Interpolação 1.Introdução 2.Conceito de Interpolação 3.Interpolação Polinomial 4.Formas de...
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Interpolação 1. Introdução 2. Conceito de Interpolação 3. Interpolação Polinomial 4. Formas de obter p n (x) 4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange 4.3 Forma de Newton
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Interpolação
1. Introdução2. Conceito de Interpolação3. Interpolação Polinomial4. Formas de obter pn(x)
4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange 4.3 Forma de Newton
Introdução
A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura:
Temperatura (°C) 20 25 30 35
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818
Temperatura (°C) 40 45 50
Calor específico 0.99828 0.99849 0.99878
1. Introdução
Vamos supor que desejamos saber:a) o calor específico da água a 32.5°;b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.
Interpolação
Introdução
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada no lugar da função f(x).
Introdução Situações de interpolação.a) Quando temos os valores numéricos de
uma função não conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta num ponto não tabelado.
b) Quando uma função conhecida em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis).
2. Conceito de Interpolação
Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal que: g(x0) = f(x0),
g(x1) = f(x1),
g(xn) = f(xn).
2. Conceito de Interpolação Graficamente
x
f(x)
x0 x1 x2 x3 x4 x5
(x0,f(x0))
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
(x3,f(x3))
(x4,f(x4))(x5,f(x5))
f(x)
g(x)
2. Conceito de Interpolação
Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc.
Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios de Hermite, etc.
3. Interpolação Polinomial
Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a
n, tal que
f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n
3. Interpolação Polinomial
Teorema: Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n desde que
kjjk ,xx
3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
Seja . Das condições de interpolação:
)(....
.......................
)(....
)(....
2210
11212110
00202010
nnnnnn
nn
nn
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
nnn xaxaxaaxp ....)( 2
210
3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, logo desde que sejam pontos distintos, então o determinante da matriz dos coeficientes é não-nulo. Consequentemente o sistema admite solução única.
Conclusão: Existem únicos que satisfazem as condições de interpolação.
nxxxx ,....,,, 210
naaaa ,....,,, 210
4. Formas de obter pn(x)
Há várias maneiras para obter pn(x).
Discutiremos três possibilidades:
Resolução de Sistema Linear Forma de Lagrange Forma de Newton
4. Formas de obter pn(x)
1. Resolução de Sistema LinearExemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo:
Temos então:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
22102 )( xaxaaxp
4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
Resolvendo o sistema linear, obtemos
22102 )( xaxaaxp
1421)2()2(
11)0()0(
44)1()1(
2102
02
2102
aaafp
afp
aaafp
3/23/7,1 210 aaa e
22 3
2
3
71)( xxxp
polinômio que interpola f(x) em x0, x1 e x2
4.1 Resolução de Sistema Linear
Nem sempre a resolução do sistema linear para se obter pn(x) é simples e exato.Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola os dados da tabela abaixo:
x 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 5 13 -4 -8
4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
33
22103 )( xaxaxaaxp
8064.016.04.08)4.0()4.0(
4027.009.03.04)3.0()3.0(
13008.004.02.013)2.0()2.0(
5001.001.01.05)1.0()1.0(
32103
32103
32103
32103
aaaafp
aaaafp
aaaafp
aaaafp
Sistema de 4 equações com 4 incógnitas
4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma aritmética de ponto flutuante com três dígitos:
Lembrete de aritmética de ponto fixo: é a base; e é o expoente;
e t é o número de dígitos na mantissa.
1100
1110
2210
1210
108.01064.01016.0104.01
104.01027.0109.0103.01
1013.0108.0104.0102.01
105.0101.0101.0101.01
etddd ).0( 21
4.1 Resolução de Sistema Linear
Obter p3(x) usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e eliminação de Gauss:
Para x=0.4
3424
423
)10633.0()10505.0(
)10115.0(1066.0)(
xx
xxp
8)4.0(
10)4.0(3
f
p)4.0()4.0(3 fp
4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por Eliminação de Gauss com 18 dígitos, utilizando o programa do Maple:
1. .100000000000000004 .0100000000000000002 .00100000000000000002
0. .300000000000000042 .149999999999999994 .0630000000000000004
0. 0. -.0199999999999999970 -.0139999999999999986
0. 0. 0. -.00200000000000000526
> with(LinearAlgebra):A := <<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(-1),0.4*10^(-1),0.9*10^(-1),0.16*10^(0)>|<0.1*10^(-2),0.8*10^(-2),0.27*10^(-1),0.64*10^(-1)>>;
4.1 Resolução de Sistema Linear
Continuando
1. .99999730718280943610-11
-.75171350616409791710-17
-.26888213873216972610-16
-65.9999999884832534
0. .99999999990000022 .92518585376177856610-16
.44235448632985038510-15
1151.66666655149880
0. 0. .99999999999999988 -.19949319973733281610-14
-5049.99999999999546
0. 0. 0. 1.00000000000000266 6333.33333333332758
> b := <5,13,-4,-8>;
> GaussianElimination(A);
> ReducedRowEchelonForm(<A|b>);
4.1 Resolução de Sistema Linear
Note que no processo de eliminação de Gauss, a matriz escalonada tem números muito próximos de zero. Isto gera problemas de arredondamento!!!!
4.2 Forma de Lagrange Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn,
chamados nós da interpolação, e os valores de yi= f(xi): f(x0), f(x1), ..., f(xn) para i=1,2,...,n.
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função pn(x) tal que:
onde os polinômios são de grau n.
IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no Método de Lagrange determinar os .
)(.......)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn
)(xLk
)(xLk
4.2 Forma de Lagrange
Queremos que as condições sejam satisfeitas, ou seja,
Solução
Note que e
iin yxp )(
nkkkkkkk
nkkk xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
.......................
.......................)(
1110
1110
iinniiin yxLyxLyxLyxp )(.......)()()( 1100
1)( kk xL kise0)( ik xL
4.2 Forma de Lagrange
Logo,
Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
com
iiiiikk
n
kin yxLyxLyxp
)()()(0
)()(0
xLyxp kk
n
kn
n
kjj
jk
n
kjj
j
k
xx
xx
xL
0
0
)(
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Seja a tabela:
Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue:
)()()()()( 221100
2
02 xLyxLyxLyxLyxp kk
k
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
3
2
2101
20)(
2
2010
210
xxxx
xxxx
xxxxxL
2
2
2010
21)(
2
2101
201
xxxx
xxxx
xxxxxL
60212
01)(
2
1202
102
xxxx
xxxx
xxxxxL
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:
Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!
22
222
2
3
2
3
71)(
6)1(
2
21
3
24)(
xxxp
xxxxxxxp
4.2 Forma de Newton
A forma de Newton para o polinônio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é a seguinte:
No Método de Newton, os valores de são dados por diferenças divididas de ordem k.
110
102010
.......
.......)(
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
4.2 Forma de Newton Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0,
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
)(][ 00 xfxf
01
01
01
0110
)()(][][],[
xx
xfxf
xx
xfxfxxf
03
2103213210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
0
121021210
],....,,,[],...,,[],...,,,[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
n
nnn
4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas
Construímos a tabela:
)(][ 00 xfxf
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n
x0
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 10 xxf
],[ 21 xxf],,[ 210 xxxf
][ 0xf
][ 1xf
][ 2xf
][ nxf
],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
4.2 Forma de Newton
1. Mostra-se que é simétrica nos argumentos, ou seja,
2. Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio de ordem n que interpola f(x) é
],...,,,[ 210 kxxxxf
],[],[ 0110 xxfxxf
.......],,[],,[ 201210 xxxfxxxf
],..,,,[))....()((...
...],,[))((],[)(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
4.2 Forma de Newton - Exemplo
Sejam os dados:
Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
4.2 Forma de Newton - Exemplo Dados:
A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por
x -1 0 1
f(x) 1 1 02 3
-1 -2
)2)(1)(1()24/1(
)1)(1()6/1()1()2/1(1)(
)24/1()2)(1)(0)(1(
)6/1()1)(0)(1(
)2/1()0)(1(0)1(1)(
xxxx
xxxxxxp
xxxx
xxx
xxxxp
n
n
Exercícios Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4 do
livro texto:
Exercício 2 a Faça o projeto proposto Método de Newton
Discreto (página 206) e resolva novamente o exercício 2 a com este algoritmo.
