INF-103: Avaliação de DesempenhoINF-103: Avaliação de Desempenho

Carlos Alberto Kamienski (cak@ufabc.edu.br)

UFABC

Geração de Números Geração de Números

Aleatórios Aleatórios

2

Motivação

Um dos principais passos para a realização de simulações e experimentações é a geração de valores aleatórios para algumas variáveis com alguma distribuição e probabilidade específica, como normal e exponencial

Procedimento composto de 2 passos Gerar um número aleatório entre 0 e 1 (uniforme) Transformar esse número em um valor que satisfaça a

distribuição específica

3

Motivação

Algumas geradores de números aleatórios são melhores do que os outros

Como gerar números aleatórios para simulação/experimentação?

O que são números aleatórios adequados para simulação/experimentação?

Como funciona a geração de números aleatórios/experimentação?

4

Um gerador simples

O métodos mais comum é usar uma relação recursiva na qual o próximo número na seqüência é uma função do último número gerado (ou dos últimos dois números)

xn = f (xn-1, xn-2, ...)

Por exemplo xn = 5 xn-1 + 1 mod 16

Começando com x0 = 5 x1 = 5(5) + 1 mod 16 = 26 mod 16 = 10

5

Um gerador simples

Os primeiros 32 números obtidos através do procedimento acima são 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5 10, 3, 0, 1, 6,

15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5

Dividindo os xi por 16 0,6250; 0,1875; 0,0000; 0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500;

0,8125; 0,1250; 0,6875; 0,5000; 0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500; 0,3125; 0,6250; 0,1875; 0,0000; 0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500; 0,8125; 0,1250; 0,6875; 0,5000; 0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500; 0,3125

6

TerminologiaSemente

x0 = valor usado para iniciar a seqüência = 5

Ciclo Somente os 16 primeiros números são únicos O 17º é igual ao primeiro Dado um número, o próximo será sempre o mesmo O tamanho do ciclo deste gerador é 16

Cauda Alguns geradores não repetem a parte inicial da seqüência

de números, que é chamada de cauda

Período O período do gerador é a soma do tamanho da cauda

e o tamanho do ciclo

7

Semente, Cauda, Ciclo, Período

8

Números pseudo-aleatórios

A função f é determinística Dada a mesma semente, a função f sempre gerará a

mesma seqüência de números

Os números ainda podem ser considerados aleatórios porque passam em testes de aleatoriedade

Esses números são apenas parcialmente aleatórios

Em simulação, são preferíveis a números totalmente aleatórios porque é possível repetir os experimentos

Se um resultado diferente é necessário, é possível alterar a semente

Controle sobre a reprodutibilidade dos experimentos

9

Tipos de Geradores

Geradores congruo-lineares

Geradores de Tausworthe

Geradores de Fibonacci estendidos

Geradores combinados

10

Geradores congruo-lineares

Descobertos por D.H. Lehmer em 1951: Os resíduos de potências sucessivas de um número têm boas propriedades aleatórias.

xn = an mod m

Ou de forma equivalente,

xn = a.xn-1 mod m a multiplicador m módulo

Lehmer escolheu os seguintes valores: a = 23 e m = 108 Bom para o ENIAC: máquina com 8 dígitos decimais.

11

Geradores congruo-lineares

Generalizacão (atualmente em uso):

xn = (a.xn-1 + b) mod m

Pode ser analisado utilizando a teoria das congruências

Geradores Congruo-Lineares Mistos Geradores Congruo-Lineares (LCG)

misto = possui tanto uma multiplicação por a como uma adicão de b

12

Seleção dos Parâmetros do LCG

a, b e m afetam o período e a autocorrelaçãoO módulo m deve ser grande

O período nunca será maior do que m

Para o cálculo ser eficiente, m deve ser potência de 2 Assim, mod m pode ser obtido por truncamento

Se b é não-nulo, período máximo m será obtido se e só se:

Os inteiros m e b forem primos entre si. Todo número primo que for um fator de m deve ser também um fator

de a -1 Se m for múltiplo de 4, a -1 também deve ser múltiplo de 4.

Essas condições são satisfeitas se m = 2k, a = 4c + 1 e b for ímparOnde, c,b e k são inteiros positivos

13

Correlação

Indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias

Correlação 1: correlação perfeita Correlação -1: anti-correlação perfeita Correlação 0: nenhuma correlação

Exemplos: X={1,2,3,4,5}, Y={30,40,50,60,70}, correção = 1 X={1,2,3,4,5}, Z={70,60,50,40,30}, correção = -1 X={1,2,3,4,5}, W={1,10,1,10,1}, correção = 0 X={1,2,3,4,5}, V={1,20,5,10,15}, correção =

0,3746749

14

Auto-Correlação

Medida que informa o quanto o valor de uma realização de uma variável aleatória é capaz de influenciar seus vizinhosDescreve a correlação entre valores da variável em tempos diferentesÉ uma ferramenta matemática usada para encontrar padrões que se repetem Ex.: presença de um sinal periódico

Na geração de números aleatórios, demonstra aleatoriedade dos números

15

Auto-Correlação

X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10,1,2,...}

16

Auto-Correlação

X= “1000 números: distribuição uniforme de 0 a 1”

17

Período x Auto-correlação

Um gerador que possua um período máximo é chamado de gerador de período completo

xn = (234 + 1) xn-1 + 1 mod 235

xn = (218 + 1) xn-1 + 1 mod 235

É preferível aquele que exibir baixa auto-correlação entre números sucessivos

Ambos os geradores têm o mesmo período completo, mas o primeiro tem uma correlação de 0,25 entre xn-1 e xn, enquanto que o segundo tem

uma correlação desprezível de menos do que 2-18

18

0 500 1000 1500 20000.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

Méd

ia E

mpí

rica

Tamanho da amostra

m = 9, a = 4,b= 1

m = 27, a = 26, b = 5

m = 482, a = 13, b = 14

m = 231 – 1, a = 4, b = 1

Seleção dos Parâmetros

19

Recomendações para Escolha da Semente

Simulações com múltiplas seqüências: necessitam de mais de uma cadeia de números aleatórios

Fila única = Duas cadeias Intervalo entre chegadas e tempos de serviços aleatórios

Não usar zero Pode ser usada com LCGs. Mas, LCGs multiplicativos ou um LCG de Tausworthe

ficarão presos em zero

Evite valores pares. Para LCGs multiplicativos com módulo m = 2k, a semente deve ser ímpar

* É melhor evitar geradores que possuam muitas restrições sobre os valores das sementes ou cujo desempenho (período e aleatoriedade) dependam do valor da semente

20

Recomendações para Escolha da Semente

3. Não subdivida uma cadeia.

Não gere sementes sucessivas: u1 para gerar intervalos entre

chegadas, u2 para gerar o tempo de serviço implica em Forte

correlação

4. Use cadeias que não se superponham. Superposição Correlação.

Ex.: Mesma raiz implica na mesma cadeia

5. Reutilize sementes em replicações sucessivas.

6. Não utilize sementes aleatórias tais como a hora do dia:

Não dá para garantir ausência de superposição

21

Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios

Um conjunto complexo de operações leva a resultados aleatórios

É melhor usar operações simples que possam ser avaliadas analiticamente quanto à sua aleatoriedade

Um teste simples, como o teste do qui-quadrado, é suficiente para testar a qualidade de um gerador de números aleatórios. A seqüência 0, 1, 2, ...m-1 passa no teste do qui-quadrado com uma boa nota, mas falharia num teste de execução.

Use tantos testes quantos forem possíveis

22

Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios

Números aleatórios são imprevisíveis. É fácil obter os parâmetros a,c e m a partir de alguns números. Isso implica em LCGs serem inadequados para aplicações de criptografia

23

Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios

4. Algumas sementes são melhores do que outras.

xn = (9806 xn-1 + 1) mod (217 _ 1) Funciona corretamente para todas as sementes exceto x0 = 37911 Fica preso em xn = 37911 para sempre Geradores deste tipo devem ser evitados. Qualquer semente diferente de zero na faixa válida deveria produzir

seqüências de igual qualidade. Para alguns a semente deve ser ímpar. Geradores cujo período ou aleatoriedade dependam da semente não

devem ser usadas, dado que um usuário desavisado pode não se lembrar de seguir todas as diretrizes.

24

Geração de Valores para Variáveis Aleatórias (diferentes de U(0,1))

Seja F(x) a distribuição acumulada da função X

A inversa da função F

Gerar X como

Exemplo: Exponencial

F y x F x y y1( ) inf : ( ) ,0 1. X F U1( )

xF x e

X F U U1

( ) 1

1( ) ln(1 )

X F U1( )

25

Geração Números Aleatórios Java

26

Geração Números Aleatórios Java

27

Geração Números Aleatórios Java

INF-103: Avaliação de DesempenhoINF-103: Avaliação de Desempenho

Carlos Alberto Kamienski (cak@ufabc.edu.br)

UFABC

Geração de Números Geração de Números

Aleatórios Aleatórios