Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de ... · Um Modelo de Planeamento Financeiro...

Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra

INESC – Coimbra

Manuel Paulo Calado – João Paulo Costa

Um Modelo de Planeamento Financeiro para Classificação de Soluções

Não-Dominadas em Programação Linear Multi-Objectivo

Nº 8 2005

Relatórios de Investigação


INESC – Coimbra

Manuel Paulo Calado – João Paulo Costa



Nº 8 2005

ISSN: 1645-2631


INESC – Coimbra

Rua Antero de Quental, 199; 3000-033 Coimbra; Portugal

www.inescc.pt



Agradecimento

Este trabalho foi parcialmente apoiado pela FCT e

pelo FEDER, projecto POCTI / EGE / 58828 / 2005

Manuel Paulo Calado João Paulo Costa

Escola Superior de Tecnologia - Instituto Politécnico de Viseu Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra

Campus Politécnico de Repeses, 3504-510 Viseu Av. Dias da Silva - 165, 3004-512 Coimbra

[email protected] [email protected]

ÍNDICE

Introdução ......................................................................................................................................................... 1

1. Estruturação do modelo: Variáveis, Critérios e Restrições.................................................................... 2

1.1. Introdução............................................................................................................................................... 2 1.2. Variáveis e parâmetros do modelo .......................................................................................................... 2 1.3. Determinação dos principais montantes de custos e proveitos agregados ............................................... 5 1.4. Restrições de não-negatividade e restrições físicas do processo produtivo ............................................. 6 1.5. Restrição de igualdade entre origens e aplicações de fundos .................................................................. 8 1.6. Restrição para determinação do Resultado Tributável .......................................................................... 12 1.7. Definição das funções-objectivo ........................................................................................................... 12

2. Utilização do algoritmo LinearTri para classificação de soluções ....................................................... 16

2.1. Apresentação de um exemplo numérico ............................................................................................... 16 2.2. Formulação do problema conforme exemplo numérico apresentado .................................................... 17 2.3. Simulação interactiva do algoritmo Linear Tri ..................................................................................... 20 2.4. Interactividade e interface gráfico da aplicação .................................................................................... 25

Conclusão ........................................................................................................................................................ 26

Referências ...................................................................................................................................................... 27

Anexo ............................................................................................................................................................... 28

Introdução

O propósito central deste trabalho consiste em avaliar a adaptabilidade do algoritmo Linear Tri (Lourenço [2000] e Lourenço et al. [2004]) à resolução de problemas multi-objectivo no âmbito da Gestão Financeira, para o que foi desenvolvido um modelo de Planeamento Financeiro (Cala-do [2004]), que procura reflectir aspectos significativos da actividade operacional e financeira empresariais.

Ao incorporar o método Electre Tri (Yu [1992] e Roy et al. [1993]), aquele algoritmo implementa a classificação interactiva de soluções não-dominadas, enquadrando-as em categorias previamente definidas, visando obter uma estrutu-ra de preferências coerente, que pode ser encarada como uma aproximação da função de preferências do decisor.

O problema de aplicação procura enquadrar a actividade operacional e financeira de uma entidade empresarial. Este modelo resultou na formulação de um problema linear multi-objectivo, com três funções-objectivo e uma variedade de diferentes tipos de restrições funcionais.

Os critérios definidos são três funções cumulativas de valor actual. A primeira é uma função de cash-flow, a segunda representa as vendas líquidas de impostos, enquanto a terceira é uma função de solvabilidade financeira. Sendo três objectivos mutuamente concorrentes, não é possível a sua maximização simultânea, pelo que uma escolha final é uma solução de compromisso.

O âmbito da decisão é condicionado pela existência de restrições de carácter operacional e financeiro. No contexto operacional, importou determinar as quantidades a produzir e a vender, de diferentes produtos em diferentes períodos do plano, enquanto na perspectiva financeira relevaram ques-tões como o investimento, a liquidez e a forma de assegurar o seu financiamento.

Como aspecto particularmente relevante do enquadra-mento financeiro, salienta-se a necessidade de assegurar a permanente igualdade inter-temporal entre origens e aplica-ções de fundos, que surge como condição de equilíbrio do próprio modelo.

No capítulo 1 procedeu-se à construção do problema, conforme as características enunciadas nos parágrafos ante-riores, tendo também sido enunciados os pressupostos neces-sários para deduzir as relações fundamentais das restrições e funções-objectivo utilizadas. A partir da definição de duas demonstrações financeiras: um 'Balanço' (estrutura de acti-vos e capitais) e uma 'Demonstração de Resultados', foi obti-da uma formulação geral que foi objecto de concretização nos capítulo seguinte.

No problema proposto poderiam ainda ter sido incluídas restrições para particularizar determinados aspectos da fun-ção de produção, um pouco à semelhança de certos proble-mas de 'Portfolio Selection'. Refere-se nomeadamente a pos-sibilidade de ocorrerem dependências entre diferentes produ-tos: produção conjunta, produtos (projectos) mutuamente exclusivos, partilha de custos entre grupos de produtos, ou outras especificidades técnicas do processo produtivo.

No capítulo 2 o problema foi concretizado para uma ins-tância numérica, tendo sido atribuídos valores significativos a uma multiplicidade de coeficientes e parâmetros, de cuja agregação, conforme as relações definidas no capítulo 1, resultou a configuração do problema concreto, para posterior resolução e determinação de soluções não-dominadas. Surge então a implementação do algoritmo Linear Tri que, recor-rendo a um adequado aplicativo informático, permite formu-lar o problema, determinar um conjunto de soluções não-dominadas e simular interactivamente a classificação dessas soluções, conforme o método Electre Tri pessimista. Preten-de-se então obter uma estrutura Electre válida e coerente, como aproximação da função de preferências do decisor.

Face aos objectivos e propósitos para que este trabalho foi desenvolvido, sintetizam-se seguidamente, em modo conclusivo, os aspectos relevantes da sua realização:

- Foi possível adaptar o algoritmo Linear Tri à resolução do problema multi-objectivo de planeamento financeiro. - Assumem particular relevância as características do fluxo do aplicativo informático, quanto à forma do apoio a ser prestado num contexto de decisão específico. - Foi determinada uma estrutura Electre Tri válida, signi-ficativa da função de preferências do decisor (sendo esta naturalmente uma função de utilidade implícita). - Todas as soluções não-dominadas classificadas foram afectas a alguma das categorias pré-definidas. - Embora não sendo fundamental, esta característica revelou-se ser extensiva às soluções não incluídas na estrutura electre final. - A leitura dos resultados obtidos é significativa da reali-dade modelada, não a contradizendo.

1. Estruturação do modelo: Variáveis, Critérios e Restrições

1.1. Introdução

Numa breve descrição, o problema consiste no planea-mento, por uma entidade empresarial, da produção e comercialização de diferentes produtos, ao longo de vários períodos, regulares e consecutivos, atendendo a todo um conjunto de características dos processos produtivo e comer-cial, de que são exemplos: a capacidade produtiva, os custos da produção, os preços e quantidades procuradas, as necessi-dades de financiamento e de investimento, o diferimento temporal de compras, vendas, impostos, etc.

É inicialmente conhecida a disponibilidade de recursos e a sua aplicação. Os recursos são as fontes de financiamento para adquirir activos necessários ao desenvolvimento da actividade de exploração corrente, ou mesmo a prazo mais longo. Os recursos podem ser aplicados em bens de equipa-mento produtivo, crédito a clientes, existências de produtos, disponibilidades monetárias, etc. As fontes de financiamento assumem duas formas distintas: Capitais Próprios e Capitais Alheios. Enquanto os primeiros são recursos a título perma-nente, os outros podem ser de média/longa permanência (empréstimos obtidos) ou recursos disponíveis por prazos relativamente curtos (dívidas a fornecedores ou ao Estado).

Na sua actividade, a empresa suporta custos directamente variáveis com o volume da produção, ou outros que decor-rem da manutenção da estrutura produtiva, independente-mente do nível de actividade. As vendas deverão ser realiza-das de modo que os custos suportados sejam compensados e se realizem lucros. Este fim pode não ser garantido, mas um pressuposto clássico consiste na maximização da rentabili-dade. Esta finalidade pode não ser única, se se pensar que pode pôr em causa a estabilidade financeira, definida numa dupla vertente temporal: solvência dos compromissos resul-tantes de endividamento e segurança financeira de curto pra-zo, para não pôr em risco o ciclo das operações correntes.

Ainda relativamente ao critério da rentabilidade, este consiste numa aproximação do cálculo do VAL, onde os cash-flows, que têm o lucro como base de cálculo, incluem as amortizações de imobilizado, as provisões periódicas e a variação de existências de produtos. O princípio da actuali-zação dos cash-flows, presente no critério VAL, é estendido aos outros critérios, como se a análise fosse feita sempre a partir das condições actuais, pois que, ainda que seja longo o período de análise, trata-se na verdade de um alargamento temporal das circunstâncias que caracterizam a actualidade. Embora possa ser encarado como um pressuposto redutor, o interesse da análise não é desvirtuado, mesmo que as cir-cunstâncias se alterem num prazo curto. Todavia, como fer-ramenta de simulação, a alteração dos parâmetros pode re-flectir a evolução da própria actualidade, pelo que, uma aná-lise a longo prazo pode sempre ser diariamente revista.

O âmbito da decisão é ilustrado pelas seguintes questões: - que quantidades produzir de cada produto por período? - que quantidades vender de cada produto por período? - qual o financiamento periódico por endividamento? - qual o financiamento periódico com capitais próprios? - qual o investimento periódico na aquisição de activos?

Também é apresentada uma variedade de parâmetros e coeficientes, que ponderam e condicionam as diferentes variáveis de decisão, de que são apenas alguns exemplos: os preços de venda, as taxas de juros de empréstimos, as taxas de impostos, de amortização do imobilizado, coeficientes que representam o diferimento temporal das vendas, com-pras, liquidação de impostos, amortização de empréstimos, etc. A manipulação destes parâmetros permite aferir o tipo de políticas de gestão e a simulação de possíveis cenários.

1.2. Variáveis e parâmetros do modelo

Por razões que se prendem com a operacionalidade do modelo, de modo a tornar a sua interpretação mais inteligível e para evitar a redundância de uma multiplicidade de nota-ções, nas expressões algébricas que vão sendo sucessivamen-te apresentadas, torna-se necessário explicitar as seguintes considerações prévias sobre as referidas notações:

- devido à sua significativa quantidade, as notações são referenciadas por três letras, para evitar a possibilidade da sua ocorrência simultânea com significados distintos; - a primeira letra de cada notação é significativa do agre-gado, ou indicador, em que se enquadra a referência da notação, conforme os seguintes exemplos:

- nas notações de variáveis de decisão ou parâmetros, apenas a letra inicial é maiúscula; - um conjunto de notações, em letra maiúscula, representa agregados contabilistico-financeiros; - em cada notação são normalmente aditados um ou dois índices minúsculos, i e/ou j, com o seguinte significado: i: Índice de referência a período temporal (i = 1,2, ... , t) j: Índice de referência a produto (j = 1,2, ... , p) - as notações iniciadas por t ou u, representam taxas ou coe-ficientes aplicáveis a agregados contabilístico-financeiros; - todas as notações são apresentadas em formato negrito, quando enquadradas em texto corrido.

A Activo t Taxas ou coeficientesC Custos u Outros coeficientesD Despesas V Proveitos ou receitasK Capital Próprio W Variáveis paraI Impostos X Variáveis de decisão

M Valores auxiliares Y Parâmetros exógenosP Passivo Z Funções-objectivoR Resultados

Estruturação do modelo: Variáveis, Critérios e Restrições .

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1.2.1. Apresentação das variáveis de decisão

- Deve ser planeada a produção de p produtos (j=1,2,...,p) em t períodos sucessivos (i = 1,2,...,t)

Xqpij : Quantidade a produzir do produto j no período i

Este tipo de variável atende à existência de restrições que determinam que a capacidade de produção não deve ser excedida, a qual depende da dimensão do imobilizado produ-tivo, que é periodicamente variável, atendendo à possibilida-de de realizar aquisições de imobilizado. - Devem ser determinadas as quantidades a vender, de cada produto, em diferentes períodos:

Xqvij : Quantidade do produto j a vender no período i

As quantidades periodicamente vendáveis, dos diferentes produtos (Mqwij), resultam da soma das produzidas (Xqpij) com as existentes no início de cada período (Mqsi-1,j). Este tipo de variável tem em conta que a procura é definida exter-namente pelo mercado, ainda que por estimativa ou como resultado de estudos de prospecção.

Definem-se restrições para as quantidades a vender: satisfazer a procura do mercado (Yqdij), sem a exceder. - Montante de empréstimos (endividamento) a que a empresa pode periodicamente recorrer: Xdei : Montante de empréstimos a obter no período i - Montante de aumento externo de capitais próprios (sem origem em autofinanciamento): Xkpi : Aumento do capital próprio no período i - Investimento por aquisição periódica de imobilizado: Ximi : Montante da aquisição de imobilizado no período i

- Aplicação periódica de fundos em disponibilidades: Xlii : Disponibilidades no período i - Montante periódico do Resultado Tributável: Xrti : Resultado (ou lucro) tributável no período i

Todas as variáveis de decisão, que representam quanti-dades físicas (Xqp, Xqv), deverão assumir valores inteiros não negativos. As que representam valores financeiros (Xde, Xkp, Xim, Xli e Xrti) são não negativas e não exigem o requisito da integralidade.

Importa também referir que, na formulação do modelo, as variáveis de decisão financeiras estão directamente asso-ciadas a limites máximos e/ou mínimos, que tornam redun-dantes as correspondentes restrições de não-negatividade.

1.2.2. Parâmetros da estrutura Activos-Capitais

É definida uma estrutura de activos e capitais, que reflec-te a situação da empresa: os capitais de que dispõe (Próprios ou Alheios) e a forma como estão aplicados nos diferentes tipos de activos existentes, conforme o esquema da figura 1.

Trata-se de uma demonstração, usualmente designada por Balanço, que reporta a situação financeira de uma empresa, num momento determinado.

Uma estrutura inicial de activos e capitais, semelhante à anterior, constitui um ponto de partida para o planeamento da actividade operacional e financeira. Supõe-se que este Balanço corresponde à situação actual, a partir da qual se poderão fazer projecções da actividade para os períodos sub-sequentes, originando novos ‘balanços previsionais’.

Activo ACT Capital Próprio KPR

Imobilizado líquido AIM Passivo PAS

Existências de produtos AEX Dívida de Empréstimos PDE

Créditos de imposto Fornecedores de imobilizado PFI - Aquisições de imobilizado ACI Fornecedores de existências PFE - Outras despesas fixas ACF Sócios e/ou Accinistas PSA - Despesas variáveis da produção ACP Outros credores POC

Créditos sobre Clientes ACC Débitos de imposto - Dívida de imposto sobre resultados PIR

Liquidez imediata ALI - Dívida de imposto liquidado nas vendas PIL

Figura 1 – Modelo da estrutura inicial de Activos e Capitais Balanço).

ACT = AIM + AEX + ACI + ACF + ACP + ACC + ALI - Componentes do Activo

PAS = PDE + PFI + PFE + PSA + POC + PIR + PIL - Componentes do Passivo

ACT = KPR + PAS - Condição de equilíbrio


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A actividade operacional é implementada pela realização de despesas, suportadas pela actividade financeira decorrente da utilização dos capitais disponíveis, aplicados na aquisição de imobilizado (máquinas, instalações, equipamentos, etc.), de existências (matérias consumidas no processo produtivo ou produtos para comercialização), em despesas de distribui-ção ou administrativas, em mão-de-obra directamente utili-zada no processo produtivo, nas remunerações fixas do pes-soal, em outros fornecimentos de bens e/ou serviços, etc.

Aos custos das referidas despesas, acrescem os decorren-tes da desvalorização de activos, como amortizações do imobilizado, que não dão origem a fluxos de saída de fundos, revertendo em cash-flow. Concomitantemente são suporta-das outras despesas, de âmbito financeiro, como as que emergem do endividamento, que parcialmente financia a realização da actividade, como são os encargos financeiros associados à obtenção de capitais alheios (empréstimos ban-cários, obrigacionistas ou outros, locação financeira, etc.).

A venda dos produtos deverá gerar os proveitos que, em princípio, deverão compensar os custos suportados. A dife-rença entre os proveitos realizados e os custos suportados, quando positiva, gera um resultado sujeito a tributação. Após a liquidação do imposto sobre o resultado positivo, o rema-nescente pode ser distribuído como dividendos (rendimentos do capital próprio). A parte não distribuída resulta em auto-financiamento, revertível em capital próprio, o que pode con-duzir à valorização de acções ou de quotas de participação. Também se poderá proceder a aumentos de capital que, con-forme o tipo de entidade empresarial, poderão assumir dife-rentes formas: emissão de acções, valorização das quotas dos titulares ou admissão de novos titulares (novas quotas), etc.

Importa também salientar outros aspectos do ciclo das operações financeiras, que decorrem do tempo que medeia entre a realização dos diferentes tipos de despesas e o momento em que são pagas, ou entre a realização das recei-tas e o momento do respectivo recebimento. Surgem concre-tamente as seguintes situações: - o recebimento das vendas ocorre algum tempo depois de realizadas: há concessão de crédito corrente a clientes; - o pagamento de compras ou fornecimentos ocorre após a sua realização: os fornecedores concedem crédito corrente; - ocorre um prazo para proceder ao pagamento de impostos; - possibilidade de reaver o imposto suportado nas despesas;

Estes desfasamentos temporais conduzem a que, no fim de cada período, figurem no balanço os valores correspon-dentes a créditos sobre clientes (ACC), dívidas a fornecedo-res (PFI, PFE e POC), dívidas de impostos (PIR e PIL), créditos de imposto (ACI, ACF e ACP).

Poderiam definir-se prazos médios de pagamento e rece-bimento, convertidos em fracções temporais de cada período. Contudo consideramos igualmente adequado admitir que, no fim de cada período, se encontra a recebimento/pagamento uma determinada percentagem das vendas/despesas. Este procedimento é aplicável a débitos e créditos de imposto.

Sempre que for adoptada uma perspectiva do desfasa-mento temporal dos recebimentos e dos pagamentos, fará mais sentido falar numa óptica de tesouraria, que é relevante não apenas para a liquidez mas também para a determinação do cash-flow líquido.

1.2.3. Parâmetros da estrutura Custos-Proveitos

Reportando-nos novamente à óptica económica, importa separar os custos incorridos em variáveis e fixos, conforme exista ou não uma dependência estreita relativamente ao volume de produção. Não pretendendo alongar a exposição destes conceitos, que se encontram explicados em outros textos (por exemplo: Calado [2004] ou Borges et al. [1998]), importa agora introduzir o esquema de demonstração de resultados, que é significativo para expor o modelo proposto.

Figura 2 – Esquema utilizado para a Demonstração de Resultados.

Nesta demonstração, destacam-se os seguintes agregados:

VPO = VEN + VEX

COP = CCR + CAI + CCF

ROP = VPO – COP

RAI = ROP – CJE

RLA = RAI – IRT

RRA = RLA – RLD


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1.3. Determinação dos principais montantes de custos e proveitos agregados

O plano da produção atende à circunstância de o mercado ser concorrencial, definindo preços para os diferentes produ-tos, sem que o produtor possa interferir (price-taker).

Mesmo que se admita a hipótese de o produtor poder influenciar os preços, não importa inferir uma função de pro-cura ajustada, considerando que, num dado intervalo da pro-cura, o preço é relativamente constante. A inferência dessa função, ainda que possível, não é facilmente ajustável, pelo que o modelo apenas incorpora os preços como parâmetros, tratando-se de uma informação pré-determinada (exógena).

Num período i, as vendas de um produto j (VENij) são determinadas pelas quantidades vendidas (Xqvij) e pelo res-pectivo preço de venda unitário (Ypvij), da forma seguinte:

VENij = Ypvij . Xqvij

O valor periódico das vendas (VENi) é definido por:

VENi = ∑=

p

1j(Ypvij . Xqvij)

Num período i, a variação das existências de um produto

j (VEXij) é definida como a diferença entre o valor das quan-tidades armazenadas desse produto, no fim desse período, e o valor das quantidades armazenadas, do mesmo produto, no fim do período anterior (i-1). Não se trata pois de uma varia-ção de quantidades mas antes de uma variação de valor, que em parte poderá resultar da própria variação das quantidades, mas também de eventuais alterações de preços entre sucessi-vos períodos. Considerando a quantidade existente do produ-to j no fim do período i (Mqsij) e a que existia no fim do período anterior (Mqsi-1,j), pode ser determinada a variação do valor das existências (VEXij), pelo cálculo seguinte:

VEXij = Ypcij . Mqsij – Ypci-1,j . Mqsi-1,j

Na expressão anterior, Ypcij representa o preço de custo

da produção de uma unidade do produto j no período i. Este preço é diferente do preço de venda (Ypvij), pois não seria correcto valorizar a este preço, um produto que se encontra armazenado (ainda não vendido).

Sendo MEXij o valor das existências do produto j no fim de um período i, a expressão anterior de VEXij equivale a:

VEXij = MEXij – MEXi-1,j

Conforme as seguintes definições:

MEXij = Ypcij . Mqsij ; MEXi-1,j = Ypci-1,j . Mqsi-1,j

Importa assinalar que, na estrutura de activos do balanço

actual, já são incluídos os valores conhecidos das existências

nesse instante. No período seguinte, a variação das existên-cias parte do conhecimento desses valores. Para determinar o valor das existências no fim deste período, importa apurar o valor das existências produzidas e o das vendidas.

Os valores das existências iniciais são conhecidos, pois já estão incluídos no balanço inicial. Em cada período subse-quente, pode-se definir a seguinte relação de dependência do valor das existências relativamente ao período anterior:

MEXij = MEXi-1,j + Ypcij . Xqpij – Ypcij . Xqvij

Substituindo na anterior expressão de VEXij, obtém-se:

VEXij = Ypcij . Xqpij – Ypcij . Xqvij

Para as existências vendidas, embora o seu preço de ven-

da unitário seja Ypvij, ao valor das existências armazenadas apenas é subtraído o correspondente ao preço de custo Ypcij .

Em cada período i, o valor da produção de um produto j (CCRij) é determinado pelas quantidades produzidas (Xqpij) e pelo seu custo unitário (Ypcij), da forma seguinte:

CCRij = Ypcij . Xqpij

Num período i, o custo periódico da produção (CCRi) é:

CCRi =∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij )

Outros custos relevantes são as amortizações do imobili-zado. São custos fixos, ao apresentarem estreita correlação com o valor do imobilizado e não com o volume de produ-ção. Considera-se uma taxa média de amortização do imobi-lizado por período (taii). Determina-se então, num período i, o montante de amortizações do imobilizado (CAIi), que re-sulta da incidência daquela taxa sobre o valor do imobilizado no período anterior (AIMi-1), conforme a expressão:

CAIi = taii . AIMi-1 ( 0 ≤ taii ≤ 1 )

As amortizações do imobilizado, assim como as provi-sões, sendo custos, são elementos redutores do resultado e logo do montante da tributação que sobre ele recai. Mas, ao contrário dos custos suportados por despesas, as provisões e amortizações não dão origem a qualquer saída de fundos, pelo que o seu montante deve ser acrescido ao Resultado Líquido (RLA), para determinação do cash-flow periódico.

Tal como em relação às rubricas do Balanço, os custos indicados na Demonstração de Resultados, são apresentados de forma significativa e não propriamente detalhada.

Considera-se assim um grupo de despesas, com a desig-nação de ‘Outros Custos Fixos’ (CCF), que inclui os custos fixos que dão origem a despesas (saídas de fundos), estabe-lecendo-se uma correlação directa entre o montante desses custos e o do Activo Imobilizado.


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Os custos fixos estão associados à dimensão da estrutura produtiva, independentemente do volume de produção reali-zado. Embora com alguma simplificação, CCFi pode ser determinado como uma percentagem média do valor ajusta-do do imobilizado, definida pelo parâmetro tcfi, relativamen-te constante em cada período. O ajustamento do valor do imobilizado é feito por um coeficiente de reposição física (trfi). Este ajustamento visa compensar o efeito de desvalori-zação do imobilizado, que decorre da sua amortização con-tabilística. Também no imobilizado é incluído o que foi adquirido no próprio período, que não é sujeito a qualquer coeficiente de reposição física, uma vez que, sendo recente, ainda não sofreu qualquer efeito de amortização.

Determina-se CCFi conforme a seguinte expressão: CCFi = tcfi . [(1+trfi) . AIMi-1 + Ximi] ( 0 ≤ tcfi ≤ 1 ; trfi ≥ 0)

Além dos proveitos e custos operacionais, poderão existir outros proveitos e custos que não decorrem directamente da actividade produtiva, resultando antes de uma actividade mais propriamente financeira.

Embora nada obste a que uma empresa comercial ou industrial possa e deva fazer as suas aplicações financeiras, não é propriamente esta a sua actividade principal. Contudo, o financiamento da actividade operacional passa normalmen-te pelo recurso a fontes externas.

Conforme a natureza do financiamento, o plano de endi-vidamento, decorrente do recurso ao crédito, deve ser agen-dado tendo em vista libertar os meios financeiros necessários para assegurar as amortizações da dívida, tal como o serviço da mesma. Assim, no pressuposto de que os ganhos financei-ros não são significativos, apenas resultam relevantes os encargos de financiamento, em particular os que procedem do endividamento.

Retomando a sequência da Demonstração de Resultados, os juros de empréstimos obtidos são deduzidos ao resultado operacional, para determinar o resultado que será sujeito a tributação, sendo por isso também designado de ‘Resultado Antes de Impostos’ (RAI) ou Lucro Bruto. O montante des-tes encargos, num determinado período i (CJEi), é calculado a partir da incidência de uma taxa média, que pode variar entre períodos consecutivos (tjei), sobre o montante em dívi-da no período anterior (PDEi-1), de acordo com a seguinte expressão: CJEi = tjei . PDEi-1.

O lucro ou Resultado Antes de Impostos (RAI) é apura-do após a dedução de encargos financeiros (CJEi), não sendo relevantes eventuais correcções fiscais aplicáveis. Se RAI não for negativo, o imposto sobre o resultado apurado (IRA) é calculado pela aplicação de uma taxa, variável entre perío-dos consecutivos (tili) sobre RAIi. Na situação de haver pre-juízo (RAI < 0), da aplicação da taxa resultaria um imposto negativo. Neste caso determina-se o Resultado Tributável

(RTR), de modo que não resulte esta possibilidade. Assim RTR é nulo para valores não positivos de RAI, ou é o pró-prio RAI quando este for positivo. O montante de imposto (IRT) é então determinado conforme a seguinte expressão: IRTi = tili . RTRi

Em cada período, após a dedução do imposto sobre os lucros, o lucro bruto dá lugar ao lucro líquido, ou resultado líquido desse período (RLAi). Conforme a política de divi-dendos, a administração decide atribuir, em cada período, uma parte deste resultado (RLDi) aos accionistas (ou, de um modo geral, aos detentores do capital próprio), calculada pela aplicação de uma taxa de distribuição de resultados (tdri), segundo a seguinte expressão: RLDi = tdri . RLAi

Importa realçar que, embora seja de esperar que os resul-tados sejam positivos, é admissível a possibilidade de ocor-rência de prejuízo, sempre que os custos suportados excedam o total de proveitos. Neste caso, do cálculo de IRA resulta um valor negativo. Em tal circunstância, este valor é tratado de forma a ser deduzido ao eventual IRA positivo de perío-dos seguintes. Se em sucessivos períodos resultar um prejuí-zo acumulado, não há lugar ao pagamento de imposto.

Na circunstância em que o RAI é negativo, o montante de dividendos resulta nulo, pelo que a anterior expressão de RLD deixa de ser aplicável.

1.4. Restrições de não-negatividade e restrições físicas do processo produtivo

Todas as variáveis de decisão assumem valores não

negativos e, em particular, as que respeitam às quantidades (a produzir ou a vender) assumem valores inteiros, pelo que, além das restrições de não-negatividade, em alguns casos também são definidas restrições de integralidade, conforme seguidamente é indicado: - Quantidades a produzir

Xqpij ≥ 0 ∧ Xqpij é inteiro (i=1,2,...,t ; j=1,2,...,p) - Quantidades a vender

Xqvij ≥ 0 ∧ Xqvij é inteiro (i=1,2,...,t ; j=1,2,...,p) - Montante de endividamento

Xdei ≥ 0 (i=1,2,...,t) - Aumento do capital próprio

Xkpi ≥ 0 (i=1,2,...,t) - Aquisição de imobilizado

Ximi ≥ 0 (i=1,2,...,t)

- Disponibilidades requeridas

Xlii ≥ 0 i=1,2,...,t - Resultado Tributável

Xrti ≥ 0 i=1,2,...,t


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As variáveis financeiras podem ser directamente condi-cionadas por limites máximos e/ou mínimos. A existência de limites absolutos mínimos torna redundantes as correspon-dentes restrições de não-negatividade, dando lugar a restri-ções adicionais que reflectem constrangimentos financeiros: financiamento (endividamento ou capitais próprios), ou a sua aplicação (imobilizado, liquidez ou outros activos). Conside-ram-se assim os seguintes tipos de restrições:

- Montante de endividamento Mdei – ≤ Xdei ≤ Mdei + i = 1,2,...,t

- Aumento do capital próprio

Mkpi – ≤ Xkpi ≤ Mkpi + i = 1,2,...,t - Aquisição de imobilizado

Mimi – ≤ Ximi ≤ Mimi + i = 1,2,...,t - Nível de líquidez

Mli – ≤ Xlii ≤ Mli + i = 1,2,...,t

Periodicamente verificam-se as seguintes condições:

- as quantidades vendidas (Xqvij) não deverão exceder as periodicamente vendáveis (Mqwij):

Xqvij ≤ Mqwij ( Mqwij = Xqpij + Mqsi-1,j )

Xqvij ≤ Xqpij + Mqsi-1,j

Xqvij – Xqpij ≤ Mqsi-1,j - as quantidades periodicamente vendidas dos diferentes produtos (Xqvij) são superiormente limitadas pelas que se estima que sejam procuradas (Yqdij):

Xqvij ≤ Yqdij

A capacidade produtiva depende da estrutura de capitais

fixos, que em grande medida resulta da dimensão do activo imobilizado afecto ao processo produtivo (equipamentos industriais, máquinas, ferramentas, etc.). A qualidade tecno-lógica destes equipamentos pode ser um factor determinante da produtividade. Também a preparação técnica dos funcio-nários, operários ou quadros superiores é determinante da produtividade, sendo de esperar que a qualidade do capital fixo e a dos recursos humanos (ou capital humano) surjam directamente associadas.

Importa, para o modelo em construção, definir o que pode ser assimilado a uma função de produção, para o que pensamos ser razoável admitir uma correlação aproximada-mente linear, entre o valor real do imobilizado e o limite da capacidade produtiva. Para simplificar a forma como uma função dessa natureza é incorporada no modelo, admita-se que apenas é fabricado um produto. Poderia determinar-se, com pleno uso da capacidade disponível, qual seria a quanti-

dade máxima produzida desse único produto. Considerando vários produtos, poderia ser realizada a mesma experiência para cada um deles, como se fosse único. As quantidades obtidas poderiam então servir para determinar uma relação de conversão entre as diferentes produções.

Neste ponto, é adequado introduzir uma unidade física comum, que permite quantificar a capacidade produtiva dis-ponível, sendo designada ‘Unidade de Produção Homogé-nea’ (uph), que constitui uma medida comum de conversão (tph) entre as possíveis produções.

Como a referência de determinação da capacidade produ-tiva é o valor do imobilizado, surge o problema de não ser adequado utilizar o seu valor contabilístico, por depender das amortizações que conduzem à sua desvalorização periódica. Se a utilização dos equipamentos conduz ao seu desgaste físico, outras despesas se realizam para a sua manutenção. Há pois uma reposição da capacidade produtiva, ainda que parcial. Nem mesmo é seguro admitir que a maior produtivi-dade dos equipamentos corresponda à do primeiro momento da sua utilização. Pode com utilidade ser reintroduzido o já citado coeficiente de reposição física (trfi) para reavaliar o imobilizado, reflectindo uma dimensão aproximada do seu real valor produtivo.

Embora o Activo Fixo assuma uma permanência dura-doura, que depende da sua vida útil, apresentando uma circu-lação mais lenta na actividade, comparativamente a outros activos (existências de produtos ou matérias transformáveis, créditos sobre clientes ou disponibilidades líquidas, etc.), a sua renovação pode ser realizada pelo investimento na aqui-sição de equipamentos, o que resulta numa variação do seu valor e logo também da capacidade produtiva.

Considerando que o valor real do imobilizado actual (MIM0) corresponde exactamente ao seu valor contabilístico (AIM0), isto é, MIM0 = AIM0, a partir desse momento, em qualquer período i seguinte, o valor real do imobilizado (MIMi) é definido pela seguinte expressão: MIMi = MIMi-1 . (1+trfi) + Ximi . (1+tvpi)

Nesta expressão é introduzido um novo coeficiente, designado ‘Taxa de Variação da Produtividade’ (tvpi), res-peitante ao imobilizado adquirido no período i. É um indica-dor médio do incremento da produtividade, associado aos novos equipamentos. Justifica-se este tratamento, por se esperar que tais equipamentos possuam características tecno-lógicas que representem acréscimos de produtividade. Se isto não acontece, ou seja, caso os novos equipamentos sejam semelhantes aos adquiridos em períodos anteriores, então o efeito de tvpi é nulo. Este indicador, tal como o que respeita à reposição física, é um parâmetro do modelo, tratando-se de informação técnica, determinada no âmbito mais especiali-zado da engenharia da produção.


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Sendo feito o ajustamento de AIMi para MIMi, pode ser calculada a capacidade de produção, medida em uph’s, por uma simples regra de proporcionalidade directa, podendo mesmo ser definido um coeficiente de conversão de MIM em uph, embora tal não seja necessário, sendo suficiente considerar uma capacidade inicial conhecida (MIM0).

A restrição de utilização da capacidade disponível pode ser redefinida como:

∑=

p

1j(tphij . Xqpij) ≤ (1 + trfi) . MIMi-1 + (1 + tvpi) . Ximi

j=1,2,...,p ; i=1,2,...,t

1.5. Restrição de igualdade entre origens e aplicações de fundos.

Conforme a estrutura de Activos e Capitais (Balanço), o

Passivo e os Capitais Próprios representam as fontes de financiamento do Activo. O mesmo significa que as Origens de Fundos, representadas por Passivo e Capitais Próprios, se encontram materializadas no Activo. Neste contexto, os dife-rentes tipos de bens do Activo são Aplicações de Fundos.

O modelo assenta num permanente equilíbrio entre ambos os lados do Balanço, não havendo Origens de Fundos que não tenham uma aplicação no Activo, nem elementos do Activo a que não corresponda uma fonte de financiamento, considerada no Passivo ou no Capital Próprio. Esta corres-pondência pode não estar identificada, mas o que verdadei-ramente importa é a igualdade periódica entre os montantes das Origens e Aplicações de Fundos, definida pela seguinte expressão, de acordo com as componentes do balanço:

ACTi = PASi + KPRi Esta condição de equilíbrio pode ser detalhada, conforme

a seguinte igualdade equivalente: AIMi + AEXi + ACIi + ACFi + ACPi + ACCi + ALIi =

= KPRi + PDEi + PFIi + PFEi + PSAi + POCi + PIRi + PILi

Seguidamente são definidas as componentes da estrutura de Activos e Capitais.

1.5.1. Componentes da restrição.

O conceito mais operativo do Activo Imobilizado, que é utilizado neste texto, corresponde ao de Imobilizado Líquido (AIM). Segundo esta acepção, o valor bruto do imobilizado, que corresponde ao valor da sua aquisição, deverá ser perio-dicamente actualizado pela dedução do correspondente mon-tante de amortizações periódicas (CAIi). Nestes termos, o valor contabilístico do imobilizado líquido, em cada período, depende do valor do período anterior, da taxa de amortiza-ções e do valor dos novos equipamentos (aquisições no pró-prio período). As amortizações apenas incidem sobre o imo-

bilizado que transitou de períodos anteriores. A seguinte expressão determina o valor periódico do imobilizado:

AIMi = AIMi-1 . (1-taii) + Ximi

Considerando a variável W01i, tal que W01i = 1 – taii, a expressão de AIMi fica:

AIMi = W01i . AIMi-1 + Ximi

Toda a produção, realizada no período, pode não ser

vendida no próprio período, transitando para o seguinte. Embora se possa determinar um prazo médio de armazena-mento das existências, preferimos utilizar um coeficiente que, de forma equivalente, traduz o montante de existências armazenadas (ainda não vendidas) no fim de cada período (AEXi).

Para valorizar as existências, é necessário conhecer o seu valor no início do período, o das existências vendidas e o do custo da produção realizada, segundo a expressão:

AEXi = AEXi-1 +∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij) –∑

=

p

1j(Ypcij . Xqvij)

Na aquisição de imobilizado (activos fixos), é suportada

uma parte de imposto, posteriormente recuperável, existindo assim um desfasamento temporal. Determina-se o valor des-tas despesas (DIMi), considerando o investimento em capital fixo no período (Ximi) e a taxa de imposto que onera os bens adquiridos (timi), conforme a seguinte expressão:

DIMi = Ximi . (1 + timi) O imposto suportado nas aquisições de capital fixo

(IIMi) é calculado de acordo com a seguinte expressão:

IIMi = Ximi . timi

Determina-se seguidamente o crédito de imposto a recu-perar (ACIi) no final do período, que corresponde a uma percentagem (ucii) do imposto suportado:

ACIi = ucii . IIMi ⇔ ACIi = ucii . timi . Ximi

Considerando a variável W02i, tal que W02i = ucii . timi, a expressão de ACIi fica:

ACIi = W02i . Ximi

Na realização de outras despesas fixas, é suportada uma parte de imposto, posteriormente recuperável, existindo assim um desfasamento temporal. Podem ser determinadas estas despesas (DCFi), considerando o custo correspondente (CCFi) e a taxa de imposto que onera esses custos (tifi), de acordo com a seguinte expressão:

DCFi = ( 1 + tifi ) . CCFi O imposto suportado nas outras despesas fixas (ICFi) é

calculado conforme a expressão:

ICFi = tifi . CCFi


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Determina-se seguidamente o crédito de imposto (ACFi) no final do período, que corresponde a uma percentagem (ucfi) do imposto suportado:

ACFi = ucfi . tifi . CCFi

Traduzida em variáveis elementares, a expressão anterior é equivalente a:

ACFi = ucfi . tifi . tcfi . [(1 + trfi) . AIMi-1 + Ximi]

Se, por comodidade, forem definidos os coeficientes sin-téticos W03i e W04i, tais que: W03i = ucfi . tifi . tcfi . (1+trfi) W04i = ucfi . tifi . tcfi

obtém-se a seguinte expressão de ACFi: ACFi = W03i . AIMi-1 + W04i . Ximi

Na realização das despesas variáveis da produção, é

suportada uma parte de imposto posteriormente recuperável, existindo assim um desfasamento temporal. Podem ser determinadas estas despesas (DCRi), considerando o custo correspondente (CCRi) e a taxa de imposto que onera esses custos (tipi), de acordo com a seguinte expressão:

DCRi = (1 + tipi) . CCRi

O imposto suportado nas despesas variáveis da produção (ICRi) é calculado de acordo com a seguinte expressão:

ICRi = tipi . CCRi Determina-se seguidamente o crédito de imposto a recu-

perar (ACPi) no final do período, que corresponde a uma percentagem (ucpi) do imposto suportado:

ACPi = tipi . ucpi . CCRi ⇔

⇔ ACPi = tipi . ucpi .∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij)

Sendo W05i = tipi . ucpi , a expressão de ACPi fica:

ACPi = W05i .∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij)

Nas vendas realizadas há liquidação de imposto, pelo que

o saldo de clientes, no fim de cada período, é determinado com referência às vendas ilíquidas de imposto. O montante do imposto sobre as vendas (ISVi), no período i, resulta de aplicar uma taxa sobre as vendas líquidas do período (tivi), de acordo com a seguinte expressão: ISVi = tivi . VENi .

Como a cobrança das vendas apresenta normalmente um diferimento temporal, pode ser calculado um prazo médio de recebimento das vendas. Optamos contudo por considerar que, de forma equivalente, é estimado, em cada período, um coeficiente de determinação (unri) do montante das vendas (VILi) ainda não recebidas no fim desse período.

Sendo VILi = VENi . (1 + tivi) determina-se o saldo de clientes ( ACCi ) no fim do período i, conforme a seguinte expressão: ACCi = unri . VILi ⇔ ACCi = unri . (1 + tivi) . VENi

ACCi = unri . (1 + tivi) .∑=

p

1j(Ypvij . Xqvij)

Definindo W06i = unri . (1+tivi) , a expressão de ACCi fica:

ACCi = W06i . ∑=

p

1j(Ypvij . Xqvij)

Conforme a condição de equilíbrio entre Origens e Apli-

cações de Fundos, o valor dos activos de liquidez elevada e imediatamente disponíveis (ALI), é o equivalente à disponi-bilidade financeira de capitais, depois de realizada a cobertu-ra de todos os restantes activos. É definida uma variável de decisão para o montante de disponibilidades (Xlii):

Xlii = ALIi

Como já foi referido, podem ser consideradas restrições para assegurar limiares, mínimo (ALIi

–) e/ou máximo (ALIi

+) para as disponibilidades, isto é:

0 ≤ ALIi – ≤ Xlii ≤ ALIi

+

A contracção de empréstimos (Xdei) incrementa a dívida, mas periodicamente esta é reduzida pelos pagamentos desti-nados à sua amortização. A dívida acumulada, no fim de cada período (PDEi), resulta do valor transitado do período anterior (PDEi-1), dos incrementos resultantes de novos empréstimos (Xdei) e das reduções correspondentes aos pagamentos de amortização (DDEi), conforme a expressão:

PDEi = PDEi-1 + Xdei – DDEi

A despesa de amortização é determinada por um parâme-

tro, designado ‘coeficiente médio de amortização de emprés-timos’ (udei). Este parâmetro pode resultar de outros facto-res, como as condições e cláusulas de negociação dos empréstimos. Aqui apenas interessa considerar o coeficiente que, independentemente da forma como foi obtido, é uma percentagem média da dívida acumulada dos períodos ante-riores, que é amortizada no período.

A amortização da dívida pode então ser definida por:

DDEi = ( PDEi-1 + Xdei ) . udei ( 0 ≤ udei ≤ 1 )

A dívida resultante, no fim do período, pode ser então redefinida pela expressão seguinte:

PDEi = ( PDEi-1 + Xdei ) . (1 – udei )

ou a seguinte, considerando W07i = 1 – udei PDEi = W07i . PDEi-1 + W07i . Xdei


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Como em outras despesas, o pagamento das aquisições de imobilizado pode ser diferido, do que resulta um débito (PFIi) no fim do período, cujo valor é uma percentagem (ufii) dessas despesas, anteriormente determinadas, (DIMi):

DIMi = (1 + timi) . Ximi

Assim PFIi pode ser definido por: PFIi = DIMi . ufii ⇔ PFIi = ufii . (1 + timi) . Ximi

(ufii ≤ 1) ou, considerando W08i = ufii . ( 1 + timi ), pela seguinte expressão: PFIi = W08i . Ximi

Analogamente determina-se o saldo de fornecedores de existências (PFEi) como uma percentagem média (ufei) das despesas variáveis (DCRi), já anteriormente determinadas:

DCRi = CCRi . (1 + tipi)

Assim PFEi pode ser definido por:

PFEi = DCRi . ufei ⇔ PFEi = CCRi . (1 + tipi) . ufei

ou ainda, PFEi = ufei . (1 + tipi) .∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij)

ou, sendo W09i = ufei . (1 + tipi) , pela seguinte expressão:

PFEi = W09i .∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij)

Com procedimento idêntico aos anteriores, determina-se

a dívida a outros credores (POCi) como uma percentagem média (uoci) das despesas fixas (DCFi), já determinadas:

DCFi = CCFi . (1 + tifi) Assim POCi pode ser definido por:

POCi = DCFi . uoci ⇔ POCi = CCFi . (1 + tifi) . uoci ou, de forma equivalente:

POCi = uoci . tcfi . (1 + tifi) . [(1 + trfi) . AIMi-1 + Ximi Utilizando as seguintes variáveis para simplificação:

W10i = uoci . tcfi . (1 + tifi) . (1 + trfi) W11i = uoci . tcfi . (1 + tifi)

A expressão de POCi fica:

POCi = W10i . AIMi-1 + W11i . Ximi

Como já foi referido, nas vendas poderá haver lugar à liquidação de imposto (ISVi). A receita das vendas foi ante-riormente determinada, conforme a seguinte expressão:

ISVi = tivi . VENi

A ocorrência de um diferimento temporal, entre o fim do período e o momento da entrega do imposto liquidado,

determina uma dívida de imposto sobre vendas (PILi), que pode ser considerada como uma percentagem média (uili) de ISVi, conforme a expressão que se segue: PILi = uili . ISVi ⇔ PILi = uili . tivi . VENi Substituindo VENi e fazendo W12i = uili . tivi, obtém-se:

PILi = W12i .∑=

p

1j(Ypvij . Xqvij)

Quando os resultados da actividade, após encargos finan-ceiros (RAIi), são positivos, sobre o seu valor incide uma taxa (tili), que determina o imposto sobre o resultado apura-do no período (IRAi). Considerando que o respectivo paga-mento tem lugar no período seguinte, o imposto a pagar (PIRi) é devido no final do período a que se reporta.

Se não for gerado lucro num dado período, ocorrendo prejuízo (valor negativo de RAIi), não há dívida de imposto nesse período, pelo que PIRi é nulo. Contudo o prejuízo pode ser reportado ao período seguinte e descontado a even-tuais resultados positivos de períodos ulteriores (1).

Face à possibilidade de ocorrência de prejuízo, importa distinguir Resultado Antes de Impostos (RAI) de Resultado Tributável (RTR). A qualquer valor negativo de RAIi cor-responde um RTRi nulo. Nestas circunstâncias, o cálculo do Imposto sobre o Resultado Apurado (IRAi), aplicando uma taxa de imposto (tili) sobre RAIi, determina valores negati-vos, enquanto o Imposto sobre o Resultado Tributável (IRTi) é nulo, ao aplicar a mesma taxa sobre RTRi.

RAIi ≥ 0 ⇒ RTRi = RAIi ⇒

⇒ IRAi = tili . RAIi = tili . RTRi = IRTi ⇒

⇒ RAIi < 0 ⇒ RTRi = 0 ⇒

⇒ IRAi = tili . RAIi < 0 ≠ IRTi = 0

Embora a ocorrência de prejuízos não seja propriamente uma situação atípica, sobretudo quando se realizam investi-mentos avultados, com elevados custos fixos ou com reduzi-das margens brutas de venda, a consideração e o detalhe de possíveis especificidades, de âmbito fiscal, pode dar origem a alguma complexidade no processo de formulação.

Sendo RAI a diferença entre proveitos e custos, isto é:

RAIi = VENi + VEXi – CCRi – CAIi – CCFi – CJEi

ou, desagregando em componentes elementares:

RAIi = ∑=

p

1j[( Ypvij – Ypcij) . Xqvij] – tcfi . Ximi –

W13i . AIMi-1 – tjei . PDEi-1

1 Conforme o regime fiscal em vigor o permita, a ocorrência de prejuízos pode ser reportada a períodos ulteriores, a deduzir a eventuais resultados positivos desses períodos. Contudo, na formulação do modelo em cons-trução, esta hipótese não é considerada, o que poderia aumentar substan-cialmente a complexidade da formulação.


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Nesta expressão de RAI, foi introduzido o coeficiente W13i, definido como:

W13i = taii + tcfi . (1 + trfi)

Determina-se o Resultado Tributável (RTRi), resolvendo o seguinte problema linear, onde Xrti é uma variável auxiliar para determinar PIRi:

RTRi = Min Xrti s.a:

Xrti ≥ RAIi e Xrti ≥ 0

A dívida de imposto (PIR) é determinada como uma fracção de RTR, utilizando a taxa de imposto sobre lucros (til), conforme a seguinte expressão de cálculo:

PIRi = tili . RTRi ⇔ PIRi = tili . Xrti

Determina-se o montante de resultados a distribuir a sócios e/ou accionistas (PSA), como componente do passivo do Balanço, que corresponde exactamente ao valor dos divi-dendos, determinado na Demonstração de Resultados (RLD), isto é: PSAi = RLDi

Tal como PIRi, a componente PSAi pode ser definida em função de RTRi, como se segue:

PSAi = W14i . RTRi ⇔ PSAi = W14i . Xrti

onde W14i = tdri . (1 – tili)

O Capital Próprio (KPR) pode ser decomposto em

várias subrubricas: Capital Subscrito, Reservas de Capital, Resultados Líquidos Retidos de períodos anteriores, etc.

O Capital Subscrito representa a soma das participações dos titulares do Capital Próprio, podendo assumir geralmente duas formas: acções ou quotas. O Capital Subscrito pode sofrer variações no montante, como resultado de:

- subscrição de novas quotas ou acções, resultando em acréscimo líquido do Capital Próprio; - incorporação de Reservas de Capital no Capital Subs-crito: trata-se de uma transferência entre rubricas de capi-tal, não havendo acréscimo líquido do Capital Próprio.

O efeito da incorporação de reservas valoriza o Capital

Subscrito, o que pode gerar novos aumentos de Capital Subscrito, se essa efectivamente for uma finalidade.

A remuneração do Capital Subscrito é realizada pela dis-tribuição de Resultados Líquidos (dividendos), discriminada na Demonstração de Resultados com a notação RLD, sendo efectivamente um custo do capital próprio. A parte não dis-tribuída dos Resultados Líquidos, resulta em autofinancia-mento, que pode ser acumulada em Reservas de Capital.

Os dividendos são determinados pela incidência de uma taxa de distribuição de resultados (tdr) sobre o montante dos Resultados Líquidos. A determinação desta taxa é da exclu-siva responsabilidade da Administração.

Sendo o Capital Subscrito materializado em acções cota-das e transaccionáveis no mercado de capitais, a variação das suas cotações pode reflectir-se no próprio valor da empresa.

As variações do Capital Subscrito são um tipo de variá-vel de decisão, constituindo uma fonte externa de financia-mento de que a própria empresa se torna titular, contraria-mente aos empréstimos obtidos, que se constituem em dívi-da, como uma forma de Passivo.

As Reservas de Capital são fundos de capital próprio que não revertem em Capital Subscrito. Podem resultar de impo-sição legal, da obediência a normas constantes dos estatutos da empresa, de compromissos contratualmente assumidos, de determinadas categorias de subsídios ou de fundos generi-camente constituídos, de modo facultativo, conforme delibe-ração de assembleias de sócios ou accionistas. Neste “bolo” são incluídos, de forma cumulativa, os Resultados Líquidos não distribuídos (RRA) em períodos anteriores (2).

Nestas circunstâncias, simplifica-se a determinação de KPRi num agregado, de acordo com a seguinte expressão:

KPRi = KPRi-1 + RRAi + Xkpi A variável de decisão Xkpi representa o aumento de

capital (Xkpi ≥ 0), que não depende da acumulação de RAI, em sucessivos períodos. De forma autónoma, Xkpi resulta do aumento do Capital Subscrito ou das próprias Reservas de Capital. Quanto às outras parcelas, KPRi-1 é o montante de Capitais Próprios transitado do período anterior.

O Resultado Retido (RRAi) corresponde ao Autofinan-ciamento, obtido por dedução dos dividendos (RLDi) ao Resultado Líquido Apurado (RLAi), sendo definido por:

RRAi = RLAi – RLDi onde RLDi = tdri . RLAi

Por simplificação, não consideramos a eventual reavalia-ção de certos activos fixos, o que daria origem à constituição de reservas de reavaliação, admitindo que a estabilidade do nível geral de preços não interfere nessa reavaliação.

Considerando as anteriores definições de RLAi e RTRi , RRAi pode ser enunciado como:

RRAi = (1 – tili – tdri + tili . tdri) . RTRi ⇔

⇔ RRAi = W15i . RTRi (W15i = 1 – tili – tdri + tili . tdri)

A expressão de KPRi pode então ser definida como:

KPRi = KPRi-1 + W15i . RTRi + Xkpi A seguinte expressão equivalente de KPRi é utilizada

para maior facilidade de formulação:

2 A enumeração dos diferentes tipos de reservas de capital próprio, encontra-se aliás enunciada nos planos de contabilidade comuns, como o Plano Oficial de Contabilidade (22ª edição). Veja-se a este propósito as considerações em Borges et al. [1998] – págs. 242-246 ou em Borges et al. [1997] – págs. 596-601.


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KPRi = KPRi-1 + RAIi – W16i . Xrti + Xkpi

(onde W16i = 1 – W15i)

Seguidamente a expressão anterior é desagregada nas suas componentes elementares:

KPRi = ∑=

p

1j[(Ypvij – Ypcij) . Xqvij] – tcfi . Ximi + Xkpi

–W16i . Xrti – W13i . AIMi-1 – tjei . PDEi-1 + KPRi-1

1.5.2. Formulação da restrição.

O sentido original desta restrição está de acordo com a seguinte expressão: AIMi + AEXi + ACIi + ACFi + ACPi + ACCi + ALIi =

= PDEi + PFIi + PFEi + PSAi + POCi + PIRi + PILi + KPRi

Cada parcela desta igualdade deve ser decomposta nas suas componentes elementares, apresentadas na secção ante-rior, e recomposta para obter uma expressão a integrar na formulação geral do modelo.

Após as necessárias recomposições algébricas, e tratan-do-se de uma restrição extensa, a igualdade entre origens e aplicações de fundos é simplificada pela definição de variá-veis de agregação de indicadores, a seguir apresentadas:

W17ij = (1 + W05i – W09i) .∑=

p

1jYpcij

W18ij = (W06i – W12i – 1) .∑=

p

1jYpvij

W19i = 1 + W02i + W04i – W08i – W11i + tcfi

W20i = – W01i – W03i + W10i – W13i

W21i = W07i – tjei

De forma sintética, obtém-se a seguinte restrição de igualdade entre origens e aplicações:

∑=

p

1j(W17ij . Xqpij) +∑

=

p

1j(W18ij . Xqvij) + W19i . Ximi

– W07i . Xdei – Xkpi + Xlii =

= W20i . AIMi-1 – AEXi-1 + W21i . PDEi-1 + KPRi-1 Nesta expressão final generalizada da restrição de igual-

dade entre origens e aplicações de fundos, não figura a variável de decisão Xrt, porque o coeficiente que lhe seria associado é nulo. Poder-se-ia aditar ao primeiro membro a parcela dependente de Xrt, definida por:

(W16i – W14i – tili) ⋅ Xrti , onde se verifica sempre que, em qualquer período i:

W16i – W14i – tili = 0

Esta constatação faz todo o sentido, atendendo a que o decremento de KPR, por via de RAI, corresponde exacta-

mente à parte de RAI (sempre que este é positivo) utilizada para pagamento de imposto sobre o resultado (PIR) ou para distribuição de lucros aos sócios/accionistas (PSA).

1.6. Restrição para determinação do Resultado Tributável (RTR)

Numa interpretação restrita, a não-negatividade de RTR,

traduz-se na restrição Xrti ≥ 0. Todavia esta restrição está necessariamente associada a uma outra, de cariz funcional, a que já se fez referência: Xrti ≥ RAIi

Se esta restrição funcional for satisfeita, sem garantia do pressuposto de não-negatividade de Xrt, então RTR poderia assumir valores negativos. Como, por definição, RTR é uma grandeza absoluta, as duas condições devem ser simultâneas. Mas no caso de RAI ser não negativo, a não-negatividade de Xrt torna-se redundante. Todavia, neste caso, também Xrt não deverá exceder RAI, condição que, como se disse, só é admissível caso RAI assuma valores negativos.

Por esta razão, definiu-se no ponto 1.5.1 o sub-problema que minimiza Xrt, sujeito às duas restrições anteriores. Como este sub-problema deve ser incorporado no modelo, as funções-objectivo enquadram a variável Xrt afectada por um coeficiente quase totalmente nulo (parâmetro de ínfima per-turbação: 'ε'), como será ilustrado no ponto 1.7. Só nesta condição, pode então ser integrada a segunda restrição, na formulação geral do problema, seguidamente detalhada nas suas componentes elementares:

∑=

p

1j(W22ij . Xqvij) – tcfi . Ximi – Xrti ≤

≤ W13i . AIMi-1 + tjei . PDEi-1 (W22ij = Ypvij – Ypcij)

1.7. Definição das funções-objectivo

No modelo são considerados três objectivos que, se não são mutuamente independentes, são contudo claramente concorrentes, uma vez que, para determinados níveis de desempenho, o incremento na escala de um critério represen-ta necessariamente o decremento na escala dos outros dois. As correspondentes fuções-objectivo são as seguintes:

- Função de Cash-Flow actualizado, interpretável como indicador absoluto da rentabilidade;

- Função linear de actualização das vendas, líquidas de imposto, como indicador do nível de actividade, inde-pendentemente da rentabilidade correspondente;

- Função de actualização da Solvabilidade: para avaliar a capacidade de manter, de forma sustentável, a seguran-ça financeira de médio/logo prazo.

À semelhança do que foi feito relativamente aos diferen-

tes tipos de restrições, apresenta-se seguidamente, de modo fundamentado, a construção de cada um destes critérios.


13

1.7.1. Actualização do Cash-Flow

A base de determinação do Cash-Flow Bruto é o Resul-tado Antes de Impostos (RAIi), enquanto para o Cash-Flow Líquido (RCFi) é o Resultado Líquido (RLAi), determinado após a dedução de encargos financeiros de financiamento e impostos sobre lucros. Face a um Resultado Líquido positi-vo, pode haver distribuição de resultados (dividendos), o que daria lugar ao conceito de Cash-Flow retido, que teria por base o montante de Autofinanciamento (RRAi). Tratando-se de aproximações do Cash-Flow e não cuidando de utilizar uma definição ideal, o Cash-Flow periódico (RCFi) utilizado é calculado pela soma das amortizações do imobilizado (CAIi) com as provisões periódicas e deduzindo a variação de existências (VEXi). Atendendo a que as provisões perió-dicas não são aqui valorizadas, são adoptadas as seguintes expressões para RCF, que são equivalentes: RCFi = RAIi + CAIi – VEXi ⇔

⇔ RCFi = VENi – CCRi – CCFi – CJEi

Cada uma destas expressões é suficientemente geral para abranger os conceitos de Cash-Flow apresentados, bastando, no contexto do modelo e conforme a conveniência, anular ou não as taxas ou coeficientes que permitem determinar o montante de impostos ou de dividendos.

Na primeira expressão figura adicionalmente uma parce-la a deduzir, que corresponde ao valor da variação de exis-tências (VEXi).

Se a abordagem do conceito de Cash-Flow fosse estrita-mente orientada por uma óptica de tesouraria, nem mesmo seria considerada a receita não cobrada das vendas ou, em fluxo de sinal contrário, também não seria considerado o pagamento pendente de custos suportados, porventura resul-tante de crédito corrente de fornecedores, o que reverteria em favor do cash-flow até à sua consumação. Não é seguida esta óptica, pois pode eventualmente distorcer a leitura da lógica de rentabilidade que subjaz à determinação do cash-flow. Por outro lado, pode naturalmente existir uma compensação de fluxos de sinal contrário: o crédito de fornecedores é com-pensado pelo crédito a clientes, ainda que de forma não necessariamente equivalente, mas cujas diferenças não rele-vam para o objectivo essencial da análise de rentabilidade.

Para o conjunto dos períodos, com o detalhe das suas componentes, o valor corrente (não actual) de RCF, virá conforme a seguinte expressão (onde W23i = tcfi . (1 + trfi)):

RCF =∑=

t

1i∑=

p

1j(Ypvij . Xqvij) –∑

=

t

1i∑=

p

1j(Ypcij . Xqpij)

–∑=

t

1i(tcfi . Ximi) –∑

=

t

1i(W23i . AIMi-1) –∑

=

t

1i(tjei . PDEi-1)

–∑=

t

1i(ε ⋅ Xrti)

Quanto à actualização de RCFi, ela tem por referência um coeficiente que reflecte a remuneração definida num mercado de capitais eficiente (tcki), sendo admitida como um parâmetro exógeno, logo não induzida pelo modelo, que poderia ser assimilada à taxa de juros dos empréstimos obti-dos, embora tal não seja necessário. Outra hipótese passaria por aceitar o custo de oportunidade do capital, determinado no âmbito do modelo. A opção por um valor externo facilita a simulação da viabilidade do investimento, em qualquer momento, o que pode não ter correspondência com as taxas de juros de empréstimos obtidos, normalmente mais rígidas, embora derivem da taxa de referência do mercado de capi-tais, que apresenta flutuações mais sensíveis.

O coeficiente de actualização (taki), num qualquer perío-do i, pode então ser definido como:

( )∏= +

=t

1i ii

tck11tak

No último período ( t ) da análise, importa acrescer o pró-prio valor actual do Activo (ACTt), utilizando o coeficiente de actualização takt. A actualização deste agregado pode não ser a mais adequada. A prática corrente recomenda a actuali-zação do valor residual dos equipamentos. No contexto da extensão deste modelo, isto pode tornar-se numa via sinuosa, não sendo necessariamente provido de rigor o cálculo do valor residual. Esta possibilidade é reforçada pela hipótese, embora não admitida(3), de que a empresa sempre poderá transaccionar os bens do próprio imobilizado, em diferentes períodos, que não necessariamente no momento terminal.

Nestes termos é a seguir apresentada uma função de Valor Actual Líquido (VAL) ajustada:

( ) ( )∏∑

∏=

−

=−

=

++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−=t

1ii

t1t

1i1n

1ii

i0

tck1

ACT

tck1

RCF ACTVAL

Importa realçar que, na função ajustada do VAL, o Cash-

Flow terminal (RCFn) é incluído no Activo (ACTn), o que justifica não ser incluído na soma dos cash-flows periódicos.

Embora seja recomendável o uso do VAL como função-objectivo, a sua formulação torna-se substancialmente com-plexa, quando decomposta em termos de variáveis de deci-são, particularmente pela dificuldade em incorporar na for-mulação a actualização de ACTt.

3 A menos que sejam consideradas vendas de imobilizado, no âmbito do planeamento da actividade. Contudo esta hipótese não é enquadrada no escopo da actividade operacional.

Nota: o parâmetro ε representa um valorabsoluto muito próximo de zero (ε ≅ 0).


14

Surge então mais expedito o uso da soma dos Cash-Flows periódicos (RCFi) actualizados, sendo a posteriori calculado o montante do VAL, adoptando como pressuposto a não distorção do sentido do resultado, conforme se consi-dere ou não a inclusão de ACT0 e ACTt .

Adopta-se assim como critério a seguinte função da actualização dos Cash-Flows periódicos:

( )∑∏

=

=+

t

1i t

1ii

i

tck1

RCFMax

Contrariamente ao que acontecia na anterior expressão do VAL, o Cash-Flow do período terminal vem agora incluído no somatório.

Definindo Z01 a função-objectivo que maximiza RCF, Z01 é seguidamente formulada na sua forma mais extensa (com o detalhe de RCF): RCFmáx = Max Z01

Z01 = ∑=

t

1i∑=

p

1j(ucki.Ypvij . Xqvij) –∑

=

t

1i∑=

p

1j(ucki . Ypcij . Xqpij)

– ∑=

t

1i(ucki . tcfi . Ximi) –∑

=

t

1i(ucki . W23i . AIMi-1)

–∑=

t

1i(ucki . tjei . PDEi-1) –∑

=

t

1i(ε ⋅ Xrti)

(Onde ucki = ∑=

t

1i∏=

t

1i(1 + tcki)-1)

1.7.2. Função de actualização das Vendas

Um outro critério, a integrar na formulação, representa o

montante das vendas, líquido de impostos (VENi), como figura na Demonstração de Resultados. Pode-se dizer que, neste caso, apenas interessa facturar a qualquer custo, não relevando a questão da margem obtida. Isto pode natural-mente conduzir a rentabilidade de curto prazo a níveis mais reduzidos, o que não é necessariamente contraproducente face à possibilidade de expansão do nível da procura em períodos posteriores, o que remete para outro tipo de ques-tões, mais relacionadas com o âmbito da competitividade ou estratégias concorrenciais.

À semelhança do cash-flow, também aqui é clara a opção por actualizar os fluxos da receita periódica das ven-das. A formulação da correspondente função-objectivo é bastante simplificada, atendendo a que, neste caso, apenas as variáveis de decisão sobre quantidades a vender (Xqvij), podem assumir coeficientes não-nulos na referida função.

VEN = ∑=

t

1i{[∏

=

t

1i(1 + tcki)-1] . VENi }

Sendo Z02 a função-objectivo que maximiza VEN, pode esta ser definida como a soma actualizada das vendas perió-dicas, seguidamente formulada:

VENmáx = Max Z02

Z02 = ∑=

t

1i∑=

p

1j[ucki . (Ypvij . Xqvij)] –∑

=

t

1i(ε ⋅ Xrti)

1.7.3. Função de actualização da Solvabilidade

Outro critério, a integrar na formulação, representa o nível de solvabilidade e/ou endividamento. O endividamento (Xdei) é uma fonte de financiamento que consiste no recurso a Capitais Alheios, normalmente obtidos por empréstimos (PDEi), em diferentes modalidades possíveis, mas que repre-sentam débitos a médio/longo prazo. Como já foi menciona-do, estes empréstimos são remunerados periodicamente pelo pagamento de juros (CJEi), segundo uma taxa (tjei). Estes empréstimos são periodicamente amortizados (DDEi), con-forme uma taxa média de amortização periódica (udei).

Outras fontes de financiamento, irrelevantes para este critério, resultam dos créditos de conta corrente, obtidos de fornecedores (PFIi, PFEi, POCi) ou do Estado (PIRi e PILi), por prazos relativamente curtos e, por outro lado, apresentam um contrabalanço em termos de Activos Circu-lantes (AEXi, ACIi, ACFi, ACPi, ACCi).

O que agora verdadeiramente importa é avaliar a susten-tabilidade do endividamento a médio e longo prazo, não cui-dando do financiamento dos aspectos funcionais da activida-de corrente, que em grande medida assenta na gestão de cur-to prazo de Capitais e Activos Circulantes.

É também relevante estabelecer uma comparação entre capitais próprios e endividamento, para obter uma determi-nada estrutura financeira, o que permite analisar a relação entre diferentes objectivos. Referem-se a este propósito as seguintes considerações: 1- Se KPR e PDE forem mutuamente coniventes, o que acontece na determinação do Fundo de Maneio (FM), defi-nido como diferença entre a soma daqueles agregados e o Activo Imobilizado (FM = KPR + PDE – AIM), a maximi-zação de FM (outro eventual critério) induziria o recurso a ambas as fontes de financiamento. Já o critério da solvabili-dade coloca KPR e PDE em concorrência, o que pode fazer variar estes agregados em sentido inverso (uma relativamen-te ao outro), isto é:

- aumenta a solvabilidade com o incremento de KPR e a redução de PDE ;

- diminui a solvabilidade com a redução de KPR e o incremento de PDE .


15

2- O aumento da solvabilidade pode também representar redução dos encargos financeiros de financiamento (CJE), o que admite o aumento de RAI e logo também de RLA e VAL, acrescendo o peso da carga fiscal (aspecto penalizador do recurso exclusivo a capitais próprios); 3- O critério da Solvabilidade pode ser mais restritivo do que o Fundo de Maneio, relativamente ao financiamento da acti-vidade, pois enquanto este favorece o aumento de KPR e PDE, o primeiro coloca estes agregados em conflito; 4- Da estrita minimização do nível de endividamento (PDE), poderia simplesmente resultar a sua anulação, pelo que a actividade poderia ser exclusivamente financiada a partir de Capitais Próprios (KPRi), ou aumentando a sua dotação (Xkpi), o que poderia penalizar a capacidade de financiar um ciclo de maior expansão da actividade. Pelo contrário, um elevado nível de endividamento também pode resultar em maior dificuldade na solvência de compromissos, o que resulta agravado, em ciclos de actividade recessivos.

Uma função adequada para definir o critério de solvabi-lidade (RKP), consiste na maximização da soma actualizada, para o conjunto dos períodos, da diferença entre o montante de Capitais Próprios (KPRi) e o nível de Endividamento (PDEi), conforme a expressão seguinte:

RKP =∑=

t

1i{[∏

=

t

1i(1 + tcki)-1]. KPRi – [∏

=

t

1i(1 + tcki) -1]. PDEi }

Sendo Z03 a função-objectivo que maximiza RKP, pode

esta ser definida como a soma actualizada das diferenças periódicas entre KPRi e PDEi, seguidamente detalhada: RKPmáx = Max Z03

Z03i = ∑=

t

1i∑=

p

1j(ucki . W22ij . Xqvij) –∑

=

p

1j(ucki . tcfi . Ximi)

–∑=

p

1j(ucki . W07i . Xdei) +∑

=

t

1i(ucki . Xkpi)

–∑=

p

1j(ucki . W16i . Xrti) –∑

=

t

1i(ucki . W13i . AIMi-1)

–∑=

t

1i(ucki . W24i . PDEi-1) + ∑

=

t

1i(ucki . KPRi-1)

( W24i = W07i + tjei )

1.7.4. Considerações sobre os critérios utilizados

Observa-se que qualquer função-critério é linear, uma vez que o tipo de problema assim o determina. Seria talvez mais adequado avaliar cada critério, em particular a solvabi-lidade, em termos do seu peso relativo, ou seja, em lugar de avaliar uma diferença de montantes monetários, porque não utilizar uma ratio entre essas grandezas? Poderia assim falar-se em solvabilidade relativa. O tipo de problema seria outro, eventualmente não linear, devido à não linearidade da fun-

ção-critério. Esta leitura também é aplicável à rentabilidade definida pelo VAL, mais concretamente a importância relati-va do VAL face ao montante de investimento.

Vários indicadores financeiros têm em atenção o tipo de análise estrutural, em que o peso de um agregado financeiro é determinante da avaliação da liquidez ou solvabilidade, ou da própria rentabilidade. Este tipo de análise pode revelar-se falacioso, quando os montantes são comparados em contex-tos de avaliação estruturalmente diferentes.

Para ilustrar esta falácia, admita-se a utilização da Solva-bilidade, cujo montante resulta de uma infinidade de diferen-ças entre Capitais Próprios e Endividamento. Em termos relativos, esse valor corresponde a ratios tanto mais eleva-dos, quanto mais reduzida é a dimensão da estrutura produti-va. Por hipótese absurda, o indicador tende para infinito, no caso em que quase não exista endividamento, ou seja, a máxima elevação do indicador relativo conduz à erradicação da possibilidade de recurso ao endividamento, do que pode-ria resultar a contracção da actividade, com previsíveis danos na rentabilidade absoluta ou relativa.

Por outro lado, ao maximizar a diferença absoluta, pode resultar o efeito reverso, i.é, a aproximação estrutural das duas grandezas, o que conduz a um maior risco financeiro, qual efeito de alavanca, subjacente à expansão da actividade. Embora aumente a diferença, ela é gradualmente pouco expressiva face à maior dimensão do menor agregado.

Pode ser interessante analisar os indicadores estruturais, apenas servindo como ferramenta de apoio na construção da estrutura de preferências do decisor, permitindo orientar o eventual trade-off, típico de uma análise inter-critério.

Outros objectivos poderiam ser considerados: minimiza-ção do custo de utilização do capital, avaliação do risco dos activos ou do fundo de maneio, valorização dos activos da empresa no mercado, ou outros, nomeadamente de âmbito social. Poderia contudo surgir a dificuldade de estabelecer uma estreita relação de dependência da função-critério rela-tivamente a variáveis de decisão adequadas a outros objecti-vos, ou assumir novas variáveis de decisão para um critério específico, mas irrelevantes para os outros critérios.

No critério das vendas duas situações podem ocorrer: - o máximo de vendas corresponde à procura, se a estru-tura produtiva é suficiente para obter a quantidade que, somada à existência armazenada, satisfaz aquele nível. - o máximo das vendas é inferior à procura, se a estrutura produtiva não é suficiente para obter a produção que, somada à existência armazenada, satisfaz a procura.

Pode daqui resultar relevante determinar qual a dimensão

da estrutura produtiva mais adequada à quota de mercado da empresa. Ao responder a esta questão, surgem necessaria-mente outras, como as que dizem respeito ao investimento e correspondente financiamento.

5

2. Utilização do algoritmo LinearTri para classificação de soluções

Uma vez formulado o modelo geral de planeamento financeiro, surge o momento adequado para submeter este modelo a um processo de validação, utilizando um exemplo numérico, que constitui uma instância do próprio modelo.

Pretende-se então obter um conjunto de soluções não-dominadas, que serão classificadas de acordo com o método 'Electre Tri pessimista' (Yu [1992] e Roy et al. [1993]).

Para realizar a implementação computacional do método Electre Tri pessimista, foi utilizada a aplicação Linear Tri (4) (Lourenço [2000]), onde o problema foi inicialmente formu-lado, para seguidamente se proceder à pesquisa e classifica-ção interactiva das soluções.

4 Aplicação desenvolvida por Rui Pedro Lourenço e João Paulo Costa, integrada na tese de mestrado, de que são autor e orientador: 'Algoritmo Interactivo para Classificação de Soluções Não-Dominadas em Progra-mação Linear Inteira Multi-Objectivo' (Lourenço [2000]).

2.1. Apresentação de um exemplo numérico

É inicialmente conhecida a situação financeira actual de

uma empresa ou unidade económica, que é apresentada na forma de Balanço (Estrutura de Activos e Capitais), confor-me a figura 3.

No quadro da figura 4 apresentam-se os coeficientes pri-mários, de cuja interacção resultam os coeficientes compos-tos da figura 5.

Activo ACT 10 000,00

Imobilizado líquido AIM 7 200,00

Existências de produtos AEX 950,00

Créditos de imposto - Aquisições de imobilizado ACI 420,00 - Outras despesas fixas ACF 280,00 - Despesas variáveis da produção ACP 0,00

Créditos sobre Clientes ACC 0,00

Liquidez imediata ALI 1 150,00

Capital Próprio KPR 4 000,00

Passivo PAS 6 000,00

Dívida de Empréstimos PDE 4 000,00

Fornecedores de imobilizado PFI 1 600,00 Fornecedores de existências PFE 400,00 Sócios e/ou accionistas PSA 0,00 Outros credores POC 0,00

Débitos de imposto - Dívida de imposto sobre resultados PIR 0,00 - Dívida de imposto liquidado nas vendas PIL 0,00

Figura 3 – Estrutura Inicial de activos e capitais (Balanço actual)

Períodos1 2 3

Mde+ 4000 4000 4000

Mkp+ 800 800 800

Mim+ 6000 6000 6000

Mli+ 600 600 600

Mli- 200 200 200

Mqs0A 50

Mqs0B 50

Mqs0C 50

tai 20% 20% 20%

tcf 25% 25% 25%

tck 10% 10% 10%

tdr 20% 20% 20%

tif 15% 15% 15%

til 25% 25% 25%

tim 15% 15% 15%

tip 15% 15% 15%

tiv 15% 15% 15%

tje 10% 10% 10%

trf 25% 25% 25%

tphA 16 16 16

tphB 13 13 13

tphC 10 10 10

Coefic.Simples

Períodos1 2 3

Coefic.Simples

tvp 10% 10% 10%

ucf 25% 25% 25%

uci 25% 25% 25%

ucp 25% 25% 25%

ude 25% 25% 25%

ufe 10% 10% 10%

ufi 10% 10% 10%

uil 25% 25% 25%

unr 15% 15% 15%

uoc 10% 10% 10%

YpcA 3,0 3,0 3,0 3,0

YpcB 7,0 7,0 7,0 7,0

YpcC 9,0 9,0 9,0 9,0

YpvA 10,0 10,0 10,0 10,0

YpvB 12,0 12,0 12,0 12,0

YpvC 11,0 11,0 11,0 11,0

YqdA 500 400 400 400

YqdB 400 600 600 600

YqdC 440 800 800 800

Figura 4 – Estrutura de indicadores primários.

Utilização do algoritmo LinearTri para classificação de soluções .

17

2.2. Formulação do problema conforme exemplo numérico apresentado

O problema é a seguir formulado, sendo concretizado para os referidos indicadores e coeficientes. Nesta formula-ção, os coeficientes das variáveis de decisão são valores numéricos arredondados a quatro casas decimais, enquanto os termos independentes das restrições e funções-objectivo surgem arredondados às unidades.

Figura 5 – Tabela de coeficientes compostos.

2.2.1. Formulação das funções-objectivo

para o exemplo numérico

São agora apresentadas as funções-objectivo conforme o exemplo numérico utilizado: - Maximizar o fluxo acumulado actualizado dos Cash-Flows periódicos - Z01:

Max Z01 = [2.2.1] - 2,7273.Xqp1A - 6,3636.Xqp1B - 8,1818.Xqp1C - 2,4793.Xqp2A - 5,7851.Xqp2B - 7,4380.Xqp2C - 2,2539.Xqp3A - 5,2592.Xqp3B - 6,7618.Xqp3C + 9,0909.Xqv1A + 10,9091.Xqv1B + 10,0000.Xqv1C + 8,2645.Xqv2A + 9,9174.Xqv2B + 9,0909.Xqv2C + 7,5131.Xqv3A + 9,0158.Xqv3B + 8,2645.Xqv3C - 0,6734.Xim1 - 0,4414.Xim2 - 0,1878.Xim3 - 0,1042.Xde1 - 0,0563.Xde2 - ε.Xrt1 - ε.Xrt2 - ε.Xrt3 - 5396 - Maximizar o fluxo acumulado actualizado das vendas líqui-das periódicas - Z02: Max Z02 = [2.2.2] 9,0909.Xqv1A + 10,9091.Xqv1B + 10,0000.Xqv1C + 8,2645.Xqv2A + 9,9174.Xqv2B + 9,0909.Xqv2C + 7,5131.Xqv3A + 9,0158.Xqv3B + 8,2645.Xqv3C - ε.Xrt1 - ε.Xrt2 - ε.Xrt3 - Maximizar o fluxo acumulado actualizado da diferença entre Capit. Próprios e Endividamento (Solvabilidade) - Z03: Max Z03 = [2.2.3] 17,4080.Xqv1A + 83,4335.Xqv1B + 39,6844.Xqv1C + 11,0443.Xqv2A + 41,6980.Xqv2B + 19,6844.Xqv2C + 5,2592.Xqv3A + 3,7566.Xqv3B + 1,5026.Xqv3C - 2,1726.Xim1 - 1,0766.Xim2 - 0,1878.Xim3 - 1,6242.Xde1 - 1,0988.Xde2 - 0,5635.Xde3 + 2,4869.Xkp1 + 1,5778.Xkp2 + 0,7513.Xkp3 - 0,9947.Xrt1 - 0,6311.Xrt2 - 0,3005.Xrt3 - 16358

2.2.2. Formulação das restrições para o exemplo numérico

As restrições do problema, conforme o exemplo numéri-

co utilizado, são as seguintes: - Restrições de igualdade entre origens

e aplicações de fundos [2.2.4-5-6] R1

2,7675.Xqp1A + 6,4575.Xqp1B + 8,3025.Xqp1C - 8,6500.Xqv1A - 10,3800.Xqv1B - 9,5150.Xqv1C + 1,1531.Xim1 - 0,7500.Xde1 – 1,0000.Xkp1 + 1,0000.Xli1 = - 3626

R2:

3,0000.Xqp1A + 7,0000.Xqp1B + 9,0000.Xqp1C + 2,7675.Xqp2A + 6,4575.Xqp2B + 8,3025.Xqp2C - 10,0000.Xqv1A - 12,0000.Xqv1B - 11,0000.Xqv1C - 8,6500.Xqv2A - 10,3800.Xqv2B - 9,5150.Xqv2C + 1,5383.Xim1 + 1,1531.Xim2 - 0,4875.Xde1 - 0,7500.Xde2 - 1,0000.Xkp1 - 1,0000.Xkp2 + 1,0000.Xli2 + 0,4000.Xrt1 = - 6511


18

R3:

3,0000.Xqp1A + 7,0000.Xqp1B + 9,0000.Xqp1C + 3,0000.Xqp2A + 7,0000.Xqp2B + 9,0000.Xqp2C + 2,7675.Xqp3A + 6,4575.Xqp3B + 8,3025.Xqp3C - 10,0000.Xqv1A - 12,0000.Xqv1B - 11,0000.Xqv1C - 10,0000.Xqv2A - 12,0000.Xqv2B - 11,0000.Xqv2C - 8,6500.Xqv3A - 10,3800.Xqv3B - 9,5150.Xqv3C + 1,7931.Xim1 + 1,5383.Xim2 + 1,1531.Xim3 - 0,2906.Xde1 - 0,4875.Xde2 - 0,7500.Xde3 - 1,0000.Xkp1 - 1,0000.Xkp2 - 1,0000.Xkp3 + 1,0000.Xli3 + 0,4000.Xrt1 + 0,4000.Xrt2 = - 8766

- Restrições para determinação do

resultado tributável [2.2.7-8-9] R 4:

7,0000.Xqv1A + 5,0000.Xqv1B + 2,0000.Xqv1C - 0,2500.Xim1 - 1,0000.Xrt1 ≤ 4090

R 5:

7,0000.Xqv2A + 5,0000.Xqv2B + 2,0000.Xqv2C - 0,5125.Xim1 - 0,2500.Xim2 - 0,0750.Xde1 - 1,0000.Xrt2 ≤ 3252

R 6:

7,0000.Xqv3A + 5,0000.Xqv3B + 2,0000.Xqv3C - 0,4100.Xim1 - 0,5125.Xim2 - 0,2500.Xim3 - 0,0563.Xde1 - 0,0750.Xde2 - 1,0000.Xrt3 ≤ 2587

- Limitação sobre quantidades a vender [2.2.10- ⋅⋅⋅ -18]

R 7 : - Xqp1A + Xqv1A ≤ 50 R 8 :

- Xqp1A - Xqp2A + Xqv1A + Xqv2A ≤ 50

R 9 : - Xqp1A - Xqp2A - Xqp3A + Xqv1A + Xqv2A + Xqv3A ≤ 50 R 10 : - Xqp1B + Xqv1B ≤ 50 R 11 :

- Xqp1B - Xqp2B + Xqv1B + Xqv2B ≤ 50

R 12 : - Xqp1B - Xqp2B - Xqp3B + Xqv1B + Xqv2B + Xqv3B ≤ 50 R 13 : - Xqp1C + Xqv1C ≤ 50 R 14 :

- Xqp1C - Xqp2C + Xqv1C + Xqv2C ≤ 50

R 15 : - Xqp1C - Xqp2C - Xqp3C + Xqv1C + Xqv2C + Xqv3C ≤ 50 - Limitação sobre quantidades procuradas [2.2.19- ⋅⋅⋅ -27]

R 16: Xqv1A ≤ 400

R 17: Xqv2A ≤ 400

R 18: Xqv3A ≤ 400

R 19: Xqv1B ≤ 600

R 20: Xqv2B ≤ 600

R 21: Xqv3B ≤ 600

R 22: Xqv1C ≤ 800

R 23: Xqv2C ≤ 800

R 24: Xqv3C ≤ 800 - Capacidade de produção disponível [2.2.28-29-30]

R 25 : 16.Xqp1A + 13.Xqp1B + 10.Xqp1C - 1,1.Xim1 ≤ 7920 R 26 :

16.Xqp2A + 13.Xqp2B + 10.Xqp2C - 1,21.Xim1 - 1,1.Xim2 ≤ 9900

R 27 : 16.Xqp3A + 13.Xqp3B + 10.Xqp3C - 1,5125.Xim1 - 1,21.Xim2 - 1,1.Xim3 ≤ 12375

- Montante máximo de endividamento [2.2.31-32-33]

R 28: Xde1 ≤ 4000 R 29:

Xde2 ≤ 4000

R 30: Xde3 ≤ 4000 - Montante máximo de recurso a capitais próprios [2.2.34-35-36]

R 31: Xkp1 ≤ 800

R 32: Xkp2 ≤ 800

R 33: Xkp3 ≤ 800 - Montante náximo de aquisição de imobilizado [2.2.37-38-39]

R 34: Xim1 ≤ 6000

R 35: Xim2 ≤ 6000

R 36: Xim3 ≤ 6000 - Montante mínimo de disponibilidades (liquidez) [2.2.40-41-42]

R 37: Xli1 ≥ 200

R 38: Xli2 ≥ 200

R 39: Xli3 ≥ 200 - Montante máximo de disponibilidades (liquidez) [2.2.43-44-45]

R 40: Xli1 ≤ 600

R 41: Xli2 ≤ 600

R 42: Xli3 ≤ 600

- Integralidade e não negatividade

- Variáveis inteiras não negativas : Xqp1A ; Xqp1B ; Xqp1C ; Xqp2A ; Xqp2B ; Xqp2C ; Xqp3A ; Xqp3B ; Xqp3C Xqv1A ; Xqv1B ; Xqv1C ; Xqv2A ; Xqv2B ; Xqv2C ; Xqv3A ; Xqv3B ; Xqv3C

- Variáveis reais não negativas : Xim1 ; Xim2 ; Xim3 ; Xde1 ; Xde2 ; Xde3 ; Xrt1 ; Xrt2 ; Xrt3 ; Xkp1 ; Xkp2 ; Xkp3 ; Xli1 ; Xli2 ; Xli3


19

O problema é formulado na aplicação LinearTri. Relati-vamente à formulação anterior, os coeficientes e termos independentes não são arredondados, podendo exceder qua-tro casas decimais, pelo que são apresentados com maior precisão. Por outro lado, o parâmetro de perturbação ε, ainda que próximo de zero, não é contudo um valor quase total-mente nulo na função-objectivo Z01, por se ter verificado que a amplitude de um efeito de ínfima perturbação sobre as variáveis Xrt1 e Xrt2, não é suficiente para garantir que, nos períodos correspondentes (primeiro e segundo), o Resultado Tributável (RTR) não excede o Resultado Antes de Imposto (RAI), quando este é positivo. Este pode ser um aspecto a rectificar em novas versões da aplicação.

Após sucessivas simulações para determinar o coeficien-te mínimo de ε, que garante a igualdade entre RTR e RAI (para valores positivos de RAI), determinaram-se os seguin-tes valores para ε, de acordo com a seguinte reformulação parcial da função-objectivo Z01 :

Max Z01 = [ … ] – 0,1.Xrt1 – 0,1.Xrt2 – 0,000001.Xrt3 Quanto a Z02, o parâmetro ε é ínfimo quanto desejável

Max Z02 = […] – 0,000001.Xrt1

– 0,000001.Xrt2 – 0,000001.Xrt3

Relativamente a Z03, os coeficientes de Xrti são funcio-nalmente determinantes da solvabilidade, pelo que podem assumir valores não nulos:

Max Z03 = [ … ] – 0,994741.Xrt1 – 0,631104.Xrt2 – 0,300526.Xrt3

Ainda relativamente a Z01, como os coeficientes de Xrt1 e Xrt2 não são quase nulos, admite-se que ocorra um ligeiro efeito de distorção nas soluções das restantes variáveis de decisão, assim como no desempenho de Z01. Ainda que esse efeito (caso exista) seja pouco significativo ou negligenciá-vel, não é contudo facilmente neutralizável.

Refira-se também que a aplicação LinearTri não admite valores correspondentes aos termos constantes das funções-

-objectivo, isto é, só admite os que estão associados a variá-veis de decisão. Este pode ser outro aspecto a reter para rec-tificação em posteriores versões.

Para tornar mais significativos os desempenhos dos três critérios, é necessário ajustar os valores obtidos pela aplica-ção, tendo em conta os valores constantes. Em particular, o desempenho de Z02 não carece de ajustamento, como resul-tado de não existir qualquer termo constante e os coeficien-tes de Xrti serem ínfimos. Quanto a Z03, deve apenas ser acrescido o termo constante, pois os coeficientes de Xrti não são necessariamente ínfimos. Quanto a Z01, carece de duplo ajustamento: termo constante independente e anulação do efeito de variação de Xrti, que depende da sua associação a coeficientes não nulos, quando deveriam ser ínfimos.

Dos resultados obtidos com a aplicação, são seguidamen-te definidos os desempenhos ajustados de Z01 e Z03, repre-sentados respectivamente por Z01* e Z03*:

Z01* = Z01 + 0,1.Xrt1 + 0,1.Xrt2 – 5396

Z03* = Z03 – 16358

2.2.3. Resolução do problema multiojectivo

e determinação do ponto ideal.

Após formular e resolver o problema, para determinar o ponto ideal, foram obtidos os resultados constantes da figura 6, onde, na tabela inferior do lado direi-to (Pay-Off Table), cada solução apresenta o seu desempe-nho (já ajustado) em cada objectivo: Z01*, Z02* e Z03*.

Os valores a negrito respeitam ao mais elevado desem-penho de cada objectivo, constituindo as coordenadas do ponto ideal. Na segunda coluna encontra-se a solução de Tchebychef, que é central relativamente às soluções que opti-mizam separadamente cada um dos objectivos. Exibem-se a seguir as demonstrações financeiras (Balanço e Demonstra-ção de Resultados) para cada uma das soluções anteriores.

Vars Sol 1 Sol 2 Sol 3 Tcheb

Xqp1A 350 160 0 0

Xqp1B 550 550 550 550

Xqp1C 0 283 470 481

Xqp2A 400 177 0 137

Xqp2B 600 600 600 600

Xqp2C 102 800 643 563

Xqp3A 400 400 400 400

Xqp3B 600 600 600 600

Xqp3C 726 800 647 799

Xqv1A 400 210 50 50

Xqv1B 600 600 600 600

Xqv1C 50 333 520 531

Xqv2A 400 177 0 137

Xqv2B 600 600 600 600

Xqv2C 102 800 643 563

Xqv3A 400 400 400 400

Xqv3B 600 600 600 600

Xqv3C 726 800 647 799

Vars Sol 1 Sol 2 Sol 3 Tcheb

Xim1 4390,910 4200,000 3572,730 3672,730

Xim2 6,364 3318,180 6,364 1161,820

Xim3 2214,590 963,159 2621,410 2594,730

Xde1 3260,520 3999,720 3987,900 3990,530

Xde2 0,000 3995,990 261,944 1133,980

Xde3 0,000 0,000 0,000 0,000

Xkp1 800,000 800,000 800,000 800,000

Xkp2 1,594 800,000 800,000 800,000

Xkp3 0,000 800,000 800,000 800,000

Xli1 200,000 200,000 200,000 200,000

Xli2 514,074 200,000 200,000 200,000

Xli3 600,000 600,000 598,821 204,044

Xrt1 712,273 0,000 0,000 0,000

Xrt2 255,529 0,000 0,000 0,000

Xrt3 2124,810 625,358 2140,000 1751,950

Z01* 7526,870 5406,709 4999,536 5286,513

Z02* 35280,015 41496,792 37757,701 39528,858

Z03* 64767,276 78752,645 86396,892 84698,107

Figura 6 – Resultados obtidos para as soluções correspondentes ao ponto ideal.


20

Figura 7 – Balanços previsionais para Z01 ideal.

Figura 8 – Resultados previsionais para Z01 ideal.



2.3. Simulação interactiva do algoritmo Linear Tri

A aplicação LinearTri simula o algoritmo interactivo Li-

near Tri (baseado no algoritmo de Durso - Durso [1992]), que gera soluções não-dominadas. Pretende-se, nesta fase, pes-quisar soluções não-dominadas e classificá-las em categorias representativas de uma estrutura de preferências do decisor. É previamente necessário configurar um conjunto de parâ-metros para pesquisar e classificar nodos de soluções gera-dos ao longo da implementação.

Refira-se ainda que o algoritmo se torna muito moroso, no caso de o problema ser formulado com variáveis inteiras.

O problema linear inteiro misto inclui dezoito variáveis inteiras e quinze reais. O processo 'branch-and-bound', de partição das soluções, exige grande consumo dos recursos de processamento (memória, processador e espaço em disco). Face a esta contrariedade, optámos por relaxar o problema, considerando todas as variáveis reais.

Como já foi citado, os valores obtidos, para os diferentes critérios, não são ajustados pelas constantes independentes, assim como pelos coeficientes de Xrti.

Demonstração de Resultados 1 2 3

1 Vendas líquidas de impostos VEN 11 750,00 12 322,00 19 186,00 2 Variação de existências VEX - 950,00 0,00 0,00

3 Proveitos Operacionais VPO 10 800,00 12 322,00 19 186,00

4 Custos da Produção CCR 4 900,00 6 318,00 11 934,00 5 Amortizações do Imobilizado CAI 1 440,00 2 030,18 1 625,42 6 Outros Custos Fixos CCF 3 347,73 3 173,75 3 093,36

7 Custos Operacionais COP 9 687,73 11 521,93 16 652,78

8 Resultado Operacional ROP 1 112,27 800,07 2 533,22

9 Juros de Empréstimos CJE 400,00 544,54 408,40

10 Resultado Antes de Impostos RAI 712,27 255,53 2 124,81

11 Resultado Tributável RTR 712,27 255,53 2 124,81

12 Imposto sobre o Resultado Tributável IRT 178,07 63,88 531,20

13 Resultado Líquido RLA 534,20 191,65 1 593,61

14 Lucros Distribuídos (Dividendos) RLD 106,84 38,33 318,72

15 Resultado Retido (Autofinanciamento) RRA 427,36 153,32 1 274,89

16 Cash-Flow Bruto CFB 3 102,27 2 285,71 3 750,23

17 Cash-Flow Líquido CFL 2 924,20 2 221,83 3 219,03

18 Cash-Flow Retido CFR 2 817,36 2 183,50 2 900,31

Balanços 0 1 2 3

Activo ACT 10 000,00 12 851,73 11 122,89 13 272,42

Imobilizado líquido AIM 7 200,00 10 150,91 8 127,09 8 716,26

Existências de produtos AEX 950,00 0,00 0,00 0,00

Créditos de imposto - Aquisições de imobilizado ACI 420,00 164,66 0,24 83,05 - Outras despesas fixas ACF 280,00 125,54 119,02 116,00 - Despesas variáveis da produção ACP 0,00 183,75 236,93 447,53

Créditos sobre Clientes ACC 0,00 2 026,88 2 125,55 3 309,59

Liquidez imediata ALI 1 150,00 200,00 514,07 600,00

Capital Próprio KPR 4 000,00 5 227,36 5 382,28 6 657,16

Passivo PAS 6 000,00 7 624,37 5 740,61 6 615,26

Dívida de Empréstimos PDE 4 000,00 5 445,39 4 084,04 3 063,03

Fornecedores de imobilizado PFI 1 600,00 504,95 0,73 254,68 Fornecedores de existências PFE 400,00 563,50 726,57 1 372,41 Sócios e/ou accionistas PSA 0,00 106,84 38,33 318,72 Outros credores POC 0,00 384,99 364,98 355,74

Débitos de imposto - Dívida de imposto sobre resultados PIR 0,00 178,07 63,88 531,20 - Dívida de imposto liquidado nas vendas PIL 0,00 440,63 462,08 719,48






8 Resultado Operacional ROP 396,00 - 95,04 1 375,04


10 Resultado Antes de Impostos RAI - 4,00 - 695,02 625,36

11 Resultado Tributável RTR 0,00 0,00 625,36


13 Resultado Líquido RLA - 4,00 - 695,02 469,02


15 Resultado Retido (Autofinanciamento) RRA - 4,00 - 695,02 375,22




Balanços 0 1 2 3

Activo ACT 10 000,00 12 935,26 15 271,18 14 692,01







Passivo PAS 6 000,00 8 139,26 10 370,20 8 615,82


Fornecedores de imobilizado PFI 1 600,00 483,00 381,59 110,76 Fornecedores de existências PFE 400,00 790,86 1 372,07 1 449,00 Sócios e/ou accionistas PSA 0,00 0,00 0,00 93,80 Outros credores POC 0,00 379,50 453,34 433,29



21



2.3.1. Parâmetros de configuração prévios.

Releva agora classificar as soluções, enquadrando-as em categorias, para o que vão ser consideradas três categorias de soluções: "Boas", "Médias" e "Más". Este processo de classi-ficação pode ser interpretado como uma forma de estabelecer uma “relação de preferência” entre soluções não-dominadas, no sentido em que soluções de categorias superiores “são preferidas” às de categorias inferiores. O sentido da catego-rização de soluções não-dominadas é uma tentativa de carac-terizar a estrutura de preferências do agente de decisão.

Figura 13 – Balanços previsionais para a solução de Tchebycheff.

Figura 14 – Resultados previsionais para a solução de Tchebycheff.

No algoritmo Linear Tri, ao longo da sua implementação, vão sendo determinados índices de importância para os dife-rentes critérios, o que precisamente procura reflectir a função de preferência do decisor.

A pesquisa exaustiva das soluções pode revelar-se pouco profícua, no que respeita à avaliação do seu desempenho, se apenas representam variações irrisórias nos diferentes crité-rios. Para obviar a esta possibilidade, os parâmetros delta ("delta values") podem ser definidos para valores que tradu-






8 Resultado Operacional ROP - 193,18 - 19,34 2 272,60


10 Resultado Antes de Impostos RAI - 593,18 - 618,43 1 729,70



13 Resultado Líquido RLA - 593,18 - 618,43 1 297,27


15 Resultado Retido (Autofinanciamento) RRA - 593,18 - 618,43 1 037,82




Balanços 0 1 2 3

Activo ACT 10 000,00 12 402,53 11 999,46 13 857,62







Passivo PAS 6 000,00 8 195,70 7 611,08 7 631,42









8 Resultado Operacional ROP - 193,18 - 498,62 2 608,97


10 Resultado Antes de Impostos RAI - 593,18 - 1 097,71 2 140,00



13 Resultado Líquido RLA - 593,18 - 1 097,71 1 605,00


15 Resultado Retido (Autofinanciamento) RRA - 593,18 - 1 097,71 1 284,00

16 Cash-Flow Bruto CFB 1 796,82 768,84 3 634,51

17 Cash-Flow Líquido CFL 1 796,82 768,84 3 099,51

18 Cash-Flow Retido CFR 1 796,82 768,84 2 778,51

Balanços 0 1 2 3

Activo ACT 10 000,00 12 402,53 10 618,82 12 989,26







Passivo PAS 6 000,00 8 195,70 6 709,70 6 996,14





22

zem variações mais significativas dos critérios, eliminando assim uma maior densidade de soluções, que representam grande proximidade no valor dos objectivos. Foram assumi-dos os seguintes valores para aqueles parâmetros:

Figura 15 – Configuração dos parâmetros delta.

Atendendo à dimensão das escalas dos três critérios, foram estabelecidos os seguintes intervalos de variação para os limiares de indiferença, preferência e veto, sendo aceite o limiar de corte pré-definido pela aplicação.

Figura 16 – Configuração dos parâmetros correspondentes aos limiares de indiferença, de preferência e veto.

2.3.2. Implementação do algoritmo Linear Tri.

Após definir os parâmetros e limiares, conforme as figu-ras 15 e 16, a simulação do algoritmo Linear Tri consistiu em enquadrar as soluções, sucessivamente geradas, nas três categorias pré-definidas, conforme os passos seguintes: - primeiro nodo de soluções:

Das quatro soluções do primeiro nodo, foi seleccionada a primeira (figura 17), sendo classificada como MÀ (figura 17). A opção por esta classificação assenta no facto de, face às outras três soluções do nodo, ostentar desempenhos con-sideravelmente mais baixos nos segundo e terceiro objecti-vos (Obj2 e Obj3). Particularmente o terceiro objectivo patenteia, nesta solução, uma diferença substancial face às outras soluções. Em compensação, a performance de Obj1 é, nesta solução, mais elevada do que nas outras. Pareceu con-tudo, ao decisor, que a assimetria de desempenhos não perfi-la que esta solução seja suficientemente equilibrada para ser enquadrada na categoria imediatamente superior.

Refira-se contudo que esta atribuição poderia posterior-mente ser alterada, caso as soluções a obter, em sucessivos nodos, não revelassem desempenhos qualitativamente dife-renciados. Trata-se portanto de uma escolha realizada numa primeira fase, em que ainda não é perceptível a dimensão da variabilidade dos desempenhos dos três critérios, o que pode resultar da dificuldade inicial em agregar e articular a infor-mação intercritério. Porém, com a evolução do algoritmo, a informação adicional poderá permitir ao decisor superar gra-dualmente essa dificuldade, para melhor fundamentar o pro-cesso de classificação. - Prosseguindo o processo de partição, são obtidos os nodos 2 e 3, recaindo a escolha do nodo 2, para classificação de novas soluções, conforme a figura 19: No nodo 2 é seleccionada a quarta solução (de Tcheby-cheff), que manifesta claras melhorias em Obj2 e Obj3, rela-tivamente à solução classificada no primeiro nodo. Compa-rando a solução escolhida no nodo 2 com as outras do mes-mo nodo, embora Obj1 denota um desempenho significati-vamente menor do que na primeira solução, sendo porém ligeiramente superior ao das outras. Em contrapartida, a pri-

Figura 17 – Determinação do primeiro nodo de soluçoes.


23

meira solução do nodo perde significativamente, em Obj2 e Obj3, relativamente à seleccionada. A diferença é mesmo substancial relativamente a Obj3. Parecendo a solução esco-lhida ser mais equilibrada, pode o decisor julgar razoável atribuir-lhe a classificação BOA, que é aceite nessa catego-ria, como é visualizado na figura 20.

Convém lembrar que as classificações atribuídas encer-ram uma marca de subjectividade na função de preferências

do decisor. As opções de escolha poderiam ser outras, assim como a classificação qualitativa. Tratando-se de uma simula-ção interactiva, as opções do momento podem revelar algu-ma tendência para penalizar Obj1, o que pode ser averiguado na análise dos índices de importância (Kj), o que é aceitável na construção da função de preferências. Possivelmente outro decisor pode implicitamente penalizar ou favorecer outro(s) critério(s) diferente(s).

Figura 18 – Definição da categoria “Más” e respectiva solução de referência.

Figura 19 – Partição do nodo inicial em sub-nodos.

Figura 20 – Definição da categoria BOAS e da sua solução de referência.


24

- Prosseguindo o algoritmo, a partição do nodo 2, dá ori-gem a três novos nodos (4, 5 e 6):

Figura 18 – Partição do nodo 2 em três sub-nodos.

No nodo 5, o decisor selecciona a primeira solução e

pretende classificá-la como MÉDIA, invocando que:

- Obj1 é substancialmente elevado relativamente a todas as restantes soluções do mesmo nodo;

- Obj2 obtém um desempenho equivalente aos da tercei-ra e quarta soluções do mesmo nodo, apresentando, face à segunda solução (a melhor segundo o critério), uma discrepância que até nem é significativa, se se atender à dimensão da escala do critério;

- Obj3 é o critério em que a solução escolhida perde significativamente face às outras soluções.

Pela última das razões, o decisor coerente não tem mo-

tivação para atribuir a classificação de “BOA”, mas pelas duas primeiras razões poderá entender que a solução seja melhor que “MÁ”. Poderá então ser útil comparar esta solução com a que anteriormente recebeu a classificação de “MÁ”. Apresentando novamente os resultados obtidos:

Solução anteriormente classificada como MÁ (nodo 1): (Obj1 = 12826,0 ; Obj2 = 35272,4 ; Obj3 = 81114,3)

Solução escolhida no nodo 5: (Obj1 = 12176,4 ; Obj2 = 39855,2 ; Obj3 = 84777,2) - Em Obj1, a solução seleccionada no nodo 5 aproxima-se da solução escolhida no nodo 1. Pode mesmo verifi-car-se que, comparativamente com a solução “BOA” do nodo 2, esta é substancialmente inferior neste critério; - Em Obj2 e Obj3, os desempenhos da solução “MÁ” (nodo 1) são significativamente inferiores aos da solu-ção escolhida no nodo 5.

É pois admissível que o decisor, “em consciência” (e já não tanto “às cegas”), atribua a classificação de “MÉDIA” à solução escolhida. Esta decisão é coerentemente funda-mentada pelo decisor, que agora possui informação qualifi-cada, o que não acontecia no início do algoritmo.

Na figura 19, verifica-se que a solução escolhida no nodo 5, foi aceite na categoria “MÉDIAS”.

Figura 19- Solução de referência da categoria MÉDIAS.

Até agora foram obtidas e classificadas três soluções,

sendo cada uma delas afecta a uma categoria distinta e, logo também, são necessariamente soluções de referência dessas categorias. Porém a continuação do algoritmo e pos-terior classificação de novas soluções, poderá conduzir a novas soluções de referência.

A implementação do algoritmo irá prosseguir, conti-nuando processo de classificação de soluções. Algumas das soluções poderão não ser enquadráveis pelo método Electre Tri pessimista, mas é obtida uma estrutura Electre válida.

O algoritmo poderia ser continuado, com uma progres-siva extensão da ramificação da árvore de nodos, quase indefinidamente para o exemplo formulado, ou simples-mente pode ser forçada a paragem da partição dos nodos, abandonando a pesquisa de outras soluções.

Em anexo, apresentam-se os resultados obtidos no Linear Tri, para um conjunto de vinte soluções classifica-das, doze das quais incorporam uma estrutura Electre válida nas três categorias de soluções. Também se apresentam os índices de importância, que são interpretados como pesos (a posteriori) na avaliação dos critérios (resulta clara a impor-tância atribuída ao critério da solvabilidade - Obj3), reflec-tindo uma função de estrutura de preferências do decisor.


25

2.4. Interactividade e interface gráfico da aplicação

É concluído este capítulo, fazendo uma breve referência

à adaptação das características de interactividade e de inter-face gráfico da aplicação LinearTri.exe, tendo presente o âmbito mais específico do problema formulado.

Esta aplicação foi desenvolvida para utilização de âmbi-to mais genérico, tendo sido concebida para executar um algoritmo adequado à implementação do método Electre Tri, independentemente de qualquer aplicação específica.

Na perspectiva do desenvolvimento de software de aplicação, como um Sistema de Apoio à Decisão (DSS) assente num modelo especializado de planeamento finan-ceiro, tal como o apresentado neste capítulo, o interface gráfico da aplicação pode ser adaptado para características que facilitem a interactividade com o utilizador. Merecem particular destaque algumas sugestões.

Assim e como já foi referido, a dimensão das células deve ser ajustável ao formato dos valores inscritos, evitan-do o inconveniente da sua visualização parcial.

Por outro lado, seria desejável formular o problema apenas pela introdução directa dos valores dos indicadores primários, dispensando a utilização de uma aplicação externa (como uma folha de cálculo). Com o mesmo propó-sito, poderia a aplicação fornecer informação intermédia, como a que resulta do cálculo dos coeficientes compostos.

Também já foi citado, a aplicação não aceita termos independentes nas funções-objectivo, o que desvirtua a leitura do desempenho dos critérios, impondo a necessidade de ajustamento externo dos valores obtidos.

A designação das variáveis de decisão deveria ser mais significativa da sua representação física. Refiram-se, a pro-pósito, as notações das variáveis na formulação do modelo. Pela mesma razão, também os valores numéricos das solu-ções dessas variáveis, deveriam surgir junto das correspon-dentes notações, à semelhança do quadro da figura 7.

Um outro melhoramento gráfico, interessante e útil, passaria pela possibilidade de obter diferentes modos de visualização (“vistas”) sobre os dados:

- um modo de edição (ou “escrita”), que neste caso con-sistiria na selecção e classificação das soluções geradas nos sucessivos nodos, onde poderia ser de grande utili-dade introduzir controlos gráficos (botões de comando), como por exemplo a hipótese de anular ou repor uma classificação ou a partição de um determinado nodo; - um ou vários modos de consulta (ou “leitura”), de que por exemplo se refere a possibilidade de incluir gráficos comparativos do desempenho dos diferentes critérios, ou a de visualizar o histórico das operações realizadas;

- a inclusão simultânea dos diferentes modos de visuali-zação, seria uma forma eficiente de coordenar, de modo integrado, a implementação do algoritmo.

Também seria importante incluir, nos modos de consul-

ta, funcionalidades que permitam restringir a visualização de dados a valores mais significativos, para obter uma ime-diata comparabilidade dos dados. Neste caso, seriam adita-das opções de filtragem por controlos visuais (“combo boxes”) ou por parametrização numérica de limites (intro-dução de valores em “text boxes”). Um exemplo concreto pode passar pela selecção das soluções com um determina-do desempenho mínimo em algum dos objectivos.

A leitura dos dados poderia tornar-se ainda mais signi-ficativa com a relativização dos seus valores. Um exemplo, sem dúvida interessante, passaria por traduzir os níveis de desempenho como uma percentagem calculada da distância (qualquer que seja a métrica utilizada: L1, L2 ou L∞) ao ponto ideal, face à amplitude de variação de cada objectivo, o que pode ser encarado como forma de normalizar os desempenhos dos critérios a uma medida comum.

Por fim, salienta-se a necessidade de implementar pro-cedimentos de geração de outputs (para ecrã ou impresso-ra), na forma de relatórios, como as demonstrações finan-ceiras (Balanços e Demonstrações de Resultados), cuja leitura é significativa para o decisor. Estes mapas financei-ros não são necessariamente os únicos com valor de inte-resse. Outros mapas podem ser gerados, como orçamentos financeiros ou de tesouraria, ou mesmo a previsão de fluxos de caixa, que derivam da informação produzida. Outros mapas intermédios podem ser relevantes para análise, ou mesmo para articulação com o processamento do algorit-mo, caso o decisor não se sinta suficientemente familiariza-do com o controlo do fluxo do aplicativo informático.

A menor sensibilidade à utilização da aplicação pode necessariamente requerer o uso da informação em papel, o que se pode justificar pela sobrecarga gráfica sobre o ecrã, que venha a ser acumulada pela disposição simultânea de diferentes modos de visualização, como resultado da acti-vação de janelas sucessivas, o que pode comprometer o sentido de orientação do processamento do algoritmo.

Conclusão

Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de planea-mento financeiro, formulado em programação linear multi-objectivo, que representa o plano da actividade operacional e financeira de uma empresa para um espaço inter-temporal de períodos regulares e consecutivos, considerando que são produzidos e comercializados vários produtos distintos. O problema linear multi-objectivo foi definido por três funções-objectivo e uma diversidade de restrições funcio-nais, que caracterizam os aspectos significativos da realidade modelada, embora necessariamente assentem em alguns pressupostos de simplificação, evitando assim a complexida-de de uma formulação muito extensa. Foram definidos três critérios: o lucro líquido ajustado para contemplar outras componentes do cash-flow, o volume de vendas líquidas de impostos e o nível de segurança finan-ceira (solvabilidade), definido como a diferença entre capi-tais próprios e endividamento. Todas estas funções representam somas de fluxos perió-dicos, que são actualizados a partir de uma taxa de referên-cia, que pode variar no tempo, procurando traduzir uma aproximação do custo de utilização do capital. As restrições funcionais foram agrupadas em nove tipos distintos: igualdade entre origens e aplicações de fundos, capacidade produtiva, procura estimada, quantidades vendá-veis, capacidade de endividamento, recurso a capitais pró-prios, investimento em activos fixos, liquidez de tesouraria e definição do resultado tributável.

O âmbito da decisão recaiu essencialmente sobre a deter-minação das quantidades periódicas produzidas de cada pro-duto, os níveis de financiamento por endividamento e/ou recurso a capitais próprios, o investimento em activos fixos e os níveis de liquidez desejáveis. O modelo de decisão foi estruturado recorrendo à aplica-ção LinearTri, para determinar soluções não-dominadas e proceder posteriormente à simulação interactiva da classifi-cação dessas soluções, ao executar o algoritmo Linear Tri, incorporado na aplicação, que adapta o método Electre Tri pessimista para classificar soluções não-dominadas, afectan-do-as a categorias previamente definidas. Foi também enunciada uma instância do modelo finan-ceiro para três produtos e três períodos temporais consecuti-vos. Para a definição de três categorias de soluções (BOAS, MÉDIAS e MÁS), foi obtida uma estrutura final, para carac-terizar uma função de preferências do decisor. A utilização do exemplo permitiu apresentar algumas sugestões para personalizar o interface da aplicação informá-tica, automatizando o fluxo do aplicativo face às característi-cas do ambiente de decisão.

Referências Borges et al. [1997] Borges, A. et A. Rodrigues - R. Rodrigues "Elementos de Contabilidade Geral" – Editora Rei dos Livros, 15ª Edição –

Borges et al. [1998] Borges, A. et M. Ferrão "A Contabilidade e a Prestação de Contas" – Editora Rei dos Livros, 7ª Edição –

Calado [2004] Calado, M. P. "Um Modelo de Planeamento Financeiro para Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Multi-Objectivo" – Tese de Mestrado - Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra. –

Durso [1992] Durso, A. "An Interactive Combined Branch-and-Bound Algorithm for Multiple Criteria Optimization." – Multiple Criteria Decision Making - 9th Conference on MCDM, pp. 107-122 - Duckstein and S. Zionts Eds. –

Lourenço [2000] Lourenço, Rui P. "Algoritmo Interactivo para Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Inteira Multi-Objectivo." – Tese de Mestrado - Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra. –

Lourenço et al. [2004] Lourenço, Rui P. et João P. Costa "Using ELECTRE TRI outranking method to sort MOMILP nondominated solutions" – European Journal of Operational Research 153 (2004) 271-289 –

Roy et al. [1993] Roy, B. et D. Bouyssou "Aide Multicritére à la Décision: Méthodes et Cas." – Economica, Paris. – Yu [1992] Yu, W. "ELECTRE TRI - Aspects Méthodologiques et Guide d' Utilization." – Document du LAMSADE 74, Université Paris-Dauphine. –

ANEXO – Configuração de parâmetros e classificação de soluções não-dominadas

Seguidamente apresenta-se informação sobre a configuração dos parâmetros Electre Tri

para o problema simulado na aplicação LinearTri.exe, assim como alguns resultados gerados

pela aplicação: nodos criados, valores dos objectivos, classificação das soluções obtidas,

assim como os valores das variáveis de decisão para as soluções classificadas.

DURSO PARAMETERSObj.Nr. Obj1 Obj2 Obj3Delta j 200 500 1000

ELECTRE TRI PARAMETERSObj.Nr. MIN MAX K Pref. Indif. VetoObj1 -1265,22 12826 1 400 200 2000Obj2 -622,841 41499,5 2,92721 1000 500 5000Obj3 -3,01E+08 102773 3,92721 2000 1000 10000

Cutting Level: 0,5

CATEGORIES DEFINEDBoasMédiasMás

NODES CREATED

Name Ideal L,Bounds I Set Parent

Node 1 (12826 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; -622,841 ; -3,00541E8) I {2, 3} -1

Node 2 (12813,6 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; 35772,4 ; -3,00541E8) I {1, 2, 3} 1

Node 3 (12803,2 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; -622,841 ; 82114,3) I {2, 3} 1

Node 4 (12813,6 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 35772,4 ; -3,00541E8) I {2, 3} 2

Node 5 (12176,4 ; 41499,5 ; 102651) (-1265,22 ; 39855,2 ; -3,00541E8) I {2, 3} 2

Node 6 (10640 ; 40961,2 ; 102773) (-1265,22 ; 35772,4 ; 101629) I {1} 2

Node 7 (12061,7 ; 41499,5 ; 102602) (-1265,22 ; 40355,2 ; -3,00541E8) I {2, 3} 5

Node 8 (12104,9 ; 41499,5 ; 102651) (-1265,22 ; 39855,2 ; 85777,2) I {1, 3} 5

Node 9 (12785,4 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; 36393,9 ; 82114,3) I {2, 3} 3

Node 10 (12778,8 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; -622,841 ; 83114,3) I {1, 2} 3

Node 11 (12760,4 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; 36893,9 ; 82114,3) I {1, 2, 3} 9

Node 12 (12749,6 ; 41499,5 ; 102773) (-1265,22 ; 36393,9 ; 83836,7) I {1, 3} 9

Node 13 (12791,5 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 36272,4 ; -3,00541E8) I {1, 3} 4

Node 14 (12791,7 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 35772,4 ; 82595,2) I {2, 3} 4

Node 15 (12778,8 ; 41499,5 ; 101873) (10594,1 ; -622,841 ; 83114,3) I {1, 3} 10

Node 16 (12538,6 ; 41499,5 ; 102758) (-1265,22 ; 38274,2 ; 83114,3) I {1, 3} 10

Node 17 (12791,5 ; 41454,2 ; 99341,4) (11069,3 ; 36272,4 ; -3,00541E8) I {} 13

Node 18 (11610,1 ; 41303,9 ; 100407) (10869,3 ; 36272,4 ; 95815,3) I {} 13

Node 19 (11947 ; 41499,5 ; 101841) (-1265,22 ; 40855,2 ; -3,00541E8) I {} 7

Node 20 (11990,2 ; 41499,5 ; 102602) (-1265,22 ; 40355,2 ; 85698,9) I {} 7

Node 21 (12104,9 ; 41499,5 ; 99010,6) (10850,1 ; 39855,2 ; 85777,2) I {} 8

Node 22 (11215,6 ; 41497,2 ; 102651) (-1265,22 ; 39855,2 ; 96093) I {} 8

Node 23 (10640 ; 39953,1 ; 102692) (10412,9 ; 35772,4 ; 101629) I {1, 2} 6

Node 24 (12760,4 ; 41499,5 ; 100472) (10857,1 ; 36893,9 ; 82114,3) I {} 11

Node 25 (12167 ; 41499,5 ; 102648) (-1265,22 ; 39896,2 ; 82114,3) I {} 11

Node 26 (10632,3 ; 40940,9 ; 102773) (-1265,22 ; 36893,9 ; 101670) I {} 11

Node 27 (12778,8 ; 41499,5 ; 100509) (10850,1 ; -622,841 ; 83114,3) I {} 15

Node 28 (11575,9 ; 41497,1 ; 101873) (10594,1 ; -622,841 ; 96093) I {} 15

Node 29 (10640 ; 38060 ; 101773) (10612,9 ; 35772,4 ; 101629) I {} 23

Node 30 (10593,3 ; 39953,1 ; 102562) (10412,9 ; 38245,7 ; 101629) I {} 23

Node 31 (12538,6 ; 41499,5 ; 100284) (10850,1 ; 38274,2 ; 83114,3) I {} 16

Node 32 (11524,7 ; 41497,2 ; 102758) (-1265,22 ; 38274,2 ; 96093) I {} 16

Node 33 (12749,6 ; 41499,5 ; 100509) (10850,1 ; 36393,9 ; 83836,7) I {} 12

Node 34 (11575,9 ; 41497,2 ; 102773) (-1265,22 ; 36393,9 ; 96093) I {} 12

Node 35 (12770,3 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 36696,4 ; 82595,2) I {2, 3} 14

Node 36 (12762,2 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 35772,4 ; 83595,2) I {} 14

Node 37 (12743,1 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 37196,4 ; 82595,2) I {2, 3} 35

Node 38 (12707,9 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 36696,4 ; 84362,2) I {} 35

Node 39 (12666,5 ; 41499,5 ; 100394) (10869,3 ; 37696,4 ; 82595,2) I {2, 3} 37

Node 40 (12682,9 ; 41499,5 ; 100407) (10869,3 ; 37196,4 ; 84581,7) I {} 37

Node 41 (12556,3 ; 41499,5 ; 100227) (10869,3 ; 38196,4 ; 82595,2) I {2, 3} 39

Node 42 (12599,9 ; 41499,5 ; 100394) (10869,3 ; 37696,4 ; 85433,5) I {} 39

SOLUTIONS NOT IN ELECTRE STRUCTURE

Objectives Node ELECTRE

O(10869,3,41499,5,94815,3) Médias Médias

O(10650,1,41499,5,95093) Médias Médias

O(10657,1,39396,2,100670) Médias Boas

O(10412,9,37745,7,102692) Médias Boas

O(12791,7,36196,4,82595,2) Médias Más

O(12770,3,36696,4,83362,2) Médias Más

SOLUTIONS IN ELECTRE STRUCTURE

Objectives Category SigmaS

O(10669,3,39355,2,100629) Boas 0,5

O(10212,9,40534,1,102346) Boas 1

O(10394,1,37774,2,102773) Ref - Boas 1

O(12176,4,39855,2,84777,2) Médias 1

O(12743,1,37196,4,83581,7) Médias 0,568673

O(12666,5,37696,4,84433,5) Médias 0,627317

O(12556,3,38196,4,85025,3) Médias 0,627317

O(12061,7,40355,2,84698,9) Ref - Médias 1

O(12826,35272,4,81114,3) Más 1

O(12785,4,36393,9,82836,7) Más 1

O(12803,2,35893,9,82114,3) Más 1

O(12813,6,35772,4,81595,2) Ref - Más 1

Na página seguinte, apresentam-se os valores das variáveis de decisão, correspondentes

a cada solução da tabela anterior, pela ordem desta. Os valores são separados por vírgulas “,”, enquanto o ponto “.” é o separador decimal. A sequência das variáveis de decisão é a seguinte:

Xqp1A , Xqp1B , Xqp1C , Xqp2A , Xqp2B , Xqp2C , Xqp3A , Xqp3B , Xqp3C ,

Xqv1A , Xqv1B , Xqv1C , Xqv2A , Xqv2B , Xqv2C , Xqv3A , Xqv3B , Xqv3C ,

Xim1 , Xim2 , Xim3 , Xde1 , Xde2 , Xde3 , Xkp1 , Xkp2 , Xkp3 ,

Xli1 , Xli2 , Xli3 , Xrt1 , Xrt2 , Xrt3

FINAL CLASSIFICATION

Objectives Category Obj1 Obj2 Obj3

O(10669,3,39355,2,100629) Boas 10669,3 39355,2 100629

O(10212,9,40534,1,102346) Boas 10212,9 40534,1 102346

O(10657,1,39396,2,100670) Boas 10657,1 39396,2 100670

O(10412,9,37745,7,102692) Boas 10412,9 37745,7 102692

O(10394,1,37774,2,102773) Ref - Boas

O(12176,4,39855,2,84777,2) Médias 12176,4 39855,2 84777,2

O(12743,1,37196,4,83581,7) Médias 12743,1 37196,4 83581,7

O(12666,5,37696,4,84433,5) Médias 12666,5 37696,4 84433,5

O(12556,3,38196,4,85025,3) Médias 12556,3 38196,4 85025,3

O(10869,3,41499,5,94815,3) Médias 10869,3 41499,5 94815,3

O(10650,1,41499,5,95093) Médias 10650,1 41499,5 95093

O(12061,7,40355,2,84698,9) Ref - Médias

O(12826,35272,4,81114,3) Más 12826 35272,4 81114,3

O(12785,4,36393,9,82836,7) Más 12785,4 36393,9 82836,7

O(12803,2,35893,9,82114,3) Más 12803,2 35893,9 82114,3

O(12791,7,36196,4,82595,2) Más 12791,7 36196,4 82595,2

O(12770,3,36696,4,83362,2) Más 12770,3 36696,4 83362,2

O(12813,6,35772,4,81595,2) Ref - Más

FIN

AL

CLA

SS

IFIC

ATI

ON

Var

iabl

es

V(

0 ; 5

50 ;

470.

979

; 135

.617

; 60

0 ; 5

63.4

32 ;

400

; 600

; 79

1.02

1 ;

50 ;

600

; 520

.979

; 13

5.61

7 ; 6

00 ;

563.

432

; 400

; 60

0 ; 7

91.0

21 ;

3581

.63

; 124

5.84

; 25

55.0

4 ; 4

000

; 124

0.36

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

800

; 200

; 20

0 ; 2

00 ;

0 ;

0 ;

1731

.7)

V(

0 ; 5

50 ;

470.

979

; 17.

0794

; 60

0 ; 7

93.2

87 ;

400

; 600

; 79

9.36

2 ;

50 ;

600

; 520

.979

; 17

.079

4 ; 6

00 ;

793.

287

; 400

; 60

0 ; 7

99.3

62 ;

3581

.63

; 161

1.25

; 22

28.9

1 ; 4

000

; 236

0.31

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

800

; 200

; 20

0 ; 2

00 ;

0 ;

0 ;

1558

.64)

V(

0 ; 5

50 ;

470.

979

; 132

.732

; 60

0 ; 5

69.8

98 ;

400

; 600

; 79

1.74

9 ;

50 ;

600

; 520

.979

; 13

2.73

2 ; 6

00 ;

569.

898

; 400

; 60

0 ; 7

91.7

49 ;

3581

.63

; 126

2.66

; 25

43.1

4 ; 4

000

; 127

8.4

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

800

; 200

; 20

0 ; 2

00 ;

0 ;

0 ;

1724

.65)

V(

0 ; 5

50 ;

470.

979

; 5.5

0488

; 60

0 ; 6

34.5

69 ;

400

; 600

; 64

8.12

8 ;

50 ;

600

; 520

.979

; 5.

5048

8 ; 6

00 ;

634.

569

; 400

; 60

0 ; 6

48.1

28 ;

3581

.63

; 0

; 26

26.4

3 ; 4

000

; 230

.39

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

800

; 200

; 20

0 ; 6

00 ;

0 ;

0 ;

2142

.3)

V(

0 ; 5

50 ;

470.

979

; 0

; 60

0 ; 6

43.3

77 ;

400

; 600

; 64

7.39

3 ;

50 ;

600

; 520

.979

; 0

; 60

0 ; 6

43.3

77 ;

400

; 600

; 64

7.39

3 ; 3

581.

63 ;

0 ;

2619

.75

; 400

0 ; 2

59.3

27 ;

0 ;

800

; 800

; 80

0 ; 2

00 ;

200

; 600

; 0

; 0

; 21

40.3

3)

V(3

50 ;

550

; 59.

8253

; 40

0 ; 6

00 ;

472.

19 ;

400

; 600

; 80

0 ; 4

00 ;

600

; 109

.825

; 40

0 ; 6

00 ;

472.

19 ;

400

; 600

; 80

0 ; 4

934.

78 ;

2773

.47

; 589

.989

; 40

00 ;

2639

.24

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

0 ;

200

; 200

; 60

0 ; 6

95.9

57 ;

0 ;

798.

297)

V(3

50 ;

550

; 36.

2594

; 40

0 ; 6

00 ;

205.

647

; 400

; 60

0 ; 8

00 ;

400

; 600

; 86

.259

4 ; 4

00 ;

600

; 205

.647

; 40

0 ; 6

00 ;

800

; 472

0.54

; 58

6.01

4 ; 1

796.

46 ;

3708

.71

; 0

; 0

; 80

0 ; 4

42.3

57 ;

0 ;

200

; 200

; 60

0 ; 7

02.3

84 ;

115.

36 ;

1919

.92)

V(3

50 ;

550

; 59.

8253

; 40

0 ; 6

00 ;

234.

724

; 400

; 60

0 ; 8

00 ;

400

; 600

; 10

9.82

5 ; 4

00 ;

600

; 234

.724

; 40

0 ; 6

00 ;

800

; 493

4.78

; 61

4.69

5 ; 1

737.

64 ;

4000

; 0

; 0

; 80

0 ; 5

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22 ;

0 ;

200

; 200

; 60

0 ; 6

95.9

57 ;

34.7

023

; 181

5.7)

V(3

50 ;

550

; 59.

8253

; 40

0 ; 6

00 ;

289.

724

; 400

; 60

0 ; 8

00 ;

400

; 600

; 10

9.82

5 ; 4

00 ;

600

; 289

.724

; 40

0 ; 6

00 ;

800

; 493

4.78

; 11

14.7

; 15

26.0

1 ; 4

000

; 383

.863

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

0 ;

200

; 200

; 60

0 ; 6

95.9

57 ;

19.7

023

; 158

3.57

)

V(1

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00 ;

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; 800

; 40

0 ; 6

00 ;

800

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4.41

; 33

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5 ; 6

22.9

58 ;

4000

; 40

00 ;

0 ;

800

; 800

; 41

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4 ; 2

00 ;

200

; 600

; 0

; 0

; 70

5.94

1)

V(1

61.0

87 ;

550

; 281

.745

; 17

7.64

8 ; 6

00 ;

800

; 486

.43

; 600

; 80

0 ; 2

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87 ;

600

; 331

.745

; 17

7.64

8 ; 6

00 ;

800

; 400

; 60

0 ; 8

00 ;

4204

.41

; 332

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; 75

2.89

2 ; 4

000

; 400

0 ;

0 ;

800

; 800

; 80

0 ; 2

00 ;

200

; 600

; 0

; 0

; 67

3.45

8)

V(3

50 ;

550

; 59.

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; 40

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; 80

0 ; 4

00 ;

600

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; 40

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00 ;

527.

19 ;

400

; 600

; 80

0 ; 4

934.

78 ;

3273

.47

; 305

.786

; 40

00 ;

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.08

; 0

; 80

0 ; 8

00 ;

0 ;

200

; 200

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95.9

57 ;

0 ;

562.

111)

V(3

50 ;

550

; 0

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0 ; 6

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50

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00 ;

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0 ;

0 ;

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; 0

; 0

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600

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.273

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; 21

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6)

V(3

50 ;

550

; 0

; 40

0 ; 6

00 ;

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00 ;

400

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600

; 157

.258

; 40

0 ; 6

00 ;

800

; 439

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74 ;

3260

.52

; 0

; 0

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200

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; 60

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; 198

5.32

)

V(3

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550

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600

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.517

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00 ;

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616

; 439

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3260

.52

; 0

; 0

; 80

0 ; 3

79.6

94 ;

0 ;

200

; 600

; 60

0 ; 7

12.2

73 ;

246.

934

; 204

5.96

)

V(3

50 ;

550

; 0

; 40

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259

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; 60

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; 400

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59 ;

400

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45 ;

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.52

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0 ;

200

; 600

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73 ;

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095

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; 0

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0 ;

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.812

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12.2

73 ;

231.

384

; 191

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)

V(3

50 ;

550

; 0

; 40

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786.

354

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52 ;

0 ;

0 ;

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; 47

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1 ; 2

00 ;

600

; 600

; 71

2.27

3 ; 2

55.7

2 ; 2

109.

86)

Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de ... · Um Modelo de Planeamento Financeiro...

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