3. INTEGRAIS MULTIPLASIntegrais duplas: Objetivos:Ao nal do captulo espera-se que o aluno seja capaz de:1. Encontrar o valor de uma integral dupla;2. Interpretar geometricamente uma integral dupla;3. Dada uma regi ao delimitada por funcoes, encontrar os limitantes quepermitem calcular o valor da integral dupla;4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares;5. Resolver exerccios usando o MapleIntegrais triplas: Objetivos:Ao nal do captulo espera-se que o aluno seja capaz de:1. Encontrar o valor de uma integral tripla;2. Interpretar geometrica e sicamente uma integral tripla;3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares;4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilndricas;5. Calcular integrais triplas em coordenadas esfericas;6. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares paracilindricas e de cilindricas para retangulares;7. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares paraesfericas e de esfericas para retangulares;8. Calcular a area de uma superfcie;9. Fazer a maquete de uma gura delimitada por superfcies e encontrarseu volume.10. Resolver exerccios usando o Maple.A prova ser a composta por quest oes que possibilitam vericar se os obje-tivos foram atingidos. Portanto, esse e o roteiro para orienta coes de seus estudos. Omodelo de formula cao das quest oes e o modelo adotado na formula cao dos exerccios edesenvolvimento teorico desse captulo, nessa apostila.3.1. IntroducaoNo estudo das fun coes de varias vari aveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhiamosuma das vari aves independentes para derivar1 em rela cao a ela e admitiamos que asdemais eram constantes. O mesmo procedimento ser a adotado para integra cao m ultipla.107Antes de estudarmos a integra cao m ultipla propriamente dita vamos ver alguns exemp-los.Exemplo 3.1. Encontrar a primitiva da fun cao1 (r. n) = 12r2n3em relacao ` ar.Solucao: Como foi dito, vamos admitir n como constante e integrar emrela cao ar. Portanto,Z12r2n3dr = 4r3n3+(Porem, nesse caso, a constante ( e uma fun cao de n. Pode ser por exemplo,( (n) = cn3+/n2+cn + 3 e uma das primitivas de1 (r. n) = 12r2n3ser a1 (r. n) = 4r3n3+cn3+/n2+cn + 3Note que1 (r. n)r= 12r2n3.Exemplo 3.2. Encontrar a primitiva da fun cao1 (r. n) = 12r2n3em relacao ` an.Solucao: Agora vamos admitir r como constante e integrar em rela cao a n.Portanto,Z12r2n3dn = 3r2n4+1Nesse caso, a constante1 e uma fun cao der. Pode ser por exemplo,1 (r) = cr3+/r2+cr + 3 e uma outra primitiva de1 (r. n) = 12r2n3ser a1 (r. n) = 3r2n4+cr3+/r2+cr + 3. Note que1 (r. n)n= 12r2n3.Exemplo 3.3. Encontrar o valor da express ao Ra+1a24rndn.Solucao: Aplicando o teorema fundamental do c alculo vem:108Ra+1a24rndn = 12rn2|a+1a= 12r(r + 1)212r(r)2= 12r3+ 24r2+ 12r 12r3= 24r2+ 12rComo podemos observar Ra+1a24rndn e uma fun cao der.Isto e,1 (r) = Ra+1a24rndn donde1 (r) = 24r2+ 12r.Exemplo 3.4. Encontrar o valor numerico de R211 (r) dr sendo1 (r) = Ra+1a24rndn.Solucao: No exemplo anterior vimos que1 (r) = Za+1a24rndn = 24r2+ 12rPortanto, aplicando do teorema fundamental do c alculo vemR211 (r) dr = Ra=2a=1 (24r2+ 12r) dr= (8r3+ 6r2) |21= 8(2)3+ 6 (2)2

8 (1)3+ 6 (1)2= 74Os exemplo 3.3 e 3.4 podem ser escritos como segue:Z211 (r) dr = Z21Za+1a24rndndrouZ211 (r) dr = Z21Za+1a24rndndrDessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a vari aveldependente e a primeira a ser integrada e a vari avel independente a ultima. O processode solu cao e dado abaixo:109R21Ra+1a24rndndr = R21R&=a+1&=a24rndndr= R2112rn2|&=a+1&=adr= R21 (24r2+ 12r) dr= (8r3+ 6r2) |21= 74Vejamos outro exemplo.Exemplo 3.5. Encontrar o valor da integral R40R3aa3s16 r2dndr.Solucao: Aplicando o teorema fundamental do c alculo primeiro integrandoem rela cao an e depois em rela cao ar.Z40Z3aa3s16 r2dndr= Z403s16 r2n|3aadr= Z403s16 r2(3r r) dr= Z406rs16 r2dr= 2q(16 r2)3|40= 2q(16 42)3

2q(16 02)3 = 128Portanto, o valor da integral R40R3aa3s16 r2dndr = 128ExercciosNos problemas abaixo calcule a integral duplac)R10R3a+1arndndr /)R10R3&+1&rn2drdnc)R40R10rca&dndr d)R20R&2ln& nca&drdnc)R0R&20:c:a&drdn 1)Rln20R&0rn5ca2&2drdn110Figura 3.1:3.2. Interpretacao Geometrica da Integral DuplaA denicao de integral dupla comporta uma interpreta cao geometrica analoga ` a deni caode integral denida simples, associando-a ao problema de calculo de volume (ver gura3.1 ) da mesma forma que a integral denida e associada ao c alculo de area. Assim,deni cao formal da integral dupla envolve a soma de muitas areas elementares, isto e,diferenciais de area , ou seja, , com a nalidade de obter-se uma quantidade total ap osesta operacao. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes avolumes e a areas.Ao tentar resolver-se o problema do volume , sabe-se que se trata area dabase vezes a altura e tal que para cada area elementar o valor de ca univocamentedenido.Consideremos uma fun cao . = 1 (r. n)0, denida numa regiao 1 do planorn. Nossa intensao e estimar o volume aproximado do s olido delimitado por . = 1 (r. n)acima do plano. = 0 e pelo cilindro denido pela curva fechada que delimita a regi ao1. Para tanto, subdividimos1 em:subregi oes tra cando linhas paralelas aos planoscoordenados, conforme na gura 3.2 e 3.3.Assim, a integral ser a o volume obtido pelasoma de uma innidade de volumes das colunas innitesimais inscritas em forma de111paraleleppedos, como mostra a Figura 3.3.Figura 3.2:Figura 3.3:Ent ao {11. 12. ..1j...1a}e uma particao de1. Seja |1| o comprimento damaior de todas as diagonais dos1a subretangulos.Seja j a area da subregi ao 1j Para cada i escolhenos um ponto (rj. nj) 5 1j.O produto \j = 1 (rj. nj) je o volume do i esimo paraleleppedo de area j e altura1121 (rj. nj). Como h a :subdivisoes, ha :paraleleppedos. Assim, o volume aproximadodo solido delimitado superiormente por 1 (r. n) e inferiormente pela regi ao 1 e dado por\a =aXj=11 (rj. nj) jA integral dupla de uma fun cao1 denida numa regiao1 e dada porZZ11 (r. n) drdn = lim|1|