INE 7002 GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS...

Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos

1

INE 7002 – GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS –MODELOS PROBABILÍSTICOS

35) a) Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é

conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em

contrário). n = 20 p = 0,05

b) P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C20,0 × 0,050 × 0,95

20

c) P(X = 2) = C20,2 × 0,052 × 0,95

18

d) E(X) = n × p = 20 × 0,05 = 1 erro.

36) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 5 p = 0,5

b) P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C5,4 × 0,54 × 0,5

1 + C5,5 × 0,5

5 × 0,5

0

c) E(X) = n × p = 5 × 0,5 = 2,5 caras. Não, a variável não pode assumir este valor.


b) P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= C10,8 × 0,58 × 0,5

2 + C10,9 × 0,5

9 × 0,5

1 + C10,10 × 0,5

10 × 0,5

0


b) P(X 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C3,0 × 0,10 × 0,9

3


b) P(X = 11) = C11,11 × 0,811

× 0,20 = 0,085899

c) P(X = 0) = C11,0 × 0,80 × 0,2

11

d) P(X 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X =11)

= C11,6 × 0,86 × 0,2

5 + C11,7 × 0,8

7 × 0,2

4 + C11,8 × 0,8

8 × 0,2

3 + C11,9 × 0,8

9 × 0,2

2 +

C11,10 × 0,810

× 0,21 + C11,11 × 0,8

11 × 0,2

0 = 0,98834

Como P(X 6) > 0,75, a associação deve processar o fabricante.

e) E(X) = n × p = 11 × 0,8 = 8,8 carros.


b) P(X = 3) = C5,3 × 0,13 × 0,9

2 = 0,0081

c) P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C5,0 × 0,10 × 0,9

5 + C5,1 × 0,1

1 × 0,9

4 = 0,91854

d) Novo n = 10, novo p = 0,91854 => Sucesso: caixa aceita.

P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X =10)

= C10,8 × 0,918548 × 0,08146

2 + C10,9 × 0,91854

9 × 0,08146

1 + C10,10 × 0,91854

10 × 0,08146

0

41) Proposta 1 versus Proposta 2 Binomial: p = 0,03

Proposta 1 – n = 80

P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =3)

= C80,0 × 0,030 × 0,97

80 + C80,1 × 0,03

1 × 0,97

79 + C80,2 ×0,03

2 ×0,97

78 + C80,3 ×0,03

3 ×0,97

77

= 0,78066

Proposta 2 – n = 40

P(X = 0) = C40,0 ×0,030 ×0,97

40 = 0,29571

Proposta Lote P(Aceitar) P(Rejeitar) Lucro

1 4000 0,78066 0,21934 60 se aceitar, 30 se não

2 4000 0,29571 0,70249 65 se aceitar, 20 se não

E(Lucro1) = (4000 × 60 × 0,78066) + (4000 × 30 × 0,21934) = 213679,20

E(Lucro2) = (4000 × 65 × 0,29571) + (4000 × 20 × 0,70249) = 133227,80

Escolhe-se a proposta 1 pois tem o maior lucro.


2

42) a) Binomial, n = 18, p = 0,06 P(X = 0) = C18,0 ×0,060 ×0,94

18 = 0,3283

b) Binomial, novo p = 0,3283, novo n = 8

P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C8,0 ×0,32830 ×0,6717

8 + C8,1 ×0,3283

1 ×0,6717

7


b) P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – C12,0 ×0,250 ×0,75

12 - C12,1 ×0,25

1 ×0,75

11

c) P(X 4) = 1 – P(X< 4) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)

= 1 - C12,0 ×0,250 ×0,75

12 - C12,1 ×0,25

1 ×0,75

11 - C12,2 ×0,25

2 ×0,75

10 - C12,3 ×0,25

3 ×0,75

9

d) P(X 1) = 1- P(X < 1) = 1- P(X = 0) = 1 - C12,0 ×0,250 ×0,75

12

e) E(X) = n × p = 12 × 0,25 = 3 Desvio padrão 51750250121 ,,,)p(pn

44) Binomial n = 9 p = 0,8

a) E(X) = n × p = 9 × 0,8 = 7,2 micros

b) P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) = C9,8 ×0,88 ×0,2

1 + C9,9 ×0,8

9 ×0,2

0 = 0,4362

c) Não, porque a probabilidade em b é menor do que 0,60 (60%).

45) Binomial n = 15 p = 0,95

a) P(X 10) = 1 – P(X > 10) = 1 – P(X = 11) – P(X = 12) – P(X = 13) – P(X = 14) – P(X = 15)

= 1 - C15,11 ×0,9511

×0,054 - C15,12 ×0,95

12 ×0,05

3 - C15,13 ×0,95

13 ×0,05

2 - C15,14 ×0,95

14 ×0,05

1

- C15,15 ×0,9515

×0,050 = 0,0006146

b) Não, a probabilidade é muito baixa.

c) Novo n = 1200 p = 0,95

E(X) = n × p = 1200 × 0,95 = 1140 Desvio padrão 55705095012001 ,,,)p(pn

46) Poisson = 2,25 crianças/dia t = 1 dia × t = 2,25 × 1 = 2,25 crianças

P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)

=

!

),(e

!

),(e

!

),(e ,,,

2

252

1

252

0

2521

225212520252

= 1 – 0,60933 = 0,39067

O hospital não deve ser instalado: P(X > 2) < 0,5.

47) Poisson = 0,5 carros/dia t = 2 dias × t = 0,5 × 2 = 1 carro

a) P(pagar dívida) = P(X 3) = 1- P(X < 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)

=

!

)(e

!

)(e

!

)(e

2

1

1

1

0

11

211101

= 0,0803 Este valor é o correto, o indicado

como resposta na lista está errado.

b) P(X = 0) = 367800

101

,!

)(e

c) E(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro V(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro2

Desvio padrão 1 )X(V = 1 carro.

48) Poisson = 4 chamadas/hora

a) t = 0,5 horas × t = 4 × 0,5 = 2 chamadas

P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)

=

!3

)2(e

!2

)2(e

!1

)2(e

!0

)2(e1

32221202

= 1 – 0,85712 = 0,14288

Há uma probabilidade relativamente pequena de que as 3 viaturas não seja suficientes.

b) t = 1 hora ×t = 4 ×1 = 4 chamadas


3

P(X = 0)=

!0

)4(e 04

= 0,0183156

c) t = 2 horas ×t = 4 × 2 = 8 chamadas

P(X = 0) =

!0

)8(e 08

= 0,000335462

A chance de não atender nenhuma chamada é muito pequena.

49) Poisson = 0,20 chamadas/minuto

a) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas P(X = 3) =

!3

)2(e 32

= 0,1804

b) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas

P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4)

=

!4

)2(e

!3

)2(e

!2

)2(e

!1

)2(e

!0

)2(e1

4232221202

= 0,0526

c) t = 60 minutos × t = 0,2 × 60 = 12 chamadas P(X = 10) =

!10

)12(e 1012

= 0,1048

d) t = 360 minutos × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas

P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

=

!5

)72(e

!4

)72(e

!3

)72(e

!2

)72(e

!1

)72(e

!0

)72(e 572472372272172072

0

e) Meia hora t = 30 minutos E(X) = × t = 0,2 × 30 = 6 chamadas.

Turno completo t = 360 minutos E(X) = × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas.

50) Poisson Impurezas => = 0,005/cm3 Bolhas => = 0,15/cm

3 t = 10 cm

3.

a) A peça é considerada defeituosa se apresentar 2 ou mais defeitos, sejam eles por impurezas ou bolhas

isoladamente, ou qualquer combinação possível deles. Como os defeitos são independentes podemos

somar suas taxas de ocorrência e obter a taxa combinada de defeitos: = impurezas + bolhas =

0,005 + 0,15 = 0,155 defeitos/cm3. Como t = 10 cm

3, então × t = 0,155 × 10 = 1,55 defeitos.

P(peça defeituosa) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

=

!1

)55,1(e

!0

)55,1(e1

155,1055,1

=1 – 0,5411 = 0,4589

b) Binomial n = 3 p = 0,4589

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C3,0 ×0,45890 ×0,5411

3 + C3,1 ×0,4589

1 ×0,5411

2 = 0,5615

c) c.1 – P(Defeito) = 0,4589 => Lucro = -5 P(Sem defeito) = 0,5411 => Lucro = 10 – 5 = 5

E(Lucro) = (-5 × 0,4589) + (5 ×0,5411) = 0,411

c.2 – E(Lucro em 1500 peças) = 1500 × E(Lucro) = 1500 × 0,411 = 616,5

51) Poisson = 4 carros/ 15 minutos = 16 carros/hora

a) t = 0,5 horas × t = 16 × 0,5 = 8 carros

P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... = 1 – P(X 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)

=

!

)(e

!

)(e

!

)(e

2

8

1

8

0

81

281808

= 0,9862

b) t = 1 hora × t = 16 × 1 = 16 carros

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

=

!

)(e

!

)(e

!

)(e

2

16

1

16

0

16216116016

= 0,000016318


4

c) Sim, porque a probabilidade de chegarem até 2 carros em uma hora é muito baixa.

52) Como p = 0,00001 é muito baixa, podemos usar Poisson como aproximação a binomial.

a) n = 200 m = n × p = 200 × 0,00001 = 0,002

P(realizar negócio) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =

!

),(e

!

),(e ,,

1

0020

0

00201002000020

1.

b) n = 2000 m = n × p = 2000 × 0,00001 = 0,2


!

),(e

!

),(e ,,

1

20

0

20120020

= 0,9824

c) n = 200000 m = n × p = 200000 × 0,00001 = 2


!

)(e

!

)(e

1

2

0

21202

= 0,4060

53) Poisson: = 4 itens/6 horas t = 12 horas × t = 8 itens

a) P(X > 4) = 1 – P(X 4) = 1 – P(X = 0) – P(X =1) – P(X =2) – P(X =3) – P(X=4)

=

!

)(e

!

)(e

!

)(e

!

)(e

!

)(e

4

8

3

8

2

8

1

8

0

81

4838281808

= 1 – 0,0996 = 0,9004

b) P(X > 7) = 1 – P(X 7) = 1 – P(X = 0) – P(X=1) – P(X=2) – P(X=3) – P(X=4) – P(X=5) – P(X=6) – P(X=7)

=1 – 0,996 -

!

)(e

!

)(e

!

)(e

7

8

6

8

5

8786858

= 1 – 0,4529 = 0,54707.

7 peças é um número suficiente. Há mais de 50% de probabilidade de requisitar mais de 7 peças.

54) a) No gráfico abaixo P(Z>1,0)

b) No gráfico abaixo P(Z < 1,0)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

A área sombreada corresponde a P(Z>1,0).

Esta probabilidade pode ser obtida

diretamente da tabela:

P(Z> 1,0) = 0,1587

A área sombreada corresponde a P(Z<1,0). Esta

probabilidade NÃO pode ser obtida diretamente

da tabela. Mas pelas propriedades de

probabilidade sabemos que:

P(Z<1,0) = 1 – P(Z≥1,0). Esta última

probabilidade pode ser obtida diretamente da

tabela, e é igual à probabilidade encontrada no

item a (P(Z>1,0)), pois Z é uma variável

aleatória contínua. Então:

P(Z< 1,0) = 1 – P(Z>1,0) = 1 - 0,1587 = 0,8413


5

c) No gráfico abaixo P(Z>-0,34)

d) No gráfico abaixo P(0 < Z < 1,5)

e) No gráfico abaixo P(-2,88 < Z < 0)

f) No gráfico abaixo P(-0,56<Z<-0,2)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

A área sombreada corresponde a P(Z>-0,34).

Esta probabilidade NÃO pode ser obtida

diretamente da tabela, pois o Z é negativo. Mas

pelas propriedades de probabilidade sabemos

que:

P(Z>-0,34) = 1 – P(Z<-0,34).

E devido à simetria da distribuição normal

padrão em relação à média zero:

P(Z<-0,34) = P(Z>0,34), e esta última

probabilidade pode ser obtida da tabela.

Então: P(Z>-0,34) = 1 – P(Z>0,34) =

1 – 0,3669 = 0,6331

Para obter a probabilidade de Z estar entre 0 e

1,5 basta obter a probabilidade de Z ser maior

do que zero e subtrair a probabilidade de Z ser

maior do que 1,5: o resultado será exatamente a

probabilidade do intervalo procurado.

P(0 < Z < 1,5) = P(Z>0) – P(Z>1,5)

= 0,5 – 0,0668 = 0,4332

Esta probabilidade foi facilmente obtida por que

os valores de Z são ambos positivos.

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da

letra d): P(-2,88<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,88).

A probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas

P(Z<-2,88) não pode ser obtida diretamente da

tabela. Contudo, devido à simetria da

distribuição normal padrão em relação à média

zero: P(Z<-2,88) = P(Z>2,88). Então:

P(-2,88<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,88) =

0,5 – 0,0020 = 0,4980

O valor de Z -2,88 é “invisível” no gráfico ao

lado devido à grande distância da média (2,88

desvios padrões).


letra e, tendo em mente que os dois valores que

definem o intervalo são negativos, e que há

simetria da distribuição normal padrão em

relação à média zero:

P(-0,56<Z<-0,2) = P(Z>0,2) – P(Z>0,56)

= 0,4207 – 0,2877 = 0,133


6

g) No gráfico abaixo P(-0,49 < Z < 0,49)

h) No gráfico abaixo P(2,5 <Z < 2,8)

i) No gráfico abaixo P(Z<-0,2)

j) No gráfico abaixo P(Z>-0,2)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

Usemos um raciocínio semelhante ao das letras

d e e, mas agora os valores que definem o

intervalo têm sinais diferentes, mas são iguais

em módulo, isto é estão à mesma distância da

média (zero). Sendo assim, P(Z>0,49) = P(Z<-

0,49), devido à simetria da distribuição normal

padrão em relação à média. Recordando que a

probabilidade de ocorrência de um evento é

igual a 1 menos a probabilidade do seu

complementar, então:

P(-0,49<Z<0,49) = 1- 2 × P(Z>0,49)

= 1 – 2 × 0,3121 = 0,3758

Usando um raciocínio semelhante ao da letra d,

basta obter a probabilidade de Z ser maior do

que 2,5 e subtrair a probabilidade de Z ser

maior do que 2,8: o resultado será exatamente a

probabilidade do intervalo procurado.

P(2,5< Z < 2,8) = P(Z>2,5) – P(Z>2,8)

= 0,0062 – 0,0026 = 0,0036

Esta probabilidade foi facilmente obtida por que

os valores de Z são ambos positivos. O valor

obtido é pequeno, pois o intervalo está a mais de

2 desvios padrões da média.

A probabilidade procurada não pode ser obtida

diretamente da tabela: esta define as

probabilidades de Z ser MAIOR do que um certo

valor. Entretanto, devido à simetria da


zero:

P(Z<-0,2) = P(Z>0,2) = 0,4207

A probabilidade procurada não pode ser obtida

diretamente da tabela, pois Z aqui é negativo.

Entretanto, devido à simetria da distribuição

normal padrão em relação à média zero, e

usando a propriedade do evento complementar:

P(Z>-0,2) = 1-P(Z>0,2) = 1-0,4207 = 0,5793


7

k) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0)

l) No gráfico abaixo P(-0,2<Z<0,4)

55) Neste exercício devemos procurar pelas probabilidades informadas na tabela e então encontrar os

valores de Z correspondentes. Se não for possível encontrar o valor de Z exatamente correspondente à

probabilidade procurada, pode-se obter o mais próximo possível.

a) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0505

b) No gráfico abaixo P(Z>Z1) = 0,0228.

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,99

2,49

2,99

3,49

3,99

Z

Podemos usar o raciocínio da letra e. A

probabilidade P(Z<0) é igual a P(Z>0), mas




zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:

P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>0,2) =

0,5 – 0,4207 = 0,0793

Usemos um raciocínio semelhante ao da letra g,

mas os valores que definem o intervalo têm

sinais e valores diferentes. Mas, devido à

simetria da distribuição normal padrão em

relação à média: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2).

Recordando que a probabilidade de ocorrência

de um evento é igual a 1 menos a probabilidade

do seu complementar, então:

P(-0,2<Z<0,4) = 1- P(Z>0,2) - P(Z>0,4)

= 1 – 0,4207 – 0,3446 = 0,2347

Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade

de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0505.

Desta forma podemos procurar esta

probabilidade diretamente na tabela. Na coluna

da extrema esquerda identificamos a linha 1,6. E

na primeira linha encontramos a segunda

decimal 0,04, resultando em Z1 = 1,64.

Procura-se o valor de Z1 tal que a probabilidade

de Z ser MAIOR do que ele seja igual a 0,0228.

Desta forma podemos procurar esta

probabilidade diretamente na tabela. Na coluna

da extrema esquerda identificamos a linha 2,0. E

na primeira linha encontramos a segunda

decimal 0,00, resultando em Z1 = 2,00.


8

c) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0228

d) No gráfico abaixo P(0<Z<Z1) = 0,4772

e) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,95 Esta probabilidade está INCORRETA na lista.

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

Procura-se o valor de Z1 tal que a

probabilidade de Z ser MENOR do que ele

seja igual a 0,0228. Desta forma NÃO

podemos procurar esta probabilidade

diretamente na tabela. Entretanto, devido à

simetria da distribuição normal padrão à

média zero, sabemos que:

P(Z<Z1) = 0,0228 = P(Z>-Z1) = 0,0228

De acordo com a letra b –Z1 = 2,00, então Z1

= -2,00.

Observe a coerência do resultado: como a

área é limitada por um valor ABAIXO de zero,

obviamente Z1 teria que ser negativo.


probabilidade de Z estar entre 0 e ele seja

igual a 0,4772. Percebe-se que Z1 será

POSITIVO.

P(0<Z<Z1) = 0,4772 = P(Z>0) – P(Z>Z1)

P(Z>Z1) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228.

Observe que se trata do mesmo problema da

letra b, então Z1 = 2.


probabilidade de Z estar entre –Z1 e +Z1 seja

igual a 0,95. Como os dois valores estão à

mesma distância de zero

P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,95)/2 = 0,025

P(Z>Z1) = 0,025.


probabilidade de Z ser MAIOR do que ele seja

igual a 0,025. Desta forma podemos procurar

esta probabilidade diretamente na tabela. Na

coluna da extrema esquerda identificamos a

linha 1,9. E na primeira linha encontramos a

segunda decimal 0,06, resultando em Z1 =

1,96.


9

f) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0110

g) No gráfico abaixo P(Z<Z1) = 0,0505

h) P(Z<Z1) = 0,5. Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à sua média zero, então Z1

= 0, pois há 50% de chance dos valores serem menores do que zero.

i) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,6825

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z



seja igual a 0,0110. Este valor não pode ser

identificado diretamente na tabela, mas devido

à simetria da distribuição normal à média

zero: P(Z<Z1) = 0,0110 = P(Z>-Z1)

Procura-se o valor de -Z1 tal que a






segunda decimal 0,09, resultando em -Z1 =

2,29. Logo Z1 = -2,29 (observe a coerência

com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).



seja igual a 0,0505. Este valor não pode ser

identificado diretamente na tabela, mas devido

à simetria da distribuição normal à média

zero: P(Z<Z1) = 0,0505 = P(Z>-Z1)

Procura-se o valor de -Z1 tal que a






segunda decimal 0,04, resultando em -Z1 =

1,64. Logo Z1 = -1,64 (observe a coerência

com o gráfico, pois Z1 é menor do que zero).





P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,6825)/2 = 0,1587

P(Z>Z1) = 0,1587.








1,00.


10

j) No gráfico abaixo P(-Z1<Z<Z1) = 0,9544

56) A solução desta questão passa pela utilização da equação Z = (x -)/, sabendo-se que = 25 e =

2.

a) Z = (23-25)/2 = -1,0 b) Z = (23,5-25)/2 = -0,75 c) Z = (24-25)/2 = -0,5

d) Z = (25,2-25)/2 = 0,1 e) Z = (25,5 – 25)/2 = 0,25

57) Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolar o valor de x: x = + Z×, sabendo

que = 40 e = 3.

a) x = 40 + (0,1×3) = 40,3 b) x = 40 + (2×3) = 46 c) x = 40 + (0,75×3) = 42,25

d) x = 40 + (-2,53×3) = 32,41 e) x = 40 + (-3×3) = 31 f) x = 40 + (-3,2×3) = 30,4

58) X é uma variável aleatória contínua com distribuição normal, com = 50 e = 5. Para calcular as

probabilidades pedidas é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos valores de x.

a) P(40<X<50)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

30

32

,5 35

37

,5 40

42

,5 45

47

,5 50

52

,5 55

57

,5 60

62

,5 65

67

,5 70

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z





P(Z<-Z1) = P(Z>Z1) = (1-0,9544)/2 = 0,0228

P(Z>Z1) = 0,0228.








2,00.

Usando a equação Z = (x -)/ podemos

encontrar os valores de Z correspondentes a 40

e 50:

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (50-50)/5 = 0

Então: P(40<X<50) = P(-2<Z<0).

Abaixo está o gráfico da variável Z


letra d do Exercício 54: P(-2,0<Z<0) = P(Z<0)

– P(Z<-2,0).





zero: P(Z<-2,0) = P(Z>2,0). Então:

P(-2,0<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =

0,5 – 0,0228 = 0,4772


11

b) P(49<X<50)

c)P(40<X<45)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,53

0

32

,5 35

37

,5 40

42

,5 45

47

,5 50

52

,5 55

57

,5 60

62

,5 65

67

,5 70

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

30

32

,5 35

37

,5 40

42

,5 45

47

,5 50

52

,5 55

57

,5 60

62

,5 65

67

,5 70

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z


encontrar os valores de Z correspondentes a

49 e 50:

Z1 = (49-50)/5 = -0,2 Z2 = (50-50)/5

= 0

Então: P(49<X<50) = P(-0,2<Z<0).



letra i do Exercício 54: P(-0,2<Z<0) = P(Z<0) –

P(Z<-0,2).





zero: P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:

P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =

0,5 – 0,4207 = 0,0793



40 e 45:

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (45-50)/5 =-1

Então: P(40<X<45) = P(-2<Z<-1).



letra f do Exercício 54: P(-2<Z<-1) = P(Z>1) –

P(Z>2).

Então:

P(Z<-0,2) = P(Z>0,2). Então:

P(-0,2<Z<0) = P(Z>0) – P(Z>2,0) =

0,5 – 0,4207 = 0,0793


12

d) P(56<X<60)

e) P(40<X<65)

f) P(45<X<55)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,530

32,5 35

37,5 40

42,5 45

47,5 50

52,5 55

57,5 60

62,5 65

67,5 70

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

30

32

,5 35

37

,5 40

42

,5 45

47

,5 50

52

,5 55

57

,5 60

62

,5 65

67

,5 70

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

30

32

,5 35

37

,5 40

42

,5 45

47

,5 50

52

,5 55

57

,5 60

62

,5 65

67

,5 70

X



56 e 60:

Z1 = (56-50)/5 = 1,2 Z2 = (60-50)/5 =2

Então: P(56<X<60) = P(1,2<Z<2).



letra h do Exercício 54:

P(1,2<Z<2) = P(Z>1,2) – P(Z>2).

Então:

P(1,2<Z<2) = 0,1151 – 0,0228 = 0,0923



40 e 65:

Z1 = (40-50)/5 = -2 Z2 = (65-50)/5 =3

Então: P(40<X<65) = P(-2<Z<3).

Podemos usar um raciocínio semelhante ao

da letra g do Exercício 54 (embora os

valores de Z não sejam iguais):

P(-2<Z<3) = 1- P(Z>2) – P(Z>3).

Então:

P(-2<Z<3) = 1-0,0228 – 0,00135 = 0,97585



40 e 65:

Z1 = (45-50)/5 = -1 Z2 = (55-50)/5 =1

Então: P(45<X<55) = P(-1<Z<1).

Podemos usar um raciocínio semelhante ao

da letra g do Exercício 54:

P(-1<Z<1) = 1- 2×P(Z>1)

Então:

P(-1<Z<1) = 1-2×0,1587 = 0,6826


13

59) Em ambos os casos é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos escores mínimos 575 e

540. Como 575 é maior do que 550, o valor de Z associado será positivo, e como 540 é menor do que

550, Z será negativo. Vamos apresentar os cálculos.

Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 575 e 540:

Z1 = (575-550)/30 = 0,83 Z2 = (540-550)/30 = - 0,33.

Então P(X>575) = P(Z>0,83) e P(X>540) = P(Z>-0,33). Os gráficos respectivos são mostrados a

seguir:

P(Z>0,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(Z>0,83) = 0,2033. Como a distribuição normal

padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do evento

complementar: P(Z<-0,33)=1 - P(Z>0,33) = 1 – 0,3707 = 0,6293.

60) Suponha a variável X como sendo os ganhos mensais. Apenas será interessante mudar de emprego se

X>3500, que são os ganhos atuais. Então, para escolher a melhor opção (letra b), ou para calcular a

probabilidade de ganhar mais em cada emprego, é preciso obter P(X>3500).

a) No caso da indústria, = 4000 e = 500, P(X>3500) = P(Z>Z1): Z1= (3500 – 4000)/500 = -1,0.

Veja os gráficos a seguir:

Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade

da probabilidade do evento complementar, a probabilidade de ganhar mais na indústria: P(X>3500) =

P(Z>-1) = 1 – P(Z>1) = 1 – 0,1587 = 0,8413.

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

43

0

44

5

46

0

47

5

49

0

50

5

52

0

53

5

55

0

56

5

58

0

59

5

61

0

62

5

64

0

65

5

67

0

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

43

0

44

5

46

0

47

5

49

0

50

5

52

0

53

5

55

0

56

5

58

0

59

5

61

0

62

5

64

0

65

5

67

0

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,00,10,10,20,20,30,30,40,40,5

20

00

,00

22

50

,00

25

00

,00

27

50

,00

30

00

,00

32

50

,00

35

00

,00

37

50

,00

40

00

,00

42

50

,00

45

00

,00

47

50

,00

49

95

,00

52

45

,00

54

95

,00

57

45

,00

59

95

,00

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z


14

No caso do Vendedor, = 3200 e = 2600, P(X>3500) = P(Z>Z2): Z2= (3500 – 3200)/2600 = 0,11.


A probabilidade de ganhar mais como vendedor: P(X>3500) = P(Z>0,11) = 0,4562.

b) Obviamente, o emprego na indústria deve ser o escolhido, pois tem uma probabilidade bem maior de

proporcionar ganhos superiores ao salário atual do que o de vendedor.

61)

a) P(X>3,05). = 3,062 e = 0,01 , P(X>3,05) = P(Z>Z1): Z1= (3,05 – 3,062)/0,01 = -1,2. Veja os

gráficos a seguir:

Como a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade

da probabilidade do evento complementar, P(X>3,05) = P(Z>-1,2) = 1- P(Z>1,2) = 1-0,1151 = 0,8849.

b) A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,04<X<3,08). Eixos

dentro dos padrões resultarão em lucro de 5-1,2 = 3,8. Eixos fora dos padrões, cuja probabilidade de

ocorrência será 1-P(3,04<X<3,08) – probabilidade do complementar – resultará em prejuízo de 1,2.

Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 3,04 e 3,08:

Z1 = (3,04-3,062)/0,01 = -2,2 Z2 = (3,08-3,062)/0,01 = 1,8

Então P(3,04<X<3,08) = P(-2,2<Z<1,8). Os gráficos respectivos são mostrados a seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54 (embora os valores de Z não

sejam iguais):

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-72

00

-59

00

-46

00

-33

00

-20

00

-70

0

60

0

19

00

32

00

45

00

58

00

71

00

83

74

96

74

10

97

4

12

27

4

13

57

4

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

3,0

22

0

3,0

27

0

3,0

32

0

3,0

37

0

3,0

42

0

3,0

47

0

3,0

52

0

3,0

57

0

3,0

62

0

3,0

67

0

3,0

72

0

3,0

77

0

3,0

81

9

3,0

86

9

3,0

91

9

3,0

96

9

3,1

01

9

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

3,0

22

0

3,0

27

0

3,0

32

0

3,0

37

0

3,0

42

0

3,0

47

0

3,0

52

0

3,0

57

0

3,0

62

0

3,0

67

0

3,0

72

0

3,0

77

0

3,0

81

9

3,0

86

9

3,0

91

9

3,0

96

9

3,1

01

9

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z


15

P(-2,2<Z<1,8) = 1- P(Z>1,8) – P(Z>2,2). Então: P(-2,2<Z<1,8) = 1 - 0,0359 – 0,0139 = 0,9502.

Conclui-se então que a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões vale 0,9502, e de estarem

fora dos padrões vale 1- 0,9502 = 0,0498. Podemos então criar uma nova variável aleatória Y, lucro

individual, com a seguinte distribuição:

Y P(Y)

-1,2 0,0498

3,8 0,9502

O valor esperado de Y pode ser obtido através da expressão:

551,39502,08,30498,02,1py)Y(En

1i

yii

Este é o lucro esperado por em uma peça.

Queremos encontrar o lucro esperado em 100. Podemos usar uma propriedade do valor esperado:

E(k×Y) = 100×E(Y) => O valor esperado do produto de uma constante (100 no caso deste problema)

pelo valor esperado de uma variável aleatória é igual ao produto da constante pelo próprio valor

esperado. Assim, para 100 peças: E(100×Y) = 100 × E(Y) = 100 × 3,551 = 355,1.

62)

a) Variável aleatória X = precipitação anual em cm, segue distribuição normal com = 29,5 e = 2,5.

Precisamos encontrar o valor de X que delimita os 5% maiores valores de X: P(X>X1) = 0,05. Com base

na equivalência com a distribuição normal padrão: P(X>X1) = P(Z>Z1) = 0,05. Veja os gráficos a

seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra a do Exercício 55. Procurar na tabela pela

probabilidade 0,05. Esta probabilidade NÃO EXISTE na tabela, podemos encontrar os valores mais

próximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor 1,6, e na linha superior vamos

encontrar a segunda decimal 0,04 e 0,05: P(Z>1,64) = 0,0505 e P(Z>1,645) = 0,0495. Como as

probabilidades estão à mesma distância de 0,05 fazemos a média dos 2 valores de Z, então Z1 = 1,645.

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que

= 29,5, = 2,5 e Z1 = 1,645: x1 = 29,5 + 1,645 ×2,5 = 33,6125 cm.

b) P(X>32). = 29,5 e = 2,5, P(X>32) = P(Z>Z2): Z2= (32 – 29,5)/2,5 = 1,0. Veja os gráficos a

seguir:

P(Z>1,0) = 0,1587. Como a probabilidade é menor do que 0,45 não é viável a instalação do sistema.

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

19

,50

20

,75

22

,00

23

,25

24

,50

25

,75

27

,00

28

,25

29

,50

30

,75

32

,00

33

,25

34

,48

35

,73

36

,98

38

,23

39

,48

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

19

,50

20

,75

22

,00

23

,25

24

,50

25

,75

27

,00

28

,25

29

,50

30

,75

32

,00

33

,25

34

,48

35

,73

36

,98

38

,23

39

,48

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z


16

63) Encontrar P(X<6) nos dois tipos de televisores. Aquele que apresentar menor valor deve ser o

incentivado.

No televisor A, P(X<6). = 9 e = 2, P(X<6) = P(Z>Z1): Z1= (6 – 9)/2= -1,5. Veja os gráficos a

seguir:

No televisor B, P(X<6). = 12 e = 3, P(X<6) = P(Z>Z2): Z2= (6 – 12)/3= -2. Veja os gráficos a

seguir:

Incentivaria o televisor B, pois ele tem a menor probabilidade de reposição em 6 meses.

64) Primeiramente encontramos a percentagem que atende às especificações P(1,6<X<2,4). Usando a

equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 1,6 e 2,4:

Z1 = (1,6-1,978)/0,172 = -2,2 Z2 = (2,4-1,978)/0,172 =2,45

Então: P(1,6<X<2,4) = P(-2,2<Z<2,45). Veja os gráficos a seguir:

Podemos usar um raciocínio semelhante ao da letra g do Exercício 54:

P(-2,2<Z<2,45) = 1- P(Z>2,2) – P(Z>2,45). Então: P(-2,2<Z<2,45) = 1-0,0139 – 0,0071 = 0,979.

Assim, o percentual dos que NÃO atendem às especificações seria igual a 1 – 0,979 = 0,021. A

esmagadora maioria dos eixos está dentro das especificações. Resta saber se 97,9% é aceitável ou não.

65) O problema é definir as faixas de percentuais, obter os valores de Z correspondentes e depois os

valores das notas que definem os conceitos. Veja os gráficos abaixo.

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

1,0

0

2,0

0

3,0

0

4,0

0

5,0

0

6,0

0

7,0

0

8,0

0

9,0

0

10

,00

11

,00

12

,00

12

,98

13

,98

14

,98

15

,98

16

,98

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

0

1,5 3

4,5 6

7,5 9

10

,5 12

13

,5 15

16

,5 18

19

,5 21

22

,5 24

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

1,2

90

0

1,3

76

0

1,4

62

0

1,5

48

0

1,6

34

0

1,7

20

0

1,8

06

0

1,8

92

0

1,9

78

0

2,0

64

0

2,1

50

0

2,2

36

0

2,3

20

3

2,4

06

3

2,4

92

3

2,5

78

3

2,6

64

3

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

P(X<6)=P(Z<-1,5) Devido à simetria

da distribuição normal padrão à média zero:

P(Z<-1,5)= (Z>1,5)

=0,0668

P(X<6)=P(Z<-2) Devido à simetria da distribuição

normal padrão à

média zero: P(Z<-2)=P(Z>2)

=0,0228


17

P(Z>Z4) = 0,1 P(Z>Z3) = 0,3 P(Z>Z2) = 0,7 P(Z>Z1) = 0,9

Procurando na tabela da distribuição normal padrão:

Z4 1,28, x4 = 50 + 1,28 ×10 = 62,8 Z3 0,53, x3 = 50 + 0,53 ×10 = 55,3

P(Z>Z2) = 0,7 , P(Z>- Z2) = 1 – 0,7 = 0,3 - Z2 0,53 Z2 -0,53, x2 = 50 -0,53 ×10 = 44,7

P(Z>Z1) = 0,9, P(Z>- Z1) = 1 – 0,9 = 0,1 - Z1 1,28 Z1 -1,28, x1 = 50 -1,28 ×10 = 37,2

As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8.

66) a) P(X>260). = 250 e = 7 , P(X>260) = P(Z>Z1): Z1= (260 – 250)/7 = 1,43.

b) P(Z<Z2) = 0,05. Devido à simetria da distribuição normal padrão à média zero:

P(Z<Z2) = 0,05 = P(Z>-Z2). Lembrando da letra a do exercício 62, -Z2 = 1,645, então Z2 = -1,645.

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que

= 250, = 7 e Z2 = -1,645: x2 = 250 - 1,645 ×7= 238,48h. Para repor apenas 5% da produção o

prazo máximo de garantia deveria ser de 238,48 h.

67) O índice de aprovação é obtido calculando a probabilidade de que as notas sejam MAIORES do que

os pontos alcançados pelos candidatos. Caso seja menor do que a taxa vagas por candidatos o indivíduo

está aprovado, caso contrário está reprovado. No curso de economia a probabilidade associada aos

pontos alcançados não pode ser maior do que 0,370 e no de administração 0,412.

a) Economia = 50,92, = 9,09 P(X>50) = P(Z>Z1): Z1 = (50-50,92)/9,09 = -0,10. P(X>50) = P(Z>-0,10) = 1-P(Z>0,1) = 1-0,4602 = 0,5398 > 0,370 => candidato reprovado.

P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) = 0,1587 < 0,370 => candidato aprovado.

P(X>50) P(X>60)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

10

,00

15

,00

20

,00

25

,00

30

,00

35

,00

40

,00

45

,00

50

,00

55

,00

60

,00

65

,00

69

,90

74

,90

79

,90

84

,90

89

,90

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4,0

0

-3,5

0

-3,0

0

-2,5

0

-2,0

0

-1,5

0

-1,0

0

-0,5

0

0,0

0

0,5

0

1,0

0

1,5

0

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

22

2,0

0

22

5,5

0

22

9,0

0

23

2,5

0

23

6,0

0

23

9,4

3

24

2,9

3

24

6,4

3

24

9,9

3

25

3,4

3

25

6,9

3

26

0,4

3

26

3,8

6

26

7,3

6

27

0,8

6

27

4,3

6

27

7,8

6

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 -0

0,4

9

0,9

9

1,4

9

1,9

8

2,4

8

2,9

8

3,4

8

3,9

8Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

14

,56

19

,11

23

,65

28

,20

32

,74

37

,29

41

,83

46

,38

50

,92

55

,47

60

,01

64

,56

69

,01

73

,55

78

,10

82

,64

87

,19

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

14

,56

19

,11

23

,65

28

,20

32

,74

37

,29

41

,83

46

,38

50

,92

55

,47

60

,01

64

,56

69

,01

73

,55

78

,10

82

,64

87

,19

X

P(X<260)

=P(Z>1,43)

= 0,0764

Z1 Z2

Z3

Z4

X1 X2

X3

X4


18

b) Economia = 50,92, = 9,09

P(X>55 = P(Z>Z1): Z1 = (5550,92)/9,09 = 0,44

P(X>50) = P(Z>0,44) = 0,3300 < 0,370 => candidato aprovado.

Administração = 55,11, = 8,22

P(X>58) = P(Z>Z1): Z1 = (58-55,11)/8,22 = 0,35.

P(X>58) = P(Z>0,35) = 0,3632 = < 0,370 => candidato aprovado.

Economia: P(X>55) Administração: P(X>58

c) Basta encontrar x1 tal que P(X>x1) = 0,370 em economia e x2 tal que P(X>x2) = 0,412.

P(X>x1) = P(Z>Z1) = 0,370; Z1 0,33 P(X>x2) = P(Z>Z2) =0,412; Z2 0,22

Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que:

= 50,92, = 9,09 em economia e Z1 = 0,33: x1 = 50,92 +0,33 ×9,09= 54.

= 55,11, = 8,22 em administração e Z2 = 0,22: x2 = 55,11 +0,22 ×8,22= 57.

68) a) Pela binomial: 1833,05,05,0C)8X(P 68

8,14 . Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5

a aproximação pela normal é viável: = n×p = 7; = 1,87

Binomial: P(X = 8) => Normal: P(7,5<X<8,5) = P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-7)/1,87 = 0,80 Z1=-Z2=-0,80

P(-0,80<Z<0,80) = 0,1833. Veja o gráfico abaixo:

Observe como a curva normal passa quase “por cima” das probabilidades binomiais, o que explica os

bons resultados.

b) Pela binomial: 042506040737

710 ,,,C)X(P ,

Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim,

a título de exemplo: = n×p =4; = 1,55 Binomial: P(X = 7) => Normal: P(7,5<X<8,5) =

P(Z1<Z<Z2) Z2=(8,5-4)/1,55 =2,91; Z1= (7,5-4)/1,55 =

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

14

,56

19

,11

23

,65

28

,20

32

,74

37

,29

41

,83

46

,38

50

,92

55

,47

60

,01

64

,56

69

,01

73

,55

78

,10

82

,64

87

,19

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

22

,2

26

,3

30

,5

34

,6

38

,7

42

,8

46

,9 51

55

,1

59

,2

63

,3

67

,4

71

,5

75

,6

79

,7

83

,8

87

,9

X

0,0000000

0,0500000

0,1000000

0,1500000

0,2000000

0,2500000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Binomial

Normal


19

P(2,26<Z<2,91) = 0,0413 (este valor está INCORRETO na lista). A aproximação não foi tão ruim

assim, pois n × p = 4, bem próximo de 5. Veja o gráfico abaixo:

c) Pela binomial P(X8) = P(X = 8) + P(X=9) + P(X=10)+...+ P(X=15) = 0,9957.

Como n ×(1-p) é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo

assim, a título de exemplo: = n×p =12; = 1,55

Binomial: P(X 8) => Normal: P(X>7,5) = P(Z>Z1) Z1=(7,5- 12)/1,55 =-2,91

P(Z>-2,91) = 1-P(Z>2,91) = 0,9982. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n ×(1- p) = 3, o

que leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:

d) Pela binomial: P(X<9) = P(X=0) + P(X = 1) +...+ P(X = 8) = 0,5141. Como n ×p e n×(1-p) são

maiores do que 5 a aproximação pela normal é viável: = n×p = 8,4; = 1,83

Binomial: P(X < 9) => Normal: P(X<8,5) = P(Z<Z1) Z1=(8,5-8,4)/1,83 = 0,05

P(Z<0,05) = 1-P(Z>0,05) = 1 – 0,4801 = 0,5191.

A aproximação apresentou diferença apenas na 3ª casa decimal. Veja o gráfico a seguir:

0,0000000

0,0500000

0,1000000

0,1500000

0,2000000

0,2500000

0,3000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Binomial

Normal

0,0000000

0,0500000

0,1000000

0,1500000

0,2000000

0,2500000

0,3000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binomial

Normal

As probabilidades de 10, 11,

13, 14 e 15 apresentam

diferenças, e o próprio

“formato” da distribuição

binomial não é exatamente

simétrico.


20

e) Pela binomial P(X 2) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) =0,2061.

Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim,

a título de exemplo: = n×p =4; = 1,79

Binomial: P(X 2) => Normal: P(X<2,5) = P(Z<Z1) Z1=(2,5- 4)/1,79 =-0,84

P(Z<-0,84) = P(Z>0,84) = 0,2005. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n × p = 4, o que

leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:

f) Pela binomial P(15 < X ≤ 18) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) = 0,0000499 (esta probabilidade

está INCORRETA na lista). Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 5 a aproximação pela normal é

viável: = n×p = 7; = 2,13

Binomial: P(15 < X ≤ 18) => Normal: P(15,5 < X< 18,5) = P(Z1 < Z< Z2)

Z1=(15,5-7)/2,13 = 3,99 Z2 = (18,5 – 7)/2,13 = 5,40

P(3,99 < Z < 5,40) = P(Z > 3,99) – P(Z > 5,40) = 0,00003304 – 0,00000003 = 0,00003301 (esta

probabilidade está INCORRETA na lista). Observe que houve diferença, provavelmente por se tratar de

valores muito elevados de Z. Mesmo assim, veja o gráfico a seguir:

0,0000000

0,0500000

0,1000000

0,1500000

0,2000000

0,2500000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Binomial

Normal

0,0000000

0,0500000

0,1000000

0,1500000

0,2000000

0,2500000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Binomial

Normal

As probabilidades de 0, 2, 3,

5, e 6 apresentam

diferenças, e o próprio

“formato” da distribuição

binomial não é exatamente

simétrico.


21

69) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (usa ou não o produto), há 200

elementos pesquisados (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar a

probabilidade de sucesso (usar o produto) como constante, uma vez que não há nada indicando o

contrário: n = 200; p = 0,20; 1 – p = 0,80.

Pela binomial: P(X > 30) = P(X = 31) + P(X = 32) + ... + P(X = 200). O procedimento seria tedioso,

mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com

= n × p = 200 × 0,20 = 40 8,02,0200)p1(pn = 5,66

Binomial: P(X > 30) => Normal: P(X > 30,5) = P(Z>Z1) Z1=(30,5-40)/5,66 = -1,68


Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da

probabilidade do evento complementar: P(Z > - 1,68) = 1 – P(Z > 1,68) = 1 – 0,0465 = 0,9535 (a

propósito o valor exato pela binomial é 0,9570, bastante próximo).

70) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), há

80 questões das quais ele não sabe nada (número máximo de realizações é conhecido), e podemos

considerar a probabilidade de sucesso (acertar questão) como constante, uma vez que não há nada

indicando o contrário: n = 80; p = 0,25; 1 – p = 0,75.

Pela binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) = P(X = 25) + P(X = 26) + ... + P(X = 30). O procedimento seria tedioso,

mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com

= n × p = 80 × 0,25 = 20 75,025,080)p1(pn = 3,87

Binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) => Normal: P(24,5 < X < 30,5) = P(Z1 < Z < Z2)

Z1 = (24,5 – 20)/ 3,87 = 1,16 Z2 = (30,5 – 20)/ 3,87 = 2,71

Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade da

probabilidade do evento complementar: P(1,16 < Z < 2,71) = P(Z>1,16) – P(Z>2,71) = 0,1196

0,0000000

0,0200000

0,0400000

0,0600000

0,0800000

0,1000000

0,1200000

0,1400000

0,1600000

0,1800000

0,2000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Binomial

Normal

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

17

,37

20

,20

23

,03

25

,86

28

,69

31

,51

34

,34

37

,17

40

,00

42

,83

45

,66

48

,49

51

,26

54

,09

56

,91

59

,74

62

,57

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4,0

0

-3,5

0

-3,0

0

-2,5

0

-2,0

0

-1,5

0

-1,0

0

-0,5

0

0,0

0

0,5

0

1,0

0

1,5

0

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

As probabilidades de vários

valores não coincidem

exatamente, indicando que

embora a condição mínima

para aproximação tenha

sido satisfeita ela apresenta

algumas discrepâncias.


22


A propósito, o valor exato pela binomial é 0,1193 (bastante próximo).

71) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (face 2 ou não 2 na letra a, e

face par ou ímpar na letra b), o dado é lançado 100 vezes (número máximo de realizações é conhecido),

e se o dado é honesto a probabilidade de sucesso pode ser considerada constante:

a) n = 100; p = 1/6; 1 – p = 5/6. Pela binomial: P(X ≥ 18) = P(X = 18) + ... + P(X = 80). O processo de

cálculo seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma

normal com = n × p = 100 × 1/6 = 16,67 6/56/1100)p1(pn = 3,73

Binomial: P(X ≥ 18) => Normal: P(X > 17,5) = P(Z > Z1) Z1 = (17,5 – 16,67)/ 3,73 = 0,22

P(Z > 0,22) = 0,4129. Veja os gráficos a seguir:

A propósito, o valor exato pela binomial é 0,400593.

72) Foi declarado textualmente que a variável tempo de chamadas segue uma distribuição uniforme

entre 0,5 e 5 minutos: parâmetros a = 0,5 e b = 5. Seja X a variável aleatória duração de uma chamada,

e seja Y a variável aleatória duração total das 104 chamadas.

Estamos procurando P(Y > 3,5h) = P(Y > 210 minutos). Se há 104 chamadas, a média por chamada é de

210/104 = 2,02 minutos. Então isso significa que procuramos P(X > 2,02), veja o gráfico:

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,54

,51

6,4

4

8,3

8

10

,32

12

,25

14

,19

16

,13

18

,06

20

,00

21

,94

23

,87

25

,81

27

,71

29

,64

31

,58

33

,52

35

,45

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4,0

0

-3,5

0

-3,0

0

-2,5

0

-2,0

0

-1,5

0

-1,0

0

-0,5

0

0,0

0

0,5

0

1,0

0

1,5

0

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

1,7

6

3,6

2

5,4

9

7,3

5

9,2

1

11

,08

12

,94

14

,80

16

,67

18

,53

20

,39

22

,26

24

,08

25

,95

27

,81

29

,67

31

,54

X

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4

-3,5 -3

-2,5 -2

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5

1,9

9

2,4

9

2,9

9

3,4

9

3,9

9

Z

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

0,5

0

1,0

0

1,5

0

2,0

0

2,5

0

3,0

0

3,5

0

4,0

0

4,5

0

5,0

0

X

P(X>2,02) é a área sombreada. Para calcular

tal área na uniforme devemos usar a expressão:

(b-x) × (1/(b-a)) = (5 – x)/(1/(5 – 0,5)).

P(X > 2,02) = (5 – 2,02) × (1/4,5) 0,6624


23

73) Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniforme

entre 3,5 e 3,8 mm: parâmetros a = 3,5 e b = 3,8.

a) P(X > 3,7) = (3,8 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,3333 (33,33%).

b) Para distribuição uniforme E(X) = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2 = 3,65 mm

c) P(X < 3,72) = (3,72 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,7333 < 0,80. A exigência não está sendo satisfeita.

d) P(X < 3,75| X > 3,7) = P[(X < 3,75) (X > 3,7)]/P(X > 3,7) = [(3,75 – 3,7)×1/(3,8 – 3,5)]/0,3333 =

0,5 (50%).

74) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, mas o parâmetro é desconhecido. Contudo,

sabe-se que P(X > 1h) = 0,22313 = e-×1

= e-

. Aplicando logaritmo natural (cuja base vale e):

ln 0,22313 = ln e-

=> -1,5 - => 1,5. Agora podemos calcular as probabilidades pedidas nas

letras a e b.

a) P(X > 3h) = e-×3

= e-1,5×3

0,0111

b) P(X < 0,5 h) = 1 – e -×0,5

= 1 – e-1,5×0,5

= 1 – e-0,75

= 0,4723. Como esta probabilidade é obviamente

diferente de 0,91 a afirmação não pode ser feita.

75) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, onde novamente o valor de é desconhecido.

Mas, o valor esperado de uma distribuição exponencial é E(X) = 1/, e sabemos que E(X) = 120, logo

= 1/120.

a) P(X > 100) = e-×100

= e-(1/120)×100

= e-5/6

0,4346

b) Sabe-se que P(X< X1) = 0,05 => P(X > X1) = 0,95 = e-×x)

. Veja o gráfico a seguir:

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

3,5

0

3,5

5

3,6

0

3,6

5

3,7

0

3,7

5

3,8

0

X

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

3,5

0

3,5

5

3,6

0

3,6

5

3,7

0

3,7

5

3,8

0

X

0,0000

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

0,0050

0,0060

0,0070

0,0080

0,0090

0,0

0

49

,00

99

,00

14

9,0

0

19

9,0

0

24

9,0

0

29

9,0

0

34

9,0

0

39

9,0

0

44

9,0

0

X

0,95 = e-(x1/120)

Aplicando logaritmo natural:

ln 0,95 = ln e-(x1/120)

-0,051 = -x1/120 x1 = 6,15 meses

Então, a garantia máxima para repor até 5% da

produção deve ser de 6,15 meses.

INE 7002 GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS...

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