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LICENCIATURA EM CIÊNCIAS · USP/ UNIVESP 11.1 Introdução 11.2 Integrais de Caminho e Circulação de um Vetor 11.3 Forças Conservativas 11.4 Diferença de potencial e Força Eletromotriz 11.5 Fluxo de um Campo Vetorial 11.6 Teorema de Gauss 11.6.1 Lei de Gauss 11.6.2 A Equação da Continuidade 11.7 Teorema de Stokes 11.8 Lei da Indução de Faraday 11 Gil da Costa Marques INTEGRAIS SOBRE CAMINHOS E SUPERFÍCIES Fundamentos de Matemática II

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11.1 Introdução11.2 Integrais de Caminho e Circulação de um Vetor11.3 Forças Conservativas11.4 Diferença de potencial e Força Eletromotriz 11.5 Fluxo de um Campo Vetorial11.6 Teorema de Gauss

11.6.1 Lei de Gauss11.6.2 A Equação da Continuidade

11.7 Teorema de Stokes11.8 Lei da Indução de Faraday

11Gil da Costa Marques

INTEGRAIS SOBRE CAMINHOS E SUPERFÍCIES

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Fundamentos de Matemática II

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11.1 IntroduçãoConquanto seja possível expressar as leis fundamentais em termos de propriedades dos

campos quando definidos em cada ponto do espaço, é possível expressar as mesmas leis fazendo

uso de propriedades que envolvem o comportamento de campos vetoriais ao longo de uma

curva ou de uma superfície. É disso que tratam as duas grandezas a serem definidas em seguida:

a circulação e o fluxo de um vetor. Leis físicas podem ser expressas em termos de circulações ao

longo de uma curva e fluxos de grandezas vetoriais ao longo de superfícies.

A soma sobre componentes de taxas de variação ao longo de intervalos consecutivos são

importantes fontes de informação. Veremos que no caso de campos conservativos a integral de

linha do campo leva a uma soma parecida com a soma sobre derivadas de funções de uma variável.

Lembramos para tanto que a integral das diferenciais da função f ao longo de um intervalo

determina a diferença dos valores da função nos extremos daquele intervalo:

11.1

Em outras palavras, o limite da soma das taxas de variação da grandeza f determina a dife-

rença de valores aludida acima, ou seja:

11.2

Na Física lidamos com taxas de variação de campos vetoriais. Podemos melhorar nossa

compreensão a respeito do mundo físico quando consideramos o limite de somas sobre taxas

de variações (como integrais envolvendo divergentes de funções vetoriais) ou de projeções de

taxas de variações de campos ao longo de direções tangentes a curvas (integrais de caminho) ou

ao longo de direções normais a superfícies (fluxos de grandezas vetoriais).

Como no caso de funções de uma variável, muitas vezes, o conhecimento das taxas de variação

de funções de muitas variáveis leva à determinação, às vezes de forma simples, das próprias

grandezas físicas. No entanto, como fazê-lo nesse caso requer o uso de algumas identidades,

relações e, outras vezes, o uso de argumentos de simetria.

df x dx f b f aa

b

( ) = ( ) − ( )∫

df xdx

dx f b f aa

b ( )

= ( ) − ( )∫

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11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies

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Na Física, estamos interessados em dois tipos de somas ou, o que é mais importante, integrais.

Primeiramente, integrais de volume do divergente de uma grandeza vetorial. Usualmente, tais

integrais são relacionadas a grandezas físicas (como massa e carga elétrica) contidas no volume.

Essa é a base da lei de Coulomb na eletrostática.

Outro tipo de integral envolvendo campos vetoriais é aquela em que integramos as pro-

jeções dos campos ao longo de direções tangentes ou perpendiculares a curvas e superfícies.

Finalmente, consideraremos integrais de projeções de taxas de variação de grandezas vetoriais

ao longo de curvas e superfícies. Como no caso de funções de uma variável, devemos efetuar

partições no intervalo de domínio de curvas e superfícies.

Os aspectos mencionados acima serão alvo de análise neste texto.

11.2 Integrais de Caminho e Circulação de um Vetor

Lembramos que um caminho, interligando dois pontos A e B, nada mais é do que uma curva

que pode ser descrita utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva

como o lugar geométrico dos pontos do espaço descritos pelas funções a um parâmetro – o

parâmetro λ – dadas por:

11.3

A cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e, ao variá-lo,

obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e B correspondem

os valores λA e λB tais que suas coordenadas são dadas por:

11.4

Consideremos uma linha ou uma curva qualquer. Ela pode ser subdivida em n pedaços

infinitesimais.

x x

y y

z z

= ( )= ( )= ( )

λ

λ

λ

x x x xy y y yz z z z

A A B B

A A B B

A A B B

= ( ) = ( )= ( ) = ( )= ( ) = ( )

λ λλ λλ λ

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Um ponto ao longo da curva é caracterizado pelo vetor de posição:

11.5

Assim, dois pontos ao longo de uma curva definem um vetor deslocamento (veja Figura 11.1)

dado por:

11.6

Definimos a distância entre esses dois pontos (veja Figura 11.1) como se fosse igual ao

módulo do vetor acima, isto é:

11.7

O produto escalar de um vetor

B r( ) pelo vetor ∆r é dado, portanto, pela expressão:

11.8

onde θ é o ângulo entre os dois vetores

e Bt é a projeção do vetor

B r( ) na direção

estabelecida pelo vetor ∆r .

Consideremos uma curva arbitrária,

na qual introduzimos uma partição

contendo n pequenos segmentos de

comprimento ∆l (veja Figura 11.1).

Para qualquer elemento da linha, ou seja, um particular segmento da curva - digamos o

trecho associado ao i-ésimo ponto da partição considerada -, introduzimos o vetor ∆ri, que é o

vetor deslocamento associado aos extremos dessa divisão da curva. Ou seja, tal vetor é o vetor

deslocamento entre os extremos do segmento.

Considerando agora um campo vetorial

B r( ), podemos definir uma grandeza escalar a

partir do produto escalar:

11.9

Figura 11.1: a) O vetor deslocamento entre dois pontos ao longo de uma curva e b) sua partição em segmentos.

ba

r x i y j z kλ λ λ λ( ) = ( ) + ( ) + ( )

∆ ∆ r r rλ λ λ λ( ) = +( ) − ( )

∆ ∆l r= ( )

λ

B r r B r r B rt( ) ⋅ = ( ) =∆ ∆ ∆cosθ

∆ ∆τi i iB r r= ( ) ⋅

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Definimos a grandeza escalar τn como aquela que resulta da soma sobre todas as contribui-

ções associadas às n partições da curva:

11.10

No limite em que o número de elementos das

partições tende a infinito, tal soma define a integral

de caminho:

11.11

onde fica implícito que, no limite acima, o (máximo

|∆ri|) → 0 quando n → ∞.

Na expressão 11.11, o vetor d r é o vetor deslocamento infinitesimal

11.12

o qual é tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r e seu módulo é dado por

11.13

onde dl é o elemento de comprimento infinitesimal da curva. A direção desse vetor é a mesma

direção da reta tangente à curva pelo ponto considerado e o seu sentido indica a direção

crescente do deslocamento (veja figura). Escrevemos assim:

11.14

onde

t é o versor tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo

vetor posição r .

Quando a curva é fechada, a integral de caminho é conhecida

como circulação do vetor ao longo dela, e é representada assim:

11.15

Figura 11.2: a) O vetor deslocamento infinitesimal e b) a projeção do campo em cada ponto.

a b

τ τni

i

n

i ii

n

B r r= = ( ) ⋅= =∑ ∑∆ ∆

1 1

τB n i

n

iB r B r dr= ⋅ = ( ) ⋅→∞

=∑ ∫lim

1

∆Γ

dr dxi dyj dzk

= + +

dr dl

=

Figura 11.3: Circulação de uma grandeza vetorial.

dr dlt

=

τ = ( ) ⋅∫ B r dr

Γ

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Se definirmos a componente do vetor

B dl B dlt⋅ = ⋅ , então, a integral de linha entre os

pontos A e B pode ser escrita, formalmente, sob a forma:

11.16

ou seja, a circulação de um vetor, ou sua integral de linha acaba se reduzindo a uma integral de

uma função de uma variável.

A circulação de um vetor ou a integral de linha do vetor é uma grandeza escalar que

depende do caminho escolhido e do sentido em que se percorre esse caminho. Invertendo-se

o sentido no qual se percorre o caminho, inverte-se o seu sinal.

A circulação de um campo vetorial é uma medida de quão próximas (ou afastadas) estão as linhas

de força do campo de se fecharem sobre si mesmas. Na Figura 11.4, apresentamos um campo com

circulação. O campo magnético da Terra é um campo com circulação.

Exemplos

• ExEmplo 1Determine a integral de linha do campo vetorial:

11.17

ao longo dos caminhos 1 e 2, de acordo com a Figura 11.4.

→ REsolução:Ao longo do caminho 1, o valor da coordenada y se mantém constante (y = y2). Assim, temos:

11.18

Portanto,

11.19

τλ

λλ

λ

=

∫ B

dld

dt

1

2

Figura 11.4: Integral de linha entre dois caminhos.

B B e B xi yjx y

ρρ ϕ( ) = =

+

+( )0

0 2 2 3 2( )

/

dr dxi

=

τ1

10 2

22 3 2 0

22

2 1 2

1

2

1B

x

x

xB r dr B x dx

x yB x y= ( ) ⋅ =

+( )= − +( )∫ ∫

( )/

/ xx

B x y x y2

0 22

22 1 2

12

22 1 2

= − +( ) − +( )

− −/ /

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Ao longo do caminho 2, a situação se inverte, ou seja, o valor da coordenada x se mantém constante (x = x1). Escrevemos, nessas circunstâncias:

11.20

Donde inferimos que:

11.21

• ExEmplo 2Determine a integral de linha do campo vetorial:

11.22

ao longo dos caminhos 1, 2, 3 e 4. Determine também a circulação do campo vetorial no caminho fechado composto pela soma desses trechos.Ao longo dos caminhos 1 e 3, só a variável r se altera. As curvas são linhas retas partindo da origem. Suas direções e sentidos são determinados pelo vetor dl

, dado por:

11.23

Portanto, para os caminhos 1 e 3 podemos escrever:

11.24

Para os caminhos 2 e 4 os vetores dl

são dados por:

11.25

Tal vetor é ortogonal ao campo, obtendo daí um valor nulo para as integrais de caminho.

11.26

dr dyj

=

τ2

20

12 2 3 2 0 1

2 2 1 2

1

2

1B

y

y

yB r dr B y dy

x yB x y= ( ) ⋅ =

+( )= − +( )∫ ∫

( )/

/ yy

B x y x y2

0 12

22 1 2

12

12 1 2

= − +( ) − +( )

− −/ /

Figura 11.5: Circulação de um campo vetorial ao longo de 4 caminhos.

E k rr

krrr

krer= = =3 2 2

dl dr er

=

τ

τ

1 2 21 2

2

1

2

1

2

1

21 1 1= ⋅ = = − = −

=

∫ ∫kre dl k

rdr k

rkr r

kr

rr

r

r

r

r

r

22 21 22

1

2

1

2

11 1 1

e dl krdr k

rkr rr

r

r

r

r

r

r

⋅ = = − = −

∫ ∫

dl rd e

= ϕ ϕ

τ ϕ

τ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

3 2 2

4 2

1

2

1

2

2

1

0= ⋅ = ⋅ =

= ⋅

∫ ∫

kre dl k

rrd e e

kre dl

r r

r

== ⋅ =∫krrd e er2

2

1

0ϕϕ

ϕ

ϕ

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Das expressões 11.24 e 11.26, resulta que a circulação do campo vetorial se anula ao longo do caminho fechado, ou seja:

11.27

• ExEmplo 3 Determine a circulação do campo vetorial:

11.28

ao longo do caminho fechado associado à circunferência de raio r (veja Figura 11.6).

→ REsolução:O versor tangente à circunferência é:

11.29

O elemento de comprimento ao longo da circunferência de raio r é dado por:

11.30

E, portanto:

11.31

Donde se infere que:

11.32

11.3 Forças ConservativasO exemplo de integral de caminho com o qual estamos mais

familiarizados é aquele que define a grandeza física denominada

trabalho. Nesse caso, o campo

B é substituído pela força

F .

τ τ τ τ τ= ⋅ = + + + =∫ E dlΓ

1 2 3 4 0

Figura 11.6: Circulação ao longo de uma circunferência.

B B eρ ρ ϕ( ) = ( )

e i jϕ ϕ ϕ= +sen cos

dl rd= ϕ

dl rdre

= ϕ

B dl B r rd rB r⋅ = ( ) = ( )∫∫

0

2

ϕ πΓ

Figura 11.7: Dois pontos podem ser interligados por meio de vários caminhos.

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Assim, o trabalho realizado pela força

F enquanto a partícula, que experimenta a ação dessa

força, se desloca do ponto A até o ponto B, ao longo da curva Γ, é dado por:

11.33

O trabalho é uma grandeza física que dá a variação de energia cinética ao longo do deslo-

camento, isto é:

11.34

O trabalho pode depender do caminho, ou não. Forças para as quais a integral de linha entre

os pontos não depende do caminho são denominadas forças conservativas.

Tais forças - as conservativas - são derivadas de um campo escalar denominado energia

potencial, ou seja, para que tais forças não dependam do caminho, elas devem ser escritas da

seguinte forma:

11.35

onde U é a energia potencial da partícula. Portanto, para tais forças podemos escrever:

11.36

E, portanto, de 11.34 e 11.36, vemos que a grandeza física conhecida como energia se

conserva, ou seja, a energia E é constante, onde:

11.37

Para um campo conservativo, como o campo de forças, sua circulação é nula, isto é:

11.38

W F r drA

B

= ( ) ⋅∫

W F r dr m v m vA

B

B A= ( ) ⋅ = ( ) − ( )∫

2 22 2

F x y z U x y z, , , ,( ) = −∇ ( )

W F r dr U dr dU U A U BA

B

A

B

A

B

= ( ) ⋅ = − ∇ ⋅ = − = ( ) − ( )∫ ∫ ∫

E m v U= +2

2

F r dr( ) ⋅ =∫Γ

0

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11.4 Diferença de potencial e Força Eletromotriz

Sabemos que no caso do campo elétrico associado a fenômenos onde as cargas elétricas se

distribuem de forma que não mudem com o tempo (a eletrostática), esse campo elétrico por

elas produzido é tal que:

11.39

E, portanto, o campo elétrico gera uma força conservativa. Escrevemos:

11.40

onde V(x, y, z) é o potencial eletrostático.

Na eletrostática, a integral de caminho entre dois pontos dá a diferencial de potencial entre eles:

11.41

E, portanto, na eletrostática, a circulação do campo elétrico é sempre nula.

11.42

No entanto, quando tratamos de fenômenos mais gerais, a circulação do campo elétrico

pode não ser nula. Isso nos leva ao conceito de força eletromotriz.

∇× ( ) =E x y z, , 0

E x y z V x y z, , , ,( ) = −∇ ( )

E r dr V dr dV V A V BA

B

A

B

A

B

( ) ⋅ = − ∇ ⋅ = − = ( ) − ( )∫ ∫ ∫

( ) 0E r drΓ

⋅ =∫

Definimos força eletromotriz (ε) como a grandeza física que resulta da circulação do vetor campo elétrico (tomado ao longo de um caminho fechado, por-tanto), ou seja:

11.43 ε = ( ) ⋅∫ E r dr

Γ

Figura 11.8: A circulação do campo elétrico pode, ou não, ser nula.

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11.5 Fluxo de um Campo VetorialUm dos conceitos mais importantes no eletromagnetismo é o de fluxo de um vetor através

de uma superfície. Em particular, a lei de Gauss da eletrostática e a lei da Indução - leis funda-

mentais do eletromagnetismo - fazem uso desse conceito.

Nos muitos usos que fazemos dessa grandeza, o fluxo de uma grandeza vetorial através de

uma superfície representa a taxa com que alguma grandeza física flui através da superfície

considerada. Como a taxa com que algo flui depende da orientação relativa da superfície e

aquele algo que flui, o fluxo depende do produto escalar entre um vetor normal (ou seja, per-

pendicular à superfície) e o vetor que representa a grandeza que flui. Depende também da ex-

tensão da área da superfície.

No caso da orientação, isso pode ser ilustrado considerando a Figura 11.9,

na qual representamos o fluxo de um fluido (água) através de uma superfí-

cie. Dependendo da orientação da superfície, nenhuma quantidade de fluido

(medido pela sua massa) atravessará a superfície. A quantidade máxima de

fluido que passa ocorre quando a superfície é perpendicular ao jato de água.

Definiremos o fluxo de um vetor começando por um caso simples.

Consideremos o caso de uma superfície plana de área S. Tal superfície é

caracterizada pelo vetor n, o qual é normal a ela, ou seja:

11.44

onde o plano é o lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a função W(x, y, z) dada por:

11.45

é constante.

Para a superfície acima podemos introduzir um vetor,

S, associado a ela. Esse vetor é definido

como o produto da área pelo vetor normal a ela, isto é:

11.46

Figura 11.9: Fluxo de uma grandeza vetorial ao longo de uma superfície fechada.

nW x y zW x y z

ai bj cka b c

=∇ ( )∇ ( )

=+ +

+ +

, ,, , 2 2 2

W x y z ax by cz d, ,( ) = + + +

S Sn=

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Consideremos agora o caso de um campo vetorial

V constante.

Definimos o fluxo do vetor

V através da superfície plana dada por

11.46, e de área S, como uma grandeza escalar definida pelo produto

11.47

onde θ é o ângulo entre o vetor

V e o vetor normal ao plano. É uma

medida da orientação do vetor

V em relação à superfície.

No caso mais geral em que a superfície não é plana e/ou o vetor

V não é constante, devemos

recorrer a um artifício. A ideia é subdividir a superfície em pequenos elementos de superfície.

Esses elementos de uma dada superfície serão designados ∆Si. A partir deles podemos introduz

vetores ∆

Si associados a cada elemento, de tal forma que, por definição:

11.48

onde ni é o vetor normal ao i-ésimo elemento de superfície.

Agora, para cada elemento de superfície localizada na posição rj podemos definir uma

contribuição para o f luxo do vetor, a qual será dada por:

11.49

Poderíamos, a seguir, definir o fluxo do vetor

V como o fluxo dado pela soma de todos os

fluxos associados aos fluxos definidos em 11.49, ou seja:

11.50

Figura 11.10: Fluxo de uma grandeza vetorial através de uma superfície.

Φ = ⋅ =

V S VS cosθ

∆ ∆

S S ni i i= ( )

∆Φ ∆ ∆i i i i i iV r S V r S= ( ) ⋅ = ( )

cosθ

Figura 11.11: Fluxo do vetor através de diferentes elementos de superfície da esfera.

Φ ∆Φ ∆ni

i

n

i ii

n

V r S= = ( ) ⋅= =∑ ∑

1 1

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No entanto, a rigor, o fluxo do vetor

V através da superfície S é definido por meio do

processo limite:

11.51

O processo limite acima define o fluxo do vetor, o qual se escreve sob a forma de uma

integral de superfície definida como:

11.52

onde, no limite acima, fica implícito que o valor máximo de ∆

Si → 0 no limite em que n → ∞.

Na expressão 11.52, o vetor d

S é um vetor de superfície infinitesimal que depende da

superfície e do ponto considerado. Ele é escrito como:

11.53

É, portanto, perpendicular à superfície pelo ponto caracterizado pelo vetor posição r , e o

seu módulo é dado por

11.54

onde dS é o elemento de superfície infinitesimal, e S representa a superfície. No caso de uma

superfície fechada utilizamos a notação

11.55

O fluxo de alguns vetores através de superfícies dá a taxa de vazão de uma determinada

grandeza física, isto é, dá a taxa, por unidade de tempo, pela qual uma determinada grandeza

passa (ou flui) por uma determinada superfície. Exemplos de tais grandezas são a massa (por

unidade de tempo) de fluido que passa por uma superfície, a carga, a energia etc. Assim, temos,

Φ Φ ∆= = ( ) ⋅→∞ →∞

=∑lim lim

n

n

n i ii

n

V r S

1

Φ ∆= ( ) ⋅ = ( ) ⋅→∞

=∑ ∫∫lim

n i ii

n

S

V r S V r dS

1

dS dS n

= ( )

dS dS

=

( )s

V r dSΦ = ⋅∫∫

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no caso do eletromagnetismo que o fluxo do vetor de Poynting (S) através de uma superfície

dá a taxa pela qual a energia eletromagnética passa pela superfície considerada. Escrevemos

11.56

enquanto o fluxo do vetor densidade de corrente através de uma

superfície dá a taxa pela qual a carga flui através dessa superfície:

11.57

Alguns campos vetoriais de interesse na física são tais que o fluxo

desses vetores através de uma superfície dá a taxa (por unidade de

tempo) pela qual alguma grandeza física (como massa, carga, energia,

calor) passa por essa superfície.

• ExEmplo 4Determine o fluxo de campo magnético uniforme dado por:

11.58

através de uma espira plana retangular e pertencente ao plano xy (veja Figura 11.13). Os lados da espira têm comprimentos a e b.

→ REsolução:O elemento de área no plano xy é dS = dxdy. Define-se o vetor elemento de área d

S como um vetor perpendicular ao elemento de área. Seu módulo é dS, ou seja, dS dSen

= onde en é o vetor

unitário na direção perpendicular à superfície. No caso em tela, a direção normal à superfície considerada é o eixo 0z, o que implica que

en =

k . Então, podemos escrever:

11.59

Substituindo-se

B e ds na expressão 11.55, temos:

11.60

Figura 11.12: A corrente elétrica é o fluxo da densidade de corrente ao longo de uma secção transversal do condutor.

Φ sA

S r dA dEdt

= ( ) ⋅ =∫∫

Φ JA

J r dA dQdt

= ( ) ⋅ =∫∫

Figura 11.13: Fluxo do campo magnético num elemento de superfície plana.

B B k= 0

dS dSk dxdyk

= =

Φ = ⋅( ) = ⋅( ) = ( ) ⋅( ) = ( )∫∫ ∫∫∫∫∫∫

B ds Bk dsk Bds k k BdsS SSS

,

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Substituindo ds = dxdy, o fluxo é obtido resolvendo-se uma integral dupla, cujo domínio é 0 ≤ y ≤ b e 0 ≤ x ≤ a, conforme indica a figura. Logo:

11.61

• ExEmplo 5A Figura 11.14 ilustra um campo magnético constante (módulo, direção e sentido) atravessando uma espira circular de área S, totalmente contida no plano. Determine o fluxo do campo magnético na espira.

→ REsolução:Nesse caso, a direção normal ao plano da espira difere da direção do campo magnético de um ângulo θ. A definição de produto escalar entre dois vetores nos leva a escrever

B ds B ds⋅ = . .cosθ. Portanto, Φ = ( ) =∫∫ ∫∫B ds B dsS S

. .cos .cosθ θ . Uma

vez que ds SS∫∫ = , o fluxo na espira é:

11.62

Observe que: 1. Quando as linhas de fluxo forem perpendiculares ao plano da área S, o ângulo θ = 0° e cos0° = 1

e o fluxo φ = B.A.cosθ. = B.A atinge o valor máximo.2. Quando as linhas de fluxo passarem tangencialmente ao plano da área S, o ângulo θ = 90°;

cos 90° = 0 e o fluxo φ = B.A.cos90°= 0 é nulo nesse caso.

• ExEmplo 6Expresse o fluxo do campo vetorial

11.63

Ao longo de uma superfície qualquer, em termos do conceito de ângulo sólido, determine o fluxo no caso de um ângulo sólido delimitado pela superfície de um cone de abertura θ = θ0.

→ REsolução:Considere uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada e que tem origem num ponto. O ângulo sólido se refere a uma medida da abertura da superfície. É, portanto, uma generali-zação do conceito de ângulo para duas dimensões.

Φ = = =∫∫ Bdydx B a b B Sba

00

. . .

Figura 11.14: Fluxo do campo magnético numa espira circular contida num plano.

Φ = B S. .cosθ

E x y z k rr

, ,( ) = 3

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Fundamentos de Matemática II

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Para calculá-lo, consideramos uma super-fície esférica de raio R. A intersecção da superfície acima referida leva a uma outra curva. O ângulo sólido é definido como igual à área subentendida pela curva divi-dida por R2, ou seja:

11.64

A melhor definição de ângulo sólido é obtida por meio do conceito de fluxo, ou seja, definimos o ângulo sólido por meio do fluxo do campo vetorial:

11.65

Lembrando que:

11.66

Assim, o ângulo sólido se escreve como:

11.67

Portanto, de 11.65, resulta que o fluxo do campo vetorial é dado por:

11.68

No caso da superfície do cone, o fluxo do é dado por:

11.69

Figura 11.15: Ângulo sólido é uma extensão tridimensional do conceito de ângulo.

Ω =AR2

Ω = ⋅

= ⋅( )∫∫ ∫∫

1 12 2rrrdS

re dS

Ar

A

dS r d d rrr d d er

= =2 2sen senθ θ ϕ θ θ ϕ

Figura 11.16: Ângulo sólido compreendido por um cone.

Ω = ∫∫ senθ θ ϕd dA

Φ Ω= ⋅

=∫∫ k r

rrdS k

A

12

Φ Ω= = = −∫ ∫k d dsen ( cos )θ θ ϕ π θθ π

0 0

2

0

0

2 1

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11.6 Teorema de GaussPodemos relacionar o fluxo de uma grandeza vetorial ao longo de uma superfície fechada

com a taxa de variação do campo denominada divergente do campo vetorial. E isso pode ser

feito por meio do uso do teorema de Gauss.

Esse teorema estabelece uma relação simples entre a integral de volume do divergente de

um campo vetorial, ∇⋅ ( )

J r , e o fluxo desse vetor,

J r( ), sobre a superfície fechada que delimita

esse volume, isto é:

11.70

Tal teorema não será aqui demonstrado. Faremos, no entanto, algumas aplicações.

11.6.1 Lei de Gauss

Desde o trabalho pioneiro de Coulomb, sabe-se que uma distribuição de cargas dá origem

a um campo elétrico. A primeira lei se preocupa em estabelecer uma relação entre o campo

elétrico gerado e a distribuição de cargas que lhe dá origem. Tal relação envolve taxas de variação

do campo elétrico e é escrita como:

11.71

Essa é uma das quatro equações de Maxwell. Integrando-se no volume V, membro a membro,

a equação 11.71, obtemos:

11.72

O primeiro termo pode ser escrito, usando o teorema de Gauss, como o fluxo do campo

elétrico sobre a superfície que delimita o volume. O segundo termo da equação acima é a

carga elétrica contida no volume dividido por ε0. Obtemos, assim, uma relação entre o fluxo do

campo elétrico e a carga contida no volume considerado.

( ) ( )V s

J r dV J r dS∇⋅ = ⋅∫∫∫ ∫∫

( ) ( )0

,,

r tE r t

ρ∇ =

ε

( ) ( )3 3

0

1, ,V V

E r t d r r t d r∇ = ρε∫∫∫ ∫∫∫

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11.73

ou seja, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S é igual, com exceção de uma cons-

tante de proporcionalidade, à carga elétrica contida na região delimitada por essa mesma superfície.

Essa lei, expressa em 11.73, é conhecida como lei de Gauss.

11.6.2 A Equação da Continuidade

Ilustraremos o uso do teorema de Gauss fazendo uso da equação da continuidade. Essa equação

exprime, de forma precisa, o conceito da conservação da carga elétrica.

A equação da continuidade se escreve assim:

11.74

Integrando-se ambos os membros e utilizando o teorema de Gauss, obtemos:

11.75

Uma forma de caracterizar a corrente elétrica é fazê-lo através de um vetor conhecido

como densidade de corrente. Se temos partículas carregadas numa certa região do espaço,

distribuidas com uma certa densidade volumétrica ρ(r) e se a velocidade dos elétrons em cada

ponto for v, a densidade de corrente

J r( ) é dada por:

11.76

ΦES

E ds Q≡ ⋅ =∫∫

ε0

Figura 11.17: Lei de Gauss no eletromagnetismo relaciona a carga elétrica contida num volume do espaço e o fluxo do campo elétrico ao longo de uma superfície que contém esse volume.

∇⋅ ( ) + ∂ ( )∂

=

J rrt

ρ0

( ) ( ), , 0S V

J r t dS r tt∂

⋅ + ρ =∂∫∫ ∫∫∫

J r r v( ) = ( )ρ

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O fluxo da densidade de corrente dá o quanto de cargas por unidade de tempo atravessa

uma superfície de área A, ou seja, o fluxo é a corrente elétrica que atravessa essa superfície:

11.77

A intensidade da corrente, medida usualmente em Ampères, é uma medida da quantidade de

elétrons que passam por uma certa superfície por unidade de tempo. Resumidamente, escrevemos

11.78

E, portanto, podemos escrever:

11.79

Consequentemente, a soma das cargas que saem mais

as cargas que ficam é constante no tempo, que é, em

última análise, a lei de conservação da carga elétrica.

11.7 Teorema de StokesO teorema de Stokes estabelece uma relação entre o fluxo do rotacional de um vetor e a

circulação do vetor sobre um caminho fechado que delimita a superfície,isto é:

11.80

A seguir faremos algumas aplicações.

i J dSA

= ⋅∫∫

Figura 11.18: A carga que sai, por unidade de tempo, pela superfície fechada é igual à taxa pela qual as cargas desaparecem no interior dessa superfície.

i dQdt

=

dQdt

dQdt

sai dentro+ = 0

( ) ( )S

B r dS B r dlΓ

∇× ⋅ = ⋅∫∫ ∫

Figura 11.19: O teorema de Stokes estabelece uma relação entre a circulação de um campo ao longo de um caminho e o fluxo do campo vetorial derivado do mesmo, ou seja, com o fluxo do rotacional do campo ao longo de uma superfície delimitada pelo caminho.

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11.8 Lei da Indução de FaradaySe uma determinada grandeza física mudar com o tempo, ela pode dar origem a uma outra

grandeza física? Ou seja, a variação de uma grandeza física pode induzir o surgimento de uma

outra grandeza?

No eletromagnetismo isso ocorre. A esse fenômeno damos o nome de indução. No eletromag-

netismo, a mera variação do campo magnético com o tempo dá origem (ou induz) a um campo

elétrico. Esse é um enunciado um tanto quanto impreciso da lei de Faraday. Essa lei é formulada de

uma maneira precisa, em termos quantitativos, utilizando fluxos de campos e integrais de caminho.

A lei de Faraday afirma que, se o campo magnético variar com o tempo (o mesmo ocorrendo

com o fluxo), então, a taxa de variação, com respeito ao tempo, do fluxo do campo magnético

através de uma superfície S é igual (com um sinal menos) à integral de caminho do campo

elétrico ao longo da curva Γ (fechada) que delimita a superfície aberta. Dentro do contexto da

formulação de Maxwell, uma formulação local das leis do eletromagnetismo, escrevemos:

11.81

11.82

onde o fluxo do campo magnético é determinado considerando-se uma superfície aberta, isto é:

11.83

Tal superfície é indeterminada, pois, a rigor, o resultado vale para qualquer superfície que

esteja delimitada pelo caminho Γ.

Por outro lado, o sentido do caminho Γ é determinado pela normal à superfície, ou seja,

devemos utilizar a regra da mão direita. Assim, se os dedos apontarem na direção normal à

superfície, o caminho será orientado no sentido do polegar.

∇× ( ) = − ∂ ( )∂

E r tB r tt

,,

BdE dldtΓ

Φ⋅ = −∫

ΦBS

B ds≡ ⋅∫∫

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