Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear´ - UFERSA · coberta constante para aqueles que nunca tiveram a...

Introducao a

Algebra Linear

Placido Francisco de Assis Andrade

Universidade Federal do CearaCentro de Ciencias

Departamento de Matematica

Editora Fundamentos

16 de junho de 2003

Prefacio

Esse texto foi redigido para atender aos diversos Cursos oferecidos pela Univer-sidade Federal do Ceara que possuem na sua integralizacao a disciplina semestralIntroducao a Algebra Linear. Ela e ministrada por professores do Departamento deMatematica e sua ementa e desenvolvida em 4h por semana.

Embora nao seja necessario, para facilitar a leitura do texto, o aluno precisarade um conhecimento mınimo de Geometria Analıtica e determinantes. Os topicosestudados no Ensino Medio sao mais do que suficientes.

O ritmo da apresentacao esta baseado na experiencia de sala de aula e a redacaolevou em conta o estudante. Por isso, em alguns momentos, um leitor mais fami-liarizado com Algebra Linear pode achar o texto lento e simples. Nao e o casodo leitor iniciante. A elegancia no desenvolvimento dos topicos de Algebra Linearesconde diversos conceitos aparentemente dıspares, tornando seu estudo uma des-coberta constante para aqueles que nunca tiveram a oportunidade de conhece-lasistematicamente.

Sugestoes e crıticas sobre o texto serao bem-vindas.

Placido Francisco de Assis [email protected]

Fortaleza, 21 de marco de 2003

O autor Placido Francisco de Assis Andrade e Bacharel, Mestre e Doutor emMatematica pela PUC-Rio. Foi professor daquela Instituicao no perıodo 1972/92,transferindo-se para a UFF, Universidade na qual trabalhou por dois anos. Apartir de 1994 e Professor Adjunto do Departamento de Matematica da UFC emembro da Coordenacao de Pos-graduacao de Matematica. Suas areas de pesquisaconcentram-se em Geometria e Topologia.

i

SımbolosI. Alfabeto grego

α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alfaβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . betaγ, Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gamaδ, ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .deltaε, ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .epsilonζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zetaη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .etaθ, Θ, ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tetaι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iotaκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . capaλ, Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lambdaµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . niξ, Ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quiø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .oπ, Π, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . piρ, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . roσ, Σ, ς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sigmaτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tauυ, Υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . upsilonphi, ϕ, Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fiψ, Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . psiω, Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . omega

II. Sımbolos utilizados

v = (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vetor v ∈ R2

v = (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R3

〈u, v〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto interno canonico de u, v ∈ Rn

‖v‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norma de um vetor v ∈ Rn

θ(u, v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angulo entre os vetores u, v ∈ Rn

[v1, v2, ..., vk] . . . . . . . .Matriz cujas colunas sao coordenadas dos vetores vi ∈ Rn

[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz de uma tranformacao linear[A(e1), A(e2), ..., A(en)]. . . . . . . . . .Matriz canonica de uma transformacao lineardet[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante da matriz quadrada [A][[v1, v2, ..., vn]] . . . . . . .Subespaco vetorial gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn ∈ Rn

u× v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto vetorial de u, v ∈ R3

η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vetor em R3 normal a um plano

Sumario

1 O espaco vetorial Rn 21.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 O espaco vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Combinacao linear e base canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Outras bases de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Sistema linear e combinacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Geomeria Analıtica 252.1 Areas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Retas e planos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Produto interno 323.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Angulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Retas e planos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Produto vetorial em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Subespaco vetorial 464.1 Subespaco e equacao linear homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Subespaco e combinacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 O subespaco [[v1, v2, ..., vn]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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SUMARIO

5 Transformacoes lineares 685.1 Transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Matriz de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Teorema do nucleo e da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Operacoes com transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Transformacoes lineares invertıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Operadores lineares 896.1 Construindo operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Matrizes e determinantes 1047.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Matrizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4 Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5 Propriedades e matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.6 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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Capıtulo 1

O espaco vetorial Rn

Esse capıtulo tem dois objetivos. Primeiro, apresentar o espaco vetorial Rn, umconjunto algebrico. Segundo, relacionar o plano e o espaco Euclidanos com osconjuntos algebricos, R2 e R3, respectivamente, estabelecendo uma ponte entreesse novo conceito com os conhecimentos adquiridos pelo leitor desde o EnsinoMedio. Ressaltamos que iremos discorrer sobre tres objetos, um deles algebrico,o Rn, enquanto os outros dois serao geometricos, o plano e o espaco, conceitosnao definidos. Um quarto objeto, a figura desenhada no papel, serve apenas paraorganizar as ideias. Nesse texto, os termos funcao e aplicacao possuem o mesmosignificado.

1.1 O conjunto Rn

Denotamos por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, ou seja,

Rn = (x1, x2, ..., xn);xi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n.Os elementos deste conjunto sao chamados de pontos e, por simplicidade, muitasvezes indicaremos um ponto de Rn como

v = (x1, x2, ..., xn).

Num primeiro momento, esses sao os conjuntos para os quais voltaremos nossointeresse. Observe que v = (x1, x2, ..., xn) e w = (y1, y2, ..., yn) sao iguais, v = w, se,e somente se, xi = yi para todo i = 1, 2, ..., n. Para organizar a escrita utilizaremosletras minusculas para indicar os pontos de Rn. Por exemplo, ao escrevermos p =(z1, z2, ..., zn) estaremos indicando um ponto do Rn. A notacao P (z1, z2, ..., zn) seraapresentada logo a seguir e denotrara outro objeto.

A maior parte do texto esta relacionada com os conjunto R2 e R3, por isso,reservaremos uma notacao especial para indicar seus elementos. Para o primeiro

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1.1. O CONJUNTO RN

conjunto, muitas vezes, indicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma triplaordenada em R3 sera registrada na forma v = (x, y, z).

As ideias de ponto, reta, plano e espaco empregadas na Geometria Euclidianasao auto-explicaveis, nao suportam uma definicao. Denotaremos uma reta, umplano e um espaco Euclidianos por E1, E2 e E3, respectivamente. A identificacaoentre os conjuntos algebricos R1, R2 e R3 com aqueles e do conhecimento de todos,mas recapitulemos a construcao que justifica a existencia da Geometria Analıtica.Observamos que devemos distinguir o conjunto algebrico, o conjunto Euclidiano eas figuras que voce faz no papel.

O conjunto das 1-upla ordenadas, R1 = (x);x ∈ R, e canonicamente identifi-cado com o conjunto dos numeros reais R. Nao distinguiremos uma 1-upla ordenada(x) ∈ R1 de um numero real x ∈ R. Para construir uma correspondencia um a umentre os numeros reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E1, fixamos uma uni-dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E1 um unico numero real,o qual e chamado de abscissa do ponto.Com isso, temos definido uma aplicacao P : R →E1, pela regra P (x) e o ponto da reta Euclidianacuja abscissa e x.

Seja (x, y) ∈ R2. Escolhidos dois eixos Cartesianosnum plano Euclidiano E2, digamos ox e oy, defini-mos P : R2 → E2, pela regra P (x, y) e o ponto doplano Euclidiano cuja abscissa e x e a ordenada ey. Reciprocamente, cada ponto no plano e associ-ado a um unico par ordenado. Fixado o sistema deeixos, o plano Euclidiano passa a ser chamado deplano Cartesiano.

Da mesma forma, seja v = (x, y, z) ∈ R3. Fixadostres eixos Cartesianos em E3, ox, oy e oz, defini-mos a aplicacao P : R3 → E3 por, P (x, y, z) e oponto do espaco Euclidiano tal que a abscissa ex, a ordenada e y e a altura e z. Certamente oleitor esta acostumado com a notacao P (x, y, z).Quando fixamos um sistema de eixos em E3 passa-mos a chama-lo de espaco Cartesiano.

Indicamos pontos de En, n = 1, 2, 3, por letras maiusculas. Por exemplo, U ∈ E2

significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U(2, 3) estamos supondoque ja fixamos os eixos Cartesianos e este ponto e imagem do ponto u = (2, 3) ∈ R2,pela aplicacao P : R2 → E2. Essa sera uma regra notacional. O ponto v = (x, y)

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CAPITULO 1. O ESPACO VETORIAL RN

tera sua imagem pela aplicacao P indicada por V (x, y) em lugar de P (x, y), o pontow = (−1, 4) tera sua imagem indicada por W (−1, 4), etc. Uma regra notacionalsimilar sera utilizada para R3.

Exercıcio 1.1.1 Represente graficamente

1. os pontos P (2, 3), Q(−1, 2), R(−2,−3) e O(0, 0) do plano Cartesiano;

2. os pontos P (2, 3, 1), Q(−1, 2,−1) e R(−2,−3, 1) e O(0, 0, 0) do espaco Carte-siano.

1.2 O espaco vetorial Rn

Em Rn, definimos duas operacoes binarias, a soma de dois elementos e a multi-plicacao de um elemento por um escalar. Aqui, o termo escalar significa numeroreal. As operacoes sao definidas pelas seguintes regra. Se v = (x1, x2, ..., xn), w =(y1, y2, ..., yn) ∈ Rn e λ ∈ R estabelecemos que

v + w = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn),

λv = (λx1, λx2, ..., λxn).

Diz-se que as operacoes equipam Rn com uma estrutura de espaco vetorial. Agora,os pontos do Rn passam a ser chamados de vetores. Nao e necessario que o leitortenha familiaridade com essa estrutura algebrica para continuar a leitura do texto,na secao Leitura Complementar desse capıtulo e apresentada a definicao de espacovetorial.

Utilizamos uma terminologia propria quando estamos falando acerca do espacovetorial Rn. Por exemplo, escalar significa um numero real, como ja foi dito. Ovetor nulo e o vetor o = (0, 0, ..., 0). Dois vetores v,w ∈ Rn sao colineares quandoexiste um escalar λ tal que v = λw ou w = λv.

Exemplo 1.2.1 Sejam v = (2,−1) e w = (−4, 7) vetores de R2. Pela definicao, asoma dos vetores e efetuada coordenada a coordenada,

v + w = (2,−1) + (−4, 7) = (2 − 4,−1 + 7) = (−2, 6).

Se λ = −3 entao λv = −3 · (2,−1) = (−6, 3). O vetor u = (−4, 2) e colinear com vpois u = −2v.

E facil verificar que as duas operacoes gozam de varias propriedades, como porexemplo, a soma de vetores e comutativa, v+w = w+v, ou que a soma de qualquervetor v com o vetor nulo e o proprio vetor, v+o = v. Novamente, remetemos o leitor

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1.2. O ESPACO VETORIAL RN

para a ultima secao desse capıtulo, Leitura Complementar. Observe que 0v = o,isto e, um vetor multiplicado pelo escalar zero e igual ao vetor nulo.

Exercıcio 1.2.1 Sejam 0 ∈ R e v,w ∈ Rn. Mostre que 0 · v +w = w e que o vetornulo e colinear com qualquer vetor. Verifique a igualdade v + (−1)v = 0.

Anteriormente, exibimos uma identificacao entre os conjuntos Rn com os conjun-tos Euclidianos, En, quando n = 1, 2, 3. Depois, definimos uma operacao de somade dois elementos e um produto de um elemento por um escalar em Rn, passandoa chama-los de espaco vetorial. Novamente, iremos representar geometricamenteos vetores para explicitar a existencia da estrutura algebrica em Rn. A diferencaentre o conjunto e o conjunto com a estrutura algebrica (espaco vetorial) e sutil masexiste, e a diferenca e visualizada utilizando-se segmento orientado.Sejam R,S ∈ En. Um segmento orientado emEn e o par ordenado (R,S) que por convenienciasgraficas e indicado por −→

RS, em lugar da notacaoclassica para pares ordenados. Esta grafia registraa ideia de uma seta com ponto inicial em R e pontofinal em S.

Dados os pontos R(r1, r2, ..., rn) e S(s1, s2, ..., sn)em En. Diz-se que o segmento orientado −→

RS repre-senta o vetor v = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn se, e somentese, as coordenadas dos pontos e as coordenadas dovetor estao relacinadas pelas equacoes ao lado

x1 = s1 − r1x2 = s2 − r2

. . .xn = sn − rn

.

Exemplo 1.2.2 Um vetor pode ser representado por varios segmentos orientadosdiferentes. Vejamos duas representacoes para o vetor v = (1, 2) ∈ R2.

Se escolhermos os pontos R(2, 0) eS(3, 2) em E2, o segmento orientado−→RS representa v = (1, 2) ∈ R2 poispela definicao temos as relacoes

1 = 3 − 22 = 2 − 0

.

Se escolhermos os pontos P (1, 1) eQ(2, 3) o segmento orientado −−→

PQtambem representa o mesmo vetorv = (1, 2) ∈ R2 pois

1 = 2 − 12 = 3 − 1

.

Fica uma questao para o leitor: dado T (a, b) ∈ E2, determine as coordenadas deU ∈ E2 para que o segmento orientado −→

TU seja um representante de v = (1, 2).

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Exercıcio 1.2.2 Sejam P (3,−1) e Q(−4, 3) doispontos de E2. Esboce os seguintes segmentos ori-entados, −−→PQ, −−→QP , −−→QQ e −−→OP . Calcule os vetores doR2 representados pelos segmentos orientados.

O segmento orientado canonico para represen-tar o vetor v = (x1, x2, ..., xn) e aquele que temcomo ponto inicial a origem O(0, 0, ..., 0) e pontofinal V (x1, x2, ..., xn).

Falando numa linguagem informal, obtido um representante do vetor com pontoinicial a origem O(0, 0, ..., 0), qualquer outro representante e obtido por transporteparalelo daquele. Feitas essas consideracoes passemos as contrucoes.

a) Da mesma forma, definimos uma representacao do espaco vetorial R2 estabe-lecendo que −→

P (x, y) e o segmento orientado −−→OP cujo ponto inicial e a origem

e o ponto final e P (x, y).

b) Similarmente fazemos a representacao do espaco vetorial R3 estabelecendo que−→P (x, y, z) e o segmento orientado −−→

OP cujo ponto inicial e a origem e o pontofinal e P (x, y, z).

Comentario As duas operacoes algebricas definidas em Rn podem ser visualizadasquando n = 2 ou n = 3, utilizando segmentos orientados.

Apresentemos o caso planar, n = 2, para o caso espacial, n = 3, as construcoessao as mesmas. Desejamos registrar graficamente a operacao v+w, onde v = (3, 1)e w = (−2, 1). Nao podemos somar segmentos orientados quaisquer, mas podemosdefinir a soma de segmentos orientados quando o ponto final do primeiro e o pontoinicial do segundo, −−→OV + −−→

V P = −−→OP .

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1.2. O ESPACO VETORIAL RN

Para representar o vetor v podemos escolher o seg-mento orientado com pontos iniciais e finais 0(0, 0)e V (3, 1), respectivamente. Quanto ao vetor w po-demos escolher para representante o segmento ori-entado com pontos iniciais e finais V (3, 1) e P (1, 2),respectivamente. Sendo assim, a soma v + w e re-presentada por −→0P .

A representacao grafica e valida para a soma detres ou mais vetores. Se desejamos representar asoma u + v + w, coloca-se os representantes dosvetores de tal forma que o ponto final de um e oponto inicial do seguinte, −−→PQ+ −−→

QR+ −→RS = −→

PS.

Vejamos a representacao grafica da multiplicacao de um vetor por um escalar.Escolhamos v = (3, 1), λ1 = 2 e λ2 = −2.Se o representante escolhido para do vetor v for−−→PQ, onde P (a, b) e Q(c, d), o representante deλiv e o segmento orientado

−−→P ′Q′ com coordena-

das P ′(λia, λib) e Q′(λic, λid). Mais conveniente eescolher um representante para v na forma −−→

OR,com R(3, 1), pois os multiplos λiv sao graficamente registrados sobre uma mesmareta que contem a origem do plano Cartesiano.

Exercıcios propostos 1.2.1

1. Seguindo a notacao do livro texto, quais dos registros sao validos:

a) v(2, 1) b) P (2, 1) c) v = (2, 1) d) P = (2, 1) e) (2, 1) ∈ R2

f) (2, 1) ∈ E2 g) E2 = R2 h) P (2, 1) ∈ R2 i) −−→PQ ∈ R2 j) −−→

PQ ∈ E2

k) v = −−→PQ l) P ∈ E2 m) v ∈ R2 n) R2 ⊂ R3 o) P (2, 1) ∈ E2

2. Sejam v = (2,−1) e w = (3,−2) vetores em R2. Calcule 3v − w e v + 2w erepresente graficamente os vetores por segmentos orientados com ponto inicial O(0, 0).Represente-os com ponto inicial P (−2, 1).

3. Considere os pontos P (1,−1), Q(−3, 3) e R(2, 2) do plano Cartesiano.

a) Esboce os segmentos orientados −−→PQ e −−→QR e −−→

QQ.

b) Determine os vetores u, v e w de R2 representados pelos segmentos orientados−−→PQ, −−→QR e −−→

QQ. Qual a relacao entre os vetores representados por −−→PQ e −−→

QP .

c) Represente graficamente a soma u + v por um segmento orientado cujo pontoinicial e o ponto P e represente o vetor 2u com ponto final M(2, 2).

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4. A partir do esboco das representacoes por dos ve-tores u e v, como indicado em cada figura, deter-mine quais os outros vetores que estao represen-tados.

1.3 Combinacao linear e base canonica

Diz-se que um vetor w ∈ Rn e uma combinacao linear dos vetores v1, v2, ..., vk ∈Rn se existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R, chamados coeficientes da combinacaolinear, tais que w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk.

Exemplo 1.3.1 Dados os vetores v1, v2, v3 ∈ R2 onde v1 = (1, 1), v2 = (1, 2) ev3 = (1,−1). O vetor w = (−1, 1) e uma combinacao linear de v1 e v2 e v3 pois sea1 = −6, a2 = 4 e a3 = −1 verifica-se que w = −6v1 + 4v2 + v3.

O vetor u = (0,−1) tambem e uma combinacao linear de v1, v2 e v3 poisu = v1 − v2. Deverıamos escrever u = 1v1 + (−1)v2 + 0v3, mas, como sempre,simplificamos a escrita para tornar a leitura menos cansativa.

Exercıcio 1.3.1 Dados os vetores v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1) de R2, calcule o vetor wnas combinacoes lineares indicadas.

a)w = 3v1 − 4v2. b)w = −v2 + v2. c)w = 13v1 − 1

3v2. d)w = 0v1 + v2.

Exercıcio 1.3.2 Dados os vetores v1 = (−1, 2, 0) e v2 = (2, 1,−3) de R3, calcule ovetor w nas combinacoes lineares indicadas.

a)w = 3v1 − 4v2. b)w = −v2 + v2. c)w = 13v1 − 1

3v2. d)w = 0v1 + v2.

Comentario Para ilustrar a definicao, facamosuma analogia entre uma combinacao linear de veto-res e um conceito fısico. Dados dois vetores v1 e v2em R2, como no exemplo acima, eles determinamno plano Cartesiano duas direcoes, indicadas grafi-camente na figura como retas paralelas. Vamos su-por que essas sao as unicas direcoes possıveis nasquais podemos caminhar. Para partir da origeme chegar a um ponto W , no caso da figura, deve-mos percorrer uma trajetoria na direcao e sentidodeterminada por v1 cujo comprimento e 2 vezes ocomprimento de v1, seguida de uma trajetoria cujocomprimento e 7

5 na direcao e sentido determinado por v2. Isso e sugerido veto-rialmente com a combinacao linear w = 2v1 + 7

5v2. Nesse caso, nao importa se a

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1.3. COMBINACAO LINEAR E BASE CANONICA

trajetoria e feita em zig-zag ou nao, levando em conta o sentido positivo e negativodas direcoes no final teremos a mesma combinacao linear.Se consideramos apenas um unico vetor, v1 ∈ R2,ao dizermos que w ∈ R2 e uma combinacao li-near de v1 estamos apenas afirmando que w e ummultiplo de v1, em outras palavras, w = a1v1. Te-mos uma unica direcao no plano Cartesiano. Sendoassim, nem todos pontos do plano podem ser al-cancados partindo-se da origem, apenas aquelesque estao sobre a reta diretriz que passa pela ori-gem. Falta uma direcao transversal para para des-crever todas as trajetorias poligonais possıveis.

Definicao 1.3.1 Um subconjunto ordenado de n vetores β = v1, v2, ..., vn ⊂ Rn

e uma base se qualquer vetor w ∈ Rn e uma combinacao linear dos elementos de β.

A expressao ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento,e ele esta indexado por 1, um segundo elemento que esta indexado por 2, etc. Adefinicao de base da origem a um serie de perguntas de carater tecnico e pratico.

1. Existe base para o Rn?

2. Se w ∈ Rn e β e uma base, quais sao e como podemos calcular os coeficientesai’s da combinacao linear w = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn?

3. Quantas bases existem para o Rn?

4. Dado um subconjunto de n vetores β ⊂ Rn, qual um algorıtmo pratico parasabermos se ele e uma base?

A primeira pergunta tem resposta facil. Existe pelo menos uma base ordenadapara o Rn. O subconjunto de n vetores C = e1, e2, ..., en cujos elementos sao

e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), . . . en = (0, 0, ..., 1).

e uma base. O subconjunto C sera chamado de base canonica pelos seguintes mo-tivos. Dado um vetor w = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e imediato mostrar que w e umacombinacao linear do vetores de C e quais sao os coeficientes da combinacao linear:

w = (x1, x2, ..., xn) = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.

Exemplo 1.3.2 A base canonica do R2 e um conjunto formado por dois vetores,C = e1, e2, onde e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). O vetor v = (−√

3,−24) e uma

combinacao linear dos vetores da base canonica, e e facil determinar imediatamentequais os coeficientes da combinacao linear a1 e a2, v = −√

3e1 − 24e2.

9


Exemplo 1.3.3 Considere o vetor w = (2,−2, 4) ∈ R3. A base canonica C do R3 eformada por tres vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Veja a seguintesequencia de igualdades,

w = (2,−2, 4)= (2, 0, 0) + (0,−2, 0) + (0, 0, 4)= 2(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)= 2e1 − 2e2 + 4e3.

Portanto, na base canonica, as coordenadas do vetor sao os coeficientes da com-binacao linear!

Para a base canonica a segunda pergunta tem resposta rapida e precisa.

Afirmacao Ao escrevermos o vetor w ∈ Rn como uma combinacao linear dos ele-mentos da base canonia C, os coeficientes da combinacao linear sao unicos.

Se nao, vejamos. Seja w = (w1, w2, ..., wn) ∈ Rn. Escrevamos a combinacaolinear w = a1e1 + a2e2 + · · · + anen. Examine a sequencia de igualdades,

(w1, w2, ..., wn) = w= a1e1 + a2e2 + · · · + anen= a1(1, 0, ..., 0) + a2(0, 1, ..., 0) + · · · + an(0, 0, ..., 1)= (a1, 0, ..., 0) + (0, a2, ..., 0) + · · · + (0, 0, ..., an)= (a1, a2, ..., an).

Sendo assim, necessariamente valem as igualdades ai = wi para todo i = 1, ..., n.Temos concluıdo a demonstracao da Afirmacao.

Em particular, o vetor nulo, o = (0, 0, ..., 0), so pode ser escrito por uma unicacombinacao linear, a saber, o = 0e1 + 0e2 + · · · + 0en.

Exercıcio 1.3.3 Quantos elementos possui a base canonica do R4? Escreva-os.

1.4 Outras bases de Rn

Passemos a terceira pergunta da lista apresentada na secao anterior.

Existe(m) outra(s) base(s) ordenada(s) para o Rn?

Antecipemos a resposta. Sim, o Rn possui um numero infinito de bases ordena-das alem da base canonica! Mostrar a existencia de outras bases ordenadas estarelacionada com

determinantes de matrizes quadradas n× n e resolucoes de sistemas de equacoes lineares n× n.

10

1.4. OUTRAS BASES DE RN

Vejamos a relacao. Com um conjunto ordenado de n vetores β = v1, v2, ..., vn ⊂Rn, contruımos uma matriz quadrada n× n, matriz que denotaremos por

[v1, v2, ..., vn].

A notacao indica que as entradas da primeira coluna da matriz sao as coordenadas dovetor v1, as entradas da segunda coluna sao as coordenadas do vetor v2, etc. Observeque sendo [v1, v2, ..., vn] uma matriz quadrada, podemos calcular o determinante.

Exemplo 1.4.1 Vejamos dois exemplos que ilustram a construcao acima.

a) Seja β = v1, v2 ⊂ R2, onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2). Esse conjunto de doisvetores do R2 da origem a matriz quadrada 2 × 2

[v1, v2] =[

1 11 2

],

cujo determinante e det[v1, v2] = 1 = 0.

b) Seja β = v1, v2, v3 ⊂ R3, onde v1 = (1,−1, 3), v2 = (0, 1,−2) e v3 =(2,−3, 8). Esse conjunto de tres vetores do R3 da origem a matriz quadrada 3 × 3

[v1, v2, v3] =

1 0 2−1 1 −3

3 −2 8

,cujo determinante e det[v1, v2, v3] = 0.

O ponto a ressaltar diz respeito ao deteminante da matriz [v1, v2, ...vn] construıdacom os n vetores do conjunto ordenado β = v1, v2, ..., vn ⊂ Rn,

se det[v1, v2, ..., vn] = 0 entao β e uma base e se det[v1, v2, ..., vn] = 0 entao β nao e uma base.

Portanto, temos em maos um algorıtmo rapido e eficiente para determinarquando o conjunto β e, ou nao, uma base, bem como, construir bases para Rn.Examinaremos com um exemplo esse fato.

Exemplo 1.4.2 Seja β = v1, v2 ⊂ R2 onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2). Observe que

a) para u = (−1, 1) vale a combinacao linear u = −3v1 + 2v2,b) para v = (0,−1) vale a combinacao linear v = v1 − v2,c) para w = ( x, y) vale a combinacao linear w = (2x− y)v1 + (y − x)v2.

O item c) diz que o conjunto β de dois vetores e uma base pois qualquer vetorw = (x, y) do R2 e uma combinacao linear de v1 e v2 onde os coeficientes dacombinacao linear dependem das coordenadas do vetor, a1 = 2x− y e a2 = y − x.

Como foi determinado os coeficientes da combinacao linear para w = (x, y)?

11


Deixemos claro como a condicao do determinante nao ser zero, det[v1, v2] = 1 =0, implica que β = v1, v2 e uma base. O elo de ligacao entre os dois fatos e a regrade Cramer um metodo para resolucao de sistemas lineares n×n cuja demonstracaoencontra-se no ultimo capıtulo do texto.

Para mostrar que β e uma base, devemos mostrar que dado um vetor w =(x, y) ∈ R2 existem coeficientes a1 e a2 tais que

w = a1v1 + a2v2.

Escrevamos essa ultima igualdade em coordenadas,

(x, y) = (a1 + a2, a1 + 2a2)

Portanto, a igualdade w = a1v1 + a2v2 da origem a um sistema de equacoes li-neares com duas equacoes e duas incognitas, a1 e a2, escrito na forma usual oumatricialmente como

a1 + a2 = xa1 + 2a2 = y

(ou

[1 11 2

] [a1

a2

]=[xy

].)

A matriz principal do sistema e precisamente [v1, v2] e as matrizes auxiliares sao[w, v2] e [v1, w]. Explicitamente,

[v1, v2] =[

1 11 2

], [w, v2] =

[x 1y 2

], [v1, w] =

[1 x1 y

].

Como a matriz principal e quadrada com determinante nao igual a zero, podemosutilizar a Regra de Cramer para determinar as incognitas a1 e a2,

a1 =det[w, v2]det[v1, v2]

= 2x− y e a2 =det[v1, w]det[v1, v2]

= y − x.

Logo, w = (2x − y)v1 + (y − x)v2 e os coeficientes sao unicos pois sao as unicassolucoes do sistema. Observamos que so existe uma combinacao linear possıvel paraexpressar o vetor nulo, qual seja, o = (0, 0), e o = 0v1 + 0v2.

Teorema 1.4.1 (Regra de Cramer) Seja β = v1, v2, ..., vn ⊂ Rn um conjuntoordenado de n vetores. Se det[v1, v2, ..., vn] = 0 entao β e base. Mais precisamente,se o determinante for diferente de zero, entao cada vetor w ∈ Rn expressa-se comounica combinacao linear na forma w = a1v1 +a2v2 + · · ·+anvn onde os coeficientessao dados por

a1 =det[w, v2, ..., vn]det[v1, v2, ..., vn]

, a2 =det[v1, w, ..., vn]det[v1, v2, ..., vn]

, · · · an =det[v1, v2, ..., w]det[v1, v2, ..., vn]

;

Em particular, a unica combinacao linear com os elementos de β para expressar ovetor nulo tem coeficientes todos iguais a zero.

12

1.4. OUTRAS BASES DE RN

Prova Vamos supor que det[v1, v2, ..., vn] = 0. Dado w ∈ Rn ele pode serexpresso como uma combinacao linear do vetores de β como w = a1v1 +a2v2 + · · ·+anvn. Essa afirmacao encontra-se demonstrada no ultimo capıtulo do livro.

Para mostrar que os coeficientes sao aqueles indicados pelas formulas e facil. Porlinearidade do determinante temos que (veja na secao seguinte algumas propriedadesde determinantes que sao do conhecimentos do leitor desde o Ensino Medio)

det[v1, ...vi−1, w, vi+1, ..., vn] = Σnj=1aj det[vi, v2, ..., vi−1, vj , vi+1, ..., vn].

No membro direito, a unica parcela da soma que nao e nula e precisamente quandoj = i, pois para ındices diferentes de j duas colunas da matriz sao iguais. Portanto,

det[v1, ...vi−1, w, vi+1, ..., vn] = ai det[vi, v2, ..., vi−1, vi, vi+1, ..., vn].

Como o determinante da matriz [v1, v2, ..., vn] nao e zero, concluımos que ai neces-sariamente e como descrito no enunciado.

Os coeficientes para expressar o vetor nulo o = (0, 0, ..., 0) como combinacaolinear necessariamente deve ser ai = 0, para todo i, pois o numerador da fracao e odeterminante de uma matriz com uma coluna igual a zero.

Exemplo 1.4.3 Mostremos que β = v1, v2, v3 ⊂ R3 e uma base, onde v1 =(1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1). Basta considerar a matriz

[v1, v2, v3] =

1 1 01 0 10 1 1

,

e calcular seu determinante det[v1, v2, v3] = −2. Como o determinante nao e zero,segue que β e uma base do R3.

Expressemos w = (3,−2, 3) por uma combinacao linear dos vetores de β, w =a1v1 + a2v2 + a3v3. Substituindo obtemos

(3,−2, 3) = (a1 + a2, a1 + a3, a2 + a3),

de onde segue o sistema lineara1 + a2 = 3a1 + a3 = −2

a2 + a3 = 3

(ou

1 1 01 0 10 1 1

a1

a2

a3

=

3−2

3

.)Para calcular os coeficientes a1’s, precisaremos das matrizes auxiliares,

[w, v2, v3] =

3 1 0−2 0 1

3 1 1

, [v1, w, v3] =

1 3 01 −2 10 3 1

, [v1, v2, w] =

1 1 31 0 −20 1 3

,

13


e de seus determinantes,

det[w, v2, v3] = 2, det[v1, w, v2] = −8, det[v1, v2, w] = 2.

Agora, podemos calcular os coeficientes procurados pela regra de Cramer,

a1 = det[w,v2,v3]det[v1,v2,v3] = 1, a2 = det[v1,w,v2]

det[v1,v2,v3]= −4, a3 = det[v1,v2,w]

det[v1,v2,v3] = 1.

Portanto, w = (3,−2, 3) expressa-se como a combinacao linear w = v1 − 4v2 + v3.

Mais geralmente, mostre que um vetor w = (x, y, z) expressa-se nessa base comoa combinacao linear w = (−y + z)v1 + (−x+ y − z)v2 + (x− y − z)v3.

A demonstracao da recıproca da regra de Cramer ficara para uma secao futurapois envolve outros conceitos. Mas de qualquer forma antecipamos a informacao:quando o conjunto β = v1, v2, ..., vn ⊂ Rn e uma base entao det[v1, v2, ..., vn] = 0.


1. Calcule as combinacoes lineares onde v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) e v3 = (0, 0, 1) saovetores do R3.a) w = 3v1 + 0v2 − v3. b) w = xv1 + (y − 2x)v2 + (x− 2y + z)v3.c) w = 0v1 + 0v2 + 0v3. w = 0v1 + 1v2 + 0v3.

2. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = v1, v2 ⊂ R2 e uma base. Caso seja,expresse w = (x, y) por uma combinacao linear com vetores da base.

a) v1 = (3,−1), v2 = (1, 2). b) v1 = (2, 1), v2 = (1, 2).c) v1 = (−1, 2), v2 = (2,−4). d) v1 = (1, 0), v2 = (1,−1).

3. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = v1, v2, v3 ⊂ R3 e uma base. Caso seja,expresse w = (x, y, z) por uma combinacao linear de vetores da base.

a) v1 = (0, 3,−1), v2 = (1, 1, 2), v3 = (1, 1, 1).b) v1 = (2, 1, 1), v2 = (3,−1, 2), v3 = (0, 0, 0).c) v1 = (1, 1, 2), v2 = (2, 0, 0), v3 = (0, 1, 1).d) v1 = (1, 1, 1), v2 = (3,−2, 1), v3 = 2v1 − v2.

4. Complete o conjunto de vetores para obter uma base do espaco indicado.

a) α = v1, v2 ⊂ R2, onde v1 = (3, 4).

b) β = v1, v2, v3 ⊂ R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 0).

b) γ = v1, v2, v3 ⊂ R3, onde v1 = (−1,−3, 1).

5. Se β = v1, v2, ..., vn uma base de Rn. Escreva vi como uma combinacao linear dosvetores de β. Escreva o vetor nulo o como uma combinacao linear dos vetores de β.

14

1.5. DETERMINANTES

1.5 Determinantes

A tecnica basica para estudar problemas de Algebra Linear e a resolucao de sistemaslineares. Existem muitos metodos para resolucao: metodo de Gauss, escalonamentode matrizes, substituicao, etc. Nesse texto utilizaremos, preferencialmente, a regrade Cramer, metodo mais claro e apropriado para o estudo dos espacos R2 e R3.Como necessitaremos de determinantes para a resolucao de sistemas lineares faremosuma breve apresentacao do topico ficando as demonstracoes no capıtulo final.

No que segue o sımbolo [A] = [v1, v2, ..., vk ] indica uma matriz quadrada k ×n onde as colunas sao as coordenadas de um vetor vi ∈ Rn. Nessa notacao amatriz identidade n×n escreve-se como [I] = [e1, e2, ..., en], onde ei indica o i-esimoelemento da base canonica do Rn.

O determinante de uma matriz 2 × 2 Sejam v1 = (a, b) e v2 = (c, d) veto-res do R2. Definimos

det[v1, v2] = det[a cb d

]= ad− bc.

Exercıcio 1.5.1 Dados os vetores v1 = (1,−2) e v2 = (4, 5) em R2. Verifique asigualdades.

a) det[e1, e2] = 1. b) det[v1, v2] = 13. c) det[v1, v1] = 0 = det[v2, v2].

O item a) mostra que o determinante da matriz identidade e igual a 1. O item c)ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz sao iguais, o determinantee zero. Agora, considere o vetor w = (−3, 1). Verifique as igualdades.

e) det[v1, v2 + 3w] = det[v1, v2] + 3det[v1, w].

f) det[v1 − 2w, v2] = det[v1, v2] − 2 det[w, v2].

Com isso, ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixamos uma coluna.

O determinante de uma matriz 3 × 3 e definido pela regra conhecida comodesenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. A partir do determinante dematrizes 2 × 2 define-se o determinante de matrizes 3 × 3. Sejam v1 = (a, b, c),v2 = (d, e, f) e v3 = (g, h, i), entao

det[v1, v2.v3] = det

a d gb e hc f i

= adet

[e hf i

]− bdet

[d gf i

]+ cdet

[d ge h

].

15


Certamente o leitor aprendeu algum algorıtmo na Escola para calcular o deter-minante de uma matriz 3 × 3. Todas elas sao variacoes da definicao acima, utilizea mais confortavel, a resposta e a mesma.

Exercıcio 1.5.2 Dados os vetores v1 = (0,−2, 1) e v2 = (1, 1, 0) e v3 = (3, 1, 1) emR3. Verifique as igualdades.

a) det[e1, e2, e3] = 1. b) det[v1, v2, v3] = 1. c) det[v1, v1, v3] = 0 = det[v1, v2, v2].

O item a) mostra que o determinante da matriz identidade e igual a 1. O item c)ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz sao iguais, o determinantee zero. Agora, considere o vetor w = (1, 1, 2). Verifique as igualdades.

e) det[v1, v2 − w, v3] = det[v1, v2, v3] − det[v1, w, v3].

f) det[v1, v2, v3 + 2w] = det[v1, v2, v3] + 2det[v1, v2, w].

Com isso ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixarmos duas colunas.

O determinante de uma matriz n× n O determinante e definido como umafuncao dos espaco das matrizes n× n nos reais possuindo tres propriedades:

1. det[e1, e2, ..., en] = 1; (determinante da identidade)

2. det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = 0 se vi = vi+1; (colunas adjacentes iguais)

3. det[v1, ..., vi + λw, ..., vn] = det[v1, ..., vi, ..., vn] + λdet[v1, ..., w, ...vn]

para qualquer w ∈ Rn e qualquer λ ∈ R. (multilinearidade)

Embora seja enfadonho, verifica-se que determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3possuem essas propriedades. Para definirmos o determinante de matrizes 4 × 4utiliza-se o determinante de matrizes 3 × 3 pelo desenvolvimento de Laplace pelaprimeira coluna. Deixamos para leitura complementar a construcao do determinantede matrizes n× n com n ≥ 4.

Um teorema central da teoria estabelece uma relacao entre o determinante serigual a zero e combinacoes lineares de colunas (ou de linhas).

Teorema 1.5.1 Seja [A] = [v1, v2, ..., vn] uma matriz quadrada n×n. As seguin-tes afirmacoes sao equivalentes:

1. det[A] = 0;

2. existe um vetor coluna que e combinacao linear dos outros vetores colunas;

3. existe um vetor linha que e combinacao linear dos outros vetores linhas.

16

1.6. SISTEMA LINEAR E COMBINACAO LINEAR

Exercıcio 1.5.3 Mostre que cada matriz tem determinante nulo e justifique.

a)[

1 32 6

], b)

2 1 3−1 3 2

1 3 4

, c)

1 0 21 −1 33 −2 8

.

Proposicao 1.5.1 Valem as seguintes afirmacoes sobre o determinante de umamatriz [A] = [v1, v2, ..., vn].

1. Se algum vi e o vetor nulo entao det[v1, v2, ..., vn] = 0.

2. det[v1, ..., vi, ..., vj , ..., vn] = 0, se vi = vj, i = j.

3. det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = −det[v1, ...vi+1, vi, ...vn].

Prova 1. Se vi = 0, ele e uma combinacao linear dos outros vetores colunas, a saber,vi = 0v1 + · · · + 0vi−1 + 0vi+1 + · · · + 0vn. Isso implica que o determinante e iguala zero.

2. O argumento e o mesmo. Se duas colunas sao iguais, digamos, vi = vj ,o vetor coluna vi e uma combinacao linear dos outros vetores colunas, a saber,vi = 0v1 + · · · + 0vi−1 + 0vi+1 + · · · + 1vj + · · · + 0vn.

3. Observe que det[v1, ..., vi + vi+1, vi + vi+1, ..., vn] = 0, pois duas colunas adja-centes sao iguais. Utilizando a linearidade do determinante mostramos a igualdadedesejada.


1. Calcule o determinante de cada matriz.

a) [A] =[

2 −24 1

]. b) [A] =

2 0 2−1 3 1−1 2 0

. c) [A] =

1 3 41 −1 01 −2 −1

.

d) [N ] =

1 0 0 12 1 −1 20 −2 0 −21 0 2 3

. e) [N ] =

1 2 31 2 11 0 1

.2. Sejam v e w vetores do R2. Sabendo-se que det[v, w] = −2, calcule

a) det[2v, w]. b) det[−3v, 4w]. c) det[w, v]. d) det[v + w,w].

1.6 Sistema linear e combinacao linear

E conveniente dividir o estudo de sistemas lineares com m equacoes e n incognitasem tres casos:

17


1o o numero de equacoes e igual ao numero de incognitas;

2o o numero de equacoes e menor que o numero de incognitas;

3o o numero de equacoes e maior que o numero de incognitas.

Cada caso dependera de um especıfico determinante ser igual a zero, ou nao.

Exemplo 1.6.1 Dado o sistema escrito na forma usual ou matriciamente comoa1 + a2 = 1a1 + a3 = 2

a2 + a3 = 0

(ou

1 1 01 0 10 1 1

a1

a2

a3

=

120

.)A primeira questao e sobre o significado da expressao ”resolver o sistema”. A

questao sera colocada em termos de combinacao linear, ponto de vista que nosinteressa. Consideramos o vetor w = (1, 2, 0) ∈ R3 e procuramos determinar osescalares a1, a2 e a3 tais que w e a combinacao linear com esses coeficientes,

w = a1v1 + a2v2 + a3v3,

onde os vetores v1’s sao os vetores coluna da matriz dos coeficientes,

v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 0).

Como det[v1, v2, v3] = −1 = 0 o conjunto ordenado β = v1, v2, v3 e uma basede R3 e pela regra de Cramer determinamos os valores a1 = 3, a2 = −1 e a3 = 1.

Exemplo 1.6.2 Dado o sistema escrito na forma usual ou matriciamente comoa1 + 2a2 = 2a1 + 2a2 + a3 = −1

(ou

[1 2 01 2 1

] a1

a2

a3

=[

2−1

].)

A questao sobre o termo ”resolver o sistema” e a mesma. Dado o vetor w =(2,−1) ∈ R2 desejamos determinar escalares a1, a2 e a3 tais que w e uma combinacaolinear com esses coeficientes,

w = a1v1 + a2v2 + a3v3,

onde os vetores v1’s sao os vetores coluna da matriz dos coeficientes,

v1 = (1, 1), v2 = (2, 2), v3 = (0, 1).

Nao podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer pois a matriz principal[A] = [v1, v2, v3] nao sendo quadrada, nao existe determinante. E necessario umaadaptacao. Escolhemos a maior submatriz quadrada de [A] com determinante di-ferente de zero e resolvemos o subsistema correspondente. Expliquemos melhor oprocedimento. Existem tres submatrizes quadradas

18


[v1, v2] =[

1 21 2

], [v1, v3] =

[1 01 1

], [v2, v3] =

[2 02 1

],

e somente as duas ultimas tem determinante diferente de zero. Resolvamos o sub-sistema correspondene a segunda submatriz cujo determinante e det[v1, v3] = 1,

a1 + = 2 − 2a2

a1 + a3 = −1 − 2a2

(ou

[1 01 1

] [a1

a3

]=[

2 − 2a2

−1 − 2a2

].)

Para calcular os coeficientes pela regra de Cramer precisaremos das matrizes auxi-liares,

[w − a2v2, v3] =[

2 − 2a2 0−1 − 2a2 1

], [v1, w − a2v2] =

[1 2 − 2a2

1 −1 − 2a2

],

e de seus determinantes,

det[w − a2, v3] = 2 − 2a2, det[v1, w − a2v2] = −3.

Agora, calculando os coeficientes pela regra de Cramer encontramos

a1 = det[w−a2v2,v3]det[v1,v3] = 2 − 2a2, a3 = det[v1,w−a2v2]

det[v1,v3] = −3.

Portanto, w = (2,−1) expressa-se como a combinacao linear

w = (2 − 2a2)v1 + a2v2 − 3v3.

Isto e, nao existe unicidade de combinacao linear, para cada valor de a2 escolhidoa combinacao linear para expressar w e diferente:

w = 2v1 + 0v2 − 3v3 se a2 = 0 w = 0v1 + 1v2 − 3v3 se a2 = 1 w = 3v1 − 1v2 − 3v3 se a2 = −1

Exemplo 1.6.3 Nos dois exemplos acima, os sistemas sao soluveis. No primeiroexemplo existe apenas uma solucao, isto e, uma unica combinacao linear para ex-pressar o vetor w. No segundo exemplo existem infinitas solucoes, o vetor w podeser expresso por uma infinidade de combinacoes lineares diferentes.

Quando o numero de equacoes e maior que o numero de incognitas, o sistemalinear pode ser soluvel, ou nao. Dado o sistema 3 × 2,

a1 + 2a2 = 1a1 + a2 = −12a1 − 3a2 = −2

(ou

1 21 12 −3

[ a1

a2

]=

1−1−2

.)Em liguagem vetorial, desejamos saber se existem escalares a1 e a2 que sejam

os coeficientes de uma combinacao linear dos vetores colunas para expressar o vetorw = (1,−1, 2) ∈ R3, w = a1v1 + a2v2, onde v1 = (1, 1, 2) e v2 = (2, 1,−3).

Nao podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer pois a matriz princi-

19


pal [A] = [v1, v2] nao e quadrada. Procedemos da mesma forma, escolhemos amaior submatriz quadrada de [A] com determinante diferente de zero e resolvemoso subsistema correspondente. Existem tes submatrizes quadradas

[A]1 =[

1 21 1

], [A]2 =

[1 22 −3

], [A]3 =

[2 12 −3

],

todas elas com determinantes diferentes de zero. Resolvamos o subsistema corres-pondente a primeira submatriz cujo determinante e det[A]1 = −3, (a ultima equacaoesta por enquanto suprimida)

a1 + 2a2 = 1a1 + a2 = −1

(ou

[1 21 1

] [a1

a2

]=[

1−1

].)

Para calcular os coeficientes pela regra de Cramer precisaremos das matrizesauxiliares e de seus determinantes,

det[

1 2−1 1

]= 3, det

[1 11 −1

]= −2,

obtendo a1 = 1 e a2 = 23 . Mas ainda resta saber se esses valores encontrados

satisfazem a equacao que foi suprimida do sistema. Obviamente nao satisfaz, poiscom uma substituicao obtemos o absurdo 0 = 2. Em resumo, nao podemos expressaro vetor w = (1,−1, 2) por uma combinacao linear de v1 = (1, 1, 2) e v = (2, 1,−3).

Agora observe que se perguntarmos se u = (1,−1, 0) e uma combinacao lineardos vetores v1 e v2 a resposta e sim. O sistema linear que devemos estudar e

a1 + 2a2 = 1a1 + a2 = −12a1 − 3a2 = 0

(ou

1 21 12 −3

[ a1

a2

]=

1−1

0

.)A resolucao e identica aquela feita anteriormente, encontrando os valores a1 = 1e a2 = 2

3 . Ao substituirmos na ultima equacao nao obtemos contradicao alguma,0 = 0. Logo, u = a1v1 + a2v2 e essa combinacao linear e unica.

Exemplo 1.6.4 Examinemos sistemas lineares n× n cujo determinante da matrizdos coeficientes e zero.

a1 + a2 = 1a1 + a3 = 22a1 + a2 + a3 = −4

(ou

1 1 01 0 12 1 1

a1

a2

a3

=

12

−4

.)Nesse caso det[v1, v2, v3] = 0. Tambem nao podemos utilizar regra de Cramer,

pois nao existe divisao por zero. Como sabemos, deve existir um vetor linha dodeterminante que e combinacao linear dos outros vetores linhas. Nesse caso v3 =v1 + v2. Resolvemos o subsistema obtido por supressao dessa equacao,

20


a1 + a2 = 1a1 + a3 = 2

(ou

[1 1 01 0 1

] a1

a2

a3

=[

12

].)

Tendo a solucao do subsistema verificamos se ela satisfaz a equacao eliminada.

Um caso particular, mas importante, e um sistema linear homogeneo.

Um sistema linear homogeneo sempre tem solucao!

A justificativa para essa afirmacao e bem simples. Um sistema linear homogeneotem origem na pergunta: dados os vetores v1, v2, ..., vk ∈ Rn existem escalaresa1, a2, ..., ak tais que o = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk? E claro que a resposta e sim,basta tomar a1 = a2 = · · · = ak = 0. A pergunta nos leva a um sistema linear comn equacoes e k incognitas. Resta estudar se essa e, ou nao, a unica solucao.


1. Resolva os sistemas em duas incognitas, coloque o problema em linguagem de com-binacao linear e estude a unicidade da combinacao linear.

a)

2a1 + 2a2 = 56a1 − a2 = 1 b)

2a1 − 6a2 = 04a1 + 5a2 = 03a1 + 4a2 = 0

c)

2a1 − 6a2 = 04a1 + 5a2 = 43a1 + 4a2 = 1

2. Resolva os sistemas em tres incognitas, coloque o problema em linguagem de com-binacao linear e estude a unicidade da combinacao linear.

a)

2a1 + 2a2 + a3 = 56a1 − a2 + 2a3 = 12a1 − 4a2 = 0

b)

2a1 − 6a2 − a3 = 04a1 + 5a2 + 3a3 = 11 c)

2a1 − a2 + a3 = 0a1 − a3 = 0

2a1 − a2 + a3 = 0

3. Se possıvel, escreva o vetor w ∈ R2 como combinacao linear de v1 = (1, 1), v2 = (2, 1)e v3 = (1,−1) e estude se existe unicidade de combinacao linear ou nao.a) o = (0, 0) b)w = (0, 1) c)w = (2,−3) d)w = v1 e)w = (−1, 1)

4. Se possıvel, escreva o vetor w ∈ R3 como combinacao linear de v1 = (1, 1, 1), v2 =(2, 1, 0) e estude se existe unicidade de combinacao linear ou nao.a) o = (0, 0, 0) b)w = (1, 2, 1) c)w = (1, 2, 3) d)w = v2 d)w = (4, 2,−1)

5. Se possıvel, escreva cada vetor w ∈ R3 como combinacao linear de v1 = (1, 1, 1),v2 = (2, 1, 0), v3 = (0, 1, 2) estude se existe unicidade de combinacao linear ou nao.a)w = (1, 2, 3) b)w = (1, 2, 1) c)w = (0, 0, 0) d)w = v3 d)w = (4, 2,−1)

6. Sejam v1 = (3, 1), v2 = (−1, 2) e v3 = (0, 7) vetores do R2

a) Mostre que β = v1, v2 e uma base do R2.b) Mostre que todo vetor (x, y) ∈ R2 escreve-se como uma combinacao linear dos

vetores de γ = v1, v2, v3, mas nao existe apenas uma combinacao linear paraexpressar o vetor.

21


c) Mostre que existem vetores de R2 que nao sao escritos como combinacao lineardo vetor de α = v1.

1.7 Leitura complementar

1. Definicao de Espaco Vetorial Um espaco vetorial real consiste de

I Um conjunto V cujos elementos sao chamados de vetores;

II O corpo R cujos elementos sao chamados de escalares;

III Uma operacao chamada de adicao de vetores em que cada par de vetoresu, v ∈ V e associado ao vetor u + v ∈ V , chamado de soma de u e v,satisfazendo os seguintes axiomas:

a) a adicao e comutativa, u+ v = v + u;b) a adicao e associativa, (u+ v) + w = u+ (v + w);c) existe um unico elemento 0 tal que v + 0 = v para todo v ∈ V ;d) para cada vetor v ∈ V existe um unico vetor −v ∈ V tal que v +

(−v) = 0;

IV Uma operacao chamada de multiplicacao por escalar em que um vetorv ∈ V e um escalar λ ∈ R sao associados ao vetor λv ∈ V , chamado deproduto de v por λ, satisfazendo os seguintes axiomas:

a) 1v = v para todo v ∈ V ;b) a multiplicacao por escalar e associativa, λ1(λ2v) = (λ1λ2)v;c) a multiplicacao por escalar e distributiva em relacao a adicao de

vetores, λ(u+ v) = λu+ λv;d) a multiplicacao por escalar e distributiva em relacao a adicao de

escalares, (λ1 + λ2)v = λ1v + λ2v;

2. Determinante de matrizes n × n Seja [A] uma matriz quadrada n × n.Indicamos por [A]ji a ji -esima matriz reduzida de [A], isto significa que amatriz [A]ji e a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [A] por supressao daj−esima linha e da i-esima coluna.Por exemplo, uma matriz 3 × 3 tem nove ma-trizes reduzidas. Seja [A] = [v1, v2, v3], ondev1 = (a, b, c), v2 = (d, e, f) e v3 = (g, h, i),entao tres delas sao obtidas da seguinte forma

[A] =

a d gb e hc f i

[A]11 =

[e hf i

], [A]21 =

[d gf i

], [A]31 =

[d ge h

].

22

1.7. LEITURA COMPLEMENTAR

O determinante de [A] foi definido utilizando-se essas submatrizes 2×2 e umaconstrucao chamada de desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna,

det[A] = (−1)1+1adet[A]11 + (−1)2+1bdet[A]21 + (−1)3+1cdet[A]31.

Essa e a regra para definirmos o determinante de uma matriz n×n conhecendo-se o determinante para matrizes (n − 1) × (n − 1). Se [A] = [v1, v2, ..., vn],onde v1 = (v1

1 , v21 , ..., v

n1 ) definimos

det[A] = (−1)1+1v11 det[A]11 + (−1)2+1v2

1 det[A]21 + · · · + (−1)n+1vn1 det[A]n1.

Respostas e sugestoesSecao 1.2

1) V=valido, N=nao valido.a) N. b) N. c) V. d) V. e) V. f) N. g) N. h) N.i) N. j) N. k) N. l) V. m) V. n) N. o) V.

2) 3v −w = (3,−1) e v + 2w = (8,−5). Representantes com ponto inicial a origem sao,respectivamente, −→

OA e −−→OB, onde A(3,−1) e B(8,−5). Representantes com ponto

inicial P (−2, 1) sao, respectivamente, −→PR e −→PS, onde R(1, 0) e S(6,−4).

3) b) Sao representantes, respectivamente, de u = (−4, 4), v = (5,−1) e w = (0, 0). Osegmento orientado −−→

QP representa −u.c) A soma u + v e representado por −→

PT onde T (2, 2) e 2u e representado por −−→NM

onde N(10,−6).

4) Observe que as diagonais de um paralelogramo intercetam-se no ponto medio.

Secao 1.4

1) a) w = (3, 6, 8). b) w = (x, y, z). c) w = (0, 0, 0). d) w = v2.

2) Sera uma base de R2 se det[v1, v2] = 0. Somente os vetores em c) nao formam umabase.a) (x, y) = −x+2y

7 v1+ x+3y7 v2. b) (x, y) = 2x−y

3 v1+ 2y−x7 v2. d) (x, y) = (x−y)v1−yv2.

3) Sera uma base de R3 se det[v1, v2, v3] = 0. Somente os vetores em a) e c) formamuma base.

4) a) Qualquer vetor v2 = (a, b) tal que det[v1, v2] = 0, por exemplo, v2 = (−2, 1).b) Qualquer vetor v3 = (a, b, c) tal que det[v1, v2, v3] = 0. c) A solucao segue omesmo roteiro.

5) a) vi = 0v1 + · · · + 1vi + · · · + 0vn. b) o = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn.

Secao 1.5

1) a) det[A] = 10. b) det[A] = −2. c) det[A] = −1. d) det[A] = 0 pois o ultimovetor coluna e combinacao linear dos outros vetores colunas, v4 = v1 + v2 + v3. e)det[A] = −4.

23


2) a) det[2v, w] = −4. b) det[−3v, 4w] = 24. c) det[w, v] = 2. d) det[v + w,w] = −2.

Secao 1.6

1) a) Combinacao linear em R2. Expressar o vetor w = (5, 1) como combinacao linear dev1 = (2, 6) e v2 = (2,−1), w = a1v1 + a2v2. E possıvel pois a matriz dos coeficientesnao e nula, det[v1, v2] = −14. Utilizando regra de Cramer encontramos a1 = 1

2 ea2 = 2. A combinacao linear e unica.b) Combinacao linear em R3. Expressar o vetor nulo o = (0, 0, 0) como combinacaolinear de v1 = (2, 4, 3) e v2 = (−6, 5, 4), o = a1v1 + a2v2. E claro que a1 = 0 ea2 = 0 sao solucoes. Para encontra-los, devemos suprimir uma equacao, por exemploa ultima pois o determinante da matriz dos coeficientes nao e igual a zero, resolver osubsistema por regra de Cramer, encontrando os valores a1 = 0 e a2 = 0. Verificamosque esses valores satisfazem a equacao suprimida. A combinacao linear e unica.c) Combinacao linear em R3. Escrever o vetor w = (0, 4, 1) como combinacao linear dev1 = (2, 4, 3) e v2 = (−6, 5, 4), w = a1v1 + a2v2. Para encontra-los, devemos suprimiruma equacao, por exemplo a ultima pois o determinante da matriz dos coeficientesnao e igual a zero, resolver o subsistema pela regra de Cramer, encontrando os valoresa1 = 12

17 e a2 = 417 . Verificamos que esses valores nao satisfazem a equacao suprimida.

Nao podemos expressar w como combinacao linear de v1 e v2.

2) a) Combinacao linear em R3. Expressar o vetor w = (5, 1, 0) como combinacao linearde v1 = (2, 6, 2) e v2 = (2,−1,−4) e v3 = (1, 2, 0), w = a1v1 + a2v2 + a3v3. Comodet[v1, v2, v3] = 2 = 0, os vetores formam uma base de R3. Pela regra de Cramer epossıvel encontrar uma unica expressao para o vetor w como combinacao linear dev1, v2 e v3.b) Combinacao linear em R2. Expressar o vetor w = (0, 11) como combinacao linearde v1 = (2, 4) e v2 = (−6, 5) e v3 = (−1, 3), w = a1v1 + a2v2 + a3v3. Para encontra-los, devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determinante diferente dezero, por exemplo [v1, v2] (formam uma base de R2) resolver o subsistema w−a3v3 =a1v1 + a2v2, por regra de Cramer, encontrando os valores que dependem de a3, asaber, w = 66−a3

34 v1 + 22−6a334 v2. Logo, para cada valor de a3, existe uma combinacao

linear diferente para expressar w, nao existe unicidade de combinacao linear.c) Combinacao linear em R3. Expressar o vetor nulo o = (0, 0, 0) como combinacaolinear de v1 = (2, 1, 2) e v2 = (−1, 0,−1) e v3 = (1,−1, 1), w = a1v1 + a2v2 + a3v3.Como det[v1, v2, v3] = 0, (v3 = v1 − 3v2) nao podemos utilizar imediatamente a regrade Cramer. Logo, devemos considerar a maior submatriz quadrada com determinantediferente de zero, e resolver o subsistema. Uma das solucoes e 0 = a3v1+3a3v2+a3v3.Nao existe unicidade de combinacao linear.

3) Todos os vetores sao expressos por uma por uma combinacao linear dos vetores v1,v2 e v3, mas nao existe unicidade de combinacao linear.

4) Os vetores dos itens a), c) e d) sao expressos de maneira unica por uma combinacaolinear de v1 e v2. Os vetores dos ıtens b) e e) nao podem ser expressos.

5) Como det[v1, v2, v3] = 0 os tres vetores formam uma base do R3. Logo, qualquervetor e expresso de maneira unica por uma combinacao linear de v1, v2 e v3.

24

Capıtulo 2

Geomeria AnalıticaComo aplicacao da teoria ja vista faremos uma breve apresentacao de GeometriaAnalıtica com tratamento vetorial. Destacaremos as equacoes de retas e planos emR2 e R3 em cujas construcoes serao utilizadas o conceitos de area e volume.

2.1 Areas e volumes

Dentre as muitas utilidades do determinante, existe uma interpretacao geometricabastante util.

Area de paralelogramo Fixados os vetores u = (1, 1) e v = (2, 5) em R2,podemos construir um paralelogramo OUV P num plano Cartesiano da seguinteforma. As coordenadas dos vertices sao O(0, 0), U(1, 1), V (2, 5) e P (3, 6). Observeque os segmentos orientados −−→

OU e −−→V P sao dois representantes do vetor u e os

segmentos orientados −−→OV e −−→

UP sao dois representantes do vetor v. Calculemos odeterminante det[u, v],

det[u, v] = det[

1 21 5

]= 3.

O valor obtido, 3, e definido como o valor da area do paralelogramo, OUV P , cons-truıdo com os segmentos orientados que representam os vetores u e v.

Geralmente. Aos vetores u = (u1, u2) e v =(v1, v2) em R2, associamos um parelogramo numplano Cartesiano, OUV P , cujos vertices saoO(0, 0), U(u1, u2), V (v1, v2) e P (u1+v1, u2+v2).Observe que os segmentos orientados −−→

OU e −−→V P

sao dois representantes do vetor u e os segmentosorientados −−→

OV e −−→UP sao dois representantes do

vetor v. O valor absoluto do

25

CAPITULO 2. GEOMERIA ANALITICA

determinante da matriz cujas entradas sao as coordenadas dos vetores como indicadoanteriormente,

|det[u, v]|,e definido como o valor da area do paralelogramo. Quando o determinante e nulo,significa que o paralelogramo e degenerado, nao tem o comprimento ou nao temaltura. Mais ainda, a area de um paralelogramo obtido por transposte paralelodaquele construıdo com um dos vertices na origem O(0, 0) tem a mesma area.

Observe que uma das diagonais do paralelogramo representa o vetor soma u+v.

Exercıcio 2.1.1 Dados os vetores v = (2,−1) e w = (3, 3) em R2. Determine ooutro vertice de um paralelogramo no plano Cartesiano E2 conhecendo-se os tresvertices O(0, 0), V (2,−1) e W (3, 3). Calcule a sua area.

Determine os vertices do paralelogramo QRST , onde Q(1,−2) e os segmentosorientados −−→

QR e −→QS representam os vetores, v e w, respectivamente. Calcule sua

area.

Volume de paralelepıpedo Da mesma forma, dados tres vetores do R3, diga-mos que sejam u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). Com esses tresvetores podemos construir uma matriz quadrada 3× 3 de tal modo que as entradaspor colunas sejam as coordenas dos vetores,

[u, v,w] =

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

.O valor absoluto do determinante dessa matriz,|det[u, v,w]|, tambem admite uma interpretacaogeo-

metrica

similar. Por definicao, ele e o volume de um paralelepıpedo do espaco CartesianoE2, construıdo de tal forma que suas arestas sao obtidas pelo transporte paralelodos segmentos orientados representando os tres vetores. Observe que uma diagonaldo paralelepıpedo representa a soma dos tres vetores, u+ v + w.

Exercıcio 2.1.2 Dados os vetores u = (1, 0, 2), v = (2, 1, 1) e w = (−1, 3, 3) emR3. Determine os outros vertices de um paralelepıpedo no espaco Cartesiano E3

conhecendo-se os quatro vertices O(0, 0, 0), U , V e W . Calcule o seu volume.


1. Esboce o paralelogramo com os vertices P , Q, R e S do plano Cartesiano e calculesua area, quando

26

2.2. RETAS E PLANOS I

a) P (0, 0), Q(1, 2), R(1, 3) e S(2, 5). b) P (1, 1), Q(3, 2), R(7, 7) e S(5, 6).

2. Esboce um paralelogramo no plano Cartesiano associado aos vetores v, w ∈ R2, ondev = (1, 2) e w = (1, 3) e calcule sua area.

3. Sejam v, w ∈ R2, onde v = (−1, 2) e w = 2v. Calcule e interprete, geometricamente,o valor do determinante det[v, w].

4. Sejam u, v, w ∈ R3, onde u = (−1, 2, 1) e v = (2, 1, 1) e w = −u + 2v. Calcule einterprete, geometricamente, o valor do determinante det[u, v, w].

5. Considere os pontos do plano Cartesiano P (1, 1), Q(3,−3) e R(5,−2).

(a) Esboce os pontos e determine os vetores u e v representados pelos segmentosorientados −−→

PQ e −−→QR, respectivamente.

(b) Represente graficamente os vetores u+ v e u− v por segmentos orientados componto inicial P .

(c) Determine um ponto S(a, b) com a > 0 tal que PQRS seja um paralelogramo ecalcule sua area.

(d) De as coordenadas dos pontos A e B sobre o segmento QR tal que esses pontosdividem o segmento QR em tres partes iguais.

6. Calcule o volume de um paralelepıpedo do espaco Cartesiano cujas arestas sao seg-mentos orientados que representam os vetores u = (1, 1, 1), v = (−2, 1, 4) e w =(1, 0, 4). Qual o motivo para dizermos de um e nao do?

2.2 Retas e planos I

Nesse texto, nao estudaremos Geometria Analıtica, mas lancaremos mao de unspoucos resultados dessa disciplina que sao do conhecimento de todos com a finali-dade de ilustrar a teoria. No desenvolvimento do texto nos depararemos com variossubconjuntos Γ ⊂ R2 definidos por uma equacao linear.

Retas em E2 Por exemplo, um conjunto definidona forma Γ = (x, y) ∈ R2;x − 3y = 0 tem comoimagem pela aplicacao P : R2 → E2, uma reta quecontem a origem do plano Cartesiano cuja equacaolinear e a mesma, P (x, y) ∈ E2;x − 3y = 0.A identificacao e tao natural que continuaremosa designar pela mesma letra a sua imagem, Γ =P (x, y) ∈ E2;x− 3y = 0, embora os dois sejamsubconjuntos de conjuntos diferentes.

27


Relacionaremos equacoes lineares com duasvariaveis x e y com retas no plano Cartesiano.Um unico exemplo deixara claro a relacao. Comosabemos, dois pontos P e Q no plano Euclidianodeterminam uma unica reta Γ. Vamos supor quetenhamos fixados eixos Carteisanos no plano eque nesse sistema de eixos obtivemos P (2, 1) eQ(−3,−2). Um ponto A(x, y) pertence a reta Γse, e somente se, o paralalelogramo no qual

duas de suas arestas sao QA e QP , tem area nula, pois esta contido na reta Γ. Paracalcularmos a area devemos ter em maos vetores representados pelos segmentosorientados correspondentes. Ou seja, ter em maos os vetores v = (x + 3, y + 2) ew = (5, 3), respectivamente. Logo, a area fica sendo

0 = det[v,w] = det

[x+ 3 5y + 2 3

]= 3x− 5y − 1.

Sendo assim, a reta determinada pelos pontos P e Q de E2 pode ser descrito como

Γ = A(x, y) ∈ E2; 3x− 5y = 1.Seguindo a notacao, diremos que o conjunto correspondente em R2 e uma reta edenotamos tambem por Γ = (x, y) ∈ R2; 3x− 5y = 1.Planos em E3 Do mesmo modo, subconjuntosdo R3 definidos por uma equacao linear em tresvariaveis, por exemplo, Γ = (x, y, z) ∈ R2;x +y + z = 0, tem uma imagem pela aplicacaoP : R3 → E3 um conjunto definido pela mesmaequacao linear, P (x, y, z) ∈ E3;x + y + z = 0.Esse ultimo conjunto e um plano que contem a ori-gem do espaco Cartesiano. Tambem indicaremos

a imagem de Γ pela mesma letra, Γ = P (x, y, z) ∈ R3;x+ y + z = 0.Vejamos um modo de estabelecer a relacao entre planos no espaco Cartesiano

e equacoes lineares com tres variaveis, x, y e z. Comos sabemos, tres pontos naocolineares, digamos P , Q e R, no espaco Euclidiano E3 determinam um unico planoΓ. Vamos supor que tenhamos fixados eixos Cartesianos no espaco e que nessesistema de eixos obtivemos P (2, 1, 0), Q(−3,−2, 1) e R(1, 1, 1). Um ponto A(x, y, z)pertence ao plano Γ se, e somente se, o paralepıpedo no qual tres de suas arestassao RA, RP e RQ tem volume zero, pois esta contido no plano Γ. Os segmentosorientados correspondentes representam os vetores, u = (x − 1, y − 1, z − 1) v =(1, 0,−1) e w = (−4,−3, 0), respectivamente. Logo, o volume do paralelepıpedofica sendo

28


0 = det[u, v,w] = det

x− 1 1 −4y − 1 0 −3z − 1 −1 0

= −3x+ 4y − 3z + 2.

Sendo assim, o plano de E3 determinado por P , Q e R pode ser descrito como

Γ = A(x, y, z) ∈ E3; 3x− 4y + 2z = 2.Seguindo a convencao notacional, diremos que o conjunto correspondente em R3 eum plano e denotamos tambem por Γ = (x, y, z) ∈ R3; 3x− 4y + 2z = 2.Retas em E3 Na Geometria Euclidiana espacial, dois pontos distintos, digamos Pe Q em E3, determinam uma unica reta Γ ⊂ E3 e a reta e a intersecao de dois planosdistintos Γ1 e Γ2, onde cada um deles contem os pontos dados, isto e, Γ = Γ1 ∩ Γ2.Tais postulados, indicam que podemos utilizar duas equacoes lineares para descrevero conjunto Γ. Apresentemos um procedimento para descrever por equacoes linearesa reta que contem P e Q.

Suponha que ao fixarmos um sistema de eixos Cartesiano em E3 tenhamosP (2, 1, 0) e Q(−3,−2, 1). Para determinar um plano Γ1 que contenha esses pon-tos basta escolher um terceiro ponto que nao esteja sobre a reta definida por P eQ, e considerar o plano Γ1 determinado pelos tres pontos, P , Q e R. Para naoalongarmos as manipulacoes algebricas, escolhamos o terceiro ponto como sendoR(1, 1, 1). Como vimos acima, a equacao do plano ja foi calculada, Γ1 = A(x, yx) ∈E3; 3x− 4y + 2z = 2.

Agora, devemos escolher qualquer ponto que nao pertenca a Γ1 para determinaro segundo plano Γ2 . O ponto S(0, 0, 0) serve aos propositos, pois nao pertence aoplano Γ1. Como sempre, consideremos um pontogenerico A(x, y, z) ∈ Γ2 e os segmentos orienta-dos −→

SA, −→SP e −→SQ, representante dos vetores u =

(x, y, z), v = (2, 1, 0) e w = (−3,−2, 1), respecti-vamente. Calculando o volume do paralelepıpedocujas arestas sao paralelas a aqueles segmentos ob-temos

0 = det[u, v,w] = x− 2y − 3z.

Logo, Γ2 = A(x, y, z) ∈ E2;x − 2y − 3z = 0 e areta fica determinada por duas equacoes lineares,

Γ = A(x, y, z) ∈ E2;x− 2y − 3z = 0 e 3x− 4y + 2z = 2.Para finalizar, deixamos um resumo dos fatos sobre equacoes lineares homogeneas

e Geometria Analıtica que foram estudados nessa secao.

1. Um reta em E2 fica determinada por uma equacao linear em x e y.

29


2. Um plano em E3 fica definido por uma equacao linear em x, y e z.

3. Uma reta em E3 fica definida por duas equacoes lineares em x, y e z.

Nao faz sentido falar em esbocar o grafico da equacao 2x− y = 0. E necessarioinformar, de algum modo, quantas variaveis estao envolvidas na equacao, pois elapoderia ser, por exemplo, 2x− y + 0z = 0.


1. Determine a equacao da reta determinada pelos pontos P e Q do plano Cartesiano.a) P (1, 1), Q(0, 3). b) P (−1, 2), Q(2,−1). c) P (1, 1), Q(1, 5).d) P (−3, 4), Q(3, 4). e) P (0, 0), Q(1, 1). f) P (0, 0), Q(−2, 1).

2. Determine a equacao do plano determinado pelos pontos P , Q e R em E3.a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2), R(1,−1, 1).b) P (0,−1, 2), Q(1, 2,−1), R(0, 0, 0).c) P (1,−2, 1), Q(0, 1, 5), R(1, 0, 0).d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1), R(1, 1, 0).e) P (0, 0, 1), Q(0, 1, 0). R(0, 0,−1).

3. Determine as equacoes da reta determinada pelos pontos P e Q em E3.a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2). b) P (0,−1, 2), Q(1, 2,−1).c) P (1,−2, 1), Q(0, 1, 5). d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1).e) P (0, 0, 1), Q(0, 1, 0).


1) a) area = 1. b) area = 3.

2) area = 1. 3) area = 0. 4) volume = 0.

5) a) u = (2,−4) e v = (2, 1). b) u + v = (4,−3) e u − v = (0,−5) sao representados,respectivamente, pelos segmentos orientados −→PS e −→

PT , onde S(5,−2) e T (1,−4). c)S(3, 3) e area = 8. d) A(7

3 ,−23 ) e B(13

3 ,−73 ).

6) volume = 15. Existem infinitos paralelepıpedos cujas arestas sao segmentos orienta-dos que representam os vetores.

Secao 2.2

1) a) E : 2x+ y − 3 = 0. b) E : 3x+ 3y − 3 = 0. c) E : x− 1 = 0.

d) E : y − 4 = 0. e) E : x− y = 0. f) E : x+ 2y = 0.

2) a) E : x+ z − 2 = 0. b) E : −3x+ 2y + z = 0. c) E : 9x+ y + 2z + 11 = 0.d) E : y − x = 0. e) E : x = 0.

30


3) Como uma reta fica definida pela intersecao de dois planos, escolhemos o primeiroplano definido pelos pontos PQR, onde R esta indicado no exercıcio anterior. Depoisescolhemos um ponto S fora desse plano e calculamos a equacao do plano PQS. Cadareta e determinada por duas equacoes.a) E : x+ z − 2 = 0 e 3x+ 2y − 3z = 0.

31

Capıtulo 3

Produto internoNo primeiro capıtulo estudamos um conjunto algebrico formado pelas n-uplas orde-nadas, Rn, e induzimos no conjunto uma estrutura de espaco vetorial real. Tambemrelacionamos o conjunto R2 e R3 com a Geometria Euclidiana, plana e espacial,respectivamente. Nesse capıtulo, para compreender melhor os conjuntos algebricos,continuaremos a relaciona-los com os conjuntos geometricos. Para isso, e conveni-ente introduzir uma funcao bilinear, chamada de produto interno em Rn que servirapara estabelecer conceitos geometricos tais como comprimento, distancia e anguloem Rn. O produto interno sera a nossa regua e compasso.

3.1 Produto interno

Sejam v = (x1, x2, ..., xn) e w = (y1, y2, ..., yn) dois vetores de Rn. A aplicacao

〈 , 〉 : Rn × Rn → R definida por 〈v,w〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn,

e chamada de produto interno do Rn. Para simplificar a escrita, diremos apenasproduto interno, ficando implıcito que estamos trabalhando com aquela funcao.1

Exemplo 3.1.1 Dados os vetores v = (1,−3) e w = (−1, 1) em R2, o produtointernos dos vetores e 〈v,w〉 = 1 · (−1) + (−3) · 1 = −4. Verifique que 〈2v,w〉 =2〈v,w〉.

Da mesma forma, o produto interno dos vetores v = (2, 1,−3) e w = (0,−1, 1)de R3 e 〈v,w〉 = 2 · 0 + 1 · (−1) + (−3) · 1 = −4. Verifique que 〈v, o〉 = 0, para todovetor v.

O produto interno possue tres propriedades basicas que registraremos numapropositc ao cuja demonstracao ficara aos cuidados do leitor.

1Alguns textos tambem referem-se ao produto interno como produto escalar

32

3.2. NORMA DE UM VETOR

Proposicao 3.1.1 O produto interno 〈 , 〉 : Rn × Rn → R possui as seguintespropriedades para quaisquer vetores u, v,w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R,

P1 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)

P2 〈v,w〉 = 〈w, v〉; (simetrica)

P3 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉 + 〈w, u〉; (linear)

P4 〈λv,w〉 = λ〈v,w〉. (linear)


1. Calcule o produto interno 〈vi, vj〉, i, j = 1, 2, 3, 4, ondea) v1 = (2, 2), v2 = (−3, 1), v3 = (1, 3) sao vetores do R2.b) v1 = (1,−1, 2), v2 = (0,−2,−1), v3 = (0, 0, 0) sao vetores do R3.c) v1 = (−1,−1, 2, 0), v2 = (0,−3, 2, 1), v3 = (3, 0, 0, 0) sao vetores do R4.

2. Seja η = (3, 2) ∈ R2. Identifique o conjunto Γ = v ∈ R2, 〈η, v〉 = 0.3. Seja η = (1,−2, 1) ∈ R3. Identifique o conjunto Γ = v ∈ R3, 〈η, v〉 = 0.4. Mostre que o produto interno tambem possui as propriedades:

a) 〈v, w + u〉 = 〈v, w〉 + 〈v, u〉. b) 〈v, w〉 = 〈v, u〉 para todo v ⇔ w = u.c) v = 〈v, e1〉e1 + · · · + 〈v, en〉en.

3.2 Norma de um vetor

Definido o produto interno, podemos iniciar a transposicao dos conceitos de com-primento e angulo originarios na Geometria. Iniciaremos o estudo da aplicacao

‖ ‖ : Rn → [0,+∞), ‖v‖ =√〈v, v〉.

O seu valor num vetor v ∈ Rn sera chamado de norma de um vetor. Se desejarmosescreve-la utilizando coordenadas, v = (x1, x2, ..., xn), obtemos a expressao

‖v‖ =√

(x1)2 + (x2)2 + · · · + (xn)2.

Exemplo 3.2.1 Para calcular a norma do vetorv = (3,−5) em R2 basta aplicar a definicao,‖v‖ =

√〈v, v〉 =√

(3)2 + (−5)2 =√

34. Dese-jamos agregar um conteudo geometrico ao numeroobtido, ‖v‖ =

√34, para isso, utilizaremos segmen-

tos orientados. Observe que ao representarmos ovetor por um segmento orientado −−→

PQ, digamos queP (2, 6) e Q(5, 1), o Teorema de Pitagoras nos dizque ‖v‖ corresponde exatamente ao comprimentodo segmento PQ.

33

CAPITULO 3. PRODUTO INTERNO

O valor ‖v‖ e interpretado, geometricamente, como o comprimento de um seg-mento orientado −−→

PQ que representa o vetor v ∈ Rn.

Exemplo 3.2.2 Para calcular a norma do vetor w = (3,−1, 2) de R3, efetuamos‖w‖ =

√〈v, v〉 =√

(3)2 + (−1)2 + (2)2 =√

14. Da mesma forma, o valor ‖w‖ =√14 corresponde ao comprimento de qualquer segmento orientado representando w.

Quais sao as normas dos vetores 2w, −2w e do vetor nulo o = (0, 0, 0)?

Exemplo 3.2.3 Diremos que um vetor u e unitario quando ‖u‖ = 1.

Por exemplo, o vetor u = (23 ,

√5

3 ) ∈ R2, e unitario pois ‖u‖ =√〈u, u〉 = 1.

Da mesma forma verificamos que o vetor u = ( 1√10, 0, −3√

10) ∈ R3 e unitario.

Para construir vetores unitarios basta normalizar um vetor nao nulo, isto e,dividir um vetor nao nulo v ∈ Rn por sua norma, u = 1

‖v‖v. Esse foi o metodoque utilizamos para construir os exemplos acima. Para construir o vetor unitariou ∈ R3, consideramos o vetor v = (1, 0,−3), calculamos sua norma, ‖v‖ =

√〈v, v〉 =√(1)2 + (0)2 + (−3)2 =

√10, e dividimos o vetor por sua norma u = 1√

10(1, 0,−3).

Fica como exercıcio mostrar que o processo sempre produz um vetor unitario.

A aplicacao norma possui as seguintes propriedades para quaisquer vetoresv,w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R,

N1 ‖v‖ 0 e ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)

N2 ‖λv‖ = |λ| ‖v‖;N3 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖. (desigualdade triangular)

Recordamos que |λ| indica o valor absoluto de um numero real, isto e,

|λ| =

λ se λ ≥ 0−λ se λ < 0

Para mostrar que a aplicacao ‖v‖ possui essas propriedades necessitamos de umadas mais importante desigualdades associadas a um produto interno.

Teorema 3.2.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam 〈 , 〉 : Rn × Rn →R o produto interno e ‖ ‖ : Rn → R a norma associada, ‖v‖ =

√〈v, v〉. Entaopara quaisquer v,w ∈ Rn vale a desigualdade

| 〈v,w〉 |≤ ‖v‖‖w‖,e a igualdade ocorre se, e somente se, v e w sao vetores colineares.

34

3.3. ANGULO ENTRE DOIS VETORES

Prova Se um dos vetores, v ou w, e o vetor nulo, eles sao colineares e a demonstracaoreduz-se a verificar a igualdade, zero igual a zero.

Suponha que v seja um vetor nao nulo. Temos pela propriedade P1 do pro-duto interno, que para qualquer escalar t ∈ R e qualquer vetor w ∈ Rn, vale adesigualdade

〈tv − w, tv − w〉 ≥ 0,

e ocorre a igualdade se, e somente se, w = t0v, para algum escalar t0. Sendo assim,desenvolvendo o produto interno acima,

p(t) = 〈tv − w, tv −w〉 = t2‖v‖2 − 2t〈v,w〉 + ‖w‖2,

obtemos um polinomio quadratico p(t) ≥ 0. Isso implica que o seu discriminante emenor ou igual a zero, i.e.

4〈v,w〉2 − 4‖v‖2‖w‖2 ≤ 0.

Consequentemente, 〈v,w〉2 ≤ ‖v‖2‖w‖2. De onde segue imediatamente que |〈v,w〉| ≤‖v‖‖w‖, como desejavamos. Agora, se vale a igualdade entao p(t) possui uma unicaraiz real λ com multiplicidade dois, ou seja p(λ) = 〈λv − w, λv − w〉 = 0. A pro-priedade P1 garante que isto ocorre se, e somente se, w − λv = 0, isto e, v e w saocolineares.


1. Calcule a norma e identifique os vetores unitarios.

a) v = (1, 2); w = (−2, 3); u = (1, 0) vetores de R2.b) v = (0,−2, 1); w = 1√

14(2,−1, 3); u = (0, 1, 0) vetores de R3.

c) v = (0, 2, 12 , 1); w = (−√

2,−1, 3, 1); u = (0, 0, 0, 1) vetores de R4.

2. Determine o comprimento do segmento orientado −−→PQ. Os pontos da primeira linha

estao no plano Cartesiano e os da segunda linha, no espaco Cartesiano.a) P (1, 2) e Q(4, 6). b) P (1, 0) e Q(0, 1). c) P (1, 1) e Q(−1,−1).d) P (−1, 0, 2) e Q(3,−2, 0). e) P (0, 0, 0) e Q(0, 1, 0). f) P (0, 0, 0) e Q(1, 1, 1).

3. Represente por um segmento orientado −→0P o vetor u = (cos θ, sen θ) ∈ R2. Qual anorma de u? Esboce no plano Euclidiano todos os pontos P (cos θ, sen θ).

3.3 Angulo entre dois vetores

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, permite demonstrar que a norma associada aoproduto interno e de fato uma norma (Veja a leitura complementar desse capıtulo).Com a norma transpomos para o Rn a ideia de comprimento. Alem disso, ela

35


tambem permite transpor o conceito de angulo. A unica informacao extra quenecessitaremos e bem conhecida,

para cada t ∈ [−1, 1] existe um unico θ ∈ [0, π] tal que cos θ = t.

Sendo assim, dados dois vetores nao nulos v e w em Rn, desde que ‖v‖ = 0 e‖w‖ = 0, a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser reescrita, nesse caso, como

|〈v,w〉|‖v‖‖w‖ ≤ 1. ou equivalentemente, − 1 ≤ 〈v,w〉

‖v‖ ‖w‖ ≤ 1.

Logo, podemos garantir que existe um unico θ ∈ [0, π], o qual sera chamado deangulo entre os vetores nao nulos v e w, tal que

cos θ = 〈v,w〉‖v‖ ‖w‖ .

Portanto, para dois vetores nao nulos, v e w, uma bela formula que relaciona produtointerno, norma (comprimento) e angulo,

〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖cosθonde θ ∈ [0, π] e o angulo entre os dois vetores. Muitas vezes, para deixar claro queo angulo considerado e aquele formado pelos vetores v e w, escrevemos θ(v,w).

Exemplo 3.3.1 Calculemos o angulo entre os vetores nao nulos v = (2,−1,−1) ew = (−1,−1, 2) de R3. Pela definicao, 〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖cosθ. Calculando,

〈v,w〉 = −3, ‖v‖ =√

6 e ‖w‖ =√

6.

Da igualdade −3 =√

6√

6cos θ, obtemos cos θ = −12 . Portanto, o angulo entre os

vetores e θ = 2π3 .

Exemplo 3.3.2 Geralmente, nao e possıvel explicitar exatamente o valor do anguloentre dois vetores, necessitamos de uma maquina de calcular para conhecer apro-ximadamente qual o valor do angulo. Se v = (−1, 2, 1) e w = (3,−1, 3) saovetores do R3, a formula calcula indiretamente o angulo entre os vetores pois〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖cos θ, implica que −2 =

√6√

19cos θ. Logo, cos θ = −2√114

. De-

vemos procurar o valor aproximado de θ = arccos −2√114

.

Definicao 3.3.1 Diz-se que dois vetores v e w em Rn sao perpendiculares ou or-togonais, quando 〈v,w〉 = 0.

O vetor nulo o ∈ Rn e perpendicular a qualquer outro vetor. Convem observarque quando dois vetores nao nulos sao ortogonais estamos exigindo que o anguloentre eles seja um angulo reto, pois se ‖v‖ = 0 e ‖w‖ = 0, as igualdades

36

3.4. RETAS E PLANOS II

0 = 〈v,w〉 = ‖v‖‖w‖ cos θ

implicam que cos θ = 0. Como θ ∈ [0, π], concluımos que o angulo entre os doisvetores e reto, θ = π/2.

Exemplo 3.3.3 Os vetores v = (1, 2), w =(−4, 2) ∈ R2 sao ortogonais pois o produto internoe zero, 〈v,w〉 = 1·(−4)+2·2 = 0. Em E2 quaisquerdois segmentos orientados com mesmo ponto inicialrepresentando os vetores, digamos −−→

PQ e −→PR, sao

perpendiculares.

Um processo pratico para construir um vetorperpendicular a um vetor nao nulo v = (a, b) ∈R2 e considerar o vetor v⊥ = (−b, a) ∈ R2.


1. Calcule o angulo entre os vetores u e v.a) u = (−3,−3), v = (0, 4) ∈ R2 b) u = (2, 2, 2), v = (1,−1, 0) ∈ R3

c) u = (10,−3), v = (3, 10) ∈ R2 d) u = (√

2, 2,√

2), v = (√

3, 0,√

3),∈ R3.

2. Determine o valor da coordenada para que os angulos entre os vetores do R3 seja oangulo pedido.a) v = (−1, 2, 1), w = (x, 1, 2), θ(v, w) = π

3 .b) v = (0, 1, 0), w = (1, y, 4), θ(v, w) = −π

4 .

3. Determine um vetor ortogonal ao vetor η ∈ R2. Descreva o conjunto Γ de todos osvetores que sao ortogonais ao vetor η e verifique que o conjunto e uma reta.a) η = (−2, 3). b) η = (3, 3). c) η = (1,−1).

4. Calcule um vetor unitario u ∈ R3 simultaneamente ortogonal aos vetores v = (2, 1, 0)e w = (1,−1, 2).

5. Determine o angulo entre o vetor v = (−3, 2, 3) ∈ R3 e cada um dos vetores da basecanonica.

3.4 Retas e planos II

Recordamos que no capıtulo anterior estudamos subconjuntos Γ ⊂ Rn, n = 2, 3definidos por equacoes lineares. Para isso, utilizamos o conceito de areas e volumes.Agora, examinaremos a relacao entre equacoes lineares com o produto interno.

Retas em E2 Seja η = (3,−2) um vetor em R2. Escolhido um ponto no planoCartesiano, digamos P (1, 2), podemos representar o vetor η por um segmento ori-entado −−→

PQ e definir uma reta Γ da seguinte forma:

37


Γ =: conjunto dos pontos A(x, y) ∈ E2 tais que osegmento orientado −→

PA e perpendicular aosegmento orientado −−→

PQ.

Os vetores η = (3,−2) e v = (x − 1, y − 2)sao representados pelos segmentos orientados,portanto a condicao de serem perpendicularessignifica que 〈v, η〉 = 0. Efetuando o produtointerno obtemos 3x− 2y = −1.

Isso significa que a reta e descrita por uma equacao linear, a saber,

Γ = A(x, y) ∈ E2; 3x− 2y = −1.Iremos nos referir a essa reta como

a reta que passa pelo ponto P ∈ E2 e tem vetor normal η.

Observamos que coeficientes da equacao linear sao precisamente as coordenadasdo vetor normal η. Isso nos indica qual o caminho inverso da construcao acima.

Exemplo 3.4.1 A reta Γ = A(x, y) ∈ R2; 2x − y = 1, e a reta que passa porP (1, 1) e tem vetor normal η = (2,−1). Vejamos essa afirmacao.

E claro que P ∈ Γ pois suas coordenadas satisfazem a equacao linear que definea reta Γ. Seja η = (2,−1). Considere os pontos A(x, y) ∈ E2, tais que o segmentoorientado −→

PA e perpendicular ao segmento orientado −−→PQ que representa η. O

primeiro segmento orientado representa o vetor v = (x − 1, y − 1). A condicao deperpendicularismo significa que 0 = 〈v, η〉 = 2x− y − 1.

Planos em E3 Ampliemos a ideia utilizada no plano Cartesiano. Sejam η umvetor de R3 e P um ponto do espaco Cartesiano E3. Com um exemplo, daremossignificado a terminologia

o plano que passa por P e tem como vetor normal η.

Vamos supor que η = (1,−1, 2) ∈ R3 seja o vetornormal dado e que P (2,−1, 1) ∈ E3 seja o pontoconsiderado. Representemos o vetor normal por−−→PQ. E claro que Q(3,−2, 3). O plano com vetornormal η passando pelos ponto P e o conjunto Γformado por todos os pontos A(x, yz) ∈ E3 taisque os segmentos orientados −→PA e −−→

PQ sao perpen-diculares. Descrevamos a condicao de perpendicu-larismo com o produto interno.

38

3.5. PRODUTO VETORIAL EM R3

Como o segmento orientado −→PA representa o vetor v = (x − 2, y + 2, z − 1),

temos que 0 = 〈v, η〉 = x− 2 − y − 2 + 2z − 2. Logo, o plano e descrito como

Γ = A(x, y, z) ∈ E3;x− y + 2z = 6.Novamente, os coeficientes da combinacao linear sao as coordenadas do vetor

η, indicando como devemos transcrever um plano definido por uma equacao linearpara um plano que passa por um ponto e tem um vetor normal especıfico.

Exemplo 3.4.2 O leitor pode verificar que o plano Γ = A(x, yz) ∈ E3; 2x− 3z =0 e o plano que contem o ponto P (3,−2, 2) e tem vetor normal η = (2, 0,−3). Eletambem e o plano que contem o ponto R(6, 0, 4) e tem como vetor normal η.


1. Descreva o conjunto Γ ⊂ R3 de todos os vetores que sao ortogonais ao vetor η ∈ R3.a) η = (−2, 3, 0). b) η = (3, 3, 1). c) η = (0, 1, 0)

2. Determine a medida dos angulos formados pelas retas do plano Cartesiano.a) Γ1 = A(x, y) ∈ E2;x− 2y = 0 e Γ2 = A(x, y) ∈ E2; 2x+ y = 3.b) Γ1 = A(x, y) ∈ E2;x− y = 0 e Γ2 = A(x, y) ∈ E2; y = −6.

3.5 Produto vetorial em R3

O espaco Euclidiano R3 admite uma operacao especial com dois vetores chamadode produto vetorial. Sejam v e w vetores de R3. O produto vetorial de v por wdenotado por v × w e o vetor em R3 tal que para qualquer vetor u ∈ R3, vale aidentidade

〈u, v × w〉 = det[u, v,w].

O produto vetorial goza de varias propriedades importantes. A seguir, mostraremosalgumas delas e um algoritmo para calcular o produto vetorial de vetores.

Proposicao 3.5.1 Sejam v = (a, b, c) e w = (d, e, f) vetores de R3. Entao

i) v × w e perpendicular aos vetores v e w, simultaneamente;

ii) o produto vetorial de v por w e calculado pelo algoritmo

v × w =

(det[b ec f

],− det

[a dc f

],det

[a db e

]);

iii) ‖v × w‖2 = det[v,w, v × w] ≥ 0.

39


Prova i) Por definicao temos que 〈v, v × w〉 = det[v, v, w]. Isto implica que amatriz [v, v, w] tem duas linhas iguais. Como sabemos, nestas condicoes, podemosgarantir que o seu determinante e zero. Portanto, o produto interno de v por v×we zero, significando que v e perpendicular ao vetor v×w. O mesmo argumento valepara w e v ×w. Assim fica mostrado o item i).

ii) Utilizaremos propriedades conhecidas de combinacao linear de vetores nabase canonica,

v × w = 〈e1, v × w〉e1 + 〈e2, v × w〉e2 + 〈e3, v × w〉e3

= det[e1, v, w]e1 + det[e2, v, w]e2 + det[e3, v, w]e3

=(det[e1, v, w], det[e2 , v, w], det[e3, v, w]

).

Agora, e suficiente observarmos que as coordenadas sao obtidos por

det[e1, v, w] = det

1 a d0 b e0 c f

= det[b ec f

],

det[e2, v, w] = det

0 a d1 b e0 c f

= − det[a dc f

],

det[e3, v, w] = det

0 a d0 b e1 c f

= det[a db e

].

Temos demonstrado o item (ii).

iii) Provemos que det[v,w, v × w] ≥ 0. Desenvolvendo este determinante pelaterceira coluna (desenvolvimento de Laplace) obtemos

det[u, v, v × w] = det

a d bf − ceb e cd− afc f ae− bd

= (ae− bd)2 + (af − cd)2 + (bf − ce)2

= ‖v × w‖2

≥ 0,

provando o que querıamos.

40

3.5. PRODUTO VETORIAL EM R3

Exemplo 3.5.1 Apresentaremos um procedimento para avaliar mais rapidamenteo produto vetorial e diminuir os erros de calculo. Sejam v = (3, 1,−4) e w = (0, 2, 1)dois vetores do R2. Para avaliarmos v×w, calculamos, formalmente, o determinantede uma matriz do tipo [e, v, w], onde esse sımbolo significa

[e, v, w] =

e1 3 0e2 1 2e3 −4 1

.Portanto, ao desenvolver o determinante pela primeira coluna e obtido

v × w = det[e, v, w]= 9e1 − 3e2 + 6e3= (9,−3, 6).

Verifica-se facilmente que 〈v, v × v〉 = 0 e que 〈w, v × w〉 = 0.

Examinemos o ultimo item da proposicao, ‖v ×w‖2 = det[v,w, v × w] = 126. Como comentadoanteriormente, det[v,w, v×w] e o volume do para-lelepıpedo no espaco Cartesiano construıdo de talforma que as arestas sao segmentos orientados re-presentando os vetores v, w e v × w.

Observe que o segmento orientado representando o vetor v × w e perpendicular abase e esta e o paralelogramo cujos lados sao segmentos orientados representandoos vetores v e w. Sendo assim, como o volume e a area da base multiplicado pelaaltura h = ||v × w|| e o volume e ‖v × w‖2, segue que, geometricamente, a normado vetor ‖v × w‖ e a area de um paralelogramo em R3 cujos lados sao segmentosorientados representando v e w.

Proposicao 3.5.2 (Formula de Lagrange) Para quaisquer dois vetores v e wdo R3 vale a identidade

‖v × w‖2 = ‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2.Em particular, se θ(v,w) e a medida do angulo entre os vetores v e w, entao

‖v ×w‖ = ‖v‖ ‖w‖sen θ(v,w).

Prova Sejam v = (a, b, c) e w = (d, e, f). A demonstracao e de fato uma verificacao.Calculando

‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2 =(a2 + b2 + c2

) (d2 + e2 + f2

)− (ad+ be+ cf)2

41


= (ae)2 + (af)2 + (bd)2 + (bf)2 + (cd)2 + (ce)2

−2 (abde+ acdf + bcef)

= (ae− bd)2 + (af − cd)2 + (bf − ce)2 .

Mas esse ultimo membro das igualdades e precisamente ‖v ×w‖2. Portanto,

‖v × w‖2 = ‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2,provando a Formula de Lagrange. A segunda parte da proposicao fica como exercıcio.

O resultado acima e a desigualdade de Cauchy-Schwarz implicam que

Corolario 3.5.1 Dados os vetores v e w em R3, entao ‖v × w‖ = 0 se, e somentese, v e w sao colineares.

Prova A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos garante que ‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2 ≥ 0e ocorre igualdade se, e somente se, v e w sao colineares. Logo, pela Formula deLagrange podemos afirmar que ‖v × w‖2 = ‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2 = 0 se, e somentese, v e w sao colineares.


1. Seja C = e1, e2, e3 a base canonica do R3. Verifique as identidades e observe aciclicidade na primeira linha.a) e1 × e2 = e3. b) e2 × e3 = e1. c) e3 × e1 = e2.d) e2 × e1 = −e3. e) e3 × e2 = −e1. f) e1 × e3 = −e2.

2. Calcule o produto vetorial v × w e w × v dos vetores de R3. Calcule 〈v, v × w〉 e〈w × v × w〉a) v = (1,−1, 1) e w = (2, 0,−1). b) v = (−2, 1, 3) e w = (0, 0, 1).c) v = (−1, 1, 0) e w = (−2, 2, 0). d) v = (3, 1, 1) e w = (1, 0, 0).

3. Determine o vetor normal do plano detefinido pelos pontos P , Q e R em E3.a) P (1, 0, 1), Q(0, 3, 2), R(1, 1, 1). b) P (0,−1, 2), Q(1, 2,−1), R(0, 0, 0).c) P (1,−2, 1), Q(0, 1, 5), R(1, 0, 0). d) P (0, 0, 0), Q(1, 1, 1), R(1, 1, 0).

4. Mostre as identidades envolvendo produto vetorial.a) u× (v + w) = u× v + u× w. b) u× v = −v × u.c) ‖v × w‖ = ‖v‖ ‖w‖senθ. d) 〈v × w, u〉 = 〈v, w × u〉.

5. Dado o vetor u ∈ R3, determine dois vetores, digamos v e w, tal que o conjuntoβ = u, v, w e uma base ortonormal do R3, isto e, seus elementos sao dois a doisortogonais e unitarios.a) u = (1, 1, 1). b) u = (−2, 0, 1). c) u = (0,−5, 0).

42


6. Calcule a area do paralelogramo em R3 cujos lados sao segmentos orientados querepresentam os vetores v e w, ondea) v = (1,−1, 1) e w = (2, 0,−1). b) v = (−2, 1, 3) e w = (0, 0, 1).c) v = (−1, 1, 0) e w = (−2, 2, 0). d) v = (3, 1, 1) e w = (1, 0, 0).

7. Sejam u e v vetores do R3, unitarios e perpendiculares. Mostre que β = u, v, u× ve uma base ortonormal.

8. Dados quatro vetores t, u, v, w ∈ R3, e verdade que (t×u)×(v×w) = (t×v)×(u×w)?

9. Demonstre as relacoes entre os produtos vetorial e interno.

a) (u × v) × w = 〈u,w〉v − 〈v, w〉u. (Produto vetorial duplo)b) 〈u, v × w〉 = 〈w, u × v〉 = 〈v, w × u〉. (Identidade cıclica)

10. Sejam u, v, w ∈ R3 vetores nao nulos e tais que ‖u‖ = 1, u ⊥ v e u ⊥ w. Mostre queo angulo entre os vetores v e w e igual ao angulo entre os vetores u × v e u× w, emoutras palavras, θ(v, w) = θ(u × v, u × w). Interprete geometricamente fazendo umafigura. Generalize o resultado. E necessario que u seja unitario? E necessario que useja perpendicular aos outros dois vetores?

3.6 Leitura complementar

1. Norma associada ao produto interno

Proposicao 3.6.1 (Norma associada) Seja 〈 , 〉 : Rn ×Rn → R o produtointerno. A aplicacao a seguir e uma norma,

‖ ‖ : Rn → R, ‖v‖ =√< v, v >.

Prova As duas primeiras propriedades, N1 e N2,sao imediatas e suas demonstracoes serao deixadasaos cuidados do leitor. Mostremos a desigualdadetriangular, N3. Observemos inicialmente as igual-dades,

‖v + w‖2 = 〈v + w, v + w〉= ‖v‖2 + ‖w‖2 + 2〈v,w〉.

Por outro lado, por Cauchy-Schwarz podemos escrever 〈v,w〉 ≤ |〈v,w〉| ≤‖v‖‖w‖. Sendo assim,

‖v + w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 + 2〈v,w〉≤ ‖v‖2 + ‖w‖2 + 2‖v‖‖w‖= (‖v‖ + ‖w‖)2.

43


Como ambos membros da desigualdade sao quadrados de numeros positivos,ao extraırmos a raiz quadrada concluımos a demonstracao.

Exercıcio 3.6.1 Mostre que para quaisquer v,w ∈ Rn vale a segunda desi-gualdade triangular, |‖v‖ − ‖w‖| ≤ ‖v − w‖.


1) Aplicando a definicao de produto interno obtemos os valores,

a) 〈v1, v1〉 = 8, 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉 = −4, 〈v1, v3〉 = 〈v3, v1〉 = 8.b) 〈v1, v1〉 = 6, 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉 = 0, 〈vi, v3〉 = 〈v3, vi〉 = 0.c) 〈v1, v2〉 = 7. 〈v2, v1〉 = 7

2) Γ = (x, y) ∈ R2; 3x+ 2y = 0 corresponde a uma reta que contem a origem de E2 eo ponto P (−2, 3).

3) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− 2y+ z = 0 corresponde a um plano que contem a origem deE3 e os pontos P (2, 1, 0) e Q(1, 0,−1).

Secao 3.21) a) ‖v‖ =

√5, ‖w‖ =

√13, ‖u‖ = 1. 2) a) 5. b)

√2. c) 2

√2.

b) ‖v‖ =√

5, ‖w‖ = 1, ‖u‖ = 1. d) 2√

6. e) 1. f)√

3.c) ‖v‖ =

√212 , ‖w‖ =

√13, ‖u‖ = 1.

3) O vetor e unitario. O segmento orientado que representa u com ponto inicial a origemfaz um angulo θ com o eixo ox, medido no sentido anti-horario. O esboco de todosos pontos e um cırculo de raio r = 1 centrado na origem.

Secao 3.3

1) Nenhum vetor e o vetor nulo. Nao existe obstrucao para calcular o angulo entre osvetores dados. Veja a formula que relaciona produto interno, norma e cosseno doangulo entre vetores nao nulos.

a) θ = 3π4 b) θ = π

2 c) θ = π2 d) θ = π

4 .

2) Veja a formula que relaciona produto interno, norma e cosseno do angulo entre vetoresnao nulos.

a) x = 1 ou x = −17. b) y = 0 ou y = 2.

3) Dado η = (a, b), um vetor perpendicular ao vetor η e v = (−b, a). Qualquer vetorperpendicular ao vetor η, v = (x, y), deve ter coordenadas que satisfazem a equacao〈(a, b), (x, y)〉 = 0 = ax+ by. Logo temos as respostas,

a) v = (3, 2), Γ = (x, y) ∈ R2;−2x+ 3y = 0.b) v = (−3, 3), Γ = (x, y) ∈ R2; 3x+ 3y = 0.c) v = (1, 1), Γ = (x, y) ∈ R2;x− y = 0.

44


4) Um vetor u = (x, y, z), simultaneamente ortogonal aos vetores dados, deve satisfazeras equacoes 〈u, v〉 = 0 = 2x + y e 〈u,w〉 = 0 = x − y + 2x. Logo, os unicos vetoresunitarios que satisfazem a essas equacao sao u = ( 2√

29,− 4√

29,− 3√

29) ou −u.

5) θ(e1, v) = arccos −3√23

.

Section 3.4)

1) a) Γ = (x, y, z) ∈ R3;−2x+ 3y = 0. c) Γ = (x, y, z) ∈ R3; y = 0.2) Examine o angulo entre os vetores normais.

a) θ1 = θ2 = π2 . b) θ1 = π

4 e θ2 = 3π4 .

Section 3.5

2) Para todos os pares de vetores vale a igualdade v × w = −w × v ea) v × w = (1, 3, 2). b) v × w = (−2, 11,−5).c) v × w = (0, 0, 0). d) v × w = (1,−1, 0).

3) Sejam v e w vetores cujos representantes sao, respectivamente, −−→PQ e −→PR. Um vetor

normal ao plano definido pelos pontos P , Q e R e η = v × w.a) η = (1, 0,−1). b) η = (−3, 2, 1). c) η = (−11,−1,−2). d) η = (−1, 1, 0).

5) Escolhemos qualquer vetor v nao nulo e pependicular ao vetor u, consideramos w =u× v e normalizamos cada vetor, u, v e w.a) 1√

3(1, 1, 1); v = 1

2 (1,−1, 0), w = 1√6(1, 1,−2).

6) A area de um paralelogramo cujos lados sao segmentos orientados representanto v ew e igual ao valor ‖v × w‖.a) ‖v × w‖ =

√14. b) ‖v × w‖ =

√140. c) ‖v × w‖ = 0. d) ‖v × w‖ =

√2.

8) Nao e verdadeira. Verifique para t = e1, u = e1, v = e2 e w = e3.

45

Capıtulo 4

Subespaco vetorialDentre todos os subconjuntos de Rn alguns sao especiais, nao apenas para a com-preensao do texto, mas para a Algebra Linear como um todo. Sao os chamadossubespacos vetoriais, subconjunto que sao eles mesmo espaco vetorias. Para melhorentendimento do espaco Rn e conveniente estuda-los.

4.1 Subespaco e equacao linear homogenea

Definicao 4.1.1 Diz-se que um subconjunto Γ ⊂ Rn e um subespaco vetorialquando

1. Γ e um conjunto nao vazio;

2. se v,w ∈ Γ entao v + w ∈ Γ; (fechado em relacao a soma de vetores)

3. se v ∈ Γ e λ ∈ R entao λv ∈ Γ. (fechado em relacao ao produto por escalar)

O termo subespaco vetorial esta bem empregado. O leitor pode verificar que Γsatisfaz todas as condicoes listadas na definicao de espaco vetorial, ficando o termosubespaco por conta de Γ ser um subconjunto de Rn. Naquela definicao e exigidoque o conjunto tenha um elemento neutro em relacao a soma de vetores. De fato, umsubespaco Γ contem o vetor nulo. Se nao, vejamos. Como Γ e nao vazio, escolhemosum vetor qualquer v ∈ Γ e o escalar λ = 0. Pelo item 3, podemos garantir que oproduto λv = o ∈ Γ. Por simplicidade, muitas vezes diremos que Γ e um subespacoem lugar de subespaco vetorial.

Destacamos dois exemplos de subespacos de Rn, a saber, o subespaco trivialconstituıdo apenas pelo vetor nulo, Γ = o, e aquele formado por todos os vetores,Γ = Rn. E claro, que estaremos tambem interessados em estudar os subespacosproprios, aqueles que satisfazem a condicao

o Γ Rn.

46

4.1. SUBESPACO E EQUACAO LINEAR HOMOGENEA

O sımbolo significa que o subconjunto esta contido mas nao e igual ao conjunto.Empregaremos duas tecnicas para descreve-los,

subespacos definidos por

equacoes lineares homogeneas

combinacoes lineares

Exemplo 4.1.1 Ilustremos com um exemplo qual e o significado de um subespacoser definido por uma equacao linear homogenea. Dado o subconjunto

Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− 2y + 3z = 0 ⊂ R3.

A sentenca que define o conjunto, x−2y+3z = 0, e uma equacao linear homogeneae o conjunto Γ correspondente a um plano em E2 que contem a origem. Verifique-mos que ele e um subespaco do R3 mostrando que ele satisfaz as tres condicoesenumeradas na definicao de subespaco.

1. Γ e nao vazio pois (4, 2, 0) ∈ Γ.

2. Sejam v = (x1, y1, z1) e w = (x2, y2, z2) vetores em Γ. Sendo assim,

x1 − 2y1 + 3z1 = 0 e x2 − 2y2 + 3z2 = 0.

Desejamos mostrar que a soma v+w = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) pertence aoconjunto Γ. Fazendo a substituicao na equacao linear homogenea obtemos

x1 + x2 − 2(y1 + y2) + 3(z1 + z2) = (x1 − 2y1 + 3z1) + (x2 − 2y2 + 3z2)= 0 + 0= 0.

Portanto, v +w ∈ Γ.

3. Sejam v = (x1, y1, z1) ∈ Γ e λ ∈ R. Por definicao de Γ sabemos que x1−2y1 +3z1 = 0. Desejamos verificar que λv = (λx1, λy1, λz1) tambem pertence a Γ.Substituindo na equacao linear homogenea temos

λx1 − 2λy1 + 3λz1 = λ(x1 − 2y1 + 3z1) = λ0 = 0.

Isso mostra que λv ∈ Γ.

Podemos afirmar algo mais. O subespaco Γ e proprio pois o Γ, desde que(4, 2, 0) ∈ Γ, bem como, Γ R3 pois o vetor v = (1, 1, 1) /∈ Γ.

Exercıcio 4.1.1 Siga o mesmo roteiro do exemplo acima para mostrar que os con-juntos sao subespacos.

1. Γ = (x, y) ∈ R2, 2x− 3y = 0. O conjunto correspondente no plano Cartesi-ano e uma reta que contem a origem.

47

CAPITULO 4. SUBESPACO VETORIAL

2. Γ = (x, y, z) ∈ R3;x − z = 0 e 2x − y + z = 0. O conjunto correspondenteno espaco Cartesiano e uma reta que contem a origem.

3. Mostre que se Γ1 e Γ2 sao dois subespacos vetoriais de Rn, entao a intersecaoΓ1 ∩ Γ2 tambem o e.


1. Verifique quais dos vetores, u = (2, 0, 2), v = (8,−2, 4) e w = (1, 1, 6), pertencem aosubespaco Γ = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 0.

2. Considere o subespaco Γ = (x, y, z) ∈ R3;−x + 4y + z = 0. Escolhidos tresvetores distintos, u, v e w, nesse subespaco, como voce justifica, geometricamenteque det[u, v, w] = 0?

3. Quais dos subconjunto e um subespaco proprio? Esboce-os.

a) Γ = (x, y) ∈ R2;x = 0. b) Γ = (x, y, z) ∈ R3; y = 0.c) Γ = (x, y) ∈ R2; 0x+ 0y = 0. d) Γ = (x, y, z) ∈ R3; y = 0 e z = 0.

4. Mostre que o conjunto Υ = t(1, 2, 1), t ∈ R (os multiplos de v = (1, 2, 1)) e umsubespaco.

5. Mostre que os subespacos Γ = (x, y, z) ∈ R3;x − 2y + 3z = 0 e x − y + z = 0 eΥ = t(1, 2, 1), t ∈ R sao iguais.

6. Esboce o conjunto no plano Cartesiano correspondente ao subespaco Γ = (x, y) ∈R2;x− 2y = 0 e 2x− 3y = 0.

7. Um subespaco pode ser definido por varias equacoes lineares homogeneas. Mostreque o subconjunto Γ ⊂ R3 e um subespaco, onde

Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− 2y + 3z = 0 e x− y + z = 0.Verifique que esse subespaco e representado no espaco Cartesiano por uma reta quecontem a origem. Quais dos vetores, v = (1, 2, 1) e w = (0, 2, 2) pertencem a Γ?Expresse o subespaco como uma intersecao de subespacos, Γ = Γ1 ∩ Γ2.

8. Mostre que o subconjunto Π = (x, y) ∈ R2;x2−y = 0 nao e um subespaco (encontreum item da definicao de subespaco que nao seja valido para o conjunto).

9. O fato da equacao linear ser homogenea e crucial.

(a) Verifique que Π = (x, y) ∈ R2; 2x− y = 4 nao e um subespaco.

(b) Esboce no plano Cartesiano os conjuntos Γ = P (x, y) ∈ E2; 2x − y = 0 eΠ = P (x, y) ∈ E2; 2x− y = 4.

48

4.2. SUBESPACO E COMBINACAO LINEAR

4.2 Subespaco e combinacao linear

Para apresentar uma segunda maneira de descrever um subespaco recorremos aoconceito de combinacao linear. Antes fixemos uma notacao.

O conjunto formado por todos os vetores que sao combinacoes lineares dos ve-tores v1, v2, ..., vk ∈ Rn sera indicado por [[v1, v2, ..., vk ]] ⊂ Rn, formalmente,

[[v1, v2, ..., vk ]] = w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk, ai ∈ R.Observe que [[v1]] e o conjunto de todos os multiplos de v1.

Exemplo 4.2.1 Sejam v1 = (1,−2, 1) e v2 = (1, 0, 1) vetores em R3. Veja asafirmacoes,

u = (−1,−2,−1) ∈ [[v1, v1]] pois u = v1 − 2v2; v = (4,−6, 4) ∈ [[v1, v1]] pois v = 3v1 + v2; w = (a1 + a2,−a2, a1 + a2) ∈ [[v1, v1]] pois w = a1v1 + a2v2;

A questao e saber responder se um dado vetor, por exemplo, w = (0,−1, 2) ∈ R3,pertence ao conjunto [[v1, v2]], ou nao. Para isso, necessitaremos de um pouco maisde teoria que sera desenvolvida a seguir.

Antes de demonstrarmos que os conjuntos formado pelas combinacoes linearesde vetores sao subespacos, relacionemos os dois tipos de definicoes.

Exemplo 4.2.2 Consideremos um subespaco definido por uma equacao linear ho-mogenea, digamos que seja Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− y + 3z = 0.Um vetor w = (a1, a2, a3) pertence a Γ se, e so-mente se, a1 − a2 + 3a3 = 0. Resolvendo esse sis-tema, a1 = a2 − 2a3, podemos afirmar que v ∈ Γ,se, e somente se,

w = (a2 − 3a3, a2, a3)= (a2, a2, 0) + (−3a3, 0, a3)= a2(1, 1, 0) + a3(−3, 0, 1).

Portanto, w ∈ Γ se, e somente se, w e uma combinacao linear dos vetores v1 =(1, 1, 0) e v2 = (−3, 0, 1). Logo, Γ = [[v1, v2]]. Observe que os dois vetores encontra-dos pertencem ao subespaco Γ. Se apelarmos para a nossa intuicao fısica, de fato,deverıamos ter encontrar pelo menos dois vetores para indicar as duas direcoes noplano Γ que permitem fazer todas trajetorias possıveis da origem a um outro pontosobre ele.

49


Mas na resolucao do sistem a1 − a2 + 3a3 = 0 po-derıamos ter escolhido a2 = a1 + 3a3. Sendo as-sim, seguindo o mesmo roteiro terıamos, v ∈ Γ, se,e somente se, v = a1(1, 1, 0) + a3(0, 3, 1). Isto e,Γ = [[w1, w2]], onde w1 = (1, 1, 0) e w2 = (0, 3, 1).Observe que a dupla de vetores nao e igual a duplaanterior. Um mesmo subespaco pode ser descritocomo o subespaco de combinacoes lineares utili-zando varias colecoes de vetores, nao existe apenasuma colecao.

Exemplo 4.2.3 Seja Γ = (x, y, z) ∈ R2, x−y+2z = 0 e x+y+z = 0. Mostremosque Γ = [[v1]], onde v1 = (−3, 1, 2).

Solucao Observe que w = (a1, a2, a3) ∈ Γ se, e somente se,a1 − a2 + 2a3 = 0a1 + a2 + a3 = 0

(ou

[1 −1 21 1 1

] a1

a2

a3

=[

00

]).

Nao podemos utilizar regra de Cramer para resolver o sistema pois matriz principalnao e quadrada. Devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determi-nante nao igual a zero, e resolver o sistema cuja matriz principal e essa submatriz.As submatrizes 2 × 2 do sistema sao[

1 −11 1

],

[1 21 1

],

[ −1 21 1

].

Como qualquer uma delas tem determinante diferente de zero, escolhamos uma, porexemplo, a segunda. Logo o sistema que devemos resolver fica sendo

a1 + 2a3 = a2

a1 + a3 = −a2

(ou

[1 21 1

] [a1

a3

]=[ −a2

a2

]),

de onde obtemos

a1 = 3a2 e a3 = 2a2.

Portanto w ∈ Γ se, e somente se, w = (3a2, a2, 2a2) = a2(3, 1, 2). Isso mostra queΓ = [[v1]], onde v1 = (3, 1, 2). Caso tivessemos escolhido a primeira submatrizterıamos outro subsistema − a2 + 2a3 = −a1

a2 + a3 = −a1

(ou

[ −1 21 1

] [a2

a3

]=[ −a1

−a1

]),

cuja solucao seria

a2 = 13a1 e a3 = 2

3a1.

Isso mostra que Γ = [[w1]], onde w1 = (1, 13 ,

23). Observe que v1 = 3w1, portanto,

50

4.3. O SUBESPACO [[V1, V2, ..., VN ]]

afirmar que Γ e formado pelos multiplo de v1 ou pelos multiplos de w1 nao fazdiferenca, o conjunto e o mesmo.


Mostre a igualdade dos conjuntos (subespacos).

1. (x, y) ∈ R2, 3x− y = 0 = [[v1]] onde v1 = (1, 3).

2. (x, y, z) ∈ R3;x− 2y + z = 0 = [[v1, v2]], onde v1 = (2, 1, 0) e v2 = (−1, 0, 1).

3. (t, x, y, z) ∈ R4; t+ 2y = 0 = [[v1, v2, v3]], onde v1 = (−2, 0, 1, 0), v2 = e2 e v3 = e4.

4. (x, y) ∈ R2, 3x+ 4y = 0 e x− y = 0 = o = [[o]] onde o = (0, 0).

5. (x, y, z) ∈ R3; 2x− 2y − z = 0 e y = 0 = [[v1]], onde v1 = (1, 0, 2).

6. (t, x, y, z) ∈ R4; t + 2y = 0 e 2x + 3y + z = 0 = [[v1, v2]], onde v1 = (−2, 0, 1, 0) ev2 = (0, 1, 0,−3).

7. Considere Γ = (x, y, z) ∈ R3; 2x + 2y + 2z = 0 e x + y + z = 0. Esse subespacocorresponde a uma reta ou a um plano no espaco Cartesiano?

4.3 O subespaco [[v1, v2, ..., vn]]

A notacao para o conjunto de combinacoes lineares de vetores e extremamentecompacta, ela possui uma serie de informacoes agregadas e nao explicitadas. Porexemplo, escrevendo [[(1, 0), (1, 1), (−√

2, 1)]] ja sabemos que ele e um subconjuntodo R2 (na verdade, como veremos, e um subespaco) pois e formado por todos osvetores do tipo v = a1v1 + a2v2 + a3v3, onde v1 = (1, 0), v2 = (1, 1) e v3 = (−√

2, 1)sao vetores do R2.

Ao escrevermos o sımbolo [[(2, 12 ,−5)]] estamos indicando um subconjunto do R3

formado por todos os vetores w = a1v1, onde v1 = (2, 12 ,−5). Portanto, o conjunto

e formado pelos multiplos do vetor v1.

Exemplo 4.3.1 Algumas vezes podemos identificar imediatamente qual o conjuntoindicado. Ao escrevermos [[(1,−1), (2, 4)]], sabemos que [[(1,−1), (2, 4)]] ⊂ R2.Observando que o determinante da matriz formada pelos vetores v1 = (1,−1) ev2 = (2, 4) nao e zero, det[v1, v2] = 6, concluımos que β = v1, v2 e uma basede R2. Recordando a definicao de base, podemos afirmar que todo vetor w ∈ R2

escreve-se como uma combinacao linear w = a1v1+a2v2. Logo, w ∈ [[(1,−1), (2, 4)]],significando que R2 = [[(1,−1), (2, 4)]].

Mais geralmente, dado [[v1, v2, ..., vn]], com vi ∈ Rn, se det[v1, v2, ..., vn] = 0,concluımos que Rn = [[v1, v2, ..., vn]].

51


Da notacao seguem outras informacoes. Por exemplo, v1 ∈ [[v1, v2, ..., vn]] poisvale a combinacao linear v1 = 1v1 + 0v2 + · · · + 0vn. Da mesma forma, qualquer vi

pertence ao subconjunto. O vetor nulo o = (0, 0, ..., 0) tambem pertence pois vale acombinacao linear o = 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn.

Proposicao 4.3.1 Sejam v1, v2, ..., vk ∈ Rn. O conjunto das combinacoes linearesdesses vetores,

[[v1, v2, ..., vk]] = w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk, ai ∈ R,e um subespaco vetorial de Rn.

Prova Devemos mostrar que o conjunto possui as tres propriedades exigidas nadefinicao de subespaco.

1. O conjunto nao e vazio pois vi ∈ [[v1, v2, ..., vk]],

2. Sejam v,w ∈ [[v1, v2, ..., vk]]. Por definicao de conjunto das combinacoes line-ares, existem escalares a1, a2, ...,ak e b1, b2, ...,bk tais que

v = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk e w = b1v1 + b2v2 + · · · + bkvk.

Sendo assim, a soma v+w pertence ao conjunto [[v1, v2, ..., vk]] pois essa somae uma combinacao linear com coeficientes ci = ai + bi, isto e,

v + w = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · · + (ak + bk)vk.

3. Seja λ um escalar. Entao λv pertence ao conjunto [[v1, v2, ..., vk]] pois elee uma combinacao linear dos vi com coeficientes di = λai, explicitamente,λv = λa1v1 + λa2v2 + · · · + λakvk.

A proposicao ensina um pouco mais: e muito facil construir subespacos vetoriais,basta escolher uma colecao nao vazia de vetores, v1, v2, ..., vk ∈ Rn, e considerar oconjunto de todas combinacoes lineares desses vetores, [[v1, v2, ..., vk]]. O proximoexemplo nos ensina como devemos redefinir um subespaco de combinacoes linearesutilizando equacoes lineares homogeneas.

Exemplo 4.3.2 Seja Γ = [[v1, v2]] ⊂ R4 o subespaco das combinacoes linearesdos vetores v1 = (1, 2, 1,−2) e v2 = (1, 1,−1, 1). Por definicao, um vetor w =(t, x, y, z) ∈ Γ se, e somente se, existem escalares a1 e a2 tais que

(t, x, y, z) = a1v1 + a2v2.

Desejamos determinar os dois escalares em funcao de t, x, y e z. A igualdade acimanos leva ao sistema linear 4 × 2,

52

4.4. GERADORES

a1 + a2 = t

2a1 + a2 = xa1 − a2 = y

−2a1 + a2 = z

(ou

1 12 11 −1

−2 1

[ a1

a2

]=

txyz

).Para resolver por regra de Cramer, podemos considerar somente as duas primeirasequacoes, isto e, suprimir por um momento as duas ultimas,

a1 + a2 = t2a1 + a2 = x

(ou

[1 12 1

] [a1

a2

]=[tx

]).

Obtemos os valores a1 = −t+ x e a2 = 2t− x. Mas esses valores devem satisfazertambem as duas equacoes suprimidas, logo por substituicao devemos ter

a1 − a2 = y−2a1 + a2 = z

,

(−t+ x) − (2t− x) = y

−2(−t+ x) + (2t− x) = z.

Portanto, um vetor (t, x, y, z) ∈ Γ se, e somente se, suas coordenadas satisfazem asequacoes, −3t+2x−y = 0 e 4t−3x− z = 0. Logo, o subespaco pode ser redefinidocomo Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;−3t+ 2x− y = 0 e 4t− 3x− z = 0.


1. Para cada subespaco, redefina-o utilizando equacoes lineares homogeneas.a) [[(−2, 5)]]. b) [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]]. c) [[(0, 1,−2), (1, 0, 1)]].d) [[(−1, 2,−1)]]. e) [[(−2, 1, 0)]]. f) [[(1, 1, 1), (2, 2, 2)]].g) [[(0, 1,−3, 2) (1,−1, 1, 3)]] h) [[(2, 1, 1,−3)]]

2. Expresse os vetores de R2 como combinacao linear de v1 = (1, 4) e v2 = (1, 5).a) u = (4, 1). b) v = (2, 3). c) w = (−1, 2). d) t = (1, 4).

3. Expresse os vetores do R3 como combinacao linear de v1 = (1, 0, 2), v2 = (−2,−1, 0)e v3 = (−1, 2, 1).a) u = (−8, 4, 1). b) v = (0, 2, 3). c) w = (−1, 2, 1).

4. Quais dos vetores pertencem ao subespaco [[(1,−1, 1), (0, 2, 1)]]?a) u = (2, 0, 3). b) v = (3, 7, 8). c) w = (4, 1, 6). d) t = (1, 0, 0).

4.4 Geradores

E claro que nao existem apenas essas duas formas, com equacoes lineares ho-mogeneas ou com combinacoes lineares, para definir um subespaco. Existem inume-ras outras. Um ponto importante da teoria e simplificar o estudo mostrando queseja qual for o subespaco Γ ⊂ Rn ele sempre pode ser descrito como o espaco decombinacoes lineares de vetores, isto e, Γ = [[v1, v2, ..., vk]]. Esse e o nosso objetivo.O conjunto de tais vetores recebem um nome especial.

53


Um subconjuto β = v1, v2, ..., vk ⊂ Rn e um conjunto ordenado de geradoresdo subespaco Γ ⊂ Rn se Γ = [[v1, v2, ..., vk]]. Nesse caso diz-se que β gera Γ.

Exemplo 4.4.1 O conceito de geradores nao e novo. Ja vimos anteriormente quequalquer base ordenada β = v1, v2, ..., vn de Rn e um conjunto de geradores paraRn. Vimos e revimos que Rn = [[v1, v2, ..., vn]], ate foi exibido um conjunto especialde geradores, a base canonica C = e1, e2, ..., en. Base e um caso especial degeradores, da mesma forma que elefantes africanos sao um tipo especial de elefante,pois existem outros tipos, como elefantes indianos.

Ao descrevermos o subespaco na forma Γ = [[v1, v2, ..., vk ]], e superfluo perguntarpor geradores, ele ja esta definido por geradores. Com outro tipo de definicao, porexemplo, por equacoes lineares homogeneas, faz sentido perguntar por geradores dosubespaco.

Um subespaco pode ter duas colecoes distintas de geradores! Isto e, ocorrer queΓ = [[v1, v2, ..., vk]] = [[w1, w2, ..., wl]], onde os vetores e a quantidade deles naosao iguais. Tais fenomenos ja foram comentados em exemplos de secoes anteriores.Como veremos, aumentar o numero de vetores na colecao β ou diminuı-los semmodificar o subespaco diz respeito apenas ao conceito de combinacao linear.

Se eliminarmos um vetor da lista, digamos que seja o ultimo vetor, vn, ficavalendo a inclusao, [[v1, v2, ..., vn−1]] ⊂ [[v1, v2, ..., vn−1, vn]]. De fato, cada vetorpertencente ao primeiro subespaco e um vetor pertencente ao segundo subespaco.Se nao, vejamos. Afirmar que w ∈ [[v1, v2, ..., vn−1]] significa que w = a1v1 + a2v2 +· · ·+an−1vn−1. Mas ao somarmos o vetor nulo o = 0vn ao vetor w obtemos ainda ovetor w. Logo, w = a1v1+a2v2+· · ·+an−1vn−1+0vn. Mas a expressao esta indicandoque w e uma combinacao linear dos n vetores, logo, w ∈ [[v1, v2, ...vn−1, vn]].

Portanto, ao eliminarmos o elemento vi da lista, fato que indicaremos simboli-camente como [[v1, v2, ..., vi, ..., vn]], vale a inclusao de subespacos

[[v1, v2, ..., vi, ..., vn]] ⊂ [[v1, v2, ..., vi, ..., vn]].

Mas nao podemos concluir que vale a inclusao propria,

[[v1, v2, ..., vi, ..., vn]] [[v1, v2, ..., vi, ..., vn]].

Algumas vezes, ao eliminarmos um vetor da lista, continuamos com o mesmo con-junto! Outras vezes, obtemos um subconjunto proprio. Tal comportamento estarelacionado com o conceito de combinacao linear e sera discutido na proxima pro-posicao.

Exemplo 4.4.2 Seja Γ = [[v1, v2, v3]] ⊂ R3, onde v1 = (5,−1, 0), v2 = (2, 2,−2) ev3 = (−1,−7, 6). Consideremos o vetor w ∈ Γ, w = 2v1 − v2 − v3 = (9, 3,−4). O

54

4.4. GERADORES

fato do terceiro vetor do conjunto de geradores ser uma combinacao linear dos doisprimeiros vetores, v3 = v1−3v2, nos permite escrever que w = 2v1− v2− v1 +3v2 =v1 + 2v2. Logo, w ∈ [[v1, v2]]. Essas contas numericas indicam que ao suprimirmosum vetor do conjunto de geradores que seja combinacao linear dos outros vetoresdo conjunto de geradores o subespaco gerado e o mesmo. Deixemos registrado essefato no principal teorema do capıtulo.

Deste ponto em diante, a menos que seja dito explicitamente o contrario, passamosa supor que os subespacos considerados Γ ⊂ Rn nao sao o subespaco trivial e osconjuntos ordenados β = v1, v2, ..., vk sao formados por vetores nao nulos.

A seguir, apresentaremos tres afirmacoes equivalentes. Isso significa que quandoocorre uma delas as outras duas tambem ocorrem. Tal como raio, relampago etrovao, que sao fenomenos sincronicos.

Teorema 4.4.1 Dado o subespaco [[v1, v2, ..., vk]] ⊂ Rn. As afirmacoes sao equiva-lentes.

1. Algum vetor vi e uma combinacao linear dos outros vetores da lista;

2. [[v1, ..., vi, ...vk]] = [[v1, ..., vi, ...vk]]. (vi indica que o vetor foi suprimido)

3. O conjunto e linearmente dependente (l.d.), isto e, o vetor nulo expressa-sepor uma combinacao linear o = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk, onde os coeficientesai’s nao sao todos iguais a zero.

Prova 1.⇒ 2.) Sem perder a generalidade, podemos supor que seja vk o vetor que euma combinacao linear dos outros vetores da lista, vk = c1v1 +c2v2 + · · ·+ck−1vk−1.

Ja sabemos que [[v1, ..., vk−1, vk]] ⊂ [[v1, ..., vk−1, vk]]. Para mostrar a igualdadedevemos mostrar a inclusao oposta. Considere um vetor w = a1v1+a2v2+· · ·+akvk

em [[v1, v2, ..., vk]]. Substituindo vk por sua combinacao linear e reagrupando asparcelas obtemos

w = (akc1 + a1)v1 + (akc2 + a2)v2 + · · · + (akck−1 + ak−1)vk−1.

Claramente, w ∈ [[v1, v2, ..., vk]] pois e uma combinacao linear dos k − 1 primeirosvetores.

2. ⇒ 3.) A hipotese [[v1, ...vk−1, vk]] = [[v1, ..., vi, ...vk]] implica que o vetorvk ∈ [[v1, v2, ..., vk−1]]. Logo, existem coeficientes ai’s nao todos iguais a zero (poisvk nao e o vetor nulo) tais que vk = a1v1 + a2v2 + · · ·+ ak−1vk−1. Portanto o vetornulo expressa-se como o = a1v1 + · · · + ak−1vk−1 − vk, onde os coeficientes nao saotodos iguais a zero.

55


3.⇒ 1.) Deixaremos como exercıcio.

A proposicao estabelece um criterio simples para detetar quando o subespacoΓ = [[v1, v2, ..., vk ]] esta sendo descrito com excesso de geradores. Basta exami-nar se o vetor nulo tambem tem excesso de combinacoes lineares para descreve-lo.Ou falando tecnicamente, examinar se o conjunto β = v1, v2, ..., vk e lineamentedependente. A proposicao demonstrada tem uma versao na forma contrapositiva(negando todas as afirmacoes).

Teorema 4.4.2 Dado o subespaco [[v1, v2, ..., vk]] ⊂ Rn. As afirmacoes sao equiva-lentes.

1. Nenhum vetor vi e uma combinacao linear dos outros vetores da lista;

2. [[v1, ..., vi, ...vk]] [[v1, ..., vi, ...vk]], para qualquer vetor vi;

3. O conjunto e linearmente independente, (l.i) isso e, a unica combinacao paraexpressar o vetor nulo e aquela com todos os coeficientes iguais a zero, o =0v1 + 0v2 + · · · + 0vk.

Como uma primeira aplicacao da proposicao, veremos que so precisamos de umnumero de vetores no conjunto degeradores menor ou igual a n para gerar qualquersubespaco Γ ⊂ Rn. O determinante sera a ferramenta utilizada para verificar essapropriedade.

O determinante de uma matriz quadrada e igual a zero se, e somente se, umacoluna e combinacao linear de outras colunas.

Exemplo 4.4.3 Dado o subespaco Γ = [[v1, v2, v3]] ⊂ R2, onde

v1 = (1, 1), v2 = (1, 2) e v3 = (−1, 1).

Como o determinante da matriz 2×2 cujas colunas sao os dois primeiros vetoresnao e igual a zero, det[v1, v2] = 1, esses dois vetores formam uma base para o R2.Logo, o terceiro vetor v3 e uma combinacao linear dos dois primeiros, calculandoobtemos que w = −3v1 + 2v2. Pela proposicao podemos eliminar o terceiro vetorque continuaremos com um conjunto de geradores para o subespaco, Γ = [[v1, v2]].

Ilustremos um pouco mais a proposicao. Na verdade, Γ = R2, pois qualquervetor de R2 e uma combinacao linear de v1 e v2.

Para determinar os coeficientes da combinacao linear para expressar o terceirovetor, devemos escrever v3 = a1v1 + a2v2 e resolver o sistema

a1 + a2 = −1a1 + 2a2 = 1

(ou

[1 11 2

] [a1

a2

]=[ −1

1

].)

56

4.4. GERADORES

A regra de Cramer nos da imediatamente que a1 = −3 e a2 = 2.

Como o conjunto de tres vetores em R2 nao e linearmente independente, o vetornulo o = (0, 0) nao tem unicidade de combinacao linear,

o = 0v1 + 0v2 + 0v3, (essa combinacao sempre existe) o = −3v1 + 2v2 − v3, (obtida da combinacao linear para v3) o = −3a3v1 + 2a3v2 − a3v3. (pois a3o = o)

Continuemos ilustrando a proposicao. Se o vetor nulo nao se expressa de maneiraunica utilizando combinacao linear dos tres vetores, v1, v2 e v3, o mesmo ocorre comqualquer vetor. Vejamos essa afirmacao. Um vetor w = (x, y) ∈ R2, expressa-secomo a combinacao linear dos dois primeiros vetores como w = (2x−y)v1+(y−x)v2.Logo, somando o vetor nulo a ambos os membros, obtemos as igualdades w + o =w = (2x− y − 3a3)v1 + (y − x+ 2a3)v2 − a3v3.

Comentario Novamente, facamos uma analogiaentre dependencia (ou independencia) linear de ve-tores e um conceito fısico. Suponha que sao da-dos tres vetores que fixam as direcoes possıveisnum plano Cartesiano nas quais podemos cami-nhar para sair da origem O e chegar a um pontoW ,como na figura. Podemos percorrer uma trajetoriasugerida pela combinacao linear w = 3

7v1 + 83v2, ou

seguir uma trajetoria do tipo w = v3 + 43v2 − 1

7v1.Fato: nao sao necessarias tres direcoes para sair daorigem e chegar a qualquer ponto do plano. Bas-tam duas direcoes, digamos, aquelas indicadas por v1 e v2, a terceira direcao edesnecessaria. Esse fenomeno pode ser captado examinando apenas trajetorias quepartem da origem e chegam a origem, por exemplo, aquela sugerida por, o = 2

7v1 +43v2 − v3. Nesse exemplo os vetores sao linearmente dependentes.

Exemplo 4.4.4 Considere o subespaco Γ = [[v1, v2, v3, v4, v5]] ⊂ R3 onde

v1 = (1, 0, 1), v2 = (−2,−1, 0), v3 = (1, 1,−1) v4 = (4, 2, 0) e v5 = (2, 2,−2).

Se, por acaso, para tres vetores da lista o determinante da matriz correspondentenao fosse zero, os tres vetores formarıam uma base do R3, portanto, os outros vetoresrestantes serıam expresso por uma combinacao linear dos tres vetores encontradose mais, Γ = R3. Mas esse nao e o caso.

Como det[v1, v2, v3] = 0, um desses vetores e combinacao linear dos outro doisvetores, portanto, o vetor nulo tem uma outra combinacao linear para expressa-loalem da combinacao linear trivial, o = 0v1 + 0v2 + 0v3, os tres sao linearmente

57


dependentes. Encontremos as outras combinacoes lineares para o pois ela nos diraqual o vetor que podemos eliminar da lista. Escrevendo o = a1v1 + a2v2 + a3v3,obtemos o sistema linear

a1 − 2a2 + a3 = 0− a2 + a3 = 0

a1 − a3 = 0

(ou

1 −2 10 −1 11 0 −1

a1

a2

a3

=

000

.)

Nao podemos utilizar regra de Cramer pois ja sabemos que a matriz principal(dos coeficientes) tem determinante igual a zero. Devemos suprimir uma equacaoresolver o subsistema obtido e verificar se a solucao satisfaz a equacao suprimida.Quando suprimimos a ultima equacao, obtemos duas equacoes com tres incognitas,

a1 − 2a2 + a3 = 0− a2 + a3 = 0

(ou

[1 −2 10 −1 1

] a1

a2

a3

=[

00

].)

Como sempre, devemos escolher uma maior submatriz quadrada com determinantediferente de zero e resolver o sistema que dependera de um coeficiente,

a1 − 2a2 = −a3

− a2 = −a3

(ou

[1 −20 −1

] [a1

a2

]=[ −a3

−a3

].)

E imediato concluir que a1 = a3 e a2 = a3 e a solucao satisfaz a equacao suprimida.Portanto, o = a3v1 + a3v2 + a3v3, ou seja, uma combinacao linea para cada escolhade a3. Para a3 = 1, segue que v1 e a combinacao linear dos outros vetores, v1 =−v2 − v3. Logo, podemos eliminar v1 dos geradores do subespaco que ele continuasendo gerado pelos outros vetores, Γ = [[v2, v3, v4, v5]].

Como det[[v2, v3, v4]] = 0, um dos vetores e combinacao linear dos outros dois.Com os mesmos procedimentos concluımos que o = 2a4v2 + 0v3 + a4v4. Logo, comov4 = −2v2 + 0v3 ele pode ser eliminado obtendo Γ = [[v2, v3, v5]].

Finalmente, e visıvel que v5 = 2v3, ou seja, ele e a combinacao linear dos outrosdois vetores, v5 = 0v2 + 2v3. Logo, Γ = [[v2, v3]].

Nao podemos mais reduzir o conjunto de geradores pois ele e linearmente inde-pendente. Para mostrar esse fato, nao existe mais o criterio do determinante serou nao igual a zero, pois nao podemos formar uma matriz quadrada 3 × 3 utili-zando dois vetores do R3. Devemos mostrar que sao l.i. pela definicao. Escrever acombinacao linear o = a2v2 + a3v3 resolver o sistema correspondente e verificar quea2 = a3 = 0. Portanto, so existe a combinacao linear o = 0v2 + 0v3.

Proposicao 4.4.1 Seja Γ = [[vi, v2, ..., vk]] ⊂ Rn um subespaco. Se k > n entao oconjunto de geradores e linearmente dependente. Em particular, existe um subcon-junto de no maximo n vetores de v1, v2, ..., vk que geram Γ.

58

4.4. GERADORES

Prova Como k > n podemos formar matrizes n × n cujos vetores colunas saoelementos do conjunto de geradores.

Se alguma matriz formada por n vetores do conjunto de geradores tiver deter-minante diferente de zero, os vetores colunas formam uma base para o Rn, Γ = Rn,e os outros vetores da lista sao combinacoes lineares dos vetores encontrados, logo,o conjunto com k > n vetores e linearmente dependente e Γ e gerado por essa basedo Rn. Terminamos a demonstracao.

Resta o caso de qualquer matriz formada por n vetores do conjunto de gerado-res ter determinante igual a zero. Consideramos o conjunto v1, v2, ..., vn, comoalgum vetor e combinacao linear dos outos, o conjunto de geradores e linearmentedependente. Eliminado dessa lista um vetor que seja combinacao linear dos outrosvetores, temos agora o subespaco Γ gerado por k − 1 ≥ n vetores. Podemos con-tinuar eliminando vetores do conjunto de geradores enquanto tivermos um numerode vetores maior ou igual a n utilizando o criterio do determinante ser igual a zero.Isso termina a demonstracao.


1. Expresse os vetores o = (0, 0, 0) e w = (2, 3, 1) por duas combinacoes lineares distintasdos vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (2, 3, 1).

2. Considere o subespaco Γ = [[v1, v2, v3]] ⊂ R2, onde v1 = (1, 1), v2 = (3,−1) ev3 = (2, 1). Verifique quais dos vetores pertence ao subespaco e estude a unicidadeda combinacao linear.a) e1 = (1, 0). b) u = (−2, 1). c) w = (1, 1).

3. Considere o subespaco Γ = [[v1, v2, v3]] ⊂ R3, onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (3, 2, 3)e v3 = (0, 1, 0). Determine quais dos vetores pertencem ao subespaco e estude aunicidade da combinacao linear.a) e1 = (1, 0, 0). b)u = (−3, 4, 3). c)w = (1, 1, 1).

4. Seja Γ = [[v1, v2, v3]]. Extraia um conjunto de geradores l.i. da lista.a) v1 = (−2, 3), v2 = (−1, 1), v3 = (0, 1).b) v1 = (2, 2), v2 = (1, 1), v3 = (−2,−2).c) v1 = (−1, 4), v2 = (3, 2), v3 = (1, 0).

5. Seja Γ[[v1, v2, v3]]. Extraia um conjunto de geradores l.i. para Γ e identifique quaisdos subespaco sao iguais ao espaco R3.a) v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, 1, 1), v3 = (0, 1, 0).b) v1 = (2, 1,−1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (3, 2, 0).c) v1 = (2, 1,−1), v2 = (−2, 1,−1), v3 = (1,−1, 4).

6. Determine um conjunto de geradores l.i. para cada subespaco.a) Γ = (x, y) ∈ R2; 2x− 5y = 0. b) Γ = (x, y, z) ∈ R3; 2x− 5y = 0 e y = 0.c) Γ = (x, y, z) ∈ R3; y − z = 0. d) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 0.

59


4.5 Base

Anteriormente, utilizamos o conceito de combinacao linear para dar significado aostermos ”β = v1, v2, ...vk e um conjunto ordenado de geradores de um subespacovetorial Γ”. O passo seguinte foi classificar os conjuntos ordenados de geradores emdois tipos:

1. aqueles conjuntos com os quais escrevemos cada vetor do espaco de maneiraunica, tecnicamente falando, os linearmente independentes,

2. e aqueles que nao possuem essa propriedade, os linearmente dependentes.

Combinando os dois conceitos, geradores e independencia linear, definimos baseordenada de um subespaco,

Base ordenada

Conjunto ordenado de geradores

Conjunto linearmente independente.

Definicao 4.5.1 Um conjunto ordenado β = v1, v2, ..., vk ⊂ Rn e uma base parao subespaco Γ se

1. Γ = [[v1, v2, ..., vk ]]; (geradores)

2. β e linearmente independente. (l.i.)

Quando o subespaco ja esta definido por um conjunto de geradores, desse con-junto podemos extrair uma base utilizando reiteradamente a proposicao da secaoanterior.

Corolario 4.5.1 Dado o subespaco Γ = [[v1, v2, ..., vk]] ⊂ Rn, podemos escolher umsubconjunto α ⊂ v1, v2, ..., vk que e uma base ordenada do subespaco.

Prova Se o conjunto de geradores for linearmente independente, terminamos oproblema, pois ele e uma base. Caso contrario, se o conjunto for linearmentedependente, diminuımos o numero de vetores do conjunto ordenado de gerado-res β = v1, ..., vi, ..., vk retirando do conjunto um elemento vi que seja com-binacao linear dos outros, concluımos que o subespaco das combinacoes linearesde βi = v1, ..., vi, ..., vk e o mesmo,

[[v1, ..., vi, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]].

Ao conjunto ordenado de geradores βi, aplicamos o mesmo processo, retiramos umelemento vj que seja combinacao lineares dos outros. Apos um numero finito de

60

4.6. DIMENSAO

etapas menor que k, temos construıdo um conjunto ordenado de geradores, diga-mos α, contendo pelo menos um vetor e gerando o mesmo subespaco original. Noconjunto α, um vetor qualquer nao e combinacao linear dos outros. Logo, e umconjunto de geradores linearmente independente, isto e, uma base.

Chamamos a atencao para um caso particular. Quando o conjunto ordenado econstituıdo de um unico vetor nao nulo, β = v1, ele e linearmente independentepois se o = a1v1 entao a1 = 0. Por exemplo, para β = (1,−1, 3) ⊂ R3, temos quese (0, 0, 0) = a1(1,−1, 3) = (a1,−a1, 3a1) entao a1 = 0.


1. Justifique as respostas dadas.a) O conjunto de geradores de Γ = [[v1,−3v1]] ⊂ Rn e uma base? Resp.: Nao.b) Um conjunto de geradores de um subespaco, linearmente independente, pode

conter dois vetores iguais? Resp.: Nao.

2. Quais dos conjuntos abaixo sao linearmente independente? Extraia um conjuntolinearmente independente do conjunto dado.

a) β = (4, 1, 0), (−2, 1, 2), (1,−3, 2), (2, 0, 1) ⊂ R3.

b) β = (1, 1, 0), (0,−3, 4), (1,−4, 4) ⊂ R3.

3. Para cada subespaco, descreva-o como o subespaco de combinacoes linerares de umabase. Encontrado a base de Γ estenda-a a uma base do espaco.a) Γ = (x, y) ∈ R2;x− 2y = 0.b) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− 2y + z = 0.c) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;x− 2y = 0, 2x− 3y = 0.d) Γ = (s, t, x, y, z) ∈ R5;x = 0.

4. Encontre uma base para cada um dos subespacos e estenda-a a uma base do espaco.a) Γ = [[(−4, 8), (2,−4), (−1, 2)]]. b) Γ = [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]].c) Γ = [[(0, 1,−2), (−3, 2,−7), (1, 0, 1)]]. d) Γ = [[(−1, 2,−1)]].e) Γ = [[(−2, 1, 0)]]. f) Γ = [[(1, 1, 1), (2, 2, 2)]].g) Γ = [[(−2, 2, 0), (1,−1, 0), (1, 1, 1)]].

4.6 Dimensao

Aprendemos que so e possıvel diminuir o numero de vetores de um conjunto degeradores de um subespaco quando ele e linearmente dependente.

A ideia principal dessa secao e, de certa forma, percorrer o caminho inverso.Dado um subespaco qualquer Γ ⊂ Rn, iremos escolher, sucessivamente, vetores v1,v2,...,vk em Γ, linearmente independentes, ate obter uma base ordenada e concluirque Γ = [[v1, v2, ..., vk]]. Como isso, chegamos ao nosso objetivo, todo subespaco

61


nao trivial do Rn possui uma base, alias, podemos construir muitas bases distintasaplicando os procedimentos indicados no seguinte lema.

Lema 4.6.1 Seja v1, v2, ..., vk uma base do subespaco Γk = [[v1, v2, ..., vk ]]. Sevk+1 /∈ Γk = [[v1, v2, ..., vk]] entao v1, v2, ..., vk, vk+1 e uma base do subespacoΓk+1 = [[v1, v2, ..., vk, vk+1]].

Prova Suponha, por absurdo, que os geradores de Γk+1 sejam l.d. Entao o vetornulo tem uma expressao do tipo o = a1v1 + a2v2 + · · · + vkvk + ak+1vk+1 onde oscoeficientes ai’s nao sao todos iguais a zero. Logo, ak+1vk+1 = −a1v1 − a2v2 − · · ·−vkvk. Se o coeficiente ak+1 for igual a zero, como nem todos os coeficientes sao iguaisa zero, o vetor nulo e expresso por uma combinacao linear com coeficientes nem todoiguais a zero, o = −a1v1 − a2v2 − · · · − vkvk, de onde segue que os geradores de Γk

nao sao linearmente independente, uma contradicao. Portanto, ak+1 = 0. Sendoassim,

vk+1 =a1

ak+1v1 +

a2

ak+1v2 + · · · + ak

ak+1vk.

Isso implica que vk+1 ∈ Γk = [[v1, v2, ..., vk]], uma contradicao. Portanto, naopodemos supor que os k + 1 vetores sao linearmente dependente, eles sao l.i.

Exemplo 4.6.1 Ilustraremos com um exemplo como o lema indica um processopara construcao de uma base para um subespaco. Dado o subespaco proprio

Γ = (t, x.y.z) ∈ R4; 2t− x− 3y + z = 0 ⊂ R4.

Primeiro, escolhemos um vetor nao nulo, digamos v1 = (1, 2, 0, 0) ∈ Γ, e consi-deramos o subespaco Γ1 = [[v1]] ⊂ Γ.

Segundo, escolhemos outro vetor nao nulo v2 ∈ Γ mas com v2 /∈ Γ1 = [[v1]], porexemplo v2 = (0,−1, 3, 0), basta nao ser multiplo de v1 e pertencer ao subespaco Γ.Construımos o subespaco Γ2 = [[v1, v2]] ⊂ Γ. Observe que Γ1 ⊂ Γ2 ⊂ Γ.

Terceiro, escolhemos um vetor v3 ∈ Γ mas com v3 /∈ Γ2 = [[v1, v2]], por exemplov3 = (0, 1, 0, 1) (pertence a Γ mas nao pode ser combinacao linear dos outros doisprimeiros desde que sua ultima coordenada nao e igual a zero e a ultima coordenadade v1 e de v2 sao iguais a zero). Consideramos Γ3 = [[v1, v2, v3]] ⊂ Γ.

O processo termina aqui, isto e, Γ3 = Γ. Deixemos essa afirmacao para oproximo teorema.

Teorema 4.6.1 Seja Γ ⊂ Rn um subespaco nao trivial. Entao existe uma baseordenada α = v1, v2, ..., vk ⊂ Γ. Alem de Γ = [[v1, v2, ..., vk]] podemos afirmar:

a) o numero de elementos de uma base ordenada de Γ e menor ou igual a n;

62

4.6. DIMENSAO

b) se o numero de elementos de uma base ordenada de Γ e igual a n entaoΓ = Rn.

c) se k < n, entao a base α = v1, v2, ..., vk pode ser estendida a uma baseβ = v1, ...vk, vk+1, ..., vn de Rn.

Prova Iniciemos com a construcao de uma base ordenada para Γ.

Como Γ e nao trivial podemos escolher um vetor nao nulo v1 ∈ Γ e consideraro subespaco Γ1 = [[v1]] ⊂ Γ. Se vale a igualdade dos conjuntos terminamos, poisα1 = v1 e um conjunto ordenado linearmente independente.

Se nao vale a igualdade, existe um outro vetor nao nulo v2 ∈ Γ e v2 /∈ [[v1]]. Pelolema, o conjunto α2 = v1, v2 e linearmente independente. Consideramos entao osubespaco Γ2 = [[v1, v2]] ⊂ Γ. Se vale a igualdade, terminamos.

Se nao, continuamos com o mesmo procedimento. O processo acaba apos umnumero de etapas menor ou igual a n, pois sendo o conjunto αk linearmente inde-pendente, ele nao pode conter mais de n vetores. Fica demonstrado o item a).

A demonstracao do item b) repete a mesma ideia. Seja αn = v1, v2, ..., vn e umabase ordenada de Γ com n elementos. Por absurdo, assuma que Γ Rn. Escolha umvetor vn+1 /∈ Γ. Necessariamente este vetor e nao nulo e αn+1 = v1, v2, ..., vn, vn+1e um conjunto linearmente independente em Rn com mais de n elementos. Umaconstradicao. Logo, Γ = [[v1, v2, ..., vn]] = Rn

Exercıcio: demonstre o item c) acrescentando vetores fora do subespaco.

O numero mınimo de vetores que geram um subespaco Γ chama-se de dimensaode Γ. Na lıngua portuguesa, dependendo do contexto, a palavra dimensao transmitea nocao de comprimento, largura e altura. Fisicamente, diz-se que um segmentode reta tem comprimento; uma figura plana como um retangulo tem comprimentoe largura; um solido como um paralelepıpedo tem comprimento, largura e altura.A nocao de dimensao de um subespaco transfere essas sensacoes fısicas para a Ma-tematica, mas para transferı-la precisamos de toda a teria apresentada ate o mo-mento.

Corolario 4.6.1 As bases de um subespaco nao trivial Γ ⊂ Rn tem o mesmonumero de elementos.

Prova Suponha que α = v1, v2, ..., vk e β = w1, w2, ..., wl sejam duas bases deum subespaco Γ ⊂ Rn. E claro que k ≤ n e l ≤ n. Vamos supor, por absurdo, quek = l, digamos que k < l.

Sabemos que Γ = [[v1, v2..., vk]] = [[w1, w2, ...wl]]. Se acrescentarmos um vetorvk+1 /∈ Γ a lista de geradores teremos duas bases de um subespaco contendo Γ,

63


[[v1, v2..., vk, vk+1]] = [[w1, w2, ...wl, vk+1]]. Por esse processo, escolhendo sucessiva-mente vetores nao pertencente ao novo subespaco construıdo, obtemos apos n − ketapas uma base para o Rn,

Rn = [[v1, v2..., vk, vk+1, ..., vn]] = [[w1, w2, ...wl, vk+1, ..., vn]].

Uma constradicao, pois o conjunto de geradores w1, ..., wl, vk+1, ..., vn temmais de n vetores, ele nao pode ser linearmente independente. Logo l = k.

O corolario acima permite a seguinte definicao.

Definicao 4.6.1 A dimensao de um subespaco nao trivial Γ ⊂ Rn e o numero deelementos de uma de suas bases. A dimensao do espaco trivial e zero, por definicao.

Comentario As dimensoes possıveis para subespacos nao triviais do Γ ⊂ R2, saopoucas. Como todo subespaco possui uma base ordenada β e mais de dois vetoresem R2 sao linearmente dependentes, segue que o conjunto linearmente independenteβ tem um ou dois vetores nao nulos. Quando β = v1 diz-se que Γ = [[v1]] temdimensao um. Sua representacao no plano Cartesiano e uma reta que contem aorigem. Caso β = v1, v2 podemos afirmar que Γ = R2. Recordamos que a basecanonica de R2 tem dois elementos, logo sua dimensao e dois.

As dimensoes possıveis para os subespacos nao triviais Γ ⊂ R3 sao 3. Se β e umabase ordenada de Γ, β nao pode ter mais de tres vetores pois e l.i. Quando β = v1,Γ = [[v1]] tem dimensao um. Sua representacao grafica no espaco Cartesiano e umareta que contem a origem. Quando β = v1, v2, o subespaco Γ = [[v1, v2]] temdimensao dois. A representacao grafica Γ e um plano que contem a origem. Damesma forma, se β tem tres elementos sabemos que Γ = R3.

Exercıcio 4.6.1 Qual a dimensao do subespaco Γk = [[e1, e2, ..., ek ]] ⊂ Rn?

Exemplo 4.6.2 Sejam Γ1 = (x, y, z) ∈ R3;x −y + z = 0 e Γ2 = (x, y, z) ∈ R3; 2x + y + z = 0dois subespacos do R3. Como sabemos eles tem di-mensao dois (plano) e sao formado por vetores or-togonais aos vetores η1 = (1,−1, 1) e η2 = (2, 1, 1),respectivamente. A intersecao Γ1 ∩ Γ2 tambem eum subespaco e tem dimensao um (reta) e seusvetores sao simultaneamente orotogonais aos veto-res normais η2 e η2. Logo, qualquer vetor na in-tersecao e colinear com o produto vetorial η2×η2 =(−2, 1, 3). Portanto, Γ1 ∩ Γ2 = [[η1 × η2]].

64

4.6. DIMENSAO

Corolario 4.6.2 Dado um conjunto ordenado de n vetores β = v1, v2, ..., vn ⊂Rn. As seguintes afirmacoes sao equivalentes.

i) β = v1, v2, ..., vn e uma base ordenada de Rn;

ii) det[v1, v2, ..., vn] = 0;

iii) β e linearmente independente.

A base ordenada e positiva ou tem orientacao positiva se det[v1, v2, ..., vn] > 0,caso contrario diremos que ela tem orientacao negativa.


As afirmacoes sao verdadeira. Mostre-as.

a) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;x− 2y + z = 0. Tem dimensao 3.

b) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;x− 2y + z = 0 e t− x+ z = 0. Tem dimensao 2.

c) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;x− 2y + z = 0, t− x+ z = 0 e t− z = 0. Tem dimensao 1.

d) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4;x− 2y + z = 0, t− x+ z = 0 e z = 0. Tem dimensao 1.

e) [[(1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 2)]]. Tem dimensao 2.

f) [[(1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)]]. Tem dimensao 1.


1) Substitua as coordenadas de cada vetor na equacao. Resposta: u e v.2) O paralelepıpedo esta contido num plano, ele nao possui volume positivo.3) a) Subespaco proprio, corresponde ao eixo oy.

b) Subespaco proprio corresponde ao plano determinado pelas retas (eixos) ox e oz.c) Nao e subespaco proprio, Γ = R2.d) Subespaco proprio correspondente ao eixo ox.

5) Por regra de Cramer, verificamos que os vetores em Γ sao os multiplos do vetorv = (1, 2, 1)

6) O ponto O(0, 0) ∈ E2.7) Γ1 = (x, y, z) ∈ R3;x+2y−3z = 0 e Γ2 = (x, y, z) ∈ R3;x−y+z = 0. Como e a

intersecao de dois planos, Γ corresponde a uma reta que contem a origem O(0, 0, 0).8) O vetor v = (1, 1) ∈ Π, mas um multiplo, por exemplo, 3v nao pertence a Π.9) a) O ponto v = (3, 2) ∈ Π, mas seu multiplo 2v nao pertence.

b) Corresponde a duas retas paralelas do plano Cartesiano, uma delas passando pelaorigem o(0, 0).

Secao 4.2

65


7) Corresponde a um plano. As equacoes definem um mesmo plano em R3.

Secao 4.3

1) Voce pode ter encontrado outras equacoes mas o numero delas sao iguais. De qualquerforma, verifique se os vetores dados satisfazem as equacoes encontradas por voce.a) Γ = (x, y) ∈ R2; 5x+ 2y = 0.b) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − 3z = 0.c) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − z = 0.d) Γ = (x, y, z) ∈ R3; 2x+ y = 0 e y + 2z = 0.e) Γ = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2y = 0 e z = 0.f) Γ = [[(1, 1, 1)]], Γ = (x, y, z) ∈ R3;x− y = 0 e y − z = 0.g) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4; 2t+ 3x+ y = 0 e − 5t− 2x+ z = 0.h) Γ = (t, x, y, z) ∈ R4; t− 2x = 0, x− y = 0 e 3y + z = 0.

2) Como det[v1, v2] = 1 = 0 v1 e v2 formam uma base do R2. Por regra de Cramer,expressamos qualquer vetor v = (x, y) ∈ R2 de um unico modo, (x, y) = (5x− y)v1 +(x − 4y)v2. Resta particularizar para os vetores dados, u, v, w e t.

4) Solucao semelhante ao do item anterior. Como det[v1, v2, v3] = −11 = 0, os vetoresformam uma base do R3 e cada vetor e expresso por (x, y, z) = −1

11 (−x+2y−5z)v1 +−111 (2x+ 3y− 2z)v2 + −1

11 (2x+ 4y− z)v3. Resta particularizar para os vetores dados.5) Somente u e v pertencem ao subespaco.

Secao 4.4

1) Como det[v1, v2, v3] = 0, eles sao l.d. Na verdade, v3 = v1 + v2. Logo, o = 0v1 +0v2 + 0v3 e o = v1 + v2 − v3. Para o vetor w podem ser as combinacoes linearesw = v1 + v2 + 0v3 ou w = w + o = 2v1 + 2v2 − v3.

2) Como det[v1, v2] = 0, os dois vetores formam uma base para o R2. Logo, Γ =[[v1, v2]] = R2 e o terceiro vetor escreve-se como v3 = 5

4v1 + 14v2. Dessa igualdade

segue que o vetor nulo, ou qualquer outro vetor, nao tem unicidade de combinacaolinear com os tres vetores dados, o = 5

4v1 + 14v2−v3. Se w = (x, y) entao w = w+o =

14 (x + 3y + 5)v1 + 1

4 (x − 2y + 1)v2 − v3. Todos os vetores pertencem ao subespacoΓ = R2.

3) Como det[v1, v2, v3] = 0 eles sao l.d. Verifica-se que v2 = 3v1 + 2v3. Logo, Γ =[[v1, v3]] R3. Somente u e w pertencem ao subespaco Γ.

4) a) Como det[v2, v3] = 0, β = v2, v3 e um conjunto de geradores l.i. Observe queΓ = [[v2, v3]].b) Como det[vi, vj ] = 0, eliminamos dois vetores. Escolha β = v1 como o conjuntode geradores.

5) Utilize o criterio do determinante.a) e b) sao linearmente independente e Γ = R3.c) Γ = [[v1, v3]] R3.

6) a) β = (5, 2) b) β = (5, 2, 0) c) β = (1, 0, 0), (0, 1, 1) d) β = (1, 0, 1), (0, 1, 2)Secao 4.5

66

4.6. DIMENSAO

2) a) L.d. pois sao quatro vetores do R3. Tome os tres primeiros vetores de β.c) Sao l.d. pois o determinante da matriz formada pelos vetores e igual a zero.Escolha os dois primeiros vetores.

3) Para construir uma base do espaco Rn escolha vetores que nao estejam em Γ.a) Γ = [[(2, 1)]] e R2 = [[(2, 1) (1, 0)]].b) Γ = [[(2, 1)]] e R2 = [[(2, 1) (1, 0)]].c) Γ = [[e2, e3]] e R4 = [[e1, e2, e3, e4]].d) Γ = [[e1, e2, e4, e5]] e R5 = [[e1, e2, e3, e4, e5]].

4) Acrescente o(s) vetor(es) indicado(s) para construir uma base do Rn. Utilizamos ocriterio do determinante para escolher os vetores para formar uma base. Voce podeter encontrado outra base.a) Γ = [[(−4, 8)]], v1 = (8, 4).b) Γ = [[(−2, 1, 0), (1, 1, 1)]], v1 = (0, 0, 1).c) Γ = [[(0, 1,−2), (−3, 2,−7)]], v1 = (1, 0, 0).d) Γ = [[(−1, 2,−1)]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0).e) Γ = [[(−2, 1, 0)]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1).f) Γ = [[(1, 1, 1), ]], v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0).g) Γ = [[(−2, 2, 0), (1, 1, 1)]], v1 = (1, 0, 0).

67

Capıtulo 5

Transformacoes linearesO leitor ja deve ter visto algumas vezes nos cursos de Calculo, perguntas sobreexistencia de funcoes do tipo: Existe uma funcao f : R → R tal que f ′(x) = f(x)e f(0) = 1? A resposta e sim e so existe uma, denominada de funcao exponencial,f(x) = ex. Se o valor exigido no ponto x = 0 fosse f(0) = 3 a funcao seriaf(x) = 3ex.

Nesse capıtulo iremos estudar funcoes, chamadas de transformacoes lineares,A : Rm → Rn, satisfazendo duas condicoes listadas a seguir. Cada transformacaolinear fica completamente determinada definindo o seu valor na base canonica dodomınio, valores esses, que serao guardados numa matriz, possibilitando estabelecervarios e importantes algorıtmos.

5.1 Transformacoes lineares

Diz-se que uma aplicacao A : Rn → Rm e uma transformacao linear se para quais-quer vetores v,w ∈ Rn e para qualquer escalar λ ∈ R as seguintes condicoes saoverificadas,

a) A(v + w) = A(v) +A(w), b) A(λv) = λA(w).

Mostrar que transformacoes lineares existem, construı-las ou identifica-las esimples. Suponha que A : Rm → Rn seja uma transformacao linear. Um vetorv = (x1, x2, ..., xm) do domınio e uma combinacao linear dos elementos da basecanonica, a saber, v = x1e1 + x2e2 + · · · + xmem. Pela definicao de transformacaolinear seguem as igualdades,

A(x1, x2, ..., xm) = A(x1e1 + x2e2 + · · · + xmem)= A(x1e1) +A(x2e2) + · · · +A(xmem)= x1A(e1) + x2A(e2) + · · · + xmA(em).

68

5.1. TRANSFORMACOES LINEARES

Varias informacoes sobre uma transformacao linear podem ser obtidas da igualdade

A(x1, x2, ..., xm) = x1A(e1) + x2A(e2) + · · · + xmA(em).

1o Para construir uma transformacao linear basta especificar quais sao seus va-lores na base canonica do domınio e definir a transformacao linear pela com-binacao linear a direita da igualdade.

2o Para identificar uma transformacao linear e suficiente que a imagem de umvetor v = (x1, x2, ..., xm) seja uma combinacao linear como alı descrito.

3o Quando duas transformacoes lineares assumem os mesmos valores na basecanonica elas sao identicas.

4o Como veremos logo a seguir, dela obteremos informacoes, a respeito da inje-tividade e sobrejetividade da transformacao linear.

5o A igualdade nos permitira construir uma matriz que sera chamada de ma-triz canonica da transformacao linear da qual podemos obter muitas outrasinformaces sobre a transformacao.

Exercıcio 5.1.1 Vamos construir uma transformacao linear A : R2 → R2. Esco-lhamos os valores de A na base canonica para ser A(e1) = (−1, 0) e A(e2) = (0, 3).Portanto, a expressao para a transformacao linear em termos de coordenadas seraA(x, y) = (−x, 3y) pois

A(x, y) = xA(e1) + yA(e2) = x(−1, 0) + y(0, 3) = (−x, 3y).Falta verificar que essa aplicacao A e uma transformacao linear, isto e, ela satisfazas condicoes listadas na definicao. Seguimos os seguintes calculos que sao procedi-mentos de rotina. Considere dois vetores v = (x1, y1) e w = (x2, y2) em R2 e umescalar λ ∈ R. Calculemos

A(v + w) = A(x1 + x2, y1 + y2)= (−x1 − x2, 3y1 + 3y2)= (−x1, 3y1) + (−x2, 3y2)= A(v) +A(w),

A(λv) = A(λx, λy)

= (−λx, 3λy)= λ(−x, 3y)= λA(x, y).

Esse exemplo ilustra uma proposicao que sera enunciada posteriormente e cujademostracao sera deixada como exercıcio.

Exemplo 5.1.1 Para construir uma transformacao linear A : R2 → R3 basta es-pecificar os valores na base canonica do domınio C = e1, e2. Por exemplo, sedesejamos que A(1, 0) = (1,−1, 2) e A(0, 1) = (2, 0, 3), entao construımos a trans-formacao linear como indicado,

69

CAPITULO 5. TRANSFORMACOES LINEARES

A(x, y) = xA(1, 0) + yA(0, 1)= x(1,−1, 2) + y(2, 0, 3)= (x+ 2y,−x, 2x + 3y).

Portanto, em coordenadas temos que A(x, y) = (x+ 2y,−x, 2x+ 3y).

Exemplo 5.1.2 A aplicacao A : R3 → R3, A(x, y, z) = (2x−y+3z, 4y+2z, 2x−y)e uma transformacao linear. Se nao vejamos,

A(x, y, z) = (2x− y + 3z, 4y + 2z, 2x − y)= (2x, 0, 2x) + (−y, 4y,−y) + (3z, 2z, 0)= x(2, 0, 2) + y(−1, 4,−1) + z(3, 2, 0).

Verifica-se que A(e1) = (2, 0, 2), A(e2) = (−1, 4,−1) e A(e3) = (3, 2, 0).

Proposicao 5.1.1 Sejam v1, v2,...,vm vetores do Rn. A aplicacao A : Rm → Rn,definida por A(x1, x2, ..., xm) = x1v1 + x2v2 + · · · + xmvm e uma transformacaolinear. Mais ainda, essa e a unica transformacao linear A : Rm → Rn tal queA(ei) = vi.

Uma transformacao linear possui duas propriedades basicas, quais sejam, A(o) = oe A(−v) = −A(v). Para verifica-las, basta considerar λ = 0 e w = −v = (−1)v efazer a avaliacao A(λv) = λA(v) e A(w) = A(−v).

Exemplo 5.1.3 Seguem exemplos para o leitor familiarizar-se com o conceito.

1. A aplicacao Id : Rn → Rn, Id(v) = v, chamada de aplicacao identidade, euma transformacao linear. Em termos de coordenadas fica Id(x1, x2, ..., xn) =(x1, x2, ..., xn). Observe que Id(x1, x2, ..., xn) = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.

2. Chamaremos de transformacao linear identicamente nula de Rm em Rn aaplicacao A(v) = o para qualquer v ∈ Rm. Em termos de coordenadas,A(x1, x2, ...xm) = (0, 0, ..., 0). Nesse caso, A(x1, x2, ..., xn) = x1o+x2o+ · · ·+xno.

Exercıcio 5.1.2 A aplicacao A : R2 → R3, A(x, y) = (3x+ y, x− y, x+ y), e umatransformacao linear.

Dada uma funcao, muitas vezes e conveniente conhecer duas informacoes sobreela, acerca da injetividade e sobrejetividade. No caso de uma transformacao linear,A : Rm → Rn, tais informacoes sao obtidas examinando-se dois subespacos, umno contradomınio e o outro no domınio, chamados de imagem e nucleo da trans-formacao linear. Sao eles, respectivamente,

70

5.1. TRANSFORMACOES LINEARES

a) Im (A) = w ∈ Rn; w = A(v) para algum v ∈ Rm;b) Nuc (A) = v ∈ Rm; A(v) = o.

Exercıcio 5.1.3 Examinemos uma transfromacao linear A : R3 → R2. Digamosque seja A(x, y, z) = (x+ y − z, 3x − 2y). Como sabemos, podemos escrever que

A(x, y, z) = xA(e1) + yA(e2) + zA(e3),

onde A(e1) = (1, 3), A(e2) = (1,−2) e A(e3) = (−1, 0).

Imagem A igualdade acima nos diz que o subespaco imagem e um subespaco decombinacoes lineares com geradores A(e1), A(e2) e A(e3), ou seja,

Im(A) = [[A(e1), A(e2), A(e3)]].

Mostremos essa afirmacao. Um elemento da imagem A(v) ∈ Im(A) escreve-secomo uma combinacao linear do tipo A(v) = xA(e1) + yA(e2) + zA(e3), onde v =(x, y, z). Logo, esse elemento tambem pertence ao subespaco [[A(e1), A(e2), A(e3)]],isso mostra que a imagem esta contida nesse ultimo subespaco. Reciprocamente,dado um elemento de w ∈ [[A(e1), A(e2), A(e3)]], por definicao de subespaco dascombinacoes lineares, podemos afirmar que w = a1A(e1) + a2A(e2) + a3A(e3). Eclaro que A(v) = w onde v = (a1, a2, a3).

Nucleo A apresentacao da transformacao linear em coordenadas nos da a des-cricao do nucleo utilizando equacoes lineares homogeneas. Observe que o vetorv = (x, y, z) esta no nucleo se, e somente se, A(x, y, x) = (0, 0). Portanto, ascoordenadas de um vetor do nucleo satisfazem as equacoes lineares homogeneasx+ y − z = 0 e 3x− 2y = 0. Logo,

Nuc(A) = (x, y, z) ∈ R3;x+ y − z = 0 e 3x− 2y = 0.

Registremos numa proposicao dois fatos simples mas de bastante utilidade.

Proposicao 5.1.2 Se A : Rm → Rn uma transformacao linear entao

a) A e injetiva ⇔ Nuc(A) = o;b) A e sobrejetiva ⇔ ImA = Rn.

Prova a) Suponha que A e injetiva. Como A(o) = o, somente o vetor nulo, enenhum outro vetor, pode assumir o valor o ∈ Rn, mostrando que Nuc(A) = o.Vamos supor que Nuc(A) = o. Sejam v,w ∈ V vetores tais que A(v) = A(w).Por linearidade obtemos A(v − w) = o. Como o nucleo e trivial concluimos quev − w = 0, isto e, v = w, mostrando a injetividade. A demonstracao do segundoitem e trivial.

71


Nesse texto reservamos um capıtulo para transformacoes lineares do Rn para oRn, isto e, A : Rn → Rn. Para enfatizar que o domınio e o contradomınio sao iguais,chamaremos a transformacao linear de operador linear em Rn.


1. Verifique quais das aplicacoes sao transformacoes lineares.

a) A : R2 → R2, A(x, y) = (xy, y).

b) A : R3 → R2, A(x, y, z) = 3(x− y, x+ 2y + z).

c) A : R2 → R2, A(x, y) = (3 − x+ y − 1, x− 3y + 2).

d) A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x− 3z, y + 2z − 3x).

2. Dado o conjunto ordenado de vetores γ = w1, w2, w3 ⊂ Rn. Para cada itemencontre a transformacao linear A : R3 → Rn satisfazendo as condicoes A(ei) = wi.

a) γ = (1, 1), (1,−1), (2, 1) ⊂ R2.

b) γ = (2,−3, 1), (0, 1, 0), (1,−1, 4) ⊂ R3.

c) γ = (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 2, 0, 2) ⊂ R4.

3. Determine uma base para o nucleo da transformacao linear, se ela nao for injetiva.

a) A : R2 → R2, A(x, y) = (x+ y, y).

b) A : R2 → R3, A(x, y) = (2x+ y, 4y + 2y).

c) A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x+ y, y − z).

4. Construa um operador linear A : R2 → R2 com a propriedade pedida.

a) A reflete cada vetor em relacao ao eixo ox.

b) A reflete cada vetor em relacao ao eixo oy.

c) A reflete cada vetor em relacao ao subespaco Γ = (x, y) ∈ R2;x− y = 0.d) A rotaciona cada vetor no sentido anti-horario por um angulo de π

2 .

5. Construa uma transformacao linear com a propriedades pedida.

a) A : R3 → R2 tal que Im (A) = [[v1, v2]], onde v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1).

b) A : R2 → R3 tal que Im (A) = [[v1]], onde v1 = (0, 3,−1).

c) A : R3 → R2 tal que Im (A) = (x, y) ∈ R2; 2x− y = 0.d) A : R3 → R3 tal que Im (A) = (x, y, z) ∈ R3; 2x+ 3y + z = 0.e) A : R3 → R2 tal que Im(A) = (x, y) ∈ R2; x− y = 0.

6. Construa uma transformacao linear com a propriedades pedida.

a) A : R3 → R2 tal que Nuc (A) = (x, y, z) ∈ R3;x− y + 2z = 0.

72

5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR

b) A : R2 → R3 tal que Nuc (A) = (x, y) ∈ R2;x = 0.c) A : R3 → R2 tal que Nuc (A) = (x, y, z) ∈ R3; 2x− y = 0.d) A : R3 → R3 tal que Im (A) = (x, y, z) ∈ R3; 2x+ 3y + z = 0 e x− z = 0.e) A : R3 → R2 tal que Nuc (A) = (x, y, z) ∈ R3; x+ y = 0 e z = 0.f) A : R2 → R2 tal que Nuc (A) = o.

7. Fixados os vetores v1, v2 ∈ R2 defina a aplicacao A : R2 → R2, A(x, y) = xv1 + yv2.

a) Verifique que A e um operador linear.b) Demonstre que u e v sao linearmente independente ⇔ a aplicacao e injetiva.

8. Prove utilizando conjunto de geradores que uma transformacao linear A : R3 → R2,nao pode ser injetiva.

9. Fixado λ0 ∈ R. A aplicacao A : Rn → Rn, A(v) = λ0v, e um operador linearchamado de homotetia. Mostre que ele e uma transformacao linear e descreva-outilizando coordenadas.

5.2 Matriz de uma transformacao linear

Como vimos, uma transformacao linear A : Rm → Rn fica completamente determi-nada quando conhecemos os valores de A na base canonica, A(e1), A(e2),...,A(em).Por esse e outros motivos, guardamos os valores A(ei) numa matriz.

Definicao 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transformacao linear. A matriz canonicaassociada a A e a matriz n×m [A] definida por

[A] = [A(e1), A(e2), ..., A(em)].

Exemplo 5.2.1 Seja A : R3 → R3, A(x, y, z) = (x − z,−2x + 2y + 4z,−y + 2z).Nao e difıcil mostrar que A e um operador linear. A matriz 3×3 do operador lineare obtida avaliando

A(1, 0, 0) = ( 1,−2, 0),A(0, 1, 0) = ( 0, 2, 1),A(0, 0, 1) = (−1, 4, 2).

Logo, a matriz e [A] =

1 0 −1−2 2 4

0 −1 2

.Ressaltamos que conhecida a matriz [A] recuperamos a transformacao.

Exemplo 5.2.2 Se a matriz de uma transformacao linear A : Rm → Rn e

[A] =

10 −1−2 31

0 5

, entao

1. A : R2 → R3,

2. A(x, y) = (10x− y,−2x+ 31y, 5y).

73


Exemplo 5.2.3 Seja A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x − 2y + 5z, 2x − z). Sua matrizcanonica [A] e 3 × 2

[A] =[

1 −2 52 0 −1

].

Qual a matriz da identidade Id : Rn → Rn?

Exemplo 5.2.4 Calculemos a matriz canonica associada ao operador linear A :R3 → R3, A(x, y, z) = (2x− 3y, x+ y − z, y − 4z). Como

A(x, y, z) = x(2, 1, 0) + y(−3, 1, 1) + z(0,−z,−4z)

obtemos a matriz 3 × 3

[A] =

2 −3 01 1 −10 1 −4

.Avancemos um pouco mais. Considere os vetores u, v e w e suas avaliacoes

u = (1, 1, 0), v = (−1, 2, 1), w = (0, 3,−2),A(u) = (−1, 2, 1), A(v) = (−8, 0,−2), A(w) = (−9, 5, 11).

Vejamos uma relacao entre as tres matrizes

[A(u), A(v), A(w)], [A] e [u, v,w].

Observe a sequencia de igualdades matriciais,

[A(u), A(v), A(w)] =

−1 −8 −92 0 −21 −2 11

.=

2 −3 01 1 −10 1 −4

1 −1 01 2 30 1 −2

= [A][u, v,w].

Esse e um algorıtmo que sera explorado posteriormente.

Proposicao 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transformacao linear e u1, u2, ..., um ∈Rm. Valem as seguintes afirmacoes.

a) [A(u1), A(u2), ..., A(um)] = [A][u1, u2, ..., um].

b) Se m = n entao as matrizes descritas no item anterior sao quadradas e

det [A(u1), A(u2), ..., A(un)] = det [A] det[u1, u2, ..., un].

74

5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR

Prova A demonstracao do item a) e combinatoria e o segundo item e uma con-sequencia imediata do primeiro, pois o determinante do produto de duas matrizesn× n e o produto dos determinantes de cada matriz.

Comentario O ultimo ıtem da proposicaocontem uma informacao geometrica relacio-nada com operadores lineares que nao esta ex-plicitada no enunciado. Examinemos o casodo operador linear A : R2 → R2, A(x, y) =(2x−y, x+y). E facil calcular o determinantede [A], seu valor e det[A] = 3. Esse e o fatorde transformacao de area, no seguinte sentido.

Considere a area de um paralelogramo cujas arestas sao segmentos orientadosque representam os vetores v e w. Como sabemos o valor dessa area e |det[v,w]|.O operador linear A transforma esse paralelogramo num outro cujas arestas saorepresentantes dos vetores A(v) e A(w). A area desse ultimo paralelogramo e|detA(V ), A(W )]|. O determinante det[A] = 3 e o fator que relaciona as areas doparalelogramo no domınio e a area do paralelogramo imagem, |detA(V ), A(W )]| =|det[A] det[v,w]|.

Para operadores lineares A : R3 → R3, a interpretacao e semelhante. Ovalor |det[A]| e o fator de transformacao de volumes quando consideramos umparalelepıpedo cujas arestas sao segmentos orientados representando os vetoresu, v,w ∈ R3.

Exemplo 5.2.5 E possıvel calcular a matriz de uma transformacao linear A :Rm → Rn utilizando o produto interno. Mostre que as entradas da matriz [A] = [aij ]sao determinadas por aij = 〈ei, A(ej)〉. Primeiro, faca o exercıcio numericamentecom a transformacao linear A : R2 → R3, A(x, y) = (x−y, 2x−3y,−x+4y). Depoisfaca o caso geral.


1. Determine as matrizes das seguintes transformacoes lineares.

a) A : R3 → R3, A(x, y, z) = (6x+ y − 3z, z − y, 2x− z).

b) A : R2 → R3, A(x, y) = (x+ y, 2x− y, y − 2x).

c) A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z).

d) Id : R3 → R3, Id(x, y, z) = (x, y, z). (Identidade)

e) A : R2 → R4, A(x, y) = (0, 0, 0, 0). (identicamente nula)

f) A : R3 → R3, A(x, y, z) = (0, y, 0). (projecao sobre o eixo y)

75


2. Sabendo-se que a matriz na base canonica de uma transformacao liner e [A], de odomınio, contradomınio, a relacao, uma base para a imagem e uma base para o nucleo(se nao for trivial).

a) [A] =

−2 −41 21 2

b) [A] =

1 −12 −2

−1 0

c) [A] =[

1 −1 01 2 3

]

5.3 Teorema do nucleo e da imagem

Para avancar no entendimento de transformacoes lineares precisaremos de um re-sultado, conhecido como Teorema do nucleo e da imagem, do qual decorrem muitoscorolarios. Intuitivamente falando, a dimensao do nucleo de A : Rm → Rn, estamedindo o quanto de dimensao foi perdida quando transformamos linearmente oRm no subespaco Im(A) do contradomınio Rn.

Teorema 5.3.1 (Teorema do nucleo e da imagem) Seja A : Rm → Rn umatransformacao linear. Entao

dim Rm = dim Nuc(A) + dim Im(A).

Prova Vamos assumir que dimNuc(A) = k. E claro que k ≤ m. Inicialmenteconsidere uma base ordenada β = v1, ..., vk, vk+1,..., vm para Rm na qual os kprimeiros elementos formam uma base para o nucleo de A.

Afirmacao 1: Vale a igualdade entre os subespacos

Im(A) = [[A(vk+1), A(vk+2), ..., A(vm)]].

Como cada A(vi) ∈ Im(A) e imediato concluırmos a inclusao

[[A(vk+1), A(vk+2), ..., A(vm)]] ⊂ Im(A).

Examinemos a inclusao oposta. Por definicao, dado um vetor w ∈ Im(A) existeum vetor v ∈ Rm tal que w = A(v). Escrevamos o vetor v como uma combinacaolinear dos vetores da base β, v = x1v1 + x2v2 + · · · + xmvm. Levando-se em contaque os k primeiros vetores de β pertencem ao nucleo de A, avaliemos,

w = A(v)= A(x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn)= xk+1A(vk+1) + xk+2A(vk+2) + · · · + xmA(vm).

De onde concluımos que v ∈ [[A(vk+1), A(vk+2), ..., A(vm)]], mostrando a inclusaooposta e terminando a prova da afirmacao.

76

5.3. TEOREMA DO NUCLEO E DA IMAGEM

Afirmacao 2: A(β) = A(vk+1), A(vk+2), ..., A(vm) e um conjunto linearmenteindependente. Em particular dim Im(A) = n− k.

Consideremos a combinacao linear o = yk+1A(vk+1) + yk+2A(vk+2) + · · · +ymA(vm). Por linearidade de A podemos reescrever esta ultima equacao como

o = A(yk+1vk+1 + yk+2vk+2 + · · · + ymvm).

Isto significa que o vetor yk+1vk+1 + yk+2vk+2 + · · · + ymvm ∈ Nuc(A). Logo,este ultimo vetor tambem e uma combinacao linear dos k primeiros vetores da baseordenada β, pois tais vetores formam uma base para o nucleo de A, isto e,

yk+1vk+1 + yk+2vk+2 + · · · + ymvm = x1v1 + x2v2 + · · · + xkv,

ou equivalentemente,

x1v1 + x2v2 + · · · + xkvk − yk+1vk+1 − yk+2vk+2 − · · · − ymvm = 0.

Como β e linearmente independente, todos os coeficientes dessa combinacao linearsao nulos, em particular, yk+1 = yk+2 = · · · = ym = 0, mostrando que o conjuntoA(β) e linearmente independente. Como A(β) e um conjunto ordenado de geradores,significa que A(β) e uma base ordenada de Im(A), de onde segue que dim Im(A) =n− k. Temos provado a afirmacao. Sendo assim

dimRm = k + (m− k) = dim Nuc(A) + dim Im (A).

Isto termina a demostracao do teorema.


1. Determine as uma base para a imagem e uma base para o nucleo, quando ele for naotrivial, das seguintes transformacoes lineares. Verifique o Teorema do nucleo e daimagem.

a) A : R3 → R3, A(x, y, z) = (6x+ y − 3z, z − y, 2x− z).

b) A : R2 → R3, A(x, y) = (x+ y, 2x− y, y − 2x).

c) A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z).

d) Id : R3 → R3, Id(x, y, z) = (x, y, z).

e) A : R3 → R3, A(x, y, z) = (0, z − y, 0).

f) A : R2 → R4, A(x, y) = (x+ y, x+ y, x+ y, x+ y).

2. Para cada item determine a transformacao linear A : R3 → Rn satisfazendo ascondicoes A(ei) = wi, em que γ = w1, w2, w3 ⊂ Rn e encontre uma base donucleo e uma base da imagem para cada uma das transformacoes lineares.

a) γ = (1, 1), (1,−1), (2, 1) ⊂ R2.

b) γ = (2,−3, 1), (0, 1, 0), (1,−1, 4) ⊂ R3.

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c) γ = (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 2, 0, 2) ⊂ R4.

3. Construa uma transformacao linear A : R3 → R3 satisfazendo a condicao dada.

a) Im (A) e gerado por ε = (2,−1, 1), (1, 0, 1).b) Nuc(A) e gerado por ε = (2,−1, 1), (1, 0, 1).c) Im(A) ⊂ Nuc(A).

4. Seja A : Rm → Rn uma transformacao linear. Prove as afirmacoes.a) Se m < n entao A nao e sobrejetiva. b) Se m > n entao A nao e injetiva.

5. Existe uma transformacao linear A : R11 → R11 tal que Im(A) = Nuc(A)? Justifiquesua resposta.

5.4 Operacoes com transformacoes lineares

Nessa secao definiremos tres operacoes envolvendo transformacoes lineares,

soma de transformacoes lineares; multiplicacao de uma transformacao linear por um escalar; composicao de transformacoes lineares.

Dados duas transformacoes lineares com os mesmos domınio e contradomınio,digamos A,B : Rm → Rn, definimos a aplicacao soma das transformacoes linearescomo

A+B : Rm → Rn, (A+B)(v) = A(v) +B(v).

A nova aplicacao assim construıda e tambem uma transformacao linear pois

(A+B)(v + w) ≡ A(v + w) +B(v + w)= A(v) +A(w) +B(v) +B(w)= (A+B)(v) + (A+B)(w).

De modo semelhante mostramos que (A+B)(λv) = λ(A+B)(v).

Dado um escalar µ ∈ R, definimos a aplicacao multiplicacao µA : Rm → Rn,por (µA)(v) = µA(v). E rotina verificar que µA e uma transformacao linear.

Exemplo 5.4.1 Sejam A,B : R3→R2 duas transformacoes lineares definidas por

A(x, y, z) = (2y, z − x) e B(x, y, z) = (x− z, z).

Calculemos A− 2B : R3 → R3. Pelas definicoes, obtemos

(A− 2B)(x, y, z) = (2y, z − x) − 2(x− z, z) = (2y − 2x+ 2z,−z − x).

78

5.4. OPERACOES COM TRANSFORMACOES LINEARES

Esse calculo fica bastante simplificado com matrizes. Calculemos a matriz de A−2Btendo em mente as regras para a soma de matrizes e a multiplicacao de uma matrizpor um escalar,

[A− 2B] = [(A− 2B)(e1), (A − 2B)(e2)]= [A(e1) − 2B(e1), A(e2) − 2B(e2)]= [A(e1), A(e2)] − 2[B(e1), B(e2)]= [A] − 2[B].

Registraremos uma proposicao cuja demonstracao sera deixada como exercıcio.

Proposicao 5.4.1 Sejam A,B : Rm → Rn duas transformacoes lineares e λ ∈ R.Entao vale a relacao matricial [A− λB] = [A] − λ[B].

Uma outra operacao que efetuamos com transformacoes lineares e a composicao.Se A : Rm → Rn e C : Rn → Rk sao duas transformacoes lineares, construımos umaoutra transformacao linear denotada por C A : Rm → Rk, chamada de compostade C e A, definindo C A(v) = C(A(v)) para cada vetor v ∈ Rm. Para efetuar aoperacao de composicao e necessario que o contradomınio de A seja o domınio deC. A composta e tambem uma transformacao linear pois se u, v ∈ Rm e λ ∈ R, asigualdades abaixo sao justificadas pelas definicoes ja apresentadas,

C A(u+ λv) = C(A(u+ λv))= C(A(u) + λA(v))= C(A(u)) + λC(A(v))= C A(u) + λC A(v).

Exemplo 5.4.2 Calculemos a composta R3 A−→ R2 C−→ R2 onde A(x, y, z) = (y, z)e C(x, y) = (y, x− y). Primeiro observe que C A : R3 → R2,

C A(x, y, z) = C(A(x, y, z))= C(y, z)= (z, y − z).

Levando em conta a ultima proposicao da secao anterior, a matriz da composta e

[C A] = [C(A(e1)), C(A(e2)), C(A(e3))]= [C][A(e1), A(e2), A(e3)]= [C][A].

Isto e, a matriz da composta e o produto das matrizes.

79


Proposicao 5.4.2 Sejam A : Rm → Rn e C : Rn → Rk duas transformacoeslineares. Entao a composta C A : Rm → Rk e uma transformacao linear e suamatriz e [C A] = [C][A].


1. Para cada item, calcule, quando possıvel, 2A−B e as compostas A B, B A, A2 eB2 em que A e B sao as transformacoes lineares dadas. Efetue as operacoes explıcitae matricialmente.a) A : R2 → R2, A(x, y) = (2x, y − x)

B : R2 → R2, B(x, y) = (x− y,−y).

b) A : R2 → R3, A(x, y) = (3y, y − 2x, y − x)B : R3 → R3, B(x, y, z) = (x− y, y, 2x).

c) A : R2 → R2, A(x, y) = (2x+ 2y, y − x)B : R2 → R2, B(x, y) = (x− y, y).

2. Efetue o produto das seguintes matrizes na ordem possıvel

[A] =

1 20 −13 0

e [B] =[

1 12 0

].

De as transformacoes lineares que elas definem (domınio, contradomınio e relacao).

3. Efetue a composta A2 = A A, onde A : R2 → R2, A(x, y) = (−2x + 4y,−x + 2y).Qual a relacao de inclusao entre Nuc(A) e Im(A)?

5.5 Transformacoes lineares invertıveis

A operacao de composicao nos permite fixar um novo conceito. Uma transformacaolinear A : Rm → Rn e invertıvel se existe uma aplicacao denotada por A−1 : Rn →Rm tal que

A−1 A = Id : Rm → Rm

A A−1 = Id : Rn → Rn

Quando existe uma tal aplicacao diremos que A−1 e a inversa de A.

Exemplo 5.5.1 Alguns exemplos deixarao clara a definicao.

1. A aplicacao identidade Id : Rn → Rn e uma transformacao linear invertıvel ea sua inversa e ela propria.

80

5.5. TRANSFORMACOES LINEARES INVERTIVEIS

2. A transformacao linear A : R2 → R2, A(x, y) = (x − y, y), e invertıvel e temcomo aplicacao inversa A−1 : R2 → R2, A−1(x, y) = (x + y, y). Verifique eobserve que a inversa e tambem uma transformacao linear.

Da Teoria de conjuntos sabemos que uma funcao entre dois conjuntos e invertıvelse, e somente se, a funcao e injetiva e sobrejetiva. Logo, por um criterio estabelecidona secao 5.1, podemos afirmar que uma transformacao linear A : Rm → Rn einvertıvel se, e somente se, Im(A) = Rn e Nuc(A) = o. Pelo teorema do nucleoe da imagem, segue que m = n. Temos provado a

Proposicao 5.5.1 Uma transformacao linear A : Rm → Rn, e invertıvel, se,Im(A) = Rn e Nuc(A) = 0. Em particular, se A e invertıvel entao m = n.

Por essa proposicao concluımos que quando A : Rn → Rn e invertıvel, sua matriz[A] e uma matriz quadrada n× n.No que segue, desejamos relacionar trans-formacoes lineares invertıveis com matrizes qua-dradas invertıveis. Uma matiz quadrada n × n,digamos [M ], e invertıvel quando existe uma ma-triz n× n, [N ], tal que o produto de ambas, nao

[M ][N ] =

1 0 · · · 00 1 · · · 0

· · ·0 0 · · · 1

.importa a ordem, e a matriz identidade n×n, [M ][N ] = [Id] = [N ][M ]. Nesse caso,seguiremos a notacao [N ] = [M ]−1. Apresentemos a relacao entre transformacoeslineares invertıveis e matrizes invertıveis.

Teorema 5.5.1 Se A : Rn → Rn e invertıvel, entao valem as afirmacoes:

a) so existe uma inversa para A;

b) a inversa A−1 e uma transformacao linear;

c) a matriz de A e uma matriz invertıvel n× n e [A−1] = [A]−1.

Prova a) Isto e um fato da Teoria de Conjuntos. Uma funcao invertıvel entre doisconjuntos so possui uma funcao inversa.

b) Dados os vetores w1, w2 ∈ Rn e o escalar λ ∈ R, como A e sobrejetiva epossıvel determinar dois vetores v1, v2 ∈ Rm tais que A(v1) = w1 e A(v2) = w2.Sendo assim temos

A−1(w1 + λw2) = A−1(A(v1) + λA(v2))= A−1(A(v1 + λv2))= v1 + λv2

= A−1(w1) + λA−1(w2).

81


c) Que a matriz e quadrada n × n, e obvio, pois o domınio e o contradomıniosao iguais. Calculemos a matriz da composta A−1 A = Id, lembrando-se que [Id]e a matriz identidade n× n,

[Id] = [A−1 A]= [A−1(A(e1)), A−1(A(e2)), ..., A−1(A(en))]= [A−1][A(e1), A(e2), ..., A(en)]= [A−1][A].

Da mesma forma mostramos que [A][A−1] = [Id]. Concluımos que [A] e uma matrizinvertıvel e que [A]−1 = [A−1].

O ultimo item do teorema aponta como explicitar a inversa de uma trans-formacao linear invertıvel. Devemos ter em maos a matriz da transformacao linear[A] que e quadrada, inverter a matriz, [A]−1 e recuperar a transformacao linear A−1.Informamos que

uma matriz quadrada e invertıvel se, e somente se, o seu determinante e nao nulo.

Caso o leitor deseje conhecer a demonstracao do fato, indicamos o ultimo capıtulo.Inverter uma matriz quadrada 2×2 e simples e de facil memo-rizacao. No algoritmo, percebe-se claramente a necessidadedo determinante ser diferente de zero. Consideremos a matrizdada ao lado. Chamamos de matriz adjunta classica de [A] amatriz 2 × 2 definida por

[A] =[a bc d

].

adj [A] =[

d −b−c a

].

Efetuando a multiplicacao das duas matrizes obtemos

[A] · adj([A]) =[ad− bc 0

0 ad− bc

]= det[A]

[1 00 1

].

Essa conta mostra como devemos demonstrar a proposicao a seguir para matrizes2 × 2. O caso geral encontra-se no ultimo capıtulo.

Proposicao 5.5.2 Uma matriz n×n, [A], e invertıvel se, e somente se, det[A] = 0.E mais, se ela e invertıvel entao

[A]−1 = 1det[A]adj([A]) e det[A]−1 = (det[A])−1

Exercıcio 5.5.1 Examinemos a invertibilidade da transformacao linear A : R2 →R2, A(x, y) = (2x − y, 4x + 1y). Por tudo que ja apresentamos, sabemos que amatriz de [A] na base canonica e

82


[A] =[

2 −14 1

].

Como o determinante de [A] nao e zero, det [A] = 6, a matriz e invertıvel e suainversa e o determinante da inversa sao, respectivamente,

[A]−1 = 16

[1 1

−4 2

]=

16

16

−46

26

, det[A]−1 = 16 .

Sabendo que [A]−1 = [A−1], recuperamos imediatamente a transformacao linearinversa, A−1 : R2 → R2, A−1(x, y) = (1

6x+ 16y,−4

6x+ 26y).

Precisamos explicar qual o significado de adjunta classica, adj [A], para matrizesquadradas em geral. Dada uma matriz quadrada n × n, com n > 1, digamos[A] = [aj

i ], (o ındice superior indica a linha e o inferior indica a coluna da entrada),chamamos de ji-esima matriz reduzida de [A] a matriz (n− 1)× (n− 1) obtida porsupressao da j-esima linha e da i-esima coluna de [A]. Denotaremos essa matrizreduzida por [A]ji. O ji-esimo cofator da matriz [A] = [aj

i ] e o escalar

cji = (−1)j+i det[A]ji,

e a adjunta classica de [A] e a matriz transposta da matriz dos cofatores,

ad[A] = [cji ]t.

Exemplo 5.5.2 Ilustremos o algorıtmo para inversoes de matrizes com a matriz

[A] =

1 2 01 4 3

−1 0 2

.Esta matriz da origem a 9 matrizes reduzidas, uma para cada ındice ji. Explicitemosquatro delas,

[A]11 =[

4 30 2

], [A]32 =

[1 01 3

], [A]21 =

[2 00 2

], [A]13 =

[1 4

−1 0

].

Para calcular a adjunta classica da matriz [A], calculamos a matriz dos cofatorese consideramos sua transposta,

adj [A] =

det[A]11 − det[A]12 det[A]13− det[A]21 det[A]22 − det[A]23

det[A]31 − det[A]32 det[A]33

t

=

8 −4 6−5 2 −3

4 −2 2

.Observe que det[A] = −2. Calculando diretamente o produto das matizes obtemosa matriz adj [A] · [A] = det[A] [Id], onde [Id] e a matriz identidade 3 × 3.

83


Corolario 5.5.1 Seja A : Rn → Rn uma transformacao linear. Entao as seguintesafirmacoes sao equivalentes.

a) A e invertıvel;b) Nuc(A) = 0;c) Im(A) = Rn;d) a imagem por A de uma base de Rn e uma base de Rn.

Prova a) ⇒ b) Se A e invertıvel entao A e injetiva, portanto Nuc(A) = 0.b) ⇒ c) Se Nuc(A) = 0, pelo Teorema do nucleo e da imagem segue imedia-

tamente que dim Im(A) = dimRn. Desde que Im(A) ⊂ Rn e um subespaco com amesma dimensao de Rn, concluımos que Im(A) = Rn.

c) ⇒ d) Considere uma base ordenada β = v1, v2, ..., vn de Rn. E facil mos-trar que o conjunto ordenado A(β) = A(v1), A(v2), ..., A(vn) e um conjunto degeradores com n elementos de Im(A) = Rn. Portanto podemos afirmar que A(β) euma base de Rn = Im(A).

d) ⇒ a) Vamos supor, por absurdo, que o nucleo de A e nao trivial. Considereuma base ordenada β = v1, ..., vk , vk+1, ..., vn de Rn na qual os k primeiros vetoresformam uma base para o nucleo de A, com k > 0. Por hipotese, a transformacaolinear A aplica bases de Rn em bases de Rn, portanto o conjunto de vetores A(β) =A(vk+1), A(vk+2), ..., A(vn) e uma base de Rn de onde concluımos que dimRn =n − k < dimRn, uma contradicao. Logo k = 0, significando que o nucleo e trivial,em outras palavras, A e injetiva. Pelo Teorema do nucleo e da imagem temos quen = dimRn = dim Im(A). Como o subespaco imagem de A tem a mesma dimensaodo contradomınio, obtemos que Im(A) = Rn, isto e, A e sobrejetiva. Em resumo,A e injetiva e sobrejetiva, portanto ela e invertıvel.

Exercıcio 5.5.2 Se A,C : Rn → Rn sao dois operadores lineares invertıveis, proveque a composta C A e invertıvel e que (C A)−1 = A−1 C−1.


1. Apenas uma das condicoes exigidas na definicao de uma transformacao linear in-vertıvel nao e suficiente para garantir a invertibilidade da transformacao. Dadas astransformacoes lineares

A : R2 → R3, A(x, y) = (x, y, 0), e B : R3 → R2, B(x, y, z) = (x, y).Verifique que B A = Id : R2 → R2 mas A B nao e a identidade do R3.

2. Se A : R2 → R2 for invertıvel, calcule sua inversa.a) A(x, y) = (2x, y − x). b) A(x, y) = (2x− 4y, x+ 2y).c) A(x, y) = (2x+ 4y, x+ 2y) d) A(x, y) = (x+ y, x− y).

84


3. Se A : R3 → R3, for invertıvel, calcule a sua inversa.

a) A(x, y, z) = (x+ y + z, 3x+ 4y + 3z, 3x+ 3y + 4z).

b) A(x, y, z) = (2x+ y + z, x+ 2z, 3x+ y + 2z).

c) A(x, y, z) = (2x− 3y + 7z, x+ 3z, 2y− z).

d) A(x, y, z) = (x, x + y, x+ y + z).

e) A(x, y, z) = (z, x, y).

4. Calcule a adjunta cassica, o determinante e a inversa, se existir, da matriz.

[A] =

2 0 51 2 1

−3 1 3

. [B] =

2 10 30 1 30 0 2

. [C] =

1 −1 34 2 35 1 6

.5. Determine a inversa das seguintes matrizes.

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

. [B] =

2 1 11 0 10 −1 3

. [C] =

0 1 11 0 11 −1 3

.

[D] =

0 2 11 1 11 0 3

. [E] =

1 1 11 1 21 −1 −1

. [F ] =

1 1 11 1 21 −1 3

.

6. Calcule uma formula para a potencia k das matrizes e verifique que todas sao in-vertıveis. Calcule a inversa da potencia k.

[A] =[

1 10 1

]. [B] =

1 1 10 1 10 0 1

. [C] =[

cos t −sentsent cos t

].

7. Se a transformacao linear A : Rn → Rn tem uma inversa a esquerda, prove que A einvertıvel.

8. Assuma que β = v1, v2 e uma base de R2. Defina a aplicacao A : R2 → R2 porA(x, y) = xv1 + yv2. Prove que A e invertıvel.


1) a) Nao. b) Sim. c) Nao. d Sim.

2) a) A(x, y, z) = (x + y + 2z, x− y + z). b) A(x, y, z) = (2x+ z,−3x+ y − z, x+ 4z).c) A(x, y, z) = (x + z, x+ 2y + z, 0, x+ y + 2z).

3) a) A e injetiva, Nuc(A) = o. b) Nuc(A) = [[(1,−2)]]. c) Nuc(A) = [[(−1, 1, 1)]].

85


4) Defina a transformacao na base canonica como indicado e escreva em coordenadas.a) A(e1) = e1, A(e2) = −e2, A(x, y) = (x,−y).b) A(e1) = −e1, A(e2) = e2, A(x, y) = (−x, y).c) A(e1) = e2, A(e2) = e1, A(x, y) = (y, x).d) A(e1) = e2, A(e2) = −e1, A(x, y) = (y,−x).

5) Defina a transformacao na base canonica como indicado e escreva em coordenadas.a) A(e1) = v1, A(e2) = v2, A(e3) = v1,

A(x, y) = (x+ y + z, 2x+ y + z).b) A(e1) = v1, A(e2) = v1,

A(x, y) = (0, 3x+ 3y,−x− y).c) A(e1) = (1, 0,−2), A(e2) = (0, 1,−3), A(e3) = o,

A(x, y, z) = (x, y,−2x− 3z).d) A(e1) = (1, 1), A(e2) = (1, 1), A(e3) = o,

A(x, y) = (x+ y, x+ y).Os tres ultimos exemplos foram construıdos calculando uma base para a imagem.

6) Voce pode ter encontrado outras transformacoes lineares.a) A(x, y, z) = (x− y + 2z, x− y + 2z) b) A(x, y, z) = (x, 2x, 3x)c) A(x, y, z) = (2x− y, 0) d) A(x, y, z) = (x+ 3y + z, x− y, 2x− y)e) A(x, y, z) = (x+ y, z) f) A(x, y, z) = (z, x, y)

8) b) Por absurdo, suponha que a transformacao linear A seja sobrejetiva. Isto e,Im(A) = [[A(e1), A(e2)]] = R3. Sendo assim, o espaco vetorial R3 e gerado por doisvetores, uma contradicao.

9) A(x1, x2, ..., xn) = (λ0x1, λ0x2, ..., λ0xn).

Secao 5.2

1) a)

6 1 −30 −1 12 0 −1

. b)

1 12 −1

−2 1

. c)[

1 1 11 1 1

]. d)

1 0 00 1 00 0 1

.

e)

0 00 00 00 0

. f)

0 0 00 1 00 0 0

.

2) Voce pode ter encontrados outras vetores para as bases.a) A : R2 → R3, A(x, y) = (−2x+ 4y, x+ 2y, x+ 2y),

Nuc(A) = [[2e1 − e2]], Im (A) = [[A(e1)]].

b) A : R2 → R3, A(x, y) = (x− y, 2x− 2y,−x),Nuc(A) = o, Im (A) = [[A(e1), A(e2)]].

c) A : R3 → R2, A(x, y, z) = (x− y, x+ 2y + 3z),Nuc(A) = [[(3, 3,−3)]], Im (A) = [[A(e1), A(e2)]] = R2.

Secao 5.3

86


1) Voce pode ter encontrado outros vetores para as bases.a) Im(A) = [[A(e1), A(e2), A(e3)]] = R3, Nuc(A) = o,

dim Im(A) = 3, dimNuc(A) = 0.b) Im(A) = [[A(e1), A(e2)]], Nuc(A) = o,

dim Im(A) = 2, dimNuc(A) = 0.c) Im(A) = [[A(e1)]], Nuc(A) = [[e1 − e2, e1 − e3]],

dim Im(A) = 1, dimNuc(A) = 2.d) Im(A) = [[A(e1), A(e2), A(e3)]], Nuc(A) = o,

dim Im(A) = 3, dimNuc(A) = 0.e) Im(A) = [[A(e2)]], Nuc(A) = [[e1, e2 + e3]],

dim Im(A) = 1, dimNuc(A) = 2.e) Im(A) = [[A(e1)]], Nuc(A) = [[e1 − e2]],

dim Im(A) = 1, dimNuc(A) = 1.

2) Voce pode ter encontrado outros vetores para as bases.a) Im(A) = [[A(e1), A(e2)]] = R2, Nuc(A) = [[4e1 − 2e3]],

A(x, y, z) = (x+ y + 2z, x− y + 2z).

b) Im(A) = [[A(e1), A(e2), A(e3)]] = R3, Nuc(A) = o,A(x, y, z) = (2x+ z,−3x+ y − z, x+ 4z).

c) Im(A) = [[A(e1), A(e2)]], Nuc(A) = [[e1 − e2]],A(x, y, z) = (x+ z, x+ y + 2z, 0, x+ y + 2z).

3) Voce pode ter encontrado outras transformacoes.a) A(x, y, z) = (2x+ y,−x, x+ y). c) A(x, y, z) = (0, 0, x+ y).b) A(x, y, z) = (x+ y − z, x+ y − z, x+ y − z).

4) a) Suponha, por absurdo, que A seja sobrejetiva, isso e equivalente a dizer queRn = Im(A) = [[A(e1), A(e2), ..., A(em)]]. Logo, o espaco Rn teria um conjuntode geradores com um numero de vetores m < n. Uma contradicao.b) Suponha, por absurdo, que A seja injetiva, isso e equivalente a dizer que Rn =Im(A) = [[A(e1), A(e2), ..., A(em)]]. Logo, o espaco Rn teria uma base com umnumero de vetores m > n. Uma contradicao.

5) Nao pode, caso contrario, pelo teorema do nucleo e da imagem terıamos 11 =2dim Im(A), mas 11 nao e par.

Secao 5.4

1) Estao omitidos os calculos.a) (2A−B)(x, y) = (3x+ y,−2y + 3x). A B(x, y) = (x− 2y,−x).

B A(x, y) = (3x− y, x− y). A A(x, y) = (4x,−3x+ y).B B(x, y) = (3x− y, x− y).

b) (2A−B) nao existe. A B(x, y) nao existe.B A(x, y) = (2x+ 2y,−2x+ y, 6y). A A(x, y) nao existe.B B(x, y) = (x, y, 2x− 2y).

c) (2A−B) = (3x+ 5y,−2x+ y). A B(x, y) = (2x,−x+ 2y).B A(x, y) = (3x+ y,−x+ y). A A(x, y) = (6y,−3x− y).B B(x, y) = (x − 2y, y).

87


2) So podemos efeturar a multiplicacao na ordem [A] [B]. Portanto, o produto matricialcorresponde a matriz da composta AB onde A : R2 → R3, A(x, y) = (x+ y,−y, 3x)e B : R2 → R2 e definida por B(x, y) = (x + y, 2x).

3) A2(x, y) = (0, 0) (identicamente nula), logo, Im (A) ⊂ Nuc (A). Na verdade, nesseexemplo a imagem e o nucleo sao iguais.

Secao 5.5

1) B A(x, y) = (x, y, 0) e A B(x, y, z) = (x, y, 0).

2) E invertıvel quando det[A] = 0.a) A−1(x, y) = (1

2x,12x+ y). b) A−1(x, y) = (x− 2y,− 1

2x+ y).c) Nao e invertıvel. c) A−1(x, y) = (1

2x− 12y,

12x− 1

2y).

3) Todas sao invertıveis pois det[A] = 0.a) A−1(x, y, z) = (7x− y − z,−3x+ y,−3x+ z).b) A−1(x, y, z) = (−2x− y + 2z, 4x+ y − 3z, x+ y − z).c) A−1(x, y, z) = (6x− 11y + 9z,−x+ 2y − z,−2x+ 4y − 3z).d) A−1(x, y, z) = (x,−x+ y,−y + z).e) A−1(x, y, z) = (y, z, x).

5) Todas sao invertıveis.

[A]−1 = −14

1 3 −23 1 −2

−2 −2 0

. [B]−1 = −12

1 −4 1−3 6 −1−1 2 −1

.

[C]−1 = −12

1 4 −1−2 −1 1−1 1 −1

. [D]−1 = −15

3 −6 1−2 −1 1−1 2 −2

.

[E]−1 = 12

1 0 13 −2 −1

−2 2 0

. [F ]−1 = 12

5 −4 1−1 2 −1−2 2 0

.6) Todas sao invertıveis e o determinante e 1, para qualquer k.

[A]−k =[

1 −k0 1

]. [B]−k =

1 −k k(k−1)2

0 1 −k0 0 1

. [C]−k =[

cos kt sen kt−sen kt cos kt

].

88

Capıtulo 6

Operadores linearesUma transformacao linear cujo domınio e contradomınio sao iguais, A : Rn → Rn, echamada de operador linear. Esse capıtulo e dedicado aos operadores lineares e temcomo objetivo final apresentar o Teorema espectral, ultimo teorema de qualquerlivro texto introdutorio a Algebra Linear. Antes, veremos como podemos contruiroperadores lineares especificando seus valores numa base qualquer, e nao apenas nabase canonica.

6.1 Construindo operadores lineares

Para construir um operador linear A : Rn → Rn basta estabelecer os valores de Anos vetores da base canonica C = e1, e2, ..., en. Recapitulemos os procedimentoscom um exemplo.

Exemplo 6.1.1 Se desejarmos contruir um operador linear A : R3 → R3 tal queA(e1) = (1, 2,−1), A(e2) = (1, 0, 1) e A(e3) = (2, 2, 0) basta definir o operadorlinear pela matriz

[A] = [u, v,w] =

1 1 22 0 2

−1 1 0

.Observe que este operador linear nao e invertıvel pois det[A] = 0, isto significa queos vetores u = (1, 2,−1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 2, 0) nao formam uma base de R3.Portanto o nucleo de A nao e trivial, nem a imagem de A e o R3.

Podemos ir um pouco mais longe com a construcao. Coloquemos a questao.

Questao Construir um operador linear C : R3 → R3 que aplica uma baseordenada α = u, v,w num conjunto ordenado β = u′, v′, v′.

Solucao Basta seguir os seguintes procedimentos.

89

CAPITULO 6. OPERADORES LINEARES

1o Construımos um operador linear A que aplica a base canonica C = e1, e2, e3na base α = u, v,w. Nesse caso, como sabemos, a matriz e [A] = [u, v,w].

2o Construımos um operador linear B que aplica a base canonica C = e1, e2, e3no conjunto ordenado β = u′, v′, v′. Nesse caso, a matriz e [B] = [u′, v′, v′].

3o Consideramos o operador linear cuja matriz na base canonica e [C] = [B][A]−1.

Exemplo 6.1.2 O conjunto de vetores em R3, u, v,w, onde

u = (0, 1, 1), v = (1, 0,−1), w = (2, 1, 0),

e uma base de R3 pois det[u, v,w] = 0. Contruiremos um operador linear C : R3 →R3 que aplica essa base, na ordem apresentada, no conjunto ordenado de tres vetoresu′, v′, w′, onde

u′ = (2, 0,−1), v′ = (1, 2,−1), w′ = (2, 1, 2).

O operador linear A : R3 → R3 que aplica e1, e2 e e3 nos vetores u, v e w e invertıvele sua matriz e de sua inversa sao, respectivamente,

[A] =

0 1 21 0 11 −1 0

, [A]−1 =

−1 2 −1−1 2 −2

1 −1 1

.O operador linear B : R3 → R3 que aplica e1, e2 e e3 em u′, v′ e w′ tem matriz

[B] =

2 1 20 2 1

−1 −1 2

.Logo, o operador linear C : R3 → R3 e definido pela matriz [C] = [B][A]−1. Um

calculo simples mostra que

[C] = [B][A]−1 =

2 1 20 2 1

−1 −1 2

−1 2 −1−1 2 −2

1 −1 1

=

−1 4 −2−1 3 −3

4 −6 5

.Deixaremos para o leitor verificar que o operador linear

C(x, y, z) = (−x+ 4y − 2z,−x+ 3y − 3z, 4x − 6y + 5z)

de fato aplica os vetores como pedido, C(u) = u′, C(v) = v′ e C(w) = w′.

Exemplo 6.1.3 Os mesmos procedimentos sao seguidos para construir operadoreslineares em qualquer espaco Rn. Vejamos um exemplo quando desejamos construirum operador A : R2 → R2 tal que


90

6.2. AUTOVALOR E AUTOVETOR

1. Construa um operador linear A : R2 → R2 que assume os seguintes valores.

(a) C(1, 1) = (−1, 1) e C(−1, 1) = (−1,−1).

(b) C(3, 1) = (2, 1) e C(3, 2) = (2, 1);

(c) C(−2, 1) = (1, 1) e C(1, 1) = (1,−1).

2. Construa um operador linear A : R3 → R3 que assume os seguintes valores.

(a) C(1, 1, 1) = (−1, 1, 0), C(−1, 0, 1) = (−1,−1, 2) e C(0, 2, 0) = (0, 0, 0).

(b) C(1, 1, 1) = (1, 1, 1), C(1, 0, 1) = (1, 0, 1) e C(0, 0, 1) = (0, 0, 1).

(c) C(1,−2, 0) = (1, 1, 0), C(−1, 0, 1) = (1, 1, 2) e C(0, 2, 1) = (1, 0, 0).

6.2 Autovalor e Autovetor

Nesta secao responderemos a seguinte pergunta.

Dado um operador linear A : Rn → Rn.Existe um vetor nao nulo v ∈ Rn e um escalar λ ∈ R tal que A(v) = λv?

Antes de tudo, fixemos alguns termos.

Quando existe um vetor nao nulo v ∈ Rn e existe um escalar λ ∈ R tais queA(v) = λv, diremos que o vetor v e um autovetor de A associado ao autovalor λ.1

Exemplo 6.2.1 Considere o operador linear A : R2 → R2, A(x, y) = (3x− 2y, 4y).O vetor v = (1, 0) e um autovetor associado ao autovalor λ1 = 3 pois

A(v) = A(1, 0) = (3, 0) = 3(1, 0) = 3A(v).

O vetor w = (−2, 1) e autovetor associado ao autovalor λ2 = 4 pois

A(w) = A(−2, 1) = (−8, 4) = 4(−2, 1) = 4A(w).

O leitor pode verificar que qualquer multiplo de v e um autovetor associado aoautovalor λ1 = 3, bem como, qualquer multiplo de w e um autovetor associado aoautovalor λ = 2.

Mas como conseguimos determinar os autovetores e autovalores no exemploacima? Existe um procedimento padrao aplicado a qualquer operador linear A :Rn → Rn para calcular seus autovalores e seus autovetores associados. Conside-ramos o operador identidade Id : Rn → Rn e fazemos uma pergunta equivalenteaquela feita no inıcio da secao.

Existe um escalar λ tal que o nucleo de λId−A : Rn → Rn e nao trivial?

1Em alguns livros encontramos a terminologia valor proprio e vetor proprio

91


De fato, se o nucleo de λId−A e nao tivial, existe um vetor nao nulo v pertencenteao nucleo tal que λId(v)−A(v) = 0, de onde concluımos que A(v) = λv. A recıprocatem verificacao imediata. Nesta altura da teoria, temos condicoes de responder aultima pergunta.

Existira um escalar λ se, e somente se, λId−A e um operador nao invertıvel!

Em outras palavras, podemos responder da seguinte forma:

Existira um escalar λ se, e somente se, det[λId−A] = 0!

Para continuar, fixemos mais duas terminologias.

a) O nucleo do operador linear λId − A : Rn → Rn, e chamado de autoespacoassociado a λ, e iremos registra-lo como Vλ = v ∈ Rn;A(v) = λv.

b) O polinomio de grau n, p(λ) = det[λId − A], e chamado de polinomio carac-terıstico de A.

Fixados os termos, reescrevamos a resposta da seguinte forma:

Existira um vetor nao nulo v ∈ Rn tal que A(v) = λv se, e somente se, λ for umaraiz real do polinomio caracterıstico de A!

Exemplo 6.2.2 Seja A : R2 → R2, A(x, y) = (4x+ 12y, 12x − 3y). Para o calculodos autovetores e autovalores seguimos o seguinte roteiro.

1o Consideramos a identidade Id : R2 → R2 e contruımos as matrizes

[A] =[

4 1212 −3

], [Id] =

[1 00 1

], [λ Id−A] =

[λ− 4 −12−12 λ+ 3

].

2o Calculamos o polinomio caracterıstico

p(λ) = det[λId−A] = det

[λ− 4 −12−12 λ+ 3

]= λ2 − λ− 156.

3o Calculamos as raızes do polinomio caracterıstico que sao os autovalores de A.p(λ) = 0 se, e somente se, λ1 = −12 e λ2 = 13.

4o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ1 = −12. Desejamosdeterminar vetores v = (x, y) tais que λ1(x, y)−A(x, y) = (0, 0). Essa equacaovetorial da origem a um sistema de equacoes lineares, a saber,

16x+ 12y = 012x+ 9y = 0

E imediato concluir que o vetor procurado e do tipo v = (x,−43x). O auto-

espaco associado e descrito por

92


Vλ1 = (x, y) ∈ R2; 4x+ 3y = 0 = [[(−3, 4)]].

5o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ2 = 13. Desejamos deter-minar vetores v = (x, y) tais que A(x, y) = λ2(x, y). Essa equacao vetorial daorigem a um sistema de equacoes lineares, a saber,

9x− 12y = 0−12x+ 16y = 0

Logo, o autoespaco associado e o subespaco

Vλ1 = (x, y) ∈ R2; 3x− 4y = 0 = [[(4, 3)]].

Exercıcio 6.2.1 O operador linear A : R2 → R2, A(x, y) = (x, x + y) tem apenasum autovalor com repeticao dois, λ1 = λ2 = 1 e um autoespaco Vλ1 de dimensaoum. Verifique a afirmacao.

Recordando que, sendo Vλ um subespaco, podemos encontrar uma base ordenadade autovetores, isto e, podemos escrever Vλ = [[v1, v2, ..., vk ]], onde A(vi) = λvi eαλ = v1, v2, ...vk e uma base ordenada para o subespaco.

Exemplo 6.2.3 Pode ocorrer que um operador linear nao tenha autovetores. E ocaso do operador A : R2 → R2, A(x, y) = (−y, x). Observe que A transforma umvetor nao nulo em um vetor perpendicular a ele, portanto a imagem nunca podeser colinear com o vetor. Este fato e detetado algebricamente com o polinomiocaracterıstico,

det[λId −A] = det[λ− 0 −1

1 λ0

]= λ2 + 1.

Como o polinomio caracterıstico nao tem raiz real, o nucleo do operador linearλId−A : R2 → R2 e trivial, qualquer que seja o escalar λ.

Sendo o polinomio caracterıstico de um operador linear A : Rn → Rn um po-linomio com grau n, pode ocorrer que suas raızes reais sejam distintas ou nao.Portanto, contada as repeticoes, pode ocorrer um numero de autovalores entre 0 en, inclusive.

Exercıcio 6.2.2 Defimos o traco de uma matriz quadrada como a soma das entra-das da diagonal principal. Se a matriz e 2 × 2,

[A] =[a bc d

],

temos que tr [A] = a+ d.

93


1. Mostre que o polinomio caracterıstico de uma matriz 2 × 2 e

p(λ) = λ2 − tr[A]λ+ det[A].

2. Seja [A] uma matriz 3×3. Mostre que o coeficiente do termo λ2 do polinomiocaracterıstico de [A] e −tr[A] enquanto que o termo independente e − det[A].

Exemplo 6.2.4 Seja A : R3 → R3, A(x, y, ) = (x+2y, y, x+y+2z). Para o calculodos autovetores e autovalores seguimos o seguinte roteiro.

1o Consideramos a identidade Id : R3 → R3 e contruımos as matrizes

[A] =

1 2 00 1 01 1 2

, [Id] =

1 0 00 1 00 0 1

, [λ Id−A] =

λ− 1 −2 00 λ− 1 0−1 −1 λ− 2

.2o Calculamos o polinomio caracterıstico

p(λ) = det[λId−A] = det

λ− 1 −2 00 λ− 1 0−1 −1 λ− 2

= λ3 − 4λ2 + 5λ+ 2.

3o Calculamos as raızes do polinomio caracterıstico que sao os autovalores de A.Como p(λ) = (λ− 2)(λ − 1)(λ− 1), os autovalores sao λ1 = 2 e λ2 = 1 = λ3.

4o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ1 = 2. Desejamos deter-minar vetores v = (x, y, z) tais que λ1(x, y, z) − A(x, y, z) = (0, 0, 0). Essaequacao vetorial da origem a um sistema de equacoes lineares, a saber,

x − 2y = 0y = 0

−x − y = 0

E imediato concluir que o vetor procurado e do tipo v = (0, 0, z). O autoespacoassociado e descrito por

Vλ1 = (x, y, z) ∈ R2;x = 0, e y = 0 = [[(0, 0, 1)]].

5o Calculamos os autovetores associados ao autovalor λ2 = 1. Desejamos de-terminar vetores v = (x, y, z) tais que A(x, y, z) = λ2(x, y, z). Essa equacaovetorial da origem a um sistema de equacoes lineares, a saber,

− 2y = 00 = 0

−x − y − z = 0

Logo, o autoespaco associado e o subespaco

Vλ2 = (x, y, z) ∈ R2;x+ z = 0 = [[(1, 1, 0) (0, 1, 1)]].

94


Lema 6.2.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear e β = v1, v2, ..., vk umconjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2, ..., λk,respectivamente. Se os autovalores sao distintos dois a dois entao β e um conjuntolinearmente independente.

Prova Assuma, por absurdo, que o conjunto de autovetores e linearmente depen-dente. Seja vi+1 o primeiro autovetor que e uma combinacao linear dos anteriores,

vi+1 = a1v1 + a2v2 + · · · + aivi.

Recordamos que algum escalar ai nao e nulo pois vi+1 nao e o vetor nulo. A menos deuma reordenacao dos i primeiros elementos do conjunto β podemos supor que ai = 0.Avaliando o operador linear A em cada membro da igualdade e multiplicando ambosos membros da igualdade por λi+1 obtemos duas outras igualdades,

λi+1vi+1 = λ1a1v1 + λ2a2v2 + · · · + λiaivi,

λi+1vi+1 = λi+1a1v1 + λi+1a2v2 + · · · + λi+1aivi.

Subtraindo chegamos a combinacao linear

0 = (λi+1 − λ1)a1v1 + (λi+1 − λ2)a2v2 + · · · + (λi+1 − λi)aivi.

Por hipotese os autovalores sao distintos dois a dois, λi+1 − λj = 0, garantimos quevi e uma combinacao linear dos anteriores, a saber,

vi =λi+1 − λ1

λi+1 − λia1v1 +

λi+1 − λ2

λi+1 − λia2v2 + · · · + λi+1 − λi−1

λi+1 − λiai−1vi−1.

Isto contradiz a escolha de vi+1. Portanto, os autovetores sao linearmente indepen-dentes.

Exercıcio 6.2.3 Mostre que se um operador linear A : Rn → Rn e invertıvel entao

1. todos autovalores sao diferentes de zero e

2. os autovalores da inversa A−1 sao os inversos dos autovalores de A.


1. Verifique se o vetor v e autovetor do operador A : R3 → R3 onde

a) A(x, y, z) = (x+ y + z, 2y+ z, 2y + 3z) e v = (1, 1, 2);b) A(x, y, z) = (−2x+ 3y − z, y − z, x+ 2y − 2z) e v = (−2, 1, 3).

2. Determine os autoespacos do operador linear A : R2 → R2 quandoa) A(x, y) = (−3x+ 4y,−x+ 2y); b) A(x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y);c) A(x, y) = (2x+ 2y, x+ y); d) A(x, y) = (2x− 4y, x− 2y);e) A(x, y) = (x, x + y); f) A(x, y) = (x− y, x+ y).

95


3. Determine os autoespacos do operador linear A : R3 → R3 quando

a) A(x, y, z) = (3x+ y − z, x+ 3y − z,−x− y + 5z);

b) A(x, y, z) = (x+ y + z, 2y+ z, 2y + 3z);

c) A(x, y, z) = (2z,−y, 2x);d) A(x, y, z) = (3x− y − 3z, 2y− 3z,−z);e) A(x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z).

f) A(x, y, z) = (2x+ 2z,−2y,−2x+ 2z).

g) A(x, y, z) = (x− y, 2x+ 2y + 2z, x+ y + z).

h) A(x, y, z) = (x, x + y − 2z, y − z).

i) A(x, y, z) = (3x+ 3y − 2z,−y, 8x+ 6y − 5z).

4. Mostre que um operador linear A : R3 → R3 sempre possui pelo menos um autovalor.

5. Um operador linear A : Rn → Rn nao e invertıvel se, e somente se, λ = 0 e raiz dopolinomio caracterıstico de [A]. Mostre a afirmacao.

6.3 Teorema espectral

Existe uma classe de operadores lineares A : Rn → Rn cujo polinomio caracterısticopossui todas as raızes reais. Para descreve-los, necessitamos do produto interno.

Para cada operador linear A : Rn → Rn, desejamos construir um outro operadorlinear, chamado de operador transposto de A, denotado por At : Rn → Rn, quepossua a popriedade

〈v,A(w)〉 = 〈At(v), w〉,para quaisquer v,w ∈ Rn. Para identificar matricalmente o operador linear At, ob-servamos que as entradas da matriz [A] = [aj

i ] sao determinadas por aji = 〈ej , A(ei)〉.

Logo, as entradas bji da matriz [At] devem ser

bji = 〈ej , At(ei)〉 = 〈At(ei), ej〉 = 〈ei, A(ej)〉 = aij .

Portanto, a matriz do operador transposto de A e a transposta da matriz de A,notacionalmente registramos esta afirmacao como [At] = [A]t. Como existe umacorrespondencia biunıvoca entre operadores lineares em Rn e matrizes n×n, tambemmostramos que o operador transposto de A e unico.

Exemplo 6.3.1 Seja A : R2 → R2 o operador linear A(x, y) = (x − 4y,−2x + y).Para determinar um operador linear At : R2 → R2 tal que 〈v,A(w)〉 = 〈At(v), w〉para quaisquer vetores v,w ∈ R2 e suficiente considerar a matriz de A e sua trans-posta, ou seja,

96

6.3. TEOREMA ESPECTRAL

[A] =[

1 −4−2 1

], [A]t =

[1 −2

−4 1

],

e definir At(x, y) = (x− 2y,−4x+ y).

Definicao 6.3.1 Diz-se que um operador linear A : Rn → Rn e simetrico se〈v,A(w)〉 = 〈A(v), w〉 para quaisquer dois vetores v,w ∈ Rn.

Segue dos comentarios acima que se A e simetrico se, e somente se, sua matriz[A] e simetrica, [A] = [A]t.

Exemplo 6.3.2 Seja A : R3 → R3, o operador linear A(x, y, z) = (7x− 2y,−2x+6y− 2z,−2y+ 5z). Para verificar que 〈v,A(w)〉 = 〈A(v), w〉 para quaisquer vetoresv,w ∈ R3 e suficiente examinar a matriz

[A] =

7 −2 0−2 6 −2

0 −2 5

= [A]t.

Como a matriz e simetrica (em relacao a diagonal principal), o operador linear esimetrico.

Na ultima secao, tomamos conhecimento que autovetores associados a auto-valores distintos sao linearmente independentes. Quando o operador e simetricopodemos afirmar mais.

Lema 6.3.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear simetrico e β = v1, v2, ..., vkum conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2, ..., λk,respectivamente. Se os autovalores sao distintos dois a dois entao os vetores de βsao ortogonais dois a dois.

Prova Seja i = j. Observe a seguinte sequencia de igualdades,

λi〈ui, uj〉 = 〈λiui, uj〉 = 〈A(ui), uj〉 = 〈ui, A(uj)〉 = 〈ui, λjuj〉 = λj〈ui, uj〉.Portanto, (λi − λj)〈ui, uj〉 = 0. Como λi = λj segue que 〈ui, uj〉 = 0.

Teorema 6.3.1 (Teorema espectral em R2) Se o operador linear A : R2 → R2

e simetrico entao

a) o polinomio caracterıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui 2raızes reais, contando as repeticoes, λ1, λ2;

b) existe uma base ortonormal de R2 formada por autovetores, β = u1, u2,onde A(ui) = λiui.

97


Prova Como o operador linear e simetrico, entao A(x, y) = (ax+ by, bx+ cy) poissua matriz na base canonica e simetrica,

[A] =[a bb c

].

Calculando o polinomio caracterıstico de [A] obtemos

p(t) = det[λId −A] =[λ− a −b−b λ− c

]= λ2 − (a+ c)λ+ (ac− b2).

Como o discriminante do polinomio caracterıstico p(λ), de uma matriz simetrica2 × 2 nao e negativo,

∆ = (−a− c)2 − 4(ac− b2) = (a− c)2 + 4b2 ≥ 0,

p(t) admite duas raızes reais, que serao distintas se, e somente se, ∆ > 0, e terauma raiz com repeticao 2 se, e somente se, ∆ = 0. Examinemos os dois casos.

1o Quando ∆ = 0, significa que a = c e b = 0. Logo, a matriz [A] e uma matrizdiagonal, a saber

[A] =[a 00 a

].

Sendo assim A(x, y) = (ax, ay) = a(x, y). Isto significa que qualquer vetorde R2 e um autovetor associado ao autovalor λ = a, seguindo nossa notacaoescrevemos R2 = Vλ. Portanto, escolhidos quaisquer dois vetores unitariosmutuamente ortogonais, β = u1, u2 formamos uma base ortonormal para oR2 com autovetores unitarios.

2o Quando ∆ > 0 teremos dois autovalores distintos, digamos λ1 e λ2. Sejamu1 e u2 dois autovetores unitarios associados aos autovalores λ1 e λ2, respec-tivamente. Como vimos na ultima secao o conjunto β = u1, u2 ⊂ R2 elinearmente independente, portanto, β e uma base ortonormal.

A existencia de uma base ortonormal de autovetores de um operador linearsimetrico e um dos importantes teoremas de Algebra Linear e e um resultado validoem qualquer dimensao. Deixaremos o enunciado do teorema mas sem a demons-tracao pois a argumentacao utilizada, quando o operador linear simetrico e em Rn,n > 2, foge do material apresentado neste texto.

Teorema 6.3.2 (Teorema espectral) Se o operador linear A : Rn → Rn e simetricoentao

a) o polinomio caracterıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui nraızes reais, contando as repeticoes, λ1, λ2, ..., λn;

98


b) existe uma base ortonormal de Rn formada por autovetores, β = u1, u2, ..., un,onde A(ui) = λiui.

Exemplo 6.3.3 Considere a matriz simetrica [A],

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.Como a matriz e simetrica o operador linear que ela define em R3 e simetrico.

Pelo Teorema Espectral, podemos garantir que A possui tres autovalores reais epodemos determinar tres autovetores associados, um para cada autovalor, que saoortogonais dois a dois. Se calcularmos as raızes do polinomio caracterıstico de A,pA(t) = det [tId−A] obtemos os autovalores

λ1 = 2 > 0, λ2 = 1 +√

3 > 0, λ3 = 1 −√3 < 0.

Observe que a matriz [A] e nao singular, isto e equivalente a dizer que det [A] = 0,de fato vale a propriedade det[A] = λ1 λ2 λ3. Com um pouco de esforco o leitorpode determinar os seguintes autovetores associados,

v1 = (−1, 1, 0), v2 = (−1+√

3,−1+√

3, 1), v3 = (−1−√3,−1−√

3, 1).

Verifique que eles sao dois a dois ortogonais.

Um operador linear simetrico A : Rn → Rn, e dito ser positivo quando 〈v,A(v)〉 >0, qualquer que seja o vetor nao nulo v ∈ Rn.

Exercıcio 6.3.1 Mostre que um operador linear simetrico e positivo se, e somentese, todos os seus autovalores sao positivos.

Sugestao Seja β = u1, u2, ..., u3 uma base ortonormal de autovetores, relem-brando, 〈ui, uj〉 = δij e A(ui) = λiui. Escreva um vetor nao nulo v como combinacaolinear dos vetores da base e faca a avaliacao 〈v,A(v)〉 > 0.

Definimos um operador linear simetrico negativo de forma analoga e concluımosque todos os autovalores sao negativos.


1. Dado o operador linear A : R3 → R3, calcule o operador transposto.

a) A(x, y, z) = (x+ y − z, 2x− 2y + z, x− y).

b) A(x, y, z) = (x+ 2y + 4z, 2x+ 3y − z, 4x− y − 2z).

99


2. Verifique que o operador linear A : R3 → R3 e simetricos e determine uma base deautovetores.a) A(x, y) = (10x+ 6y, 6x+ 10y). b) A(x, y) = (4x+ 4y, 4x+ 10y)c) A(x, y) = (6x− 2y,−2x+ 6y). d) A(x, y) = (5x+ 3y, 3x+ 5y)

3. Verifique que o operador linear A : R3 → R3 e simetrico e determine uma base deautovetores.a) A(x, y, z) = (2z,−y, 2x). c) A(x, y, z) = (x+ 3y, 3x+ 9y, 0).b) A(x, y, z) = (x+ z,−y, x+ z). d) A(x, y, z) = (−7x,−7y, 2z).

4. Construa um operador linear simetrico A : R2 → R2, tal que

a) A(−1, 2) = (2,−4) e A(2, 1) = (6, 3).

b) A(3, 1) = (0, 0) e A(−1, 3) = (1,−3).

c) A(1, 2) = (2, 4) e que possua λ = −1 como autovalor.

5. Determine os autovalores e autovetores da Id : R3 → R3.


1) O operador C(x, y) e a composta B A−1(x, y).

a) C(x, y) = (−y, x),B(x, y) = (−x− y, x+ y), A−1(x, y) = 1

2 (x+ y,−x+ y).

b) C(x, y) = 13 (2x, x),

B(x, y) = (2x+ 2y, x+ y), A−1(x, y) = 13 (2x− y,−x+ 3y).

c) C(x, y) = 13 (3y,−2x− y),

B(x, y) = (x+ y, x− y), A−1(x, y) = 13 (−x+ y, x+ 2y).

2) O operador C(x, y, z) e a composta B A−1(x, y, z).

a) C(x, y, z) = (−z, x,− 12x− 3

2z),B(x, y, z) = (−x− y, x− y, x+ 2y, 0),A−1(x, y, z) = 1

4 (2x+ 2z,−x+ 2z,−x+ 2y − z).

b) C(x, y, z) = (x, y, z),B(x, y, z) = (x+ y, x, x+ y + z),A−1(x, y, z) = (y, x− y,−x+ z).

c) C(x, y, z) = 14 (2x− y + 6z,−2y+ 4z,−4x− 2y + 4z),

B(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y, 2y),A−1(x, y, z) = 1

4 (2x− y + 2z,−2x− y + 2z, 2x+ y + 2z).

Secao 6.2

1) E suficiente fazer a avaliacao. a) A(v) = 4v, b) A(v) = −2v.

100


2) Apresentamos o polinomio caracterıstico decomposto em produtos de parcelas inde-componıveis, os autovalores e autoespacos associados com uma base, respectivamente.a) p(λ) = (λ− 1)(λ+ 2), λ1 = 1, λ2 = −2.

Vλ1 = (x, y) ∈ R2;x− y = 0 = [[(1, 1)]],Vλ2 = (x, y) ∈ R2;x− 4y = 0 = [[(4, 1)]].

b) p(λ) = (λ− 6)(λ+ 1), λ1 = 6, λ2 = −1.Vλ1 = (x, y) ∈ R2; 2x− 5y = 0 = [[(5, 2)]],Vλ2 = (x, y) ∈ R2;−x− y = 0 = [[(1, 1)]].

c) p(λ) = (λ− 0)(λ− 3), λ1 = 0, λ2 = 3.Vλ1 = (x, y) ∈ R2;−x− y = 0 = [[(−1, 1)]],Vλ2 = (x, y) ∈ R2;x− 2y = 0 = [[(2, 1)]].

d) p(λ) = (λ− 0)(λ− 0), λ1 = 0 = λ2.Vλ1 = (x, y) ∈ R2;x− 2y = 0 = [[(2, 1)]],

e) p(λ) = (λ− 1)(λ− 1), λ1 = 1 = λ2.Vλ1 = (x, y) ∈ R2;x = 0 = [[(0, 1)]],

f) p(λ) = λ2 − 2λ+ 2, nao tem autovalor.

3) Apresentamos o polinomio caracterıstico decomposto em produtos de parcelas inde-componıveis, os autovalores e autoespacos associados com uma base, respectivamente.a) p(λ) = (λ− 2)(λ− 3)(λ− 6), λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 6.

Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;x+ y − z = 0 e x+ y − 3z = 0 = [[(1,−1, 0)]],Vλ2 = (x, y, z) ∈ R3;x− z = 0 e y − z = 0 = [[(1, 1, 1)]].Vλ3 = (x, y, z) ∈ R3; 3x− y + z = 0 e x− 3y − z = 0 = [[(1, 1,−2)]].

b) p(λ) = (λ− 1)(λ− 1)(λ− 4), λ1 = 1 = λ2, λ3 = 4.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3; y + z = 0 = [[(1, 0, 0) (0, 1,−1)]],Vλ3 = (x, y, z) ∈ R3; 3x− y + z = 0 e 2y − z = 0 = [[(1, 1, 2)]].

c) p(λ) = (λ+ 1)(λ− 2)(λ+ 2), λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = 2.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;x+ 2z = 0 e 2x+ z = 0 = [[(0, 1, 0)]],Vλ2 = (x, y, z) ∈ R3; y = 0 e x− z = 0 = [[(1, 0, 1)]],Vλ3 = (x, y, z) ∈ R3; y = 0 e x+ z = 0 = [[(1, 0,−1)]].

d) p(λ) = (λ− 3)(λ− 2)(λ+ 1), λ1 = −3, λ2 = 2, λ3 = 1.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3; y + 3z = 0 e z = 0 = [[(1, 0, 0)]],Vλ2 = (x, y, z) ∈ R3; z = 0 e y + 3z = 0 = [[(1, 1, 0)]],Vλ3 = (x, y, z) ∈ R3;−4x+ y + 3z = 0 e − 3y + 3z = 0 = [[(1, 1, 1)]].

e) p(λ) = (λ− 1)(λ+ 1)(λ− 2), λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3; 2x+ 2y = 0 e − 2x− y − z = 0 = [[(1,−1, 1)]],Vλ2 = (x, y, z) ∈ R3;x = 0 e 2x+ y + 3z = 0 = [[(0,−3, 1)]],Vλ3 = (x, y, z) ∈ R3;x = 0 e 2x+ 3y = 0 = [[(0, 0, 1)]].

f) p(λ) = (λ+ 2)(λ2 + 2λ+ 2), λ1 = −2.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;−4x− 2z = 0 e 2x− 4z = 0 = [[(0, 1, 0)]],

g) p(λ) = (λ− 0)(λ2 − 4λ+ 5), λ1 = 0.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;−x+ y = 0 e − x− y − z = 0 = [[(1, 1,−2)]],

101


h) p(λ) = (λ− 1)(λ2 + 1), λ1 = 1.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;−x+ 2y = 0 e − y + 2z = 0 = [[(4, 2, 1)]],

i) p(λ) = (λ+ 1)(λ+ 1)(λ+ 1), λ1 = λ2 = λ3 = 1.Vλ1 = (x, y, z) ∈ R3;−4x− 3y + 2z = 0 = [[(1, 0, 2) (0, 1, 3/2)]],

4) O polinomio caracterıstico de um operador linear em R3 tem grau 3. Todo polinomiode grau ımpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real, e a raiz do po-linomio caracterıstico e um autovalor. O resultado e o mesmo para qualquer operadorlinear num espaco R2k+1 (dimensao ımpar).

5) Se o operador A nao for invertıvel, ele nao e injetor, logo, seu nucleo e nao trivial.Logo, existe um vetor nao nulo v ∈ Nuc(A) tal que A(v) = o. Isso significa quev e um autovetor associado ao autovalor λ = 0. Reciprocamente, se λ = 0 e umautovalor, entao existe um autovetor associado a esse autovalor, digamos que sejao vetor nao nulo v. Sendo assim, A(v) = o. Portanto, o nucleo de A e nao trival,implicando que A e nao invertıvel.

Secao 6.3

1) Devemos considerar a matriz [A], construir a matriz transposta, [A]t e recuperar ooperador transposto.a) At(x, y, z) = (x+ 2y + z, x− 2y − z,−x+ y).b) At(x, y, z) = (x+ 2y + 4z, 2x+ 3y − z, 4x− y − 2z)

2) Cada operador linear e simetrico pois sua matriz e simetrica, [A]t = [A]. Pelo Teoremaespectral podemos determinar uma base de R2 formada por autovetores. Para cadaoperador apresentamos o polinomio caracterıstico decomposto em fatores lineares ea base de R2 formada pelos autovetores correspondente aos autovalores.a) p(λ) = (λ− 16)(λ− 4), β = ( 1√

2, 1√

2), (−1√

2, 1√

2)

b) p(λ) = (λ− 12)(λ− 2), β = ( 1√5, −2√

5), ( 2√

5, 1√

5)

c) p(λ) = (λ− 8)(λ− 4), β = ( 1√2, 1√

2), (−1√

2, 1√

2)

d) p(λ) = (λ− 0)(λ− 10), β = ( −1√10, 3√

10), ( −3√

10, −1√

10)

2) Cada operador linear e simetrico. Para cada operador apresentamos o polinomio ca-racterıstico decomposto em fatores lineares e a base de R3 formada pelos autovetorescorrespondente aos autovalores.a) p(λ) = (λ− 1)(λ− 2)(λ+ 2), β = (0, 1, 0), ( 1√

2, 0, 1√

2), (−1√

2, 0, 1√

2).

b) p(λ) = (λ− 0)(λ− 2)(λ+ 1), β = ( 1√2, 0, −1√

2), ( 1√

2, 0, 1√

5), (0, 1, 0)).

c) p(λ) = (λ− 0)(λ− 0)(λ− 10), β = ( −3√10, 1√

10), (0, 0, 1), ( −1√

10, −3√

10, 0).

d) p(λ) = (λ+ 7)(λ+ 7)(λ− 2), β = e1, e2, e3.4) a) Como A(−1, 2) = 2(−1, 2), A(2, 1) = 3(2, 1), e os vetores v1 = (−2, 1) e v2 = (1, 2)

sao ortogonais (o produto interno 〈v1, v2〉 = 0), podemos utilizar o processo descrito

102


na Secao 1 desse capıtulo para construir um operador linear tal que A(v1) = 2v2 eA(v2) = 3v2. Obtemos o operador linear simetrico A(x, y) = (14

5 x+ 25y,

25x+ 11

5 y).b) Como A(3, 1) = 0(3, 1), A(−1, 3) = −(−1, 3), e os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (−1, 3)sao ortogonais podemos utilizar o processo descrito na Secao 1 desse capıtulo paraconstruir um operador linear tal que A(v1) = 0v2 e A(v2) = −v2. Obtemos o operadorlinear simetrico A(x, y) = (− 1

10x+ 310y,

110x− 3

10y).c) Como A(1, 2) = 2(1, 2) devemos definir num vetor perpendicular, digamos v2 =(−2, 1) o valor A(−2, 1) = −(−2, 1). Agora, podemos utilizar o processo descrito naSecao 1 desse capıtulo para construir o operador linear A(x, y) = (− 2

5x+ 65y,

65x− 7

5y).

5) O polinomio caracterıstico da identidade e p(λ) = (λ − 1)n. Todos os n autovaloressao iguais a λ = 1 e todos os vetores do Rn sao autovetores associados.

103

Capıtulo 7

Matrizes e determinantesAquı estao relacionadas as definicoes e propriedades utilizadas no texto. Uma ma-triz e um objeto matematico cuja existencia e independente do conceito de trans-formacao linear, embora possua uma relacao estreita com elas. Tambem sao larga-mente utilizadas para calculos em varias areas do Conhecimento.

7.1 Matrizes

Uma matriz m×n com entradas entradasreais e uma sequencia de escalares [N ] =[vj

i ], com vji ∈ R, organizada na forma ao

lado. O ındice j de vji indicara a linha na

qual a entrada encontra-se e o ındice i in-dica a coluna. Consideramos dois tipos devetores, o vetor vj = (vj

1, vj2, ..., v

jn) cujas

coordenadas sao as

[N ] =

v11 v1

2 · · · v1n

v21 v2

2 · · · v2n

......

...vm1 vm

2 · · · vmn

.

entradas da linha j da matriz [N ] e o vetor vi = (v1i , v

2i , ..., v

mi ) formado pelas

entradas da i -esima coluna da matriz [N ]. Utilizaremos frequentemente a notacaopara a matriz indicando suas colunas, na forma,

[N ] = [v1, v2, ..., vn]

Induzimos uma estrutura de espaco vetorial no conjunto das matrizes m×n, (mlinha por n coluna) conjunto este denotado por M(m×n,R), definindo a adicao dematrizes e a multiplicacao de uma matriz por um escalar, respectivamente por

[N ] + [P ] = [v1 + w1, ..., vi +wi, ..., vn +wn]

λ[N ] = [λv1, ..., λvi, ..., λvn],

em que [N ] = [v1, v2, ..., vn], [P ] = [w1, w2, ..., wn] sao matrizes m × n e λ ∈ R. O

104

7.1. MATRIZES

vetor nulo do espaco e a matriz identicamente nula, isto e, a matriz com todas asentradas nulas. Com esta estrutura M(m × n,R) torna-se um espaco vetorial dedimensao mn.

Definicao 7.1.1 Seja [N ] = [vji ] uma matriz m× n. A matriz transposta de [N ] e

a matriz n×m denotada e definida por [N ]t = [wji ] onde wj

i = vij .

Dadas uma matriz m × n, [N ] = [v1, v2, ...vn], e uma matriz n × r, [P ] =[w1, w2, ..., wr], utilizamos o fato dos comprimentos das colunas de [N ] ser igual aocomprimento das linhas de [P ], para construir uma matriz m × r, [N ][P ] = [uj

i ],chamada de produto de [N ] por [P ], cujas entradas sao definidas pela regra (coma simbologia de produto interno: um vetor linha da primeira com um vetor colunada segunda)

uji = vj

1w1i + vj

2w2i + · · · + vj

nwni = 〈vj , wi〉.

Exercıcio 7.1.1 Quando for possıvel efetuar as operacoes, demonstre as seguintesidentidades matriciais, onde N ,P e Q sao matrizes com entradas reais e λ ∈ R.

a) [N ]([P ] + [Q]) = [N ][P ] + [N ][Q]. b) ([P ] + [Q])[N ] = [P ][N ] + [Q][N ].

c) ([N ][P ])[Q] = [N ]([P ][Q]). d) (λ[N ])[P ] = λ([N ][P ]) = [N ](λ[P ]).

Solucao Ilustremos a tecnica de demonstracao provando a). Suponhamos que

[N ] = [vji ] ∈M(m× n,R) e que [P ] = [wj

i ], Q = [uji ] ∈M(n× r,R).

Pelas definicoes de soma e de produto de matrizes sabemos que

[N ]([P ] + [Q]) = [dji ] onde dj

i = 〈vj , vi + ui〉.Desenvolvendo o ultimo produto interno temos as igualdades

dj1 = 〈vj , wi〉 + 〈vj , ui〉.

No membro direito da igualdade, a primeira parcela da soma e a ji-esima entradade [N ][P ] e a segunda e a ji-esima entrada de [N ][Q]. Portanto, vale a igualdadematricial [N ]([P ] + [Q]) = [N ][P ] + [N ][Q].

Exemplo 7.1.1 Demonstremos a identidade matricial ([N ][P ])t = [P ]t[N ]t em que[N ] = [v1, v2, ..., vn] e [P ] = [w1, w2, ..., wr ] sao matrizes m × n e n × r, respec-tivamente. Inicialmente escrevamos [N ][P ] = [aj

i ] = [〈vj , wi〉]. Por definicao detransposta, valem as relacoes

([N ][P ])t = [uji ] = [ai

j ] = [〈vi, wj〉].Por outro lado, calculando [P ]t[N ]t = [〈wj , v

i〉]. Donde segue a identidade.

105

CAPITULO 7. MATRIZES E DETERMINANTES

7.2 Matrizes quadradas

Uma matriz quadrada e uma matriz com o numero de linhas igual ao numero decolunas. Simplificamos a notacao indicando o espaco vetorial das matrizes n×n porM(n,R). Tais espacos sao mais ricos em propriedades algebricas do que os espacosde matrizes nao quadradas, a diferenca fica por conta do produto de matrizes. Aoefetuarmos um produto de dois elementos de M(n,R) obtendo uma outra matrizneste mesmo espaco. Observamos que o produto de matrizes e nao comutativo.Alem disso a forma quadrada permite destacar varios tipos especiais de matrizes,como veremos na sequencia.A diagonal de uma matriz quadrada n×n [N ] ea subsequencia formada pelas ii-esimas entradas,(v1

1 , v22 , ..., v

nn). Diremos que [N ] e uma matriz

diagonal quando toda entrada nao pertencentea diagonal tem o valor zero. Esquematicamenteuma matriz diagonal tem a forma ao lado.

[N ] =

v11 0 · 00 v2

2 · 0· · · ·0 0 · vn

n

.

Um tipo particular e importante de uma matriz diagonal e a matriz identidadecujas colunas correspondem ao vetores da base canonica do Rn, [I] = [e1, e2, ..., en].

Para enfatizar o tamanho n× n da matriz iden-tidade utilizamos uma indexacao da forma [I]n.Um outro modo pratico para indicar as entra-das da matriz identidade e com o uso do delta deKronecker, [I]n = [δij ].

[I]n =

1 0 · 00 1 · 0· · · ·0 0 · 1

.

Exemplo 7.2.1 A matriz identidade [I]n tem uma propriedade especial. Paraqualquer matriz quadrada n×n, N = [v1, v2, ..., vn], valem as identidades matriciais[N ][I] = [N ] = [I]n[N ]. A demonstracao segue diretamente da definicao de produtode matrizes. Provaremos apenas a igualdade [N ][I] = [N ], a segunda igualdade efeita de modo analogo. Escrevamos

[N ][I]n = [〈vj , ei〉] = [vji ] = [N ].

Definicao 7.2.1 Uma matriz n × n, [N ] e invertıvel ou nao singular, se existiruma matriz n × n, [P ] tal que [P ][N ] = [I] = [N ][P ]. Quando existe, a matriz [P ]e chamada de inversa de [N ] e denotada por [N ]−1.

Exercıcio 7.2.1 Mostre as seguintes afirmacoes sobre matrizes invertıveis.

a) Quando uma matriz quadrada tem inversa, a inversa e unica.

106

7.3. DETERMINANTES

b) [N ] e [P ] invertıveis implica que [N ][P ] e invertıvel e ([N ][P ])−1 = [P ]−1[N ]−1.

c) [N ][P ] = [I] ⇔ [I] = [P ][N ].

As afirmacoes sobre determinantes contidas nesse paragrafo estao demonstradasna proxima secao.

Proposicao 7.2.1 Uma matriz [N ] e invertıvel se, e somente se, det[N ] = 0.

Definicao 7.2.2 Sejam [N ] e [P ] duas matrizes n×n. Diremos que [N ] e conjugadaa [P ] quando existe uma matriz n× n invertıvel [R] tal que [P ] = [R][N ][R]−1.

Definicao 7.2.3 Diz-se que [N ], uma matriz n×n, e simetrica quando [N ]t = [N ].

7.3 Determinantes

O restante desse capıtulo e dedicado a construcao do determinante. A demonstracaoda existencia do determinante e indutiva e a apresentacao escolhida esta baseadanum elegante tratamento dado por Artin [02]. Nao nos ocuparemos da unicidade.

Definicao 7.3.1 Uma aplicacao D : M(n,R) → R sera chamada de determinantese satisfaz as seguintes condicoes:

1. D[e1, e2, ..., en] = 1;

2. D[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = 0 se vi = vi+1 para algum i;

3. D[v1, ..., vi + λw, ..., vn] = D[v1, ..., vi, ..., vn] + λD[v1, ..., w, ...vn].

para qualquer w ∈ Rn e qualquer λ ∈ R.

Posteriormente demonstraremos que para cada espaco M(n,R) existe uma unicaaplicacao satisfazendo essas tres condicoes. Antes vejamos algumas propriedadesconhecidadas sobre o calculo de determinantes que sao consequencias da definicao.

Proposicao 7.3.1 Suponha uma aplicacao D : M(n,R) → R satisfaz as condicoesda Definicao determinante. Seja [N ] = [v1, v2, ..., vn]. Entao valem as afirmacoes.

1. Se algum vetor coluna e o vetor nulo entao D[N ] = 0.

2. O valor D[N ] troca de sinal quando duas colunas adjacentes sao permutadas.

3. Quando duas colunas de [N ] sao iguais, o seu determinante e nulo.

107


4. Se [P ] e uma matriz obtida somando-se a uma coluna de [N ] uma combinacaolinear de outras colunas, entao D[P ] = D[N ].

5. Se uma coluna de N e combinacao linear de outras colunas entao D(N) = 0.

Prova 1. Se o vetor coluna e vi = o, seguem da propriedade 3 as igualdades,

D[v1, ..., o, ..., vn ] = D[v1, ..., o+ o, ..., vn] = 2D[v1, ..., o, ..., vn ].

De onde obtemos que D[N ] = 0.

2. Observamos que D[v1, ..., vi + vj, ..., vj + vi, ..., vn] = 0 pois duas colunas saoiguais. Utilizando-se da propriedade 2 e 3, ao desenvolvermos esse determinanteobtemos apenas duas parcelas, pois as outras duas sao iguais a zero,

0 = D[v1, ..., vi, ..., vj , ..., vn] + D[v1, ..., vj , ..., vi, ..., vn] = 0.

demonstrando a afirmacao 2.

3. Suponha que os vetores colunas vi e vj da matriz [N ] sao iguais. Com umasequencia de transposicao de colunas e possıvel colocar essas duas colunas iguaisem posicoes adjacentes. Pelo item anterior, o determinante da matriz [P ] obtidano final das transposicoes difere do determinante de [N ] possivelmente por sinal.Como D[P ] = 0, entao D[N ] = 0.

4. Fixemos o vetor coluna vi. Consideremos a matriz obtido ao somarmos ao vi

uma combinacao linear dos outros vetores colunas com ceficientes cujos coeficientessao a1, ..., ai−1, ai+1, ..., an ∈ R,

[P ] = [v1, ..., vi +∑

k =i(vi + akvk), ..., vn].

Avaliemos o determinante de [P ], levando-se em consideracao a linearidade,

D[P ] = D[N ] +∑

k =i akD[v1, ..., vk, ..., vn].

Examinemos as parcelas do somatorio. Como o vetor coluna vk que esta na coluna ie igual a uma outro vetor coluna, pelo item anterior, concluımos que o determinantede cada parcela do somatorio e zero, portanto, D[P ] = D[N ].

5. Vamos assumir que o vetor coluna vi da matriz [N ] e uma combinacao linearde outras colunas, vi =

∑k =i akvk. Para anular a i-esima coluna basta somar uma

combinacao linear conveniente das outras colunas, obtendo uma matriz [P ] cujodeterminante e igual ao determinante de [N ] e tem uma como i-esimo vetor colunao vetor nulo. Logo, o determinante e zero.

7.4 Existencia

Para construir um determinante det : M(n,R) → R necessitaremos de algumasnotacoes. Indicaremos por [N ]ij a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [N ] = [vj

i ]

108

7.4. EXISTENCIA

por supressao da j-esima linha e da i-esima coluna. Chamaremos [N ]ji de ij-esimamatriz reduzida de N . Reveja a definicao de determinante de uma matriz 2 × 2 e3 × 3 no capıtulo 1.

Proposicao 7.4.1 Para cada inteiro n > 0 existe uma aplicacao determinante.

Prova A existencia de um determinante para cada inteiro positivo n e indutiva. Jasabemos que existem determinantes em M(2,R) e M(3,R) (veja capıtulo 1). Vamossupor por inducao que ja tenhamos mostrado a existencia de um determinante emcada espaco M(r,R), 2 ≤ r ≤ n− 1. Defina uma aplicacao det : M(n,R) → R pelaregra conhecida como desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna,

det[N ] = (−1)1+1v11 detN11 + (−1)2+1v2

1 detN21 + · · · + (−1)n+1vn1 detNn1.

Mostremos que essa aplicacao e um determinante.

1. Se [I]n = [δij ] e a matriz identidade e evidente que [I]11 e a matriz identidade(n− 1) × (n− 1) (δji e o delta de Kronecker). Portanto,

det[I]n = (−1)1+1δ11 det[I]11 + (−1)1+2δ12 det[I]12 + · · · + (−1)1+nδ1n det[I]1n.

Como δ11 = 1 e todos os outros deltas sao iguais a zero, o determinante damatriz [I]n reduz-se a det[I]n = det[I]n−1. Logo, det In = 1, desde que por hipotesede inducao vale det In−1 = 1.

2. Suponha que dois vetores coluna da matriz [N ] sejam iguais, digamos vi =vi+1. Sendo assim, se k = i as jk-esimas matrizes reduzidas de N possuem duascolunas iguais, implicando por hipotese de inducao que

det[N ] = (−1)1+1v11 det[N ]11 + (−1)1+2v1

2 det[N ]12 + · · · + (−1)1+nv1n det[N ]1n

= (−1)1+iv1i det[N ]1i + (−1)1+i+1v1

i+1 det[N ]1(i+1)

.

A igualdade entre os vetores colunas vi = vi+1 implica na igualdade entre as entradasv1i = v1

i+1 e na igualdade das matrizes reduzidas [N ]1i = [N ]1(i+1)

. Examinando os

sinais de (−1)1+i e (−1)1+i+1 concluımos que det[N ] = 0.

3. Mostremos a multilinearidade da aplicacao. Dados um escalar λ ∈ R, umamatriz quadrada [N ] = [v1, v2, ..., vn] e a w ∈ Rn calculemos o determinante de

[Q] = [uji ] = [v1, v2, ..., vi + λw, ..., vn].

Para isto, identifiquemos as parcelas das matrizes reduzidas de [Q]. Seja [P ] =[o, o, ..., w, ..., o], onde o e o vetor nulo. Sendo assim, temos as matrizes

[Q]1k

= [N ]1k

+ λ[P ]1k

se k = i,

Q]1i = [N ]1i.

109


A hipotese de inducao sobre a multilinearidade do determinante para matrizes (n−1) × (n− 1) justifica as igualdades

det[Q] =∑

k=1,n

(−1)1+ku1k det[Q]

1k

=

∑k =i

(−1)1+kv1k det

([N ]

1k+ λ[P ]

1k

)+ (−1)1+i(v1i + λw1) det[N ]1i

=

∑k=1,n

(−1)1+kv1k det[N ]

1k

+ λdet[v1, ..., wi, ..., vn]

= det[N ] + λdet[v1, ..., vi, ..., vn].

Proposicao 7.4.2 (Unicidade) Para cada inteiro n ≥ 1 so existe uma aplicacaono espaco das matrizes n×n satisfazendo as condicoes listadas na Definicao 6.4.1.

Exemplo 7.4.1 Na demonstracao da proposicao de existencia, definimos indutiva-mente o determinante em cada espaco de matizes utilizando o algoritmo chamadodesenvolvimento de Laplace pela primeira linha. Mas tambem poderıamos ter defi-nido o determinante indutivamente pelo desenvolvimento de Laplace pela primeiracoluna,

det[N ] = (−1)1+1v11 det[N ]11+(−1)2+1v2

1 det[N ]21+· · ·+(−1)n+1vn1 detNn1,

pela unicidade do determinante, a aplicacao e a mesma. Tambem poderıamos terescolhido para a demonstracao o desenvolvimento de Laplace pela j-esima linha oui-esima coluna.

7.5 Propriedades e matriz inversa

Provaremos nessa secao algumas propriedades de determinantes bastante conheci-das e utilizadas anteriormente ao longo do texto, inclusive em demonstracoes deproposicoes. Iniciaremos mostrando que

Proposicao 7.5.1 O determinante da transposta de uma matriz e igualao determinante da matriz, isto e, det[N ] = det[N ]t.

Prova A demonstracao e indutiva. Verifica-se facilmente que vale a firmacao paran = 1, 2. Supondo verdadeiro para n − 1. Seja [N ] uma matriz n × n. Observeque [N ]t

ij= [N ]ij , portanto, seus determinantes sao iguais. Agora, calculando o

determinante de [N ]t pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna e o

110

7.5. PROPRIEDADES E MATRIZ INVERSA

mesmo que fazer o desenvolvimento de Laplace de [N ] pela primeira linha. Isso e ademonstracao da proposicao.

Novamente, na demonstracao da proposicao a seguir utilizamos os mesmos ar-gumentos, desenvolvimento de Laplace e identificacao das parcelas envolvidas.

Proposicao 7.5.2 O determinante do produto de matrizes e igual ao pro-duto do determinantes, isto e, det[N ][P ] = det[N ] det[P ].

Indicamos por [N ]ji a ji -esima matriz reduzida de [N ], isto significa que amatriz [N ]ji e a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de [N ] por supressao da j−esimalinha e da i-esima coluna.

O ji-esimo cofator da matriz quadrada N = [v1, v2, ..., vn] e o numero realdefinido como

cji = (−1)j+i det[N ]ji.

Tais numeros sao as entradas de uma outra matriz, chamada de adjunta classica de[N ], que por definicao e a matriz transposta da matriz formada pelos cofatores,

adj[N ] = [cji ]t.

Exercıcio 7.5.1 Verifique que (adj[N ])t = adj([N ]t). Sugestao: Observe que[N ]t

ji= [N ]ij .

A proposicao a seguir descreve relacoes matriciais envolvendo uma matriz, suaadjunta classica e seu determinante, com varias e importantes consequencias.

Proposicao 7.5.3 adj[N ] · [N ] = (det[N ]) · [I]n = [N ] · adj[N ].

Prova Escrevamos a ki-esima entrada do produto adj[N ] · [N ] = [dki ], onde [N ] =

[v1, v2, ..., vn] e adj[N ] = [cki ]t,

dki = 〈ck, vi〉

= (−1)1+kv1i [N ]

1k+ (−1)2+kv2

i [N ]2k

+ · · · + (−1)n+kvni [N ]

nk.

Daı concluımos que se k = i, temos o valor dii = det[N ] pois o ultima membro e o

desenvolvimento de Laplace do determinante de [N ] pela i-esima coluna.

Vejamos o caso k = i. Fixemos a coluna k. Denote por

[P ] = [v1, ..., vk−1, vi, vk+1, ..., vi, ..., vn],

isto e, [P ] e a matriz obtida de [N ] substituindo-se a coluna vk pela coluna vi.Sendo assim, valem as igualdades, det[P ] = 0 e [P ]

jk= N

jkpara todo 1 ≤ j ≤ n.

111


Calculemos o determinante de [P ] com o desenvolvimento pela k−esima coluna,recordando que vk = vi,

0 = det[P ]= (−1)1+kv1

k detN1k

+ (−1)2+kv2k detN

2k+ · · · + (−1)n+kvn

k detNnk

= (−1)1+kv1i detN

1k+ (−1)2+kv2

i detN2k

+ · · · + (−1)n+kvni detN

nk

= 〈ck, vi〉= dk

i .

Isso mostra que adj[N ] · [N ] e uma matriz diagonal e todas as entradas da diagonalsao iguais a det[N ], como desejavamos demonstrar.

Para provar a igualdade (det[N ]) · [I]n = [N ] · adj[N ], utilizamos o mesmo tipode argumento.

Corolario 7.5.1 Uma matriz quadrada [N ] e invertıvel ⇔ det[N ] = 0. Mais ainda,se [N ] e invertıvel entao

1.) [N ]−1 = 1det[N ]adj[N ]; 2.) det([N ]−1) = (det[N ])−1.

7.6 Regra de Cramer

Coloquemos o seguinte problema: dados os vetores v1, v2, ...vn, w ∈ Rn, determinarn escalares a1, a2, ..., an tais que

a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = w.

Se escrevemos vi = (v1i , v

2, vi, ..., vni ) e w = (w1, w2, ..., wn), a pergunta acima nos

leva a um sistema de n equacoes e n incognitas (os ai’s).v11a1 + v1

2a2 + · · · + v1nan = w1

v21a1 + v2

2a2 + · · · + v2nan = w2

· · ·vn1 a1 + vn

2 a2 + · · · + vnnan = wn

,

v11 v1

2 · · · v1n

v21 v2

2 · · · v2n

· · ·vn1 vn

2 · · · vnn

a1

a2

·an

=

w1

w2

·wn

.

Em resumo, escrevemos [N ][a] = [w], onde [N ] = [v1, v2, ..., vn] e a = (a1, a2, ..., an).

Proposicao 7.6.1 (Regra de Cramer) Suponha que [N ][a] = [w] e um sistemalinear n×n em R, onde [N ] = [v1, v2, ..., vn]. Se det[N ] = 0 entao o sistema admiteuma unica solucao (a1, a2, ..., an) e

ai =det[v1, ..., vi−1, w, vi+1, ...vn]det[v1, ..., vi−1, vi, vi+1, ..., vn]

.

112

7.6. REGRA DE CRAMER

Prova Que o sistema tem solucao e facil, pois o determinante sendo diferente dezero, a matriz dos coeficientes e invertıvel, seguindo que a solucao e [a] = [N ]−1[w].O calculo dos coeficientes ai’s segue como na demonstracao da regra de Cramerfeita no primeiro capıtulo.

113

Indice Remissivo

AAbscissa 2Angulo entre dois vetores 36Aplicacao

conceito 1identidade 44

Area de um paralelogramo 8Autoespaco 66Autovalor 66Autovetor 66 BBasecanonica do Rn 27

ordenada 27orotonormal 37positiva 30 C

Combinacao linear 11Comprimento de um seg. orientado 33Coeficientes da combinacao linear 11Composicao 55Conjunto ordenado de geradores 15Conjunto

linearmente independente 21ortonormal 37 D

Delta de Kronecker 37Desenvolv. de Laplace 88Desigualdade de Cauchy-Schwarz 34 EEscalar 4Espaco

conceito 2

vetorial 4 FFormula de Lagrange 41Funcao 1 HHomotetia 45 IIdentidade

cıclica 43de Apolonius 35de Lagrange 43de polarizacao 35

ij-esima matriz reduzida 60

Im(A) 46Imagem transf. linear 46 LLei do paralelogramo 35 MMatriz

adjunta classica 58, 61canonica associada a A 48de uma transf. linear 48dos cofatores 61invertıveis 56quadrada 78simetrica 71transposta 70 N

Normaassociada 35de um vetor 33

Nuc(A) 46Nucleo transf. linear 46 OOperador linear

linear 47simetrico 71simetrico negativo 73simetico positivo 73transposto 70

Ordenada 2 PPlano, conceito 2Ponto, conceito 2Polinomio caracterıstico 67Produto

escalar 32

interno 32vetorial 38vetorial duplo 43 R

Rn 1Representacao de um vetor 5Reta, conceito 2 SSegmento orientado 5Segunda desigualdade triangular 35Soma de transformacoes lineares 54Subespaco

114

INDICE REMISSIVO

trivial 10vetorial 9vetorial proprio 10 bf T

Transformacao linear 44identicamente nula 45injetora 46inversa 56invertıvel 56sobrejetora 46

Teoremaespectral 71, 73do nucleo e da imagem 52

Trac co de uma matriz 68 VVetor

conceito 4normal a um subespaco 37nulo 4unitario 34

Vetoresortogonais 36perpendicluares 36

Volume de um paralelepıpedo 9

115

Referencias Bibliograficas

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[13] Steinbruch, A.& Winterle,P.; Algebra Linear; McGraw-Hill (1987).

116

Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear´ - UFERSA · coberta constante para aqueles que nunca tiveram a...

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