Intervalos de confiança

• Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição F. Um intervalo de confiança de nível 1– para é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais que P( [T1(X), T2(X)] ) 1– para todo .

Observações

• A probabilidade da definição se refere a T1 e T2 e não a .

• O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1– .

• Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T1 e T2.

Como obter um I.C.?

• Método da quantidade pivotal

• Obter uma função S(x, ) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de .

• Escolher dois números a e b tais que P(a ≤ S(x, ) ≤ b) = 1 –

• Resolver a inequação obtida em termos de .

Exemplo

• X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0,

Intervalos de confiança para distribuição normal

X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(, 2)

Quatro casos:

• I.C. para , com 2 conhecido

• I.C. para 2, com conhecido

• I.C. para , com 2 desconhecido

• I.C. para 2, com desconhecido

I.C. para , com 2 conhecido

• Aplicável quando– a distribuição é normal e 2 é de fato conhecido,

ou– a distribuição é normal e a amostra é grande, de

modo que se possa estimar 2 com razoável precisão

– a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.

I.C. para , com 2 conhecido

• I.C. central

• I.C. unilaterais

n

zX

,

,n

zX

n

zX

n

zX 2/2/ ,

z

Exemplo

• n = 25, X = 60, = 10, = 0,1

Exemplo

• Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.

I.C. para , com conhecido

• I.C. central

• I.C. unilaterais

)2/1(

)(,

)2/(

)(2

2

2

2

n

i

n

i XX

x2n

()

)1(

)(,0

2

2

n

iX

,)(

)(2

2

n

iX

A distribuição 2

• Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1). A distribuição

de X12 +… + Xn

2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

Exemplo

• n = 20, = 60, Xi - 2 = 90.000, = 0,1

I.C. com e 2 desconhecidos

• Teorema Fundamental

Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1).

(Xi – X)2 e X são independentes

(Xi – X)2 tem distribuição 2n-1

tem distribuição tn-1S

Xn

n

XX

Xn

i

1

)(2

A distribuição t de Student

• Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição 2

n. A distribuição de

é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.

nY

X

/

Observação

No caso de X1, …, Xn i.i.d. N(,2).

(Xi – X)2 e X são independentes

(Xi – X)2/2 tem distribuição 2n-1

tem distribuição tn-1S

Xn

n

XX

Xn

i

)(

)1(

)(

/)(

2

2

I.C. para , com 2 desconhecido

• I.C. central

• I.C. unilaterais

n

tSX n )(

, 1

,)(1

n

tSX n

n

tSX

n

tSX nn )2/(

,)2/( 11

I.C. para , com desconhecido

• I.C. central

• I.C. unilaterais

)2/1(

)(,

)2/(

)(2

1

2

21

2

n

i

n

i XXXX

)1(

)(,

21

2

n

i XX

,

)(

)(2

1

2

n

i XX

Exemplo

• Obter I.C. de nível 95% para e 2 para o caso em que n = 16, Xi = 960 e Xi

2 = 70.000