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DALSON ELOY ALMEIDA

Modelos Exatamente Solúveis

Uberlândia

2010

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DALSON ELOY ALMEIDA

Modelos Exatamente Solúveis

Trabalho de Conclusão de Curso realizado sob

orientação do Dr. José Cândido Xavier e apre-

sentado ao Instituto de Física da Universidade

Federal de Uberlândia em preenchimento par-

cial dos requisitos para a obtenção do título de

bacharel em Física de Materiais

Uberlândia

2010

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Agradecimentos

• Ao professor Xavier, pela dedicação com a minha iniciação cientí�ca, pela grande

paciência que teve comigo, pela exigência, sugestões, discussões e também pela amizade

durante este período.

• Aos professores e funcionários do INFIS, Duzzioni, Liliana, ... Vinicius, Agrenor, André,

... que muito me ensinaram e de alguma forma contribuíram para a minha formação.

• Ao pessoal que durante esses anos passou pela sala 1X-17, também aos amigos do curso,

pela boa convivência, estímulo permanente e principalmente pelas horas de �café�.

• Aos meus amados pais, que apesar de não concordarem com a minha graduação, me

deram o suporte �nanceiro necessário para a realização desta. Obrigado por formarem

quem eu sou.

• À Flávia por me suportar diariamente, ser uma grande amiga e pela assistência prestada

na solução de vários problemas (principalmente computacionais).

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Resumo

A �m de explicar as propriedades físicas de sistemas constituídos de muitas partículas, são

criados modelos simples que capturam a física de baixas energias destes sistemas. Nesta

monogra�a, apresentamos nossos estudos do modelo de Ising e do modelo de Heisenberg,

sendo estes muito usados para o entendimento das propriedades físicas de sistemas fortemente

correlacionados.

Apresentamos as transições de fase na magnetização para o modelo de Ising com spin-S a

temperatura nula. Fizemos também um estudo qualitativo da dependência entre as transições

magnéticas e a temperatura. Para o caso particular de spin-1/2, obtivemos a dependência

exata com a temperatura. Já no modelo de Heisenberg, determinamos algumas de suas

simetrias a �m de encontrar seu espectro de energia analiticamente. Investigamos o modelo

XX via fermionização e o modelo XXZ através do ansatz de Bethe.

Apresentamos ainda um modelo de spin integrável na geometria de escada de 2-pernas.

Determinamos o digrama de fase deste modelo a temperatura zero.

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Abstract

In order to explain the physical properties of systems consisting of many particles, are created

simple models that capture the physics of low energies of these systems. In this monograph,

we present our studies of the Ising model and Heisenberg model, which are widely used for

understanding the physical properties of strongly correlated systems.

We present the phase transitions of the magnetization for spin-S, at zero temperature.

We did a qualitative study of dependence between magnetic transitions and temperature.

For the particular case of spin-1/2, we obtained the exact temperature dependence. In the

Heisenberg model, we determined some of its symmetries in order to �nd its energy spectrum

analytically. We investigated the XX model by fermionization and the XXZ model through

the Bethe ansatz.

We also present an integrable spin ladder geometry model. We also determined the phase

diagram of the model at zero temperature.

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Sumário

1 Introdução 1

2 Modelo de Ising 4

2.1 Spin-1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Spin-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Anisotropia de Íon-Simples - O modelo de Blume-Capel . . . . . . . . . . . . 10

3 Modelo de Heisenberg 16

3.1 Simetria U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Simetria de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Simetria SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Fermionização do Modelo XX 23

4.1 Transformação de Jordan-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Diagonalização: O modelo de férmions livres e o modelo XX . . . . . . . . . 25

4.3 Espectro do modelo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Gap de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Ansatz de Bethe 34

5.1 Diagonalização de Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Equações de Bethe no Limite Isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Modelo Integrável na Geometria de Escada 47

6.1 Diagonalização: Espectro de Energia, Gap e Diagrama de Fase . . . . . . . . 49

7 Conclusão 53

i

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Capítulo 1

Introdução

A primeira descrição teórica de sucesso de metais e isolantes é baseada em elétrons livres ou

fracamente interagentes. A distinção entre metais e isolantes a temperatura nula, segundo

esta teoria, baseia-se em como as bandas eletrônicas, que surgem devido a periodicidade da

rede cristalina, são preenchidas. Essa distinção foi proposta e estabelecida nos primórdios da

mecânica quântica. O sucesso desta teoria levou a construção de um dos mais importante

dispositivos eletrônicos da nossa sociedade contemporânea, o transistor. Que está presentes

nos mais variados produtos do nosso cotidiano, como TVs e computadores. Contudo, há

uma certa classe de compostos no qual a teoria baseada em elétrons livres e/ou fracamente

interagente não descreve corretamente a física observada experimentalmente. Um típico

exemplo desta classe é o composto NiO. Enquanto a teoria prevê, neste caso, um estado

metálico, observava-se um isolante. Mott e Peierls foram um dos primeiros a sugerirem que

uma forte interação Coulombiana entre os elétrons poderia dar origem ao comportamento

isolante. Neste caso dizemos que o sistema é fortemente correlacionado, e a teoria anterior

não se aplica, já que as interações não podem ser tratadas perturbativamente.

Formulações de modelos unidimensionais exatamente solúveis são indiscutivelmente um

assunto de grande interesse. Do ponto de vista teórico são consideravelmente mais simples

de serem abordados, do que modelos bidimensionais e tridimensionais. A importância des-

ses modelos consiste no fato de que, a princípio, podem ser testadas certas características

e propriedades advindas de métodos não aproximativos. Neste caso, soluções exatas são

de grande importância para descrever corretamente um sistema. Vale salientar que há na

natureza várias realizações experimentais destes modelos teóricos quasi-unidimensionais [1].

Estes compostos e/ou materiais já existem na natureza e também podem ser sintetizados

em laboratórios. Normalmente estes sistemas de baixas dimensões apresentam propriedades

magnéticas.

Os materiais magnéticos são compostos que exibem algum tipo ordem magnética à tem-

1

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

peratura �nita. Para materiais ditos ferromagnéticos existe uma temperatura crítica1, que

abaixo dela existe uma magnetização espontânea2, e acima dela os spins estão orientados

aleatoriamente na rede e a magnetização espontânea desaparece. Apesar de materiais com

propriedades magnéticas terem sido descobertos a mais de dois mil anos atrás, foi apenas

com o advento da mecânica quântica, no inicio do século passado, que foi possível entender,

adequadamente, a origem do magnetismo. Entre alguns materiais que apresentam ordem

ferromagnética a baixas temperaturas podemos citar, por exemplo os metais de transição,

Fe, Ni e Co, e ligas contendo esses materiais. O modelo mais famoso e simples introduzido

para explicar os sistemas ferromagnéticos foi proposto por Wilhelm Lenz à Ernst Ising (então

aluno de doutorado de Lenz) em 1920 [2]. A versão unidimensional da hamiltoniana deste

modelo, em uma cadeia de tamanho N e na presença de um campo magnético H, é dada

por:

H = −JN∑i=1

σiσi+1 −HN∑i=1

σi. (1.1)

Ising resolveu o modelo proposto (para o caso unidimensional e spin-1/2, onde σi = ±1/2)

analiticamente em 1925, e concluiu que o modelo, que hoje leva o seu nome, tinha uma

transição ferromagnética apenas à temperatura nula.

Este simples modelo é fundamental na mecânica estatística, pois este pode ser usado

para explicar sistemas magnéticos, coexistência de fase, gás de rede, liga de dois metais,

etc [3]. Ising havia, em 1925, demonstrado que a solução unidimensional não explicaria o

ferromagnetismo [2] e ainda conjecturou, erroneamente, que o mesmo teria uma transição

ferromagnética também à temperatura nula, em duas dimensões. A solução exata do caso

bidimensional é extremamente não trivial e só foi obtida em 1944 por Onsager [4] e, ao

contrário da previsão de Ising, essa temperatura crítica seria não nula. Alguns anos antes,

Kramers e Wannier já haviam encontrado este resultado [5]. Já para o modelo em três

dimensões ainda não há uma solução exata.

Um dos exemplos mais célebres de modelos fortemente correlacionados é o modelo aniso-

trópico de Heisenberg XY Z. Este modelo foi proposto, no início do surgimento da mecânica

quântica, para explicar o ferromagnetismo [6]. A hamiltoniana deste modelo, para sistemas

de spin-1/2, é:

H(Jx, Jy, Jz) = HXY Z =∑<i,j>

[Jxσ

xi σ

xj + Jyσ

yi σ

yj + Jzσ

zi σ

zj

], (1.2)

1Chamada também de temperatura de Curie.2Magnetização espontânea é a magnetização a campo nulo.

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3

sendo Jα constantes de acoplamento e σαi as matrizes de Pauli (α = x, y, z) no sítio i.

Note que o modelo de Ising unidimensional a campo nulo (H ≡ 0) corresponde ao caso

particular deste último modelo (XY Z) com Jx = Jy = 0, i.e., H(0, 0, J) = H(H = 0).

Nesta monogra�a temos como objetivo encontrar a solução exata deste modelos, em

particular, na Eq. (1.2) nos restringiremos ao caso Jx ≡ Jy.

Utilizaremos o método da matriz de transferência [5, 7] (veja também as Refs. [3, 8])

para encontrar, analiticamente, a função de partição da versão unidimensional do modelo de

Ising, para spin-S (geral). A �m de explorar as transições magnéticas do modelo de Ising,

introduziremos na hamiltoniana deste um termo devido à assimetria da distribuição de cargas

dos núcleos atômicos (anisotropia de íon-simples). Como veremos, a inserção deste termo

quantiza a magnetização do sistema.

Através da técnica de fermionização [9, 10] e do ansatz de Bethe [11, 12] encontraremos o

espectro de energia para casos particulares da hamiltonianaXY Z [Eq. (1.2)], onde as energias

do estado fundamental e do primeiro estado excitado serão determinadas diretamente pelo

primeiro método, enquanto que para o segundo, �carão expressas em termos de um conjunto

de equações não-lineares (as equações de Bethe).

Nossas contribuições originais apresentadas nesta monogra�a encontram-se no capítulo 6

e no A, onde propomos um modelo de escada de spin integrável e apresentamos sua solução

via fermionização. Observamos que o diagrama de dispersão de energias para este modelo

apresenta transições de fases entre regiões com gap e sem gap. Esse gap é então calculado,

no limite termodinâmico, em função dos parâmetros de acoplamento.

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Capítulo 2

Modelo de Ising

Iniciaremos nossos estudos com a apresentação da função de partição do modelo de Ising

unidimensional de spin-1/2. Pois a partir desta somos capazes de encontrar as propriedades

termodinâmicas de interesse, por exemplo, a magnetização. Calcularemos também a função

de partição e analisaremos o per�l da curva de magnetização, a temperatura nula, para

sistemas de spin-S. Vamos também introduzir o modelo de Blume-Capel [13, 14, 15], e obter

a sua magnetização à baixas energias.

Na Figura 2.1, é apresentada a representação dos spins no modelo de Ising1, sendo que

cada ponto equivale a um sítio da rede.

Figura 2.1: Representação dos spins no modelo de Ising em uma rede bidimensional quadrada.

No modelo de Ising as variáveis de spins são �clássicas�, uma vez que é levado em con-

sideração apenas a projeção do spin ao longo do eixo de quantização, geralmente tomado

arbitrariamente como o eixo-z. Para um modelo de spin S, os possíveis valores da projeção

do spin são: −S,−S + 1, · · · , S− 1 e S (note que temos 2S + 1 valores possíveis). O método

que utilizamos aqui para obter a solução exata do sistema proposto é a técnica da matriz

1Para uma revisão histórica sobre o modelo de Ising veja a Referência [16].

4

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 5

de transferência. Essa técnica possibilita encontrar analiticamente a função de partição com

grandes vantagens algébricas, conforme veremos a seguir.

2.1 Spin-1/2

Em uma dimensão a hamiltoniana do modelo de Ising, para uma cadeia de tamanho N e na

presença de um campo magnético H, é dada por:

H = J

N∑i=1

σiσi+1 −HN∑i=1

σi. (2.1)

O primeiro termo da hamiltoniana descreve a interação entre os spins mais próximos. O

segundo termo descreve a interação entre o campo externo e os spins do sistema. E σi é uma

variável clássica que pode assumir apenas os valores ±1/2 (que representa as possíveis orien-

tações dos spins) nos sítios i = 1, 2, 3, . . . , N . Estamos considerando condições periódicas de

contorno, σN+1 = σ1, ou seja, o último spin interage com o primeiro.

A constante de acoplamento J , muitas vezes chamada de acoplamento de troca, repre-

senta a intensidade da interação entre os spins. Note que para J < 0 (J > 0) o estado de

menor energia é obtido quando todos os spins estão alinhados paralelamente (antiparalela-

mente). A fase onde a maioria dos spins estão alinhados na mesma direção (em direções

opostas) é chamada fase ferromagnética (antiferromagnética). Na Figura 2.2 temos uma

representação destas duas fases para uma cadeia unidimensional.

Figura 2.2: Ferromagnetismo e Antiferromagnetismo: representação do alinhamento dos spin.

Resolver o modelo de Ising signi�ca determinar a função de partição canônica [17]:

ZN =∑{σi}

e−βH, (2.2)

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 6

sendo β = 1/kBT e kB a constante de Boltzmann.2

É fácil perceber que podemos escrever ZN como:

ZN =∑

σ1,σ2,...,σN

N∏i=1

T (σi, σi+1),

sendo

T (σi, σi+1) = exp

[−βJσiσi+1 +

βH

2(σi + σi+1)

], (2.3)

os elementos da matriz de transferência T. Podemos escrever a função de partição como o

traço do produto de N matrizes de transferência, de modo que ZN torna-se:

ZN = Tr

[ exp [−β(J−2H)/4] exp (βJ/4)

exp (βJ/4) exp [−β(J+2H)/4]

]N . (2.4)

A matriz de transferência pode ser diagonalizada por uma transformação unitária U.

Seja D = U−1TU, a matriz T escrita na base de seus autovetores. Logo T = UDU−1 e

Tr(TN)

= Tr(DN). Dessa forma vemos que

ZN = Tr

[ λ1 0

0 λ2

]N = λN1 + λN2 , (2.5)

sendo λi (i = 1, 2) os autovalores de T dados por

λ1,2 = exp (−βJ/4) cosh (βH/2)±√exp (−βJ/2) cosh2 (βH/2) + 2 sinh (βJ/2). (2.6)

A energia livre magnética por sítio, no limite termodinâmico, é dada por [17]:

f = f(T,H) = limN→∞

(− 1

βNlnZN

). (2.7)

Como λ1 > λ2, a energia livre no limite termodinâmico �ca expressa em termos só do

maior autovalor de T.

f(T,H) = − 1

βlnλ1. (2.8)

2A determinação da função de partição pela técnica da matriz de transferência (T), é baseada no cálculodos autovalores λi de T . Pode-se mostrar que a função de partição é o traço da N -ésima potência de T.Ver as Referências [3, 18] para uma demostração detalhada.

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 7

A magnetização total por sítio é dada por [17]:

m(T,H) = −(∂f

∂H

)T

, (2.9)

que utilizando a Eq. (2.8) �ca:

m(T,H) =1

β

1

λ1

∂λ1

∂H.

Finalmente, podemos escrever (após algumas manipulações algébricas [18]) a magnetiza-

ção do modelo de Ising (spin-1/2) em uma dimensão como:

m(T,H) =1

2

sinh (βH/2)[sinh2 (βH/2) + eβJ

] 12

. (2.10)

Note que para campo nulo H = 0 e T 6= 0 a magnetização é nula.

Na Figura 2.3(a) (2.3(b)) mostramos a magnetização total por sítio para o caso J =

−1 (J = 1). Note que para baixas temperaturas não há transição de fase em 2.3(a), a

magnetização é m = 1/2 independente do campo externo. Conforme observado na Figura

2.3(b), existe uma transição entre as fase de magnetização nula e magnetização m = 1/2

(magnetização saturada), que ocorre para campo magnético externo igual a H = J . O

grá�co mostra ainda como é a dependência da temperatura (tomamos β = 1/T).

Figura 2.3: Magnetização total por sítio para diversos valores de temperatura, (a) J = −1

(Cadeia Ferromagnética). (b) J = 1 (Cadeia Antiferromagnética).

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 8

2.2 Spin-S

A hamiltoniana do modelo de Ising, na presença de um campo magnético H, para spins

maiores é a mesma dado pela Eq. (2.1):

H = JN∑i=1

σiσi+1 −HN∑i=1

σi., (2.11)

sendo os possíveis valores de σi:

σi = −S,−S + 1, · · · , S − 1 e S. (2.12)

Novamente temos condições periódicas de contorno. E utilizamos a técnica da matriz de

transferência a �m de determinarmos a função de partição analiticamente. Note que agora

essa matriz é de ordem 2S + 1. Os elementos de T são dados pela Eq. (2.3). E novamente

podemos escrever:

ZN = Tr(TN), (2.13)

de modo que:

ZN =2S+1∑i=1

λNi ,

que no limite termodinâmico �ca:

ZN = λNmáx, (2.14)

onde λmáx é o maior autovalor de T em módulo. Logo a energia livre de Helmholtz por sítio

é

f(T,H) = − 1

βlnλmáx. (2.15)

E a componente-z da magnetização total por sítio é:

m =1

β

1

λmáx

∂λmáx∂H

. (2.16)

Calculamos a curva de magnetização a temperatura nula (T = 0) para vários valores de

spin-S e acoplamento J . O diagrama de fase (J vs. H) encontrado é apresentado na Figura

2.4. Note que só aparecem dois valores de magnetização.

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 9

Figura 2.4: Diagrama de fase (J vs. H) do modelo de Ising com spin-S para T = 0.

Entretanto, diversos platôs de magnetização foram observados experimentalmente em

medidas de alto campo de muitos materiais magnéticos, inclusive em compostos quasi-

unidimensionais [19, 20].

Figura 2.5: (a) Curva experimental de magnetização em auto-campo de um composto antifer-

romanético S = 1, à T = 1.3K. (b) Curvas experimentais de magnetização diferencial dM/dH,

isto é, susceptibilidade magnética. As setas indicam a posição dos picos correspondentes aos

campos de transição. Grá�cos reproduzidos da Referência [19].

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 10

Na Figura 2.5(a) mostramos resultados de medidas de magnetização quando um campo

magnético é aplicado ao longo de dois eixos do composto [Ni2(Medpt)2(µ-ox)(H20)2](ClO4)2

2H2O[Medpt≡metil-bis(3-aminopropil)amina] à temperatura de 1.3K. Este composto é con-

siderado como um antiferromagnético de spin S = 1. Os campos de transição são mostrados

na Figura 2.5(b) através das curvas de susceptibilidade magnética.

Na seção seguinte vamos analisar um modo de produzirmos os platôs (observados experi-

mentalmente), numa cadeia Ising unidimensional.

2.3 Anisotropia de Íon-Simples - O modelo de Blume-

Capel

A quantização da magnetização é um fenômeno muito interessante e tem atraído considerável

atenção recentemente. Sua assinatura é a presença de platôs na curva de magnetização a

baixas temperaturas. O mecanismo para o aparecimento de platôs de magnetização em ca-

deias de spins quasi-unidimensionais são anisotropia de íon-simples, dimerização, frustração

e outros [21, 22, 23]. Nesta seção, vamos analisar como o potencial de íon-simples altera o

per�l da magnetização. Esta energia aparece devido a distribuição de carga não ser esferica-

mente simétrica, isto é, a energia do núcleo depende da orientação do seu spin em relação ao

campo elétrico local [3].

A hamiltoniana do modelo de Ising unidimensional com anisotropia de íon-simples, na

presença de um campo magnético externo (ou simplesmente modelo de Blume-Capel) e com

condições periódicas de contorno é dada por [13, 14, 15]:

H = JN∑i=1

σiσi+1 −HN∑i=1

σi +DN∑i=1

(σi)2 , (2.17)

sendo os possíveis valores de σi dados pela Eq. (2.12)3 e D é o campo cristalino.

Note que a energia de anisotropia de íon-simples é por de�nição nula para sistemas de spin-1/2, uma vez que a inserção deste potencial não altera o per�l da magnetização. Neste caso

o per�l da magnetização em função do campo magnético externo continua qualitativamente

igual ao apresentado na Figura 2.3, observa-se uma (duas) fase(s) para o caso ferromagnético

(antiferromagnético).

Semelhante ao modelo de Ising é possível escrever a função de partição como o traço de

uma matriz de transferência.3O modelo foi originalmente proposto para um sistema de spin-1

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 11

ZN =∑{σi}

e−βH =∑

σ1,σ2,...,σN

N∏i=1

T (σi, σi+1),

sendo T (σi, σi+1) os elementos desta matriz, que são dados por:

T (σi, σi+1) = exp

[−βJσiσi+1 +

βH

2(σi + σi+1)− βD

2

(σ2i + σ2

i+1

)],

e estamos usando condições periódicas de contorno. Desse modo ZN é dado pela Eq. (2.14),

a energia livre magnética pela Eq. (2.15) e a magnetização pela Eq. (2.16).

2.3.1 Processo de Magnetização em Casos Particulares

Assim como no modelo de Ising tradicional, observamos também que a largura dos platôs

diminui com o aumento da temperatura, e que eventualmente para altas temperaturas a

quantização da magnetização desaparece (observe na Figura 2.7, que o degrau desaparece

suavemente com o aumento da temperatura).

Processo de Magnetização em Sistemas Antiferromagnético de spin-1

Na Figura 2.6(a), nós mostramos a magnetização total (a T = 0) por sítio em função do

campo magnético externo aplicado H para uma cadeia de spin-1, com: J = 16.25 e D = 12.5

(linha cheia); J = 4 e D = 22.5 (linha tracejada).

Figura 2.6: (a) Magnetização total por sítio em função do campo magnético externo aplicado,

a T = 0, para um sistema antiferromagnético com S = 1. (b) Diagrama de fase do estado

fundamental de uma cadeia antiferromagnética de spin S = 1.

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 12

Como observado nesta �gura nós encontramos três platôs, os valores da magnetiza-

ção nestes platôs são m = 0, 1/2, 1. Note que o per�l destas curvas são similares à en-

contradas experientalmente por Y. Narumi na ref. [19] para o composto [Ni2(Medpt)2(µ-

ox)(H20)2](ClO4)22H2O em baixas temperaturas [ver Figura 2.5(a)].

Curvas de magnetização similares foram encontradas para outros valores de acoplamentos.

Desse modo, fomos capazes de montar o diagrama de fase típico (J = 1.25 e D > 0) apresen-

tado na Figura 2.6(b). Conseguimos ainda encontrar as linhas de transição deste diagrama

como função do termo de troca (J). Para D < J as duas linhas são dadas por H = 2J −D e

H = 2J +D, enquanto que para D > J as duas linhas são dadas por H = 2J +D e H = D.

Note que as transições de fase na Figura 2.6(a) também obedecem essa regra.

Processo de Magnetização em Sistemas de spin-2

A nível ilustrativo, é apresentado na Figura 2.7 a curva de magnetização para o caso S = 2,

J = −0.75 (cadeia ferromagnética), D = 1.25 e para as seguintes temperaturas T = 0.05;

T = 0.25; T = 0.5; T = 1.

Figura 2.7: Magnetização por sítio em função do campo magnético aplicado para o caso

S = 2, J = −0.75, D = 1.25 e alguns valores de temperatura.

Note que a transição entre a fase de magnetização nula e magnetização m = 1 (a T → 0)

ocorre em H = 1.25 − 0.75 = (D + J). Já a transição da fase de magnetização m = 1 para

m = 2 (também a T = 0) ocorre em H = 3(1.25 − 0.75) = 3(D + J). Note também que os

valores possíveis de magnetização são m = S = 2, m = S − 1 = 1 e m = S − 2 = 0.

Na Figura 2.8 nós mostramos o diagrama de fase do estado fundamental de uma cadeia

antiferromagnética de spin S = 2 para o caso: J = 0.5 e D > 0. Os valores de magnetização

encontrados são S = 2, S − 1/2 = 3/2, S − 1 = 1, S − 3/2 = 1/2 e S − 2 = 0. Note que o per�l

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 13

do diagrama é alterado em D = 0.5. Em geral observamos que o per�l muda em D = J .

Mostramos também as retas que separam as fases como função do termo de troca (J).

Figura 2.8: Diagrama de fase do estado fundamental de uma cadeia antiferromagnética de

spin S = 2 para o caso: J = 0.5 e D > 0.

Processo de Magnetização em Sistema Ferromagnético de spin-5/2

Na Figura 2.9 apresentamos o diagrama de fase do estado fundamental de uma rede ferro-

magnética de spin S = 5/2 para o caso: J = −0.5 e D > 0. Novamente fomos capazes de

encontrar as equações das retas que separam as fases para acoplamentos arbitrários (J).

As magnetizações encontradas são S = 5/2, S − 1 = 3/2 e S − 2 = 1/2.

Figura 2.9: Diagrama de fase do estado fundamental de uma rede ferromagnética de spin

S = 5/2 para o caso: J = −0.5 e D > 0.

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 14

2.3.2 Processo de Magnetização em Sistemas Gerais (spin-S) no

Estado Fundamental.

Para redes antiferromagnéticas podemos generalizar que o diagrama contém 2S + 1 fases de

magnetização (platôs), isto foi precisamente veri�cado recentemente [22] utilizando a técnica

da matriz de transferência por formulação do problema em uma rede do tipo Bethe (Bethe

lattice). Enquanto que para sistemas ferromagnéticos nós conjecturamos que o diagrama de

fase apresenta S+ 1 (S+ 1/2) platôs de magnetização para S inteiro (semi-inteiro), sendo que

neste caso não temos conhecimento de trabalhos que con�rmem esse resultado.

A condição necessária geral para a presença dos platôs em sistemas ferromagnéticos (an-

tiferromagnéticos) é

S

(1− m

msat

)= inteiro

[S

(1− m

msat

)=

inteiro2

]. (2.18)

E ainda, através das curvas de magnetização calculadas, observamos que o valor de satu-

ração é msat = S. Portanto, os valores de magnetização por sítio que podem ser observados

são: m = S, S − 1, S − 2, · · · (m = S, S − 1/2, S − 1, · · ·) para um sistema ferromagnético

(antiferromagnético).

Conseguimos ainda identi�car os pontos em que ocorrem as transições de fase. E apre-

sentamos estes pontos em seguida. Vamos expressar nossos resultados em termos da função

degrau unitária (função de Heaviside), que é de�nida como segue:

u(H − a) :=

{0 se H < a

1 se H > a. (2.19)

Para uma cadeia ferromagnética, as transições ocorrem para os valores de campo mag-

nético que obedecem a regra H = N(D + J), onde N é par (ímpar) para S semi-inteiro

(inteiro), com um limite superior de Nsat = (2S − 1), o limite inferior é zero ou um.

E portanto podemos escrever a magnetização à T = 0 como:

m(S) =1

2u(H) +

S−1/2∑n=1

u [H − 2n(D + J)] para S semi-inteiro, (2.20)

m(S) =S∑n=1

[H − (2n− 1)(D + J)] para S inteiro. (2.21)

Já para sistemas antiferromagnéticos devemos analisar dois casos:

(i) D < J onde as transições aparecem para campo magnéticos que satisfaçam a regra

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CAPÍTULO 2. MODELO DE ISING 15

H = 2SJ + (2n+ 1)D com n = −S,−S + 1, · · · , S − 2, S − 1;

Podemos escrever a magnetização total do estado fundamental como:

m(S) =1

2

S−1∑n=−S

u [H − 2SJ − (2n+ 1)D] . (2.22)

(ii) D > J onde podemos escrever a magnetização do estado fundamental como:

m(S) =1

2

S−1/2∑n=0

∑m = n, n+ 1

m ≤ 2S − 1

[H − (2n+ 1)J − 2mD] para S semi-inteiro, (2.23)

m(S) =1

2

S−1∑n=0

n+1∑m=n

u [H − 2nJ − (2m+ 1)D] para S inteiro. (2.24)

A magnetização encontrada na Seção 2.1 para sistemas de spin-1/2 [tomando T → 0 na

Eq. (2.10)] e as Figuras 2.3, 2.4 e 2.6-2.9 estão todas em acordo com essas generalizações. 4

4Como já citado, um outro modo de introduzirmos platôs adicionais na curva de magnetização é pordimerização, i.e., através da que quebra da simetria contínua da cadeia (íons com diferentes spins, alternados,ao longo da cadeia). A dimerização da cadeia produz platôs na curva de magnetização independentementede considerarmos o campo cristalino D, note que, para os sistemas apresentados neste capítulo, o número deplatôs não é função de D e sim do spin e do sinal de J . Resultados sem quaisquer aproximações e originaisdas propriedades magnéticas de uma cadeia ferromagnática Ising com anisotropia de íon-simples e spins

(gerais) alternados (no regime de baixas temperaturas) podem ser encontrados na Ref. [23] (D. Eloy e F. B.Ramos, Magnetic Properties in an Alternating Spin Ferromagnetic Ising Chain)

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Capítulo 3

Modelo de Heisenberg

Alguns anos após a formulação da mecânica quântica, Heisenberg e Dirac [24, 25] encontraram

que as leis desta teoria implicavam na existência de uma interação efetiva Jij ~Si · ~Sj, entre oselétrons de átomos próximos (vizinhos). Essa interação de troca, como tornou-se conhecida,

é causada pelo efeito combinado entre a repulsão Coulombiana e pelo princípio de exclusão

de Pauli, e ela é a chave fundamental para explicar a magnetização de vários sistemas.

O modelo isotrópico de Heisenberg em uma dimensão é dado pela seguinte hamiltoniana

[6, 26]:

H = J∑i

~Si · ~Si+1, (3.1)

sendo J uma constante de acoplamento1 e ~Si é o operador de spin do sítio i dado por

~Si = (1⊗ · · · ⊗ Sxx+ Syy + Sz z︸ ︷︷ ︸i

⊗ · · · ⊗ 1), (3.2)

sendo Sj = 12σj (j = x, y, z e σj são as matrizes de Pauli, para o caso de spin-1/2).

Na Figura 3.1 é mostrada a representação dos spins no modelo de Heisenberg, note que

o spin pode ter qualquer orientação (diferente do modelo de Ising que considerava apenas a

componente-z destes).

Podemos escrever essa hamiltoniana [Eq. (3.1)] em termos das matrizes de Pauli:

H =J

4

∑i

(σxi σ

xi+1 + σyi σ

yi+1 + σzi σ

zi+1

). (3.3)

1Quando J for positivo (negativo) os spins tendem a se orientar antiparalelamente (paralelamente) unsaos outros e assim formar uma fase antiferromagnética (ferromagnética).

16

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 17

É conveniente expressar H em função dos operadores de levantamento e abaixamento,

σ± = 12

(σx ± iσy). Em termos destes operadores H �ca:

H =J

2

∑i

[(σ+i σ−i+1 + h.c.

)+

1

2σzi σ

zi+1

]. (3.4)

Figura 3.1: Representação dos spins no modelo de Heisenberg em uma rede quadrada.

Note que este hamiltoniano é apenas um caso particular do modelo anisotrópico de Heisen-

berg XY Z [Eq. (1.2)], com Jx = Jy = Jz = J4.

Nos capítulos seguintes iremos analisar alguns casos particulares da hamiltoniana de�nida

na Eq. (1.2).2 Um importante caso particular da Eq. (1.2), é fazermos Jx = Jy = −12e Jz =

−∆2de modo que obtemos o modelo anisotrópico antiferromagnético XXZ. Sendo ∆ uma

constante numérica real que está associada a anisotropia da rede cristalina. A hamiltoniana

deste modelo em um cadeia unidimensional de comprimento M é [6, 8]:

HXXZ = −1

2

M−1∑j=1

(σxj σ

xj+1 + σyjσ

yj+1 + ∆σzjσ

zj+1

)− 1

2Hs, (3.7)

2Um caso particular da Eq. (1.2) já foi analisado no Cap. 3.Considere uma cadeia XY Z de tamanho L, com Jx = Jy = 0, i.e., analisando apenas a componente-z do

spin, temos:H(0, 0, Jz) =

∑i

Jzσzi σ

zi+1, (3.5)

e resolvendo a equação de autovalores H(0, 0, Jz) | ψ〉 = E | ψ〉. Obtemos:

E = Jz∑i

(−1)(1−δni,ni+1 ), (3.6)

que é a energia do modelo de Ising de spin-1/2 [analisado no Cap. 3 e de�ninido dela Eq. (2.1)], com camponulo (H = 0). Portanto, temos uma correspondência entre estes modelos, e ainda justi�camos a associaçãodas variáveis σi, do modelo de Ising , com as projeções de spin na componente z (~Si · z ∼ σzi ).

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 18

onde Hs é o termo de superfície. Por exemplo, para condições de contorno aberta temos

Hs = 0, se considerarmos condições de contorno �torcidas� (twisted), i.e.:

σxM+1 ± iσyM+1 = e±iϕ (σx1 ± iσ

y1) , σzM+1 = σz1,

Hs = Hs(ϕ) é dado por:

Hs(ϕ) = cosϕ (σxMσx1 + σyMσ

y1) + sinϕ (σxMσ

y1 − σ

yMσ

x1 ) + ∆σzMσ

z1, (3.8)

onde ϕ é um ângulo arbitrário. Note que o caso periódico está contido na Eq. (3.8), uma vez

que Hs(0) = σxMσx1 + σyMσ

y1 + ∆σzMσ

z1.

3.1 Simetria U(1)

O modelo XXZ possui uma simetria rotacional ao longo do eixo-z no espaço dos spins,

chamada de simetria U(1), implicando que a componente do spin total sobre o eixo de

quantização (z) é conservada. O operador SzT (projeção do spin total no eixo-z) é de�nido

como:

SzT =1

2

L∑j=i

σzj . (3.9)

O fato desta simetria existir implica que HXXZ comuta com SzT . É fácil veri�car que

[HXXZ , SzT ] = 0. Ou mais geral [

HXY Z , SzT

]≡ 0 � Jx ≡ Jy, (3.10)

implicando que só há invariância à rotação, em torno do eixo de quantização (escolhido

tradicionalmente como o eixo-z), quando o plano perpendicular à este é isotrópico (aqui o

plano xy), i.e., para a hamiltoniana XXZ.

Seja | ψ〉 =| n1, . . . , nL〉 um autoestado simultâneo de SzT e de HXXZ , com n↑ spins up

e n↓ spins down. Onde os | ni〉 são os autovetores de σzi , i.e., σzi |↑〉 =|↑〉 e σzi |↓〉 = − |↓〉.

Considerando então a equação de autovalores SzT | ψ〉 = SzT | ψ〉, temos SzT =n↑−n↓

2. Sabemos

também que em uma rede de L sítios temos sempre n↑+ n↓ = L. Desse modo os autovalores

de SzT são: SZT = n↑ − L/2.3

Note que a hamiltoniana HXXZ está representada sobre um espaço de dimensão 2L. O

autoespaço comum a HXXZ e SzT pode ainda ser decomposto em L + 1 setores disjuntos

3 1L

∑Szj é chamado magnetização por sítio.

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 19

rotulados pelos autovalores SzT de SzT(SzT = −L

2,−L

2+ 1, · · · , L

2− 1, L

2

), tornando assim a

matriz representativa de HXXZ bloco diagonal. Dados SzT e L a dimensão de cada setor

(bloco) será: L!

(L/2+SzT )!(L/2−SzT )!. Se somarmos as dimensões dos setores de SzT veremos que o

número total de estados 2L, como era de se esperar.

Uma vez que a hamiltoniana comuta com a componente-z do spin total, o autovalor

deste operador, SzT , serve como um bom número quântico. Em linhas gerais, a intenção ao

explorar simetrias como essa é que através da decomposição do espaço de Hilbert associado

a hamiltoniana, possamos diminuir a dimensão das matrizes a serem diagonalizadas. Nesta

monogra�a nosso objetivo ao realizar uma diagonalização numérica se resume em uma possí-

vel comparação dos autoestados e autovalores encontrados por um método exato. Entretanto

a invariância a rotação em torno do eixo-z ainda nos fornece importantes informações sobre

o sistema, pois todos os estados calculados são caracterizados por um conjunto de números

quânticos que podem ser usados para distinguir esses estados de acordo com propriedades

físicas especi�cas (no caso a componente z do spin total). Portanto, se nosso interesse

concentra-se no estudo de propriedades de um certo grupo de autoestados da hamiltoniana,

que possuam o mesmo autovalor SzT , montamos a matriz apenas desse setor (de dimensão

menor que o espaço de Hilbert original) que pode ser diagonalizada separadamente.

Outro número quântico que será útil, e ainda, está relacionado diretamente com SzT , é o

número total de spins up da rede, n↑4. Esta quantidade será útil na solução exata da cadeia

XX [Eq. (3.7) com ∆ ≡ 0] por fermionização e na diagonalização por setores no ansatz de

Bethe do XXZ. Da mesma maneira que temos uma simetria no espaço dos spin, devido à SzT ,

veremos que o número de partículas, NF , estabelece uma simetria no espaço dos momentos.

3.1.1 Diagonalização Numérica

A seguir apresentamos as energias da hamiltonianaXX para L = 4, 5, 6, rotuladas por setores

de SzT . Essas energias foram calculadas através da diagonalização numérica dos blocos dos

setores de SzT .

L=4

A energia do estado fundamental é dado −2√

2 = 2.828427 · · ·, este é não degenerado e

encontra-se no setor SzT = 0. O primeiro estado excitado tem energia −2 e é bidegenerado,

ele está no setor |SzT | = 1.

L=5

4Para hamiltonianas expressas em termos de operadores puramente fermiônicos é comum denominarmosn↑ de número de férmions (NF ), ou número de partículas da rede.

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 20

Figura 3.2: Espectro de Energia da hamiltoniana XX com condições periódicas de contorno.

(a) L = 4. (b) L = 5.

A energia do estado fundamental é dada −(1 +√

5)

= −3.2360668 · · ·, que é degeneradoe encontra-se no setor |SzT | = 1/2. O primeiro estado excitado também é bidegenerado e tem

energia −2, eles estão nos setores |SzT | = 3/2.

L=6

A energia do estado fundamental é −4. E como esperado é não degenerado, e novamente

se encontra no setor SzT = 0. O primeiro estado excitado tem energia −2√

3 = −3.464102 · · ·,sendo também bidegenerado e está no setor |SzT | = 1.

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 21

Figura 3.3: Espectro de Energia da hamiltoniana XX para uma rede de seis sítios com

condições periódicas de contorno.

3.2 Simetria de Translação

O operador de translação T , às vezes chamado de operador momento, translada a con�guração

de cada sítio i para o sítio vizinho i+ 1. Por exemplo, considerando uma cadeia com quatro

sítios (L = 4) o operador translação atuando sobre a seguinte con�guração particular |↑↑↓↓〉resulta em |↓↑↑↓〉, i.e., T |↑↑↓↓〉 =|↓↑↑↓〉. O fato que H é invariante por translação implica

que[H, T

]= 0. O operador T é de�nido como:

T | n1, · · · , nL−1, nL〉 =| nL, n1, · · · , nL−1〉. (3.11)

Note que tal invariância ocorre se, e só se, considerarmos condições de contorno periódi-

cas.5 Pode-se mostrar ainda que[SzT , T

]= 0.

Note que TL = 1 e considerando a equação de autovalores T | ϕ〉 = λ | ϕ〉, tal que,TL | ϕ〉 = λL | ϕ〉. Encontramos que os autovalores do momento, ou do operador de

translação são dados por:

λ = e2nπ i/L para n = 0, 1, · · · , L− 1. (3.12)

5Entretanto é possível obter generalizações para condições de contorno mais gerais, por exemplo paracondições de contorno �torcidas�.

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CAPÍTULO 3. MODELO DE HEISENBERG 22

3.3 Simetria SU(2)

Note que o modelo XXZ isotrópico (chamado de modelo XXX), i.e., com ∆ ≡ 1, usufrui de

uma simetria rotacional ao longo de qualquer eixo no espaço dos spins, chamada de simetria

SU(2). Isto implica que não apenas a componente azimutal do spin é conservada, mas

também o quadrado do spin total, ~ST · ~ST = S2T .

6 Onde

~ST =∑i

~Si, (3.13)

e a soma é feita sobre todos os sítios. ~Si é dado pela Eq. (3.2), portanto temos:

S2T =

∑i

∑j

~Si · ~Sj =∑i

S2i + 2

∑i,j>i

~Si · ~Sj,

que em termo das matrizes de Pauli �ca:

S2T =

3L

41 +

1

2

∑i,j>i

(σxi σ

xj + σyi σ

yj + σzi σ

zj

).

Pode-se mostrar que: [HXXZ , S

2T

]∆≡1

≡ 0, (3.14)

entretanto a prova é extensa e cansativa.7

6É um resultado bastante conhecido que S2T e SzT também comutam entre si, ou seja

[SzT , S

2T

]= 0.

7A prova é trivial para L = 2, e neste caso encontramos que a simetria existe independente de ∆, i.e.[HXXZ , S

2T

]L=2≡ 0, ∀∆.

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Capítulo 4

Fermionização do Modelo XX

A fermionização consiste em transformar um sistema bosônico em termos de operadores de

férmions através de uma transformação de Jordan-Wigner [9].

Concentrar-nos-emos aqui no modelo XX, que é obtido �xando ∆ = 0 na Eq. (3.7), cuja

hamiltoniana é dada por:

HXX = HXXZ (∆ = 0) = −

[L−1∑i=1

(σ+i σ−i+1 + σ−i σ

+i+1

)+ Hs

], (4.1)

onde Hs é o termo de superfície.

4.1 Transformação de Jordan-Wigner

Vamos transformar os operadores de Pauli da hamiltoniana XX [Eq. 4.1] em operadores de

criação e aniquilação de férmions. Para tanto iremos introduzir os operadores de férmions

através de uma transformação de Jordan-Wigner. Seguindo Schultz, Mattis e Lieb [27], nós

de�nimos:

cm = exp

(πi

m−1∑j=1

σ+j σ−j

)σ−m,

c†m = (cm)† = exp

(πi

m−1∑j=1

σ+j σ−j

)σ+m, (4.2)

ou mais convenientemente

cm =m−1∏j=1

(−σzj )σ−m,

23

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 24

c†m =m−1∏j=1

(−σzj )σ+m, (4.3)

m = 1, 2, · · · , L.Apesar da aparentemente complicada estrutura não linear, as transformações de�nidas

acima são bastante úteis devido a sua forma quadrática envolvendo produtos de operadores

em um mesmo sítio.

Este método já era conhecido no mínimo antes de 1928 [9] e foi redescoberto muito tempo

depois. Tal método foi usado para trocar operadores de spin em operadores de férmions [10],

que é a técnica de fermionização que empregamos neste trabalho.

As duas transformações para a fermionização apresentadas aqui satisfazem as álgebras

dos operadores de aniquilação e criação,

c†mcm = σ+mσ−m,

{cj, cj′} ={c†j, c

†j′

}= 0,{

cj, c†j′

}= δj,j′ . (4.4)

Já os operadores de spin (de levantamento e abaixamento) satisfazem o seguinte conjunto

de regras:

[σ±m, σ±n ] = 0, m 6= n{

σ+m, σ

−m

}= 1, (σ−m)2 = (σ+

m)2 = 0.

Assim obtemos:

σ+i σ−i+1 + h.c. = c†ici+1 + h.c., para i = 1, 2, · · · , L− 1.

Tomando ϕ = 0 [Eq. 3.8], i.e., usando condições de contorno periódicas o termo de

superfície �ca:

σ+Lσ−1 + σ+

1 σ−L = (−)n↑+1

(c†Lc1 + c†1cL

).

E então a hamiltoniana �ca:

HXX = −L−1∑i=1

(c†ici+1 + h.c.

)− (−)n↑+1

(c†Lc1 + h.c.

). (4.5)

Note que para sistemas com n↑ ímpar (par) a hamiltoniana acima descreve um sistema de

férmions não interagentes com condição de contorno periódica (antiperiódica), preservando

a condição de contorno periódica no espaço dos spins. Por razões praticas utilizemos agora

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 25

a seguinte notação:

HXX = −L−1∑i=1

(c†ici+1 + cic

†i+1

)−(eiφc†Lc1 + e−iφc†1cL

). (4.6)

Para mantermos a condição de contorno desejada devemos fazer:

φ =

{0 se n↑ impar

π se n↑ par. (4.7)

Faremos agora uma mudança geral (transformação de Gauge):

cj 7→ eiφj/Lcj. (4.8)

Os dois conjuntos, {cj} e{eiφj/Lcj

}, tem a mesma álgebra, i.e., o segundo conjunto satisfaz

às mesmas relações de anticomutação obedecidas pelo primeiro. Note que a hamiltoniana

escrita pelos operadores {cj} ou{eiφj/Lcj

}tem a mesma forma, ou seja é invariante frente à

transformação de Gauge e portanto:

HXX = −L∑j=1

(eiφ/Lc†jcj+1 + h.c.

). (4.9)

4.2 Diagonalização: O modelo de férmions livres e o mo-

delo XX

Como vimos a hamiltoniana HXX pode ser reduzida a um problema de férmions livres. Encon-

traremos agora a solução exata, em uma dimensão, deste problema sob condições periódicas

de contorno. Para diagonaliza-la usaremos uma transformada de Fourier, (trabalharemos

com o espaçamento de rede unitário), de�nidas como:

a†k =L∑j=1

eikj√Lc†j ⇔ ak =

L∑j=1

e−ikj√Lcj, (4.10)

e as transformadas inversas:

c†j =∑k∈BZ

e−ikj√La†k ⇔ cj =

∑k∈BZ

eikj√Lak. (4.11)

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 26

Sendo BZ a primeira zona de Brillouin, de�nida pela condição de contorno:

e−ikL = 1⇒ k =

{0,±2π

L,±4π

L, · · · ,± (L−2)π

L,−π L par

0,±2πL,±4π

L, · · · ,± (L−1)π

LL impar

. (4.12)

Valores de k maiores que π, ou menores que −π, (e consequentemente quaisquer valores

de n fora no intervalo acima) são redundantes.1

É importante termos também as relações de anticomutação no espaço recíproco (k), que

são dadas por:

{ak, ak′} ={a†k, a

†k′

}= 0,{

ak, a†k′

}= δk,k′ . (4.13)

Tais relações são facilmente provadas, e apartir delas podemos reescrever a hamiltoniana

de férmions livres como:

HXX = −∑j

(eiφ/Lc†jcj+1 + h.c.

)=

= −∑j

[eiφ/L

∑k

e−ikj√La†k∑p

eik(p+1)

√L

ap + h.c.

]=

= − 1

L

∑k,p

∑j

eiφ/Leij(p−k)eipa†kap + h.c. = −∑k

eiφ/Leika†kak + h.c.

= −2∑k

cos (k + φ/L) a†kak. (4.14)

Mudando agora nossa notação, k 7→ k + φ/L, temos os seguintes valores permitidos de k

para cada tipo de sistema:

k =

0,±2π

L,±4π

L, · · · ,± (L−2)π

L,−π L par

0,±2πL,±4π

L, · · · ,± (L−1)π

LL impar

}n↑ impar

± πL,±3π

L, · · · ,± (L−1)π

LL par

± πL,±3π

L, · · · ,± (L−2)π

L, π L impar

}n↑ par

.

Ou mais compactamente como:

k =2nπ + φ

Lcom φ =

{0

π

se

se

n↑ impar

n↑ par, (4.15)

1Note que eik são equivalentes aos autovalores do operador momento, de�nido pela Eq. (3.11). Issojusti�ca chamarmos o espaço formado por k de espaço dos momentos.

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 27

sendo o conjunto n dado por:

n =

{−L−1

2,−L−1

2+ 1, · · · ,−1, 0, 1, · · · , L−1

2− 1, L−1

2

−L2,−L

2+ 1, · · · ,−1, 0, 1, · · · , L

2− 1

L impar

L par. (4.16)

Assim podemos escrever:

HXX =∑k

ε(k)a†kak, ε(k) = −2cos(k). (4.17)

4.2.1 Simetria do Operador Número

De�nimos o operador número de partículas com momento k:

nk = a†kak. (4.18)

Seja

NF =∑k∈BZ

nk, (4.19)

o operador número total de partículas da rede (soma do número de partículas com momento

k sobre todos os valores permitidos de momento). Note que:

NF = SzT +L

21.

O operador SzT + L21 tem autovalores dados por n↑. Como mapeamos o modelo XX

em um modelo fermiônico, fazemos a correspondência de um spin up (spin down) com uma

partícula (buraco). Sendo assim n↑ (n↓) é equivalente ao número total de partículas, NF ,(buracos, L−NF ) da rede. Adequadamente a partir daqui denominaremos tal operador como

operador número de férmions, que possui autovalor NF , onde: 0 ≤ NF ≤ L é a quantidade

de partículas na rede de L sítios, ou ainda o número de spins up (n↑) da rede.

NF =∑k∈BZ

nk =L∑i=1

c†jcj =L∑i=1

σ+j σ−j .

Note que[NF , SzT

]= 0, con�rmando portanto a a�rmação (feita no capítulo anterior)

de que o número de férmions (número total de spins up na rede) é um número quântico tão

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 28

bom quanto os autovalores do operador magnetização M = SzT .

4.3 Espectro do modelo XX

Voltando agora à hamiltoniana (4.17),

HXX =∑k

ε(k)nk, (4.20)

vemos que esta é agora diagonal na base de k e seu espectro de energia é dado por ε(k) =

−2cos(k).

Figura 4.1: Espectro de energia de um sistema não interagente (primeira zona de Brillouin).

Grá�co reproduzido da Referência [28].

O estado fundamental para NF partículas corresponde ao preenchimento de todos os

estados, desde a mais baixa energia, até que os NF níveis de menores energia tenham sido

preenchidos (tomando os devidos cuidados de degenerescência). O nível mais alto ocupado é

o nível de Fermi, a sua energia é a energia de Fermi EF e seu vetor de onda é o vetor de onda

de Fermi kF (ver Figura 4.1). No limite termodinâmico, o vetor de onda de Fermi é kF = πη,

onde a quantidade η = NFL

pode ser interpretada como sendo a densidade de partículas da

rede. A magnetização por sítio, 1L

∑Szj , em termos dessas densidade, é 2η − 1.2

2Pode-se mostrar ainda que[HXXZ , NF

]= 0.

Que é facilmente veri�cada escrevendo os possíveis estados como autoestados de SzT : | ψ〉 =| n1, . . . , nL〉 ,sendo | ni〉 os autoestados de σzi rotulados por | ni〉 =|↑〉 ou |↓〉. Então:

NF | ψ〉 =L∑j=1

σ+j σ−j | n1, . . . , nL〉 =

L∑j=1

nj | ψ〉,

Onde:

{nj = 1 se | nj〉 =|↑〉nj = 0 se | ni〉 =|↓〉 , impondo assim que este operador, conte o número de partículas na rede.

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 29

Dessa forma temos uma simetria de setores, análoga ao caso de SzT , e novamente existem

L+ 1 setores disjuntos rotulados pelos autovalores NF (= 0, 1, · · · , L).

4.3.1 Solução Exata Vs. Diagonalização Numérica

A seguir apresentamos os diagramas de dispersão encontrados pela solução exata (fermi-

onização), para L = 4 e 5. Que podem ser comparados com as energias encontradas na

diagonalização dos blocos da hamiltoniana original (Seção 3.1.1).

L=4

Estado Fundamental:

Figura 4.2: Espectro de energia, para o estados fundamental, de um sistema de quatro

sítios (primeira zona de Brillouin) com condições periódicas de contorno. O símbolo � (�)

representa os estados não preenchidos (preenchidos).

A menor energia é dada por duas partículas com momentos |k| = π/4 e energia−2cos (π/4)−2cos (−π/4) = 2.828427 · · ·. O estado é não degenerado, e pertence ao setor de SzT = 0

(NF = L/2).

Primeiro estado excitado:

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 30

Figura 4.3: Espectro de energia, para o primeiro estado excitado, de um sistema de quatro

sítios (primeira zona de Brillouin) com condições periódicas de contorno. O símbolo ◦ (•)representa os estados não preenchidos (preenchidos). (a) NF = 1 (SzT = −1). (b) NF = 3

(SzT = 1).

Note que temos um estado excitado bidegenerado, com energias dadas por −2cos(0) = −2

ou −2cos (π/2)− 2cos (−π/2)− 2cos(0) = −2. Estes pertencem aos setores de SzT = ∓1 .

L=5

O estado fundamental é degenerado:

Figura 4.4: Espectro de energia, para o estados fundamental, de um sistema de cinco sítios

(a) NF = 2 (SzT = −1/2), (b) NF = 3 (SzT = 1/2) com condições periódicas de contorno.

Para cada espectro (Figura 4.4) vemos que a menor energia é −3.236068 · · ·.

Os estados excitados também são degenerados e têm energia −2:

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 31

Figura 4.5: Primeira zona de Brillouin do espectro de energia, para o primeiro estado ex-

citado, de um sistema de cinco sítios com condições periódicas de contorno. (a) NF = 1

(SzT = −3/2). (b) NF = 4 (SzT = 3/2).

Veja a Seção 4.2.1 para uma comparação com a solução numérica.

4.4 Gap de Spin

O gap de spin é a quantidade de energia necessária e su�ciente para destruir um singleto

(inverter um spin para cima) do estado fundamental e transforma-lo em uma excitação de

spin 1. É um fato bem estabelecido que a cadeia de Heisenberg de spin-1/2 não apresenta um

gap no limite termodinâmico.

Vamos então encontrar uma forma analítica (e prática) de calcular as energias do estado

fundamental e do primeiro estado excitado. Assim poderemos encontrar o gap de spin do

modelo XX em cadeias de quaisquer comprimento, e ainda poderemos comprovar que, no

limite termodinâmico, tal gap é nulo. Nesta seção, por simplicidade, vamos considerar apenas

o caso em que L é par.

O estado fundamental de energia é obtido preenchendo todos os níveis de energia des-

ocupados com valor negativo de ε(k). Como ε(k) = −2cos(k), devemos ter |k| < π/2

(k ∈ [−π, π)). Os valores de k que satisfazem tal imposição são dados por:

−π2

L,π

2+

L, · · · , π

2− π

L,

ou ainda:

k =2m+ 1

Lπ m = −L

4,−L

4+ 1, · · · , L

4− 1, (4.21)

note que existem L2valores de m, i.e., temos NF = L

2níveis ocupados no estado fundamental.

Portanto o estado fundamental não ter ordem magnética (setor SzT = 0, ou seja um singleto,

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 32

como conjecturado anteriormente).

Note ainda que o conjunto de momentos do estado fundamental obedece a regra geral

dada pela Eq. (4.21), independentemente da paridade do número de partículas deste estado.

Para L = 4, 8, 12, · · ·, NF é par; enquanto que para L = 2, 6, 10, 14, · · · , NF é impar. Isso é

facilmente veri�cado por inspeção para pequenos valores de L.

Finalmente, somando a energia de todos os níveis ocupados, a energia do estado funda-

mental é dada por:

E0(L) = −2∑|k|<π

2

cos k,

E0(L) = −2

L/4−1∑m=−L/4

cos

(2m+ 1

)= − 2

sin (π/L). (4.22)

O primeiro estado excitado, corresponde a �girar� um spin a partir do estado fundamental,

que no modelo fermiônico corresponde a �criar� ou �destruir� um partícula, portanto temos

NF = L2± 1 partículas na rede. Sendo assim a menor energia do setor SzT = ±1 é o

primeiro estado excitado do sistema (para L par). Com isso os valores permitidos de k

são alterados, uma vez que para L = 4, 8, 12, · · ·, NF é agora é ímpar, enquanto que para

L = 2, 6, 10, 14 · · ·, NF é par. As NF partículas com as menores energias nestes setores são

aquelas com momentos:

−π2,

SzT=−1︷ ︸︸ ︷−π

2+

L, · · · , π

2− 2π

L,π

2︸ ︷︷ ︸SzT=1

.

Note que k = ±π2pertence apenas ao setor de magnetização SzT = 1.

Por conveniência calculemos a menor energia para o setor SzT = 1, onde temos:

k =2m

Lπ m = −L

4,−L

4+ 1, · · · , L

4− 1,

L

4.

E a energia é:

E1(L) = −2

L/4∑m=−L/4

cos

(2m

)= − 2

tan (π/L). (4.23)

Note que E0(L) e E1(L) são exatamente as energias encontradas para os estados funda-

mental e primeiro excitado, para os caso exempli�cados nas seções 3.1.1 e 4.2.1.

Lembrando que:1

sin (π/L)=L

π

[1 +

π2

3!L2+O

(L−2

)],

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CAPÍTULO 4. FERMIONIZAÇÃO DO MODELO XX 33

1

tan (π/L)=L

π

[1− π2

3L2+O

(L−2

)].

Vemos que as energias encontradas nas Eqs. (4.22) e (4.23) no limite L� 1 são:

E0∼= −

2L

π− π

3L. (4.24)

E1∼= −

2L

π+

3L. (4.25)

De modo que para L� 1 o gap de spin é

∆E = E1 − E0∼=π

L, (4.26)

que é nulo no limite termodinâmico.3

3Este era um resultado esperado, uma vez que o espectro da hamiltoniana XX [Eq. (4.15)-(4.17)] nãopossui descontinuidades para L→∞.

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Capítulo 5

Ansatz de Bethe

O ansatz de Bethe [11, 12] consiste em �chutar� uma função de onda (fazer um ansatz ) a �m

de diagonalizar uma determinada hamiltoniana. A maioria dos modelos exatamente solúveis,

em mecânica estatística e teoria quântica de campos, são basicamente fundamentados neste

�chute�. No centro do ansatz de Bethe está a maneira pela qual a interação de muitos corpos

é simpli�cada à interações de dois corpos. O ansatz de Bethe é assim entrelaçado com a

teoria de integrabilidade.

Nesta seção, para melhor entendimento, explicitaremos como funciona o ansatz de Bethe

através do exemplo canônico da hamiltoniana anisotrópica ferromagnética de Heisenberg

XXZ de�nida pela Eq. (3.7) [com condições de contorno �torcidas�, Eq. (3.8)].

5.1 Diagonalização de Setores

Pode-se abordar a diagonalização dos setores para diversos casos, conforme estudamos no

Cap. 3, a cadeia de Heisenberg possui várias simetrias. Como é costumeiro, utilizaremos a

simetria U(1), e ainda, veremos que considerando explicitamente apenas os casos n↑ = 1 e

n↑ = 2 é possível construir o formalismo do ansatz de Bethe por completo. Consideramos

uma rede unidimensional de comprimento M . Vamos novamente de�nir n↑ como o número

de spins invertidos a partir do �vácuo� (estado com todos os spins para baixo), i.e., o número

de spins up na rede.1 Lembrando que esta é uma boa escolha de um número quântico, devido

a simetria de rotação discutida na Seção 3.1.

1n↑ = 0:Considere o caso em que todos os spins estão para baixo. Seja | F 〉 =|↓ · · · ↓〉, o autoestado deste setor é| ψ(0)〉 =| F 〉, e da equação de autovalores,

HXXZ | ψ(0)〉 = E(0) | ψ(0)〉,

E(0) = −M∆2 é a solução trivial.

34

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 35

5.1.1 n↑ = 1

Nós de�nimos a função de onda:

| ψ(1)〉 =M∑m=1

am | m〉 (5.1)

onde: | m〉 = 12

(σxm + iσym) | F 〉 = σ+m | F 〉. Ou seja: | m〉 =| ↓︸︷︷︸

1

· · · ↑︸︷︷︸m

· · · ↓︸︷︷︸M

〉 é um

estado com um spin up no sítio m. Assim o ansatz aqui é que qualquer autoestado no

subespaço n↑ = 1 é superposição (combinação linear) dos estados da base | m〉.Nosso objetivo aqui é obter os coe�cientes am e as autoenergias E(1) da equação de

autovalores HXXZ | ψ(1)〉 = E(1) | ψ(1)〉. Para tanto devemos resolver

M∑m=1

amHXXZ | m〉 =M∑m=1

E(1)am | m〉. (5.2)

Para tal, vamos calcular HXXZ | m〉, para todo m. Temos que:

HXXZ | 1〉 = −1

2(M − 4)∆ | 1〉 −

(e−i ϕ |M〉+ | 2〉

), (5.3)

HXXZ |M〉 = −1

2(M − 4)∆ |M〉 −

(|M − 1〉+ ei ϕ | 1〉

), (5.4)

HXXZ | m〉 = −1

2(M − 4)∆ | m〉 − (| m− 1〉+ | m+ 1〉) . (5.5)

De modo que a equação de autovalor [Eq. (5.2)] nos fornece:

E(1)a1 = −1

2(M − 4)∆a1 −

(ei ϕaM + a2

), (5.6)

E(1)aM = −1

2(M − 4)∆aM −

(aM−1 + e−i ϕa1

), (5.7)

E(1)am = −1

2(M − 4)∆am − (am−1 + am+1) . (5.8)

Lembrando que estamos considerando condições de contorno �torcidas�, então de�nimos,

am+M = e−i ϕam. (5.9)

Deste modo as Eqs. (5.6) e (5.7) se reduzem à Eq. (5.8).

Vemos então que os estados | ψ(1)〉 são solução da equação de autovalores HXXZ | ψ(1)〉 =

E(1) | ψ(1)〉, se os coe�cientes am satisfazem as equações lineares (5.8) e (5.9).

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 36

Note que

am = ei θm (5.10)

é uma possível solução da Eq. (5.8), uma vez que: am±1 = ei θ(m±1) = ei θme±i θ = ame±i θ.

Substituindo a Eq. (5.10) na Eq. (5.8) obtemos:

E(1)am = −1

2(M − 4)∆am −

(ame

−i θ + amei θ),

como am 6= 0, pois ei θm 6= 0 ∀ θm, devemos ter então:

E(1) = −1

2M∆ + 2 (∆− cosθ) , (5.11)

sendo que o �momento� θ é determinado pela condição de contorno [Eq. (5.9)].2

Para determinarmos θ, substituímos a Eq. (5.10) na Eq. (5.9):

e−i ϕam = am+M = ei θ(M+m) = ei θMei θm = ei θMam → ei ϕei θM = 1,

ei (Mθ+ϕ) = 1, (5.12)

logo:Mθ + ϕ = 2Iπ

I = 0, 1, · · · ,M − 1. (5.13)

Estas são as M soluções independentes da Eq. (5.12) (conhecidas como �equação do

ansatz de Bethe�), elas fornecem os autovalores da energia [Eq. (5.11)]. Substituindo os

coe�cientes am, com as condições de contorno encontradas na Eq. (5.1) obtemos também os

autoestados:

| ψ(1)〉 =1√M

M∑m=1

exp

(i2Iπ − ϕM

m

)| m〉, (5.14)

que já estão normalizados.

2Novamente o termo �momento� aparece aqui em analogia com os autovalores [Eq. (3.12)] do operadormomento de�nido pela Eq. (3.11).

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 37

E as autoenergias3 são:

E(1) +1

2M∆ = 2

[∆− cos

(2Iπ − ϕM

)]. (5.15)

5.1.2 n↑ = 2

As características distintas do ansatz de Bethe começam a surgir quando nós aplicamos o

mesmo procedimento para o caso n↑ = 2. Visto que, para n↑ = 1, os coe�cientes am da função

de onda [Eq. (5.1)] são exatamente os autovalores do operador momento, evidenciando uma

simetria translacional análoga (uma vez que aqui consideramos uma condição de contorno

mais geral) à da Seção 3.2.

Vamos novamente fazer o ansatz de uma função de onda como combinação linear de todos

os estados do tipo | m1,m2〉 = σ+m1σ+m2| F 〉 =| · · · ↓ ↑︸︷︷︸

m1

↓ · · · ↓ ↑︸︷︷︸m2

↓ · · ·〉. Ou seja estados

que são base de um subespaço de dimensão M(M−1)2

composto pelos autoestados do operados

spin total(SzT

)com autovalor 2− M/2. Neste caso, a função de onda é da forma

| ψ(2)〉 =∑

1≤m1<m2≤M

am1,m2 | m1,m2〉, (5.16)

Nossa tarefa é determinar os coe�cientes am1,m2 para todos os estados | m1,m2〉.Existem dois casos para considerarmos, dependendo da localização dos spins up, (i) m2 >

m1 +1 e (ii) m2 = m1 +1. Analisemos então o efeito da hamiltoniana [Eq. (3.7)] nos estados

| m1,m2〉 para os dois casos separadamente.

(i) m2 > m1 + 1

HXXZ | 1,m2〉 = −1

2(M−8)∆ | 1,m2〉−

(e−i ϕ | m2,M〉+ | 2,m2〉+ | 1,m2 − 1〉+ | 1,m2 + 1〉

),

(5.17)

HXXZ | m1,M〉 = −12

(M − 8)∆ | m1,M〉 −(| m1 − 1,M〉+ | m1 + 1,M〉+ | m1,M − 1〉+ e−i ϕ | 1,m1〉

),

(5.18)

3Para modelo de Heisenberg XX com condições de contorno periódicas, i.e., tomando ∆ = 0 e ϕ = 0,obtemos que o espectro de energia é

ε(k) = −2cos(k), com k =2Iπ − φM

e os valores de I são equivalentes aos encontrados nas Eqs. (4.16) e (4.15). E ainda devemos escolher φ = 0pois para uma para uma cadeia com um spin up (uma única partícula na rede) o número de spins up é ímpar.De modo que E(1)(∆ = 0 e ϕ = 0) = ε(k).

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 38

HXXZ | m1,m2〉 = −12

(M − 8)∆ | m1,m2〉− (| m1 − 1,m2〉+ | m1 + 1,m2〉+ | m1,m2 − 1〉+ | m1,m2 + 1〉) .(5.19)

(ii) m2 = m1 + 1

HXXZ | 1, 2〉 = −1

2(M − 4)∆ | 1, 2〉 −

(e−i ϕ | 2,M〉+ | 1, 3〉

), (5.20)

HXXZ |M −1,M〉 = −1

2(M −4)∆ |M −1,M〉−

(|M − 2,M〉+ e−i ϕ | 1,M − 1〉

), (5.21)

HXXZ | m1,m1 + 1〉 = −1

2(M − 8)∆ | m1,m1 + 1〉 − (| m1 − 1,m1 + 1〉+ | m1,m1 + 2〉) .

(5.22)

Substituindo a Eq. (5.16) juntamente com as Eqs. (5.17)-(5.22) na equação de autovalores

HXXZ | ψ(2)〉 = E(2) | ψ(2)〉, obtemos as seguintes equações:

E(2)a1,m2 = −1

2(M − 8)∆a1,m2 −

(e−i ϕam2,M + a2,M + a1,m2−1 + a1,m2+1

), (5.23)

E(2)am1,M = −1

2(M − 8)∆am1,M −

(am1−1,M + am1+1,M + am1,M−1 + e−i ϕa1,m1

), (5.24)

E(2)am1,m2 = −1

2(M − 8)∆am1,m2 − (am1−1,m2 + am1,m2−1 + am1+1,m2 + am1,m2+1) , (5.25)

se m2 > m1 + 1. E

E(2)a1,2 = −1

2(M − 4)∆a1,2 −

(e−i ϕa2,M + a1,3

), (5.26)

E(2)aM−1,M = −1

2(M − 4)∆aM−1,M −

(aM−2,M + e−i ϕa1,M−1

), (5.27)

E(2)am1,m1+1 = −1

2(M − 8)∆am1,m1+1 − (am1−1,m1+1 + am1,m1+2) , (5.28)

se m2 = m1 + 1.

As Eqs. (5.23) e (5.24) se reduzem à Eq. (5.25). Já as Eqs. (5.26) e (5.27) se reduzem à

Eq. (5.28), desde que de�namos a seguinte condição de contorno:

am2,m1+M = e−i ϕam1,m2 , m1 +M > m2. (5.29)

Desse modo as relações de recorrência são sumarizadas nas Eqs. (5.25), (5.28) e (5.29).

Uma vez que as Eqs. (5.25) e (5.28) foram obtidas da aplicação da hamiltoniana XXZ,

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 39

esperamos que a Eq. (5.25) reproduza a Eq. (5.28) quando �zermos em (5.25) m2 = m1 + 1:

E(2)am1,m1+1 = −1

2(M − 8)∆am1,m1+1 − (am1−1,m1+1 + am1+1,m1+1 + am1,m1 + am1,m1+2) ,

(5.30)

Subtraindo termo a termo das Eqs. (5.28) e (5.30) temos a seguinte condição equivalente:

2∆am1,m1+1 = am1,m1 + am1+1,m1+1, (5.31)

ou seja, para obrigarmos que as Eqs. (5.25) e (5.28) sejam compatíveis, devemos requerer

que a relação de �reunião� ou �colisão� acima [Eq. (5.31)] seja verdadeira.

Note que a solução das Eqs. (5.25), (5.29) e (5.31) pode ser escrita na forma:

am1,m2 = A12ei (θ1m1+θ2m2) + A21e

i (θ1m2+θ2m1). (5.32)

Uma vez que:

am1±1,m2 = e±i θ1A12ei (θ1m1+θ2m2) + A21e

±i θ2ei (θ1m2+θ2m1)

e

am1,m2±1 = e±i θ2A12ei (θ1m1+θ2m2) + A21e

±i θ1ei (θ1m2+θ2m1),

de modo que:

am1±1,m2 + am1,m2±1 =(e±i θ1 + e±i θ2

)am1,m2 .

E ao substituirmos esta última na Eq. (5.25) �camos com:

E(2)am1,m2 =

[−1

2(M − 8)∆−

(e−i θ1 + e−i θ2 + ei θ1 + ei θ2

)]am1,m2 .

↓ se am1,m2 6= 0

E(2) = −1

2M∆ + 2 (2∆− cosθ1 − cosθ2) . (5.33)

Que fornece a energia em termo dos dois �momentos� θ1 e θ2, que precisam ser determi-

nados. Novamente é a condição de contorno, expressa pela equação (5.29), que de�nirá os

possíveis valores de momentos. Utilizemos então a Eq. (5.32) na Eq. (5.29).

A12ei (θ1m1+θ2m2) + A21e

i (θ1m2+θ2m1) = A12ei (θ2M+ϕ)ei (θ1m2+θ2m1) + A21e

i (θ1M+ϕ)ei (θ1m1+θ2m2),

[A12 − A21e

i (θ1M+ϕ)]ei (θ1m1+θ2m2) +

[A21 − A12e

i (θ2M+ϕ)]ei (θ1m1+θ2m2) = 0.

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 40

Se �zermos simultaneamente cada termo entre colchetes (na última equação) igual a zero,

a igualdade é satisfeita. Isto implica que:

A12 = A21ei (θ1M+ϕ) → ei (θ1M+ϕ) = A12

A21

A21 = A12ei (θ2M+ϕ) → ei (θ2M+ϕ) = A21

A12

. (5.34)

Voltemos então a atenção a equação de �reunião� [Eq. (5.31)], dela e da Eq. (5.32) seguem

as equações para A12

A21. Note que:

am1,m1 = (A12 + A21) ei (θ1+θ2)m1 ,

e

am1+1,m1+1 = am1,m1ei (θ1+θ2).

Substituindo na Eq. (5.31) obtemos:

2∆am1,m1+1 = am1,m1

(1 + ei (θ1+θ2)

),

ou ainda

2∆am1,m1+1 = (A12 + A21)(1 + ei (θ1+θ2)

)ei (θ1+θ2)m1 . (5.35)

Usando o fato que:

am1,m1+1 =(A12e

i θ2 + A21ei θ1)ei (θ1+θ2)m1 ,

na Eq. (5.35) �camos com

2∆(A12e

i θ2 + A21ei θ1)

= (A12 + A21)(1 + ei (θ1+θ2)

).

De modo que a equação de compatibilidade [Eq. (5.31)] impõe que a razão dos dois

coe�cientes é dada por:A12

A21

= −1− 2∆ei θ1 + ei (θ1+θ2)

1− 2∆ei θ2 + ei (θ1+θ2). (5.36)

Seguindo Yang e Yang [12] de�nimos A12

A21= −e−iΘ(θ1,θ2), onde Θ(θ1, θ2) é chamado de fase

de espalhamento de duas partículas. Dessa forma devemos ter:

1− 2∆ei θ1 + ei (θ1+θ2)

1− 2∆ei θ2 + ei (θ1+θ2)= e−iΘ(θ1,θ2), (5.37)

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 41

onde a fase de espalhamento é dada por4:

Θ(θ1, θ2) = 2 tan−1

[∆sin

(θ1−θ2

2

)cos(θ1+θ2

2

)−∆cos

(θ1−θ2

2

)] . (5.38)

Agora podemos reescrever a Eq. (5.34) como:

A12

A21= ei (θ1M+ϕ) = −e−iΘ(θ1,θ2)

A12

A21= e−i (θ2M+ϕ) = −e−iΘ(θ1,θ2)

,

ei [θ1M+ϕ+Θ(θ1,θ2)] = −1

e−i [θ2M+ϕ−Θ(θ1,θ2)] = −1,

lembrando que −1 = e±(2n−1)π, com n = 0, · · · ,M − 1. E tomando o logaritmo de ambos os

lados obtemos:θ1M + ϕ+ Θ(θ1, θ2) = (2n− 1)π

θ2M + ϕ+ Θ(θ2, θ1) = (2n− 1)π,

onde usamos o fato que Θ(θ2, θ1) = −Θ(θ1, θ2).5 Assim:

θ1M + ϕ = 2πI1 −Θ(θ1, θ2)

θ2M + ϕ = 2πI2 −Θ(θ2, θ1), (5.39)

onde I1 e I2( 6= I1) pertencem ao conjunto:{±1

2,±3

2, · · · ,±M − 1

2

}. (5.40)

4Fazendo a = −2∆ei θ1 +ei (θ1+θ2) e b = −2∆ei θ2 +ei (θ1+θ2) na Eq. (5.37) e tomando o logaritmo natural,temos:

ln

(1 + a

1 + b

)= −iΘ(θ1, θ2) = ln

(1 + a−b

2+a+b

1− a−b2+a+b

),

Usando o fato que ln(

1+z1−z

)= −2i arctan(i z), obtemos

Θ(θ1, θ2) = 2 arctan

[i∆(ei θ2 − ei θ1

)1 + ei (θ1+θ2) −∆ (ei θ1 + ei θ2)

].

Θ(θ1, θ2) = 2 tan−1

[∆sin

(θ1−θ2

2

)cos(θ1+θ2

2

)−∆cos

(θ1−θ2

2

)] .5Uma vez que: tan−1(−x) = −tan−1(x).

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 42

5.1.3 n↑ Geral

Consideremos agora um número irrestrito (arbitrário) de spins up igual a n↑. Sejam m1,

m2, · · · e mn↑ (ordenados em ordem crescente) os sítios em que temos spins para cima

(1 ≤ mi ≤M). Generalizando as Eqs. (5.1) e (5.16) escrevemos a função de onda como uma

expansão dos autoestados de SzT na forma:

| ψ(n↑)〉 =∑

1≤m1<···<mn↑≤M

am1,···,mn↑ | m1, · · · ,mn↑〉, (5.41)

onde | m1, · · · ,mn↑〉 = σ+m1· · ·σ+

n↑| F 〉. Note que o subespaço tem dimensão M !/(M−n↑)!n↑!. A

generalização das Eqs. (5.10) e (5.32) para os coe�cientes da função de onda [Eq. (5.41)] em

termo dos n↑ �momentos� θj é:

am1,···,mn↑ =∑P∈Sn↑

AP1,P2,···,Pn↑ei θP1

m1ei θP2m2 · · · ei θPn↑mn↑ , (5.42)

onde a soma P ∈ Sn↑ é sobre todas as permutações do conjunto{P1,P2, · · · ,Pn↑

}. As Eqs.

(5.41) e (5.42) são o ansatz para o caso geral.

Para n↑ = 2, por exemplo, as duas (2!) permutações são a identidade (1, 2) - {P1,P2} - ea transposição (2, 1) - {P2,P1} - que produzem os dois termos de (5.32). Para n↑ = 3 os co-

e�cientes são: A123, A132, A213, A231, A312 eA321. E ainda am1,m2,m3 = A123ei(θ1m1+θ2m2+θ3m3) +

A132ei(θ1m1+θ3m2+θ2m3)+A213e

i(θ2m1+θ1m2+θ3m3)+A231ei(θ2m1+θ3m2+θ1m3)+A312e

i(θ3m1+θ1m2+θ2m3)+

A321ei(θ3m1+θ2m2+θ1m3).

Ou ainda, a hipótese de Bethe diz que existem n↑ números inteiros reais (distintos entre

si) θ1, · · · , θn↑ tais que os coe�cientes da superposição da função de onda | ψ(n↑)〉 são uma

soma de n↑! termos, cada um na forma exponencial:

(constante) exp (θ1m1 + θ2m2 + · · ·) , (5.43)

onde{P1,P2, · · · ,Pn↑

}é uma permutação de{1, · · · , n↑}. Estas constantes ou amplitudes

[de�nidas na Eq. (5.42)] devem obedecer a generalização das condições de contorno (ou de

extremos) [Eqs. (5.9) e (5.29)], ou seja, devemos ter:

am2,···,mn↑ ,m1+M = eiϕam1,···,mn↑ , (5.44)

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 43

e os autovalores, da equação HXXZ | ψ(n↑)〉 = E(n↑) | ψ(n↑)〉 são dados por:

E(n↑) = −1

2M∆ + 2

n↑∑j=1

(∆− cos θj) , (5.45)

que é uma generalização das Eqs. (5.11) e (5.33). Sendo estas duas últimas facilmente obtidas

da Eq. (5.45) fazendo n↑ = 1 e n↑ = 2, respectivamente. E os momentos θj devem satisfazer

ao seguinte conjunto de n↑ equações não lineares:

θjM + ϕ = 2πIj −n↑∑k=1

Θ(θj, θk) j = 1, · · · , n↑. (5.46)

Onde a fase de espalhamento de duas partículas é dada pela Eq. (5.38), aqui repetida:

Θ(θj, θk) = 2 tan−1

∆sin(θj−θk

2

)cos(θj+θk

2

)−∆cos

(θj−θk

2

) , (5.47)

como uma generalização para quaisquer θj e θk. Note que novamente temos a condição

Θ(θj, θk) ≡ −Θ(θk, θj), e imediatamente desta (se ∆ 6= 0), segue que Θ(θj, θj) ≡ 0.

Os Ij da Eq. (5.46) são de�nidos como{±1

2,±3

2, · · · ,±M−1

2

}{0,±1, · · · ,±

(M2− 1), M

2

} para n↑ par

para n↑ impar, (5.48)

sendo todos eles necessariamente distintos.

Seguindo a analogia ao operador de translação ou o momento [Eq. (3.11)], podemos ainda

de�nir o momento total do estado como:

T =

n↑∑j=1

θj =2π

M

n↑∑j=1

Ij.

5.2 Equações de Bethe no Limite Isotrópico

Utilizando a notação ei θj = µj, a Eq. (5.36) �ca:{µM1 = −1+µ1µ2−2∆µ1

1+µ1µ2−2∆µ2

µM2 = −1+µ1µ2−2∆µ2

1+µ1µ2−2∆µ1

. (5.49)

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 44

Fazendo então parametrização:

µj =∆λj − i/2

λj + ∆i/2, (5.50)

onde i é a unidade imaginária, i.e., i =√−1. Note que determinando os λj, e por sua vez µj

através da parametrização [Eq. (5.50)], podemos determinar uma expressão para as energias

totalmente equivalente à Eq. (5.33), que tem seus parâmetros, θj, determinados a partir do

conjunto Ij [Eq. (5.40)] junto com a fase Θ(θj, θk) e com o as Eqs. (5.39). Nesta notação

podemos escrever a energia, a partir da [Eq. (5.33)], como:

E = −1

2M∆ + 4∆− ei θ1 − e−i θ1 − ei θ2 − e−i θ2

E = −1

2M∆ + 4∆−

2∑j=1

(1

µj+ µj

)(5.51)

Rescrevemos as equações (5.49) no limite ∆ ≡ 1, onde a parametrização é µj =λj−i/2λj+i/2

.

De modo que temos: {1 + µ1µ2 − 2µ1 = (λ2−λ1) i−1

(λ1+i/2)(λ2+i/2)

1 + µ1µ2 − 2µ2 = (λ1−λ2) i−1(λ1+i/2)(λ2+i/2)

,

e portanto: {µM1 = λ1−λ2−i

λ1−λ2+i

µM2 = λ2−λ1−iλ2−λ1+i

,

mas da Eq. (5.50) (parametrização) segue imediatamente que µM1 =(λ1−i/2λ1+i/2

)Me µM2 =(

λ2−i/2λ2+i/2

)M.

Portanto devemos ter(λ1 − i/2

λ1 + i/2

)M=λ1 − λ2 − iλ1 − λ2 + i

e

(λ2 − i/2

λ2 + i/2

)M=λ2 − λ1 − iλ2 − λ1 + i

.

Que podem ser reescrita em uma única expressão como:

(λj − i/2

λj + i/2

)M= −

2∏l=1

λj − λl − iλj − λl + i

. (5.52)

Que é mais uma forma das equações de Bethe para o limite isotrópico ferromagnético

(∆ = 1), totalmente equivalentes ao conjunto de equações, para anisotropia geral [Eq. (5.39)].

Resolvendo estas equações acopladas determina-se um conjunto {λj}, ou equivalentemente

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 45

{µj}, e desta forma obtém-se as energias através da Eq. (5.51), como fazemos a seguir:

E = −1

2M + 4−

2∑j=1

(1

µj+ µj

)= −1

2M −

2∑j=1

(1

µj+ µj − 2

),

utilizando a parametrização [Eq. (5.50)] é fácil ver que:

E = −M2

+2∑j=1

(1

λ2j + 1/4

), ∆ ≡ 1. (5.53)

Semelhantemente, para o caso ∆ ≡ 1 obtemos as seguintes equações de Bethe:

(λj + i/2

λj − i/2

)M= −(−)M

2∏l=1

λj − λl + i

λj − λl − i. (5.54)

E as energias são dadas por:

E =M

2−

2∑j=1

(1

λ2j + 1/4

), ∆ ≡ −1. (5.55)

5.3 Considerações Finais

Todos os autovalores da cadeia de spin Heisenberg podem ser obtidos em termos da solução

do ansatz de Bethe. Entretanto apesar das funções de onda serem obtidas de modo exato,

em termo das raízes de Bethe, a solução das equações de Bethe, mesmo numericamente, é

uma tarefa não trivial. Vimos ainda que o mecanismo básico que difere este método e o da

fermionização surge a partir de n↑ = 2, com as condições de compatibilidade [Eq. (5.31)] (a

equação de reunião ou colisão), que podem ser manobradas em termos de interações de dois

corpos. O ansatz de Bethe tem sido bastante aplicado para um grande número de modelos

de spins mais gerais, em sistemas discretos, como aqui, ou em um contínuo. Os fundamentos

básicos do ansatz, para aplica-lo em um dado modelo, continuam os mesmos.

Historicamente, o próximo modelo a ser resolvido exatamente, em termos do ansatz de

Bethe foi o modelo unidimensional de N bóson interagentes em uma linha de comprimento

L de�nido pela hamiltoniana [34, 35]:

Hb = −N∑i=1

∂2

∂x2i

+ 2c∑

1≤i<j≤N

δ(xi − xj),

onde c é uma medida da intensidade da interação entre os bósons. Para este modelo o ansatz

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CAPÍTULO 5. ANSATZ DE BETHE 46

de Bethe ("chute") das funções de onda é o mesmo aqui estudado [Eqs. (5.41) e (5.42)]. As

equações de Bethe são dadas por [34]:

eikjL = −N∏l=1

kj − kl + ic

kj − kl − ic, para j = 1, · · · , N

e os autovalores de energia são [34]:

E =N∑j=1

k2j .

Para interação repulsiva (c > 0), é possível ainda provar que todas as raízes de Bethe são

reais.

Note que ansatz abordado neste trabalho a�rma que as autofunções da hamiltoniana são

dadas em termos de uma soma de permutações de ondas planas. A �m de estudar sistemas

mais complexos, algumas formulações adicionais ao ansatz de Bethe que utilizamos neste

trabalho são propostas. O ansatz de Bethe algébrico, por exemplo, foi desenvolvido para o

tratamento sistemático de modelos de spin maiores. E recentemente foi introduzido um novo

tipo de ansatz, alternativamente Alcaraz e Lazo escrevem a função de onda como um produto

de estados de matrizes, chamado ansatz de produto de matriz [36], onde as amplitudes são

dadas em termos do traço deste produto de matrizes. Não obstante, a formulação do ansatz

de Bethe, até o momento, ainda não foi estendida para sistemas em dimensões maiores.6

6Para uma revisão histórica das soluções de Bethe para modelos da mecânica quântica veja as Referências[37, 38]

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Capítulo 6

Modelo Integrável na Geometria de

Escada

A interação Jij ~Si · ~Sj, introduzida no Capítulo 3, é essencial para explicar vários tipos de

ordens magnéticas. Muitos modelos microscópicos incorporam este termo, tais como o Modelo

de Heisenberg e o Modelo de Hubbard1 [29, 30]. Infelizmente, em geral, a solução exata

destes modelos é possível, apenas, em uma dimensão. Motivados pela falta de estudos de

modelos exatamente solúveis em duas dimensões, pretendemos encontrar a solução exata de

um modelo de spin na geometria de �escada�. As escadas deN -pernas consistem deN cadeias

paralelas de íons de comprimento L acopladas por algum parâmetro (como por exemplo,

o termo de troca). Existem, ou podem ser criados em laboratórios, diversos compostos

com a estrutura de uma escada2. Isto tem despertado grande interesse recentemente, tanto

do ponto de vista teórico quanto experimental, devido a sua conexão com o fenômeno da

supercondutividade. É bem sabido que as escadas de Heisenberg de spin-1/2 compostas de

um número par de pernas possuem gap de spin �nito (não nulo). Tal fato foi primeiramente

evidenciado através de cálculos numéricos [31], e depois veri�cado experimentalmente [1]. Já

as escadas com um número impar de pernas têm um comportamento bem diferente, possuindo

um gap de spin nulo [1]. No Capítulo 4 encontramos analiticamente as energia para uma

cadeia anisotrópica de Heisenberg de spin-1/2 (modelo XX) e mostramos explicitamente, na

Seção 4.4, que no limite termodinâmico esta �escada de uma perna� não possuem gap de spin.

Neste trabalho consideramos a seguinte hamiltoniana de�nida em uma geometria de es-

1O Modelo de Hubbard foi proposto originalmente em 1963, para descrever os elétrons em sólidos.2Exemplo de compostos que têm estrutura de escada:

• os óxidos de cobre: SrCu2O3 (duas pernas) [32] e Sr2Cu3O5 (três pernas);

• alguns orgânicos como: CaV2O5, KCuCl3 e (VO)2P2O7 [33];

e muitos outros podem ser encontrados na Referência [1].

47

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CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 48

cada de 2-pernas (Ver Figura 6.1 para a representação física do sistema que esta hamiltoniana

de�ne):

Hleg =1

2

∑α=x,y

2∑λ=1

L∑i=1

(Jλσ

αλ,iσ

αλ+1,i+λ−1 +

J3

2σαλ,iσ

zλ+1,i+λ−1σ

αλ,i+1

), (6.1)

sendo Jj (j = 1, 2, 3) os termos de troca anisotrópica. E σαλ,i (α = x, y, z) são as matrizes de

Pauli na perna λ = 1, 2 e degrau i.

Figura 6.1: Representação de uma escada de spin com 2 pernas e L degraus, onde as con-

stantes de acoplamento são mostradas: J1 ao longo dos degraus, J2 ao longo das diagonais e

J3 ao longo das cadeias (das pernas).

Seguindo os procedimentos do Capítulo 4 podemos escrever a hamiltoniana [Eq. (6.1)]

em termos dos operadores de aniquilação e criação:

Hleg = J1

L∑i=1

(σ+

1,iσ−2,i + h.c.

)+ J2

L∑i=1

(σ+

2,iσ−1,i+1 + h.c.

)+

+J3

2

L∑i=1

[(σ+

1,iσz2,iσ

−1,i+1 + h.c.

)+(σ+

2,iσz1,i+1σ

−2,i+1

)]. (6.2)

Nós investigamos este modelo sob condições periódicas de contorno.

Utilizando a transformada de Jordan-Wigner padrão, de�nida pela Eq. (4.3), nós ma-

peamos o modelo acima no seguinte modelo fermiônico:

Hleg = J1

2L−1∑i=1,3,···

(c†ici+1 + h.c.

)+ J2

2L∑i=2,4,···

(c†ici+1 + h.c.

)− J3

2

2L∑i=1

(c†ici+2 + h.c.

), (6.3)

i.e., escrevemos a hamiltoniana deste modelo em termos de operadores de aniquilação e

criação.

Note que esta hamiltoniana representa um sistema de partículas livres com interação de

primeiros e segundos vizinhos (veja Figura 6.2). E que a interação de primeiros vizinhos é

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CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 49

alternada, ou seja, é constituída de um dímero.3

Note que a condição de contorno, na formulação de operadores puramente fermiônicos,

não é, em geral, periódica. Dependendo da paridade do número de férmions, há o acréscimo

de uma fase.

Figura 6.2: Representação de um sistema não interagente com 2L sítios, onde as constantes

de acoplamento são mostradas: J1,2 entre os primeiros vizinhos (acoplamento dimerizado) eJ3/2 entre os segundos vizinhos mais próximos.

Vale salientar que temos conservação da magnetização total neste sistema, i.e.,[Hleg, S

zT

]≡ 0,

sendo

SzT =1

2

2∑λ=1

L∑i=1

σzλ,i.

A invariância por translação deve ser expressa para esse sistema como[Hleg, T

2]≡ 0,4

ou seja, essa simetria deve ser explorada transladando dois sítios, devido a alternância dos

acoplamentos entre os vizinhos mais próximos.

6.1 Diagonalização: Espectro de Energia, Gap e Dia-

grama de Fase

Fomos capazes de obter analiticamente o espectro de energia deste sistema. Utilizando trans-

formadas de Fourier de�nidas como nas Eqs. (4.10) e (4.11), a hamiltoniana (no espaço dos

3Aqui, o emprego do termo interação, não signi�ca uma interação efetiva entre os férmions da rede, pois ahamiltoniana da Eq. (6.3) representa um sistema de férmions livres. Na verdade, o termo Jjc

†i ci+n descreve

o processo de salto, em que um elétron, por exemplo, pode mover apartir do sítio i para o sítio i + n, comuma amplitude Jj preservando sua projeção de spin.

4Note que J1 = J2 �[Hleg, T

]= 0, ou seja, para um sistema não dimerizado, há invariânvia por

translação de um único sítio.

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CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 50

momentos) é:

Hleg =∑k∈BZ

(J1 + J2e

−i k) a†kbk +(J1 + J2e

i k)b†kak − 2J3cosk

(a†kak + b†kbk

), (6.4)

sendo BZ a primeira zona de Brillouin, que é dada pelas Eqs. (4.15) e (4.16).5

Esta hamiltoniana é facilmente diagonalizada através de uma transformação unitária,

sendo suas autoenergias dadas por:

ε(k) = ε±(k) = −J3cosk ±√J2

1 + J22 + 2J1J2cosk. (6.5)

O per�l típico dos espectros de energia é apresentado na Figura 6.3. Note que há duas

classes bastante distintas de espectros, um com gap direto (a) e outro com gap indireto (b).

Figura 6.3: Diagramas de dispersão típicos da hamiltoniana de duas duas pernas [Eq. (6.4)].

Nós determinamos, também, o diagrama de fase do modelo à temperatura nula, no limite

termodinâmico. Encontramos duas regiões distintas: uma região onde as excitações são nulas,

e uma outra o gap é não nulo e depende do valores de {Jj}. Estas regiões são apresentadas

na Figura 6.4. Note que, se as bandas estão sobrepostas (na Figura 6.3) o gap é, trivialmente,

nulo no limite termodinâmico (L� 1).

Analiticamente esse gap foi calculado analisando a concavidade, ddkε±(k), dos dois ramos

do espectro, bem como sua extremidades, ε±(π) = ε±(−π). Assim este gap é dado por

∆ = ε+(±π)−ε−(±π) para espectros com o per�l da Figura 6.3(a) e calculando ∆ = ε+(0)−ε−(±π) para espectros com as características da Figura 6.3(b). A comparação numérica foi

feita, no limite termodinâmico, preenchendo todos os níveis desocupados da banda inferior,

5Note que k = ilnΛ, sendo Λ os autovetores de T 2, sobre uma rede unidimensional com 2L sítios, análogoao encontrado para o modelo de Heisenberg.

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CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 51

energia do estado fundamental. E para o estado excitado, a �última� partícula colocada na

banda de baixo (i.e. a partícula com o maior valor de ε−) é então �movida� para a banda

superior (ocupando o menor valor de ε+).

Figura 6.4.: Diagramas de fase do modelo para baixas energias (T = 0) e grandes cadeias.

Note a simetria na troca dos acoplametos J1 � J2. A fase em azul claro possui gap dado

por ∆ = 2|J1−J2| e corresponde ao gap direto [Diagramas semelhantes ao da Figura 6.3(a)].

Enquanto que as duas fases simétricas em azul mais escuro tem gap ∆ = J1+J2+|J1−J2|−2J3,

e são provenientes de espectros com gap indireto [Diagramas análogos ao da Figura 6.3(b)].

A �m de comparar as autoenergias nós �zemos uma diagonalização exata da hamiltoniana.

A simetria U(1) permitiu a decomposição do espaço de Hilbert associado, em setores da

projeção da magnetização total, SzT . Nós comparamos nossa solução exata para cadeias no

intervalo de 2 ≤ L ≤ 7, (de quatro a catorze sítios), e para diversos valores particulares de

{Jj} resultando total equivalência com os resultados numéricos.

6.1.1 Casos Particulares

A hamiltoniana de�nida pela Eq. (6.1) possui diversos casos particulares, que possuem

soluções exatas bem conhecidas na literatura.

• J3 ≡ 0 e J1 = J2, nós obtemos a cadeia anisotrópica XX de comprimento 2L. Neste

caso temos que o gap de spin obedece uma lei de potência e é nulo no limite termod-

inâmico, conforme as Eqs. (4.22), (4.23) e (4.26).

• J3 ≡ 0 e J1 6= J2, temos ∆ 6= 0, como esperado. E ainda o gap é dado por 2|J1 − J2|,em acordo com a previsão do nosso modelo.

• J3 � 1, nós temos duas cadeias XX desacopladas, cada uma com tamanho L, onde

novamente temos gap nulo.

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CAPÍTULO 6. MODELO INTEGRÁVEL NA GEOMETRIA DE ESCADA 52

• J1 (J2) � 1, nós temos L (L − 1) dipolos não não interagentes, cadeias de dois sítios

não acopladas, onde o gap é 2J1 (2J2), como encontrado aqui.

En�m nossos resultados, para alguns casos particulares estão em acordo com o esperado.

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Capítulo 7

Conclusão

Neste trabalho �zemos um estudo do conhecido modelo de Ising; obtivemos a solução exata

deste modelo em uma dimensão e também encontramos sua magnetização, em particular para

o caso de spin-1/2 obtivemos a expressão exata para qualquer temperatura. Generalizamos a

magnetização do estado fundamental do modelo de Ising para spin-S. Encontramos o meca-

nismo de transição das fases magnéticas. Por �m, foi introduzido o modelo de Blume-Capel

(tornando o modelo de Ising um caso particular desse último), obtivemos a magnetização

do estado fundamental deste modelo e ainda analisamos qualitativamente a in�uência da

temperatura no per�l da magnetização.

Obtivemos de forma analítica o espectro de energia dos modelos XX e XXZ, e determi-

namos aspectos importantes destes modelos, como suas simetrias. Usamos a transformação

de Jordan-Wigner para mapear o modelo XX num modelo de partículas fermiônicas não

interagentes. Vimos que a hamiltoniana de partículas livres pode ser diagonalizada através

de uma transformada de Fourier simples. Conseguimos ainda encontrar a energia do estado

fundamental (e do primeiro estado excitado) do modelo XX de modo analítico, e veri�camos

o desaparecimento do gap de spin para o limite termodinâmico.

Motivados pela falta de soluções exatas em sistemas quânticos de spin em duas e três di-

mensões propomos um modelo com geometria de escada. Conseguimos mapear esse sistema

em um modelo de partículas livres (que é exatamente solúvel). Devido a este fato, fomos

capazes de obter analiticamente o espectro de energia deste sistema. Nós determinamos tam-

bém o diagrama de fase do modelo à temperatura nula. Encontramos duas regiões distintas:

uma região onde as excitações são nulas, e uma outra onde o gap é não nulo e depende do

valores dos acoplamentos, {Jj}.Finalmente �zemos uso do ansatz de Bethe para determinarmos o espectro de energia

do modelo XXZ. Nesta técnica as energias são determinadas resolvendo-se um conjunto de

equações não lineares, conhecidas como equações de Bethe.

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Referências Bibliográ�cas

[1] E. Dagotto, T. M. Rice, Science, 271, 618 (1996); e suas referências.

[2] E. Z. Ising, Physik 31, 253 (1925).

[3] S. R. Salinas, Introdução à Física Estatística, São Paulo, Editora da Universidade de

São Paulo (1997).

[4] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).

[5] H. A. Kramers e G. H. Wannier, Phys. Rev. 20, 252 (1941).

[6] A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism, New York, Editora Sprin-

ger (1998).

[7] H. A. Kramers e G. H. Wannier, Phys. Rev. 20, 263 (1941).

[8] R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, New York, Editora Aca-

demic (1982).

[9] P. Jordan e E. Wigner, Z. Physik 47, 631 (1928).

[10] E. H. Lieb, T. D. Schultz e D. C. Mattis, Ann. Phys. 16, 407 (1961).

[11] H. A. Bethe, Z. Physik 71, 205 (1931).

[12] C. N. Yang e C. P. Yang, Phys. Rev. 150, 321 (1966); ibid 150, 327 (1966).

[13] M. Blume, Phys. Rev. 141, 517 (1966).

[14] H. W. Capel, Physica (Utrecht) 32, 966 (1966).

[15] Y. L. Wang, K. Rauchwarger, Phys. Lett. A 59, 73 (1976).

[16] S. G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883 (1967).

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Page 61: Infis-Ufu · Agradecimentos Ao professor Xavier, pela dedicação com a minha iniciação cientí ca, pela grande paciência que teve comigo, pela exigência, sugestões, discussões

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 55

[17] F. Reif, Fundamentals of Statistical And Thermal Physics, New York, McGraw-Hill Book

Company (1965).

[18] F. B. Ramos, Diagonalização Exata de Hamiltonianas Quânticas, Monogra�a, Instituto

de Física, Universidade Federal de Uberlândia (2010).

[19] Y. Narumi, R. Sato, K. Kindo, M. Hagiwara, J. Magn. Magn. Mater. 177-181 (1998)

685.

[20] H. Kageyama, K. Yoshimura, R. Stern, N. V. Mushnikov, K. Onizuka, M. Kato, K.

Kosuge, C. P. Slichter, t. Goto, Y. Ueda, Phys. Rev. Lett. 82, (1999) 3168.

[21] M. Oshikawa, M. Yamanaka, I. A�eck, Phys. Rev. Lett. 78, 1984 (1997).

[22] C. Ekiz, H. Yaranery, J. Magn. Mater. 318, 49 (2007); e suas referências.

[23] D. Eloy, F. B. Ramos, Magnetic Properties in an Alternating Spin Ferromagnetic Ising

Chain, submetido ao J. Magn. Magn. Mater. (MAGMA-D-10-01273).

[24] W. Heisenberg, Z.Phys. 38, 441 (1926).

[25] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A 112, 661 (1926).

[26] W. Heisenberg, Z. Physik 49, 619 (1928).

[27] T. D. Schultz, D. C. Mattis e E. H. Lieb, Rev. Mod. Phys. 36, 856 (1964).

[28] E. Miranda, Braz. J. Phys. 33, 3 (2003).

[29] M. Gutzwiller, Phys. Rev. Lett. 10, 159 (1963).

[30] J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. (London) A 276, 238 (1963); ibid. A 277, 237 (1964).

[31] E. Dagotto, J. Riera, D. J. Scalapino, Phys. Rev. B 45, 5744 (1992).

[32] M. Azuma, Z. Hiroi, M. Takano, K. Ishida and Y. Kitaoka, Phys. Rev. Lett. 73, 3463

(1994).

[33] R. S. Eccleston, T. Barnes, J. Brody, J. W. Johnson, Phys. Rev. Lett. 73, 2626 (1994).

[34] E. H. Lieb e W. Liniger, Phys. Rev. 130, 1605 (1963).

[35] E. H. Lieb, Phys. Rev. 130, 1616 (1963).

[36] F. C. Alcaraz, M. J. Lazo, J. Phys. A: Math. Gen. 37, L1 (2004).

Page 62: Infis-Ufu · Agradecimentos Ao professor Xavier, pela dedicação com a minha iniciação cientí ca, pela grande paciência que teve comigo, pela exigência, sugestões, discussões

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 56

[37] M. T. Batchelor, Physics Today 60, 36 (2007).

[38] M. T. Batchelor, em Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier, Boston, p. 253

(2006).

[39] F. C. Alcaraz, Quantum chain applications in equilibrium and non-equilibrium statistical

mechanics, Separata (1996).

[40] F. C. Alcaraz, M. N. Barber e M. T. Batchelor, Ann. Phys. 182, 280 (1988).