Lógica proposicional

Sintaxe • Proposição: afirmação que pode ser verdadeira

ou falsa – Proposições podem ser expressas como fórmulas – Fórmulas são construídas a partir de símbolos:

• De verdade: true (verdadeiro), false (falso). • De pontuação: ( , ) • Proposicionais (Letras sentenciais): 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆,.....etc. • Operadores lógicos (Conectivos proposicionais):

– Unário: ¬ (não) – Binários: ∧ (e); ∨ (ou); então (→); se e somente se (↔); ⊕ (ou

exclusivo)

Lógica proposicional

Sintaxe

• Uma fórmula escrita de forma correta denomina-se “fórmula bem formada” (fbf).

– Regras de formação de fbf

• Qualquer letra sentencial (𝑃, 𝑄, 𝑅,...etc.) é uma fbf

• Se 𝑃 é uma fbf, então ¬𝑃 também é uma fbf.

• Se 𝑃 e 𝑄 são fbfs, então 𝑃 ∧ 𝑄; 𝑃 ∨ 𝑄 ; 𝑃 → 𝑄; 𝑃 ↔ 𝑄; 𝑃 ⊕ 𝑄 também são fbfs.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• O operador “e” (∧) – A frase “José compra tijolos e vende casas” é uma

proposição composta, conjunção de duas proposições: • “(José compra tijolos)” e “(José vende casas)”

𝑃 ∧ 𝑄

– Note que a palavra “e” em português tem vários sentidos, e nem todos correspondem à conjunção lógica. Por exemplo: • “Maria gosta de arroz e feijão” não significa “Maria gosta de arroz”

e “Maria gosta de feijão” (uma proposição composta), mas sim

• “Maria gosta de arroz misturado com feijão” (uma proposição só).

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• Uma variedade de termos pode ser usada para expressar o “e”. Exemplo:

– Trabalhei muito, mas não fui promovido: “(Eu trabalhei muito)” e “(Eu não fui promovido)”

– A conjunção “mas” pode ser substituída por: porém, todavia, contudo, entretanto, no entanto.

**Cuidado: não existe “no entretanto”.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• Exemplos:

– Trabalhei muito, porém não fui promovido.

– Trabalhei muito, contudo não fui promovido.

– Trabalhei muito, todavia não fui promovido.

– Trabalhei muito, entretanto não fui promovido.

– Trabalhei muito, no entanto não fui promovido.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• O operador “ou” (∨)

– A frase “O cliente tem celular ou laptop” é uma disjunção de duas proposições atômicas:

• “(O cliente tem celular) ou (O cliente tem laptop)”

– Este conectivo é também chamado de “ou inclusivo”, pois permite que as duas frases sejam verdadeiras. A frase acima é verdadeira se o cliente tem apenas celular, apenas laptop, ou celular e laptop.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• O operador “não” (¬)

– A partir de uma proposição 𝑃, podemos formar uma nova proposição com o valor lógico oposto ao de 𝑃.

– Essa nova proposição é chamada a negação de 𝑃 e denotada por ¬𝑃.

– Em português, a negação pode ser expressa de várias formas, por exemplo, acrescentando a palavra “não” antes do verbo ou dizendo: “não é verdade que . . . ”.

– Por exemplo a frase “A casa é de qualquer cor menos branca.” é uma negação: “¬(A casa é branca)”.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• O operador de implicação “então” →

– A implicação é um dos mais importantes conetivos da lógica e da matemática.

– Muitos teoremas em matemática estão na forma de implicações: se determinada afirmação 𝑃 (a hipótese, premissa, ou antecedente) é verdadeira, então outra afirmação 𝑄 (a tese, conclusão ou conseqüência) também é verdadeira.

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• Uma variedade de termos pode ser usada para expressar 𝑃 → 𝑄:

Interpretação da linguagem natural para a lógica formal

• Proposições condicionais e proposições derivadas, dada a proposição 𝑃 → 𝑄 têm-se:

– Proposição contrapositiva: ¬𝑄 → ¬𝑃

– Proposição oposta: 𝑄 → 𝑃

– Proposição inversa: ¬𝑃 → ¬𝑄

Lógica proposicional

Semântica dos operadores (valor-verdade)

Exemplo: seja 𝑷 = “Eu sou rico”, logo, ¬𝑷 =“Eu não sou rico”.

Na linguagem natural, não significa necessariamente que sou pobre, mas, essas situações não são contempladas na Lógica clássica.

Lógica proposicional

Semântica dos operadores (valor-verdade)

Exemplo: seja 𝑷 = “Lucas pulou na piscina”, 𝑸 =“Lucas se molhou”.

Lógica proposicional

Semântica dos operadores (valor-verdade)

Exemplo: seja 𝑷 = “Esta chovendo”, 𝑸 =“Esta fazendo sol”.

Lógica proposicional

Semântica dos operadores (valor-verdade)

Exemplo:

𝑷 = “Está chovendo”,

𝑸 =“A rua está molhada”.

Se esta chovendo, então a rua está molhada.

A rua está molhada, se está chovendo.

Estar chovendo é suficiente para que a rua esteja molhada.

A rua molhada é necessária para que esteja chovendo.

Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade)

Exemplo:

𝒑 = “Maria aprova Lógica”

𝒒 = “Maria tem média 6,0”.

Maria aprova Lógica se, e somente se, ela tem média 6,0

Envolve dois condicionais:

“Se Maria aprova Lógica, então ela tem média 6,0” e “Se Maria tem 6,0 na média de Lógica, então ela é aprovada”.