Inteiros Gaussianos e o Valor de Pi - Lenimar N Andrade

7/31/2019 Inteiros Gaussianos e o Valor de Pi - Lenimar N Andrade

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Inteiros Gaussianos e Calculo do Valor de π

Lenimar Nunes de AndradeUFPB - Joao Pessoa, PB

e-mail: [email protected]

7 de abril de 2007

Resumo

Entre as inumeras formulas que existem envolvendo a constante mais famosa da Ma-

tematica, tem se destacado algumas formulas que envolvem a funcao trigonometrica arco-

tangente. Este artigo e sobre a obtencao de algumas dessas formulas e como utiliza-las para

obter boas aproximacoes numericas dessa constante π.

1 Introducao

Desde a antiguidade que o calculo do valor de π tem despertado o interesse de di-ferentes povos. Aproximacoes como 3,12 ou 3,16 ja eram conhecidas por babilonios ouegıpcios ha varios milenios.

Calculado na antiguidade por metodos puramente geometricos (inscricao e circuns-cricao de polıgonos regulares em uma circunferencia), a partir do seculo XVIII passou aser calculado por metodos analıticos, usando-se apenas operacoes algebricas como adicao,

multiplicacao e divisao de numeros reais. Esses metodos analıticos costumam produzirresultados com grande precisao, ou seja, com muitas casas decimais corretas. Entre osvarios metodos analıticos conhecidos, destaca-se uma famılia de formulas que expressamπ como uma combinacao de varios arco-tangentes. Em meados do seculo XVIII, umadessas formulas foi utilizada para calcular pela primeira vez π com 100 casas decimaiscorretas.

A partir do seculo XX, com a utilizacao de computadores cada vez mais potentes erapidos, o calculo de π passou a ser efetuado com uma quantidade cada vez mais espantosade casas decimais. Recentemente, em dezembro de 2002, um recorde foi batido no Japaocom a ajuda de supercomputadores. Nessa ocasiao, foi utilizada a formula

π

4 = 44arctg1

57 + 7 arctg1

239 − 12 arctg1

682 + 24arctg1

12943

para calcular π com mais de um trilhao e duzentos milhoes de casas decimais!

Este artigo relaciona dois assuntos bem diferentes: a fatoracao de um certo tipo denumero complexo e formulas que envolvem a funcao arco-tangente que podem ser usadasno calculo do valor de π. As formulas mostradas nos exemplos fornecem boas aproximacoespara π usando-se apenas poucas operacoes aritmeticas.

2 Inteiros gaussianos

Um inteiro gaussiano e um numero complexo a + bi onde a, b ∈Z

. Se z = a + bi,chamamos o produto zz de norma de z e denotamos por N (z). Portanto, N (a + bi) =a2 + b2. Podemos ver de imediato que N (z1z2) = N (z1)N (z2).

1



Os inteiros gaussianos possuem algumas propriedades algebricas muito parecidas comas dos inteiros. Alguns inteiros gaussianos podem ser escritos como produto de dois outrosinteiros gaussianos de normas maiores do que 1 (por exemplo, 12 + i = (2 + 5i)(1 − 2i)),enquanto que outros nao admitem tal fatoracao (por exemplo, 1− i), comportando-se demodo semelhante aos inteiros primos.

Para fatorar z = a + bi, a, b ∈ Z, b = 0, nos inteiros gaussianos, primeiramentecalculamos N (z).

• Se N (z) for primo, entao z nao se fatora como produto de dois inteiros gaussianosde normas maiores do que 1.

• Se 2 for um divisor de N (z), entao 1 + i e um divisor de z.

• Se p = 4k + 1, k ∈ N, for um divisor primo de N (z), entao existem a, b ∈ Z tais que p = a2 + b2; neste caso, a + bi ou b + ai e divisor de z.

• Se p = 4k + 3, k ∈ N, for um divisor primo de N (z), entao p tambem e um divisor

de z.

A demonstracao deste resultado pode ser encontrada em [3].

Exemplo 2.1 Vamos fatorar z1 = 5+i e z2 = 239−i no conjunto dos inteiros gaussianos.Como N (z1) = 52 + 12 = 26 = 2 · 13, temos que 1 + i e um fator de z1. Dividindo z1

por 1 + i obtemos 3 − 2i. Logo, z1 = (1 + i)(3 − 2i).Temos tambem N (z2) = 2392 + (−1)2 = 57122 = 2 · 134 ⇒ z2 se fatora como produto

de inteiros gaussianos de norma 2 (que e 1 + i) e de norma 13 (que podem ser 3 + 2i ou 2 + 3i). Por tentativas, obtemos seguinte fatorac˜ ao para z2:

z2 = −(1 + i)(3 + 2i)

4

.

A fatoracao de inteiros gaussianos pode ser bastante trabalhosa. No entanto, osprogramas de Computacao Algebrica (como o Maple), bastante comuns hoje em dia,fazem essa fatoracao na maior rapidez.

3 Formulas envolvendo a funcao arco-tangente

Todo numero complexo z = x + yi pode ser escrito na forma trigonometrica z =ρ(cos θ+i sen θ). Neste caso, ρ e a raiz quadrada positiva de N (z) e θ, chamado argumentode z e denotado por arg(z), possui as seguintes propriedades:

• arg(z) = arctg y

x+ kπ, x = 0, k ∈ Z;

• arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) + 2kπ, k ∈ Z;

• arg(zn) = n arg(z) + 2kπ, k ∈ Z, n ∈ N.

Em todos os exemplos a seguir, tivemos o cuidado de usar apenas casos em que k = 0nas formulas que envolvem calculos de argumentos.

Exemplo 3.1 Neste exemplo, vamos mostrar que

π = 16arctg 15 − 4arctg 1239 .

2



Para cada parcela do tipo n arctg y

x, consideramos uma potencia de inteiro gaussiano

da forma (x + iy)n. Como − arctg 1

239= arctg −1

239, vamos inicialmente avaliar o produto

(5 + i)16(239 − i)4.Fatorando 5 + i e 239 − i, temos

5 + i = (1 + i)(3 − 2i)239 − i = −(1 + i)(3 + 2i)4

e daı: (5 + i)16(239− i)4 = (1 + i)20(3− 2i)16( 3 + 2i)16 = ((1 + i)2)10((3− 2i)(3+2i))16 =(2i)10(13)16 = −2101316.

O argumento de z = (5+ i)16(239− i)4 e 16 arctg 1

5+4arctg −1

239. Por outro lado, como

z e um n umero real negativo, ele tem argumento igual a π. Obtemos assim a igualdadedesejada.

Essa f´ ormula foi utilizada no seculo XVIII para calcular π com 100 casas decimais.

Exemplo 3.2 Vamos obter agora outra f´ ormula envolvendo π e a func˜ ao arco-tangente.Um procedimento an´ alogo pode ser utilizado para se obter muitas outras f´ ormulas seme-

lhantes.Inicialmente, escolhemos dois n´ umeros complexos z1 e z2 e inteiros m, n ∈ N tais que

zm1 zn2 tenha um argumento f´ acil de ser calculado (como uma potencia de 1 + i ou de i,por exemplo).

Dessa forma, escolhemos “aleatoriamente” z1 = (1 + i)(1 + 2i)5 = 79 + 3i. Para que1 + 2i n˜ ao compareca no produto zm1 zn2 , devemos escolher um z2 que contenha um fator que seja potencia de 1 − 2i, por exemplo z2 = (1 + i)(1 − 2i)12 = 22049 + 1457i.

Calculando o produto (z121

z52

)4 obtemos:z481 z202 = ((1 + i)17(1 + 2i)60(1 − 2i)60)4 = ((1 + i)4)17((1 + 2i)(1 − 2i))240 = −4175240. O expoente 4 que aparece nesta express˜ ao e opcional; sem ele obterıamos o mesmo resultado.

O argumento dez481

z202 = (79 + 3

i)

48

(22049 + 1457i)

20

e 48 arctg

3

79 + 20arctg

1457

22049

.

Como ele e um n´ umero real negativo devemos ter tambem argumento igual a π. Portanto,obtivemos a seguinte igualdade:

π = 48arctg3

79+ 20 arctg

1457

22049.

Exemplo 3.3 Se dispusessemos de uma calculadora com apenas as operac˜ oes aritmeticasb´ asicas, seria possıvel verificarmos a validade de f´ ormulas como a do exemplo anterior? A resposta e sim. Se |x| < 1, ent˜ ao o arco-tangente de x pode ser aproximado por um polinomio formado por potencias ımpares de x, com sinais alternados, tendo-se o cuidadode dividir cada potencia pelo seu respectivo expoente. Em outras palavras, arctg x pode

ser aproximado pelo polinomio

P n(x) = x −x3

3+

x5

5−

x7

7+ · · · + (−1)n+1

x2n−1

2n − 1.

Quanto maior o n e mais pr´ oximo de 0 for x, melhor ser´ a a aproximac˜ ao.Escolhendo P 4(x) = x− x

3

3+ x

5

5− x

7

7como aproximac˜ ao do arctg x, usando o exemplo

anterior temos: 48 arctg 3

79+20arctg 1457

22049≈ 48 P 4( 3

79) + 2 0 P 4( 1457

22049) = 48 P 4(0, 0379746835) +

20 P 4(0, 0660800943) = 48× 0, 0379564451 + 20 × 0, 0659841642 = 3, 1415926535.

Assim, com poucas operac˜ oes aritmeticas obtivemos o valor de π com 10 casas decimaisexatas.

A formula utilizada no recorde do calculo do valor de π em 2002 tambem pode serobtida e demonstrada por um procedimento semelhante. Por fim, deixamos proposto oseguinte exercıcio:

3



Exercıcio 3.1 Mostre que

π

4= 5arctg

1

8+ 2arctg

1

18+ 3arctg

1

57.

Sugestao: 8 + i = (3+ 2i)(2− i), 18 + i = (3−2i)(2− i)2i, 57 + i = (3−2i)(2+ i)3(1− i).

Referencias

[1] M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel, MIT AI Memo 239, Feb. 29, 1972.

[2] V. Bongiovanni, R. Watanabe, “Pi acaba?”, Revista do Professor de Matematica19, 1991, pp. 1–7.

[3] A. Hefez, Curso de Algebra, vol. 1 – Colecao Matematica Universitaria, 1993.

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