Inequações Exponenciais e...

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Inequações Exponenciais e Logarítmicas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Inequações Exponenciais e Logarítmicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Inequações Exponenciais e Logarítmicas

1.Inequações exponenciais

2.Inequações logarítmicas

3.Exercícios

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3

Enfocaremos agora as inequações exponen-ciais que não podem ser reduzidas a umadesigualdade de potências de mesma base por meiode simples aplicações das propriedades depotências.

1. Inequações exponenciais

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4

A resolução de uma inequação deste tipobaseia-se no crescimento ou decrescimento dafunção logarítmica, isto é, se ax > 0, b > 0 e0 < c ≠ 1, tem-se:

1. Inequações exponenciais

log log se c 1I)

log log se 0 1

log log se c 1II)

log log se 0 1

xc cx

xc c

xc cx

xc c

a ba b

a b c

a ba b

a b c

> >> ⇔ < < <

< >< ⇔ > < <

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Exemplos:1) Resolva as inequações:

1. Inequações exponenciais

3 1

) 3 2

1) 2

5

x

x

a

b −

>

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6

Solução:

Tomando os logaritmos de ambos osmembros da desigualdade na base 3 e mantendo adesigualdade, pois a base do logaritmo é maior que1, temos:

1. Inequações exponenciais

{ }

3 3 3 3 3

3

3 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log 2

/ log 2

x x x x

S x x

> ⇒ > ⇒ ⋅ > ⇒ >

= ∈ >ℝ

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A escolha da base 3 para o logaritmo visouobter uma simplificação na resolução. Obteríamoso mesmo resultado se tomássemos os logaritmosem qualquer outra base.

Por exemplo, tomando os logaritmos na base1/5 e invertendo a desigualdade, temos:

1. Inequações exponenciais

15

1 1 1 15 5 5 5

(log 3 0)15

315

3 2 log 3 log 2 log 3 log 2

log 2

log 2log 3

x x x

x x

<

> ⇒ < ⇒ ⋅ < ⇒

⇒ > ⇒ >

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8

Solução:

1. Inequações exponenciais

33 1

8 8

8

8

1 2 1 2 2) 2 8 log 8 log

5 2 5 5 52

x log5

2 / log

5

xx x xb

S x x

− ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒

⇒ ≤

= ∈ ≤

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Exemplos:2) Resolva a inequação .

1. Inequações exponenciais

2 1 3 13 2x x− +>

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10

Solução:

1. Inequações exponenciais

( )( )

( )( )

222 1 3 1 3

3

9 9 98 8 8

98

3 933 2 2 2 2 3 6

3 82

9 96 log log 6 log 6

8 8

/ log 6

x xxx x x

x x

x x

x

S x x

− +> ⇒ > ⋅ ⇒ > ⋅ ⇒ > ⇒

⇒ > ⇒ > ⇒ >

= ∈ >

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Assim como classificamos as equaçõeslogarítmicas em três tipos básicos, vamos tambémclassificar as inequações em três tipos:

2. Inequações logarítmicas

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1o tipo: loga f(x) > loga g(x)É a inequação que é redutível a uma

desigualdade entre dois logaritmos de mesma basea (0 < a ≠ 1).

Como a função logaritmo é crescente sea > 1 e decrescente se 0 < a < 1, devemosconsiderar dois casos:

2. Inequações logarítmicas

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1o casoQuando a base é maior que 1, a relação de

desigualdade existente entre os logaritmandos éde mesmo sentido que a dos logaritmos. Não nosdevemos esquecer que, para existirem oslogaritmos em , os logaritmandos deverão serpositivos.

Esquematicamente, temos:

2. Inequações logarítmicas

Se 1, então

log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a a

a

f x g x f x g x

>> ⇔ > >

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2o casoQuando a base é menor que 1, a relação de

desigualdade existente entre os logaritmandos éde sentido contrário à dos logaritmos. Também nãonos podemos esquecer que os logaritmandosdeverão ser positivos para que os logaritmos sejamreais.

Esquematicamente, temos:

2. Inequações logarítmicas

Se 0 1, então

log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )a a

a

f x g x f x g x

< <> ⇔ < <

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Agrupando os dois casos num só esquema,temos:

2. Inequações logarítmicas

( ) ( ) 0 se 1

log ( ) log ( ) ou

0 ( ) ( ) se 0 1a a

f x g x a

f x g x

f x g x a

> > >> ⇔ < < < <

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Exemplos:1) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

2 2log (2 1) log 6x − <

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17

Solução:

Observe que a base é maior que 1, logo adesigualdade entre os logaritmandos tem o mesmosentido que a dos logaritmos.

2. Inequações logarítmicas

( )2 2

1 7log 2 1 log 6 0 2 1 6

2 2x x x− < ⇒ < − < ⇒ < <

1 7/

2 2S x x = ∈ < <

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Exemplos:2) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

21 13 3

log ( 4 ) log 5x x− >

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Solução:

Observe que agora a base é menor que 1, logo adesigualdade entre os logaritmandos tem sentidocontrário à dos logaritmos.

2. Inequações logarítmicas

( )2 21 13 3

log 4 log 5 0 4 5x x x x− > ⇒ < − < ⇒

2

2 2

4 0 0 ou 4 (I)

e

4 5 4 5 0 1 5 (II)

x x x x

x x x x x

− > ⇒ < > − < ⇒ − − < ⇒ − < <

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2. Inequações logarítmicas

{ }/ 1 0 ou 4 5S x x x= ∈ − < < < <ℝ

x

x

x

0

0

-1

-1

4

5

4 5

(I)

(II)

(I) ∩∩∩∩ (II)

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Exemplos:3) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

25 5log ( 2 6) log 2x x− − ≥

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22

Solução:

2. Inequações logarítmicas

( )2 25 5

2

log 2 6 log 2 2 6 2

2 8 0 2 ou 4

x x x x

x x x x

− − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒

− − ≥ ⇒ ≤ − ≥

{ }/ 2 ou 4S x x x= ∈ ≤ − ≥ℝ

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2o tipo: loga f(x) > k ou loga f(x) < kÉ a inequação logarítmica que é redutível a

uma desigualdade entre um logaritmo e um númeroreal.

Para resolvermos uma inequação deste tipo,basta notarmos que o número real k pode ser assimexpresso

k = k . loga a = loga ak

2. Inequações logarítmicas

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Portanto são equivalentes as inequações:

loga f(x) > k ⇔ loga f(x) > loga ak

e

loga f(x) < k ⇔ loga f(x) < loga ak

2. Inequações logarítmicas

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Pelo estudo já feito no tipo anterior, temos,esquematicamente:

2. Inequações logarítmicas

( ) se 1log ( )

0 ( ) se 0 1

0 ( ) se 1log ( )

( ) se 0 1

k

a k

k

a k

f x a af x k

f x a a

f x a af x k

f x a a

> >> ⇔ < < < <

< < >< ⇔ > < <

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Exemplos:1) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

3log (3 2) 2x + <

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27

Solução:

2. Inequações logarítmicas

( ) 23

2 7log 3 2 2 0 3 2 3

3 3x x x+ < ⇒ < + < ⇒ − < <

2 7/

3 3S x x = ∈ − < <

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Exemplos:2) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

212

log (2 3 ) 1x x− > −

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Solução:

2. Inequações logarítmicas

( )1

2 212

1log 2 3 1 0 2 3

2x x x x

− − > − ⇒ < − < ⇒

2

2 2

32 3 0 0 ou (I)

2e

12 3 2 2 3 2 0 2 (II)

2

x x x x

x x x x x

− > ⇒ < > − < ⇒ − − < ⇒ − < <

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30

2. Inequações logarítmicas

1 3/ 0 ou 2

2 2S x x x = ∈ − < < < <

x

x

x

0

0

-1/2

-1/2

3/2

2

3/2 2

(I)

(II)

(I) ∩∩∩∩ (II)

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Exemplos:3) Resolver a inequação .

2. Inequações logarítmicas

213

log (2 7 5) 2x x− + ≤ −

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32

Solução:

2. Inequações logarítmicas

( )2

2 213

2

1log 2 7 5 2 2 7 5

3

12 7 4 0 ou 4

2

x x x x

x x x x

− − + ≤ − ⇒ − + ≥ ⇒

− − ≥ ⇒ ≤ − ≥

= ∈ ≤ − ≥

ℝ1

/ ou 42

S x x x

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33

3o tipo: incógnita auxiliarSão as inequações que resolvemos fazendo

inicialmente uma mudança de incógnita.

2. Inequações logarítmicas

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34

Exemplos:1) Resolver a inequação .

2. Inquações logarítmicas

23 3log 3 log 2 0x x− ⋅ + >

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35

Solução:

A equação proposta é equivalente à equação

Fazendo log3 x = y, temos:

Mas y = log3 x, então:

2. Inequações logarítmicas

2 3 2 0 1 ou 2y y y y− + > ⇒ < >

{ }= ∈ < < >ℝ / 0 3 e 9S x x x

23 3(log ) 3 log 2 0x x− ⋅ + >

13

23

log 1 0 3 0 3

log 2 3 9

x x x

x x x

< ⇒ < < ⇒ < <

> ⇒ > ⇒ >

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Outra forma de resolver inequaçõeslogarítmicas sem a preocupação de análise de casosespecíficos é ficar atento ao enunciado abaixo:

“O primeiro passo na resolução de umainequação logarítmica é determinar as condiçõesde existência dos logaritmos que nelacomparecem”.

2. Inequações logarítmicas

log 0 1 e 0a b x a b= ⇔ < ≠ >

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Exercício 1: Resolva a inequação

3. Exercícios

2 2log ( 3) log ( 2) 1x x− + − ≤

Antes de aplicarmos as propriedadesoperatórias dos logaritmos devemos estabelecer acondição para a existência dos logaritmos, isto é:

3 0 3

3 (I)

2 0 2

x x

e x

x x

− > ⇒ > ⇒ >

− > ⇒ >

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Resolvendo a inequação, temos:

3. Exercícios

[ ]2 2 2

2

log ( 3) log ( 2) 1 log ( 3) ( 2) 1

( 3) ( 2) 2 5 4 0 1 4 (II)

x x x x

x x x x x

− + − ≤ ⇒ − ⋅ − ≤ ⇒

⇒ − ⋅ − ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤

A solução da inequação proposta são osvalores de x que satisfazem simultaneamente (I) e(II); portanto:

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3. Exercícios

3

1

3 4

x

x

x

(I)

(II)

(I) ∩ (II)

4

{ }/ 3 4S x x= ∈ < ≤ℝ

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Exercício 2: Resolva a inequação

3. Exercícios

Antes de aplicarmos as propriedadesoperatórias dos logaritmos devemos estabelecer acondição para a existência dos logaritmos, isto é:

( )2 1 32

log log log 0x

>

( )3

1 3 32

0

log 0 1 1 3 (I)

log log 0 log 1 3

x

x x x

x x x

>

> ⇒ > ⇒ < <> ⇒ < ⇒ <

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Resolvendo a inequação, temos:

3. Exercícios

( ) ( )2 1 3 1 3 32 2

1log log log 0 log log 1 log

2

3 (II)

x x x

x

> ⇒ > ⇒ < ⇒

⇒ <

A solução da inequação proposta são osvalores de x que satisfazem simultaneamente (I) e(II); portanto:

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3. Exercícios

1

1

x

x

x

(I)

(II)

(I) ∩ (II)

3

{ }/ 1 3S x x= ∈ < <ℝ

3

3

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Exercício 3: Determine os valores de a para que aequação admita raízes reais.

3. Exercícios

A solução admitirá raízes reais se odiscriminante não for negativo (∆ ≥ 0).

224 log 0x x a− + =

42 216 4 log 0 log 4 2 16a a a a∆ = − ⋅ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤

Antes de iniciarmos a resolução dainequação, devemos estabelecer a condição para aexistência do logaritmo, isto é: 0a >

{ }/ 0 16S a a= ∈ < ≤ℝ

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Exercício 4: Resolva a inequação

3. Exercícios

Antes de resolvermos a inequação, devemoslevantar a condição para a existência do logaritmo.

( )2log 2 5 2 1x x x− + >

2 12 5 2 0 ou 2

20 1

x x x x

x

− + > ⇒ < >

< ≠

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3. Exercícios

1

21/2

0

0

1/2 2

x

x

x

(I)

(II)

(I) ∩ (II)

10 ou 2 (I)

2x x< < >

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Como a base x pode ser maior ou menor que1, devemos examinar dois casos:

3. Exercícios

( )2 2

2

1 ) Se 1 (II), temos:

log 2 5 2 1 2 5 2

3 5 3 52 6 2 0 ou (III)

2 2

o

x

x

x x x x x

x x x x

>

− + > ⇒ ⇒− + >

− +⇒ − + > ⇒ < >

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A solução neste caso é dada por:

3. Exercícios

21/2

1

x

x

x

(I)

(II)

(I) ∩ (II) ∩ (III)

0

x

(III)

3 52

− 3 52

+

3 52

+

1

3 5/

2S x x

+ = ∈ >

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( )2 2

2

2 ) Se 0 1 (IV), temos:

log 2 5 2 1 2 5 2

3 5 3 52 6 2 0 (V)

2 2

o

x

x

x x x x x

x x x

< <

− + > ⇒ < ⇒− +

− +⇒ − + < ⇒ < <

3. Exercícios

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A solução neste caso é dada por:

3. Exercícios

2

3 5 1/

2 2S x x

− = ∈ < <

21/2

1

x

x

x

(I)

(IV)

(I) ∩ (IV) ∩ (V)

0

x

(V)

3 52

− 3 52

+

3 52

0

1/2

Page 50: Inequações Exponenciais e Logarítmicassinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot...Inequações Exponenciais e Logarítmicas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE

A solução da inequação proposta é:

3. Exercícios

1 2

3 5 1 3 5/ e

2 2 2S S S x x x

− + = = ∈ < < >

∪ ℝ