Ing. Manuel Zamarripa Medina Academia de Matemáticas CENTRO DE … · 2020. 11. 12. · estudiante...

Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo

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Ing. Manuel Zamarripa Medina

Academia de Matemáticas CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS

Industrial y de Servicios 33 Correo: [email protected]

mailto:[email protected]


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Con profundo agradecimiento a nuestra benemérita escuela.

Puedes descargar gratuitamente estos apuntes y otros materiales

para el aprendizaje de las matemáticas del blog:

http://cetis33matematicas.blogspot.com/

Centro de Estudios Tecnológicos

Industrial y de Servicios N° 33

http://cetis33matematicas.blogspot.com/


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PROLOGO:

Estos apuntes de Matemáticas “Cálculo” fueron preparados como apoyo didáctico para que el estudiante se introduzca en la comprensión y dominio de esta rama de las matemáticas, consiste en una recopilación de temas a modo de una antología.

En los apuntes se expone la parte teórica correspondiente seguida de ejemplos resueltos, los cuales incluyen los pasos a seguir y las formulas empleadas, las cuales se disponen hacia el margen derecho de los ejercicios planteados. La solución de los ejercicios propuestos al estudiante es de vital importancia para la consolidación de los conocimientos adquiridos.

Como ayuda a los estudiante se han preparado también un Formulario de Matemáticas, al cual hay que reproducir por separado; y lecciones en video sobre los diferentes temas de matemáticas que se pueden consultar en el blog. Lo anterior porque para la solución de problemas se requiere del conocimiento o dominio de otras áreas de las matemáticas, tales como: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría.

Estos apuntes por tanto son para ser utilizados como un apoyo más en el estudio independiente de los estudiantes.

Esperando que este material sea de su agrado, estoy a sus órdenes para sus comentarios y sugerencias.

Ing. Manuel Zamarripa Medina


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ÍNDICE Página PROLOGO ------------------------------------------------------------------------------------- Lectura: Citas Matemáticas ---------------------------------------------------------------- 1. PRECÁLCULO ------------------------------------------------------------------------------------- 1.1 Antecedentes históricos -------------------------------------------------------------------- 1.2 Números reales --------------------------------------------------------------------------------- 1.3 Sistema de coordenadas --------------------------------------------------------------- 1.4 Intervalos ------------------------------------------------------------------------------ 1.5 Desigualdades --------------------------------------------------------------------------------- 2. FUNCIONES ------------------------------------------------------------------------------------- 2.1 Notación --------------------------------------------------------------------------------- 2.2 Operaciones con funciones---------------------------------------------------------------- 2.3 Clasificación ------------------------------------------------------------------------------- 2.4 Dominio y Contradominio ------------------------------------------------------------- 2.5 Comportamiento ----------------------------------------------------------------------- 3. LÍMITES ----------------------------------------------------------------------------------------- 3.1 Limite de una función ----------------------------------------------------------------- 3.2 Propiedades ------------------------------------------------------------------------------ 3.3 Continuidad de una función ---------------------------------------------------------- 4. LA DERIVADA ---------------------------------------------------------------------------------- 4.1 Razón de cambio promedio de interpretación geométrica --------------------- 4.2 Derivación de funciones------------------------------------------------------------------ 4.3 Formulas de derivación ------------------------------------------------------------- 4.4 Derivadas sucesivas ---------------------------------------------------------------- 4.5 Problemas de aplicación ------------------------------------------------------------- 4.6 Comportamiento --------------------------------------------------------------------

3 5 5 5 12 31 35 38 55 64 64 66 68 76 78 78 79 82 84 85 93 94 100 101 104


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Lectura de comprensión:

Citas y referencias sobre Matemáticas “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas

de razonamientos, todos sencillos y fáciles”.

René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.

Se recuerda a este francés extraordinario por su descubrimiento de la Geometría Analítica. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas. Como filosofo fue fundador del racionalismo, se le recuerda por su frase: “pienso, luego existo”.

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano. Galileo comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton. Su principal contribución a la astronomía fue el uso del telescopio para la observación y descubrimiento de las manchas solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y las fases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caída de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles.

Cultura Maya: la refinación en las ciencias

matemáticas, la astronomía y la arquitectura.

Calendario Maya: el más preciso de su tiempo.

Numeración Maya: sistema de numeración vigesimal, que incluía el concepto de cero.

El Calendario Maya: La medición del tiempo y el calendario astronómico más preciso de su tiempo.


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UNIDAD 1. PRECÁLCULO 1. 1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Introducción La palabra cálculo proviene del latín CALCULUS, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. Por la necesidad de contar objetos, se desarrollaron los primeros sistemas de numeración que inicialmente se basaban en la utilización de los dedos de las manos y pies, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se les presentaban a los seres humanos, los cuales se hicieron más complejos con el surgimiento de la civilización.

Cuando los seres humanos tuvieron necesidad de contar, surgieron las matemáticas; a la derecha un fragmento de las pinturas rupestres de Altamira al norte de España, con antigüedad de 15,000 años a.C. representando escenas de cacería.

Civilizaciones antiguas

En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano. Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema. Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.


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Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo 𝑥 + 𝑎𝑥 = 𝑏. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los hindús, aumentó el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, además que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma 𝑥2 = 1 + 𝑦2. En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, además de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma, 𝑥 + 𝑝𝑥 = 𝑞 , y 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 . Su avance fue tal que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema general. China sin duda tuvo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.

Renacimiento y matemáticas modernas

En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo. Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano. Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales diferenciales. Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias reconocidas en el ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales, y el cálculo de probabilidades.


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La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS, ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER. El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizarse estudios sobre el movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño. En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. Otros matemáticos destacan por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento del Cálculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente. JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME, conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula. ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco. NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.


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Por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”; “fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”.

El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”. La aportación que LEIBNIZ hace para el descubrimiento del cálculo, se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de BARROW, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los

símbolos 𝑑𝑥,𝑑𝑦

𝑑𝑥 , la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ.

AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta”, también se deben a CAUCHY. JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe

a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos. El símbolo tiende a “ → ” lo implantó J.G LEATHEM. Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal.

En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio,

Sir Isaac Newton (1642 – 1727) Inglaterra.- En 1672 escribe una obra inédita denominada Método de las Fluxiones, en la cual encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Alemania.- Descubrió y comenzó a desarrollar el Cálculo Diferencial en 1675 al estudiar el problema de las tangentes. Fue el primero en realizar publicaciones sobre la derivada; la notación de derivada que el invento, se sigue utilizando en la actualidad.


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por ejemplo; la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina: “Problema de las Tangentes” en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.

La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J. Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. Éste es el desarrollo que las matemáticas han obtenido desde que el hombre tuvo la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.

EL CÁLCULO es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. El cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros, economistas, biólogos, administradores y sociólogos entre otros profesionales puedan modelar situaciones de la vida real. Para los ingenieros y otros profesionistas es una herramienta invaluable por que mediante la Derivada se puede medir la rapidez con que se producen los cambios; se optimice el uso o aplicación de materiales, inversión, trabajo, etc. y se obtenga el máximo beneficio, resistencia, ganancia, etc. A la Integral se dan aplicaciones geométricas, para el cálculo de áreas y volúmenes; Físicas en la determinación de trabajo, presión de líquidos, lanzamiento de proyectiles, etc.; también tiene aplicación en procesos industriales, de economía y negocios entre otros; por lo cual el Cálculo como herramienta nos ayuda a una mejor calidad de vida.

EJERCICIOS:

Contesta correctamente en tu cuaderno las siguientes preguntas:

1. Realiza la lectura de comprensión de la página 5, selecciona una cita, escríbela y comenta sobre su significado.

2. De los antecedentes históricos del cálculo. Menciona el significado de la palabra cálculo.

3. ¿Qué bases dieron origen al cálculo diferencial?

4. Nombra a los fundadores del cálculo diferencial.

5. Describe la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo diferencial.

6. Escribe los conceptos que estableció NICOLAS ORESME en el estudio de los máximos y mínimos.

7. Escribe el estudio de ISAAC BARROW sobre el triángulo característico.

8. Explica los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las Fluxiones.


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Ventajas Comparativas Del Cálculo Diferencial


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1.2 NÚMEROS REALES Los números reales son la expresión numérica de los valores. Un número real es un valor que representa una cantidad.

Clasificación de los números reales.

Para su estudio, los números reales se clasifican en:

Números naturales. Son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.

𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … , 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, . . }

Números enteros. Comprenden a los números enteros negativos, cero y los números enteros positivos.

𝒁 = {… − 𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }

Números racionales. Son los números que se pueden representar como una fracción de enteros.

𝑸 = {𝒂

𝒃 𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎} Ejemplos: −

𝟑

𝟓 ;

𝟐

𝟕 ;

𝟔

𝟏𝟑 …

Números irracionales. Son los números que no se pueden expresar como una fracción de enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

𝝅 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐 … ; 𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏 … ; √𝟐 ; √𝟕

Notación:

El conjunto de los números reales se denota por

Al conjunto de los números naturales por N,

Al conjunto de los números enteros por Z,

Al conjunto de los números racionales por Q, y

Al conjunto de los números irracionales por I.

No son números reales:

Los Números imaginarios. Son aquellos que tienen radicando negativo.

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝒊 = √−𝟏

Los Números complejos. Son los números que resultan de sumar un número real con un número imaginario.

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝟐 + √−𝟏

Las Indeterminaciones, fracciones con denominador cero.

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔: 𝟑

𝟎 ;

𝟐 + √𝟓

𝟎 ;

𝝅

𝟎 ;

−𝟗

𝟎


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EJERCICIOS:

1. Completa la tabla siguiente:

2. Escribe, dentro del paréntesis de la derecha, V si la proposición es verdadera o F si es falsa.

a) Todos los enteros son racionales. ( )

b) 0.75 es racional y real. ( )

c) Los irracionales se expresan por medio de expansiones decimales infinitas ( )

d) Los racionales tienen decimales infinitos no periódicos ( )

e) El cero es irracional ( )

3. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales y por qué.

a) 7.466446644…

b) 2.1331333133331…

c) 1.4300…

d) 1.41352897….

( I )


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La Recta numérica o Recta Real:

La recta real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto. Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Ejemplo. Localiza sobre la recta real los siguientes valores: −𝜋, −3

2,

1

2 , √2, 𝜋

( - ) ( +) -π -3 -2 - 3/2 -1 0 ½ 1 √2 2 3 π

Propiedad de orden de los Números Reales: Una propiedad de los números reales es la de orden, llamada tricotomía, de la cual se derivan los siguientes signos: > “mayor que” > “menor que” = “igual a” Expresiones como a > b, a < b, a ≥ b se llaman desigualdades.

Cantidades constantes y variables:

Constantes son cantidades que conservan siempre un valor fijo (son un solo número); por ejemplo: 5, √3, ½, π, -2, etcétera. Variables son cantidades que representan un número cualquiera del conjunto de números; por ejemplo: x, y, z, φ, θ, etcétera.

Combinaciones: ≥ “mayor o igual a” ≤ “menor o igual a”


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Ejemplo 1.- Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas temperaturas se le puede representar por la letra L (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por la letra T (inicial de temperatura). Las letras L y T son variables. Ejemplo 2.- Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos por la letra x, y al conjunto de las ordenadas por la letra y, pues es una convención internacional. Las literales x, y son variables. Par Ordenado Definición. Se llama par ordenado o pareja ordenada a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. Un par ordenado de componentes o distancias ortogonales a los ejes coordenados x, y se denota por (x, y) A partir de dos objetos x, y se forma un nuevo objeto (x, y) llamado par ordenado. En general a "x" se le llama primera componente o abscisa y a "y" se llama segunda componente u ordenada. Intuitivamente, dos pares ordenados son iguales sí y sólo sí son iguales sus primeras componentes y sus segundas componentes. (x, y) = (u, v) sí y solo sí x = u, y = v. Producto Cartesiano Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Ejemplo.- Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece así una relación de correspondencia entre Rx (abscisas) y Ry (ordenadas): el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x, y); Los números en un par ordenado son llamados coordenadas.


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Valor absoluto de un número

El Valor absoluto de un número real a, se escribe como |a| y siempre es una magnitud positiva.

|𝑎| = 𝑎 si a es cero o un número positivo

|−𝑎| = 𝑎 si a es un numero negativo

El Valor Absoluto de un número es la distancia siempre positiva de un número desde cero en una recta numérica. Ejemplo:

І -4 І = 4 І 4 І = 4

Propiedades del valor absoluto

1. Multiplicación |𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏|

2. División |𝑎

𝑏|=

|𝑎|

𝑏

3. Potencia |𝑎𝑛| = |𝑎|𝑛

4. Raíz cuadrada √|𝑎2| = |𝑎| Ejemplos.- Realiza las siguientes operaciones:

a) |−3| + 9 = 12

b) |−𝑦| (2𝑦) = 2𝑦2

c) (3)|−6|

2=

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2= 9

d) (−5) |6|

|−3|=

−30

3= −10

e) |−2| (8+4)

−4=

2(12)

−4=

24

−4− 6

І -4 І = 4 І 4 І = 4 -4 0 4


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EJERCICIOS:

1. Localiza sobre la recta real los siguientes números: -4, 3

2 , 5, √9 , −

1

2 , 1, 2𝜋, −𝜋

2.- Propiedad de los números reales. Indica los signos correspondientes entre los números de las dos columnas que se indican. Ejemplo 2 < 6

a) 8 5

b) ½ 0.5

c) X2 0

d) 32 6

e) -(42) 8

3.- Define: a) constante, b) variable

4. Realiza las siguientes operaciones:

a) |−8| + 8 =

b) |−𝑥| (𝑥) =

c) 2|−9|

6=

d) −3 |8|

|−2|=

e) |−4| (8+7)

−3

f) |−34|=

g) |−3| − 9 =

h) √|−92|

i) (|−5| + 3)(|4| − 6) =

j) |−10| − |−4|

3 ( |−2|−4)=


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Operaciones con los números reales

Hay cinco operaciones importantes en los números reales: suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. La exponenciación significa elevar un número real a una potencia, por ejemplo 32 = 3 ∙ 3 = 9 ; 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Orden de las operaciones

1. Resolver signos de agrupación ( ), [ ], { }

2. Resolver exponentes o raíces,

3. Multiplicar y dividir de izquierda a derecha,

4. Sumar y restar de izquierda a derecha.

Ejemplo 1: 2 + 7 · 8 / 2 2 + 56 / 2 Se multiplicó 7 · 8 2 + 28 Se dividió 56 / 2 30 Se sumó 28 + 2 Cuando hay un paréntesis ( ), llave { } y corchete [ ], hay que resolver lo que está dentro de estos símbolos, antes de efectuar alguna otra operación. Ejemplo 2: 5 · (9 – 6) + 8 Se resuelve el paréntesis 5 · 3 + 8 Se restó 9 – 6 = 3 15 + 8 Se multiplicó 5 · 3 23 Se sumó 15 + 8 Ejemplo 3: 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 Primero, se resuelve el [ ] 2 [ -6] + 8 / 2 Se multiplicó 6 · -1 -12 + 8 / 2 Se multiplicó 2 · -6 -12 + 4 Se dividió 8 / 2 -8 Se sumó –12 + 4 Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro hacia fuera.


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Ejemplo 4: 2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] Como el paréntesis está adentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete. 2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 2 [ 6 – 3 + 8 ] 2 [ 3 + 8 ] 2 [ 11] = 22 Ejemplo 5: 3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] } 3 { 4 – [ 6 · 2 (4) + 1 ] } 3 { 4 – [ 12 (4) + 1 ] } 3 { 4 – [ 48 + 1 ] } 3 { 4 – [ 49 ] } 3 { -45} = -135 Ejemplos con exponente: 1) 9 { 2 – [ 6 + (4)2 + 8 ] } 9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] } 9 { 2 – [ 22 + 8 ] } 9 { 2 – 30 } 9 {-28} -252 2) 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )2 – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )2 – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] } 3 { 6 – [ 21 ] } 3 { -15 } -45


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EJERCICIOS:

Resuelve las siguientes operaciones:

5. 𝟐{𝟖 + [𝟓 + 𝟑(𝟐 + 𝟑)𝟐 − 𝟑𝟎]} =

6. 5{𝟑 [𝟐 −(𝟔+𝟑)𝟐

𝟐+ 𝟓]} =


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Notación Exponencial Para las operaciones con potencias se deben considerar las siguientes reglas.

an = a ∙ a ∙ a … . n factores Se lee "a" a la enesima potencia

Dónde: n = exponente a = base

am ∙ an = am+n

Para multiplicar: sumar exponentes

am

an= am−n

Para dividir: restar exponentes

an

an= an−n = a0 = 1 ; con a ≠ 0

Todo número diferente de cero elevado a la potencia 0 es 1

1

an= a−n , o bien a−n =

1

an

Pasando del numerador al denominador y viceversa, se cambia el signo del exponente

(am)n = am∙n

Para una potencia de potencia: multiplicar exponentes

Radicales:

0b b

a

ab b

n

nn

n

n

n

b

a

a

aan n

Cambio de notación radical a potencia:

√𝒂𝒎𝒏

= 𝒂𝒎

𝒏

√𝒂𝒏

= 𝒂𝟏𝒏

Ejemplos:

1. Desarrolla las siguientes potencias como producto de factores:

a) (- 7)3

b) (- 2)5 ⋅ 32

c) 4-3

d) X-2

Solución:

a) (- 7)3 = (− 7) ⋅ (− 7) ⋅ (- 7) = -343

b) (- 2)5 ⋅ 3

2 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ 3 ⋅ 3= -288

c) 4-3 = 1 = 1 = 1_ 43 4·4·4 64 d) X-2 = 1 = 1_ X2 X·X


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EJERCICIOS:

1. Desarrolla las siguientes potencias como producto de factores:

a) (- 3)5

b) (- 4)3 ⋅ 24

c) 6-2

d) X-3

2. Expresa el resultado como potencia única:

a) [ ( -7)−2 ]

3

b) ( -2)5 ⋅ ( -2)

0 ⋅ ( -2)-3 ⋅ ( - 2)

c) 6 2⋅ (− 2)

2 ⋅ 3 2

Solución:

a) [(- 7)−2 ]

3 = ( - 7 )

−6

b) (- 2)5 ⋅ (- 2)

0 ⋅ (- 2)-3 ⋅ (- 2) = (- 2)

3

c) 62 ⋅ (− 2)

2 ⋅ 32 = [6 ⋅ (− 2) ⋅ 3]

2 = (− 36)2

3. Escribe en forma de potencia las siguientes raíces:

a) √𝟑

b) √𝟓𝟑

c) √𝒙𝟑𝟒

d) √𝒚𝟗𝟕

Solución:

a) √3 = 31

2

b) √53

= 51

3

c) √𝑥34

= 𝑥3

4

d) √𝑦97

= 𝑦9

7

4. Escribe en forma radical:

a) 𝟒𝟏

𝟗

b) 𝒙𝟏

𝟒

c) 𝒚𝟑

𝟐

d) 𝒂𝟒

𝟓

Solución:

a) 𝟒𝟏

𝟗= √𝟒

𝟗

b) 𝒙𝟏

𝟒 = √𝒙𝟒

c) 𝒚𝟑

𝟐 = √𝒙𝟑

d) 𝒂𝟒

𝟓 = √𝒂𝟓𝟒


23

2. Expresa el resultado como potencia única:

a) [ ( -5)−3 ]2

b) ( -3)4 ⋅ ( -9)0 ⋅ ( -4)-2 ⋅ ( - 3)

c) 3 3⋅ (− 4)2 ⋅ 2 2

d) 70+2-2 3. Escribe en forma de potencia las siguientes raíces:

a) √93

b) √𝑥4

c) √335

d) √855

4. Escribe en forma radical:

a) 83

5

b) 51

3

c) 𝑥5

2

d) 𝑦2

3


24

Conjuntos Conjunto es una lista o colección de objetos bien definidos. Estos objetos pueden ser números, personas o cosas. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplo de conjuntos: Notación o simbología.- los conjuntos se denotan por letras Mayúsculas A, B, X, Y …; al conjunto universal o total de todas las cosas, se le asigna la letra 𝑼 . Por ejemplo, en el caso de las letras del abecedario, el conjunto universal es el de todas las letras:

𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧}

Algunos de los símbolos más utilizados en notación de conjuntos son los siguientes:

a) Los números 1,3,7 y 10 b) Los números 2, 4, 6, 8…. c) Los ríos de México

. . .

ε

ε φ

U

∩

C C

R

Llaves indican principio y fin de un conjunto. Cuando se listan los elementos de un conjunto deben estar separados con comas; por ejemplo: A = { 3, 5, 9 } Indican continuación de un patrón; ejemplo: B = { 5, 10, 15 . . . 85, 90 } Al final indican un conjunto infinito; por ejemplo: C = { 2, 4, 6, 8 . . . } “Pertenece a” o bien “es elemento de”; ejemplo: si A = { 3, 5, 9 } , entonces

5 ε A porque 5 está en el conjunto A. “No pertenece a” o bien “no es elemento de”; ejemplo: si C = { 2, 4, 6, 8 . . . }

entonces 5 ε C Conjunto vacío (sin elementos) “Unión de conjuntos”; ejemplo: si 𝐸 = {1,3,5} y 𝐹 = {4,6,8}, entonces

𝐸 ∪ 𝐹 = {1,3,4,5,6,8}

“Intersección de conjuntos”; ejemplo: si 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} y 𝐷 = {𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} , entonces 𝐶 ∩ 𝐷 = {𝑑, 𝑒} “Es subconjunto de”; ejemplo: si A = { 3, 5 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces A C B “ No es subconjunto de”; ejemplo: si D = { 2, 3 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces D C B “El conjunto de los números reales”


25

Ejemplos:

1. Escribe en notación de conjuntos las afirmaciones siguientes:

a) v pertenece al conjunto M 𝑣 𝜖 𝑀

b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H 𝐻 ⊂ 𝑇

c) Entre los elementos del conjunto G no está el numero 2 2 ∉ G

d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A Z ⊂ A

e) El conjunto X no es subconjunto del conjunto K X ⊂ K

f) El conjunto H es un subconjunto del conjunto L H ⊂ L 2. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ o ∉:

a) 2 ∉ {1,3,5,7},

b) 5 ∈ {2,4,5,6},

c) 2 ∉ {4,5,6,7},

d) 0 ∈ ℝ

e) 8 ∈ ℕ. 3. Sea M= {r, s, t, u }. Indica cuales de las afirmaciones siguientes son correctas. Si alguna es incorrecta, decir el por qué:

a) a ∈ M b) r ⊂ M c) {r,s} ∈ M d) {r,s } ⊂ M 4. Consideremos el conjunto A={r , s ,m, e }. Indica si las expresiones son correctas:

a) c ∈ A, Incorrecto

b) {r, c, m} ⊂ A, Incorrecto

c) {m} ⊂ A, Incorrecto

d) {e, m, r } ⊂ A Correcto

e) {s, e } ∈ A Incorrecto

f) {s, e } ⊂ A Correcto

Incorrecto: a no pertenece a M Correcto Correcto

Incorrecto: r y s forman un subconjunto de M


26

EJERCICIOS:

1.- Escribe en notación de conjuntos:

a) el conjunto A de los números nones positivos

b) el conjunto D los días de la semana

c) el conjunto B de las personas mayores de 200 años

d) el conjunto de los números del 1 al 100.

2.- Escribe las siguientes expresiones en notación de conjuntos:

a) x no pertenece a B

b) a no pertenece a D

c) A es un subconjunto de C

d) D no es subconjunto de E

e) X pertenece al conjunto de los números reales

3.- Dados los siguientes conjuntos, indica entre las dos columnas el símbolo de correspondencia que se requiera:

A = {2,4,6,8,10,12,14} 𝐵 = {4,6,8} 𝐶 = {1,3,5}

a) Ejemplo: 3 ∈ C 3 pertenece a C

b) 15 A

c) B A

d) 5 C

e) C A


27

Diagramas de Venn Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos. Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto V de las letras vocales”, expresarlo por medio de un diagrama de Venn. Operaciones con conjuntos Al conjunto universal U que contiene a todos los elementos considerados en un estudio. Gráficamente se le representará en los diagramas de Venn mediante un rectángulo. La unión de conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B. Esto es:

Ejemplo. A = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi} B = {durazno, melón, plátano, uva, pera, kiwi} A ∪ B = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi, durazno, melón, plátano} La intersección de conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A ∩ B. Esto es: Ejemplo. A = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi} B = {durazno, melón, plátano, uva, pera, kiwi} A ∩ B = {uva, pera, kiwi }


28

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo: A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} E = {limón, fresa, pera, mandarina, cereza} A ∩ E = ɸ El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A' . Esto es:

Ejemplo. U = {mango, kiwi, ciruela, uva, pera, naranja, cereza, manzana, sandía, durazno, limón, melón, plátano} A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} A' = {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano} En este ejemplo se puede notar como ƞ(A)+ ƞ (A' ) = ƞ (U ) (Siendo ƞ el número de elementos) De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:

(A' )' = A

ɸ ' = U

U ' = ɸ


29

La diferencia de conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A - B . Esto es:

Ejemplo. A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A - B = {mango, ciruela, manzana} B - A = {durazno, melón, plátano}

Se puede advertir como A - B ≠ B - A . Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:

A - B = A ∩ B' A - B = ɸ, sí y sólo sí : A ⊂ B A - B = B - A, sí y sólo sí : A = B A - B = A, sí y sólo sí : A ∩ B = ɸ (A - B) ⊂ A A - ɸ = A A - B = B'-A'

Los conjuntos A - B, A∩ B, B - A son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío).


30

Ejemplo.

Sean los conjuntos: U = {a, b, c, d ,e, f , g, h, i, j ,k ,l ,m, n} A = {a, d ,e, g, h, k ,l ,n} B = {a, c, f ,g, k ,l ,m}

Obtener:

Solución:

EJERCICIOS:

1. Empleando diagramas de Venn, determina la intersección de los conjuntos A y B

U{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝} A{𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑘, 𝑙, 𝑛} B{𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑘, 𝑚, 𝑜, 𝑝}

2. Empleando diagramas de Venn, determina la Unión de los conjuntos P y Q U{1,3,5,7,9,11,12,15,16,18,20,21,24,26,27,29} P{3,5,9,12,16,21,24} Q{1,3,5,11,15,20,27}

3. Dados los conjuntos: U{silla, banca, mesa, vaso, plato, sartén, taza} C{𝑚𝑒𝑠𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑜, 𝑡𝑎𝑧𝑎} D{𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎, 𝑚𝑒𝑠𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑜, 𝑏𝑎𝑛𝑐𝑎}

a) Determina C’ b) Determina D’ c) C - D


31

1.3 SISTEMA DE COORDENADAS

El plano cartesiano Así como se pueden representar números reales mediante puntos sobre una recta también se pueden representar pares ordenados de números reales mediante puntos en un plano llamado sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, denominado así en honor del matemático francés René Descartes (1596-1650).

El plano cartesiano se forma usando dos rectas de números reales que se intersecan de manera perpendicular, como se muestra en la figura La recta numérica horizontal se denomina eje x y la vertical es el eje y. El punto de intersección de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cuatro partes a las que se les llama cuadrantes.

Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado (x, y) de números reales y llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa la distancia dirigida desde el eje al punto y la coordenada y representa la distancia dirigida desde el eje al punto, como se muestra en la figura.


32

Trazo de puntos en el plano cartesiano

Ejemplo 1. Localiza los puntos (-1, 2), (3, 4), (0, 0), (3, 0) y (-2, -3).

Solución

Para localizar el punto (-1, 2) imagina una recta vertical que pasa por -1, en el eje x y una recta horizontal que pasa por 2, en el eje y. La intersección de estas dos rectas es el punto (-1, 2) Los otros cuatro puntos se pueden trazar de manera similar, como se muestra en la figura. Ejemplo 2. En la tabla se muestran las utilidades (ganancias “g”) en millones de pesos de la empresa “Electro componentes S. A.”, para el periodo 2005-2012, dibuja una gráfica de dispersión de los datos.

Solución Para dibujar una gráfica de dispersión de los datos mostrados en la tabla, simplemente, representa cada par de valores mediante un par ordenado “tiempo, ganancia” (t, g) y dibuja los puntos resultantes, como se muestra en la figura. Por ejemplo, el primer par de valores está representado por el par ordenado (2005, 950).

La gráfica de dispersión del ejemplo 2 es una forma de representar los datos de manera gráfica. Los datos también se pueden representar utilizando una gráfica de barras o una gráfica poligonal si los puntos resultantes se unen. Por qué se debe aprender esto: El plano cartesiano se puede usar para representar relaciones entre dos variables como en este caso tiempo y ganancia, en general las gráficas que representan relaciones entre dos datos se basan en el plano cartesiano.

AÑO ( t ) MILLONES $ ( g )

2005 950

2006 960

2007 990

2008 750

2009 500

2010 780

2011 800

2012 820


33

Gráfica de una ecuación en el plano cartesiano.

Una ecuación de dos variables, por ejemplo como 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 expresa una relación entre dos cantidades. Un punto

(x, y) satisface la ecuación si al sustituir sus valores x, y en la ecuación, la igualdad resulta verdadera.

La grafica de una ecuación con X y Y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano coordenado que satisfacen

la ecuación.

La gráfica de una ecuación es genéricamente una curva, de modo que para graficar una ecuación se determinan y

trazan tantos puntos como sean necesarios, y luego se unen por medio de una línea suave.

Ejemplos. Traza las gráficas que representen las soluciones a cada una de las siguientes ecuaciones.

a) y=2x

b) y=x2-2

a) Ecuación Y=2X

Por tabulación, proponemos valores de X y calculamos los de Y, los valores así obtenidos son los pares ordenados,

puntos que utilizamos para graficar.

X

Y=2X

Par ordenado

-3 Y=2(-3)= -6 (-3,-6)

-2 Y=2(-2)= -4 (-2,-4)

-1 Y=2(-1)= -2 (-1,-2)

0 Y=2( 0 )= 0 (0, 0)

1 Y=2( 1 )= 2 (1, 2)

2 Y=2( 2 )= 4 (2, 4)

3 Y=2( 3 )= 6 (3, 6)

b) Ecuación 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐 . Determinamos por tabulación algunos puntos que satisfagan la ecuación, a

continuación graficamos estos puntos y los unimos mediante una curva suave. Una curva con esta forma se

llama parábola.

Nótese que en ambos casos los criterios para proponer los valores de x, son graficar una porción de la gráfica de la

función en rededor del valor x=0, es decir en la intersección de la curva con el eje Y, donde el valor de la coordenada

x es 0.


34

EJERCICIOS:

1. Determina las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano.

2. Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos y únelos:

3. Dadas las siguientes ecuaciones, elabora las gráficas correspondientes:

a) Y=3x+2

b) Y=-2x+3

c) Y= 2x2-3

d) Y=x2+5


35

1.4 INTERVALOS

Intervalo de una variable es el campo de variación o conjunto de números que representa; por ejemplo:

a) Si X es un libro de un conjunto formado por 10 libros, el intervalo de X es el conjunto { 1, 2, … 10 }

b) Si X es un día del mes de Julio, el intervalo o campo de variación de X es el conjunto {1, 2, 3, … 31 }

c) Si X es la cantidad de agua en litros que se puede sacar de un depósito lleno de 10 litros, su campo de variación es el intervalo 0 ≤ X ≤ 10 Notación de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados, según contengan o no a sus puntos extremos. Intervalo Cerrado es el conjunto de puntos o números que si considera a los puntos extremos. Por ejemplo sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo cerrado [ a, b ] representa el conjunto de valores de la variable X tal que a ≤ X ≤ b.

[ ] Campo de variación de X

(Los valores que puede tomar X incluyendo los extremos)

Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo cerrado [ -5 , 3 ] Gráfica Desigualdad

[ ] -5 ≤ X ≤ 3 -5 0 3 Intervalo Abierto es el conjunto de puntos o números que no considera a los puntos extremos. Por ejemplo sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo abierto ( a, b ) representa el conjunto de valores de la variable X tal que a < X < b.

( ) Campo de variación de X

(Los valores que puede tomar X sin incluir los extremos)

Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo abierto ( 2 , 6 ) Gráfica Desigualdad

( ) 2 < X < 6 0 2 6

Puntos extremos

a b

Puntos extremos

a b


36

Intervalo Mixto es el conjunto de números que considera un extremo cerrado y otro abierto. Por ejemplo los intervalos: (2 , 8] y [-3, 6) son mixtos por que contienen un extremo cerrado y otro abierto.

Intervalo Infinito.- cuando alguno de los puntos extremos se denota como abierto ∞ se trata de un intervalo infinito, este puede ser ( + ) ó ( - ).

Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo ( -2 , +∞ ) Gráfica Desigualdad

( +∞ - 2 < X -2 0 Ejercicios resueltos.- dada la expresión matemática representar en forma gráfica y en forma de desigualdad los siguientes intervalos: Notación Gráfica Desigualdad

a) (-3 , 5]

b) (-4 , +∞)

c) ( -∞ , 6] d) (2 , 8)

e) (-∞ , +∞)

( ] -3 0 5 (

-4 0 +∞ ] -∞ 0 6 ( ) 0 2 8

-∞ 0 +∞

-3 < X ≤ 5 -4 < X X ≤ 6 2 < X < 8

-∞ < X < +∞ ó también:

X ε R “ X pertenece al conjunto de los números reales”


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En síntesis, existe una notación o simbología propia para expresar el conjunto de números que una variable puede tomar, estos conjuntos de números se denominan intervalos y pueden ser cerrados o abiertos, dependiendo si toman o no sus valores extremos; existen diferentes formas de expresar estos conjuntos de números llamados intervalos, la tabla siguiente nos muestra los distintos tipos de intervalos y su forma de expresión.

EJERCICIOS: I. Expresa cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalos y representa su gráfica. 1) -2 < X ≤ 2 2) -3 ≤ X ≤ 1 3) 0 < X 4) X ≤ 5 5) -3 < X 6) -50 ≤ X < 25 7) 8 < X 8) -4 ≤ X ≤ 10 9) X ≤ 7 10) 4 ≤ X II. Para cada situación planteada, represéntala por medio de intervalos, desigualdad y en forma gráfica.

1) A una escuela asisten niños de entre 6 y 14 años de edad. 2) Para el transporte urbano los niños pagan tarifa desde los 4 años. 3) El partido de futbol americano va a durar menos de 3 horas. 4) Se recomienda trabajar con la computadora por espacio de 3 horas como máximo. 5) En una ciudad de Canadá durante el invierno, la temperatura varía entre -10°C y 8°C 6) Para que los alimentos se conserven en buen estado, deben estar por debajo de -1°C 7) Un comerciante llega a tener pérdidas hasta de 200 y ganancias hasta de 1500 pesos diarios.


38

1.5 DESIGUALDADES Antecedentes Una propiedad de los números reales es la de orden, llamada tricotomía, de la cual se derivan los siguientes signos: > “mayor que” > “menor que” = “igual a”

Expresiones como a > b, a < b, a ≥ b se llaman desigualdades

Constantes son cantidades que conservan siempre un valor fijo (son un solo número); por ejemplo: 5, √3, ½, π, -2, etcétera. Variables son cantidades que representan un número cualquiera del conjunto de números; por ejemplo: x, y, z, φ, θ, etcétera. Ejemplo 1.- Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas temperaturas se le puede representar por la letra L (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por la letra T (inicial de temperatura). Las letras L y T son variables. Ejemplo 2.- Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos por la letra X, y al conjunto de las ordenadas por la letra Y, pues es una convención internacional. Las literales X, Y son variables.

Desigualdades de primer grado en una variable La expresión 𝑎 ≠ 𝑏 significa que " a " no es igual a " b ".

Según los valores particulares de a y de b, puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a - b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a - b es negativa.

La notación 𝑎 ≥ 𝑏 , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notación 𝑎 ≤ 𝑏 que se lee “a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que 𝑎 = 𝑏 pero no ambos.

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >, 3

2) a < 10

3) 𝑏 ≥ 5

4) 𝑥2 ≤ 8

Combinaciones: ≥ “mayor o igual a” ≤ “menor o igual a”


39

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:

· Todo número positivo es mayor que cero · Todo número negativo es menor que cero · Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto · Si a > b entonces b < a . Los signos > ó < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

· Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x

· Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x -15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x .

Propiedades de las desigualdades: Sean a, b, c tres números reales.

I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro.

Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c .

Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 , ya que: 9 > 5

2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 - 5 > 8 - 5 , ya que: 11 > 3

Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.

Ejemplo.

8x - 4 > 3x - 9

8x - 3x > -9 + 4

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.

Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 y que 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐


40

Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5·3 > 2·3 , ya que 15 > 6

2) Si a la desigualdad 36 > 28 se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 36

4>

28

4 , ya que

9 > 7 III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a · c < b · c y que 𝒂

𝒄<

𝒃

𝒄

Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por - 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 6(− 4) < 3(− 4), ya que -24 < -12

2) Si a la desigualdad 16 >10 se divide por - 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16

−2<

10

−2 , ya

que - 8 < -5 Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo.

- 6x +18 < 2 - 4x multiplicando los dos miembros por -1, e invirtiendo el signo:

6x -18 > -2 + 4x


41

Representación de una desigualdad Una desigualdad se puede expresar en forma de expresión matemática, en notación de intervalos y en forma gráfica; todo ello para expresar el conjunto de números que cumplen o satisfacen la desigualdad. En la siguiente tabla se presentan estas formas de expresión de las desigualdades, nótese que en la forma gráfica se presentan dos formas donde la diferencia es la representación de los extremos.

Intervalo cerrado: corchete o punto relleno,

Intervalo abierto: paréntesis normal o punto hueco.

Desigualdades lineales con una variable Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se procede de la misma manera como en una ecuación lineal: se despejan los términos con variable al primer miembro (lado izquierdo) y se reduce la variable; los términos sin variable se despejan al segundo miembro (lado derecho) y se reducen, tomando en consideración las propiedades de los signos.


42

Ejemplos:

1. Resuelve la desigualdad 6x − 10 > 3x + 5

2. Determina el intervalo y grafica el conjunto solución de la desigualdad: 2x − 6 + 3x ≥ 8x + 21.

Por la propiedad II

Por la propiedad III

3.


43

4.

5.

Por la propiedad II

Por la propiedad II


44

EJERCICIOS:

Determina el conjunto de solución para las siguientes desigualdades:


45

Desigualdad cuadrática con una variable Método por casos Para encontrar el conjunto solución, se factoriza la expresión cuadrática, la expresión que se obtiene se divide en casos, a los que se hace un análisis de signos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.


46

Método por intervalos Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan valores que hagan cero a cada factor, entonces los valores se indican en la recta numérica y se forman los intervalos a analizar.


47

Desigualdades racionales En este tipo de desigualdades se analiza el signo del numerador y del denominador, para obtener el signo del cociente, según sea la desigualdad dada. Ejemplos:

Método por casos

La desigualdad dada se transforma a otra, la cual se compara con cero y se analizan los signos del cociente.

Ejemplo.

1.

2.

Multiplicando la desigualdad por -1,


48


49

Desigualdades con valor absoluto Entre las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquellas que contienen valores absolutos. Veamos antes la definición de valor absoluto. Definición: El número no negativo |𝒙| se llama el valor absoluto de x y representa la distancia en la recta real que hay entre el punto cuya ordenada es x y el origen (0,0), sin importar la dirección. Entonces el valor absoluto es un número siempre positivo Propiedades básicas del valor absoluto


50

Ejemplos:


51


52


53


54

EJERCICIOS: Resuelve las siguientes desigualdades y representa graficamente las soluciones.


55

UNIDAD 2. FUNCIONES Antecedentes: Concepto de relación y función

Uno de los conceptos más útiles en matemáticas es el de relación y, como caso particular, el de función. Estas palabras no tienen en matemáticas el mismo significado que en la vida ordinaria cuando decimos, por ejemplo, "la función de la escuela es educar" o bien "la relación entre dos países es satisfactoria", etcétera.

Las palabras relación y función implican la idea de una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, la formación de "parejas ordenadas de objetos" cualesquiera: personas, números, figuras geométricas, etcétera.

En una Relación a cada elemento de un conjunto A se le puede asignar uno o más elementos del conjunto B. En una Función a cada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del conjunto B.

Ejemplos:

1. Los asientos de un teatro se localizan por una letra (fila) y un número (asiento). Así decimos: tenemos la localidad (A, 4) o la localidad (D, 10), etcétera. Son parejas ordenadas (primero la fila y después el número) de un conjunto de letras y un conjunto de números. Esta correspondencia se trata de una relación porque a una misma fila le corresponden varios asientos.

2. Si hacemos corresponder a cada número natural su doble tendremos las parejas (1,2), (2, 4), (3, 6), etcétera. Esta correspondencia es una función porque ninguna pareja tiene igual el primer elemento.

3. De la misma manera se dice que la longitud de una circunferencia es función del radio, que el espacio recorrido por un móvil es función del tiempo, etcétera.

Si a cada elemento de un conjunto A se le puede hacer corresponder exactamente otro elemento de un conjunto B se dice que B es función de A.

La manera de establecer la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos es arbitraria pero debe estar perfectamente definida. Se puede expresar por una ecuación o fórmula, por una gráfica, mediante una regla, etcétera.

Los elementos de los conjuntos A y B pueden pertenecer a un mismo conjunto que, en Cálculo, suele ser el conjunto de los números reales, es decir, A y B suelen ser generalmente conjuntos de números reales. Si los conjuntos son de elementos geométricos la palabra función se suele sustituir por "aplicación".

Definición de función Se tiene una función cuando dos variables están relacionadas de tal manera que para cada valor de una, la otra depende tomando un solo valor, en:

Y = 5X2 + X + 3 Dominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. En nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto de valores que puede tomar X.

X es la variable independiente

Y es la variable dependiente, Y es función de X


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Rango o Contradominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. En nuestro ejemplo el Rango o Contradominio es el conjunto de valores que puede tomar Y. Como una función es una relación de dependencia entre dos variables, de tal manera que al dar un valor a una de ellas queda determinado el valor de la otra; dicha correspondencia puede expresarse por medio del siguiente diagrama en el que la función ( f ) relaciona los elementos del dominio con los del rango o contradominio:

Un conjunto de pares ordenados (x, y), tales que x ε A y y ε B es una función o aplicación de A en B si a cada x ε A le corresponde un único elemento y ε B; es decir, una relación que tiene la propiedad de que a cada elemento de su dominio le corresponde uno y sólo un elemento de su rango, se llama función.

Es importante precisar que toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

La función entre los conjuntos mencionados A y B se denota por f: A → B que se lee “f es una función de A en B".

Los elementos del Dominio de una función se llaman argumentos de la función y los del Rango se denominan imágenes.

Ejemplos:

1) La relación R = {(l, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20)} es una función porque no se repite ningún elemento del dominio.

2) La relación R = {(1, 1), (1, -1), (4, 2), (4, —2)} no es función, ya que se repiten el 1 y el 4 como elementos del dominio de la relación. Para que una relación no sea función basta con que se repita un elemento del dominio.

Veamos los siguientes ejemplos:

Determina cuáles de los diagramas que se indican definen una función de X = {2, 3, 4} en Y = {A, B, C}.

Rango o Contradominio (Valores de Y)

Dominio (Valores de X)

A B


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Ejemplos 1. Solución: No es una función, porque al elemento 4 de X no le corresponde algún elemento de Y. 2. Solución: No es una función, porque al elemento 3 de X le corresponden los elementos A y C de Y. 3. Solución: Sí es una función, porque a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. 4. Solución: Sí es una función, porque en una función puede un mismo elemento de su rango, corresponder a más de un elemento del dominio.

Dominio (X) Contradominio o Rango (Y)


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Ecuaciones que representan una función Si una relación está definida por una ecuación con las variables x y y, donde x es la variable independiente y la variable dependiente es y, ésta representa una función si por cada valor de x para la cual está definida le corresponde uno y sólo uno de y. Veamos los siguientes ejemplos:

1. En la ecuación y = 4x — 5

Si x = 3, entonces y = 4(3) - 5, o sea, y = 7.

Podemos observar en esta ecuación que a cada valor de x le corresponde uno de y; por lo tanto, ésta ecuación si define una función.

2. y2 = 8x

En esta ecuación, por ejemplo si x = 2, entonces

y2 = 8(2) ; y2 = 16

𝑦 = ±√16 ; por lo que y toma dos valores: y1 = 4 ; y2 = −4

Hemos determinado en esta ecuación que para x = 2, y = ±4; o sea, (2, 4) (2,-4) son los pares ordenados de la relación y2 = 8x; por consiguiente, esta expresión no representa función, porque para cada valor de x, corresponden dos de y.

Prueba de la recta vertical para determinar si una gráfica representa una función

Para determinar si una gráfica representa una función se utiliza la prueba de la recta vertical que consiste en lo siguiente: Si la gráfica de una relación es intersecada en solo un punto por cualquier recta perpendicular al eje de las x por un solo punto del dominio, entonces la gráfica corresponde a una función; en caso de que dicha recta interseque en dos o más puntos, entonces la gráfica no corresponde a una función.

Ejemplos: Determina cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. 1. Esta gráfica si corresponde a una función, ya que observamos que si imaginariamente se desplaza la recta vertical punteada hacia la derecha o hacia la izquierda ésta siempre interseca en un solo punto a la gráfica.


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2. Esta gráfica no corresponde a una función, ya que una recta vertical, solamente en x = 0, interseca en un solo punto a la gráfica; pero por cualquier punto donde x > 0 corta siempre en dos puntos a la curva. 3. De acuerdo con la posición de la recta vertical punteada en este ejemplo, ésta corta en un solo punto a la gráfica; sin embargo, al trasladarla imaginariamente hacia la derecha se observa que al pasar por la parte vertical de la gráfica la corta en un conjunto infinito de puntos; por lo tanto, esta gráfica no corresponde a una función.

EJERCICIOS: 1. Define los siguientes conceptos:

a) Relación

b) Función


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2. Indica la forma algebraica de las siguientes funciones, expresadas en forma tabular.

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

a) ejemplo: b) y = x2 ___________________

c) d) ____________________ _______________________

e) f) ____________________ ____________________ 3. Indica si los siguientes pares ordenados representan una función. a) (1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3) __________________________ b) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5) __________________________ c) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4) __________________________ d) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) __________________________ e) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16) __________________________ f) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5) __________________________ g) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5) __________________________ 4. Indica si las siguientes relaciones determinan a y como función de x.

a) x

y1

__________________________

b) xy __________________________

c) 4

12

x

y __________________________

x y

0 1

1 2

2 3

3 4

x y

0 0

1 2

2 4

3 6

x y

0 2

1 3

2 4

3 5

x y

0 0

1 1

2 8

3 27

x y

0 0

2 1

4 2

5 2.5


61

d) 522 yx __________________________

e) xy 2 __________________________

f) xy 22 __________________________

g) 3 xy __________________________

h) 52 xy __________________________

5. Indica cuales de las siguientes figuras representan una función. a) b) __________________________ __________________________ c) d) __________________________ __________________________ e) ___________________________

x y z w

1 2 3 4

x y z w

1 2 3 4

x y z w

1 2 3 4

x y z w

1 2 3 4

x y z w

1 2 3 4


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6. Indica cuales de las siguientes graficas representa una función y cuáles no (Argumenta). a) b) __________________________ __________________________ c) d) __________________________ __________________________ e) f) __________________________ __________________________ g) h) __________________________ _____________________________


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El concepto de función es muy importante para describir o modelar matemáticamente problemas muy variados de diferentes áreas de la ciencia, la industria, la economía, la naturaleza, etc. Esto implica que todo fenómeno de la vida real que se pueda cuantificar (medir), se puede representar por medio de una expresión matemática: la función. En la siguiente figura se indican las gráficas de tres tipos de funciones: lineal, cuadrática y exponencial, (Ver más graficas de funciones elementales en formulario).

La Función Lineal expresa fenómenos de crecimiento o variación lineal y su grafica es una línea recta. Fenómenos de crecimiento lineal: 1. La velocidad como función del tiempo. 2. La depreciación en el costo de un bien en función del tiempo. 3. Un grifo que llena un depósito de agua con un flujo constante; el volumen de agua está en función del tiempo La Función Cuadrática expresa fenómenos de crecimiento cuadrático y su grafica es una parábola, o un segmento de ella. Fenómenos de variación cuadrática: 1. lanzamiento de proyectiles, tiro parabólico. 2. El área A de un cuadrado en función de su lado l La Función Exponencial expresa fenómenos de crecimiento exponencial y la gráfica de la función es una asíntota para valores negativos de X (se aproxima a cero) y para valores positivos de x un crecimiento exponencial. Fenómenos con crecimiento exponencial: 1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 2. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 3. El número de bacterias que se reproducen por mitosis.

Función Lineal

Función Cuadrática

Función Exponencial


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2.1 NOTACIÓN

Notación de una función.

Para expresar que y es una función de x se escribe:

y = f ( x )

f ( x ) Se lee “efe de x”; a la letra f se le llama característica de la función. En la característica se indica el valor de la variable independiente, en el segundo miembro de la igualdad se indican las operaciones que hay que realizar con la variable independiente para obtener el valor de la función. 2.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Ejemplos:

1. Si f (r) = 4 π

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