

representação na Figura 2 visa facilitar o entendimento de

como é calculado o erro. O modelo linear simples y’= a+bx +

eij é composto em ordem de importância, pelo coeficiente

angular b (ou inclinação da reta), coeficiente linear a (ou

média) e o erro eij, que é a distancia entre um valor

observado (●) e o valor estimado (O) pelo modelo na Figura

2.

Atenção: o teste DW é inválido para modelos sem o termo a! Isso

é fácil de resolver: sempre inclua o intercepto a nos modelos...

Os erros indicam o quanto a reta da RLS se aproxima em

descrever o fenômeno observado e, além disso, descrevem

fenômenos não planejados (fatores alinhados) que podem

estar ocorrendo no experimento, como manchas nos valores

de y que podem possui os mais variados significados

ecológicos. Para simplificar o entendimento tudo o que foi

observado no campo está em fonte normal e o que foi

estimado está em itálico. As pequenas diferenças entre o a

da tabela 1 e da figura 2 se deve a arredondamentos.

Cálculo da regressão linear simples.

Na tabela 1 se encontram os dados de (y) cab de

Psychotria leiocarpa em função da distância (x) entre

as plantas em Santa Rita do Sapucaí, Minas Gerais,

Brasil bem como uma coluna chamada ‘P’ que

enumera o passo a passo que deve ser seguido nos

cálculos do modelo linear simples de regressão do

cab em função da distância.

Tabela 1. Passos (P) a serem seguidos nos cálculos do modelo linear simples de

regressão do cab em função da distância, tamanho da amostra N, cab (y),

distância (x), y2, x2, x*y, y’(y estimado pelo modelo), eij erros da regressão, somas

de y, x, y2, x2 e x*y, médias ȳ e 𝒙 de y e x, Syy, Sxx, Sxy, b, a e a reta da regressão

linear simples modelando a cab como função da distância das plantas de

Psychotria leiocarpa em Santa Rita do Sapucaí, Minas Gerais – Brasil.

As colunas y2, x2, x*y são potencias e multiplicações dos valores de x

e y nas linhas 1 a 10 e constituem o passo inicial (1) dos cálculos. As

somas de todos os valores das colunas y, x, y2, x2 e x*y estão na linha

número 2 dos passos dos cálculos. Após o cálculo das somas procede-

se o cálculo das médias y e x (passo 3). Com os resultados dos passos

2 e 3 se calcula Syy e Sxx, Sxy, cujos valores calculados estão em

cinza claro na tabela. Os coeficientes b e a são calculados com as

fórmulas b= 𝒙𝒊𝑵𝒊=𝟏 𝒚𝒊−𝐍𝒙 𝒚

𝒙𝒊𝟐−𝐍𝒙 𝟐𝑵

𝒊=𝟏

e a= ȳ-(b𝒙 ), que constituem um conjunto de

equações visando minimizar os erros, resolvidas nos passos 5 e 6 com

os valores das médias de y e x (ȳ e 𝒙 ), em cinza escuro na tabela. Os

dados de Syy em negrito serão necessários para o cálculo do

coeficiente de determinação R2. Substituindo-se x= 31,2 no modelo y’

= 4,1685-0,005x obtemos y’= 4,0125, ou seja, o y estimado pelo

modelo. Ao subtrairmos o valor estimado y’= 4,0125 do valor

observado de y= 4 obtemos o erro et-1 da figura 2, que é o mesmo

erro eij na tabela 1). Como podemos ver na figura 2 esse erro é bem

pequeno, na ordem de 0,0125 unidades de cab, ou seja, 0,0125 cm.

Figura 2. Dados observados (●), valores estimados (O) e erros quaisquer eij de um

modelo linear simples do tipo y’= a – bx + eij com b = -0,005 e a= 4,168 calculado para

os dados de (y) cab de plantas de Psychotria leiocarpa em função da distância (x) entre

as plantas submetidas ao tratamento IC, em Santa Rita do Sapucaí, Minas Gerais –

Brasil. Os erros et, et-1 e eT são o erro na segunda planta (ou segunda posição espacial,

segunda amostra, segunda planta, etc em estudos de ecologia), o erro na posição

espacial anterior (primeira planta) e o erro da última planta, respectivamente,

considerando o eixo x como sendo um sentido de amostragem (curso d’água = > topo

da colina, por exemplo).

A interpretação mais simples do significado dos erros da

regressão é a seguinte: se todos os eij fossem = 0 os valores

observados seriam iguais aos valores estimados. Nesse caso,

a reta descreveria precisamente o fenômeno observado. Tal

caso é muito raro. Na prática os valores estimados

geralmente destoam dos valores observados e rendem as

mais diversas interpretações, como discutido por Anscombe

(1973).

Anscombe FJ. 1973. Graphs in statistical analysis. American

Statistician 27:17-21.

A seguir… O teste DW: 1° valor de Д, etc.

obtidos com base nos erros.

O valor de Д do teste DW em questão é calculado pela

fórmula Д =[ 𝒆𝒕 − 𝒆𝒕−𝟏𝟐]/𝑻

𝒕=𝟐 [ 𝒆𝒕𝟐]𝑻

𝒕=𝟏 , onde o termo

𝒆𝒕 − 𝒆𝒕−𝟏𝟐𝑻

𝒕=𝟐 nos instrui a fazer o cálculo dentro do

parêntesis (erro na amostra 2 menos erro na amostra 1 e eleve o

resultado ao quadrado), desde o erro número 2 até o último

erro, ou seja, repita a instrução para todos os demais pares de

erros vizinhos em x (retorne a figura 2). O cálculo é feito a partir

do erro número dois, pois o erro número 1 não pode ser subtraído

de um erro número zero, que sequer existe. Ou seja, o erro 1 não

tem um par... O termo et é o erro numa posição espacial (ou

temporal) qualquer, et-1 é o erro na posição espacial anterior; O

termo 𝒆𝒕𝟐𝑻

𝒕=𝟏 : instrui a elevar cada erro ao quadrado, desde o

primeiro até o último erro. Portanto, a fórmula representa a soma

das variâncias dos erros dos pares de vizinhos mais próximos

dividido pela soma dos quadrados de cada erro, do primeiro até o

último par de erros e erros, respectivamente.

Diferentemente da maioria dos testes estatísticos, os valores

tabelados de d (minúsculo) do teste de DW são organizados

na forma de um intervalo de confiança, ou seja, d tabelado é

uma região de certeza e não um único valor como no teste F

(figura 3). Isso ocorre porque os valores d tabelado são

calculados com base nos dados observados e não refletem, a

rigor, todas as situações teóricas possíveis de d.

Figura 3. obtenção de d tabelado para k=1 regressor [excluindo o intercepto] e n= 10

amostras = dL = 0,604 e dU = 1,001.

A hipótese H0 testada no teste DW é de que = 0 (ausência

de autocorrelação dos erros) e a hipótese alternativa Ha é de

que #0. Note que o coeficiente pode assumir valores

positivos e negativos. A hipótese H0 é testada ao se comparar

os valores calculados de Д com os valores teóricos tabelados

de ‘d’ para diversas combinações de N amostral, número de

coeficientes na regressão etc. Para se comparar Д com ‘d’

quando for negativo devemos transformar Д em Д’ através

da simples fórmula Д’= 4- Д. Ao se rejeitar H0 com um

valor de > 0 se conclui que os erros estão positivamente

correlacionados e com < 0 se conclui que os erros estão

negativamente correlacionados. Portanto, três situações podem ocorrer:

1. Д > dU (do inglês d Upper).

Nesse caso, se aceita H0, não difere de zero, o que evidencia

ausência de autocorrelação dos erros no tempo t, para o qual

o teste foi originalmente desenvolvido. Nesse caso as

amostras são independentes.

2. Д < dL (d Lower), rejeita-se a hipótese nula de que = 0.

Logo a autocorrelação # 0 (difere de zero, podendo ser + ou

-, como explicado acima) e

3. dL < Д < dU, ou seja, Д está numa região em que não há

certeza sobre seu significado! Diz-se que o teste DW é

inconclusivo nesse caso e mais amostras são necessárias para

se tirar uma conclusão definitiva (Neter et al. 2004). Uma

opção prática no caso do teste DW possuir resultados

indeterminados é não rejeitar H0 (assumir que não há

autocorrelação dos erros).

Neter J, Kutner MH, Nachtsheim CJ & Wasserman W. 2004. Applied linear regression

models (4 ed.). Chicago, McGraw Hill/Irwin.

Cálculo do Д do teste de Durbin-Watson para os

dados da regressão linear simples nos slides acima

descrita:

A tabela 2 contém os dados do cab, as distâncias x, os erros

eij, idênticos aos valores calculados na tabela 1 mais os

termos (et-et-1), ( et-et-1)2, et

2 e Д , necessário para solucionar

a fórmula Д =[ 𝒆𝒕 − 𝒆𝒕−𝟏𝟐]/𝑻

𝒕=𝟐 [ 𝒆𝒕𝟐]𝑻

𝒕=𝟏 .

Tabela 2. Dados de cab (y), distâncias x, erros eij, termos (et-

et-1), ( et-et-1)2, et

2 e Д , referentes as plantas de Psychotria

leiocarpa.

De posse do Д podemos agora contrastá-lo com os valores

tabelados da figura 3:

Д T ou N Д’ dL dU Comparação de

Д com dL e dU

conclusão

Probabilidade de

erro=> 1% 1%

Aceita-se H0= = 0 =

ausência de

autocorrelação dos

erros

1,70 10 0,60 1,00 1,70>dU

Relembrando a

figura 3 temos: dL =

0,604 e dU = 1,001.

Com todas as informações tabeladas e lembrando das três

situações possíveis [e das hipóteses já mencionadas]temos

a seguinte conclusão: aceita-se H0 se conclui que a série de

dados de cap y em função da distância x é uma série sem

autocorrelação.

Nota: Os valores de dL e dU são valores tabelados para T graus de

liberdade (o tamanho da amostra N, ‘n’ minúsculo na figura 3 cuja fonte

é Savin & White 1977,

https://www3.nd.edu/~wevans1/econ30331/Durbin_Watson_tables.pdf ) e

k graus de liberdade (o número e coeficientes angulares b). É necessário

bastante atenção ao ler os valores nas tabelas disponíveis na internet,

pois algumas fornecem o valor de ‘d’ considerando o intercepto, o que

nos faria coletar dL e dU na coluna k’=2 ao invés de k’*=1. Em

http://www.stanford.edu/~clint/bench/dwcrit.htm existem tabelas para

valores altos de N e k. As colunas k’= 2 a k’= 7 são utilizadas em modelos

do y= a+ bx+ cx2+ ...+ gxn (regressão múltipla).

Epílogo: cálculo de rho []:

O é calculado por meio da fórmula =

𝒆𝒕 − 𝒆 𝒆𝒕+𝟏 − 𝒆 𝑻−𝟏𝒕=𝟏 𝒆𝒕 − 𝒆 𝟐𝑻

𝒕=𝟏 (adaptado de

Levich & Rizzo 1998 e Kuan 2003, pg. 9 para o caso de se

utilizar uma sequencia de valores de erros), onde 𝒆𝒕 − 𝒆

é o erro número 1 menos a média dos erros, a qual é

sempre zero, 𝒆𝒕+𝟏 − 𝒆 é o erro número dois menos a

média dos erros, 𝒆𝒕 − 𝒆 𝟐 é a variância do erro número 1.

Não é necessário se calcular rho para se saber se os dados

possuem autocorrelação espacial. Mas é interessante para

se saber o sinal da mesma e a sua magnitude. O

procedimento segue abaixo, a título de curiosidade.

O termo 𝑻−𝟏𝒕=𝟏 nos instrui somar no numerador o

resultado dentro dos parêntesis do primeiro até o

penúltimo erro e o termo 𝑻𝒕=𝟏 nos instrui a calcular a

variância de et até o último erro, no denominador. Uma

vez que a média dos erros da regressão é sempre zero,

se poderia simplificar a fórmula acima para =

𝒆𝒕 𝒆𝒕+𝟏𝑻−𝟏𝒕=𝟏 𝒆𝒕

𝟐𝑻𝒕=𝟏 . Na tabela 3 há um exemplo

numérico completo para calcular para os erros da

tabela 1 e 2, considerando a fórmula completa =

𝒆𝒕 − 𝒆 𝒆𝒕+𝟏 − 𝒆 𝑻−𝟏𝒕=𝟏 𝒆𝒕 − 𝒆 𝟐𝑻

𝒕=𝟏 . No livro de

Legendre (1998) há um bom exemplo numérico de

como se calcula .

Kuan C. 2003. Lecture on time series diagnostic tests.

Institute of Economics Academia Sinica.

Tabela 3. Exemplo numérico do cálculo de . O símbolo eij

denota os erros da regressão e 𝒆𝒕 − 𝒆 𝒆𝒕+𝟏 − 𝒆 é a

diferença entre o erro e a sua média. O valor obtido é

multiplicado pela diferença entre o erro seguinte e a sua

média. A média dos erros é sempre zero. O termo 𝒆𝒕 − 𝒆 𝟐

denota a diferença entre o erro e a sua média elevados ao

quadrado, ou seja, a variância do erro. O coeficiente é

obtido ao se dividir a soma de todos 𝒆𝒕 − 𝒆 𝒆𝒕+𝟏 − 𝒆 pela

soma de todos 𝒆𝒕 − 𝒆 𝟐.

Estatística direcional [circular]

Fonte: http://onsnetwork.org/mayonotebook/2013/07/04/diffuse-foraging-

communication/ &

http://www.ocean.slb.com/Pages/Product.aspx?category=all%28Base%29&cat=Comm

ercial&pid=PSTN-B1%28Base%29

Onde ler [também foram as fontes das informações aqui

escritas]:

Batschelet I. 1981. Circular statistics in biology. New York,

Academic Press.

Fisher NI. 1993. Statistical analysis of circular data. Cambridge,

Cambridge University Press.

Morellato LPC, Alberti LF, Hudson IL. 2010. Applications of

circular statistics in plant phenology: a case studies approach. In:

Keatley M.; Hudson IL. (org.). Phenological Research: Methods

for Environmental and Climate Change Analysis. Springer

Verlag.

Zar JH. 1996. Biostatistical analysis. New Jersey, Prentice-Hall.

Aplicações:

Modelagem da direção de origem / dispersão de pragas

agronômicas, incêndios, polinizadores. Padrão temporal dos

mesmos. Padrão temporal da fenologia de plantas.

Ambrosius Theodosius

Macrobius c. 400 DC =>

Inclinação das órbitas

planetárias em função do tempo

(fonte: Fisher 1993;

wikipedia.org)

Histórico

+ Edmund

Halley c 1701

=> Declinação magnética.

+ John Mitchel 1767 => Separação

angular entre estrelas.

+ Playfair 1802 => Média circular é

diferente de média linear.

+ Nightingale

1858. 800p.

Rose diagram

ou Coxcomb +Von Mises 1918

(fonte Fisher 1993;

wikipedia.org)

Origem da

estatística

circular

unidimensional

e

bidimensional: Estatística

Circular

Tridimensional

Função Bessel: α=0

Fdp Von Mises

Fonte: wikipedia

Fonte: wikipedia

0

90

180

270

Dados na escala circular: Dados circulares pertencem a uma

medida de escala circular com intervalos iguais sem ponto zero.

Fonte: programa Oriana:

http://www.kovcomp.co.uk/ori

ana/ A seguir: alguns cálculos e

noções básicas de parâmetros

na escala circular e seu

comparativo com a escala

linear.

Quais programas eu

posso utilizar para

fazer cálculos

utilizando est. circ.?

ORIANA4.0

BIOSTAT 5.0

E a média como fica? trigonometria

Seja 10°, 30° e 350°,

a média circular é:

X = 10 ° +30 ° +350 ° /3 = 130 °

Errado!!!!!!!!!!

ā = 10°

? ?

Fonte:

http://www.google.com.br/url?sa=i&

rct=j&q=&esrc=s&source=images&

cd=&docid=qeAdGqdWhmeUyM&t

bnid=Ke4XeE8oxOG0XM:&ved=0C

AUQjRw&url=http%3A%2F%2Fk

ungfumoviemadness.com%2Fkill-

bill-volume-

2%2F&ei=ME75UbeQBYTc8ATK5

YFQ&bvm=bv.49967636,d.dmg&psi

g=AFQjCNEYX_O1rltpuOfEd0-

0jPTKwD63fg&ust=13753793648380

68

r =

r = 0,9595

y=

y = 0,5 /3

y = 0,1666

x =

x = 2,83/3

x = 0,945

Média circular Seja 10°, 30° e 350° ( ), a média circular é:

in

N

1isen/1

in

N

1icos/1

yx22

(

i

Agora:

cos ā = x /r

cos ā = 0,945 /0,9595

= 0,98

sen ā = y /r

sen ā = 0,1666 /0,9595

= 0,17 ver próximo slide...

Qual ā tem sen = 0,17

e cos 0,98?

O angulo 10 °

Filosofia: entrar

num terreno onde os

ângulos são

tratáveis, calcular a

média e depois

retornar aos ângulos

para expressar a

média em graus.

Dados agrupados (com freqüências) Exemplo: vários indivíduos com flor em cada data do ano... A média circular neste

caso é calculada de modo análogo ao exemplo anterior, com a única diferença

que cada sen e cos de devem ser multiplicados pela sua respectiva

freqüência.

i

Fonte: Zar 1996

O Teste de

Rayleigh detectar padrões direcionais de expansão

de galáxias ou impactos de meteoros;

Atualmente => direção: da migração de

borboletas, dos ventos e da dispersão de

sementes; hora do dia (visitas de pássaros)

Uso em fenologia: Davies & Ashton (1999)

Brasil: Morellato et al. (1989, 2000)

John Willian Strutt

Premissas:

Os dados devem ser:

Unimodais.

Grupos menores de 12 => rc. Ver pág. 38

Batschelet (1985).

Fonte: wikipedia

r = , onde:

2. cálculo de x, y, e r. Com as fórmulas:

x = e y =

= arc TAN (y/x) se x > 0 e = 180 + arcTAN(y/x ) se x <0

Teste de Rayleigh – Exemplo: Sp X floresceu entre 12 e 18.09.2002 (Davies & Ashton 1999):

1. Converter datas em graus. Obtenção do . Se 365 dias = 360 então o dia 12.09 equivale ao 220° dia do ano e ao grau 22055’53’’.

Repete-se o raciocínio para 13.09 e assim por diante.

in

N

1icos/1 in

N

1isen/1

3. Primeiro, achar x e y, com o auxílio de :

y = (1/7)*(–4,8184, que é o somatório de todos os senos dos ângulos que correspondem as datas

com flor)

= -0,6883

x = -0,7246

= Como x<0, usamos a fórmula do médio a direita e então obtemos: 22331’42’’

r = 0,9994!!!! Conclusão: evento extremamente sazonal!!!

yx22

(

i

i

i

= ângulo do evento fenológico i, ou seja 22055’53’’, para o dia 12.09.

n = número de datas de atividade fenológica (7 no caso, pois de 12-18 são 7 dias)

r = é o vetor que mede a concentração temporal da atividade fenológica e varia de 0-1.

= é o ângulo médio de ocorrência da fenofase, o qual pode ser convertido para data

de novo, mostrando a data média do evento.

Davies, S.J. & P.S. Ashton (1999) Phenology and fecundity in 11 sympatric pioneer

species of Macaranga in Borneo. American Journal of Botany 86: 1786-1795.

Teste do padrão [uniforme ou não (sazonal)]

dos dados em torno da circunferência com base

no vetor r.

Filosofia: considerando as distribuições teóricas de dados

dos vetores r [todas as situações possíveis] tabeladas, o quão

fora do comum é a nossa situação calculada com base nos

nossos dados quando contrastada com a distribuição

conhecida?

Exemplos de distribuições teóricas de dados

[parâmetros (r), estatísticas (u)]:

Função Bessel: α=0

Fdp Von Mises

Ex.: Tikhonov/Von Mises

Significância Estatística de r do Exemplo “Sp X floresceu

entre 12 e 18.09.2002” dos slides acima:

z= n*r2 ; z = 7* (0,9994)2; z= 6,99

Ztab. (α 0,05; n) = 2,88

z calc.>Z tab. Então: Valor do vetor r > do que seria

esperado por mera chance em uma população Von Mises de

Vetores r.

REJEITA-SE H0, ACEITA-SE H1

P= eraiz{[1+4n+4(n2 => é r ao quadrado-R2)]}-(1+2n)

R= n*r

R= 7*0,9994

R= 6,9958

P= eraiz{[1+28+4(49-48,94)]}-(1+14)

P= eraiz{[29+4(0,06)]}-(15)

P= 1,48*10-5

O que faz sentido, pois z calculado é = 6,99 > ztab. Para p<0,001

Teste dos espaços de S. Rao Jammalamadaka

http://www.pstat.ucsb.edu/faculty/jammalam/html/favorite/test.htm

Jammalamadaka

Sreenivasa Rao

0

90

180

270

2 observations

Premissa: dados

NÃO agrupados

pg.67 Batschelet

O problema: dados bimodais

A solução: PhD. Thesis do Rao:

Rao, J.S. (1969). Some contributions to the analysis of circular

data. Ph.D. thesis, Indian Statistical Institute, Calcutta.

http://pt.starwars.wikia.co

m/wiki/Esp%C3%A9cie_d

e_Yoda

Idéia: alta sazonalidade significa pequenos

espaços (em °s) entre os ângulos.

Então: Se vc tem 10 ângulos e eles forem

sazonais, poderá haver 300 ° separando este

grupo de ângulos do resto da O.

O resto é traduzir isso em matemática

Rao JS. 1972. Some variants of chi-square for testing uniformity on

the circle. Zeitschrift für wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte

gebiete 22:33-44.

Exemplo: As visitas dos morcegos em Atalea são uniformemente distribuídas (HO) ao longo das 24 horas do

dia? Meia noite = 0°, 6 a.m. = 90°. Cada minuto = 360°/(24h * 60’) = 0.25°.

Ima observ. Time ângulo Ti (10-5) |Ti-L| (5-24)

1 12:20 AM ~5° 5 ° 5 19

2 12:40 AM ~10° 10 0 24

3 12:40 AM 10 2 22

4 12:48 AM 12 5 19

5 1:08 AM 17 68 44

6 5:40 AM 85 5 19

7 6:00 AM 90 9 15

8 6:36 AM 99 1 23

9 6:40 AM 100 10 14

10 7:20 AM 110 43 19

11 10:12 AM 153 80 56

12 3:32 PM 233 2 22

13 3:40 PM 235 61 37

14 7:44 PM 296 35 11

15 10:04 PM 331 360-

331+5=34 10

n=15

diferentes

ângulos

ângulos Sigma= 354

L = 360° / 15 = 24°

~ modelo nulo

Ti = f i+1 – f; = 10-5

Ti-L = 5-24°

= | -19 |; =19

Se utilizar módulo( || ) U = 0.5 *

sigma

U||= 0,5 . 354

U||= 177

Fonte: http://www.pstat.ucsb.edu/faculty/jammalam/html/favorite/test.htm

Se utilizar só +

= U= sigma

Obs.: ∑ti=360

Continuação…

Qual a

probabilidade de

ocorrer um U=177

numa população

de U’s?

p< 0,02

Conclusão:

Rejeita-se H0

Teste X2

Premissa:

1. Dados agrupados

podendo ser com

diferentes intervalos

~ fenologia

2. Freqüências

esperadas >4.

pg.72 Batschelet

Graus de liberdade

Valor do X2 =>

coluna

v = nº de grupos -1

=> linha

X2=66

v=11

P<0,002

Pág.333

Distribuição

regular

Fonte: Zar (1996)

MÉTODOS GRÁFICOS: 1. Teste de Hodges-Ajne (H)

O princípio é semelhante ao teste de Rao. Desconheço softwares que calculem

H. Calcular ‘no braço’ é difícil com N grande, pois é um método gráfico.

Único ex.: Srygley & Oliveira (2001).

Conceito de Hodges: Qual a linha que divide a circunferência de modo que

deixe menos dados em um de seus lados?

Premissa: dados não agrupados.

P = 21-n n! / n! (n-m)! n = n amostral

m = número mínimo

de ângulos

contidos em 180 °

22 8/2 AeA

P

)2(2 mn

nA

n> 50

2. Range Test (w) ~ Rao, só que utiliza o comprimento do

menor arco envolvndo a amostra como estatística. W= 123-23°

= 100°… Batschelet pág. 70

Premissas gerais: independência

Estatística circular ou séries temporais?

Anos inteiros jan dez

3. Kuiper Test ~ Kolmogorov-

Smirnov Batschelet pág. 76

Vn=D+ + D-

K= n0,5Vn

Frequências acumuladas

Range & Kuiper: dados não

agrupados ou g<5°

D+

D-

Rao, J.S. (1976). Some tests

based on arc-lengths for the

circle. Sankhya: The Indian

Journal of Statistics, Ser.

B(4), 38, 329-338.

Fonte: wikipedia

Sincronia => Não possui **. rs possui.

Índice de Sincronia (Xi) de Augspurger (1981, 1983),

Bianchini et al (2006)

Xi = , em que :

– Xi = índice de sincronia do indivíduo i;

– ej = número de datas onde os indivíduos i e j estão em floração ou qualquer

outra fenofase juntos sendo que i é diferente de j (indivíduos diferentes)

– fi = numero de meses onde o indivíduo i está em floração;

– n = número de indivíduos (total) que floresceram no período.

Se Xi for igual a 1, a sincronia é perfeita. Se Xi = 0 não há sincronia.

Sincronia da população: Z = , em que:

– Z = índice de sincronia da população ;

–Xi = índice de sincronia do indivíduo i;

i)(j

))1(/(1n

1j

ejnfi

n

1i/1 Xin

Carol Augspurger

http://www.life.illinois.edu/plantbio/People/F

aculty/Augspurger.htm

Geoestatística

Fontes: Krige DG. 1951. A statistical approach to

some basic mine valuation problems on the

Witwatersrand. J. of the Chem., Metal. and Mining

Soc. of South Africa 52: 119–139.

Matheron G. 1962. Traité de géostatistique appliquée.

Editions Technip.

http://w3eos.whoi.edu/12.747/resources/pract_geostat/

pg1979_latex.pdf

Geoestatística – Considera não somente os valores, mas também as direções

e distâncias entre os pontos de coleta de dados.

Aplicações: distribuição de solos, climas, espécies, pragas, incêndios,

avalanches, enchentes, poluentes, PAR, etc. tudo o que pode ser modelado no

espaço geográfico...

Um exemplo muito simples mostra a diferença entre a estatística e a

geoestatística:

Amostra 1: 1 – 7 – 3 – 6 – 2 – 9 – 4 – 8 – 5

Amostra 2: 1 – 3 – 5 – 7 – 9 – 8 – 6 – 4 – 2

Sob a ótica da estatística

clássica a média e a variância

são idênticas para as duas

amostragens.

Entretanto, segundo a avaliação no

espaço, a primeira amostra possui um

comportamento muito errático,

enquanto a segunda amostra

apresenta uma uniformidade espacial.

Fonte: wikipedia

Na estatística tradicional se pode

estimar o valor da variável Y

através de uma equação. Significado

quantitativo de X1 e X2

precisa normalidade e

independência

Núm. ind. com flores = -10.0876+1.3814*x

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C. dia

-2

0

2

4

6

8

10

12

Nú

m. in

d. co

m flo

res

Na Geoestatística se pode estimar o

valor da variável Y num ponto no

espaço através de krigagem.

Significado direcional de X1 e X2

não precisa normalidade e

independência

Krigagem precisa de dependência!

http://casoilresource.lawr.ucdavis.edu/drupal/files/images/elevation_OK.jpg

Mais importante em regressão é o eixo x Anscombe (1974)

ONDE LER: Krige DG. 1951. A statistical approach to some basic

mine valuation problems on the Witwatersrand. J. of the Chem.,

Metal. and Mining Soc. of South Africa 52: 119–139.

Matheron G. 1962. Traité de géostatistique appliquée. Editions

Technip.

LIVRO CLÁSSICO DE ISOBEL CLARK SOBRE

GEOESTATÍSTICA GRÁTIS: Fonte: http://w3eos.whoi.edu/12.747/resources/pract_geostat/pg1979_latex.pdf

O SEMIVARIOGRAMA ~ Durbin-Watson: é um gráfico de

variação.

Filosofia: quanto mais próximos os pontos x e x+h, menor a

variância das medições de Y (ou Z) entre os pontos. h = distância

Repetindo o raciocínio para diversos pares de pontos

separados pela mesma distância e plotando cada

variância obtida em Y e as distâncias em X, se obtém

um gráfico chamado semivariograma que descreve a

variância em função das distâncias.

Devemos repetir o cálculo de

para todas as distâncias?

Não, pois quanto mais distante,

menor o n amostral e menor a

confiabilidade dos resultados

Interpretação: Variância

pequena em Y: pontos

próximos => alta dependência

espacial.

Variância alta em Y: pontos

distantes =>baixa dependência

espacial

A distancia quando a variância

alta se estabiliza é o “sill” (C).

C pode ser estimado via

modelos teóricos prontos (a

dir. ) ou se pode achar um

modelo via regressão.

Fonte: http://www.my-

montage.net/category/comedy/

what-am-i-thinking/

Exemplo de semivariograma : Clark (1979): leste => oeste

A próxima etapa

consiste em modelar

o semivariograma

por meio de

MODELOS GUIA ou

por meio de equações

de regressão

(geralmente não

linear**) e definir as

distâncias seguras de

coleta de dados.

**Avaliadas por índice de

Furnival etc. cuja

complicação transcende

os propósitos deste curso.

Nota importantíssima sobre

regressão: O eixo que dá a

informação mais valiosa é o

X! é o exibe que exibe a

magnitude do fenômeno!

Modelo guia de Matheron: ~ a distribuição Normal na estatística

tradicional ~ às curvas espécie área... Determina a distância

segura para evitar a dependência das amostras.

a = área e influência: a partir da qual a independência é alcançada.

É possível calcular vários planos para o semivariograma.

Neste caso o mesmo é mais poderoso que o Durbin-Watson

tradicional. Pois considera pontos mais distantes enquanto

o DW considera pontos vizinhos.

Deve-se ter em mente a possível ocorrência de tendência,

oscilações periódicas, etc. e saber quais fenômenos poderiam

gerar tais padrões. No caso de log-linearidade, é preciso calcular

um semivariograma relativo. Seria semelhante ao que ocorre em

uma ANCOVA...

NUNCA esquecer dos metadados, ou seja, coordenadas, clima,

propriedade privada, parque, data de coleta etc...

“Nugget effect” (efeito do ouro) é quando não há qualquer

padrão no semivariograma. A variância descreve o fenômeno tão

bem quanto o variograma.

Em alguns casos, se pode modelar os resultados do variograma

por meio de regressão múltipla!

A interpretação do variograma passa por uma revisão detalhada

de todos os possíveis fenômenos descritos pelo mesmo.

Exemplo de tendência

Importante: semivariograma não possui estatística associada, ou

seja, um semivariograma não pode ser significativo/não

significativo.

E aqui?

Caos. Não se pode arriscar muito, pois em distâncias muito

próximas a zero comportamento de Y é imprevisível pois a

maioria da variância está entre zero e 13 m.

Caso onde parece ser melhor utilizar estatística

circular.

Krigagem (interpolação):

Forma de obter o valor de um ponto inexistente por meio da

interpolação dos valores próximos pesando (w) sua

contribuição com, geralmente, o inverso da distância.

É útil no caso de se querer saber um valor no campo, onde

não foram coletados dados ou para traçar “curvas de nível”

ou nos mapas de modelagem sobre clima (cenários de

aquecimento global), modelos de clima, distribuição de

espécies, etc...

Mais detalhes no livro do Clark (1979) e o livro do Leonardo

Silva Andriotti “fundamentos de estatística e geoestatística”.

http://bart.noordervliet.net/wp-content/uploads/2008/03/surface-map-kriging-25m.png

Exemplo de Krigagem (interpolação):

ÍNDICE DE MORAN

(IM)

O primeiro fornece um único valor de I, que se

próximo a zero indica baixa autocorrelação dos

dados de uma forma geral.

Basicamente de dois tipos:

1. coordenadas XYZ

2. pontos aleatórios obtidos por GPS Fonte: wikipedia

O segundo é muito similar ao

semivariograma.

Programas: Clusterseer, ARCGIS, GEODA

http://www.terraseer.com/

http://www.terraseer.com/products_clusterseer.php

Cálculo: índice do tipo 1:

Exemplo do IM com dados obtidos na forma de

coordenadas XYZ em plano irregular:

Matriz de adjacências w

Z +4.55 +5.54

+2.24 -5.15 +9.02

+3.10 -4.39 -2.09

Z +0.46 -3.06

linha x coluna y z

1 2 4.55

1 3 5.54

2 1 2.24

2 2 -5.15

2 3 9.02

3 1 3.1

3 2 -4.39

3 3 -2.09

4 2 0.46

4 3 -3.06

coluna 1 coluna 2 coluna 3

linha 1

linha 2

linha 3

linha 4

Tabulação simples

Indica elementos que devem ser

incluídos ou excluídos no cálculos

dos pesos W. se pode atribuir pesos

0,9 ao invés de 1 ou zero.

O somatório dos pesos é 26!

http://www.spatialanalysisonline.com/output/html/Globalspatialautocorrelation.html

Matriz de variância/covariância

Diferença ponto 1 = (Z(i) – mean)

= 2,24-1,02

= 1,22

Variância ponto 1 = (Z(i) – mean)^2

= (2,24-1,02)^2

= 1,48

Co-variância ponto 1,2= (Z(1)-mean).(Z(2)-mean)

= (1,22).(2,08) = 2,53

Multiplicação das matrizes COV * W:

célula 1,1 = 0*0 = 0

célula 1,2 = 1*2,53 = 2,53

<= Somatório da

linha 1

IM= (10*16,19)

(26*196,6)

= 0,03

Tipo 2 de IM: Tratamento de pontos aleatórios obtidos por

GPS

Exemplo:

Breshears DD. Rich PM , Fairley JB, Campbell K. 1997.

Overstory-imposed heterogeneity in solar radiation and soil

moisture in a semiarid Wodland. Ecol Appl 7:1201-1215.

O autor reconhece aqui e se desculpa por qualquer fonte não

citada.

Obrigado!

Blagodarya

Dòjeh

Tusind tak

Dank u zeer

Thank you

Merci beaucoup

Tausend Dank

rav todot

Makasih ya

Grazie

Arigatō

Kamsahamnida

Tusen Takk

Spasibo!

Thank ye, ta

Muchas gracias

O autor no passado recente [foto de 2006]

The autor [picture took in 2006]

A river dirty...