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Introducao Interpolacao polinomial Lagrange Analise de erro Splines

Interpolacao

Ricardo [email protected]

Calculo Numerico – UNICAMP

2S/2020

http://bit.ly/btl-BWyAn

http://bit.ly/btl-BWyAn Ricardo Biloti Interpolacao

E comum conhecermos alguns pontos de uma funcao, mas nao a funcao em si. O problemanatural e entao como aproximar a funcao a partir apenas destes pontos.


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Problema v https://youtu.be/bGVFEzFBwtg

Dado um conjunto de pontos,

encontrar uma funcao que passe por esses pontos


Vamos considerar o problema de encontrar uma funcao contınua que passe por um conjuntode pontos no plano, amostras de uma funcao desconhecida ou complexa o suficiente paravaler a pena aproxima-la por outra mais simples.

https://youtu.be/bGVFEzFBwtg


Exemplo

x 0 π/4 π/3 π/2

sin(x) 0√

22

√3

2 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.4 0.8 1.2 1.6


Como exemplo, vamos considerar a funcao seno. De fato, so conhecemos o valor destafuncao em alguns angulos notaveis, como o 0, π/4, π/3 e π/2 (e seus multiplos). Oproblema que se coloca entao e, partindo dos valores de seno nestes angulos, como aproximaros valores da funcao para outros pontos nao tabelados?

Podemos colocar nosso objetivo da seguinte maneira: desejo encontrar uma funcao contınuaque passe pelos pontos marcados no grafico. Sera que isto e suficientemente preciso?

De fato, apenas pedir uma funcao contınua ainda e muito vago (ou mal posto). Ha infinitaspossıveis solucoes para o problema quando colocado assim. Alem da curva em preto, a curvavermelha e outra possibilidade.

E necessario ser mais preciso.


Interpolacao polinomial

Dado um conjunto de pontos,

encontrar um polinomio que passe por esses pontos

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn


Vamos especificar que tipo de curva contınua nos interessa. Aqui lidaremos com o problema deinterpolacao polinomial apenas, ou seja, procuraremos um polinomio que passe pelos pontosprescritos.


Exercıcio

Qual o polinomio p que passa pelos pontos abaixo?

xk −1 2 3

yk 6 3 10


Antes de iniciarmos uma discussao teorica, vamos fazer um exercıcio. Dados tres pontostabelados, queremos determinar o polinomio que passa por esses tres pontos.

A primeira pergunta a fazer e qual o grau mınimo do polinomio para termos a chance deresolver o problema?

Depois de determinado o grau, devemos impor que o polinomio em cada um dos valores parax assume o valor y correspondente, e com isto determinar os coeficientes do polinomio.


Exercıcio: resolucao

xk −1 2 3

yk 6 3 10

Se p(x) = a + bx + cx2, entao

p(−1) = a − b + c = 6p(2) = a + 2b + 4c = 3p(3) = a + 3b + 9c = 10

Resolvendo este sistema linear, descobrimos que

p(x) = 1− 3x + 2x2


Neste caso, basta um polinomio de grau dois (com tres coeficientes a determinar). Comotemos tres condicoes (ditas condicoes de interpolacao), recairemos num sistema com tresincognitas (os coeficientes do polinomio) e tres equacoes (as condicoes de interpolacao).


Exercıcio: resolucao alternativa

xk −1 2 3

yk 6 3 10

Se p(x) = α(x − 2) + β(x + 1) + γ(x + 1)(x − 2), entao

p(−1) = −3α = 6 ⇒ α = −2p(2) = 3β = 3 ⇒ β = 1p(3) = α + 4β + 4γ = 10 ⇒ γ = 2

Assim, descobrimos que

p(x) = −2(x − 2) + (x + 1) + 2(x + 1)(x − 2)= 1− 3x + 2x2


Ter escrito um polinomio de grau dois geral como a + bx + cx2 foi uma escolha, porem outrassao possıveis. Alterar a maneira como p e representado tem o impacto no sistema linear aser resolvido. Uma boa escolha tem o potencial de tornar o sistema linear bem mais facil, ouate mesmo trivial.


Exercıcio

Aproxime f por um polinomio, sabendo queI f (0) = a,I f ′(0) = b, eI f (L) = c

L


Neste problema conhecemos o valor de uma funcao em dois pontos e sua derivada emum ponto e queremos novamente encontrar um polinomio que tenha estas mesmas trescaracterısticas. Este e um problema comum na area de otimizacao.

Neste exemplo, vale a pena chamar a atencao de que interpolacao alem de ser importantepor si so, tambem e um ingrediente de outros metodos numericos.


Exercıcio

Encontre p tal que

x 1 2

p(x) 1 −2

p′(x) −1 −7

Para que haja solucao unica, qual deve ser o grau de p?


Como temos quatro informacoes, e facil perceber que precisamos ajustar um polinomio degrau 3 (com quatro coeficientes a determinar).


Exercıcio: resolucao 1

Sep(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

entao

p(1) = a0 + a1 + a2 + a3 = 1p′(1) = a1 + a2 + a3 = −1p(2) = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = −2

p′(2) = a1 + 4a2 + 12a3 = −7


A representacao canonica para um polinomio geral de grau ate 3 leva a um sistema linear4× 4 para ser resolvido.



Se

p(x) = b0(x − 1)2 + b1(x − 1)3 + b2(x − 2)2 + b3(x − 2)3

entao

p(1) = b2 − b3 = 1p′(1) = − 2b2 + 3b3 = −1p(2) = b0 + b1 = −2

p′(2) = 2b0 + 3b1 = −7


Se na resolucao anterior, era necessario resolver um sistema linear 4 × 4, com essa escolhapara a representacao do polinomio interpolador, ficamos com dois sistemas lineares 2×2 pararesolver.



Se

p(x) = [c0 + c1(x − 1)] (x − 2)2 + [c2 + c3(x − 2)] (x − 1)2

entao

p(1) = c0 = 1p′(1) = −2c0 + c1 = −1p(2) = c2 = −2

p′(2) = 2c2 + c3 = −7


Com essa ultima escolha, a expressao do polinomio interpolador foi ainda mais convenientee todos os coeficientes podem ser determinados rapidamente.

As tres formas propostas sao validas e produzem o mesmo polinomio interpolador, apenasescrito ou representado de forma distinta.


Exercıcio

Encontre o polinomio interpolador de grau 3 que satisfaz ascondicoes

p(−1) = α0, p(1) = α1,

p′(−1) = β0, p′(1) = β1.

Dica: represente p como combinacao linear de(x + 2)(x − 1)2

4, 1− (x + 2)(x − 1)2

4,

(x + 1)(x − 1)2

4,

(x + 1)2(x − 1)4

Faca o grafico destas funcoes. O que elas tem de especial?


Este exercıcio e similar ao anterior, porem agora propomos uma forma bem mais elaboradade representar o polinomio interpolador.

Siga o roteiro:1. Represente p como

p(x) = c0

[(x + 2)(x − 1)2

4

]+ c1

[1− (x + 2)(x − 1)2

4

]+

c2

[(x + 1)(x − 1)2

4

]+ c3

[(x + 1)2(x − 1)

4

]2. Imponha as condicoes de interpolacao e descubra os coeficientes c0, c1, c2 e c3.

Como ficou o sistema linear a ser resolvidos?3. Faca o grafico das quatro funcoes utilizadas na representacao de p e tente descobrir o

que elas tem de especial que facilitou o problema. Para isso, analise o comportamentodessas funcoes nos pontos de interpolacao.


Caracterısticas

I Pode ser resolvido sem qualquer tecnica especial

I Polinomio interpolador de baixa ordem

I Dificuldade depende de como o problema e formulado

I Interpolacao e ingrediente para outros metodos


Com os exemplos e exercıcios anteriores podemos destacar as principais caracterısticas doproblema de interpolacao polinomial.

Em primeiro lugar, perceba que voce nao precisa saber qualquer tecnica especial para resolvero problema de interpolacao. No maximo, o problema recaira na resolucao de um sistema linear.

Em todos os exemplos procuramos polinomios interpoladores de baixa ordem. Em seus usosmais comuns, sao empregados polinomios de grau baixo (ate grau quatro, usualmente).

Como ja destacamos antes, interpolacao e uma tecnica importante tambem para a resolucaode subproblemas de outros metodos.


Formulacao v https://youtu.be/sjMqrdiEuvc

Dado Ω = (xk , yk) | xk−1 < xk, k = 0, 1, . . . , n, queremosencontrar um polinomio p, de grau no maximo n, definido em[x0, xn] tal que

p(xk) = yk , k = 0, 1, . . . , n.


Vimos exemplos com diferentes condicoes de interpolacao: sobre o valor de funcao e sobreo valor de derivada primeira. Outras condicoes poderiam ainda ser impostas, como porexemplo, sobre derivadas de ordem superior, ou condicoes de suavidade.

Para a discussao analıtica que se segue, concentraremo-nos em resolver o problema classicode interpolacao polinomial, no qual um conjunto Ω de pontos no plano e conhecido, com apropriedade de que nao ha dois pares amostrados com a mesma abscissa, e o objetivo seraencontrar um polinomio de grau mınimo que passe por sobre estes pontos.

Nestas condicoes, se n + 1 for a quantidade de pontos de interpolacao, veremos que sempree possıvel encontrar um polinomio interpolador de grau n. Demonstramos isto de formaconstrutiva a seguir.

https://youtu.be/sjMqrdiEuvc


Formulacao canonica

1, x , x2, . . . , xn

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn

1 x0 x2

0 · · · xn0

1 x1 x21 · · · xn

1...

......

...1 xn x2

n · · · xnn

a0a1...

an

=

y0y1...

yn

Matriz de Vandermonde


Quando escrevemos o polinomio interpolador na forma canonica, o problema de interpolacaorecai na resolucao de um sistema linear, cuja matriz de coeficientes e conhecida como Matrizde Vandermonde.

Saber se o problema de interpolacao admite solucao, passa a ser uma questao de analisarse o sistema linear obtido admite solucao. Da mesma forma, a unicidade pode ser estudadaatraves da unicidade de solucao para o sistema linear.

Entretanto, vamos reformular o problema e abordar estas duas questoes de uma forma maissimples e construtiva.


Formulacao alternativa

`0(x), `1(x), `2(x), . . . , `n(x)

p(x) = a0`0(x) + a1`1(x) + · · ·+ an`n(x)

`0(x0) `1(x0) `2(x0) · · · `n(x0)`0(x1) `1(x1) `2(x1) · · · `n(x1)

......

......

`0(xn) `1(xn) `2(xn) · · · `n(xn)

a0a1...

an

=

y0y1...

yn

Ainda temos que resolver um sistema linear...


Ao inves de escrever o polinomio interpolador como combinacao linear dos monomios 1, x ,x2, . . ., xn, podemos escrever o polinomio como combinacao linear de (n + 1) polinomios degrau n, `0(x), `1(x), . . ., `n(x).

A vantagem em fazer isso e que podemos escolher os polinomios `k (x) de maneira que osistema linear fique simples de ser resolvido.


Poliomios de Lagrange

L =

`0(x0) `1(x0) `2(x0) · · · `n(x0)`0(x1) `1(x1) `2(x1) · · · `n(x1)

......

......

`0(xn) `1(xn) `2(xn) · · · `n(xn)

Se`j(xi ) =

1, i = j0, i 6= j

entao L = I e o sistema linear tem solucao trivial.


Lagrange escolheu os polinomios `k de maneira que o sistema ficasse trivial, ou seja, demaneira que a matriz do sistema linear fosse a identidade.


Interpolacao na forma de Lagrange

`j sao polinomios de grau n que satisfazem

`j(xj) = 1 e `j(xi ) = 0, j 6= i .

p(x) = a0`0(x) + a1`1(x) + · · ·+ an`n(x)

p(xi ) = yi ⇒ ai = yi

p(x) = y0`0(x) + y1`1(x) + · · ·+ yn`n(x)


Em virtude das duas propriedades chave, o problema de interpolacao quando formulado emtermos dos polinomios de Lagrange e facilmente resolvido.

Suponha que o polinomio interpolador e escrito como combinacao linear dos polinomios deLagrange associados aos nos de interpolacao.

Impondo a condicao de interpolacao p(x) = yi , temos que

p(xi ) = a0`0(xi ) + a1`1(xi ) + · · ·+ an`n(xi )= a0 · 0 + a1 · 0 + · · ·+ ai · 1 + ·+ an · 0= ai

Logo ai = yi . Desta forma, construımos o polinomio interpolador explicitamente e porconseguinte, acabamos de mostrar a existencia do polinomio interpolador.

A unicidade do polinomio interpolador de grau no maximo n pode ser demonstrada utilizandoo Teorema Fundamental da Algebra, como se segue.

Suponha que dois polinomios p e q, ambos de grau no maximo n interpolem os mesmosdados. Sendo assim, r(x) = p(x) − q(x), define tambem um polinomio de grau no maximon, com pelo menos (n + 1) zeros, localizados nos nos de interpolacao. Porem o TeoremaFundamental da Algebra afirma que o unico polinomio de grau no maximo n com (n + 1)zeros distintos e o polinomio identicamente nulo. Sendo assim p = q.


Exemplo: polinomios de grau 4

-1

0

1

x0 x1 x2 x3 x4


A figura exibe cinco polinomios de grau 4. Observe o que ocorre nos pontos x0, x1, x2, x3, x42.Em cada um desses pontos, 4 dos 5 polinomios se anulam, enquanto que apenas um delesvale exatamente 1. Esses polinomios sao conhecidos como Polinomios de Lagrange.

Vamos nomear esses cinco polinomios por `4j , onde j = 0, 1, 2, 3, 4, da seguinte forma: `4

0 e opolinomio de grau 4 que vale 1 em x0, `4

1 e o polinomio de grau 4 que vale 1 em x1, `42 e o

polinomio de grau 4 que vale 1 em x2, e assim por diante.

O que aconteceria se representassemos um polinomio de grau 4 como combinacao lineardesses cinco polinomios exibidos?


Polinomios de Lagrange

Dado (n + 1) pontos distintos x0, x1, . . . , xn,

`j(x) = (x − x0) · · · (x − xj−1)(x − xj+1) · · · (x − xn)(xj − x0) · · · (xj − xj−1)(xj − xj+1) · · · (xj − xn)

`j(x) =∏k=0k 6=j

(x − xk)(xj − xk)

Waring, 1779


Associados a cada um dos pontos de interpolacao distintos, podemos exibir explicitamente aexpressao dos polinomios de Lagrange.

O polinomio de grau n associado a xj sera `j . Perceba que `j e formado pelo produto dosmononios (x−xk ), para k = 0, 1, . . . , n, excluındo-se k = j. Desta forma, vemos diretamenteque `j e de fato um polinomio de grau n.


Propriedade


`j(xj) = 1 e `j(xi ) = 0, j 6= i .


Perceba que o denominador de `j e exatamente seu numerador avaliado em xj . Sendo assim,temos a primeira propriedade interessante dos polinomios de Lagrange: `j (xj ) = 1.

Outro fato digno de nota e que como `j e o produto de fatores (x − xk ) para k = 0, 1, . . . , n,excluındo-se k = j, `j (xi ) = 0, se j 6= i .


Exemplo v https://youtu.be/wrOCaxRY7eI

Considere f (x) =√

x e p o polinomio interpolador em 1, 2 e 4

p(x) = f (1) (x − 2)(x − 4)(1− 2)(1− 4) + f (2) (x − 1)(x − 4)

(2− 1)(2− 4) + f (4) (x − 1)(x − 2)(4− 1)(4− 2)

= (x − 2)(x − 4)3 −

√2 (x − 1)(x − 4)

2 + 2 (x − 1)(x − 2)6


Como temos tres pontos de interpolacao, estamos procurando por um polinomio interpoladorde grau 2.

Utilizando os polinomios de Lagrange, a solucao do problema de interpolacao e trivial.

https://youtu.be/wrOCaxRY7eI


Exemplo

1

1.5

2

1 2 3 4

f(x)p(x)


Observe o grafico da funcao √x (curva tracejada) e o grafico do polinomio interpolador(curva solida). Observe que poderıamos utilizar o polinomio interpolador como uma boaaproximacao para funcao.

Como, neste caso, estamos interpolando pontos de uma funcao conhecida, podemos nosperguntar tambem qual o erro de interpolacao, ou seja, se ao inves de computar √x com-putassemos p(x), por quanto estarıamos errando? Estudaremos esse problema a seguir.


Exercıcio

Interpole os pontos (−3,−1), (3,−2) e (6, 10), construindo opolinomio na forma de Lagrange.



Exercıcio v https://youtu.be/wrOCaxRY7eI

Aproxime o valor de sin(1), utilizando um polinomio interpoladorde grau 2 e os valores tabelados abaixo. Calcule o erro cometido.

x 0 π/4 π/3 π/2

sin(x) 0√

22

√3

2 1


Repare que para uma interpolacao quadratica, apenas tres pontos sao necessarios. Logo, vocetem que decidir quais tres pontos dentre os quatro pontos fornecidos utilizar.

https://youtu.be/wrOCaxRY7eI


Exercıcio

Encontre o ponto de interseccao das duas funcoes tabeladas,utilizando interpolacao quadratica.

x 0.000 0.600 1.200 1.800 2.400 3.000f (x) 1.300 1.383 1.223 0.919 0.626 0.435

x 0.400 0.900 1.400 1.900 2.400 2.900g(x) 0.615 0.810 1.079 1.425 1.786 1.993


Para resolver este exercıcio, primeiro tente identificar aproximadamente onde deve estarlocalizado o ponto de interseccao. Por exemplo, perceba que antes de 1.2, f (x) aparentaser sempre maior que g(x). Claro que isto nao pode ser afirmado com certeza, uma vez quetemos apenas alguns pontos amostrados.

Para construir os polinomios interpoladores, selecione os pontos de interpolacao mais proximosda regiao onde voce acredita que esteja o ponto de interseccao. Mais a frente, veremos queesta estrategia ajuda a reduzir os erros de interpolacao.


Dificuldades

I Cara de avaliar (O(n2))

I overflow / underflow

Na verdade, estes nao sao problemas da interpolacao naforma de Lagrange, mas sim do algoritmo ingenuo utilizadopara calcular a interpolacao de Lagrange.

Salzer, 1972


No exercıcio anterior, onde foi pedido para aproximar o valor de sin(1), percebe-se que aavaliacao do polinomio interpolador na forma de Lagrange, quando feita de forma displicenteou ingenua, torna-se cara, do ponto de vista da quantidade de operacoes de ponto flutuanterealizadas.

Alem disso, tambem e comum encontrar em livros-texto de Calculo Numerico crıticas aforma de Lagrange, imputando a ela possıveis problemas de overflow e underflow.

Entretanto, quando implementada de maneira criteriosa, tais problemas sao todos evitaveis.


Interpolacao Baricentrica de Lagrange


Se

`(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn), wj = 1∏k=0k 6=j

(xj − xk)

entao`j(x) = `(x) wj

x − xj


A interpolacao Baricentrica nada mais e que um algoritmo eficiente e computacionalmenteadequado para a interpolacao de Lagrange.

O primeiro passo e perceber que os fatores constantes que aparecem em cada polinomio deLagrange podem ser todos pre-computados, de maneira a reduzir o custo computacionaldurante a avaliacao do polinomio interpolador.

Depois, note tambem que todos os polinomios de Lagrange diferente entre si apenas por umunico monomio, uma das parcelas do produto que os definem.


Interpolacao Baricentrica de Lagrange

p(x) = y0`0(x) + y1`1(x) + · · ·+ yn`n(x)

= y0`(x) w0x − x0

+ y1`(x) w1x − x1

+ · · ·+ yn`(x) wnx − xn

p(x) = `(x)(

y0w0

x − x0+ y1

w1x − x1

+ · · ·+ ynwn

x − xn

)


Utilizando os coeficientes wk e o polinomio ` de grau (n + 1), o polinomio interpolador podeser reescrito de forma muito compacta.


Caracterısticas

p(x) = `(x)n∑

j=0yj

wjx − xj

, wj = 1∏nk=0k 6=j

(xj − xk)

I wj nao depende de y0, y1, . . . , yn

I Barata de calcular (O(n2))

I Barata de avaliar (O(n))

I Sem problemas de overflow ou underflow


Quando o polinomio e reescrito na forma baricentrica, todos os problemas alardados dainerpolacao de Lagrange sao dirimidos.


Qualidade da interpolacao

Se interpolamos as amostras de uma funcao, quao boa sera aaproximacao da funcao pelo polinomio?


Se estivermos interpolando uma tabela de ponto apenas, nao faz sentido perguntar qual oerro de interpolacao, visto que o polinomio interpolador, por construcao, honra exatamenteos pontos tabelados, e para outros pontos nao ha qualquer informacao.

Porem, quando interpolamos amostras de uma funcao, podemos nos perguntar se o polinomiointerpolador e uma boa aproximacao para a funcao, nos pontos que nao foram usados nainterpolacao.


Exemplo:√

x

1

1.5

2

1 2 3 4

f(x)p(x)


No exemplo anterior, quando interpolamos a funcao f (x) = √x vimos que de fato o polinomiointerpolador se aproxima muito bem da funcao, no intervalo de interpolacao.


Hipoteses

I f tem (n + 1) derivadas contınuasI p tem grau no maximo nI p interpola f em x0, x1, . . . , xn ⊂ [a, b]

Erro de interpolacao:

E (x) ≡ f (x)− p(x)


Para investigar o erro de interpolacao, vamos fazer algumas hipoteses sobre a funcaointerpolada.

A intencao e estimar E(x), o erro num ponto x , que nao tenha sido utilizado na interpolacao.


Funcao auxiliar

Suponha que queremos analizar o erro em x ∈ (a, b), com x 6= xk .Considere a funcao

g(z) ≡ E (x)ω(z)− E (z)ω(x)

onde ω(z) ≡ (z − x0)(z − x1) · · · (z − xn).

I Quantas derivadas contınuas g possui?I Quantos zeros a funcao g possui?


Toda funcao polinomial, como p e w , e infinitamente diferenciavel. Como f tem (n + 1)derivadas contınuas e E(x) = f (x)−p(x), entao E tambem tera (n + 1) derivadas contınuas.

Com isso temos que g tem (n + 1) derivadas contınuas.

Observe ainda que g(z) = 0 para z ∈ x0, x1, . . . , xn, x. Ou seja, g tem pelo menos (n + 2)zeros distintos.


Resultado de Calculo

a bc

f (a) = f (b)

f ′(c) = 0

Teorema de RolleSeja f diferenciavel em [a, b]. Se f (a) = f (b), entao existec ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.


Teorema do Valor MedioSeja f diferenciavel em [a, b]. Entao, existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f (b)− f (a)b − a

.

O Teorema de Rolle e um caso particular do Teorema do Valor Medio, quando f (a) = f (b).

Com o Teorema de Rolle podemos garantir a existencia de pelo menos um zero da derivadade uma funcao, se conhecermos dois pontos onde a funcao tem o mesmo valor.


g e seus zerosPor exemplo, para n = 3, os zeros de g sao x0, x1, x2, x3 e x .

g tem 5 zeros

g tem 5 zeros

g ′ tem 4 zeros

g ′ tem 4 zeros

g ′′ tem 3 zeros

g ′′ tem 3 zeros

g ′′′ tem 2 zeros

g ′′′ tem 2 zeros

ξ

g (4)(ξ) = 0



Analise de g

Existe ξ ∈ (a, b) tal que g (n+1)(ξ) = 0.

g (n+1)(z) = E (x)ω(n+1)(z)− E (n+1)(z)ω(x)= E (x)(n + 1)!− f (n+1)(z)ω(x)

Para z = ξ,

E (x)(n + 1)! = f (n+1)(ξ)ω(x)


Ja sabemos que g tem pelo menos (n + 2) zeros. Pelo Teorema de Rolle, g ′ tera pelo menos(n + 1) zeros. Novamente, pelo Teorema de Rolle, agora aplicado a g ′, podemos assegurarque g ′′ tera pelo menos n zeros.

Continuando com esse raciocınio, pode-se assegurar que g (n+1) tera pelo menos um zero,digamos ξ.

Como ω(x) = xn+1 + q(x), onde q e um polinomio de grau no maximo n, temos queω(n+1) = (n + 1)!. Alem disso, p(n+1) ≡ 0 pois p e polinomio de grau menor que (n + 1).


Erro de interpolacao

TeoremaSe f tem (n + 1) derivadas contınuas e o polinomio p, de grau nomaximo n, interpola f em x0, x1, . . . , xn ⊂ [a, b], entao

f (x)− p(x) = f (n+1)(ξ)(n + 1)! ω(x), x 6= xk ,

onde ω(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn) e ξ ≡ ξ(x) ∈ (a, b).


Observe que a formula obtida para o erro de interpolacao e exata, porem depende de umvalor ξ desconhecido. Alem disso, ξ depende de x tambem.

Portanto, na pratica, nao temos como avaliar o erro de interpolacao por esta formula. Pode-mos porem utiliza-la como um majorante para o erro de interpolacao.


Exemplo

I f (x) =√

x

I p polinomio interpolador em 1, 2 e 4Qual o erro maximo?

Emax = max∣∣∣∣ f ′′′(ξ)

3! ω(x)∣∣∣∣ ≤ M3

6 max |ω(x)|,

com M3 = max1≤x≤4 |f ′′′(x)| e ω(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 4)


Nesse caso, n = 2. PortantoE(x) = f ′′′(ξ)

3!ω(x).

LogoEmax ≤

M36

max |ω(x)|.

Precisamos estimar entao M3 e max |ω(x)|.


Exemplo

M3 = max 38

1√x5

= 38 ,

max |ω(x)| =∣∣∣∣∣ω(

7 +√

73

)∣∣∣∣∣ = 2.1126

Portanto

|E (x)| ≤ 3/8 · 2.11263! = 0.13204, para todo x ∈ [1, 4]


Com efeito, f ′′′(x) = 38

1√x5 . Como essa funcao e decrescente, seu maximo e assumido no

extremo esquerdo do intervalo, ou seja, para x = 1. Logo M3 = 3/8.

Para encontrar o maximo de |ω(x)|, impomos a condicao de que ω′(x) = 0. Dois pontossatisfazem essa condicao:

x1,2 = 7±√

73

.

Ambos os pontos estao dentro do intervalo de interesse, mas |ω(x2)| > |ω(x1)|. Nao enecessario verificar se o maximo de |ω(x)| esta nos extremos do intervalo pois, por construcao,a funcao ω se anula nos extremos.


Exercıcio

Com que grau de precisao podemos aproximar√

115 usandointerpolacao quadratica sobre os pontos 100, 121 e 144?


Resolucao:

Da formula de erro para interpolacao temos que:

|E(115)| =∣∣∣ f ′′′(ξ)

3!ω(115)

∣∣∣ ≤ M33!|ω(115)|,

onde M3 = max100≤x≤144

|f ′′′(x)| = max100≤x≤144

38

x−5/2 = 38

10−5.

Como ω(x) = (x − 100)(x − 121)(x − 144), temos que ω(115) = 2610. Logo

|E(115)| ≤ 3/8 · 10−5 · 26106

= 1.631 · 10−3.


Exercıcio

x 1 2 3 4 5 6 7f (x) 0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18

I Obtenha uma aproximacao para o valor maximo de f usandointerpolacao quadratica.

I Usando interpolacao aproxime a solucao de f (x) = 1.15.



Reduzindo o erro

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4


Suponha que uma funcao foi interpolada apenas em dois pontos. Obviamente, nem sempreessa interpolacao sera precisa o suficiente. O que fazer entao?


Reduzindo o erro

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4


Podemos ver que a medida que mais pontos sao utilizados para interpolar a funcao,aparentemente, melhor o resultado fica. Observe por exemplo os polinomios p2, p3 e p4, queinterpolam a funcao em 3, 4 e 5 pontos igualmente espacados, respectivamente.

Claramente p4 e o polinomio interpolador que mais se aproximou da funcao original.

Sera que essa estrategia de acrescentar pontos a interpolacao vai continuar produzindopolinomios interpoladores de ordem mais alta que gradativamente se aproximarao da funcaointerpolada?


Fenomeno de Runge

0

1

-4 -2 0 2 4

Pontos equidistantesNuma malha de pontos regularmente espacados, os polinomiosinterpoladores em geral divergem, mesmo se f for analıtica.


Apesar de contra-intuitivo, nao ha garantia de que o erro de interpolacao reduzira amedida que mais pontos de interpolacao sao acrescentados. De fato, usualmente o errode interpolacao aumenta a medida que o grau do polinomio interpolador, em pontosregularmente espacado.

Esse fenomeno e conhecido como Fenomeno de Runge.

Na figura podemos observar o polinomio interpolador de grau 6 (interpola a funcao em 7pontos – quadrados) e o polinomio interpolador de grau 10 (interpola a funcao em 11 pontos– circulos). Pela figura, fica claro que o erro maximo de interpolacao observado no polinomiode grau 10 e maior.


Fenomeno de Runge

0

1

-4 -2 0 2 4

Pontos adequados (Chebyshev)Numa malha construıda adequadamente, os polinomiosinterpoladores convergem mesmo para funcoes Lipschitz contınuas.


Entretanto, e possıvel garantir que o polinomio interpolador de fato convirja a funcao, amedida que mais pontos sao utilizados na interpolacao, desde que os pontos de interpolacaosejam cuidadosamente escolhidos.

Na figura, para efeito de comparacao, observamos a interpolacao em 11 pontos igualmenteespacados (com erro grande), e mais duas interpolacoes, com 11 pontos e com 15 pontos,criteriosamente escolhidos. Na interpolacao com 15 pontos ja fica difıcil distinguir visual-mente a funcao original do polinomio interpolador.

Esses pontos magicos, que garantem a convergencia do polinomio interpolador, sao os zerosde polinomios especiais, os polinomios de Chebyshev.

Em resumo, se a interpolacao fosse feitas nos pontos de Chebyshev seria possıvel garantirque o erro reduziria a medida que mais pontos fossem utilizados.

A dificuldade em escapar do Fenomeno de Runge e que na maioria em problemas praticosnao ha como escolher quais sao os pontos de interpolacao. De fato, e muito comum que ospontos disponıveis para interpolacao estejam igualmente distribuıdos.


Polinomios de grau 1

0

10

20

0 2 4 6


Neste exemplo, ao inves de tentar construir um unico polinomio interpolador de grau 6, acada dois pontos foi construıdo um polinomio interpolador de grau 1. Desta forma, foramutilizados todos os 7 pontos, porem o grau do polinomio interpolador permaneceu baixo,evitando o Fenomeno de Runge.

A funcao de interpolacao nao e mais um polinomio mas sim uma funcao definida de formadiferente em cada subintervalo. Em cada um dele a funcao e um polinomio de grau diferente.Uma funcao definida desta forma e dita um polinomio de grau 1 por partes.

Como a condicao de interpolacao em cada ponto e satisfeita tanto para o segmento de retaa esquerda e a direita de cada ponto, naturalmente a funcao total e contınua.



0

10

20

0 2 4 6


Neste caso, os pontos foram tomados tres a tres, de maneira que foram construıdos trespolinomios interpoladores, cada um de grau 2.

A funcao iterpoladora e um polinomio interpolador de grau 2 por partes. Novamente, apenaspela natural imposicao da condicao de interpolacao, a funcao interpoladora e contınua.

Entretanto, tambem pode-se observar que um polinomio interpolador por partes nao seradiferenciavel em cada ponto onde ha a juncao entre dois polinomios.



0

10

20

0 2 4 6


Por fim, tomando pontos de quatro em quatro, foram construıdos dois polinomios interpo-ladores, cada um de grau 3.

Apesar de nao ser visualmente evidente na figura, a funcao nao e diferenciavel em x = 3,onde os dois polinomios de grau tres sao colados.


Interpolacao por partes


Na interpolacao por partes o conjunto de pontos de interpolacao deve ser fracionado emporcoes menores. Dependendo do grau do polinomio interpolador de interesse.



I0 I1 I2 I3


Por exemplo, suponha que se deseje interpolar por polinomios de grau no maximo 2. Entaoos pontos devem ser tomados tres a tres.

Sejam os pontos de interpolacao originais (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn), ordenados de modoque xk > xj se k > j. O intervalo de interpolacao I = [x0, xn], pode entao ser escrito comoI = I0 ∪ I1 ∪ · · · Im (como na figura).



I0 I1 I2 I3


Desta forma precisamos resolver m problemas de interpolacao, um para cada subintervalo.Digamos que pj e o polinomio interpolador no intervalo Ij .


Polinomio interpolador por partes

A funcao interpoladora e definida como

s(x) = pk(x), se x ∈ Ik


O grau de cada polinomio interpolador depende de quantos pontos de interpolacao ha emcada subintervalo Ik . Se todos os polinomios tiverem o mesmo grau, digamos q, diremos quea funcao s e um polinomio por partes de grau q.


Erro de interpolacao

O erro de interpolacao e limitado pelo erro em cada subintervalo.Para interpolacao linear por partes (splines lineares)

|E (x)| ≤ M2h2

8onde h = max |xk − xk−1|.


O erro maximo em cada subintervalo e dado por

maxx∈Ik|E(x)| ≤ 1

2maxx∈Ik|f ′′(x)| max

x∈Ik|(x − xk−1)(x − xk )|

Verifique que maxx∈Ik |(x − xk−1)(x − xk )| = 14 h2

k , onde hk = (xk − xk−1).

Como maxx∈Ik |f′′(x)| < M2, temos que

Emax ≤M2h2

8,

onde h = max hk .

Desta forma, perceba que ao acrescentar mais ponto, mesmo que regularmente espacados,e possıvel reduzir h e portanto reduzir o erro maximo, preservando o grau do polinomiointerpolador.


Splines lineares


Temos a tendencia a achar que o resultado da interpolacao linear por partes e muitogrosseiro, mas na verdade o resultado anterior garante que ele pode ser tao bom quanto sequeira, desde que pontos suficientes sejam utilizados.

De fato, praticamente todos os graficos de funcao exibidos no computador tem apenas aimpressao de serem curvos, mas sao na verdade lineares por partes com uma quantidadegrande de pontos.


Exemplo

Em quantos pontos regularmente amostrados em [0, 2] devemostabelar a funcao f (x) = (2x + 1)/(x − 3) de maneira a garantirum erro inferior a 10−4 com splines lineares?

M2 = max[0,2]|f ′′(x)| = max

[0,2]

∣∣∣∣ 14(x − 3)3

∣∣∣∣ = 14

Logo,

|E (x)| ≤ 14h2

8 = 74h2 ≤ 10−4

Portanto h ≤ 2√

77 10−2, como h = 2/n, n ≥ 265



Exercıcio

Em quantos pontos e necessario tabelar a funcao cossenopara que a sua aproximacao por splines lineares tenha sempreerro inferior a 10−4?


Em primeiro lugar, observe que para conhecer a funcao cosseno, basta conhece-la nointervalo [0, π/2]. Para computar cosseno em qualquer outro intervalo basta utilizar relacoestrigonometricas para retornar ao problema de computar cosseno neste intervalo.

Como E < 18 M2h2, e M2 = max |(cos x)′′| = 1, temos que

h2

8≤ 10−4 ⇒ h ≤ 2 · 10−2√2.

Como h = π/2n , entao n ≥

π√

28

102 ≈ 55.5, ou seja sao necessarios pelo menos 57 pontos.


Resumo

I E possıvel construir uma funcao que interpole uma grandequantidade de pontos, sem incorrer no Fenomeno de Runge,desde que trabalhando por partes.

I Porem, a funcao interpolante nao sera diferenciavel nospontos de contato entre intervalos adjacentes.

I E se realmente precisarmos de uma funcao interpolantediferenciavel?



Splines cubicos

Dado um conjunto de pontos x0 < x1 < · · · < xn, uma splinecubica e uma funcao s satisfazendoI s ∈ C 2

I s|[xk−1,xk ] ∈ P3([xk−1, xk ])


Splines cubicos sao polinomios de grau 3 por partes com a condicao adicional de terem pelomenos duas derivadas contınuas.


Spline cubico interpolante

Dado um conjunto de pontos (xk , yk) | xk−1 < xk,k = 0, 1, . . . , n, uma spline cubica interpolante e uma funcao ssatisfazendoI s ∈ C 2

I s|[xk−1,xk ] ∈ P3([xk−1, xk ])

I s(xk) = yk , para k = 0, 1, . . . , n


Na interpolacao por splines cubicos, um polinomio de grau 3 e utilizado a cada dois pontos,e nao a cada 4 pontos, como no caso da interpolacao polinomial de grau tres por partes.Mas como apenas as duas condicoes de interpolacao nao sao suficientes para determinaros 4 coeficientes do polinomio cubico, os dois graus de liberdade restantes sao justamenteutilizados para impor a restricao de suavidade.


Spline cubico

0

10

20

0 2 4 6


Essa e a spline cubica interpolante para os mesmos pontos dos exemplos anteriores.



0

10

20

0 2 4 6


Para efeito de comparacao, esta e novamente a interpolacao polinomial de grau 3 por partes.


Spline – A regua



Spline – Boeing


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