GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Intersecções – Recta com Plano II

© antónio de campos, 2009

INTERSECÇÃO DE RECTAS COM PLANOS MÉTODO GERAL

1. Conduz-se pela recta um plano auxiliar que a contenha (em geral um plano projectante, mas não necessariamente).

2. Determina-se a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar.

3. O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado.

x

xz

xy

ρ

fρ

hρ

x

fρ

hρ

v2

(v1)

vv2

(v1)

I

≡ I1

I2

≡ I1

H2

H1

F2

F1

r2

I2

r

r1 ≡ hα

r2

H

F

α

fα

fα

hα≡ r1

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante).

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

r2

r1

r2

r1

II2

I1

fθ

≡ hθ

F2

F1

H2

H1

r

θ

F

H

i2

≡ i1

I2

I1

fθ

≡ hθ

≡ i1

i

i2

Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 4 cm de afastamento, e tem o seu traço frontal com 3 cm de cota. Uma recta oblíqua r contém o ponto A (4; 2), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O traço horizontal da recta r tem –1 cm de afastamento. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta r e o plano ρ.

x

hρ

fρ

A1

A2

r1

H2

H1

r2

Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano:

1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical α que contenha a recta r;

2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar α;

3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado ρ.

≡ hα

fα

≡ i1

F2

F1

i2

H’2

≡ H’1

I2

I1

Um plano oblíquo α tem os seus traços coincidentes, e o seu traço frontal concorre com o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa, fazendo com o eixo x um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta oblíqua r contém o ponto A (0; 4; 4), e tem as suas projecções paralelas entre si, sendo a sua projecção frontal perpendicular ao traço frontal do plano α. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta r e o plano α.

x

y ≡ z

fα ≡ hα

A1

A2

r2

r1

Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano:

1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical γ que contenha a recta r;

2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar γ;

3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α.€

≡ hγ

fγ

H2

H1

F2

F1

≡ i1

i2

I2

I1

Um plano oblíquo α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, e são concorrentes com o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Uma recta horizontal h contém o ponto A (-1; 3; 1), e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta h e o plano α.

x

y ≡ z

hα

fα

A2

A1

h2

h1

Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano:

1. Conduzir pela recta h um plano auxiliar horizontal ν que contenha a recta h;

2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada h são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν;

3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada h com o plano dado α.€

≡ (fν)≡ i2

F2

F1

i1

I2

I1