5) Relações5) Relações 5.1) Relações e Dígrafos5.1) Relações e Dígrafos 5.2) Propriedades de Relações5.2) Propriedades de Relações 5.3) Relações de Equivalência5.3) Relações de Equivalência 5.4) Manipulação de Relações 5.4) Manipulação de Relações 5.5) Fecho de Relações5.5) Fecho de Relações

INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

Relações de equivalênciaRelações de equivalência• Suponha que a matrícula dos estudantes em uma dada Suponha que a matrícula dos estudantes em uma dada

universidade siga o esquema:universidade siga o esquema:

Inicial do nome : Horário de matrícula :A – G 8 :00 – 11 :00H – N 11 :00 – 14 :00O – Z 14 :00 – 17 :00

• Seja R a relação que contém (x,y) se x e y são estudantes Seja R a relação que contém (x,y) se x e y são estudantes com nomes começando com letras do mesmo bloco.com nomes começando com letras do mesmo bloco.

• Consequentemente, x e y podem se matricular na mesma Consequentemente, x e y podem se matricular na mesma hora se e somente se (x,y)hora se e somente se (x,y)R.R.

• Pode-se notar que R é reflexiva, simétrica e transitiva.Pode-se notar que R é reflexiva, simétrica e transitiva.• Além disto, R divide os estudantes em 3 classes (Além disto, R divide os estudantes em 3 classes (equivalentesequivalentes).).

Relações de equivalênciaRelações de equivalência• Suponha dois horários (inteiros) a=20:00 e b=68:00. Suponha dois horários (inteiros) a=20:00 e b=68:00.

Estes horários estão relacionados pela relação Estes horários estão relacionados pela relação “congruência módulo 24”, pois:“congruência módulo 24”, pois:

24 | (68-20) ou 68=20 + k.2424 | (68-20) ou 68=20 + k.24

• ““Um inteiro a está relacionado a um inteiro b se ambos Um inteiro a está relacionado a um inteiro b se ambos tiverem o mesmo resto quando divididos por 24”.tiverem o mesmo resto quando divididos por 24”.– pode-se mostrar que esta relação é reflexiva, pode-se mostrar que esta relação é reflexiva,

simétrica e transitiva. simétrica e transitiva.

• Conclui-se que esta relação subdivide o conjunto dos inteiros Conclui-se que esta relação subdivide o conjunto dos inteiros em 24 classes diferentes.em 24 classes diferentes.

• Como o que nos interessa realmente é só o momento do dia, Como o que nos interessa realmente é só o momento do dia, só precisamos saber a que só precisamos saber a que classeclasse pertence um valor dado. pertence um valor dado.

Relações de equivalênciaRelações de equivalência

• DefiniçãoDefinição: Uma relação R sobre um conjunto A é : Uma relação R sobre um conjunto A é chamada uma chamada uma relação de equivalênciarelação de equivalência se ela for se ela for uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.

• Dois elementos relacionados por uma relação de Dois elementos relacionados por uma relação de equivalência são ditos equivalência são ditos equivalentesequivalentes..

Relações de equivalênciaRelações de equivalência• Exemplo1Exemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e: Sejam A={1,2,3,4} e

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)}. R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)}.R é uma relação de equivalência, pois satisfaz às 3 propriedades:R é uma relação de equivalência, pois satisfaz às 3 propriedades:

• ReflexividadeReflexividade: R é reflexiva, pois {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}: R é reflexiva, pois {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}RR• SimetriaSimetria: nota-se que a: nota-se que aR(b) R(b) b bR(a)R(a)• TransitividadeTransitividade: nota-se que: b: nota-se que: bR(a) e cR(a) e cR(b) R(b) c cR(a)R(a)

• Exemplo2Exemplo2: Seja A=Z o conjunto dos inteiros e seja : Seja A=Z o conjunto dos inteiros e seja R={(a,b)R={(a,b)AAA|aA|ab}.b}.R não é uma relação de equivalência, pois:R não é uma relação de equivalência, pois:

• ReflexividadeReflexividade: R é reflexiva, pois a: R é reflexiva, pois aa, a, aaAA• SimetriaSimetria: b: ba não segue de aa não segue de ab b R não é simétrica R não é simétrica• TransitividadeTransitividade: se a: se ab e bb e bc c a ac, portanto se aRb e c, portanto se aRb e

bRc então aRc. Assim, R é transitiva.bRc então aRc. Assim, R é transitiva.

Relações de equivalênciaRelações de equivalência• Exemplo3Exemplo3: Seja m um inteiro positivo > 1. Mostre que a relação: Seja m um inteiro positivo > 1. Mostre que a relação

R={ (a,b) | aR={ (a,b) | ab (mod m) }b (mod m) }é uma é uma relação de equivalênciarelação de equivalência sobre o conjunto dos inteiros. sobre o conjunto dos inteiros.

• Lembre que: aLembre que: ab (mod m) b (mod m) m|(a-b) m|(a-b) – ReflexividadeReflexividade: a: aa (mod m) pois a-a=0 e m|0 a (mod m) pois a-a=0 e m|0 aRa aRa– SimetriaSimetria: : se ase ab (mod m), então a-b=k.m b (mod m), então a-b=k.m b-a=(-k).m b-a=(-k).m

b ba (mod m)a (mod m) assim: aRb assim: aRb bRa bRa

– TransitividadeTransitividade: suponha que a: suponha que ab (mod m) e bb (mod m) e bc (mod m)c (mod m) m divide tanto (b-a) como (c-b) m divide tanto (b-a) como (c-b) a-b=k.m e b-c=l.m a-b=k.m e b-c=l.m a-c = (a-b)+(b-c) = (k+l).m a-c = (a-b)+(b-c) = (k+l).m a ac (mod m)c (mod m)portanto, aRb e bRc portanto, aRb e bRc aRc e R é transitiva. aRc e R é transitiva.

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• DefiniçãoDefinição:: Uma Uma partiçãopartição ou ou conjunto quociente conjunto quociente de um conjunto não vazio de um conjunto não vazio A é uma coleção A é uma coleção PP de subconjuntos não vazios de A tal que: de subconjuntos não vazios de A tal que:1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em 1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em PP2. Se A2. Se A11 e A e A22 são elementos distintos em são elementos distintos em PP, então A, então A11AA22==..– Os conjuntos em P são chamados de Os conjuntos em P são chamados de blocosblocos ou ou células células da da

partição.partição.

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• ExemploExemplo: A={1,2,3,5,7,9,11,13}: A={1,2,3,5,7,9,11,13}

1 2 3

A1

A2

A3

A45 9

7

11 13

• AA11={1,2,3} A={1,2,3} A22={5,9} A={5,9} A33={7} A={7} A44={11,13}={11,13}• PP={A={A11, A, A22, A, A33, A, A44} é uma partição do conjunto A em 4 blocos.} é uma partição do conjunto A em 4 blocos.

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• Uma partição Uma partição PP pode ser usada para construir uma pode ser usada para construir uma relação de equivalência sobre A.relação de equivalência sobre A.

• TeoremaTeorema: Seja : Seja PP uma partição sobre um conjunto A. Defina uma uma partição sobre um conjunto A. Defina uma relação R sobre A como:relação R sobre A como:aRb se e somente se a e b são membros do mesmo bloco.aRb se e somente se a e b são membros do mesmo bloco.Então R é uma Então R é uma relação de equivalênciarelação de equivalência sobre A (determin. por sobre A (determin. por PP).).

ProvaProva::(1) Se a(1) Se aA, então a está no mesmo bloco que ele mesmo,A, então a está no mesmo bloco que ele mesmo, de modo que aRa de modo que aRa R é reflexiva R é reflexiva(2) Se aRb então a e b estão no mesmo bloco, logo bRa(2) Se aRb então a e b estão no mesmo bloco, logo bRa R é simétrica R é simétrica(3) Se aRb e bRc, então a, b e c estão no mesmo bloco (3) Se aRb e bRc, então a, b e c estão no mesmo bloco PP, logo aRc., logo aRc.Portanto: aRb e bRc Portanto: aRb e bRc aRc (R é transitiva). aRc (R é transitiva).

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• ExemploExemplo: Seja A={1,2,3,4} e considere uma partição : Seja A={1,2,3,4} e considere uma partição PP={{1,2,3}, {4}}. Ache a relação de equivalência ={{1,2,3}, {4}}. Ache a relação de equivalência determinada por determinada por PP..

• SoluçãoSolução: Os blocos de : Os blocos de PP são {1,2,3} e {4}. Para são {1,2,3} e {4}. Para construir esta relação, cada elemento do bloco deve construir esta relação, cada elemento do bloco deve estar relacionado com todos os outros elementos no estar relacionado com todos os outros elementos no mesmo bloco e somente estes elementos. Assim:mesmo bloco e somente estes elementos. Assim:

R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)}R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)}

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições• TeoremaTeorema: Seja R uma relação de equivalência sobre A : Seja R uma relação de equivalência sobre A

e seja e seja PP a coleção de todos os conjuntos relativos R(a), a coleção de todos os conjuntos relativos R(a), para todo apara todo aA. EntãoA. Então PP é uma partição de A, e R é a é uma partição de A, e R é a relação de equivalência determinada por relação de equivalência determinada por PP..

– Se R é uma relação de equivalência sobre A, então Se R é uma relação de equivalência sobre A, então os conjuntos R(a) são chamados de os conjuntos R(a) são chamados de classes de classes de equivalênciaequivalência de R. de R.

– A partição A partição PP construída no teorema acima consiste construída no teorema acima consiste portanto de todas as classes de equivalência de R portanto de todas as classes de equivalência de R e esta partição é denotada por A/R. e esta partição é denotada por A/R.

– Partições de um conjunto A também são chamadas Partições de um conjunto A também são chamadas de “conjuntos quocientes” de A, e a notação A/R de “conjuntos quocientes” de A, e a notação A/R lembra que lembra que PP é o conjunto quociente de A que é é o conjunto quociente de A que é construído e determinado por R.construído e determinado por R.

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• Exemplo1Exemplo1:: Seja A={1,2,3,4} e seja a relação de Seja A={1,2,3,4} e seja a relação de equivalência R sobre A definida porequivalência R sobre A definida porR={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,3), (3,3), (4,4)}.R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,3), (3,3), (4,4)}.Determine A/R (todas as classes de equivalência de R).Determine A/R (todas as classes de equivalência de R).

• SoluçãoSolução:: R(1) = {1,2}R(1) = {1,2}R(2) = {1,2}R(2) = {1,2}R(3) = {3,4}R(3) = {3,4}R(4) = {3,4}R(4) = {3,4}

A/R = {{1,2} , {3,4}}A/R = {{1,2} , {3,4}}

Relações de equivalência e partiçõesRelações de equivalência e partições

• Exemplo2Exemplo2: Seja A=: Seja A=ZZ e seja R={(a,b) e seja R={(a,b)AAA | 2|(a-b)} (como já A | 2|(a-b)} (como já visto, R é uma relação de equivalência). Determinar A/R. visto, R é uma relação de equivalência). Determinar A/R.

• SoluçãoSolução::– R(0)={R(0)={ -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, } (O conjunto dos inteiros } (O conjunto dos inteiros

pares, pois 2 divide a diferença entre quaisquer dois pares, pois 2 divide a diferença entre quaisquer dois inteiros pares.)inteiros pares.)

– R(1)={ R(1)={ -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, } (O conjunto dos } (O conjunto dos inteiros ímpares, pois 2 divide a diferença entre inteiros ímpares, pois 2 divide a diferença entre quaisquer dois inteiros ímpares.)quaisquer dois inteiros ímpares.)

– Assim, A/R consiste do conjunto dos inteiros pares e do Assim, A/R consiste do conjunto dos inteiros pares e do conjuto dos inteiros ímpares, isto é, A/R={R(0), R(1)}.conjuto dos inteiros ímpares, isto é, A/R={R(0), R(1)}.

Procedimento geral para determinar Procedimento geral para determinar partições A/Rpartições A/R• Passo 1Passo 1.. Escolha um elemento qualquer de A, digamos a, e Escolha um elemento qualquer de A, digamos a, e

calcule a classe de equivalência R(a).calcule a classe de equivalência R(a).

• Passo 2Passo 2.. Se R(a) Se R(a)A, escolha um elemento b não incluído A, escolha um elemento b não incluído em R(a) e calcule a classe de equivalência R(b).em R(a) e calcule a classe de equivalência R(b).

• Passo 3Passo 3.. Se A não é igual a união das classes de equivalência previamente Se A não é igual a união das classes de equivalência previamente calculadas, então escolha um elemento x de A que não esteja em nenhuma calculadas, então escolha um elemento x de A que não esteja em nenhuma dessas classes de equivalência e calcule R(x).dessas classes de equivalência e calcule R(x).

• Passo 4Passo 4.. Repita o passo 3 até que todos os elementos de A estejam em classes de equivalência já Repita o passo 3 até que todos os elementos de A estejam em classes de equivalência já calculadas. Se A é infinito este processo pode continuar indefinidamente. Neste caso, continue até calculadas. Se A é infinito este processo pode continuar indefinidamente. Neste caso, continue até que apareça um padrão que permita descrever ou dar uma fórmula para todas as classes de que apareça um padrão que permita descrever ou dar uma fórmula para todas as classes de equivalênciaequivalência

Relações de equivalência - ExercíciosRelações de equivalência - Exercícios

• Exercício 1Exercício 1: Seja A={a,b,c}. Determine se a relação R : Seja A={a,b,c}. Determine se a relação R cuja matriz é dada abaixo é uma relação de equivalência.cuja matriz é dada abaixo é uma relação de equivalência.

• Resp.Resp.: SIM. (Por quê?): SIM. (Por quê?)

110110001

MR

Relações de equivalência - ExercíciosRelações de equivalência - Exercícios• Exercício 2Exercício 2: Determine se a relação R cujo dígrafo é : Determine se a relação R cujo dígrafo é

dado abaixo é uma relação de equivalência.dado abaixo é uma relação de equivalência.

• Resp.Resp.: SIM. (Por quê?): SIM. (Por quê?)

1

4

6

3

2

5

Relações de equivalência - ExercíciosRelações de equivalência - Exercícios

• Exercício 3Exercício 3: Se {{1,3,5}, {2,4}} é uma partição do : Se {{1,3,5}, {2,4}} é uma partição do conjunto A={1,2,3,4,5}, determine a relação de conjunto A={1,2,3,4,5}, determine a relação de equivalência R correspondente.equivalência R correspondente.

• Resp.Resp.: : R={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),R={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}