Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - IFMT

Campus Várzea Grande

Curso: Técnico em Des. Construção Civil Turma: DCC01A 2017/2

Disciplina: Matemática I Professor: Emerson Dutra

Discente:

Obs.: Seja cuidadoso com sua argumentação, pois a clareza da sua resposta também será avaliada.

Lembre-se, somente serão consideradas corretas respostas acompanhadas de seu respectivo

desenvolvimento.

Prova Bimestral - 1° bimestre - 27/09/2017

Valor: 6,0 pontos

Questão 1. [0.50 ptos] Determine o conjunto domínio das seguintes funções reais e represente na

reta real:

a. [0.25 ptos] f(x) =√−3 + 6x b. [0.25 ptos] g(x) =

√−2x + 6

−5x + 15

Solução do item (a).

−3 + 6x ≥ 0⇒ 6x ≥ 3⇒ x ≥ 36⇒ x ≥ 1

2.

Solução do item (b).

−2x + 6 ≥ 0⇒ −2x ≥ −6⇒ 2x ≤ 6⇒ x ≤ 3 e −5x + 15 6= 0⇒ −5x 6= −15⇒ x 6= 3.

Questão 2. [0.75 ptos] O grá�co abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente,

mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.

a. [0.50 ptos] Encontre a equação que expressa o número de espécies ameaçadas de extinção em

função do tempo (em anos).

b. [0.25 ptos] Se mantida pelos próximos anos a tendência de crescimento mostrada no grá�co, qual

será o número de espécies ameaçadas de extinção no ano de 2011?

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Solução do item (a). De f(1983) = 239 e f(2007) = 461 construimos o seguinte sistema:1983a + b = 239

2007a + b = 461⇒

−1983a− b = −239

2007a + b = 461⇒

24a = 222

a = 22224

a = 374

Substituindo o valor de a em 1983a + b = 239 obtemos:

1983a + b = 239

1983.374

+ b = 239

b = 239− 73.3714

b = 956−73.3714

b = −72.4154

Portanto, teremos f(x) = 374a− 72.415

4.

Solução do item (b). Temos que f(2011) = 37(2011)−72.4154

⇒ f(2011) = 498. Logo o número de

espécies ameaçadas de extinção no ano de 2011 será de 498.

Questão 3. [0.75 ptos] Considere a função a�m dada por f(x) = −3x + 4. Determine:

a. [0.50 ptos] Em que pontos a reta correspondente corta os eixos x e y?

b. [0.25 ptos] A função é crescente ou decrescente?

Solução do item (a). Temos que a reta corta o eixo x no ponto de coordenada (x1, 0), onde x1 é a

raiz da função f(x). Como f(x) = 0 ⇒ −3x + 4 = 0 ⇒ x = 43, temos que x1 = 4

3e assim o ponto

será (43, 0). Já o ponto de intersecção da reta com o eixo y será o ponto (0, b), ou seja, como b = 4

2

teremos que o ponto terá coordenada (0, 4).

Solução do item (b). Note que a = −3, ou seja, temos que a < 0, logo a função é decrescente.

Questão 4. [0.50 ptos] Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m−1)x2 +

(2m + 3)x + m tenha:

i. dois zeros reais e distintos;

ii. uma raiz real (raizes reais iguais);

iii. raizes complexas (não real).

Solução. Calculando o discriminante da equação do 2° grau (m−1)x2 + (2m+ 3)x+m = 0 obtemos:

∆ = b2 − 4.a.c = (2m + 3)2 − 4.(m− 1).m = 4m2 + 12m + 9− 4m2 + 4m = 16m + 9.

Temos assim que:

(i) x1, x2 ∈ R e x1 6= x2 para ∆ > 0, ou seja, m > − 916.

(ii) x1, x2 ∈ R e x1 = x2 para ∆ = 0, ou seja, m = − 916.

(iii) x1, x2 /∈ R (raízes complexas) para ∆ < 0, ou seja, m < − 916.

Questão 5. [1.0 ptos] Seja ϕ(x) = −12x + 1, determine:

a. [0.25 ptos] a raíz (ou zero) da função;

b. [0.25 ptos] a coordenada do ponto de intersecção com o eixo y;

c. [0.25 ptos] os intervalos onde ϕ(x) > 0 e ϕ(x) < 0;

d. [0.25 ptos] se ϕ(x) é crescente ou decrescente e construa o grá�co.

Solução do item (a). ϕ(x) = 0⇒ −12x + 1 = 0⇒ x = 2.

Solução do item (b). O ponto será (0, 1).

Solução do item (c). ϕ(x) > 0 quando x < 2 e ϕ(x) < 0 quando x > 2.

Solução do item (d). Temos que a = −12, ou seja, a < 0 e assim ϕ(x) é decrescente.

Questão 6. [1.25 ptos] Seja ϕ(x) = 2x2 − x− 3, determine:

3

a. [0.25 ptos] as raízes (ou zeros) da função;

b. [0.25 ptos] o vértice;

c. [0.25 ptos] o esboço do grá�co da função e seu eixo de simetria;

d. [0.25 ptos] os intervalos onde ϕ(x) > 0 e ϕ(x) < 0;

e. [0.25 ptos] se a função admite valor máximo ou mínimo. Qual é esse valor?

Solução do item (a).

ϕ(x) = 0 ⇒ 2x2 − x− 3 = 0

x =−(−1)±

√(−1)2 − 4.2.(−3)

2.2

x =1±√

25

4

x1 =3

2

e

x2 = −1

Solução do item (b). Temos que xv = −(−1)2.2

= 14e yv = − ∆

4.a= −25

12.

Solução do item (c).

Solução do item (d). Temos que ϕ(x) > 0 quando x < −1 e x > 32, e ϕ(x) < 0 quando −1 < x < 3

2.

4

Solução do item (e). A função admite valor mínimo, pois a > 0. O valor mínimo é −258.

Questão 7. [0.75 ptos] Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura h, em metros, t

segundos após o lançamento, seja h(t) = −t2 + 4t + 6. Determine:

a. [0.25 ptos] o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;

b. [0.25 ptos] a altura máxima atingida pela bola;

c. [0.25 ptos] quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

Solução do item (a). A bola irá atingir a sua altura máxima hv em tv = −4−2

= 2 segundos.

Solução do item (b). A altura máxima será hv = −[16−4.(−1).6]−4

= −40−4

= 10 metros.

Solução do item (c). De h(x) = 0 ⇒ −t2 + 4t + 6 = 0, temos que t = −4±2√

10−2

e assim obtemos

t1 = 2 −√

10 e t2 = 2 +√

10. Note que t1 < 0 e t2 > 0, pois√

10 ≈ 3, 16 e assim não faz sentido

algum usar t1. Logo a solução será t2 = 2 + 3, 16 = 5, 16 segundos. Portanto, em aproximadamente

5, 16 segundos após o lançamento da bola, ela irá tocar novamente o solo.

Questão 8. [0.50 ptos] Determine uma função quadrática tal que f(−1) = −4, f(1) = 2 e f(2) = −1.

Solução. a− b + c = 4

a + b + c = 2

4a + 2b + c = −1

⇒

a− b + c = 4

0 + 2b + 0 = −2

0 + 6b− 3c = −17

⇒

a− b + c = 4

0 + 2b + 0 = −2

0 + 0− 3c = −11

Logo, temos que c = 113, b = −1 e a = −2

3.

.

QUESTÕES EXTRAS - [Valor: 1.0 ponto]

Extra. [1.0 pto | Questão 136 do ENEM 2016] Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes,

A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados

juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima.

Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá

descrever uma trajetória supostamente retílinea (uma reta). O grá�co mostra as alturas alcançadas

por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

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Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que

o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo da reta passar pelo vértice da parábola, qual

deve ser o coe�ciente angular da reta que representa a trajetória de B? Escreva a equação da reta

que passa pelo vértice.

Solução. Observe que a reta passa pela origem, logo temos que b = 0 e assim f(x) = ax. Como

queremos que a reta passe pelo vértice da parábola, ou seja, pelo ponto (4, 16), precisamos determinar

o coe�ciente a de modo que f(4) = 16⇒ 4a = 16⇒ a = 4. Portanto, a função será f(x) = 4x.

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