CURSO DE ANLISE NUMRICA I

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INTERPOLAO POLINOMIALINTRODUOFrequentemente necessitamos valores intermedirios entre dados precisos. O mtodo mais usado para esse propsito a interpolao polinomial. fcil de entender por que razo isso acontece. Os polinmios so facilmente computveis, suas derivadas e integrais so novamente polinmios e suas razes podem ser encontradas com relativa facilidade. Alm disso, temos o teorema de Weierstrass, que afirma: Toda funo contnua pode ser arbitrariamente aproximada por um polinmio. Escrevendo um pouco melhor o teorema de Weierstrass:TEOREMA DE WEIERSTRASS: Se contnua em , dado , eixste onde tal que , .

Os mtodos de interpolao polinomial para aproximao de uma funo so usados nas seguintes situaes:

Quando no conhecemos a expresso analtica da funo , apenas a conhecemos em alguns pontos discretos ;

Quando extremamente complicada e de difcil manejo.

POLINMIO DE INTERPOLAO

O problema geral da interpolao por meio de polinmios consiste em dados n+1 pontos e n+1 nmeros tais que , deseja-se determinar um polinmio de grau no mximo n de modo que:

O teorema que segue nos afirma que tal polinmio existe e nico, na hiptese de que os pontos sejam distintos.

TEOREMA 1: Dados n+1 pontos distintos e n+1 nmeros de uma funo , existe um e s um polinmio , de grau menor ou igual a n, tal que:

Demonstrao: Suponha que se deseja aproximar por um polinmio de grau como tal que . Assim, para cada obtemos o seguinte sistema de equaes lineares:

Contendo (n+1) equaes e (n+1) incgnitas .A forma matricial desse sistema como:

onde matriz de coeficientes conhecida como matriz de Vandermonde e seu determinante dado por . E desde que (por hiptese) os valores so distintos e assim o sistema linear admite soluo nica. Consequentemente existe um nico polinmio , de grau , tal que: , desde que para .Observao: Embora exista um nico polinmio, vrios so as formas de se chegar at ele.

DEFINIO: Chama-se polinmio de interpolao de uma funo sobre um conjunto de pontos , ao polinmio de grau no mximo n que coincide com em . Tal polinmio designado por ou, sempre que no causar confuso, simplesmente por .

EXEMPLO: Estime o logaritmo natural de 2 usando interpolao linear ln(1)=0 e ln(4)=1,3862944.Soluo: A expresso polinomial para interpolao linear como . Usando as consideraes anteriores e os pontos x=1 e x=4 como no enunciado, tem-se:

ou seja

que escrito matricialmente, como:

Resolvendo o sistema de equaes lineares obtm-se , de modo que o polinmio:

Substituindo obtm-se que uma aproximao para o logaritmo natural de 2 como:

Como o valor real dado por ln(2)=0,69314718, o erro relativo cometido nessa aproximao linear :

A determinao do polinmio de interpolao atravs da soluo de sistemas lineares muito trabalhosa. Alm disso, na soluo de sistemas lineares podem ocorrer erros de arredondamento, fazendo com que a soluo obtida seja irreal. Vamos, por isso, procurar outros mtodos para determinao deste polinmio. Alguns desses mtodos que sero abordados aqui so:

Lagrange;

Newton;

Hermite;

Splines.

INTERPOLAO DE LAGRANGESejam pontos que se referem ao grfico de uma funo e seja o polinmio de grau que interpola em . Podemos representar na forma

,onde os polinmios so de grau n. Definindo

a condio , satisfeita, pois

DEFINIO: A forma geral do polinmio interpolador de Lagrange para uma funo

onde os coeficientes de Lagrange so,

EXEMPLO: Obter o polinmio de interpolao de Lagrange de ordem dois que interpola os pontos da tabela:

X-102

f(x)41-1

Soluo: O polinmio de Lagrange de ordem dois especificado por:

onde

, e

Logo

E, portanto,

ERRO NA INTERPOLAOComo vimos o polinmio de interpolao para uma funo sobre um conjunto de pontos distintos tem a propriedade . Mas nos pontos nem sempre verdade que , ento poder-se-ia questionar se o polinmio interpolador uma boa aproximao para a funo . Isso ser verificado atravs da anlise do erro de interpolao, que est descrito no seguinte teorema:TEOREMA 2: Seja continua em e suponhamos que exista em cada ponto de . Se , ento:

onde . O ponto depende de x.Demonstrao: Seja x fixado e tal que . Consideremos as funes , definidas por:

,

A funo anula-se nos n+1 pontos . Anula-se tambm em . Pelo Teorema de Rolle Generalizado, a funo anula-se em um ponto . Calculando-se ento , obtemos:

.

Portanto:

.Conclumos assim que

onde .

A importncia do teorema anterior mais terica do que prtica, visto que no conseguimos determinar o ponto . Na prtica, para estimar o erro cometido ao aproximar o valor da funo num ponto por seu polinmio de interpolao, utilizamos o seguinte corolrio:COROLRIO: Seja . Se e suas derivadas de ordem n+1 so contnuas em ento:

EXEMPLO: Estime uma cota superior para o erro cometido ao aproximarmos o logaritmo natural de 2 usando interpolao linear usando ln(1)=0 e ln(4)=1,3862944.

Soluo: Do corolrio anterior, temos para n=1

Como , ento e , logo . Assim:

LAGRANGE PARA PONTOS IGUALMENTE ESPAADOS

Quando os pontos so igualmente espaados de uma quantidade fixa , isto , , h interesse, para futuras aplicaes, em se determinar uma forma do polinmio de interpolao e do erro, em termos de uma varivel u, definida da seguinte maneira:

Desta relao podemos tirar que:

Para r inteiro, no negativo, vale que ;

Para r e s inteiros, no negativos, ento .

Considerando o polinmio de interpolao de sobre que :

E fazendo a mudana de varivel proposta no incio da seo, temos:

Que a forma de Lagrange do polinmio de interpolao para argumentos igualmente espaados. Esta forma do polinmio particularmente til na determinao de frmulas para integrao numrica de funes.

Agora substituindo por na expresso do erro no Teorema 2, obtemos:

onde .

Ao considerarmos os polinmios de Lagrange como

,

Temos tambm a vantagem que tais polinmios independem dos valores tabelados.

INTERPOLAO DE NEWTON

O mtodo de interpolao de Lagrange tem uma desvantagem, quando um novo termo adicionado necessrio recalcular todos os valores de . Ou seja, a adio de mais um ponto obriga a que se refaam todos os clculos para obteno dos novos polinmios e isso pode ser problemtico para problemas ou aplicaes em que se varie a quantidade de pontos. Newton desenvolveu uma forma de corrigir o polinmio de grau n-1 para se obter o de grau n. Assim um mtodo alternativo ao de Lagrange o mtodo de interpolao polinomial de Newton com diferenas divididas.DEFINIO: Designa-se de diferena dividida de primeira ordem de uma funo , , relativamente aos argumentos xi, xi+1, quantidade:

diferena dividida de k-sima ordem obtida recursivamente da diferena dividida de primeira ordem e especificada como:

Considerando o conjunto de pontos . Temos as seguintes diferenas divididas:

Ordem zero: . Primeira Ordem: . Segunda Ordem: . Terceira Ordem: . N-sima Ordem: .Podemos construir a seguinte tabela:xOrdem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 3...Ordem n

x0

x1

x2

x3

x4

xn

EXEMPLO: Determine a tabela de diferenas divididas da funo cujos valores so como na tabela:

x-10123

110-1-2

Soluo: Pode-se especificar sua tabela das diferenas divididas como:xOrdem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 3Ordem 4

-1

0

1

2

3

Ordem 0:

Ordem 1:

Ordem 2:

Ordem 3:

Ordem 4:

Avaliando os valores numricos obtm-se uma tabela de diferenas divididas como:

xOrdem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 3Ordem 4

-11

0

01-1/2

-11/6

100-1/24

-10

2-10

-1

3-2

FRMULA DE NEWTONPara obtermos a frmula de Newton do polinmio de interpolao precisamos, inicialmente, definir algumas funes. Para tanto, consideremos que seja contnua e que possua derivadas contnuas em e, alm disso, que os pontos sejam distintos em . Definimos ento as funes:

(1) , definida em , para . Assim, isolando :

(2) , definida em , para e . Logo:

,ou seja,

.Isolando-se nessa expresso, tem-se:

De maneira anloga continuamos:

(n+1) , definida em , para , . Logo:

(*)Obtivemos, assim, uma formula de recorrncia para . Vejamos o que significam e .TEOREMA 3: O polinmio

o polinmio de interpolao da funo sobre os pontos , isto ,

,Demonstrao: Provaremos por induo em n.

a) Para n=1, temos

Logo:

b) Suponhamos vlido para , isto , .

c) Provemos para . Dividiremos a prova em duas partes.

c.1) Seja , ento:

, usando a hiptese de induo.

c.2) Seja , ento:

Fazendo em (*) (lembrando que ) e comparando com a expresso obtida anteriormente para , vemos que , o que complete a prova do teorema.DEFINIO: A frmula

chamada Frmula de Newton do Polinmio de Interpolao.

TEOREMA 4: Para , , ,

.

Demonstrao: Do teorema anterior, podemos escrever:

Logo:

Por outro lado, como o polinmio interpolador nico, e a subtrao acima representa um erro, segue que este erro o mesmo do erro de Lagrange, de acordo com o que foi visto anteriormente, temos que:

onde . Podemos concluir deste modo que

, .Assim, o termo do erro ou erro de truncamento. Em geral o que se pode avaliar uma cota superior para o erro:

sendo

Como foi mencionado anteriormente, o Mtodo de Interpolao de Newton permite a insero de novos pontos, sem que seja necessrio reiniciar o processo de interpolao. Por exemplo, se no incio tinham-se 3 pontos acrescentando um novo ponto na interpolao, a tabela pode ser facilmente complementada. Veja abaixoValores de xValores de y

diferena

dividida de ordem zero1a diferena

dividida2a diferena

dividida3a diferena

dividida

x0y0=f[x0]f[x0 , x1]f[x0 , x1 ,x2]f[x0 , x1 , x2, x3]

x1y1=f[x1]f[x1 , x2]f[x1 , x2 , x3]

x2y2=f[x2]f[x2 , x3]

x3yn=f[x3]

EXEMPLO: Encontrar uma equao que expresse a quantidade de poluio ao longo do dia, usando Newton.Viso grfica:

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_1446214347.unknown

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