Internet Qui Quadrado
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Normalidade dos dados e dos resíduos 1. Teste de aderência (qui-quadrado)
útil para verificar se a distribuição das freqüências observadas dos dados se ajusta a um modelo teórico pré-determinado
recomendado para amostras grandes ( 50>n ) e tem por finalidade comparar se as freqüências observadas na amostra estão próximas das freqüências esperadas para a distribuição normal.
Se as freqüências esperadas não diferirem estatisticamente das freqüências observadas, pode-se inferir que a característica em estudo da população tem distribuição normal; de outra maneira, possui distribuição diversa.
O teste que mede a eficiência do ajuste da distribuição, ou seja, o quanto a freqüência observada está próxima da freqüência esperada, daí o nome de aderência, é o teste de qui-quadrado (χ 2 ). Como todo teste estatístico, alguns passos devem ser seguidos até à conclusão.
1o Passo: Formulação das hipóteses Ho : As freqüências observadas não diferem das freqüências esperadas em relação à distribuição
normal, ou seja, a característica em estudo da população tem distribuição normal. H1 : As freqüências observadas diferem das freqüências esperadas em relação à distribuição normal,
ou seja, a característica em estudo da população não tem distribuição normal. 2o Passo: Escolha da significância α 3o Passo: Estatística apropriada
∑−
=χ=
k
i i
iic
fff
1
22
ˆ)ˆ(
; para v = k – p – 1, onde: :if freqüência observada na i-ésima classe; if̂ :
freqüência esperada na i-ésima classe; v : graus de liberdade; k : número de classes da distribuição de freqüência; p : número de parâmetros estimados. 4o Passo: Região crítica Figura 2.1. Distribuição qui-quadrado (χ 2 ) mostrando as regiões de aceitação (RAH0) e rejeição
(RRH0) de Ho de um teste unilateral à direita, à significância α e v graus de liberdade. 5o Passo: Conclusão Quando o valor da estatística apropriada 2
cχ estiver dentro da região de aceitação de Ho (Figura 2.1), a característica em estudo da população seguirá a distribuição normal. Isto ocorrerá quando 22
tc χ<χ , onde 2tχ é o valor crítico obtido na tabela em função da significância α e v graus
de liberdade; caso contrário, rejeita-se Ho. 1o Exemplo: Para a realização do teste, a etapa inicial é encontrar os valores da média e do desvio padrão da amostra para os dados agrupados na distribuição de freqüência. Para ilustrar o cálculo, serão utilizados os dados da tabela 2.1, que se referem à distribuição de freqüência da massa da matéria fresca de sementes de Vicia graminea Sm.
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Tabela 2.1. Distribuição de freqüência da massa da matéria fresca (mg) de uma amostra de 500 sementes de Vicia graminea Sm.
Massa (mg) ix (a) if (b) 2
ix ii xf 2ii xf
1,25 ├ 1,75 1,5 1 2,25 1,5 2,25 1,75 ├ 2,25 2,0 3 4,00 6,0 12,00 2,25 ├ 2,75 2,5 14 6,25 35,0 87,50 2,75 ├ 3,25 3,0 74 9,00 222,0 666,00 3,25 ├ 3,75 3,5 119 12,25 416,5 1.457,75 3,75 ├ 4,25 4,0 155 16,00 620,0 2.480,00 4,25 ├ 4,75 4,5 91 20,25 409,5 1.842,75 4,75 ├ 5,25 5,0 26 25,00 130,0 650,00 5,25 ├ 5,75 5,5 12 30,25 66,0 363,00 5,75 ├ 6,25 6,0 4 36,00 24,0 144,00 6,25 ├ 6,75 6,5 1 42,25 6,5 42,25
Total 500 1.937,0 7.747,50
(a) Ponto médio da classe; (b) Freqüência observada, sendo: nfk
ii =∑
=1.
mg9,3874,3500
0,937.1
1
1 ≅==∑
∑=
=
=k
ii
ik
ii
f
xfx , onde: :ix ponto médio da i-ésima classe; :if freqüência
observada da i-ésima classe; k : número de classes da distribuição de freqüência.
mg7,0699,0499
562,2431
)(1
2
1
2
≅==−
∑−∑
=
=
=n
n
xfxf
s
k
iiik
iii
, onde: :ix ponto médio da i-ésima classe;
:if freqüência observada da i-ésima classe; x : média da amostra; k : número de classes da distribuição de freqüência; n : tamanho da amostra. Tabela 2.2. Distribuição das freqüências observadas e esperadas da massa da matéria fresca (mg) de
uma amostra de 500 sementes de Vicia graminea Sm.
Massa (mg) (1) Li
(2) zi
(3) Probabilidade
(4)
rf̂ (5)
if̂ (6) f i
1,25 ├ 1,75 1,25 -3,78 0,4999 0,0010 0,50 1 1,75 ├ 2,25 1,75 -3,07 0,4989 0,0080 4,00 3 2,25 ├ 2,75 2,25 -2,36 0,4909 0,0414 20,70 14 2,75 ├ 3,25 2,75 -1,64 0,4495 0,1257 62,85 74 3,25 ├ 3,75 3,25 -0,93 0,3238 0,2406 120,30 119 3,75 ├ 4,25 3,75 -0,21 0,0832 0,2748 137,40 155 4,25 ├ 4,75 4,25 0,50 0,1915 0,1954 97,70 91 4,75 ├ 5,25 4,75 1,21 0,3869 0,0863 43,15 26 5,25 ├ 5,75 5,25 1,93 0,4732 0,0227 11,35 12 5,75 ├ 6,25 5,75 2,64 0,4959 0,0037 1,85 4 6,25 ├ 6,75 6,25 3,36 0,4996 0,0004 0,20 1
Total 1,0000 500 500 x = 3,9 mg; s = 0,7 mg
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(1) Valor do limite inferior ( )Li da classe de massa da matéria fresca.
(2) Valores de zi calculados segundo a expressão s
xLz i
i−
= .
(3) Valores de probabilidades (áreas) obtidas na tabela A1 a partir dos valores de zi (coluna 2), considerando-se zi como valor absoluto na entrada da tabela.
(4) Valores das freqüências relativas esperadas ( rf̂ ). Para todos os intervalos de classe, com exceção da classe que contém a média, as freqüências relativas esperadas da classe são calculadas pela diferença absoluta entre a probabilidade da classe e a imediatamente posterior. Então, para se obter a freqüência relativa esperada da classe 2,25├ 2,75, calcula-se 0,4909-0,4495 = 0,0414. Para obter a freqüência relativa esperada da classe que contém a média (3,75├ 4,25), somam-se os valores de probabilidade da classe e a imediatamente posterior (0,0832 + 0,1915 = 0,2748). O valor da probabilidade da última classe é obtido pela diferença entre 0,5 e a probabilidade da classe (0,5000 - 0,4996 = 0,0004).
(5) Valores das freqüências esperadas ( if̂ )para a distribuição normal, obtidos pela multiplicação da
freqüência relativa esperada ( rf̂ ) e nfk
ii =∑
=1. Por exemplo, para se obter a freqüência da classe
4,75├ 5,25, multiplica-se o valor 0,0863 por 500, obtendo-se 43,15. (6) Valores das freqüências observadas ( f i ). Após a obtenção das freqüências observadas na amostra e esperadas da distribuição normal, o teste pode ser aplicado. Os passos para a execução do teste estão apresentados a seguir. 1o Passo: Formulação das hipóteses Ho : As freqüências observadas não diferem das freqüências esperadas para distribuição normal, ou
seja, a massa da matéria fresca das sementes na população segue distribuição normal. H1 : As freqüências observadas diferem das freqüências esperadas da distribuição normal, ou seja, a
massa da matéria fresca das sementes na população não segue distribuição normal. 2o Passo: Significância estabelecida α=0,05 3o Passo: Estatística apropriada Para calcular o valor de qui-quadrado, Cochran (1954) recomenda que as classes sejam agrupadas quando a freqüência esperada for menor que 1. Desta forma, um ajuste na distribuição das freqüências esperadas da tabela 2.5 deve ser realizado. Para o exemplo, a freqüência esperada da classe 1,25├1,75 que tem o valor 0,5; deve ser agrupada com a freqüência da classe 1,75├ 2,25 que é 4 (Tabela 2.1). Assim, aparecerá uma outra classe com intervalo entre 1,25├ 2,25, cuja freqüência agrupada é 4,5 (Tabela 2.3). Este mesmo procedimento deve ser adotado para a classe 6,25├ 6,75.
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Tabela 2.3. Tabela auxiliar para o cálculo do valor do qui-quadrado da massa da matéria fresca (mg) de uma amostra de 500 sementes de Vicia graminea Sm.
Massa (mg) if
(a) if̂(b) iii fff ˆ/)ˆ( 2−
1,25 ├ 2,25 4 4,50 0,056 2,25 ├ 2,75 14 20,70 2,169 2,75 ├ 3,25 74 62,85 1,978 3,25 ├ 3,75 119 120,30 0,014 3,75 ├ 4,25 155 137,40 2,254 4,25 ├ 4,75 91 97,70 0,459 4,75 ├ 5,25 26 43,15 6,816 5,25 ├ 5,75 12 11,35 0,037 5,75 ├ 6,75 5 2,05 4,245
Total 500 500 (a) Valores de freqüência observada; (b) Valores de freqüência esperada.
2cχ = 028,18245,4...169,2056,0 =+++
4o Passo: Região crítica Figura 2.2. Distribuição qui-quadrado ( 2χ ) mostrando as regiões de aceitação (RAHo) e de rejeição
(RRHo) de Ho e os valores calculado e tabelado do teste unilateral à direita para 05,0=α e v = 6.
5o Passo: Conclusão Como o valor calculado 028,182 =χc é maior que o valor tabelado 592,122 =χt , para a significância 0,05 e v=6 graus de liberdade, a hipótese Ho é rejeitada e conclui-se que as freqüências observadas diferem das freqüências esperadas para a distribuição normal; conseqüentemente, a massa de matéria fresca na população não segue a distribuição normal. 2.2.3. Teste de Shapiro-Wilk
também pode ser aplicado para verificar a normalidade da característica em estudo em uma população
mais indicado quando o tamanho da amostra ou o número de parcelas é menor que 50 ou quando não há empates.
1o Passo: Formulação das hipóteses Ho: Os erros (desvios) da característica em estudo seguem a distribuição normal. H1: Os erros não seguem a distribuição normal. 2o Passo: Escolha da significância α 3o Passo: Estatística apropriada
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SQEgWc
2= ; sendo: ∑ −=
=+−
m
iiinni eeag
11, )( ; ∑=
=
n
iieSQE
1
2 e xxe ii −= ,
2nm = se n é par e 2
)1( −= nm se n é ímpar , onde: nia , : coeficientes obtidos na tabela; n : tamanho da amostra ou número de parcelas; SQE :
soma de quadrados do erro ou do resíduo. 4o Passo: Conclusão Se o valor Wc for menor que o valor crítico Wt obtido na tabela em função do tamanho da amostra (n) e significância α, rejeita-se a hipótese Ho e conclui-se que a característica em estudo da população ou os erros não seguem a distribuição normal; caso contrário, aceita-se Ho. Tabela 2.4. Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em diferentes
temperaturas (Labouriau & Pacheco, 1979).
Temperatura (oC) ).( )95,0( TstT ± (a) n=r(c) Tratamento(b) j=1 j=2 j=3 j=4 j=5
35,0 ± 0,04 (i=1) 96,0 100,0 98,0 100,0 96,0 37,8 ± 0,04 (i=2) 76,0 92,0 88,0 84,0 94,0 38,5 ± 0,03 (i=3) 72,0 94,0 64,0 82,0 32,0 39,2 ± 0,06 (i=4) 38,0 30,0 54,0 40,0 42,0
Tabela 2.5. Valores calculados dos erros (ei ) para as porcentagens de sementes de Dolichos biflorus
L. germinadas em diferentes temperaturas.
i ie 1 -36,8 2 -10,8 3 -10,8 4 -4,8 5 -2,8 6 -2,8 7 -2,0 8 -2,0 9 -0,8
10 0,0 11 1,2 12 1,2 13 2,0 14 2,0 15 3,2 16 5,2 17 7,2 18 13,2 19 13,2 20 25,2
Seguindo os passos para a execução do teste, tem-se:
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1o Passo: Formulação das hipóteses Ho: Os erros das porcentagens de sementes germinadas de Dolichos biflorus L. se ajustam à
distribuição normal. H1: Os erros das porcentagens de sementes germinadas de Dolichos biflorus L. não se ajustam à
distribuição normal. 2o Passo: Significância estabelecida α=0,05 3o Passo: Estatística apropriada Como para o exemplo n é par, então m=10 e o valor de g será dado por:
6552,48)0,02,1(0140,0...)8,102,13(3211,0)8,362,25(4734,0 =−+++++=g ; onde os valores dos coeficientes nia , são obtidos na tabela, em função do tamanho da amostra ou do número de parcelas. Para o cálculo da estatística apropriada Wc é necessário obter também a soma dos erros ao quadrado, ou seja, 4,718.2=SQE ; e a estatística apropriada do teste é: 8708,0=cW . 4o Passo: Conclusão Como o valor calculado 8708,0=cW é menor que o valor crítico tabelado 905,0=tW obtido na tabela para 20=n e significância =α 0,05; rejeita-se Ho e conclui-se que os erros das porcentagens de germinação de sementes de Dolichos biflorus L. não seguem a distribuição normal.