Informatica Educativa I: Tarefa da Semana 4 (B): Projeto Final -Funcao Exponencial no GeoGebra

Sandro Alves de Azevedo

22 de setembro de 2014

Introducao

Uma estrategia que permite agilizar a construcao do conhecimento relacionado ao temafuncoes e o uso de softwares educativos que oferecem ambientes de geometria dinamica paravisualizacao grafica. O GeoGebra e um destes softwares que permite uma abordagem parao ensino de funcoes propiciando a transicao entre as linguagens grafica e simbolico-algebrica,contribuindo para uma compreensao mais significativa destes conceitos por parte dos estudantes.

Definicao do Projeto

Funcao Exponencial no GeoGebra 4.4.45.0 utilizando um roteiro com questionario a partirde observacoes dessa geometria dinamica para a apropriacao da aprendizagem dessa funcao.Ele e encontrado para baixar em http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Objetivos e Metas do Projeto

Trabalhar a funcao exponencial de uma forma interativa que ajude o aluno a compreendero comportamento desta funcao, relacionando o comportamento da mesma com a variacao deseus parametros.

Publico Alvo

Alunos do 1o ano do Ensino Medio Regular, sendo a maioria com faixa etaria de 15 anos.

Quando Utilizar

Ja tendo passado pelas funcoes afim, linear, constante, quadratica e modular, onde o softwareGeoGebra nao e mais estranho aos alunos, tendo sido trabalhado com atividades de analisedos parametros da funcao generalizada por meio da manipulacao de seus respectivos graficos,sera iniciado imediatamente ao fechamento dos estudos sobre funcao modular, provocando noassunto de funcoes exponenciais conjecturas a partir de analises preliminares dos alunos paradepois teorizarmos o objeto de estudo.

Local a Usar

Faremos uso preferencialmente no laboratorio de informatica da escola, prevendo que esteprecisara agrupar os alunos em duplas, devido ao numero de computadores insuficientes parauma possıvel turma de 35 a 40 alunos que e a realidade no Brasil.

Custo do Projeto

Com a gratuidade da acessibilidade ao software, sugerido para baixar em http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm, e nao precisar estar online para o seu uso, podemos utilizaros computadores do laboratorio informatizado da escola ou o laptop de cada aluno.

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Conteudo, orientacoes e questionario.

Metodologia

As funcoes exponenciais sao usadas para descrever a variacao de duas grandezas em que ocrescimento (ou decrescimento) da variavel independente e muito rapido ou muito lento. Seu es-tudo torna-se mais envolvente na medida em que se busca uma abordagem conceitual e graficadentro de varias aplicacoes no campo da ciencia. A estrategia para a implementacao dessaabordagem esta no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discussao e fundamentalpara que os alunos ganhem entendimento, desenvolvam a capacidade de comunicar matema-ticamente e reflitam sobre seu trabalho, aumentando seu poder de argumentacao. Faremosutilizacao de recursos computacionais com o auxılio do programa GeoGebra, constando de ro-teiro com questionario a partir de observacoes. O tempo estimado e de duas aulas (100 minutos).

Definicao

A funcao exponencial de base a, e uma funcao real definida por f(x) = ax (com a > 0 ea 6= 1), onde x pertence ao conjunto dos numeros reais. A funcao exponencial e crescente sea > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

A funcao exponencial e usada para descrever a variacao de duas grandezas em que o cresci-mento (ou decrescimento) da variavel independente e muito rapido ou muito lento. Seu estudotorna-se mais envolvente na medida em que se busca uma abordagem conceitual e grafica dentrode varias aplicacoes no campo da ciencia. A estrategia para a implementacao dessa abordagemesta no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discussao e fundamental para queos alunos ganhem entendimento, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente ereflitam sobre seu trabalho, aumentando seu poder de argumentacao.

Motivacao

Exemplo: Uma piscina tem capacidade para 100 m3 de agua. Quando a piscina esta com-pletamente cheia, e colocado 1 kg de cloro na agua. A agua pura (sem cloro) continua a sercolocada na piscina a uma vazao constante, sendo o excesso de agua eliminado por meio deum ladrao. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.Quequantidade de cloro restara na piscina 10 horas apos sua colocacao? E apos meia hora daaplicacao? E apos t horas?

O exercıcio acima e um tıpico exemplo de aplicacao da funcao exponencial. Comumentea resposta dada a primeira pergunta do problema e que, apos 10 horas, nao ha mais clorona piscina. Esta resposta resulta da aplicacao do modelo mais simples de variacao de umagrandeza, expresso por uma funcao afim. Segundo este, a variacao sofrida em cada intervalode 1 hora e sempre a mesma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100g de cloro, omesmo deveria ocorrer em cada uma das 9 horas seguintes, fazendo com que todo o cloro sejaeliminado nestas 10 horas. No entanto, essa solucao nao esta correta. Nao e razoavel admitirque a eliminacao de cloro dar-se-a uma taxa constante. De fato, e mais razoavel que esta taxadependa da quantidade de cloro presente na piscina; quanto maior a quantidade de cloro, maiscloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade, parece intuitivo que a quantidade elimi-nada por unidade de tempo seja proporcional a quantidade existente de cloro. Assim, a perdade cloro, nos perıodos consecutivos de 1 hora, nao e a mesma. O que e constante, em cada umdestes perıodos, e a variacao relativa, resultando numa reducao exponencial de cloro.

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Vamos explorar o caso mais completo em que a funcao e dada por y = b · axc + d,

sendo a, b, c e d numeros reais com a > 0, a 6= 1 e c 6= 0.

Vamos construir um arquivo GeoGebra que sera utilizado para analise desta funcao. Paraconstruir este arquivo, basta seguir os passos:

1. Abra o programa GeoGebra e escolha a opcao algebra e Graficos.

2. Em “Entrada”digite a = ControleDeslizante[−5, 5, 0.1, 1, 100, false, true, false, false];d “Enter”; clique com o botao direito do mouse sobre o objeto; em “Propriedades - Basico- Legenda”digite Numero a, ainda em “Propriedades”, clique em “Avancado”, na janelaque abrira digite no campo “Vermelho”a < 0; no campo “Verde”a = 0 e no campo“Azul”digite a > 0. Coloque o valor de a = 2.

3. Em “Entrada”digite b = ControleDeslizante[−10, 10, 0.1, 1, 100, false, true, false, false];d “Enter”; clique com o botao direito do mouse sobre o objeto; em “Propriedades - Basico -Legenda”digite Numero b, ainda em “Propriedades”, clique em “Avancado”, na janela queabrira digite no campo “Vermelho”b < 0; no campo “Verde”b = 0 e no campo “Azul”digiteb > 0. Coloque o valor de b = 1.

4. Em “Entrada”digite c = ControleDeslizante[−10, 10, 0.1, 1, 100, false, true, false, false];d “Enter”; clique com o botao direito do mouse sobre o objeto; em “Propriedades - Basico -Legenda”digite Numero c, ainda em “Propriedades”, clique em “Avancado”, na janela queabrira digite no campo “Vermelho”c < 0; no campo “Verde”c = 0 e no campo “Azul”digitec > 0. Coloque o valor de c = 1.

5. Em “Entrada”digite d = ControleDeslizante[−10, 10, 0.1, 1, 100, false, true, false, false];d “Enter”; clique com o botao direito do mouse sobre o objeto; em “Propriedades - Basico -Legenda”digite Numero d, ainda em “Propriedades”, clique em “Avancado”, na janela queabrira digite no campo “Vermelho”d < 0; no campo “Verde”d = 0 e no campo “Azul”digited > 0. Coloque o valor de d = 0.

6. Em “Entrada”digite f(x) = b∗aˆ(x/c)+d; d “Enter”; clique com o botao direito do mousesobre a funcao criada; va em “Propriedades”e formate a funcao aumentado espessura dalinha e escolhendo uma cor.

7. Clicando na funcao f(x) que aparece na “Janela Algebrica”, arraste-a para a “Janela deVisualizacao”.

8. Em “Entrada”digite : y = d; e d “Enter”; clique com o botao direito do mouse sobre afuncao criada; formate-a aumentando a espessura e escolhendo “Estilo-Pontilhado”; em“Basico-Exibir”escolha “Valor”, em “Legenda”digite Assıntota.

Manipulando a Funcao Exponencial no GeoGebra e respondendo um questionario

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Figura 1: Exemplo de Funcao Exponencial no GeoGebra

Apos a construcao do arquivo pelos alunos, tera um roteiro em que o aluno devera mani-pular os valores de a, b, c e d, analisando o comportamento da funcao e registrando as suasconclusoes. Teremos como objetivo levar o aluno aos resultados esperados.

E conveniente iniciar com o parametro d e relaciona-lo com a assıntota.

• O que ocorre com o grafico da funcao ao alterar o valor do parametro d?

• Qual a relacao entre o parametro d e a assıntota?

Ao analisar o comportamento do grafico da funcao com a alteracao do parametro d, o alunopercebera a consequente translacao vertical e que a assıntota tem equacao y = d.

Para analise do parametro b, algumas perguntas sao convenientes.

• Fazendo e alterando o valor de b, o que pode ser observado?

• Qual a relacao entre o valor de b e o ponto de intersecao entre a funcao e o eixo dasordenadas?

• Qual seria a resposta da pergunta anterior se d tambem fosse alterado?

O aluno devera observar que a funcao intersectara o eixo vertical no ponto (0, b + d).

O termo a1c trata-se da base da funcao exponencial f(x) = b ·ax

c +d. Convem, numa analisepreliminar, atribuir c = 1.

• Fazendo c = 1 e alterando o valor de a, o que pode ser observado?

O esperado e que o aluno distinga quando a funcao e crescente ou decrescente. E importantetambem questionar.

• O que ocorre com a alteracao do parametro c?

• Para a = 0.5, o que representa c?

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A intencao e que o aluno relacione com a velocidade de crescimento/decrescimento da funcao.O segundo item e uma oportunidade de esclarecer o significado de “meia-vida”. Sabemos quea meia-vida e a quantidade de tempo caracterıstica de um decaimento exponencial. Por exem-plo, quando uma pessoa ingere um medicamento, seu organismo tende a elimina-lo. O temponecessario para que metade desta substancia seja eliminada e denominado “meia-vida”.

Na definicao da funcao exponencial, e exigido que a > 0 e a 6= 1. Podemos tambem instigaros alunos a concluırem sobre qual e motivo de tal exigencia.

• O que ocorre com a alteracao do parametro a para a = 1?

• O que ocorre com a alteracao do parametro a para a = 0?

• O que ocorre com a alteracao do parametro a para a < 0?

A intencao e que os alunos observem que se a = 1 teremos uma funcao constante f(x) = b+d,se a = 0, a funcao nao fica definida para valores de x < 0 e para x > 0 ela sera uma funcaoconstante, portanto a funcao nao sera exponencial. Se a < 0, o grafico da funcao desaparece,indicando que nao e possıvel o valor de a ser negativo. E importante que o professor(a) soliciteaos alunos que deem exemplos para justificar a nao existencia da funcao exponencial se a basefor negativa, e caso nao consigam, apresente a eles alguns exemplos.

Finalizando podemos discutir sobre: Qual e o papel do software para o desenvolvimentodas atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitosenfocados, em relacao a abordagem convencional, isto e, sem o computador?

Referencia Bibliografica para o Projeto

GIRALDO, Victor et al. Recursos Computacionais no Ensino de Matematica, SBM. Rio deJaneiro, 2012.