Mtodos NumricosIngeniera Civil - UNSCH

FACULTAD DE ING. DE MINAS, GEOLOGA Y CIVILESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

METODOS NUMERICOS

INTERPOLACION Y AJUSTE DE CURVAS

DOCENTE: Ing. Cristian Castro Prez

ESTUDIANTE: Aquise Obregn, Vladimir Medina Godoy, Cesar Tovar Poma, Ciro Luis

AYACUCHO PER2010

CONTENIDO

Introduccin3Objetivos 3Interpolacin 4Diferencias finitas de newton8Interpolacin con diferencias finitas de newton9Interpolacin de LANGRANGE9Interpolacin con SPLINES 11Funciones de SPLINES de 1er grado11Ajuste de curvas12Mtodo de mnimos cuadrados12Bibliografa 14Anexo 14

INTRODUCCIN En este captulo estudiaremos el tema de la interpolacin de datos y ajuste de curvas. Veremos dos tipos de interpolacin: la interpolacin polinomial, en donde se encuentran comprendidos los mtodos de diferencias divididas de NEWTON y el mtodo de LAGRANGE. Adems interpolacin segmentaria (SPLINES), para este caso solo haremos de grado 1. Adems daremos ejemplos de aplicacin con un desarrollo analtico y computacional (programa MATLAB).

Objetivos: Lo que buscamos es desarrollar los mtodos de interpolacin y ajuste de curvas, a travs de una resolucin computacional, y en base a esto comparar los datos obtenidos en el desarrollo.

INTERPOLACINEn el subcampo matemtico del anlisis numrico, se denomina interpolacin a la construccin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.En ingeniera y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una funcin que los ajuste.Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso, podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evalusemos la funcin original, si bien dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una funcin f que verifique

a la que se denomina funcin interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolacin que se utilizan con frecuencia son la interpolacin lineal, la interpolacin polinmica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolacin por medio de spline o la interpolacin polinmica de Hermite.

Interpolacin lineal de una variable independiente. En una tabla se representan algunos valores de la funcin, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la funcin para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el ms prximo al buscado, o aproximarnos un poco ms por interpolacin, la interpolacin casi siempre nos dar un pequeo error respecto al valor de la funcin verdadero, pero siempre ser menor que tomar el valor ms prximo de los que figuran en la tabla, veamos como se calcula al valor de la funcin para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolacin lineal.

Por la tabla sabemos que: y Queremos, pues, saber: Siendo:

La interpolacin lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1,y1) y (x2,y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios segn esta recta en lugar de la funcin y = f(x)Para ello nos basamos en la semejanza de tringulos BAD y CAEEsto es: Despejando, tenemos: O lo que es lo mismo: El valor buscado es: Esto es:

Definicin. Un polinomio de interpolacin es una funcin polinomial que adems de interpolar los datos, es el de menor grado posible.Caso n=0 Tenemos los datos: En este caso, tenemos que (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que , por lo tanto, es el polinomio de interpolacin.Caso n=1 Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolacin es la funcin lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que:

Es el polinomio de interpolacin.

La siguiente grfica representa este caso:

Caso n=2Tenemos los datos: Para este caso, el polinomio de interpolacin va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observacin anterior, intuimos que el polinomio de interpolacin ser como sigue: trmino cuadrtico

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolacin como sigue: Si asignamos x=xo, se anulan los valores de b1 y b2 , quedndonos el resultado: Como se debe cumplir que f(xo)=yo, entonces:

Si asignamos x=x1, el valor de b2 queda anulado, resultando lo siguiente:

Como se debe cumplir que f(x1)=y1 y ya sabemos que yo=bo, entonces obtenemos el valor para b1:

Asignando x=x2, vamos a obtener:

Sustituimos estos datos para despus despejar el valor de b2:

A continuacin, aplicamos un poco de lgebra para as obtener los siguientes resultados:

Por lo tanto, el polinomio de interpolacin para este caso es:

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTONLas diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

POLINOMIO DE INTERPOLACIN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDASDados n+1 datos:

- El polinomio de interpolacin de Newton se define de la siguiente manera:

donde : Para calcular los coeficientes , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente:

Obsrvese que los coeficientes del polinomio de interpolacin de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.POLINOMIO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGENuevamente tenemos los datos: El polinomio de interpolacin de Lagrange se plantea como sigue:Donde los polinomios li(x) se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .Y as sucesivamente, veremos finalmente que la condicin se cumple si y para toda .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser ms claros, analicemos detenidamente el polinomio . De acuerdo al anlisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para : y , para toda Por lo tanto, planteamos como sigue: Con esto se cumple la segunda condicin sobre . La constante c se determinar para hacer que se cumpla la primera condicin:

Por lo tanto el polinomio queda definido como: Anlogamente se puede deducir que: INTERPOLACIN DE SPLINES Terminamos este captulo, estudiando un tipo de interpolacin que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseo por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolacin se llama interpolacin segmentaria o interpolacin por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolacin.Cabe mencionar que entre todas, las splines cbicas han resultado ser las ms adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. As pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline est formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1Dados los puntos

Una funcin spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

Claramente esta funcin cumple con las condiciones de la spline de grado 1. As, tenemos que para cada caso:

Donde: i) es un polinomio de grado menor o igual que 1 ii) tiene derivada continua de orden k-1=0. iii) , para .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

Donde f(x1,x0) es la diferencia dividida de Newton.AJUSTE DE CURVASEl ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta seccin es una introduccin tanto a la interpolacin (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/anlisis de regresin (cuando se permite una aproximacin).MNIMOS CUADRADOS

El resultado del ajuste de un conjunto de datos a una funcin cuadrtica.Mnimos cuadrados es una tcnica de anlisis numrico encuadrada dentro de la optimizacin matemtica, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la funcin que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mnimo error cuadrtico.En su forma ms simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la funcin y los correspondientes en los datos. Especficamente, se llama mnimos cuadrados promedio (LMS) cuando el nmero de datos medidos es 1 y se usa el mtodo de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mnimo de operaciones (por iteracin), pero requiere un gran nmero de iteraciones para converger.Desde un punto de vista estadstico, un requisito implcito para que funcione el mtodo de mnimos cuadrados es que los errores de cada medida estn distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Mrkov prueba que los estimadores mnimos cuadrticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribucin normal. Tambin es importante que los datos recogidos estn bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar ms peso a un dato en particular, vase mnimos cuadrados ponderados).La tcnica de mnimos cuadrados se usa comnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimizacin pueden expresarse tambin en forma de mnimos cuadrados, minimizando la energa o maximizando la entropa.Formulacin formal del problema bidimensional Supngase el conjunto de puntos (xk,yk), siendo k=1,2,3,..,n . Sea fj(x), con J = 1,2,, m una base de m funciones linealmente independientes. Queremos encontrar una funcin combinacin lineal de las funciones base tal que , esto es: Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la funcin aproximante f(x) sea la mejor aproximacin a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximacin puede variar, pero en general se basa en aqul que d un menor error en la aproximacin. El error en un punto (xk,yk) se podra definir como:ek = yk f (xk) En este caso se trata de medir y minimizar el error en el conjunto de la aproximacin. En matemticas, existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando ste se aplica a un conjunto de puntos (y no slo a uno), a una funcin, etc. Dicho error podr ser:Error Mximo: E (f) = max( ek)

Error Medio: Em (f) =

Error Cuadrtico Medio:

La aproximacin mnimo cuadrada se basa en la minimizacin del error cuadrtico medio, o, equivalentemente, en la minimizacin del radicando de dicho error, el llamado error cuadrtico, definido como:

Para alcanzar este objetivo, suponemos que la funcin f es de una forma particular que contenga algunos parmetros que necesitamos determinar. Por ejemplo, supongamos que es cuadrtica, lo que quiere decir que, f(x)= ax2+bx+c donde no conocemos an a,b y c Ahora buscamos los valores de a,b y c que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (S):

Esto explica el nombre de mnimos cuadrados. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados, esto es, a x2, x y 1, se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximacin. Dichas funciones base pueden ser cualesquiera funciones, y para ese caso se deduce a continuacin la frmula general en el caso de que la aproximacin sea discreta y lineal.La aproximacin de mnimos cuadrados es la mejor aproximacin al conjunto de puntos (xk,yk), segn el criterio del error mnimo cuadrtico. Es posible generar otro tipo de aproximaciones si se toman los errores mximos o medio, pero la dificultad que entraa operar con ellos debido al valor absoluto de su expresin hace que apenas se usen.

BIBLIOGRAFA: METODOS NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA, Gerald Curtis METODOS NUMERICOS, Chapra Canale www.webdelprogramador.com es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n ANEXO: Se adjunta informacin del programa

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