Integrais - triplas

Cálculo Diferencial e integral III Regina Ishibashi Magna

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Integrais Triplas

Neste capitulo, apresentaremos as integrais triplas. A extensão da integral dupla para a

integral tripla é análoga à extensão da integral simples para a dupla. A função integrando,nesse caso, é

uma função de três variáveis ( , , )w f x y z= definida sobre uma região S do espaço tridimensional.

O tipo mais simples de regiões em 3R é um paralelepípedo retangular, limitado por seis

planos: 1 2 1 2 1 2, , , ,x a x a y b y b z c e z c= = = = = = , com 1 2 1 2 1 2,a a b b e c c< < < .

Seja f uma função de três variáveis e suponha que f seja continua acima da região S. Uma

partição de S é formada ao dividirmos S em caixas retangulares, através de planos paralelos aos planos

coordenados. Denotamos tal partição por ∆ e supomos que n seja o número de caixas. Seja kV∆ a

medida do volume da k-ésima caixa ( )kS . Escolha um ponto arbitrário ( ), ,k k kx y z .

Formamos a soma:

( )1

, ,n

k k k k

k

f x y z V=

∆∑ .

Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que

a maior aresta dos paralelepípedos ( )kS tende a zero quando

n → ∞ .

Se existir ( )1

lim , ,n

k k k kn

k

f x y z V→∞

=

∆∑

Ele é chamado integral tripla da função ( , , )w f x y z= sobre a região S e representamos por:

( , , ) ( , , )S S

f x y z dV ou f x y z dxdydz∫∫∫ ∫∫∫

Exemplo:

1) Calcule a integral tripla ( )S

xysen yz dV∫∫∫ se S for paralelepípedo retangular, limitado pelos

planos: 1 1

, ,2 3

x y zπ π π= = = e pelos planos coordenados.

( ), ,k k k

x y z


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2) Calcule a integral tripla 2 312

G

xy z dV∫∫∫ na caixa retangular G definida pelas desigualdades

1 2, 0 3,0 2x y z− ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

3) Calcule 2 3+∫∫∫

G

xy yz dV se ( ){ }: , , : 1 1, 3 4,0 2− ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤G x y z x y z

Calculo da Integral Tripla

As integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, através de

integrações sucessivas.

Podemos utilizar os conhecimentos adquiridos no capitulo anterior, reduzindo, inicialmente,

a sua resolução ao calculo de uma integral dupla. A seguir, apresentamos as diversas situações:

1º caso: A região S é delimitada inferiormente pelo gráfico da função 1( , )z h x y= e

superiormente pelo gráfico de 2 ( , )z h x y= , onde 1 2h e h são funções contínuas sobre a região S do

plano xy, como mostra a figura abaixo.


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Nesse caso temos:

2

1

( , , ) ( , , )

h

S R h

f x y z dV f x y z dz dxdy

=

∫∫∫ ∫∫ ∫

Assim se, por exemplo, a região R for do tipo I, isto é:

( ) ( )1 2:f x y f x

Ra x b

≤ ≤

≤ ≤

A integral tripla será dada pela seguinte integral interada tripla:

2 2

1 1

( , , ) ( , , )

fb h

S a f h

f x y z dV f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Exemplo 3: Use a integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro 2 2 9x y+ = e

entre os planos 1 5z e x y= + = .

R

1z h=

2z h=

x

y

z


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Exemplo 4: Calcule ( )S

x y z dxdydz+ +∫∫∫ , onde S é o sólido limitado superiormente pelos planos

2z x y= − − , inferiormente pelo plano z=0, e lateralmente pelo região trinagular R:

0 1, 0 1x y x≤ ≤ ≤ ≤ − .

Exemplo 5: Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies 2 2 2 23 8= + = − −z x y e z x y


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2º Caso: A Região S é delimitada à esquerda pelo gráfico de ( )1 ,y g x z= e a direita pelo

gráfico de ( )2 ,y g x z= , onde 1 2g e g são funções continuas sobre a região R’ do plano xz, como

mostra a figura abaixo.

Neste caso, temos:

( )2( , )

' 1( , )

, , ( , , )

g x z

T R g x z

f x y z dV f x y z dydxdz=∫∫∫ ∫∫ ∫

Exemplos:

1) Calcular ( 1)R

I x dV= −∫∫∫ , sendo R a região do espaço delimitado pelos planos

0, 0, 5y z y z= = + = e pelo cilindro parabólico 24z x= −

2) Calcule (3 )R

z dxdydz∫∫∫ onde S é sólido limitado por

0, 0 2x y e x y z= = + + =

1y = g (x, y)

2y = g (x, y)

'R S


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3) Calcule 2 2+∫∫∫

R

x z dxdydz , onde R é a região limitada pelo

paraboloide 2 2= +y x z e pelo plano y=4.

3ºCaso: A região W é delimitada na parte de trás pelo gráfico ( )1 ,=x h y z e na frente pelo gráfico de

( )2 ,=x h y z , onde 1 2h e h são funções continuas sobre a região R” do plano yz, como mostra a

figura.

( )2( , )

'' 1( , )

, , ( , , )=∫∫∫ ∫∫ ∫h y z

W R h y z

f x y z dV f x y z dxdA

Exemplo1: Calcular ∫∫∫S

ydV , onde S é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo plano

13 2

+ + =x y

z


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Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas

As coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço, de coordenadas cartesianas (x,y,z), são

determinadas pelos números ( ), ,r zθ onde r e θ são as coordenadas polares da projeção P sobre o

plano xy, veja a figura a baixo.

A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações:

cosx r y rsen z zθ θ= = =

Temos então que:

( )'

( , , ) cos , ,T T

f x y z dV f r rsen z rdrd dzθ θ θ=∫∫∫ ∫∫∫

Onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas.

Se a região T’ se enquadra no 1º caso (plano xy) , podemos escrever:

( )2( , )

' 1( , )

( , , ) cos , ,

g r

T R g r

f x y z dV f r rsen z dz rdrd

θ

θ

θ θ θ

=

∫∫∫ ∫∫ ∫

Onde:

• 1 2( , ) ( , )g r e g rθ θ são as superfícies que delimitam T inferiormente,

respectivamente.

• R’ é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares.

Exemplos:

1) Calcular ( )2 2

T

I x y dV= +∫∫∫ , onde T é a região delimitada pelo plano xy, pelo

parabolóide 2 2

z x y= + e pelo cilindro 2 2 2

x y a+ = .


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2) Um sólido T está contido no cilindro 2 2 1x y+ = , abaixo do plano 4z = e acima

do parabolóide 2 21z x y= − − . Determine a massa de T.

3) Calcule ( )2 4 ^2 2

2 2

2 4 ^2 ^2 ^2

x

x y x

x y dzdydx

−

− − − −

+∫ ∫ ∫


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4) Use integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume e o

centróide do solido T que é limitado acima pelo hemisfério 2 225z x y= − − , abaixo pelo plano xy

e lateralmente pelo cilindro 2 2 9x y+ = .

Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas

As coordenadas esféricas ( ), ,ρ θ φ de um ponto ( ), ,P x y z no espaço são mostrados na

figura abaixo.

A coordenada ρ é a distância do

ponto P até a origem. A coordenada θ é a

mesma que em coordenadas cilindrias, a

coordenada φ é o ângulo formado pelo eixo

positivo P à origem.


32

Como ρ é a distância de P até a origem, temos 0ρ ≥ . Como θ coincide com o ângulo

polar, utiliza-se a mesma variação usada no cálculo de integrais duplas, ou seja:

0 2ouπ θ π θ π− ≤ ≤ ≤ ≤

Quando à coordenada φ , subentende-se que 0 φ π≤ ≤ . Quando 0φ = , o ponto P está

sobre o eixo positivo dos z e quando φ π= , o ponto P está sobre o eixo negativo de z.

As coordenadas cilíndricas e esféricas se relacionam pelas equações:

, , cosr sen zρ φ θ θ ρ φ= = =

combinado essas equações com as equações

cosx r y rsen z zθ θ= = =

obtemos:

cos cosx sen y sen sen zρ φ θ ρ φ θ ρ φ= = =

Que são as coordenadas que associam as coordenadas esféricas com as coordenadas

cartesianas.

Dessa forma, vamos transformar uma integral tripla em coordenadas cartesianas em uma

integral tripla em coordenadas esféricas através da seguinte forma:

( ) 2

'

( , , ) cos , , cosT T

f x y z dV f sen sen sen sen drd dρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ=∫∫∫ ∫∫∫

onde T’ é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas.

Lembre-se:


33

Exemplos:

1) Calcular

T

I xdxdydz= ∫∫∫ , onde T é a esfera solida 2 2 2 2

x y z a+ + ≤

2) Calcular 2 2 2

T

I x y z dxdydz= + +∫∫∫ , onde R é a coroa esférica limitada por

2 2 2 1x y z+ + = e 2 2 2 4x y z+ + = .


34

3) Expresse a integral tripla iterada ( )9 ^2 ^23 9 ^2

32 2 2

0 0 0

x yx

x y z dzdydx

− −−

+ +∫ ∫ ∫ , como uma

integral tripla iterada equivalente em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida.

Referencia Bibliográfica

THOMAS, George B. Cálculo. 11.Ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009.Vol.2.

FLEMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo B. São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2007.

GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um curso de cálulo. Rio de Janeiro: LTC ,1995. Vol. 4, 2007.

STEWART, James. Cálculo, 5ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006. Vol. 2.

LEITHOLD, Lovis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harbra. 1982. Vol. 2.

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