Inequações Exponenciais e...
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Inequações Exponenciais e Logarítmicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Inequações Exponenciais e Logarítmicas
1.Inequações exponenciais
2.Inequações logarítmicas
3.Exercícios
3
Enfocaremos agora as inequações exponen-ciais que não podem ser reduzidas a umadesigualdade de potências de mesma base por meiode simples aplicações das propriedades depotências.
1. Inequações exponenciais
4
A resolução de uma inequação deste tipobaseia-se no crescimento ou decrescimento dafunção logarítmica, isto é, se ax > 0, b > 0 e0 < c ≠ 1, tem-se:
1. Inequações exponenciais
log log se c 1I)
log log se 0 1
log log se c 1II)
log log se 0 1
xc cx
xc c
xc cx
xc c
a ba b
a b c
a ba b
a b c
> >> ⇔ < < <
< >< ⇔ > < <
5
Exemplos:1) Resolva as inequações:
1. Inequações exponenciais
3 1
) 3 2
1) 2
5
x
x
a
b −
>
≤
6
Solução:
Tomando os logaritmos de ambos osmembros da desigualdade na base 3 e mantendo adesigualdade, pois a base do logaritmo é maior que1, temos:
1. Inequações exponenciais
{ }
3 3 3 3 3
3
3 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log 2
/ log 2
x x x x
S x x
> ⇒ > ⇒ ⋅ > ⇒ >
= ∈ >ℝ
7
A escolha da base 3 para o logaritmo visouobter uma simplificação na resolução. Obteríamoso mesmo resultado se tomássemos os logaritmosem qualquer outra base.
Por exemplo, tomando os logaritmos na base1/5 e invertendo a desigualdade, temos:
1. Inequações exponenciais
15
1 1 1 15 5 5 5
(log 3 0)15
315
3 2 log 3 log 2 log 3 log 2
log 2
log 2log 3
x x x
x x
<
> ⇒ < ⇒ ⋅ < ⇒
⇒ > ⇒ >
8
Solução:
1. Inequações exponenciais
33 1
8 8
8
8
1 2 1 2 2) 2 8 log 8 log
5 2 5 5 52
x log5
2 / log
5
xx x xb
S x x
− ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒
⇒ ≤
= ∈ ≤
ℝ
9
Exemplos:2) Resolva a inequação .
1. Inequações exponenciais
2 1 3 13 2x x− +>
10
Solução:
1. Inequações exponenciais
( )( )
( )( )
222 1 3 1 3
3
9 9 98 8 8
98
3 933 2 2 2 2 3 6
3 82
9 96 log log 6 log 6
8 8
/ log 6
x xxx x x
x x
x x
x
S x x
− +> ⇒ > ⋅ ⇒ > ⋅ ⇒ > ⇒
⇒ > ⇒ > ⇒ >
= ∈ >
ℝ
11
Assim como classificamos as equaçõeslogarítmicas em três tipos básicos, vamos tambémclassificar as inequações em três tipos:
2. Inequações logarítmicas
12
1o tipo: loga f(x) > loga g(x)É a inequação que é redutível a uma
desigualdade entre dois logaritmos de mesma basea (0 < a ≠ 1).
Como a função logaritmo é crescente sea > 1 e decrescente se 0 < a < 1, devemosconsiderar dois casos:
2. Inequações logarítmicas
13
1o casoQuando a base é maior que 1, a relação de
desigualdade existente entre os logaritmandos éde mesmo sentido que a dos logaritmos. Não nosdevemos esquecer que, para existirem oslogaritmos em , os logaritmandos deverão serpositivos.
Esquematicamente, temos:
2. Inequações logarítmicas
ℝ
Se 1, então
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a a
a
f x g x f x g x
>> ⇔ > >
14
2o casoQuando a base é menor que 1, a relação de
desigualdade existente entre os logaritmandos éde sentido contrário à dos logaritmos. Também nãonos podemos esquecer que os logaritmandosdeverão ser positivos para que os logaritmos sejamreais.
Esquematicamente, temos:
2. Inequações logarítmicas
Se 0 1, então
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )a a
a
f x g x f x g x
< <> ⇔ < <
15
Agrupando os dois casos num só esquema,temos:
2. Inequações logarítmicas
( ) ( ) 0 se 1
log ( ) log ( ) ou
0 ( ) ( ) se 0 1a a
f x g x a
f x g x
f x g x a
> > >> ⇔ < < < <
16
Exemplos:1) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
2 2log (2 1) log 6x − <
17
Solução:
Observe que a base é maior que 1, logo adesigualdade entre os logaritmandos tem o mesmosentido que a dos logaritmos.
2. Inequações logarítmicas
( )2 2
1 7log 2 1 log 6 0 2 1 6
2 2x x x− < ⇒ < − < ⇒ < <
1 7/
2 2S x x = ∈ < <
ℝ
18
Exemplos:2) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
21 13 3
log ( 4 ) log 5x x− >
19
Solução:
Observe que agora a base é menor que 1, logo adesigualdade entre os logaritmandos tem sentidocontrário à dos logaritmos.
2. Inequações logarítmicas
( )2 21 13 3
log 4 log 5 0 4 5x x x x− > ⇒ < − < ⇒
2
2 2
4 0 0 ou 4 (I)
e
4 5 4 5 0 1 5 (II)
x x x x
x x x x x
− > ⇒ < > − < ⇒ − − < ⇒ − < <
20
2. Inequações logarítmicas
{ }/ 1 0 ou 4 5S x x x= ∈ − < < < <ℝ
x
x
x
0
0
-1
-1
4
5
4 5
(I)
(II)
(I) ∩∩∩∩ (II)
21
Exemplos:3) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
25 5log ( 2 6) log 2x x− − ≥
22
Solução:
2. Inequações logarítmicas
( )2 25 5
2
log 2 6 log 2 2 6 2
2 8 0 2 ou 4
x x x x
x x x x
− − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒
− − ≥ ⇒ ≤ − ≥
{ }/ 2 ou 4S x x x= ∈ ≤ − ≥ℝ
23
2o tipo: loga f(x) > k ou loga f(x) < kÉ a inequação logarítmica que é redutível a
uma desigualdade entre um logaritmo e um númeroreal.
Para resolvermos uma inequação deste tipo,basta notarmos que o número real k pode ser assimexpresso
k = k . loga a = loga ak
2. Inequações logarítmicas
24
Portanto são equivalentes as inequações:
loga f(x) > k ⇔ loga f(x) > loga ak
e
loga f(x) < k ⇔ loga f(x) < loga ak
2. Inequações logarítmicas
25
Pelo estudo já feito no tipo anterior, temos,esquematicamente:
2. Inequações logarítmicas
( ) se 1log ( )
0 ( ) se 0 1
0 ( ) se 1log ( )
( ) se 0 1
k
a k
k
a k
f x a af x k
f x a a
f x a af x k
f x a a
> >> ⇔ < < < <
< < >< ⇔ > < <
26
Exemplos:1) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
3log (3 2) 2x + <
27
Solução:
2. Inequações logarítmicas
( ) 23
2 7log 3 2 2 0 3 2 3
3 3x x x+ < ⇒ < + < ⇒ − < <
2 7/
3 3S x x = ∈ − < <
ℝ
28
Exemplos:2) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
212
log (2 3 ) 1x x− > −
29
Solução:
2. Inequações logarítmicas
( )1
2 212
1log 2 3 1 0 2 3
2x x x x
− − > − ⇒ < − < ⇒
2
2 2
32 3 0 0 ou (I)
2e
12 3 2 2 3 2 0 2 (II)
2
x x x x
x x x x x
− > ⇒ < > − < ⇒ − − < ⇒ − < <
30
2. Inequações logarítmicas
1 3/ 0 ou 2
2 2S x x x = ∈ − < < < <
ℝ
x
x
x
0
0
-1/2
-1/2
3/2
2
3/2 2
(I)
(II)
(I) ∩∩∩∩ (II)
31
Exemplos:3) Resolver a inequação .
2. Inequações logarítmicas
213
log (2 7 5) 2x x− + ≤ −
32
Solução:
2. Inequações logarítmicas
( )2
2 213
2
1log 2 7 5 2 2 7 5
3
12 7 4 0 ou 4
2
x x x x
x x x x
− − + ≤ − ⇒ − + ≥ ⇒
− − ≥ ⇒ ≤ − ≥
= ∈ ≤ − ≥
ℝ1
/ ou 42
S x x x
33
3o tipo: incógnita auxiliarSão as inequações que resolvemos fazendo
inicialmente uma mudança de incógnita.
2. Inequações logarítmicas
34
Exemplos:1) Resolver a inequação .
2. Inquações logarítmicas
23 3log 3 log 2 0x x− ⋅ + >
35
Solução:
A equação proposta é equivalente à equação
Fazendo log3 x = y, temos:
Mas y = log3 x, então:
2. Inequações logarítmicas
2 3 2 0 1 ou 2y y y y− + > ⇒ < >
{ }= ∈ < < >ℝ / 0 3 e 9S x x x
23 3(log ) 3 log 2 0x x− ⋅ + >
13
23
log 1 0 3 0 3
log 2 3 9
x x x
x x x
< ⇒ < < ⇒ < <
> ⇒ > ⇒ >
36
Outra forma de resolver inequaçõeslogarítmicas sem a preocupação de análise de casosespecíficos é ficar atento ao enunciado abaixo:
“O primeiro passo na resolução de umainequação logarítmica é determinar as condiçõesde existência dos logaritmos que nelacomparecem”.
2. Inequações logarítmicas
log 0 1 e 0a b x a b= ⇔ < ≠ >
Exercício 1: Resolva a inequação
3. Exercícios
2 2log ( 3) log ( 2) 1x x− + − ≤
Antes de aplicarmos as propriedadesoperatórias dos logaritmos devemos estabelecer acondição para a existência dos logaritmos, isto é:
3 0 3
3 (I)
2 0 2
x x
e x
x x
− > ⇒ > ⇒ >
− > ⇒ >
Resolvendo a inequação, temos:
3. Exercícios
[ ]2 2 2
2
log ( 3) log ( 2) 1 log ( 3) ( 2) 1
( 3) ( 2) 2 5 4 0 1 4 (II)
x x x x
x x x x x
− + − ≤ ⇒ − ⋅ − ≤ ⇒
⇒ − ⋅ − ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤
A solução da inequação proposta são osvalores de x que satisfazem simultaneamente (I) e(II); portanto:
3. Exercícios
3
1
3 4
x
x
x
(I)
(II)
(I) ∩ (II)
4
{ }/ 3 4S x x= ∈ < ≤ℝ
Exercício 2: Resolva a inequação
3. Exercícios
Antes de aplicarmos as propriedadesoperatórias dos logaritmos devemos estabelecer acondição para a existência dos logaritmos, isto é:
( )2 1 32
log log log 0x
>
( )3
1 3 32
0
log 0 1 1 3 (I)
log log 0 log 1 3
x
x x x
x x x
>
> ⇒ > ⇒ < <> ⇒ < ⇒ <
Resolvendo a inequação, temos:
3. Exercícios
( ) ( )2 1 3 1 3 32 2
1log log log 0 log log 1 log
2
3 (II)
x x x
x
> ⇒ > ⇒ < ⇒
⇒ <
A solução da inequação proposta são osvalores de x que satisfazem simultaneamente (I) e(II); portanto:
3. Exercícios
1
1
x
x
x
(I)
(II)
(I) ∩ (II)
3
{ }/ 1 3S x x= ∈ < <ℝ
3
3
Exercício 3: Determine os valores de a para que aequação admita raízes reais.
3. Exercícios
A solução admitirá raízes reais se odiscriminante não for negativo (∆ ≥ 0).
224 log 0x x a− + =
42 216 4 log 0 log 4 2 16a a a a∆ = − ⋅ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤
Antes de iniciarmos a resolução dainequação, devemos estabelecer a condição para aexistência do logaritmo, isto é: 0a >
{ }/ 0 16S a a= ∈ < ≤ℝ
Exercício 4: Resolva a inequação
3. Exercícios
Antes de resolvermos a inequação, devemoslevantar a condição para a existência do logaritmo.
( )2log 2 5 2 1x x x− + >
2 12 5 2 0 ou 2
20 1
x x x x
x
− + > ⇒ < >
< ≠
3. Exercícios
1
21/2
0
0
1/2 2
x
x
x
(I)
(II)
(I) ∩ (II)
10 ou 2 (I)
2x x< < >
Como a base x pode ser maior ou menor que1, devemos examinar dois casos:
3. Exercícios
( )2 2
2
1 ) Se 1 (II), temos:
log 2 5 2 1 2 5 2
3 5 3 52 6 2 0 ou (III)
2 2
o
x
x
x x x x x
x x x x
>
− + > ⇒ ⇒− + >
− +⇒ − + > ⇒ < >
A solução neste caso é dada por:
3. Exercícios
21/2
1
x
x
x
(I)
(II)
(I) ∩ (II) ∩ (III)
0
x
(III)
3 52
− 3 52
+
3 52
+
1
3 5/
2S x x
+ = ∈ >
ℝ
( )2 2
2
2 ) Se 0 1 (IV), temos:
log 2 5 2 1 2 5 2
3 5 3 52 6 2 0 (V)
2 2
o
x
x
x x x x x
x x x
< <
− + > ⇒ < ⇒− +
− +⇒ − + < ⇒ < <
3. Exercícios
A solução neste caso é dada por:
3. Exercícios
2
3 5 1/
2 2S x x
− = ∈ < <
ℝ
21/2
1
x
x
x
(I)
(IV)
(I) ∩ (IV) ∩ (V)
0
x
(V)
3 52
− 3 52
+
3 52
−
0
1/2
A solução da inequação proposta é:
3. Exercícios
1 2
3 5 1 3 5/ e
2 2 2S S S x x x
− + = = ∈ < < >
∪ ℝ