ESTADISTICA INFERENCIAL INTERVALOS DE CONFIANZA

Facultad de Administración

Integrantes del equipo 2 de agencias de viaje:

Alarcón Coss Rubén

Barragán Malpica Ana Iris

Bautista Marroquin Anili

Becerra Simón Carlos Rafael

Meza Alarcón Uriel

Ramón Ortiz Edson Joaquín

Vásquez Lagunés Jesús

Tema: Intervalos de Confianza

Materia:

Estadística inferencial

Carrera:

Administración de empresas turísticas

Bloque.

4°sem.

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APLICACIÓN

A partir de la normalización de estudios estadísticos mediante distribuciones muéstrales, es posible determinar parámetros de una población a través de sus valores estadísticos. Normalmente, no se indica un valor único para el parámetro desconocido, sino un rango de valores denominado, intervalo de confianza.

El sistema permite calcular intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales y realizar pruebas de hipótesis, a partir de los valores pertenecientes a una o dos muestras, según sea el caso, apoyado en el cálculo de percentiles programados a partir de utilización de métodos numéricos de integración

GLOSARIO

CONCEPTO DEFINICIÓN TRADUCCION

ESTIMACION Aprecio y valor que se da y en que se tasa y considera algo. 2. La que se realiza en ciertos tributos para determinar el valor de la base imponible.

NIVEL DE CONFIANZA Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido

NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Es la probabilidad de equivocarnos

INTERVALO Espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos; Conjunto de los valores que toma una magnitud entre dos límites .

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REGRESION Retroceso, acción de volver hacia atrás, especialmente en una actividad o proceso.

POBLACION Conjunto de personas que habitan la Tierra o cualquier división geográfica de ella.

PARAMETROS Variable que, incluida en una ecuación, modifica el resultado de esta.

VARIACION

Modificación, cambio o transformación, variedad o diversidad.

INTRODUCCION

Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

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El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshov.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α % para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

TEORIA

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%).

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UTILIDAD:

El intervalo de confianza nos da el margen de valores en los que es previsible esperar que se encuentre la verdadera diferencia entre los tratamientos, para una probabilidad dada (habitualmente el 95 %). En realidad se sustenta sobre la misma teoría, pero el enfoque es mucho más expresivo, proporcionando información y no sólo documentando una mera decisión, como es el caso del contraste de hipótesis.

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:[2]

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, [3] la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

. Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos,

se sigue que:

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual "caigan" un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje

deseado Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (

), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95% y 99%. A este valor se le llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).

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Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o mejor dicho su versión estandarizada Zα / 2— junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

z − α / 2 = − zα / 2

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:

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Resultando el intervalo de confianza:

Si σ no es conocida y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30.

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor zα / 2 para los niveles de confianza estándar son 1,96 para 1 − α = 95% y 2,576 para 1 − α = 99%.

EJEMPLO:

Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 13 13 14 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 20 20

Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional,

asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional

desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

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Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la aproximación de una binomial por una normal

EJEMPLO:

En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza de 95%.

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BIBLIOGRAFIA

Pagina de internet:

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza

Pagina de internet:

http://www.fisica.unav.es/~angel/matlab/matlab1.html

Pagina de internet:

http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM

Pagina de internet:

http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ficheros/cap02.pdf

Presentación de power point de internet de M. C. José Juan Rincón Payase:

http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/Intervalos%20de%20Confianza.ppt

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