INF 1366 – Computação Gráfica...

1

Alberto Raposo – PUC-Rio

INF 1366 – Computação Gráfica Interativa

Transformações

Alberto B. [email protected]

http://www.tecgraf.puc-rio.br/~abraposo/INF1366


Sistemas de Coordenadas• Objetos em Computação Gráfica possuem descrições

numéricas (modelos) que caracterizam suas formas e dimensões.

• Esses números se referem a um sistema de coordenadas, normalmente o sistema Cartesiano de coordenadas: x, y e z.

• Em alguns casos, precisamos de mais de um sistema de coordenadas:– Um sistema local para descrever partes individuais de uma

máquina, por exemplo, que pode ser montada especificando-se a relação de cada sistema local das várias peças.

John Dingliana, 2004

2


Transformações• Em alguns casos, objetos exibem simetrias, de modo

que apenas parte deles precisa ser descrita, pois o resto pode ser construído por reflexão, rotação e/outranslação do pedaço original.

• Um projetista pode querer visualizar um objeto sob vários pontos de vista, rotacionando-o ou movendo uma câmera virtual.

• Em animação, um ou mais objetos podem precisar se mover em relação ao outro, de modo que seus sistemas de coordenadas locais devam ser transladados e rotacionados ao longo da animação.



etc...

Exemplo 1

• Partes do objeto definidas em sistemas de coordenadas locais:

• Objeto “montado” por meio de transformação das partes constituintes:


3


5 etapas de uma animação de um cubo girando

Exemplo 2

• A cada quadro da animação, o objeto é transformado (rotação, nesse caso).

• O objeto também poderia ser transformado pela mudança de tamanho (escalamento), sua forma (deformação), ou sua localização (translação).

• Outros efeitos de animação são obtidos sem alterar o objeto em si, mas a forma como ele é visualizado (transformação windowto viewport) a cada quadro (por exemplo, um zoom).



Transformações• Há 2 formas de se enxergar uma transformação

– Uma Transformação de Objeto altera as coordenadas de cada ponto de acordo com alguma regra, mantendo o sistema de coordenadas inalterado.

– Uma Transformação de Coordenadas produz um sistema de coordenadas diferente, e então representa todos os pontos originais nesse novo sistema.

• Cada maneira tem suas vantagem, e são intimamente relacionadas.


4


1,1

.4, 2

TRANSFORMAÇÃO DE OBJETO

(1,1)

(1,1)

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS



Classes de Transformações

• Euclidianas / Corpos Rígidos• de Similaridade• Lineares• Afins• Projetivas

5


Transformações Euclidianas

• Preservam distâncias• Preservam ângulos

TranslaçãoRotação

Corpos Rígidos / Euclidianas

Identidade

Identidade

Translação

Rotação

MIT EECS 6.837, Durand and Cutler


Transformações de Similaridade

• Preservam ângulos


Euclidianas

Similaridades

EscalamentoIsotrópico

Identidade


EscalamentoIsotrópico

6


Transformações Lineares


EuclidianasLinear

Similaridades

EscalaentoIsotrópico

IdentidadeEscalamento

Shear

Reflexão

Escalamento Reflexão Shear



Transformações Lineares• L(p + q) = L(p) + L(q)• L(ap) = a L(p)


7


Transformações Afins

• Preservam linhasparalelas Afins


EuclidianasLinear

Similaridades



Shear

Reflexão


TransformaçõesProjetivas

• preservam linhas Projetivas

Perspectiva

Afins


EuclidianasLinear

Similaridades



Shear

Reflexão

8


PerpectivaPerspectiva é um dos fatoresque dá “aparência 3D” às cenas


Transformações 2D

EscalamentoRotação

Translação

EscalamentoTranslação

x

y

Coordenadas do mundo

Coordenadasde modelagem

D. Brogan, Univ. of Virginia

9


Transformações 2D

x

y


Localizaçãoinicial em(0, 0) comeixos x e yalinhados



Transformações 2D

x

y


Scale .3, .3Rotate -90

Translate 5, 3


10


Transformações 2D

x

y



Translate 5, 3



Transformações 2D

x

y



Translate 5, 3


11


VRML: Nó Transform


Exemplo em VRML

The Annotated VRML Reference

12


Exemplo em VRML


Escalamento• Escalar uma coordenada significa multiplicar cada

um de seus componentes por um valor escalar• Escalamento isotrópico significa que esse valor

escalar é o mesmo para todos os componentes

× 2


13


• Escalamento não-isotrópico: valores escalaresdiferentes por componente:

• Como representar o escalamento na forma de matrizes?

Escalamento

X × 2,Y × 0.5



Escalamento

• Operação de escalamento:

• Na forma matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡byax

yx''

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

ba

yx

00

''

Matriz de escalamento


14


Rotação 2D

cos ( ) cos cos sin sin θ φ θ φ θ φ+ = −( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) sin cos cos sin θ φ θ φ θ φ+ = +( ) ( ) ( ) ( )

P

Q

R PX

PYφ

θ

[1][2]

[3][4]

[1] )( )( )()( φθφθ sinsincoscos RRxQ −=

Substituindo de [3] e [4]…

)()( θθ sincos yPxPxQ −=

Similarmente, a partir de [2]…

)()( θθ sincos xPyPyQ +=

)Rcos( Q X φθ += )Rsin( Q y φθ +=

)(cosR PX φ= )(sinR Py φ=



Rotação 2D

θ

(x, y)

(x’, y’)

x’ = x cos(θ) - y sin(θ)y’ = x sin(θ) + y cos(θ)


15


Rotação 2D• Na forma matricial:

• Embora sin(θ) e cos(θ) sejam funções não-lineares de θ,– x’ é combinação linear de x e y– y’ é combinação linear de x e y

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

yx

θθθθ

cossinsincos

''



Translação 2D

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

y

x

y

xtytx

tt

yx

yx

''

y

xx

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

x

tt

t

M. Gattass, PUC-Rio

16


Transformações 2D Básicas• Translação:

– x’ = x + tx– y’ = y + ty

• Escalamento:– x’ = x * sx– y’ = y * sy

• Rotação:– x’ = x*cosΘ - y*sinΘ– y’ = x*sinΘ + y*cosΘ

Podem ser combinadascom álgebra simples



Transformações 2D Básicas• Translação:

– x’ = x + tx– y’ = y + ty




17


• Translação:– x’ = x + tx– y’ = y + ty


• Rotação:– x’ = x*cosΘ - y*sinΘ– y’ = x*sinΘ + y*cosΘ x’ = x*sx

y’ = y*sy

(x,y)(x’,y’)

Transformações 2D Básicas



x’ = (x*sx) *cosΘ - (y*sy) * sinΘy’ = (x*sx) * sinΘ + (y*sy) * cosΘ

(x’,y’)






18




• Rotação:– x’ = x*cosΘ - y*sinΘ– y’ = x*sinΘ + y*cosΘ x’ = ((x*sx)*cosΘ - (y*sy)*sinΘ) + tx

y’ = ((x*sx)*sinΘ + (y*sy)*cosΘ) + ty

(x’,y’)




Representação Matricial

• Representar transformação 2D por umamatriz

• Multiplicar matriz por vetor-coluna⇔ aplicar transformação a um ponto

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

yx

dcba

yx''

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

dcba

dycxybyaxx

+=+=

''


19


Representação Matricial

• Transformações são combinadas pormultiplicação de matrizes

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

yx

lkji

hgfe

dcba

yx

''

Matrizes são uma forma conveniente e eficientede representar uma seqüência de transformações



Produto de Matrizes

∑=

=q

kkjikij bac

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

qmqq

m

m

nqnn

q

q

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211

ABC

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100

010001

OM

L

Ineutro:M. Gattass, PUC-Rio

20


Matrizes 2x2• Que transformações planares podem ser

representadas com uma matriz 2x2?Identidade 2D?

yyxx

==''

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

yx

yx

1001

''

Escalemento 2D em torno de (0,0)?

ysy

xsx

y

x

*'

*'

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

ss

yx

y

x

00

''




representadas com uma matriz 2x2?


Rotação 2D em torno de (0,0)?

yxyyxx

*cos*sin'*sin*cos'

Θ+Θ=Θ−Θ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΘΘΘ−Θ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

yx

cossinsincos

''

21





Espelhamento 2D em torno de Y?

yyxx

=−=

''

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

yx

yx

1001

''

Espelhamento 2D em torno de (0,0)?

yyxx

−=−=

''

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

yx

yx

1001

''





Translação 2D?

y

x

tyytxx

+=+=

''

NÃO!

22


Coordenadas Homogêneas

• Como representar uma translação comomatriz 3x3?

y

x

tyytxx

+=+=

''



•Coordenadas homogêneas– representam

coordenadas em 2 dimensões com vetor 3 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

1homogêneas coord. y

xyx

• Coordenadas Homogêneas parecem poucointuitivas, mas elas simplificam muito as operações gráficas


23



• Como representar uma translação comomatriz 3x3?

y

x

tyytxx

+=+=

''

Resp: Usando a terceiracoluna da matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1001001

y

x

tt

Translação



Translação

•Exemplo

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

111001001

1''

y

x

y

x

tytx

yx

tt

yx

tx = 2ty = 1

•Coordenadas Homogêneas


24



• Coloca uma 3a coordenada para cada ponto 3D– (x, y, w) representa um ponto em (x/w, y/w)– (x, y, 0) representa um ponto no infinito– (0, 0, 0) não é permitido

Sistema conveniente pararepresentar muitastransformações úteis emCG

1 2

1

2 (2,1,1) or (4,2,2) or (6,3,3)

x

y




• Representação em matrizes 3x3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΘΘΘ−Θ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11000cossin0sincos

1''

yx

yx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11001001

1''

yx

tt

yx

y

x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11000101

1''

yx

shsh

yx

y

x

Translação

Rotação Cisalhamento (Shear)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11000000

1''

yx

ss

yx

y

x

Escalamento

25


Cisalhamento (Shear)

yxshyyshxx

y

x

+=+=

*'*'

x

y

x

y

γ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

11000100tan1

1

tan

1''

yx

yyx

yx γγ

M. Gattass, PUC-Rio


Concatenação de Transformações

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

yT1

R1

E

R2

T2

P’= T2 R2 E R1 T1 PP’= T2 R2 E R1 T1 P M. Gattass, PUC-Rio

26


Composição de Matrizes

• Transformações podem ser combinas pelamultiplicação de matrizes

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΘΘΘ−Θ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wyx

sysx

tytx

wyx

1000000

1000cossin0sincos

100

1001

'''

p’ = T(tx,ty) R(Θ) S(sx,sy) p




• Atenção: ordem das transformações fazdiferença– Multiplicação de matrizes não é comutativa

p’ = T * R * S * p

“Global” “Local”

27


Ordem das Transformações

x

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

p

R x

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22 y

xp

T

x

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

11 y

xp

R x

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

1p

x

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22 y

xp

T

(a)

(b)M. Gattass, PUC-Rio



• Ex: rotacionar segmento em 45 graus emtorno da extremidade a

a a

Resultado esperado


28



• Erro: aplicar a rotação de 45o, R(45), afeta as duasextremidades– Pode-se tentar fazer a rotação e depois retornar o ponto

a à sua posição original, mas quanto ele precisaria ser transladado?

Errado!R(45)

aa

CorretoT(-3) R(45) T(3)

a


Como trazer o ponto a devolta à posição original??

?



• Correto: isolar ponto a dos efeitosda rotação

1. Transladar a linha para colocar a na origem: T (-3)

2. Rotacionar linha em 45o: R(45)

3. Transladar a de volta: T(3)

a

a

a

a


29



⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

1''

1

100010301

1000)45cos()45sin(0)45sin()45cos(

100010301

y

x

y

xaa

aa

T(3) R(45) T(-3)

A multiplicação começa da última para a primeira transformação


Composição de Matrizes•Depois de ordenar as matrizes corretamente:– Multiplicá-las– Guardar resultado em uma só matriz– Usar essa matriz para realizar a transformação

composta em cada um dos pontos que definem o objeto transformado (vértices, por exemplo)Todos os vértices podem ser transformados

com uma simples multiplicação de vetor pormatriz.

30


Exercício 2D

• Considere o triângulo com os seguintes vértices em coordenadashomogêneas– Rotacione o triângulo

de 90o (sentido anti-horário) em relação aoponto P = (6,5)

y

x

C

BA

P


Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo de modo que o centro de rotação se mova para a origem do sistema de coordenadas

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo3. Definir matriz para transladar o triângulo

de volta4. Gerar matriz combinada da transformação5. Transformar os vértices do triângulo

31


Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo de modo que o centro de rotação se mova para a origem do sistema de coordenadas

– Centro de rotação: P = (6,5)– Translação de -6 unidades em x e -5 unidades

em y


Etapas da Solução

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo• O ângulo de rotação é medido no sentido anti-

horário: R(+90o)• cos(90o) = 0 e sin(90o) = 1

32


Etapas da Solução

3. Definir matriz para transladar o triângulo de volta

• Translação de 6 unidades em x e 5 unidades em y


Etapas da Solução

4. Gerar matriz combinada da transformação

=

33


Etapas da Solução

5. Transformar os vértices do triângulo

y

x

C

BA

P

B’

= A’

C’


Transformações em 3D

• Mesma idéia que em 2D:– Coordenadas homogêneas: (x,y,z,w) – Matrizes de trasnformação 4x4

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

ponmlkjihgfedcba

wzyx

''''

34



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

ttt

wzyx

z

y

x

1000100010001

'''

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

ss

s

wzyx

z

y

x

1000000000000

'''


TranslaçãoD. Brogan, Univ. of Virginia



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano YZ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano XZ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

1000010000100001

'''

Espelhamento em torno doplano XY

35



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ΘΘΘ−Θ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

1000010000cossin00sincos

'''

Rotação em torno de Z:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΘΘ−

ΘΘ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

10000cos0sin00100sin0cos

'''

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΘΘΘ−Θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wzyx

wzyx

10000cossin00sincos00001

'''

Rotação em torno de Y:

Rotação em torno de X:


Rotações Reversas

• Como desfazer uma rotação R(θ)?– Aplicar o inverso da rotação: R(-θ)

•Construindo R(-θ) :– cos(-θ) = cos(θ)– sin (-θ) = - sin (θ)

• Assim: R(-θ) = RT(θ)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΘΘ

Θ−Θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΘΘ−

ΘΘ

10000cos0sin00100sin0cos

10000cos0sin00100sin0cos T

36


Exercício 3D

• Encontre as respectivas matrizes de transformação para os seguintes casos

a) Translação que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

b) Escalamento que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

• Qual o ângulo dessa rotação?


Solução

a) Translação que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

⇒

Matriz de translação ⇒

37


Solução

b) Escalamento que leva o ponto p1 = (a1, b1, c1) para o ponto p2 = (a2, b2, c2)

⇒

Matriz de escalamento ⇒


Solução


⇒

Para rotação em torno de z:

(2) – (1): ⇒

38


Solução


Matriz de rotação ⇒

Substituindo em (1) ou (2):


Solução


• Qual o ângulo dessa rotação?

⇒ ⇒

39


Ângulos de Euler

Fundamentos da Comp. GráficaJonas Gomes, Luiz Velho


Ângulos de Euler

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

−

1000000

yxzxzyxzxzyx

yxzxzyxzxzyx

yzyzy

cccssscsscsccsccssssccssssccc

θxx

y

z

θy

x

y

zθz

x

y

z

M. Gattass, PUC-Rio

Notação: cx = cos(θx); sx = sin(θx) e assim por diante

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ox 90=θo

z 90−=θ

ox 90=θ o

z 90−=θ


Demo: Ângulos de Euler

http://prt.fernuni-hagen.de/lehre/KURSE/PRT001/course_main/node10.html

41


Bibliografia Adicional• Peter Shirley, Fundamentals of Computer Graphics,

A K Peters, Ltd., Natick, MA, USA, 2002.• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F.,

Phlips, L. R., Introduction to ComputerGraphics, Addison-Wesley, 1995.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Computer Graphics: Principles and Practices, (Systems Programming), 2nd edition in C, Addison-Wesley, 1995.

• The Annotated VRML 97 Reference: http://accad.osu.edu/~pgerstma/class/vnv/resources/info/AnnotatedVrmlRef/Book.html

INF 1366 – Computação Gráfica...

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