INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA

Disciplina: Matemática Professor: Marcello Amadeo Série: 9º ano / EF

Estudante: _____________________________________________________ Turma: ________

LISTA 9 – RECORDAR É VIVER

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (SEÇÃO OPCIONAL)

1) A Se 𝑎2 = 996, 𝑏3 = 997 e 𝑐4 = 998, então (𝑎𝑏𝑐)12 vale: (A) 9912

(B) 9921

2 (C) 9928 (D) 9988 (E) 9999

2) O valor de 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 é: (A) 66 (B) 67 (C) 366 (D) 636 (E) 3636

3) A expressão 1010+1020+1030

1020+1030+1040 é igual a:

(A) 1 + 1010

(B) 1010

2

(C) 10−10 (D) 1010

(E) 1010−1

2

4) A expressão (−1

3)

−3 é igual a:

(A) −1

9

(B) −1

27

(C) 1

27

(D) −27

5) Se 𝑎 = (−1

2)

2 e 𝑏 = (−

1

2)

3, então 𝑎 – 𝑏 é igual a:

(A) 3

8

(B) 1

8

(C) −3

8

(D) −1

8

6) Se 𝑎 = −1 e 𝑏 = −2

3, então calcule 𝑎3 – 𝑏3.

7) Se 𝑥 +1

𝑥= 4, calcule os seguintes valores:

a) 𝑥2 +1

𝑥2

b) 𝑥3 +1

𝑥3

8) Simplificando √324

obtemos:

(A) 2√23

(B) 2√24

(C) 2

(D) 4√2

(E) 3√2

9) Simplificando √324

obtemos:

(A) 2√33

(B) 3√23

(C) 2 √63

(D) 3√63

(E) 3√2

10) A soma √18 + √75 é igual a:

(A) 8√3

(B) √93

(C) 3√3

(D) 5√3

(E) √57

11) A soma √2 + √8 + √18 + √32 é igual a:

(A) √110

(B) 15√2

(C) 14√2

(D) 13√2

(E) 12√2

12) Na racionalização de 13

√13 encontra-se:

(A) 1

(B) 1

√13

(C) √13

13

(D) 13

(E) √13 13) Racionalize os seguintes denominadores:

a) 2

√2=

b) 3

√3=

c) 5

√5=

d) 6

√6=

e) 10

√2=

f) 36

√3=

g) 60

√5=

h) 36

√6=

i) 15

√10=

TEOREMA DE TALES

14) Em cada figura abaixo, calcule os valores das incógnitas, dado que as retas r, s, t e u são paralelas: a) S

b) 𝐴𝐵 = 20 , 𝐵𝐶 = 30 , 𝐴𝐶 = 𝑥 , 𝐷𝐸 = 𝑥 , 𝐸𝐹 = 𝑦 , 𝐷𝐹 = 60

c)

d)

e) 𝐴𝐵 = 8, 𝐵𝐶 = 4, 𝐶𝐷 = 𝑥, 𝐸𝐹 = 𝑦, 𝐹𝐺 = 2, 𝐺𝐻 = 6

15) Um feixe de três retas paralelas determina, sobre uma transversal, os pontos M, N e O e, sobre outros pontos M’,

N’ e O’. Sabendo-se que MN = 3cm, NO = 2cm e M’O’ = 10cm, M’N’ e N’O’ medem, respectivamente: (A) 6cm e 4cm

(B) 4cm e 6cm

(C) 7cm e 3cm

(D) 3cm e 7cm

16) São dados três segmentos AB, CD e EF que medem, respectivamente, 4cm, 9cm e 24cm. Um quarto segmento

GH, que forma com os três uma proporção nessa ordem, medirá: (A) 27 cm

(B) 54 cm

(C) 18 cm

(D) 45 cm

17) Para determinar a altura de um edifício, seu zelador usou um artifício. Mediu a sombra do prédio, 6 metros, e mediu sua sombra, 0,20 metros. Como sua altura é de 1,60 metros, ele obteve para altura do prédio o valor: (A) 24 m

(B) 36 m

(C) 42 m

(D) 48 m

18) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 centímetros, a sombra da pessoa passou a medir: (A) 30 cm

(B) 45 cm

(C) 50 cm

(D) 80 cm

(E) 90 cm

SEMELHANÇA

19) As figuras a seguir são semelhantes. Determine a medida x indicada.

20) Os pentágonos ABCDE e A’B’C’D’E’ desenhados abaixo são semelhantes. Calcule os valores de x e y.

21) Os perímetros de dois triângulos semelhantes estão entre si na razão 4: 3. Os lados do maior medem 8cm, 6cm e

10cm. Determine as medidas dos lados do triângulo menor.

22) Na figura, determine as medidas x e y, sabendo que BE // CD .

23) Um lado de um triângulo mede 45m. Num triângulo semelhante, o lado correspondente mede 30m. Se o perímetro

do primeiro é de 120m, o do segundo é de: (A) 80m.

(B) 50m.

(C) 70m.

(D) 100m.

24) Sabendo que DE // BC , determine 𝑥 e 𝑦:

25) Um retângulo cuja medida da base é 7 cm e a da altura é 12 cm é semelhante a outro retângulo com 6 de altura.

Qual a razão entre a área do primeiro retângulo e a do segundo?

26) As áreas de dois polígonos semelhantes estão entre si na razão 144 ∶ 25. Qual a razão de semelhança entre os polígonos semelhantes?

27) Observe a figura abaixo, onde AB // ED . Calcule os valores de x e de y.

28) Sabendo que AB // CD , calcule o valor de x na figura:

29) Calcule os valores numéricos 𝑥 e 𝑦 na figura a seguir. Sugestão: separe os triângulos BCA e DEA.

30) Na figura, o quadrado DEFG está inscrito no triângulo ABC. Sabendo que BD = 3,6cm e CE = 1,6cm, calcule a

medida do lado do quadrado.

31) No interior de um triângulo retângulo foram colocados dois retângulos congruentes, como mostra a figura abaixo.

Se cada retângulo possui dimensões 6 cm e 16 cm, determine o valor de x.

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

32) Caso tenham solução, resolva as equações do 2º grau, calcule a soma das raízes e calcule o produto das raízes:

a) 𝑥2 − 6𝑥 − 40 = 0 b) 𝑥2 − 10𝑥 − 144 = 0 c) 𝑥2 − 32𝑥 + 240 = 0 d) 𝑥2 − 11𝑥 + 30 = 0 e) 𝑥2 − 8𝑥 + 48 = 0 f) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

g) −48𝑥2 + 88𝑥 − 35 = 0 h) 9𝑥2 − 7𝑥 + 20 = 0 i) 8𝑥2 + 3𝑥 − 17 = 0 j) −𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 0 k) 16𝑥2 + 12𝑥 + 6 = 0 l) 25𝑥2 − 60𝑥 + 36 = 0

m) 256𝑥2 + 128𝑥 + 16 = 0 n) −400𝑥2 + 120𝑥 − 9 = 0 o) 𝑥2 + 98 = 21𝑥 p) 2𝑥 − 15 = 3𝑥2 + 13 q) (𝑥 + 16)(𝑥 + 7) = (𝑥 + 9)(𝑥 + 12) r) (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) = 5

Ao término deste exercício, espera-se que o estudante tenha observado a relação entre os coeficientes com a soma das raízes e o produto das raízes.

33) Seja a equação do 2º grau 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑚 = 0, calcule o valor de 𝑚 para que a equação possua somente uma

única raiz real.

A B

P

D C 18

x

12

9

34) Seja a equação do 2º grau 𝑚𝑥2 + 10𝑥 + 5 = 0. Calcule os valores possíveis para 𝑚, tal que a equação tenha: a) Somente uma raiz real; b) Nenhuma raiz real; c) Duas raízes reais distintas.

35) Considere a equação quadrática 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 5 = 0, calcule os valores possíveis de 𝑚 para que a equação

tenha somente uma raiz real.

36) Considere a equação quadrática 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 5 = 0, calcule os valores possíveis de 𝑚 para que a equação tenha somente uma raiz real.

37) Um terreno retangular possui 162 m² de área e 54 m de perímetro. Calcule os comprimentos dos lados.

38) O retângulo abaixo possui 80 cm² de área. Calcule o comprimento dos lados, sabendo que um deles é 𝑥 + 10 e o

outro é 𝑥 − 6.

TEOREMA DE PITÁGORAS

39) As medidas abaixo formam os lados de um triângulo. Qual forma um triângulo retângulo?

(A) 7cm, 9cm, 12cm

(B) 16cm, 12cm, 5cm

(C) 12cm, 5cm, 13cm

(D) 11cm, 15cm, 17cm

40) Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 12 cm e 5 cm. 41) Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero que tenha 13 cm de lado.

42) Calcule a medida altura de um triângulo equilátero de lado L.

43) Calcule o comprimento da diagonal de um quadrado que tenha 12cm de lado.

44) Calcule o comprimento da diagonal em função do lado L.

45) Calcule as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, sabendo que a área é 150m2 e que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é 625m2.

46) As diagonais de um losango medem 16 cm e 30 cm. A medida do lado desse losango é: (A) 14 cm

(B) 15 cm

(C) 16 cm

(D) 17 cm

47) As diagonais de um losango medem 8 cm e 10 cm. O lado mede: (A) 6 cm

(B) 7 cm

(C) √50 cm

(D) √41 cm

48) O perímetro de um triângulo retângulo é 60m e a diferença entre as medidas dos catetos é 5m. A medida do maior cateto é: (A) 15 cm

(B) 20 cm

(C) 25 cm

(D) 105 cm

49) Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Se a diagonal deste quadrado mede 12 cm, calcule a área deste triângulo.

50) Dobra-se uma folha de papel retangular de 10cm por 12cm, conforme indicação na figura abaixo. Se o segmento CE = 6cm, calcular a área do triângulo ABE.

51) Quinze toras de madeira de 1,5m de diâmetro são empilhadas segundo a figura abaixo. Calcule a altura da pilha.

52) Considere a figura abaixo, em que as circunferências são tangentes e têm raios iguais a 15 cm e 5 cm, e que a reta tangencia as duas circunferências nos pontos P e Q. Calcule a medida do segmento PQ. Lembre-se de que os raios das circunferências são perpendiculares à reta r nos pontos de tangência.

53) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Calcular a medida de seu lado, sabendo que M o ponto médio de AB, CP é perpendicular a MD e que MP = 3cm.

54) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Calcular a medida de seu lado, sabendo que M o ponto médio de AB, CP

é perpendicular a MD e que MP = 3cm.

P

Q

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

55) Com o auxílio de uma tabela trigonométrica, calcule os valores aproximados dos ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾:

56) Com o auxílio de uma tabela trigonométrica, considere um triângulo retângulo de 15cm de hipotenusa com um dos ângulos medindo 41º. a) Calcule o perímetro aproximado do triângulo.

b) Calcule a área aproximada do triângulo.

57) Determine as medidas aproximadas dos segmentos AC e BC, e a área da figura abaixo.

58) Determine as medidas dos lados do triângulo retângulo abaixo:

59) Calcule o valor de x no triângulo abaixo:

60) Calcule os valores aproximados de 𝒙 e 𝒚, sabendo que AC = CE = 8, DE = 𝑥, BE = 𝑦, BDE = 70° e ACE =

BED = 90°.

61) Qual o perímetro aproximado do triângulo retângulo em questão?

62) Com o auxílio de uma tabela trigonométrica, calcule o valor aproximado de x:

63) Calcule a distância de BC no triângulo abaixo, sabendo que AB = 105 m, CDB = 49°, CDA = 25° e DCB = 90°.

64) Determine a medida do ângulo BAC e dos segmentos AC, BC e CE:

65) Seja um quadrilátero 𝐴𝐵𝐷𝐶 com as seguintes propriedades: AB = AC, CD = 3, BAC = BDC = 90°, ACD = 75° e

ABD = 105°. O perímetro do quadrilátero 𝐴𝐵𝐷𝐶 é:

(A) 3 + 2√3 + 2√6

(B) 3 + 2√3 + √6

(C) 3 + √3 + 2√6

(D) 3 + √3 + √6 (E) 42

POLÍGONOS REGULARES

66) A soma dos ângulos internos de um polígono regular inscrito em uma circunferência é 720º. Calcule o lado e o apótema desse polígono, sabendo que o raio mede 4cm.

67) Calcule a distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular inscrito num círculo, sabendo que esse

círculo circunscreve um triângulo equilátero cujo lado mede 8cm.

68) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência é 3cm. Então, o apótema de um hexágono inscrito nesta mesma circunferência valerá:

(A) 3√6

4 𝑐𝑚

(B) √3 𝑐𝑚

(C) 1,5 𝑐𝑚

(D) 3√3 𝑐𝑚

69) O apótema de um quadrado inscrito numa circunferência é 2cm. A área do triângulo regular inscrito nessa

circunferência valerá:

(A) 6√3 𝑐𝑚²

(B) 3√2 𝑐𝑚²

(C) 6√6 𝑐𝑚²

(D) 3 𝑐𝑚²

70) A área de um quadrado inscrito numa circunferência é 82m . O apótema do hexágono inscrito nessa circunferência

mede:

(A) √3 𝑚

(B) 2√3 𝑚

(C) 2 𝑚

(D) 2√2 𝑚

71) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência mede √6 𝑐𝑚. Calcule a área do quadrado circunscrito a essa circunferência.

72) Calcule a medida aproximada do lado de um decágono regular inscrito numa circunferência, na qual o lado do

triângulo equilátero inscrito mede 4 3 cm. Dados: sen 36° ≅ 0,58; cos 36° ≅ 0,81; sen 18° ≅ 0,31; cos 18° ≅ 0,95.

73) A soma dos ângulos internos de um polígono regular inscrito em uma circunferência é 720º. Calcule o lado e o apótema desse polígono, sabendo que o raio mede 4cm.

74) Calcule a distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular inscrito num círculo, sabendo que esse círculo

circunscreve um triângulo equilátero cujo lado mede 8cm.

75) A diagonal de um quadrado inscrito numa circunferência mede 6√2 𝑐𝑚. Calcule: a) a medida do apótema do triângulo equilátero inscrito

nessa circunferência;

b) a área da região do círculo exterior ao triângulo.

76) Calcule as medidas dos lados do triângulo equilátero (L3), do quadrado (L4) e do hexágono regular (L6) circunscritos a um círculo de raio 10cm.

77) Calcule as medidas dos lados do triângulo equilátero (L3), do quadrado (L4) e do hexágono regular (L6) circunscritos a um

círculo de raio R. Escreva, em função de R as áreas desses polígonos.

78) A área de um quadrado inscrito num círculo de raio r é:

(A) 𝑟²

(B) 2𝑟²

(C) 3𝑟²

(D) 4𝑟²

CIRCUNFERÊNCIA: ÁREA E PERÍMETRO

79) Considere o círculo de centro O, da figura, e o quadrado OABC. Se o triângulo mistilíneo ABC tem área 25(4−𝜋)

4,

então o raio R mede:

(A) 6

(B) 5

(C) 4

(D) 3

(E) 2

80) A área hachurada da figura abaixo é igual a:

(A) 42 - 4

(B) 42

(C) 42 + 4

(D) 4

81) Calcule a área de cada uma das regiões hachuradas em função de a, nas figuras a seguir: a)

b)

c)

d)

82) Calcule a área da região hachurada limitada pela circunferência de raio r e pelas retas tangentes à circunferência:

R O A

B C

83) Sabendo que M é o ponto médio de BC , calcule, em função do raio r, a área sombreada indicada na figura.

84) Calcule o valor da área da figura hachurada:

85) Na figura abaixo têm-se seis circunferências de raios iguais a r e tangentes duas a duas exteriormente. Determine a área da região sombreada.

86) Se o raio do semicírculo que contém os pontos A e B é

1, calcule a área do semicírculo de diâmetro OB .

Fim

O

B

A 60º P

4

Poesia Matemática

Às folhas tantas

do livro matemático

um Quociente apaixonou-se

um dia

doidamente

por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável

e viu-a do ápice à base

uma figura ímpar;

olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo retangular, seios esferóides.

Fez de sua uma vida

paralela à dela

até que se encontraram

no infinito.

"Quem és tu?", indagou ele

em ânsia radical.

"Sou a soma do quadrado dos catetos.

Mas pode me chamar de Hipotenusa."

E de falarem descobriram que eram

(o que em aritmética corresponde

a almas irmãs)

primos entre si.

E assim se amaram

ao quadrado da velocidade da luz

numa sexta potenciação

traçando

ao sabor do momento

e da paixão

retas, curvas, círculos e linhas sinoidais

nos jardins da quarta dimensão.

Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas

euclidiana

e os exegetas do Universo Finito.

Romperam convenções newtonianas e

pitagóricas.

E enfim resolveram se casar

constituir um lar,

mais que um lar,

um perpendicular.

Convidaram para padrinhos

o Poliedro e a Bissetriz.

E fizeram planos, equações e diagramas para

o futuro

sonhando com uma felicidade

integral e diferencial.

E se casaram e tiveram uma secante e três

cones

muito engraçadinhos.

E foram felizes

até aquele dia

em que tudo vira afinal

monotonia.

Foi então que surgiu

O Máximo Divisor Comum

freqüentador de círculos concêntricos,

viciosos.

Ofereceu-lhe, a ela,

uma grandeza absoluta

e reduziu-a a um denominador comum.

Ele, Quociente, percebeu

que com ela não formava mais um todo,

uma unidade.

Era o triângulo,

tanto chamado amoroso.

Desse problema ela era uma fração,

a mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a

Relatividade

e tudo que era espúrio passou a ser

moralidade

como aliás em qualquer

sociedade.

Millôr Fernandes