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INSTITUTO FEDERAL

DE BRASILIA

2ª Lista de exercícios

MATEMÁTICA

ALUNO(A): TURMA: 1_2016 DATA: 18/03/2016

1. Duas plantas crescem de uma forma tal que, t dias após

serem plantadas, a planta 1 tem 1h (t) t centímetros de

altura e a planta 2 tem 22

1h (t) t

8 centímetros de altura.

Com base no exposto e nos conhecimentos de Biologia,

assinale o que for correto.

01) Para t 0, a planta 1 sempre está mais alta que a planta 2.

02) A germinação da semente depende de diversos fatores,

como água, gás oxigênio e temperatura.

04) A velocidade média de crescimento da planta 1 e da planta

2, entre os dias t 0 e t 4, é 1

cm dia.2

08) No décimo sexto dia a planta 2 está 32 cm mais alta que

a planta 1.

16) Um dos principais efeitos das auxinas é causar o

alongamento de células recém-formadas, promovendo seu

crescimento.

2. A figura a seguir mostra duas retas que modelam o

crescimento isolado de duas espécies (A e B) de

angiospermas.

Em um experimento, as duas espécies foram colocadas em um

mesmo ambiente, obtendo-se os modelos de crescimento em

associação, para o número de indivíduos das espécies A e B,

em função do número t de semanas, dados pelas equações

Ap (t) 35 2t e Bp (t) 81 4t, respectivamente.

Considerando-se os modelos de crescimento isolado e em

associação, conclui-se que a semana na qual o número de

indivíduos das duas espécies será igual, no modelo isolado, e o

tipo de interação biológica estabelecida são, respectivamente:

a) 4 e comensalismo. b) 2 e comensalismo.

c) 2 e competição. d) 2 e parasitismo.

e) 4 e competição.

3. A empresa Alpha dedica-se exclusivamente à

digitalização de documentos. Um funcionário leva 4

horas para digitalizar um documento, a empresa opera

durante 250 dias por ano e não há estoque de

documentos antigos para digitalizar. Em 2014, os

funcionários têm uma jornada de trabalho de 8 horas

diárias, mas têm exatamente 2 horas de ociosidade por

dia. Em relação a 2014, o número de novos documentos

que chegam para serem digitalizados aumentará 10.000

por ano nos próximos três anos. Sem novas contratações,

em 2017, os funcionários precisarão trabalhar 8 horas

por dia sem qualquer tempo ocioso para conseguir

processar toda a demanda de 2017.

a) Qual é o número atual de funcionários da empresa?

b) Quantos documentos deverão ser digitalizados em

2015?

c) Representando o ano de 2014 como x 0, 2015 como

x 1, 2016 como x 2, e assim por diante, é

possível expressar Y (demanda da empresa, em

número de documentos para digitalização) em função

de x, para o período de 2014 a 2017, como

Y(x) a bx. Nesta expressão, a representa o

número de documentos digitalizados em 2014.

Determine o valor de b.

4. Considere as funções reais f : e g:

cujos gráficos estão representados abaixo.

Sobre essas funções, é correto afirmar que

a) x [0 , 4], g(x) f(x) 0

b) f(g(0)) g(f(0)) 0

c) 2

g(x) f(x)0 x ] , 0 [ [4 , 9]

[f(x)]

d) x [0 , 3] tem-se g(x) [2 , 3]

2

5. Considere a função real f definida por xf(x) a

com a ] 0 ,1[ . Sobre a função real g definida por

g(x) | b f(x) | com b ] , 1[, é correto afirmar

que

a) possui raiz negativa e igual a alog ( b)

b) é crescente em todo o seu domínio.

c) possui valor máximo.

d) é injetora.

6. Sejam as funções nf , para n {0,1, 2, 3, ...}, tais

que: 01

f (x)1 x

e n 0 n 1f (x) f (f (x)), para n 1.

Calcule 2016f (2016).

7. O gráfico a seguir representa a função real f(x),

definida no intervalo [ 1, 6].

Considerando a função h(x) f(x 2), então, o valor da

expressão dada por f(h(3)) h(f(4)) é igual a:

a) 7. b) 2. c) 5. d) 1.

8. Considere as funções reais f, g e h tais que

2f(x) mx (m 2)x (m 2)

1g(x)

x h(x) x

Para que a função composta h g f(x) tenha domínio

D , deve-se ter

a) 2

m3

b) 2

2 m3

c) 2

0 m3

d) 2 m 0

9. Considere a função afim f(x) ax b definida para

todo número real x, onde a e b são números reais.

Sabendo que f(4) 2, podemos afirmar que

f(f(3) f(5)) é igual a

a) 5. b) 4. c) 3. d) 2.

10. A função real de variável real definida por

x 2f(x)

x 2

é invertível. Se 1f é sua inversa, então, o

valor de 1 1 2[f(0) f (0) f ( 1)] é

a) 1. b) 4. c) 9. d) 16.

11. Seja * o conjunto dos números reais positivos e

*f : a função definida por xf(x) 2 . Esta

função é invertível. Se 1 *f : é sua inversa,

então, o valor de 1 1 1f (16) f (2) f (1) é

a) 3. b) 8. c) 7. d) 5.

12. Considere o gráfico da função y f(x) exibido na

figura a seguir.

O gráfico da função inversa 1y f (x) é dado por

a)

b)

c)

d)

3

13. A figura abaixo representa o gráfico de uma função

f : [ 5, 5] . Note que f( 5) f(2) 0. A restrição

de f ao intervalo [ 5, 0] tem como gráfico parte de uma

parábola com vértice no ponto ( 2, 3); restrita ao

intervalo [0,5], f tem como gráfico um segmento de

reta.

a) Calcule f( 1) e f(3).

Usando os sistemas de eixos abaixo de cada item e

esboce

b) o gráfico de g(x) | f(x) |, x [ 5, 5];

c) o gráfico de h(x) f(| x |), x [ 5, 5].

14. O resultado de um estudo para combater o

desperdício de água, em certo município, propôs que as

companhias de abastecimento pagassem uma taxa à

agência reguladora sobre as perdas por vazamento nos

seus sistemas de distribuição. No gráfico, mostra-se o

valor a ser pago por uma companhia em função da perda

por habitante.

Calcule o valor V, em reais, representado no gráfico,

quando a perda for igual a 500 litros por habitante.

15. Considerando a função real definida por

2

2 | x 3 |, se x 2,

x 2x 1, se x 2

o valor de f(0) f(4) é

a) 8 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

16. A figura abaixo exibe o gráfico da função

f(x) 1 x, definida para todo número real x 0. Os

pontos P e Q têm abscissas x 1 e x a,

respectivamente, onde a é um número real e a 1.

a) Considere o quadrilátero T com vértices em (0, 0),

P, Q e (a, 0). Para a 2, verifique que a área de T

é igual ao quadrado da distância de P a Q.

b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogonal à

reta que passa por P e Q. Determine o valor de a

para o qual o ponto de intersecção da reta r com o

gráfico da função f tem ordenada y a 2.

4

17. A função f : satisfaz as condições: f(1) 2

e f(x 1) f(x) 1 para todo número real x. Os valores

f(14), f(36), f(102) formam, nessa ordem, uma

progressão geométrica. A razão dessa progressão é

a) 1,5. b) 2,0. c) 2,5. d) 3,0.

18. A função f está definida da seguinte maneira: para

cada inteiro ímpar n,

x n 1 , se n 1 x nf(x)

n 1 x, se n x n 1

a) Esboce o gráfico de f para 0 x 6.

b) Encontre os valores de x, 0 x 6, tais que

1f(x) .

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19. O celular de Fabiano está com 50% de carga na

bateria. Quando está completamente carregado, ele

demora exatamente 20 horas para descarregar toda

bateria em modo stand by, supondo-se que essa bateria

se descarregue de forma linear. Ao utilizar o aparelho

para brincar com um aplicativo a bateria passará a

consumir 1% da carga a cada 3 minutos. Quantos

minutos Fabiano poderá brincar antes que a bateria se

descarregue completamente?

a) Três horas b) Duas horas e meia

c) Duas horas d) Uma hora e meia

20. Um estudante de engenharia faz trabalhos de

digitação para complementar seu ganho mensal. Ele

estabelece que a relação entre o preço P e a quantidade

q de páginas de cada trabalho é dada pela função

P(q) aq b, sendo a e b números reais positivos, e

q pertencente ao intervalo 1 q 100. Sabendo-se que

o conjunto imagem dessa função é o intervalo

6 P(q) 105, o estudante calcula os valores de a e

b. Desse modo, a média aritmética entre a e b é igual a

a) 1,5 b) 2,0 c) 2,5 d) 3,0

21. ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de

passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais

R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de

categoria A. AluCar é uma outra empresa que cobra

uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por

quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros.

a) Represente graficamente, em um mesmo plano

cartesiano, as funções que determinam as tarifas

diárias cobradas pelas duas empresas de carros da

categoria A que percorrem, no máximo, 70

quilômetros.

b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos

para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua

resposta apresentando os cálculos realizados.

22. Dadas a função afim f e a função afim g, definidas

por f(x) ax 3 e g(x) 15x m 3, em que

a,m e a 0, assinale o que for correto.

01) Se m 3, então o gráfico de g passa pela origem.

02) As funções f e g são crescentes.

04) A função composta f g é crescente, para todo

m e a 0.

08) Se a 15 e m , então os gráficos de f e g são

duas retas paralelas e distintas.

16) Se a m 5, então os gráficos de f e g

interceptam-se no ponto1 11

P , .2 2

23. A tabela indica o gasto de água, em 3m por minuto,

de uma torneira (aberta), em função do quanto seu

registro está aberto, em voltas, para duas posições do

registro.

Abertura da torneira

(volta)

Gasto de água por minuto 3(m )

1

2 0,02

1 0,03

(www.sabesp.com.br. Adaptado.)

Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é

uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a

torneira está totalmente aberta, é de 30,034 m . Portanto,

é correto afirmar que essa torneira estará totalmente

aberta quando houver um giro no seu registro de abertura

de 1 volta completa e mais

a) 1

2 de volta. b)

1

5 de volta. c)

2

5 de volta.

d) 3

4 de volta. e)

1

4 de volta.

24. Uma pesquisa do Ministério da Saúde revelou um

aumento significativo no número de obesos no Brasil.

Esse aumento está relacionado principalmente com o

sedentarismo e a mudança de hábitos alimentares dos

brasileiros. A pesquisa divulgada em 2013 aponta que

17% da população está obesa. Esse número era de

11% em 2006, quando os dados começaram a ser

coletados pelo Ministério da Saúde.

Disponível em: http://www.brasil.gov.br/saude/2013/08/obesidade-

atinge-mais-da-metade-dapopulacao- brasileira-aponta-estudo. Acesso

em: 10 set. 2014.

http://www.brasil.gov.br/saude/2013/08/obesidade-atinge-mais-da-metade-dapopulacao-

http://www.brasil.gov.br/saude/2013/08/obesidade-atinge-mais-da-metade-dapopulacao-

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Suponha que o percentual de obesos no Brasil pode ser

expresso por uma função afim do tempo t em anos, com

t 0 correspondente a 2006, t 1 correspondente a

2007 e assim por diante.

A expressão que relaciona o percentual de obesos Y e o

tempo t, no período de 2006 a 2013, é

a) 4 44

Y = t t.3 3

b) 7 77

Y = t .6 6

c) Y = t 11. d) 6

Y = t 11.7

e) 3

Y = t 11.4

25. A função linear R(t) at b expressa o

rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação.

O tempo t é contado em meses, R(1) 1 e R(1) 1.

Nessas condições, o rendimento obtido nessa aplicação,

em quatro meses, é:

a) R$ 3.500,00 b) R$ 4.500,00

c) R$ 5.000,00 d) R$ 5.500,00

26. Sabendo que c e d são números reais, o maior

valor de d tal que a função f : definida por

2

x c, para x df(x)

x 4x 3, para x d

seja injetora é

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

27. Considerando as funções f(x) 3x 2 e

g(x) 2x 1, o valor de k, com k , tal que

1f(g(k)) 1 é

a) 3. b) 2. c) 1. d) 5.

28. Sejam f e g funções reais definidas por

2

4x 3,se x 0f(x)

x 3x 2,se x 0

e

2

x 1,se x 2g(x)

1 x ,se x 2

.

Sendo assim, pode-se dizer que (f g)(x) é definida por

a) 2

4 2

4x 1, se x 2

(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1

x x , se x 1ou 1 x 2

b) 2

4 2

4x 1, se x 2

(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1


c) 2

4 2

4x 1, se x 2

(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1


d) 2

4 2

4x 1, se x 2

(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1


e) 2

4 2

4x 1, se x 2

(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1


29. Considere as funções reais f(x) 2x 1 e

g(x) x k, com k . Podemos afirmar que

f g(x) g f(x) para qualquer x real se o valor de k

for igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 1

30. Considere a função f : 0, :

2

x 1, se 0 x 1

f x 2 , se 1 x 2

x 3 , se x 2

O gráfico que melhor representa a função composta

g f f, é

6

Gabarito:

Resposta da questão 1:

02 + 04 + 16 = 22.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]

A germinação da semente depende de fatores ambientais,

tais como: temperatura, oxigênio e água. As auxinas são

hormônios vegetais que determinam o alongamento das

células recém-formadas, determinando o seu

crescimento.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de

Matemática]

[01] Falso. A função de crescimento da planta 1 é uma

função raiz quadrada, que será sempre crescente. Já

a função de crescimento da planta 2 é uma função

de segundo grau, cujo gráfico é uma parábola.

Outro método de se verificar a afirmativa é

substituir valores de t para ambas as funções:

1

1

1

1

h (t) t

h (2) 2 1,41

h (4) 4 2

h (16) 16 4

22

22

22

22

1h (t) t

8

1 4 1h (2) 2 0,25

8 8 4

1 16h (4) 4 2

8 8

1 256h (16) 16 32

8 8

Percebe-se assim que no dia t 16 a planta 2 terá

maior altura que a planta 1.

[04] Verdadeiro. Sendo a velocidade média dada por

médiah

vt

Δ

Δ onde hΔ é igual a variação da altura

em centímetros e tΔ é igual a variação do tempo

em dias, pode-se escrever que t 4 0,Δ logo

t 4Δ para ambas as plantas. Já a variação do da

altura entre 0 e 4 dias para cada uma das plantas

será:

1

1

1

1 1

h (t) t

h (0) 0 0

h (4) 4 2

h 2 0 h 2Δ Δ

22

22

22

2 2

1h (t) t

8

1h (0) 0 0

8

1 16h (4) 4 2

8 8

h 2 0 h 2Δ Δ

Assim, a velocidade média de crescimento de cada

uma das plantas será igual a 1

cm dia,2

conforme

cálculos a seguir:

1média1

2média2

h 2 1v cm / dia

t 4 2

h 2 1v cm / dia

t 4 2

Δ

Δ

Δ

Δ

[08] Falso. Quando t 16, a planta 1 medirá

1h (16) 16 4 cm, enquanto a planta 2 medirá

22

1 256h (16) 16 32 cm.

8 8 A planta 2 será

portanto 28cm mais alta que a planta 1 no décimo sexto

dia (32 4 28).


[E]

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]

Os modelos mostram uma interação ecológica de

competição entre as duas espécies de angiospermas que

vivem no mesmo ambiente.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de

Matemática]

Fazendo A Bp p , temos:

75 2,5t 81 t

1,5t 6

t 4 semanas


a) Seja d o número anual de documentos que serão

digitados anualmente e f o número de funcionários.

De acordo com as informações do texto, podemos

escrever:

Em 2014:

8 2 f 250d d 375 f

4

(equação 1)

7

Em 2017:

8 f 250d 30000 d 500 f 30000

4

(equação 2)

Igualando as equações 1 e 2, temos:

500 f 30000 375f

125 f 30000

f 240

Portanto, a empresa tem 240 funcionários.

b) Em 2014 o número de documentos digitados foi de :

d 375 240 90000

Logo em 2015, teremos 90.000 10.000 100.000

documentos digitados.

c) O valor de b é a taxa de variação da função linear,

como já foi dito que esta variação é de 10.000

documentos ao ano, podemos considerar que

b 10.000.


[C]

Analisando as alternativas:

[A] INCORRETA. Tomando-se como exemplo o ponto

x 3, temos que g 3 f 3 0. Assim a

alternativa é incorreta.

[B] INCORRETA. Fazendo as contas, temos:

g(0) 2 f(g(0)) f(2) 2

f(0) 0 g(f(0)) g(0) 2

f(g(0)) g(f(0)) 2 2 0

Logo, a alternativa é incorreta.

[C] CORRETA. Analisando os intervalos propostos:

Em ] , 0 [, podemos verificar pelo gráfico que

f(x) 0 e g(x) 0.

Assim, para este intervalo a equação 2

g(x) f(x)0.

[f(x)]

Já no intervalo [4 , 9] percebe-se que f(x) 0 e

g(x) 0.

Assim, para este intervalo a equação 2

g(x) f(x)0.

[f(x)]

Conclui-se portanto que a proposição é correta:

2

g(x) f(x)0 x ] , 0 [ [4 , 9].

[f(x)]

Outra maneira é resolver a questão graficamente:

[D] INCORRETA. Ao analisar o gráfico, percebe-se que

g(2) 3, portanto a alternativa é incorreta.


[A]

Analisando as alternativas uma a uma:

[A] CORRETA. A raiz da função g(x), ou seja,

g(x) 0, acontece quando f(x) b. Assim:

x xa a a a ab a log ( b) log a log ( b) x log a x log ( b)

Pelo enunciado, como b ] , 1[, logo

( b) 1. Também do enunciado, como a ] 0 ,1[

pode-se desenhar o seguinte gráfico de uma função

logarítmica de base a, sendo 0 a 1:

Assim percebe-se que para todos os valores maiores

que 1, a alog ( b) será terá uma raiz negativa.

Portanto, a alternativa é correta.

8

[B] INCORRETA. Se considerarmos a função f(x) e a

função constante h(x) b, podemos desenhar um

gráfico aproximado como o apresentado a seguir:

Pode-se considerar que a função g(x) compreende o

“espaço” hachurado em amarelo, uma vez que é

resultante da diferença das duas funções

representadas. Assim, não se pode afirmar que ela

seja crescente em todo seu domínio. A alternativa é

incorreta.

[C] INCORRETA. Pela análise do mesmo gráfico das

funções f(x) e h(x), percebe-se que ambas

estendem-se ao infinito. Conforme o valor de x

decresce, o valor de g(x) tende ao infinito e desta

forma não existe valor máximo. A alternativa é

incorreta.

[D] INCORRETA. Uma função injetora é aquela que,

seja uma função f : A B, para todo elemento distinto

de A associam-se elementos únicos e distintos em B.

Assim, como g(x) se apresenta em módulo, analisando a

área hachurada em amarelo do gráfico anterior percebe-

se que para dois valores distintos de x poderão existir

imagens iguais. A alternativa é incorreta.


Para encontrar a relação entre as funções, pode-se

escrever:

1 0 0 0 1

2 0 1 0 2

3 0 2 0 3

1 1 1 x x 1f (x) f (f (x)) f f (x)

11 x x x1

1 x

x 1 1f (x) f (f (x)) f f (x) x

x 1x1

x

1f (x) f (f (x)) f (x) f (x)

1 x

Daí pode-se concluir que:

3n 0

3n 1 1

3n 2 2

1f (x) f (x)

1 x

x 1f (x) f (x)

x

f (x) f (x) x

Assim, como 2016 é múltiplo de 3, tem-se:

2016 20161 1

f (2016) f (2016)1 2016 2015


[D]

Calculo de f(h(3))

h(x) f(x 2) h(3) f(3 2) f(1) 4 h(3) 4

f(h(3)) f(4) 1

Calculo de h(f(4))

h(f(4)) h(1) f(1 2) f( 1) 2

h(f(4)) 2

Portanto,

f(h(3)) h(f(4)) 1 ( 2) 1


[A]

Fazendo-se os cálculos, conclui-se que a função

composta h g f(x) será igual a:

2

1h g f(x)

mx (m 2)x (m 2)

Tal função só poderá ter domínio nos números reais se 2mx (m 2)x (m 2) 0. Sendo uma função do

segundo grau, sabe-se que esta terá raízes maiores que

zero se m 0 e 0.

Assim, resolvendo , temos:

2 2 2 2(m 2) 4 m (m 2) m 4m 4 4m 8m 3m 4m 4

Que resulta novamente numa função do segundo grau,

que só terá raízes positivas se 0.

Resolvendo a equação em m, temos: 2( 4) 4 ( 3) 4 16 48 64

1 24 64 2

m m 2 e m6 3

Assim, para satisfazer a equação 2mx (m 2)x (m 2) 0, o valor de m deve ser

maior que dois terços, ou seja, 2

m .3

9


[D]

Tem-se que f(4) 2 4a b 2. Além disso, como

f(3) 3a b e f(5) 5a b, vem

f(3) f(5) 3a b 5a b 2(4a b) 2 2 4.

Portanto, segue que f(f(3) f(5)) f(4) 2.


[C]

Tem-se que

x 2yx 2y x 2

x 2

(y 1)x 2y 2

2y 2x .

y 1

y

Portanto, sendo f : {2} {1}, a inversa de f é

1f : {1} {2}, com 1 2x 2f (x) .

x 1

Daí, como f(0) 1, 1f (0) 2 e 1f ( 1) 0, vem

1 1 2 2[f(0) f (0) f ( 1)] ( 1 ( 2) 0) 9.


[A]

A função inversa de f é 1

2f (x) log x. Logo, segue

que

1 1 1

2 2 2

42

2

f (16) f (2) f (1) log 16 log 2 log 1

log 2 1

4log 2 1

3.


[C]

Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua

inversa são simétricos em relação à reta y x, segue-se

que o gráfico de 1y f (x) é o da alternativa [C].


a) De acordo com o gráfico, uma das raízes da

parábola é 5. Por simetria pode-se perceber que a

outra raiz será 1 e sua função será do tipo

f(x) a (x 5) (x 1). Se o vértice da parábola é

( 2, 3), então pode-se escrever:

f( 2) 3

1f( 2) a ( 2 5) ( 2 1) 3 a (3) ( 3) 3 a

3

Assim, a função da parábola será:

1f(x) (x 5) (x 1)

3

De acordo com o gráfico, ponto de encontro entre a

parábola e a reta será quando x for igual a zero, ou

seja:

1 5f(0) (0 5) (0 1) f(0)

3 3

Sabe-se também que a equação de reta tem o formato

f(x) bx c, e, pelo enunciado, que f(2) 0.

Assim, pode-se escrever a função da reta:

5 5f(0) b 0 c c 5 53 3f(x) x

5 5 6 3f(2) b 2 c 0 b 2 0 b3 6

Por fim, pode-se calcular f( 1) e f(3) :

1 8f( 1) Está na parábola! f( 1) ( 1 5) ( 1 1) f( 1)

3 3

5 5 5f(3) Está na reta! f(3) 3 f(3)

6 3 6

b) Desenhando o gráfico de g(x) | f(x) |, x [ 5, 5],

tem-se:

c) Desenhando o gráfico de h(x) f(| x |), x [ 5, 5],

tem-se:

10


Seja V : [100, [ a função afim dada por

V(p) a p b, com V(p) sendo o valor a pagar por

uma perda de p litros por habitante. Tem-se que

20 5 3a .

200 100 20

Logo, como p(100) 5, vem

35 100 b b 10.

20

Portanto, segue que a resposta é

3V(500) 500 10 R$ 65,00.

20


[D]

2f(0) 0 2 0 1 1

f(4) 2 4 3 2 1 1

Portanto, f(0) f(4) 1 1 2.


a) Se a abscissa do ponto P é igual a 1, então pela

função f(x) dada, P terá coordenadas (1,1).

Analogamente, se a 2, então pela função f(x)

dada, Q terá coordenadas (2,1 2). Assim, a área do

quadrilátero T será:

T T

111 1 1 1 52S 1 1 S2 2 2 4 4

Calculando o quadrado da distância entre P e Q,

tem-se:

2 22

PQ PQ PQ1 5 51d 1 2 1 1 d d

2 4 4 4

b) Seja I o ponto de intersecção entre a reta r e a função

f(x). Se sua coordenada y é igual a a 2, então, pela

função f(x) sua coordenada x será 2 a. Ou seja, o

ponto I tem coordenadas 2 a,a 2 .

Considerando como s a reta que passa por P e Q,

tem-se que as coordenadas do ponto P são (1,1), e

do ponto Q são (a, 1 a). O coeficiente angular desta

reta será:

s

1 1 1a

a 1 aα

Logo, o coeficiente angular da reta r que passa pela

origem e é ortogonal à reta que contém P e Q será

igual a r aα (condição de perpendicularidade).

Assim, a equação da reta r pode ser escrita como:

y 0 a (x 0)

reta r y ax

Como o ponto I pertence à reta r e tem suas

coordenadas 2 a, a 2 , pode-se escrever:

a 2y ax a a 4

2 a


[D]

Sabendo que f(1) 2 e f(x 1) f(x) 1, obtemos

facilmente f(2) 1. Além disso, como

f(x 1) f(x) 1, isto é, a diferença f(x 1) f(x)

não depende x, podemos concluir que f(x) ax b.

Desse modo, temos

f(2) f(1)a 1 2 1

2 1

e

2 ( 1) 1 b b 3.

Portanto, segue que o resultado pedido é

f(36) 36 33.

f(14) 14 3


a) x, se 0 x 1

n 1 f(x)2 x, se 1 x 2

11

x 2, se 2 x 3n 3 f(x)

2 x, se 3 x 4

x 4, se 4 x 6n 5 f(x)

6 x, se 5 x 6

De acordo com as funções acima, temos o seguinte

gráfico.

b) Considerando 1

f(x) ,5

temos:

1x

5

1 92 x x

5 5

1 11x 2 x

5 5

1 194 x x

5 5

1 21x 4 x

5 5

1 296 x x

5 5

Portanto, 1

x5

ou 9

x5

ou 11

x5

ou 19

x5

ou

21x

5 ou

29x .

5


[B]

Uma equação que nos dá a porcentagem P da bateria em

função do tempo t (em minutos) será dada por:

50 tP ,

100 300 pois a bateria consome 1% da carga a

cada 3 minutos.

Portanto, 50 t

0 t 150min t 2,5h.100 300


[D]

De acordo com os conjuntos, temos P(1) 6 e

P(100) 105.

Temos, então o sistema:

a b 6

100a b 105

Logo, a = 1 e b = 5.

Portanto, (1 5) : 2 3.


a) Sejam f,g : [0, 70] , com f(x) 1,5x 160 e

g(x) 2x 146, cujos gráficos estão representados

na figura abaixo.

b) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem

f(x) g(x). Logo, segue que

1,5x 160 2x 146 x 28km.


01 + 04 + 16 = 21.

[01] Verdadeira, pois 0 15 0 3 3.

[02] Falsa. Depende do valor de a.

[04] Verdadeira.

f g(x) a (15x m 3) 3 15ax (m 3) a 3,

pois com a 0, temos 15a 0.

[08] Falsa. Se a 15 e m 0, elas serão paralelas

iguais.

[16] Verdadeira, pois resolvendo o sistema y 5x 3

y 15x 2

, temos 1

x2

e 11

y .2

12


[B]

Seja g : a função dada por g(x) ax b, em

que g(x) é o gasto de água por minuto para x voltas da

torneira. Logo, a taxa de variação da função g é

0,03 0,02a 0,02.

11

2

Desse modo, temos

0,03 0,02 1 b b 0,01.

Para um gasto de 30,034 m por minuto, segue que

0,034 0,02 x 0,01 0,02 x 0,024

x 1,2

x 1 0,2

1x 1 .

5

A resposta é 1

5 de volta.


[D]

2006 t 0 e y 11%

2013 t 7 e y 17%

Considerando a função afim y a t b, temos:

11 a 0 b b 11

Logo, 6

17 a 7 11 a7

Portanto, 6

y x 117


[C]

R(1) 1 a b 1

R(2) 1 2a b 1

Resolvendo o sistema a b 1

2a b 1

temos, a 2 e

b 3 e R(t) 2t 3;

Em quatro meses temos, R(4) 2 4 3 5.

Resposta: R$ 5.000,00.


[C]

O maior de d, para que a função seja injetora, coincide

com a abscissa do vértice da parábola.

Portanto, vb ( 4)

d x 2.2 a 2 1


[D]

Calculando f(g(x)), tem-se:

f(g(x)) 3 ( 2x 1) 2

f(g(x)) 6x 3 2 f(g(x)) 6x 1

Calculando a inversa de f(g(x)), tem-se:

11 x 1 xx 6y 1 y f(g(x))

6 6

Por fim, substituindo k e resolvendo a equação proposta

no enunciado, tem-se:

1 1 kf(g(k)) 1 1 1 k 6 k 5

6


[A]

Sendo f, g : , tem-se

13

2 2

2 2 2 2

2

4 2

4(x 1) 3, se x 1 0 e x 2

(f g)(x) 4(1 x ) 3, se 1 x 0 e x 2

(1 x ) 3(1 x ) 2, se 1 x 0 e x 2

4x 1, se x 2

1 4x , se 1 x 1 .

x x , se x 1 ou 1 x 2


[A]

Substituindo e desenvolvendo a expressão dada:

f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x))

f(g(x)) 2 (x k) 1 f(g(x)) 2x 2k 1

g(f(x)) 2x 1 k

2x 2k 1 2x 1 k

2k k

k 0


[E]

Tem-se que

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2, se 1 x 1 2 e 0 x 1

(2 3) , se 2 2 e 1 x 2f(f(x))

(x 3) 1, se 0 (x 3) 1 e x 2

((x 3) 3) , se (x 3) 2 e x 2

2, se 0 x 1 ou x 2 ou 4 x 3 2

1, se 1 x 2

x 6x 10, se 2 x 4

(x 6x 6) , se x 3 2

.

Portanto, o gráfico que melhor representa a função g é o

da alternativa [E].

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