INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ... Fundamentos de Matemática II 2 10.2.3 Cálculo de...

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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atem

átic

a II

10.1 Introdução10.2 Integrais Duplas

10.2.1 Propriedades das Integrais Duplas10.2.3 Cálculo de Integrais Duplas10.2.4 Integrais duplas em regiões não retangulares

10.3 Integrais triplas10.4 Mudança de variáveis de Integração10.5 Integrais em coordenadas polares10.6 Integrais em coordenadas esféricas

Gil da Costa Marques

10INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

195

Fundamentos de Matemática II

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

10.1 IntroduçãoO problema de calcular a área de uma região do plano levou-nos ao conceito de integral

definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um

procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como

trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas.

10.2 Integrais DuplasTais integrais são as mais simples entre as integrais múltiplas, pois estamos falando, nesse

caso, de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função

f (x,y) definida sobre um retângulo

10.1

no plano xy será representada pela expressão

10.2

A seguir, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto é, tal

que existe um retângulo que contém L.

A integral dupla apresentada em 10.2 é definida de uma forma análoga, em certo sentido,

àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso, o conceito chave é o de subdividir

um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de

cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma – denominada

Soma de Riemann – quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os

subintervalos, tende a zero (se tal limite existir).

A f im de def inir a integral dupla de uma função f def inida num subconjunto L

limitado do plano, e, portanto, contido num retângulo R, consideramos uma partição

R x y a x b c y d= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,

2

f x y dxdyR

,( )∫∫

196

10 Integrais de funções de várias variáveis


P x y i n j mi j= ( ) = ={ }, : , , , , , , ,0 1 0 1 de R e, para cada par (i, j), seja (xi , yj ), um ponto

escolhido arbitrariamente no sub-retângulo Rij resultante da partição considerada.

O número

10.3

é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj ). Observe

que f (xi , yj ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada

L considerada inicialmente.

Note ainda que, se f (xi , yj ) > 0, f (xi , yj ).∆xi ∆yj será o volume do paralelepípedo cuja base

tem área ∆Aij = ∆xi ∆yj e cuja altura é f (xi , yj ).

f x y x yi j i jj

m

i

n

,( )∆ ∆==∑∑

11

Figura 10.1: A região L subdividida em retângulos.

Figura 10.2: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(xi ,yj ).∆xi ∆yj

197



Dada a partição P do retângulo R, indicamos por ∆ o maior dos números ∆xi ,..., ∆xn , ∆yj ,..., ∆ym, e definimos, então,

10.4

onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo Riemann da

função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.

Definimos também a

10.5

e, sendo f integrável em L, com

10.6

em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z = 0, isto é,

10.7

definimos o

10.8

f x y dxdy f x y x y f x y Ai j i j i j ijj

m

i, lim . lim .( ) = ( ) ∆ ∆ = ( ) ∆

∆→ ∆→==∑0 0 11

nn

j

m

i

n

L∑∑∑∫∫

== 11

área de L dxdyL

= ∫∫

f x y,( ) ≥ 0

A x y z z f x y= ( )∈ ≤ ≤ ( ){ }, , : ,

3 0

volume de A f x y dxdyL

= ( )∫∫ ,

Figura 10.3: A área de L é igual numericamente ao volume do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a 1.

198



10.2.1 Propriedades das Integrais Duplas

São válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas:

Se f e g são funções integráveis em R e c é uma constante, então,

Propriedade 1

10.9

Propriedade 2

10.10

Propriedade 3

Se f (x , y) ≤ g (x,y), então, f x y dxdy g x y dxdyR R

, ,( ) ≤ ( )∫∫ ∫∫ .

Propriedade 4

Se R = R1 ∪ R2, e R1 e R2 não se sobrepõem, então:

10.11

cf x y dxdy c f x y dx dyR R

, ,( ) = ( )∫∫ ∫∫

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdyR R R

, , , ,( ) + ( ) = ( ) + ( )∫∫ ∫∫ ∫∫

f x y dx dy f x y dxdy f x y dxdyR R R∫∫ ∫∫ ∫∫( ) = ( ) + ( ), , ,

1 2

Figura 10.4: A região R=R1 ∪ R2.

199



10.2.3 Cálculo de Integrais Duplas

Tendo em vista o fato de que, normalmente, não se recorre à definição de integral dupla

10.4 para efetuar o cálculo dessa integral, é importante desenvolver métodos simples de

efetuá-las. A seguir, daremos alguns exemplos.

Exemplos

• ExEmplo 1Consideremos o caso simples em que a região fechada R é o retângulo de lados x = a, x = b, y = c e y = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1.

→ REsolução:

Nosso objetivo é encontrar

10.12

ou alternativamente:

10.13

A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no

retângulo R x y a x b c x d= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,

2 e que existam f x y dxa

b

∫ ( ), e f x y dyc

d

∫ ( ), , para

todo y∈[c,d ] e para todo x∈[a,b ], respectivamente.

Figura 10.5: O retângulo [a,b]× [c,d].

I a b c d f x y dxdy f x y dy dxc

d

a

b

c

d

a

b

, , , , ,( ) = ( ) = ( )

∫∫ ∫∫

I a b c d f x y dx dy f x y dx dyc

d

a

b

a

b

c

d

, , , , ,( ) = ( ) = ( )

∫∫ ∫∫

200



No presente caso, consideramos a função f constante e igual a 1 sobre o retângulo R, isto é,f (x,y) = 1 e a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d:

10.14

ou

10.15

Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1 são numericamente iguais a (b − a).(d − c).No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações simples sucessivas, que são denominadas integrais iteradas.

• ExEmplo 2Calcule a integral:

10.16

onde D é o retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.

→ REsolução:

10.17

Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [0,2], enquanto, na segunda, a variável de integração é y no intervalo [0,1].Poderíamos também ter encontrado o valor de

10.18

I a b c d dx dy dy dx d c dx d c bc

d

a

b

c

d

a

b

a

b

, , , .( ) = =

= −( ) = −( ) −∫∫ ∫∫ ∫ aa( )

I a b c d dx dy dx dy b a dy b a dc

d

a

b

a

b

c

d

c

d

, , , .( ) = =

= −( ) = −( ) −∫∫ ∫∫ ∫ cc( )

I x y dxdyD

= +( )∫∫ 5 2

Figura 10.6: O retângulo D.

I x y dx dy x xy dy y dy= +( )

= +

= +[ ]∫∫ ∫5 2 5

22 10 4

0

2

0

1 2

0

2

0

1

0

112

0

110 2 12∫ = + =y y

I x y dxdyD

= +( )∫∫ 5 2

201



fazendo

10.19

e, nesse caso, na primeira integral, a variável de integração é y no intervalo [0,1], enquanto, na segunda, a variável de integração é x no intervalo [0,2].

• ExEmplo 3Vamos verificar que são iguais:

10.20

10.21

→ REsolução:De fato,

10.22

e

10.23

De fato, sendo

10.24

onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b], e h, que depende apenas de y,

I x y dy dx xy y dx x dx x= +( )

= + = +[ ] =∫∫ ∫ ∫5 2 5 5 1 5

0

1

0

22

0

1

0

2

0

2 22

0

2

212+

=x

a. x y dx dy3 2

1

3

2

2

∫∫

−

b. x y dy dx3 2

2

2

1

3

−∫∫

x y dx dy x y dy y y3 2

1

3

2

2 42

1

3

2

2 2 2

4814

14∫∫ ∫

=

= −

−

−11

3

2

22

2

2 3

2

2

20 203

3203

dy y dy y

− − −∫ ∫= = =

x y dy dx x y dx x dx3 2

2

2

1

33

3

2

2

1

33

2

2

3163− − −

∫∫ ∫

=

=

11

3 4

1

3163 4

163

20 3203∫ = ⋅ = ⋅ =

x

Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser escrita como um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma variável e a outra dependendo apenas de outra variável, então, a integral dupla de f é mais simples.

f x y dx dy g x h y dx dy g x h y dya b c d c

d

a

b

c

d

, ,

,[ ]×[ ]∫∫ ∫∫ ∫( ) = ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( )

∫ dx

a

b

202



está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação a y, e podemos escrever:

10.25

Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais de uma variável.

10.2.4 Integrais duplas em regiões não retangulares

Integrais sucessivas, como as apresentadas anterior-

mente, podem ser utilizadas quando as curvas que deli-

mitam a região R sobre a qual a função é definida não

são tão simples como no caso das regiões retangulares.

Consideremos uma função f definida na seguinte

região:

10.26

Nesse caso, definimos a integral I(a,b) como a dada por

10.27

Definindo a função I(x) como

10.28

concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação

de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja:

10.29

g x h y dy dx g x h y dy dx g xc

d

a

b

c

d

a

b

a

b

∫∫ ∫∫ ∫( ) ⋅ ( )

= ( ) ( )

= ( )ddx h y dy

c

d

⋅ ( )∫

Figura 10.7: A região onde f está definida.D x y a x b g x y g x= ( )∈ ≤ ≤ ( ) ≤ ≤ ( ){ }, : ,

21 2

I a b f x y dxdy f x y dy dxD g x

g x

a

b

, , ,( ) = ( ) = ( )

∫∫ ∫∫( )

( )

1

2

I x f x y dyg x

g x

( ) = ( )( )

( )

∫1

2

,

I a b I x dxa

b

,( ) = ( )∫

203



• ExEmplo 4Vamos calcular

10.30

onde D x y x y x= ( )∈ + ≤ ≥{ }, : ,

2 2 2 1 0 .

→ REsolução:Em primeiro lugar, observamos que D é um semicírculo centrado na origem e de raio unitário, para o qual 0 ≤ x ≤ 1.

Consideremos I x x y dyx

x

( ) = +( )− −

−

∫ 21

1

2

2

, função essa que depende apenas da variável x.Sendo assim,

10.31

Agora, 4 1 43

2

0

1

x x dx−

=∫ (Verifique!)

Logo,

10.32

2x y dxdyD

+( )∫∫

Figura 10.8: A região D.

2 2 22

1

1

0

1 2

2

2

x y dxdy x y dy dx xy y

D x

x

+( ) = +( )

= +

∫∫ ∫∫

− −

−

= −

− −

−

∫ ∫1

1

0

12

0

1

2

2

4 1x

x

dx x x dx

2 2 43

1

1

0

1

2

2

x y dxdy x y dy dxD x

x

+( ) = +( )

=∫∫ ∫∫− −

−

204



Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região do seguinte tipo:

10.33

Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como a que é dada por

10.34

Definindo a função J (y) como

10.35

concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação de J (y), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja:

10.36

• ExEmplo 5Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular

10.37

onde D x y x y x= ( )∈ + ≤ ≥{ }, : ,

2 2 2 1 0 , tendo agora

10.38

uma vez que a região D pode ser considerada como a região

delimitada pelas curvas dadas por x = 0 e x y= −1 2 , para

−1 ≤ y ≤ 1.

→ REsolução:Neste caso, temos

10.39

Figura 10.9: A região onde f está definida.

D x y h y x h y c y d= ( )∈ ( ) ≤ ≤ ( ) ≤ ≤{ }, : ,

21 2

J c d f x y dxdy f x y dx dyD h y

h y

c

d

, , ,( ) = ( ) = ( )

∫∫ ∫∫( )

( )

1

2

J y f x y dxh y

h y

( ) = ( )( )

( )

∫1

2

,

J c d J y dyc

d

,( ) = ( )∫

Figura 10.10: A região D.

2x y dxdyD

+( )∫∫

J y f x y dxy

( ) = ( )−

∫0

1 2

,

20

1

1

1 2

x y dxdy f x y dx dyD

y

+( ) = ( )

∫∫ ∫∫

−

−

,

205



Então,

10.40

10.3 Integrais triplasA integral tripla de uma função f (x,y,z) definida sobre um paralelepípedo

10.41

no espaço xyz será representada pela expressão

10.42

Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é,

tal que existe um paralelepípedo que contém L.

O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L

limitado do espaço e, portanto, contido num paralelepípedo R, é, em certo sentido, análogo ao

que foi realizado para a definição da integral dupla.

Consideremos uma partição P x y z i n j m k pi j k= ( ) = = ={ }, , : , , , , , , , , , , ,0 1 0 1 0 1 do

paralelepípedo R e, para cada terna (i, j, k), seja (xi , yj , zk) um ponto escolhido arbitrariamente

no sub-paralelepípedo Rijk resultante da partição considerada.

2 1 10

1

1

12

0

1

1

12

22

x y dx dy x xy dy y yy

y+( )

= + = − + −−

−

−

−∫∫ ∫ yy dy2

1

1 43

=

−∫

Verifique!

Uma observação importante que facilita os cálculos: y y dy1 02

1

1

−

=

−∫ , pois o

integrando é uma função ímpar.

R x y z a x b c y d e z f= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, , : , ,

3

f x y z dxdy dzR∫∫∫ ( ), ,

206



O número

10.43

é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj , zk). Observe

que f (xi , yj , zk ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada

L considerada inicialmente.

Dada então a partição P do paralelepípedo R que contém L, indicamos por ∆ o maior dos

números ∆x1,..., ∆xn, ∆y1,..., ∆ym, ∆z1,..., ∆zp, e definimos, então,

10.44

onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla, segundo Riemann da

função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.

Definimos também o

10.45

A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que, se a

função f é contínua em L, então,

10.46

sendo L x y z g x y z h x y= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g e h são funções contínuas em K, uma região

limitada no plano xz. Analogamente,

10.47

sendo L x y z g x z z h x z1 1 1= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g1 e h1 são funções contínuas em K1,, uma

região limitada no plano xz, e

f x y z x y zk

p

j

m

i

n

i j k i j k===∑∑∑ ( )∆ ∆ ∆

111

, ,

f x y z dxdydz f x y z x yL k

p

j

m

i

n

i j k i j∫∫∫ ∑∑∑( ) = ( )∆ ∆ ∆∆→

===

, , lim , ,0 111

zzk

volume de L dxdydzL

= ∫∫∫

f x y z dxdydz f x y z dz dx dyL g x y

h x y

K∫∫∫ ∫∫∫( ) = ( )

( )

( )

, , , ,,

,

f x y z dxdydz f x y z dy dxdzL g x z

h x z

K1 1

1

∫∫∫ ∫( ) = ( )

( )

( )

, , , ,,

,

11

∫∫

207



10.48

sendo L x y z g y z z h y z2 2 2= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g2 e h2 são funções contínuas em K2.

• ExEmplo 6

Vamos determinar L

ydxdy dz∫∫∫ onde L x y z x y x z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ −{ }, , : , ,0 2 0 3 0 .

→ REsolução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:

10.49

onde

10.50

Então,

10.51

• Mas, ydz yz y x yx y

x y

00

−−

∫ = [ ] = ⋅ −( )

Logo,

10.52

• Como y x y dy xy y dy xy y x x xx x x

0

32

0

3 2 3

0

3 33

2 392

9 9∫ ∫−( ) = −( ) = −

= − = −.

33

2resulta que

10.53

f x y z dxdydz f x y z dx dydzL g x z

h x z

K2 2

2

∫∫∫ ∫( ) = ( )

( )

( )

, , , ,,

,

22

∫∫

L x y z z x y x y K= ( ) ≤ ≤ − ( )∈{ }, , : , ,0

K x y x y x= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,0 2 0 3

ydx dy dz ydz dxdyL

x y

K∫∫∫ ∫∫∫=

−

0

ydxdydz y x y dxdy y x y dy dxL K

x

∫∫∫ ∫∫ ∫∫= −( ) = −( )

. .

0

3

0

2

ydxdydz x dx x

L∫∫∫ ∫= −

= −

= −

92

98

183

0

2 4

0

2

208



• ExEmplo 7

Vamos calcular 2

L

x yzdxdydz∫∫∫ , onde L x y z x y x y z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + +{ }, , : , ,0 1 0 1 1 .

→ REsolução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:

10.54

onde

10.55

Então,

10.56

Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um número maior de variáveis.

10.4 Mudança de variáveis de IntegraçãoEm muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples mediante

uma mudança de variáveis de integração.

A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da

região L sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo,

a escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto,

a melhor escolha, no caso de duas variáveis, são as coordenadas polares. A análise feita a seguir

considera um conjunto arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla.

L x y z x y z x y x y K= ( ) + ≤ ≤ + + ( )∈{ }, , : , ,1

K x y z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }, , : ,0 1 0 1

( ) ( ) ( )

11 22 2 2

2 22 2

1 1 2 4 3 33 2 2 2

0 0

2

1 2 12 2

2 4 3 6

+ ++ +

+ +

= = =

= + + − + = + + =

= + + = + +

∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫

x yx y

L K x y K x y

K K

zx yzdxdydz x yzdz dxdy x y dxdy

x y x yx y x y dx dy x y dxdy

x y x x xx y x y dx dy y y y11 1 2

0 00

12 3

0

4 3 6

5 1 5 1 2312 2 3 3 24 9 72

= + + =

= + = + =

∫ ∫y y ydy dy

y y

209



Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas

cartesianas: u = u(x,y) e v = v(x,y). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas

x = x(u,v) e y = y(u,v).Para o que vem a seguir, é importante definir uma função denominada “jacobiano de uma

transformação”.

Seja T uma transformação, T : A ⊂ 2 → 2, que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto A,

associa o par (x,y) tal que x = x(u,v) e y = y(u,v), isto é, T(u,v) = (x,y).

A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz

10.57

e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz

10.58

ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais.

Figura 10.11: A transformação T : A ⊂ 2 → 2.

∂( )∂ ( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

x yu v

xu

xv

yu

yv

,,

Jx yu v

xu

xv

yu

yv

=∂( )∂ ( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

det ,,

210



Mediante uma mudança de variáveis da forma T(u,v) = (x,y), uma integral dupla se escreve,

em termos das novas variáveis (u,v) como:

10.59

onde det ∂( )∂ ( )

x yu v,,

é o módulo do jacobiano da transformação T, sendo R a imagem de S

pela transformação T.

• ExEmplo 8Vamos calcular

10.60

onde

10.61

isto é, o trapézio ABDE na Figura 10.12.

→ REsolução:Vamos fazer a mudança de variáveis:

10.62

de onde obtemos

10.63

que define a transformação T.

f x y dxdy f T u vx yu v

dudvR S∫∫ ∫∫( ) = ( )( ) ∂ ( )

∂ ( ), ,

,,

Figura 10.12: A região R é o trapézio ABDE.

sencos

x yx y

dxdyR

+( )−( )∫∫

R x y x y x y= ( )∈ ≤ − ≤ ≥ ≤{ }, : , ,

2 1 2 0 0

u x yv x y= += −

x u v

y u v

=+

=−

2

2

211



Daí, o jacobiano da transformação é:

10.64

Como

10.65

temos, uma vez que

10.66

isto é,

10.67

ou seja

10.68

que é o trapézio LMNO.

Então,

10.69

Logo,

10.70

det det det∂ ( )∂ ( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=x yu v

xu

xv

yu

yv

,,

122

12

12

12

12−

= −

Figura 10.13: A região S é o trapézio LMNO.

R x y x y x y= ( )∈ ≤ − ≤ ≥ ≤{ }, : , ,

2 1 2 0 0

eu x yv x y= += −

x u v

y u v

=+

=−

2

2

1 2 0 0≤ ≤ + ≥ − ≤v u v u v, e

1 2≤ ≤ ≥ − ≥v v u v u, e

S u v v v u v u= ( )∈ ≤ ≤ ≥ − ≥{ }, : , ,

2 1 2

sencos

x yx y

dx dy uv

du dv uvdu

R S v

v+( )−( )

= − =∫∫ ∫∫−

sencos

sencos

12

12 ∫∫∫

∫

=

=−

=−

+−

−

dv

uv

dv vv

vvv

1

2

1

212

12

coscos

coscos

cos (( )

=∫ cosvdv

1

2

0

sencos

x yx y

dx dyR

+( )−( )

=∫∫ 0

212



• ExEmplo 9

Vamos calcular e dxdyx y x y

R

+( ) −( )∫∫ / , sabendo que R é o trapézio de vértices (1,0), (3,0), (0,−1), (0,−3).

→ REsolução:Vamos fazer a mudança de variáveis

10.71

pois não sabemos calcular facilmente a integral dada.Obtemos então:

10.72

que define a transformação T.Daí, o jacobiano da transformação é:

10.73

A fim de determinar S, observamos que a região R, pela transformação dada, é levada num outro trapézio.

De fato:

u x yv x y= += −

x u v

y u v

=+

=−

2

2

det det det∂ ( )∂ ( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=x yu v

xu

xv

yu

yv

,,

122

12

12

12

12−

= −

Figura 10.14: R é o trapézio ABCD.

213



Como

10.74

O lado LM tem y = 0; logo, u = v.O lado NO tem x = 0; logo, u = −v.O lado LO tem y = x − 1; logo, v = 1.O lado MN tem y = x − 3; logo, v = 3.

Então,

10.75

10.5 Integrais em coordenadas polaresUm exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das

coordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (ρ,φ), por meio da transformação

definida pelas equações:

10.76

Figura 10.15: S é o trapézio LMNO.

eu x yv x y= += −

x u v

y u v

=+

=−

2

2

e dx dy e du dv e du dvx y x y

R

u v

S

u v

v

v+( ) −( )

−∫∫ ∫∫ ∫∫= − =

/ / /12

12 1

3

==

= = − =

= −

−

−

−

∫ ∫12

12

12 2

1

31

1

3

12

1

ve du ve ve dv

e e v

u vv

v/

33 12= − −e e

xy==

ρ ϕρ ϕ

cossen

214



O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço xy, for da forma

mostrada na Figura 10.16, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρφ:

10.77

Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,y) é transformada numa função

F(ρ,φ), isto é,

10.78

A fim de determinar f x y dxdy∫∫ ( ), , usando a transformação

10.79

temos

10.80

Logo,

10.81

R = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ, : ,1 2 1 2

Figura 10.16: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas num retângulo.

f x y F, ,( )→ ( )ρ ϕ

xy==

ρ ϕρ ϕ

cossen

J

x x

y y=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−

= + =ρ ϕ

ρ ϕ

ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ ρcos sensen cos

cos sen2 2

f x y dxdy Fx y

d dR S∫∫ ∫∫( ) = ( ) ∂ ( )

∂ ( ), ,

,,

ρ ϕρ ϕ

ρ ϕ

215



• ExEmplo 10

Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla 2

S

yx dxdy∫∫ sabendo que, com a mudança de

coordenadas, S é transformado em D R= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤

ρ ϕ ρ ϕπ, : ,0 04

.

→ REsolução:

A fim de determinar f x y dxdyS∫∫ ( ), , usando as coordenadas polares

10.82

temos

10.83

Logo,

10.84

Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como:

10.85

xy==

ρ ϕρ ϕ

cossen

J

x x

y y=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−

= + =ρ ϕ

ρ ϕ

ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ ρcos sensen cos cos sen2 2

f x y dx dy Fx y

d dS D∫∫ ∫∫( ) = ( ) ∂ ( )

∂ ( ), ,

,,

ρ ϕρ ϕ

ρ ϕ

yx dx dy d d dS D∫∫ ∫∫ ∫= ( ) =

2 2 2 4

0

42ρ ϕρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ

π

sen . cos sen .cos

=

= −

= − −

∫

∫

d

d

R

R

ρ

ρϕ

ρ ρπ

0

43

0

4

0

4

32

1213

cos dd

R

R R

ρρ

0

5

0

5

52

1213

54 2

12

∫ = − −

=

=−

216



• ExEmplo 11Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares.

→ REsolução:Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão

10.86

onde a região R é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja,

10.87

Usando coordenadas polares

10.88

temos

10.89

e R é transformado no retângulo

10.90

isto é,

Logo,

A dxdyR

= ∫∫

R x y x y r= ( ) + ={ }, : 2 2 2

xy==

ρ ϕρ ϕ

cossen

J

xp

x

yp

y=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−

= + =ϕ

ϕ

ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ ρcos sensen cos cos sen2 2

[0,r] × [0,2π]

S r= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ ϕ ρ ϕ π, : ,0 0 2

dxdy rd d d d d r dR S

r r

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫= =

=

=ρ ϕ ρ ρ ϕ

ρϕ

π π

00

2 2

00

2 2

2 2ϕϕ ϕ π

ππ

0

2 2

02 2

2∫ = =r r`

217



10.6 Integrais em coordenadas esféricasOutro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas

esféricas definidas por

10.91

onde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.

É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo

calculada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e φ isto é,

10.92

xyz

===

ρ ϕ θρ ϕ θρ ϕ

sen cossen sencos

D = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ θ ϕ ρ ρ ρ θ θ θ ϕ ϕ ϕ, , : , ,1 2 1 2 1 2

Figura 10.17: Região no espaço associada ao paralelepípedo nas coordenadas esféricas.

218



O determinante jacobiano da transformação é:

10.93

Logo,

10.94

Convém notar que, como 0 ≤ φ ≤ π, senφ ≥ 0 e,

no interior do domínio D, o jacobiano da transfor-

mação é diferente de zero, ou seja a transformação

é inversível.

J

x x x

y y y

z z z

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ϕ θ ρ ϕ θ ρsen cos sen sen ccos cossen sen sen cos cos sen

cos sen

sensen

ϕ θϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θϕ ρ ϕ

ρ ϕϕ

0

2

−=

=ccos sen cos cos

sen sen cos cos sencos sen

sen s

θ θ ϕ θϕ θ θ ϕ θϕ ϕ

ρ ϕ

−

−

=

= −

0

2 een .cos cos .sen cos .cos sen .sen

se

2 2 2 2 2 2 2 2

2

ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ

ρ

− − − =

= − nnϕ

Figura 10.18: Elemento de volume das coordenadas esféricas.

Jx y z

=∂( )∂ ( )

= − =, ,, ,

sen senρ θ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ2 2

219



• ExEmplo 12O volume de uma esfera de raio R, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a seguinte integral tripla:

10.95

Geralmente, se g for uma função de três variáveis (x, y, z), então, a integral tridimensional sobre uma

região limitada L pode ser escrita, no domínio D = {(ρ, θ, φ) : ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, θ1 ≤ θ ≤ θ2, φ1 ≤ φ ≤ φ2},

como:

10.96

onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas:

10.97

• ExEmplo 13

Vamos calcular o volume do elipsoide xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 1+ + ≤ .

Seja E x y z xa

yb

zc

= ( ) + + ≤

, , :2

2

2

2

2

2 1

Utilizando coordenadas esféricas

10.98

V J d d d d d d

R R

R R

= = =

= ⋅ ⋅ =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫0

2

00

2

0 0

2

03

3

32 2 4

3

ππ π π

ρ θ ϕ ρ ρ θ ϕ ϕ

π π

sen

g x y z dxdydz gL D∫∫∫ ∫∫∫( ) = ( ) ⋅, , sen cos , sen sen , cos senρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ2 dd d d

G d d d

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕϕ

ϕ

θ

θ

ρ

ρ

=

= ( )∫∫∫1

2

1

2

1

22, , sen

G g x y zρ θ ϕ, , , ,( ) = ( )

xaybzc

=

=

=

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ

sen cos

sen sen

cos

220



isto é,

10.99

em D = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ θ ϕ ρ θ π ϕ π, , : , ,0 1 0 2 0 , temos:

10.100

Logo,

10.101

e o volume do elipsoide é:

10.102

É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo após o Exemplo 3.

x ay bz c

===

ρ ϕ θρ ϕ θρ ϕ

sen cossen sencos

J

x x x

y y y

z z z

a a=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

−ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ϕ θ ρ ϕsen cos sen senθθ ρ ϕ θϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θϕ ρ ϕ

ab b bc c

cos cossen sen sen cos cos sen

cos sen0 −=

=−

abcρ ϕϕ θ θ

2 sensen cos sen coss cossen sen cos cos sen

cos sen

ϕ θϕ θ θ ϕ θϕ ϕ0 −

=

= − − −abcρ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ2 2 2 2 2 2 2sen sen cos cos sen cos cos θθ ϕ θ− =

= −

sen sen2 2

abcρρ ϕ2 sen

dx dy dzx y z

abc d d d=∂ ( )∂ ( )

=, ,, ,

senρ θ ϕ

ρ ϕ ρ θ ϕ2

dxdy dz abc d d d abc d d dE D∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫= = =

=

ρ ϕ ρ θ ϕ θ ϕ ϕ ρ ρπ π

2

0

2

0

2

0

1

sen sen

aabc abc abcθ ϕρ

π ππ π[ ] ⋅ −[ ] ⋅

= ⋅ +[ ] =0

2

0

3

0

1

32 1 1 1

343

cos

Agora é a sua vez...Continue explorando os recursos de aprendizagem disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s) atividade(s) proposta(s).

INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ... Fundamentos de Matemática II 2 10.2.3 Cálculo de...

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