Introdu o aos Sistemas de Controle Atrav s da Redealimped/ia361_slides_2_2014.pdf · LMIs e a...

Desigualdades Matriciais Lineares Sistemas com Saltos Markovianos Estabilidade Norma H2 Norma H∞

Introdução aos Sistemas de Controle Através da

Rede

A. P. C. Gonçalves

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

1◦ Semestre de 2014

Gonçalves, A. P. C. IA361–Tópicos em Controle II UNICAMP 1 / 41


Material baseado em

J. C. Geromel e R. H. Korogui, Controle Linear de SistemasDinâmicos, Ed. Edgar Blucher, 2011.

R. C. L. F. Oliveira e P. L. D. Peres, Análise e Controle deSistemas Lineares por meio de Desigualdades MatriciaisLineares, Tutoriais do XVIII Congresso Brasileiro deAutomática, pp. 203–229, 2010

A. P. C. Gonçalves, Controle Dinâmico de Saída para SistemasDiscretos com Saltos Markovianos, Tese de Doutorado,Unicamp, 2009.



Desigualdades Matriciais Lineares em Controle

As desigualdades matriciais lineares, ou LMIs, são usadas paraauxiliar a resolver uma série de problemas em controle, envolvendo:

critério linear quadrático,

passividade,

teorema do ganho pequeno,

sistemas com incertezas paramétricas,

modelos com saturações,

não-linearidades,

controladores e filtros escalonados (gain scheduling)

etc.



Preliminares

Definição

Uma matriz simétrica M ∈ Rn×n é

definida positiva, com notação M > 0, se x ′Mx > 0 paratodo vetor x ∈ R

n não nulo.

semidefinida positiva, com notação M ≥ 0, se x ′Mx ≥ 0para todo vetor x ∈ R

n não nulo.

definida negativa (semidefinida negativa), com notaçãoM < 0 (M ≤ 0), se −M for definida positiva (semidefinidapositiva).



Preliminares

Teorema

Uma matriz simétrica M ∈ Rn×n é definida positiva (semidefinida

positiva) se, e somente se, qualquer uma das condições a seguir severificar

1 Todos os autovalores de M são positivos (maiores ou iguais azero).

2 Todos os menores principais líderes de M são positivos(maiores ou iguais a zero).

3 Existe uma matriz N ∈ Rn×n não singular (uma matriz

N ∈ Rn×n singular ou uma matriz N ∈ R

m×n com m < n) talque M = N ′N.



Desigualdades Matriciais Lineares

Uma desigualdade matricial linear é expressa na forma

A(x) < 0

com

A(x) = A0 +n

∑

i=1

Aixi

onde A0 ∈ Rm×m e Ai ∈ R

m×m, i = 1, · · · , n são matrizes reaissimétricas e xi é a i-ésima componente do vetor x ∈ R

n.



Desigualdade Matriciais Lineares

Lema

O conjunto dos vetores x ∈ Rn que satisfazem a desigualdade

matricial linear A(x) < 0 é convexo.

A convexidade do conjunto definido por uma desigualdade matriciallinear é fundamental para a solução de problemas de otimizaçãocujas restrições podem ser escritas nessa forma. Em particular, parasíntese e análise de sistemas de controle, inclusive para o controleatravés da rede, elas são ferramentas fundamentais.




Lema (Complemento de Schur)

A desigualdade matricial linear

A(x) =

[

S(x) V (x)V (x)′ Q(x)

]

< 0

é equivalente a qualquer das duas seguintes desigualdades nãolineares:

a) S(x) < 0 e Q(x)− V (x)′S(x)−1V (x) < 0

b) Q(x) < 0 e S(x)− V (x)Q(x)−1V (x)′ < 0

O resultado continua válido se substituirmos os sinais de < por >nas desigualdades acima.




A restrição AZB + B ′Z ′A′ < −S , onde Z ∈ Rp×q é a incógnita, A,

B , S = S ′ são matrizes dadas de dimensões compatíveis é umadesigualdade matricial linear. Coletando os n = pq elementos de Zno vetor x ∈ R

n, podemos escrevê-la na forma

Z =n

∑

i=1

Zixi

onde Zi ∈ Rp×q são matrizes que colocam os elementos do vetor x

nas suas respectivas posições na matriz Z . Aquela restrição seescreve no formato padrão com A0 = S e Ai = AZiB + B ′Z ′

i A′

para todo i = 1, · · · , n. Para Z = Z ′, o mesmo raciocínio pode seradotado com os n = p(p + 1)/2 elementos distintos de Z ∈ R

p×p.



LMIs e a estabilidade de sistemas lineares

Seja o sistema linear a tempo contínuo

x(t) = Ax(t), x(0) = x0 ∈ Rn

Sua estabilidade pode ser verificada pela seguinte condição (emforma de LMI)

Teorema

O sistema acima é estável para qualquer condição inicial x0 ∈ Rn

se, e somente se, existir uma matriz P > 0 tal que A′P + PA < 0.



LMIs e estabilidade de sistemas lineares

Também para o caso de sistemas discretos

x(k + 1) = Ax(k), x(0) = x0 ∈ Rn

é possível verificar a estabilidade a partir de uma LMI

Teorema

O sistema acima é estável para qualquer condição inicial x0 ∈ Rn

se, se somente se, existir uma matriz P > 0 tal que A′PA − P < 0.



Exemplo

Considere o sistema linear

x =

[

0 1−2 −3

]

x

e a matriz de Lyapunov simétrica

P =

[

p1 p2

p2 p3

]

a determinar.



Exemplo

Trata-se de determinar p1, p2 e p3 tais que P > 0 e A′P + PA < 0,ou seja

[

1 00 0

]

p1 +

[

0 11 0

]

p2 +

[

0 00 1

]

p3 > 0

e[

0 11 0

]

p1 +

[

−4 −3−3 2

]

p2 +

[

0 −2−2 −6

]

p3 < 0



Exemplo

Em termos dos menores principais líderes de P e de −(A′P + PA),as restrições se traduzem em

p1 > 0

p1p3 − p22 > 0

4p2 > 0

4p2(6p3 − 2p2)− (3p2 + 2p3 − p1)2 > 0



Pacotes Computacionais

A interface YALMIP1 permite escrever programas comrestrições na forma de LMIs e escolher solvers externos como,por exemplo, SeDuMi2 ou SDPT33.

O Matlab também disponibiliza uma ferramenta para resolverproblemas com restrições na forma de LMIs, como parte dotoolbox de Controle Robusto4. De fato, o lmilab pode serdeclarado como solver do YALMIP, mas isso não érecomendado devido ao tempo de processamento. Pararesolver com o lmilab, o ideal é usar a linguagem própria daferramenta.

1http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/pmwiki.php?n=Main.HomePage2http://sedumi.ie.lehigh.edu/index.php3http://www.math.nus.edu.sg/~mattohkc/sdpt3.html4http://www.mathworks.com/help/robust/ug/introduction.html


http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/pmwiki.php?n=Main.HomePage

http://sedumi.ie.lehigh.edu/index.php

http://www.math.nus.edu.sg/~mattohkc/sdpt3.html

http://www.mathworks.com/help/robust/ug/introduction.html


Introdução

Modelagem matemática: sistemas reais apresentam respostasmais complexas que aquelas de modelos lineares e invariantesno tempo.

Alterações ambientais.

Falhas ou reparos em sensores e atuadores

Mudanças no ponto de operação para plantas não-lineares.

Modelagem exata destes fenômenos pode ser proibitiva doponto de vista prático =⇒ Modelos estocásticos.

Ênfase em estatísticas de ocorrência: probabilidades, valoresesperados, variância, etc.



Notação

Conjunto de modos do sistema K = {1, · · · ,N}.

Dadas N matrizes reais Xj para todo j ∈ K, a sua combinaçãoconvexa com pesos pij ≥ 0 é indicada por

Xpi :=N∑

j=1

pijXj ,N∑

j=1

pij = 1

Para um sinal z(k) ∈ Rr , ‖z‖2

2 :=∑∞

k=0 E{z(k)′z(k)} é sua

norma quadrática, onde E{·} é a esperança matemática.



MJLS

Um sistema com parâmetros sujeitos a saltos markovianos érepresentado a seguir

G :

x(k + 1) = A(θk)x(k) + J(θk)w(k)z(k) = Cz(θk)x(k) + Ez(θk)w(k)y(k) = Cy (θk)x(k) + Ey (θk)w(k)

Condição inicial: x(0) = x0 e θ0.

A variável aleatória θk ∈ K evolui de acordo com uma cadeiade Markov com matriz de probabilidades de transição

P = {pij = Prob(θk+1 = j |θk = i)} ∈ RN×N

Para simplificar a notação A(θk) = Ai , Ji , · · · para θk = i .



Estabilidade pelo segundo momento

O sistema G com entrada nula é

a) Estável por média quadrática, se para todo estado inicial(x0, θ0)

limk→∞

E{x(k)′x(k)|x0, θ0} = 0

b) Estocasticamente estável, se para todo (x0, θ0)

E

{

∞∑

k=0

x(k)′x(k)

∣

∣

∣

∣

∣

x0, θ0

}

< ∞

c) Exponencialmente estável por média quadrática, se para todo(x0, θ0) existirem constantes 0 < α < 1 e β > 0 tais que

E{x(k)′x(k)|x0, θ0} < βαkx ′0x0, ∀k ∈ N



Estabilidade pelo segundo momento

Foi demonstrado por (Ji et. al. 1991) que as definiçõesanteriores são equivalentes para MJLS com cadeia de Markovfinita.

Este conjunto de definições pode ser chamado de estabilidadepelo segundo momento.

Deste ponto em diante, sempre que nos referirmos àestabilidade de um MJLS, falamos de estabilidade de segundomomento.



Condição para estabilidade

Teorema (Costa & Fragoso 1993)

O sistema G com entrada w nula é estável pelo segundo momentosse existirem soluções definidas positivas para as seguintesdesigualdades do tipo Lyapunov equivalentes

∑

j∈K

pijA′iPjAi − Pi < 0, i ∈ K

∑

i∈K

pijAiWiA′i − Wj < 0, j ∈ K

∑

i∈K

pijAjViA′j − Vj < 0, j ∈ K

∑

j∈K

pijA′jQjAj − Qi < 0, i ∈ K



Prova

Vamos provar, pelo conceito de estabilidade estocástica que

A′iPpiAi − Pi < 0, i ∈ K

é uma condição necessária e suficiente para estabilidade.

É possível demonstrar que a primeira condição implica nasoutras e vice-versa.



Suficiência

Supondo que a LMI é satisfeita, temos

A′iPpiAi − Pi = −Wi < 0, i ∈ K

Para a função de Lyapunov estocástica:

V (θk , x(k)) := x(k)′P(θk)x(k)

E {V (θk+1, x(k + 1) | θk , x(k))} − V (θk , x(k))

V (θk , x(k))= −

x(k)′Wθkx(k)

x(k)′Pθkx(k)

≤ −mini∈K

{

λmin(Wi )

λmax(Pi )

}



Suficiência

Definindo o escalar

α := 1 − mini∈K

{

λmin(Wi )

λmax(Pi )

}

verificamos que, α < 1 e

α ≥E {V (θk+1, x(k + 1)) | θk , x(k)}

V (θk , x(k))> 0

logo, existe α ∈ (0, 1) tal que

E {V (θk+1, x(k + 1)) | θk , x(k)} ≤ αV (θk , x(k))

e portanto

E {V (θk , x(k)) | θ0, x(0)} ≤ αkV (θ0, x(0))



Suficiência

Vamos calcular o somatório dos termos da desigualdade anteriorpara todo k . Como 0 < α < 1, isto resulta em:

limT→∞

E

{

T∑

k=0

V (θk , x(k))

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

≤ limT→∞

T∑

k=0

αkV (θ0, x(0))

≤1

1 − αx(0)′P(θ0)x(0)

Porém, tem-se no caso geral que

mini∈K

{λmin(Pi )} E{

x(k)′x(k)}

≤ E {V (θk , x(k))}

e desta forma, retomando que Pi > 0, chega-se a

E

{

∞∑

k=0

x(k)′x(k)

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

≤1

1 − α

1mini∈K

{λmin(Pi )}x(0)′Pθ0x(0)



Necessidade

Definindo a equação:

x(k)′P(T − k, θk)x(k) := E

{

T∑

n=k

x(n)′W (θn)x(n)

∣

∣

∣

∣

∣

θk , x(k)

}

onde W (θk) > 0 para todo θk ∈ K.

x(k)′P(T − k, θk)x(k) ou cresce monotonicamente com oaumento de T

ou aumenta monotonicamente até queE {x(η)′W (θη)x(η)} = 0 para algum η ≥ k .



Necessidade

Por hipótese, o sistema é estável, então:

x(k)′Pix(k) := limT→∞

x(k)′P(T − k, θk = i)x(k)

= limT→∞

E

{

T∑

n=k

x(n)′W (θn)x(n)

∣

∣

∣

∣

∣

θk = i , x(k)

}

Como estes limites são válidos para qualquer x(k), temos

Pi := limT→∞

P(T − k, θk = i)

x(0)′P(T , θ0 = i)x(0)−N∑

j=1

pijx(0)′A′iP(T − 1, θ1 = j)Aix(0) =

= x(0)′Wix(0)



Necessidade

Finalmente, como esta equação é válida para qualquer x(0), temos:

P(T , θ0 = i)−N∑

j=1

pijA′iP(T − 1, θ1 = j)Ai = Wi

e com isso conclui-se que, ao se fazer T → ∞, existe um conjuntode matrizes Pi = P ′

i > 0 para todo i ∈ K, que satisfaz

Pi − A′i

N∑

j=1

pijPj

Ai = Wi > 0, i ∈ K



Definição de norma H2

Definição (do Val, Geromel & Gonçalves 2002)

Para G estável, definimos a sua norma H2 como

‖G‖22 :=

m∑

s=1

N∑

i=1

µi‖zs,i‖2

2

onde zs,i representa a saída z(k) quando

x(0) = 0

w(k) = esδ(k), onde es ∈ Rm é a s-ésima coluna de

I ∈ Rm×m e δ(k) é o impulso unitário discreto.

θ0 = i ∈ K com probabilidade µi = Prob(θ0 = i ∈ K)



Interpretação da norma H2

No caso estacionário, isto é, µi = πi , onde πi é o i-ésimocomponente do vetor π ∈ R

N tal que

π = P′π

o valor da norma é equivalente a

‖G‖ = limk→∞

E{z(k)′z(k)}

onde z(k) é a saída de G quando w(k) é um ruído branco emsentido amplo, independente de θk ∈ K.



Condição para cálculo de norma H2

Teorema (do Val, Geromel & Gonçalves 2002)

A norma H2 de G, pode ser calculada por:

‖G‖22 =

N∑

i=1

µi tr(J′i PpiJi + E ′

i Ei )

onde Pi = P ′i > 0 são as soluções das equações:

Pi = A′iPpiAi + C ′

i Ci

para todo i ∈ K.



Prova

Para x(0) = 0 e θ0 = i ∈ K temos

‖G‖22 =

m∑

s=1

N∑

i=1

µiE

{

∞∑

k=0

z(k)′z(k)

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

=m∑

s=1

N∑

i=1

µiE

{

∞∑

k=0

x(k)′C ′zθk

Czθkx(k)

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

+N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )

=m∑

s=1

N∑

i=1

µiE

{

∞∑

k=1

x(k)′(

Pθk− A′

θkPpθk

Aθk

)

x(k)

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

+

+N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )



Prova

‖G‖22 =

m∑

s=1

N∑

i=1

µiE

{

∞∑

k=1

x(k)′Pθkx(k)− x(k + 1)Ppθk

x(k + 1)

∣

∣

∣

∣

∣

θ0, x(0)

}

+N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )

=m∑

s=1

N∑

i=1

µiE{

x(1)′Pθ1x(1)|θ0, x(0)}

+N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )



Prova

Para todo j ≥ 1,

E{

Pθj

}

= E{

E{

Pθj|θj−1

}}

= E{

Ppθj−1

}

e desta forma

‖G‖22 =

m∑

s=1

N∑

i=1

µiE{

x(1)′Pθ1x(1)|θ0, x(0)}

+N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )

=N∑

i=1

µi

m∑

s=1

e ′sJ′iE {Pθ1 |θ0} Jies +

N∑

i=1

µi tr(E′ziEzi )

=N∑

i=1

µi tr(J′iE{Pθ1 |θ0}Ji + E ′

ziEzi )



Cálculo da norma H2 usando LMIs

A norma H2 pode ser calculada através de um problema deprogramação convexa

‖G‖22 = inf

(Wi ,Pi )∈Φ

N∑

i=1

µi tr(Wi )

onde Φ é o conjunto de todas as matrizes simétricas (Wi ,Pi ) taisque as LMIs

Wi • •PpiJi Ppi •Ezi 0 I

> 0,

Pi • •PpiAi Ppi •Czi 0 I

> 0

sejam satisfeitas para todo i ∈ K.



Distribuição inicial de probabilidades µi

Um inconveniente desta definição de norma H2 é a necessidade dese conhecer µi = Prob(θ0 = i ∈ K).

Se o modo inicial é conhecido, µi = 1 para i = θ0 e 0 casocontrário.

Caso a cadeia de Markov se encontre em estado estacionário,podemos fazer µ = π.

Também podemos tratar µi como variáveis. Neste caso, temosa norma H2 de pior caso

supθ0∈K

m∑

s=1

‖zs,θ0‖22 = max

µ∈Λinf

(Wi ,Pi )∈Φ

N∑

i=1

µi tr(Wi )

= infσ,(Wi ,Pi )∈Φ

{σ : tr(Wi ) < σ}



Definição de Norma H∞

Definição (Costa & do Val 1996)

Assuma que G é estável. A norma H∞ do sistema G da entrada wpara a saída z é definida por

‖G‖2∞ := sup

06=w∈Lm2 , θ0∈K

‖z‖22

‖w‖22



Cálculo da norma H∞ usando LMIs

Teorema (Seiler & Sengupta 2003)

Se o sistema G é fracamente controlável, ele será estável e irásatisfazer a restrição de norma ‖G‖2

∞ < γ se e somente se existiremmatrizes Pi = P ′

i > 0, tais que

[

Ai Ji

Czi Ezi

]′ [Ppi 00 I

] [

Ai Ji

Czi Ezi

]

−

[

Pi 00 γI

]

< 0

para todo i ∈ K.



Prova

Provamos apenas a suficiência. O primeiro bloco diagonal da LMIanterior deve ser definido negativo

A′iPpiAi − Pi < −C ′

ziCzi ≤ 0, i ∈ K

Logo, o sistema é estável.

Além disso, multiplicando a LMI a esquerda por [x(k)′ w(k)′] e adireita pelo seu transposto, temos:

x(k + 1)′Ppix(k + 1)− x(k)′Pix(k) + z(k)′z(k)− γw(k)′w(k) ≤ 0



Prova

Calculando a esperança matemática para θk = i ∈ K e somandopara todo k ≥ 0

∞∑

k=0

E{x(k + 1)′Ppθkx(k + 1)− x(k)′Pθk

x(k)}+ ‖z‖22 − γ‖w‖2

2 ≤ 0

Por outro lado, como o sistema é estável e x(0) = 0, podemosafirmar que

∞∑

k=0

E{x(k + 1)′Ppθkx(k + 1)− x(k)′Pθk

x(k)} = 0

logo‖z‖2

2 ≤ γ‖w‖22



Cálculo da norma H∞ usando LMIs

Problema de programação convexa

‖G‖2∞ = inf

(γ,Pi )∈Φγ

onde Φ é o conjunto de todas as matrizes definidas positivasPi = P ′

i > 0 e γ ∈ R tal que as LMIs

Pi • • •0 γI • •

PpiAi PpiJi Ppi •Czi Ezi 0 I

> 0

sejam satisfeitas para todo i ∈ K.


Introdu o aos Sistemas de Controle Atrav s da Redealimped/ia361_slides_2_2014.pdf · LMIs e a...

Documents

Transcript of Introdu o aos Sistemas de Controle Atrav s da Redealimped/ia361_slides_2_2014.pdf · LMIs e a...