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HIDRODINÂMICA

Definição: - É a parte da Hidráulica encarregada do estudo do movimento dos fluidos e das suas causas.

Escoamentos dos fluidos estão sujeitos a: � Determinadas condições gerais � Princípios fundamentais � Leis da dinâmica � Teoria da turbulência

Na hidráulica, a hidrodinâmica estuda o movimento dos líquidos, correlacionando esse movimento com as causas desse movimento. O caso do estudo dos líquidos em repouso ou com movimento retilíneo uniforme já foi visto no capítulo anterior. 1. Generalidades Para o estudo do movimento dos líquidos faz-se necessário estabelecer a posição de alguns pontos no espaço ocupado pelo líquido em seu movimento. Seja um fluido em escoamento e P a posição de um dado ponto no espaço, em um dado instante. Seja (ℓ) a trajetória descrita pelo ponto P no seu movimento. A posição de um ponto no espaço pode ser definida a partir de um referencial Oxyz, que na maior parte das vezes é um referencial cartesiano tri-ortogonal, de origem O e eixos Ox, Oy e Oz, ortogonais entre si, conforme ilustrado na figura seguinte. Quando o ponto P se movimenta, a sua posição varia com o tempo, de forma que pelo menos uma das coordenadas desse ponto muda com o tempo. A posição do ponto P pode ser univocamente estabelecida, fornecendo-se os valores de x, y e z, distâncias do ponto aos planos coordenados yOz, xOz e xOy, respectivamente. O terno de valores x, y e z é conhecido como coordenadas cartesianas do ponto P em relação ao referencial cartesiano tri-ortogonal Oxyz.

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P ≡ (x, y, z) � coordenadas cartesianas do ponto P, que definem um único

ponto P do espaço.

A posição do ponto P no espaço também poderia ser estabelecida

através de um vetor de origem O e extremidade P, denominado de vetor

posicional de P. Tal vetor, rr

, resulta da soma dos vetores deslocamentos em

relação a cada um dos eixos coordenados, ixr

, jyr

e kzr

e a sua expressão

cartesiana fica sendo:

kzjyixrrrrr ++=

Sendo ir

, jr

e kr

os vetores unitários das direções Ox, Oy e Oz,

respectivamente.

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Se há movimento do ponto P, ele é definido no tempo quando se

conhece:

x = x(t) \ y = y(t) |> � equações paramétricas da trajetória z = z(t) /

Se o ponto P muda de posição em um intervalo de tempo muito pequeno, dt, denomina-se vetor deslocamento infinitesimal ao vetor rd

r dado por:

kdzjdyidxrdrrrr ++=

Quando se relaciona este deslocamento infinitesimal com o intervalo de tempo correspondente, define-se o vetor velocidade, V

r, tal que:

kwjviudt

kzjyixd

dt

rdV

rrrrrrr

r++=++== (

onde,

dt

dxu = ,

dt

dyv = e

dt

dzw = são as componentes cartesianas do

vetor velocidade. Como temos infinitos pontos no espaço ocupado pelo fluido no seu escoamento, conclui-se que V

r depende da posição e do tempo, de forma que

se escreve ),,,( tzyxVVrr

= para expressar tal dependência. Nesse caso, as componentes cartesianas do vetor velocidade também dependem da posição e do tempo, relação esta que se escreve genericamente da seguinte forma:

u = u (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t) w = w (x,y,z,t)

Como Vr

muda com o tempo e com a posição, numa posição genérica, P, Vd

r é o vetor velocidade infinitesimal, correspondente a mudança de V

r no

intervalo de tempo infinitesimal dt. Assim, pode-se definir o vetor aceleração como sendo:

dt

Vda

rr =

Substituindo o vetor velocidade por sua expressão cartesiana, tem-se:

( )dt

kwjviuda

rrrr ++= ou kajaiak

dt

dwj

dt

dvi

dt

dua zyx

rrrrrrr ++=++=

com ax = ax (x,y,z,t); ay = ay (x,y,z,t); az = az (x,y,z,t);

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As componentes cartesianas do vetor aceleração podem ser obtidas, lembrando que as derivadas são de funções que dependem da posição e do tempo. Para o eixo Ox, o cálculo diferencial ensina que:

dtt

udz

z

udy

y

udx

x

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

u

z

uw

y

uv

x

uu

dt

duax ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

Para o eixo Oy, tem-se:

dtt

vdz

z

vdy

y

vdx

x

vdv

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

v

z

vw

y

vv

x

vu

dt

dvay ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

De maneira análoga, para o eixo Oz, tem-se:

dtt

wdz

z

wdy

y

wdx

x

wdw

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

w

z

ww

y

wv

x

wu

dt

dwaz ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

Assim, o vetor aceleração será dado como uma função do espaço e do tempo, cujas componentes cartesianas serão calculadas através das três equações acima. Observar que cada uma das componentes do vetor aceleração estão compostas de quatro parcelas. As três primeiras representam a aceleração que se observa ao se mudar de um a outro ponto no espaço, num mesmo instante. A quarta parcela representa a aceleração que se observa em um mesmo ponto, na medida em que o tempo passa. As três primeiras parcelas de cada componente cartesiana representam as componentes cartesianas do vetor aceleração convectiva ao longo de cada uma das três direções coordenadas consideradas. A quarta parcela de cada componente cartesiana do vetor aceleração representa a componente cartesiana do vetor aceleração local. Portanto, é comum escrever-se, genericamente, que:

),,,( tzyxaarr = = localconvectiva aa

rr +

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Nessa equação, o vetor aceleração tem, agora, duas componentes: o vetor aceleração convectiva e o vetor aceleração local. A primeira componente diz respeito a variação da velocidade com a posição num mesmo instante, ao passo que a segunda componente representa a variação da velocidade com o tempo, em uma mesma posição do espaço. De maneira análoga, pode-se esperar que:

),,,( tzyxρρ = e,

),,,( tzyxpp = . Nos caso considerados, as variáveis x, y, z e t são denominadas de variáveis independentes e as variáveis dependentes são velocidade, aceleração, quantidade de movimento, energia, dentre outras. Nos problemas envolvendo a hidrodinâmica normalmente podemos escrever até seis equações envolvendo até seis incógnitas, o que permite solucionar os mais diversos problemas relacionados aos escoamentos dos líquidos. Estas equações são: Equações Básicas:

• 3 equação do movimento • 1 equação da continuidade • 1 equação da energia • 1 equação de estado

PONTO DE VISTA DE EULER X PONTO DE VISTA DE LAGRANGE

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2. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS A natureza do escoamento de um fluido real é um pouco complexa, visto que as leis básicas que descrevem o seu movimento na têm uma formulação muito simples, levando a complexas equações matemáticas. Para evitar esse problema, é comum fazer uso de recursos experimentais, para melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao movimento dos fluidos. No estudo do movimento dos fluidos aparecem muitos conceitos básicos que a seguir serão recordados. Sistema: quantidade definida de matéria, distinta de todo o restante do meio que o cerca, separada para efeito de estudos. O sistema possui uma quantidade de massa perfeitamente caracterizada. A lei da conservação da massa afirma que a massa de um sistema permanece constante com o tempo, de maneira que matematicamente se pode escrever que dm/dt = 0, sendo m a massa total do sistema e t o tempo. Fronteira do sistema: superfície fechada que delimita o sistema. Ela pode variar com o tempo, todavia terá sempre a mesma massa. Volume de controle: é uma região do espaço ocupada por um fluido, escolhida para realizar a análise de um escoamento. Às vezes é denominado de sistema aberto. A forma e o tamanho do volume de controle podem variar, além de poder serem arbitradas livremente nos problemas. Superfície de controle: superfície fechada que delimita o volume de controle. Através dela pode haver ou não passagem de massa. É comum fazer coincidir parte da superfície de controle com as paredes sólidas que delimitam um escoamento e outra parte com superfícies definidas perpendicularmente aos escoamentos. Trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados sucessivamente por um ponto durante o seu movimento. Pode-se imaginar a trajetória como sendo o rastro deixado pelo ponto durante o seu movimento. Linha de corrente, também denominada de linha de fluxo, é lugar geométrico dos pontos do espaço tangente à direção do vetor velocidade no ponto. Duas linhas de corrente não se cruzam. A equação da linha de corrente é decorrente de se considerar o deslocamento infinitesimal de um ponto, na

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mesma direção e sentido do vetor velocidade, de forma que pode-se

demonstrar que w

dz

v

dy

u

dx == , onde dx, dy e dz são as componentes

cartesianas do vetor deslocamento infinitesimal e u, v e w as componentes cartesianas do vetor velocidade ao longo dos eixos coordenados, respectivamente. Nos escoamentos permanentes não há variação da direção dos vetores velocidades, de modo que as linhas de correntes são fixas no espaço, com inclinações fixas. Nesse caso a trajetória de uma partícula é a linha de corrente, o que não acontece nos escoamentos não permanentes, quando as linhas de correntes variam com o tempo numa dada região do espaço. Linhas de correntes mais próximas entre si indicam maiores velocidades e mais distantes indicam regiões de menores velocidades.

Fig. xx – Linhas de corrente de um escoamento e vetor velocidade em um

ponto. Tubo de corrente ou tubo de fluxo é definido pelo conjunto das linhas de corrente que tocam uma linha fechada traçada no interior de um escoamento. O tubo de corrente é fixo no escoamento permanente e varia com o tempo no escoamento não permanente. Já que o vetor velocidade num mesmo ponto não pode ter duas direções num mesmo instante, conclui-se que não poderá haver escoamento através das paredes de um tubo de corrente.

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Fig. xx – Tubo de fluxo formado por linhas de corrente em um escoamento.

(Refazer esta figura) Tipos e regimes de escoamentos:

Quando se estuda os líquidos, em especial a água, é comum agrupar os escoamentos em determinados tipos, com características comuns, para fins de estudos.

Os escoamentos podem ser classificados em função de suas características, capaz de identificar completamente aquele tipo ou regime de escoamento. Assim é comum classificar os escoamentos em:

• ideal (invíscido) • real (viscoso, µ≠0)

• uniforme • não uniforme (variado)

• permanente • não permanente (variável)

• acelerado • retardado

• compressível • incompressível

• rotacional • irrotacional

• adiabático • unidimensional (grandezas = f(x)

• bidimensional (grandezas = f(x,y)

• tridimensional grandezas = f(x,y,z)

• laminar (ação viscosa e velocidade baixa)

• turbulento

• forçado (condutos forçados) • livre (canais)

• crítico • fluvial (subcrítico)

• torrencial (supercrítico)

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Escoamento de fluido ideal é quando a tensão cisalhante é muito pequena, tornando-se desprezível. Nesse caso não há atrito e a perda de energia ao longo do escoamento é desprezível. Também chamado de escoamento de fluido invíscido. Em alguns casos faz-se a hipótese de escoamento de fluido ideal para se obter equações simplificadas de um problema real. Escoamento de fluido real ou escoamento viscoso é aquele para o qual a tensão cisalhante não é desprezível, devendo ser considerada no equacionamento. Nesse caso existe influência da viscosidade real (µ≠0), de maneira que o atrito e a perda de energia ao longo do escoamento existem e precisam ser consideradas. É o caso da maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza. Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor velocidade do escoamento é o mesmo em todos os pontos (em módulo, direção e sentido) em um dado instante. Diz-se que a derivada parcial do vetor velocidade com a

posição é nula ( 0=∂∂

posiçãoVr

). Assim não há aceleração convectiva.

Costuma-se estender tal definição para escoamentos que, embora a velocidade varie à partir do contorno sólido (como é o caso do escoamento de fluido real), a velocidade média mantém-se a mesma na região estudada, num dado instante. É o caso de escoamentos em condutos retilíneos de diâmetro constante. Escoamento não uniforme ou variado é aquele para o qual o vetor velocidade do escoamento varia de um ponto para outro, num mesmo instante. Para tais escoamentos a derivada parcial do vetor velocidade com a

posição não é nula ( 0≠∂∂

posiçãoVr

), existindo a aceleração convectiva. É o

caso do escoamento em condutos em que o diâmetro varia ao longo do escoamento. Escoamento permanente é aquele para o qual as grandezas físicas que descrevem o escoamento não variam com o tempo numa dada região do espaço. Diz-se que a derivada parcial da grandeza com o tempo é nula

( 0=∂∂

tgrand ). Nesse caso, 0=∂

∂t

Vr

, 0=∂∂

tp , 0=∂

∂t

ρ , 0=∂∂

tT , etc. A

principal característica é que não haverá aceleração local, visto que o vetor velocidade não varia com o tempo. Escoamento não permanente, também denominado de escoamento variável, é aquele para o qual as grandezas físicas que caracterizam o

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escoamento variam com o tempo em uma dada posição do espaço. A derivada parcial das grandezas em relação ao tempo não é desprezível, devendo ser

considerada nesse tipo de escoamento ( 0≠∂tgradn ), assim como as derivadas

parciais das demais grandezas. Nesse tipo de escoamento não se pode desprezar a aceleração local. Um escoamento é dito acelerado quando a velocidade aumenta no sentido do escoamento, de forma que aparece uma aceleração positiva segundo essa direção. Isso acontece, nas regiões em que a área da seção transversal do escoamento diminui, como nos injetores. Um escoamento retardado é denominado retardado, quando a velocidade diminui no sentido do escoamento, de maneira a existir uma aceleração negativa, isto é, o escoamento está sendo freado. Ele pode ser visto em regiões onde a área da seção transversal vai aumentando, como nos difusores. Um escoamento é dito compressível quando não se pode desprezar a variação da sua massa específica. É o caso de escoamento de gases em velocidades elevadas ou mesmo o escoamento de água que fica sujeita a grandes variações na pressão. Um escoamento é dito incompressível quando a variação da massa específica puder ser desprezada. É o caso da maioria dos escoamentos de líquidos sujeitos a pouca variação da pressão. Pode-se admitir escoamento incompressível de ar, quando ele ocorrer a baixas velocidades (o número de Mach deve ser inferior a 0,3). Escoamento adiabático é aquele que ocorre sem transferência de calor para o fluido ou do fluido. Um escoamento adiabático de fluido ideal é denominado de escoamento isoentrópico. Um escoamento é irrotacional ocorre quando o fluido não apresenta rotação num certa região do espaço. Um escoamento é rotacional quando as partículas do fluido, em uma certa região do espaço, sofrer uma rotação em torno de um eixo qualquer. Escoamento unidimensional é aquele em que as grandezas físicas que caracterizam o escoamento, tais como velocidade, pressão, massa específica, variam com apenas uma coordenada espacial, além do tempo. Diz-se que tais grandezas variam apenas em uma única direção, que em geral é a direção na

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qual o escoamento acontece. A variação das grandezas ao longo da direção transversal ao escoamento é desprezível. O escoamento pode ser tratado em termos médios na seção transversal, como ocorre nas tubulações. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que acontecem nos condutos. Escoamento bidimensional é aquele para o qual as grandezas físicas que o caracterizam variam ao longo de duas direções do espaço, isto é, variam em um plano xOy e nesse caso diz-se que grandezas são uma função, f(x,y), das coordenadas s e y. Admite-se que todas as partículas escoam em planos paralelos segundo trajetórias idênticas em cada um desses planos, podendo ser desprezada a variação das grandezas que interferem no escoamento ao longo da direção normal a esse plano. Escoamento tridimensional é aquele para o qual as grandezas que descrevem o escoamento variam segundo três direções do espaço. É o caso mais geral de escoamento de fluido. Nesse caso diz-se que as grandezas do escoamento são funções de x, y e z (f(x,y,z)). As equações, em geral, são mais complexas e requerem mais esforço para serem resolvidas. No escoamento laminar as partículas que compõem o fluido se movimentam em trajetórias bem definidas, constituindo lâminas ou camadas bem individualizadas no meio fluido. Em geral as partículas não se misturam entre si, formando camadas fluidas bem definidas, aproximadamente paralelas. Nesse caso predomina a ação das forças devidas à viscosidade do fluido, em relação às forças de inércia que tendem a quebrar as camadas ou filetes bem definidos. Se aparecem perturbações devido à turbulência elas são rapidamente amortecidas. É o caso típico dos escoamentos de fluidos viscosos em baixas velocidades. Na prática não são casos pouco freqüente no domínio da engenharia, a não ser em movimentos no solo ou em meios porosos. Nas tubulações ou nos canais ocorre com pouca freqüência. O escoamento laminar é governado pela Lei de Newton da viscosidade, podendo ser facilmente equacionado. No escoamento turbulento as partículas de fluido movimentam em trajetórias irregulares, aleatórias, e de difícil caracterização. O movimento parece ser aleatório e sem um padrão definido, misturando completamente as diversas porções do fluido. Diz-se que ocorre a transferência da quantidade de movimento entre as diversas regiões que formam a massa de fluido em escoamento. No escoamento turbulento predominam as forças de inércia em detrimento das forças viscosas, de forma que as perturbações não são amortizadas e tendem a se propagar no interior do fluido em escoamento. É o caso dos escoamentos de fluidos mais comuns que ocorrem a velocidades mais elevadas. A turbulência provoca o aparecimento de maiores tensões

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cisalhantes, causando, portanto, maiores perdas de energia que no escoamento laminar. Essas perdas de energia variam com o quadrado da velocidade, ao passo que no escoamento laminar as perdas variam linearmente com a velocidade. Escoamentos forçado em condutos forçados é aquele que se dá sob a ação de uma pressão diferente da pressão atmosférica. A principal força que governa o escoamento é decorrente da pressão. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que ocorrem no domínio da engenharia, assunto principal da hidráulica dos condutos forçados. Escoamento livre, escoamento com superfície livre ou escoamento em canais é aquele que ocorre de forma que haja sempre uma superfície sujeita à pressão atmosférica. Nesse caso a principal força motriz do escoamento é a força gravitacional. Um escoamento é denominado crítico quando ocorre com a menor energia específica possível. A velocidade do escoamento é denominada de velocidade crítica. Este escoamento será melhor definido ao se estudar a hidráulica dos canais. Escoamento fluvial ou subcrítico é aquele para o qual a velocidade do escoamento é inferior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade de escoamento é muito baixa, de forma que o escoamento é lento ou tranqüilo. Escoamento torrencial ou supercrítico é aquele pra o qual a velocidade é superior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade assume valores mais elevados, fazendo aparecer turbilhões ou vórtices.

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2.1. CONCEITO DE VAZÃO a) Vazão em volume: Q É o volume de líquido que atravessa uma determinada seção normal ao escoamento na unidade de tempo. Também denominada de descarga ou débito. Matematicamente a vazão é calculada por:

Q = Vol/∆t

Entretanto, há casos em que a própria vazão varia com o tempo, como nos escoamentos não permanentes. Nesse caso o intervalo de tempo ∆t influencia no valor calculado da vazão, o que indica que a definição de vazão precisa ser estendida para ser calculada em um dado instante. Isso é feito, definindo que a vazão é, num dado instante, o limite da relação entre o volume que atravessa uma determinada seção normal ao escoamento e o tempo, quando esse tempo tende para zero. Isso corresponde, na prática, a adotar-se intervalos de tempo muito pequenos, para se determinar a vazão em um determinado instante.

A vazão também pode ser calculada em uma área muito pequena, denominada de área elementar e representada por dA. Nesse caso, tem-se:

dQ = dVol/dt

onde a vazão dQ, agora é um infinitésimo de primeira ordem e, dVol, um infinitésimo de ordem superior a dt.

No limite: Q = l i m (Vol/∆t) = dVol/dt ∆t�0 Se Q é constante � Q = Vol/∆t

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Fig. xx – Vazão em uma área elementar, dA, onde a velocidade é v.

Observar que todas as partículas que se encontram sobre dA num dado instante, deslocam-se de um comprimento infinitesimal, ds, formando um prisma de fluido de base dA e altura ds. Assim,

dVol = dA.ds e,

dQ = dA.ds/dt

Lembrar que ds/dt é exatamente o valor da velocidade tangencial à linha de corrente que passa pelo centro de gravidade de dA, de forma que v = ds/dt. Assim, finalmente, pode-se escrever que

dQ = v.dA

resultado que expressa uma nova maneira de se calcular a vazão, como o produto entre a velocidade do escoamento e a área normal à direção do escoamento.

A vazão total em uma área finita, A, pode ser calculada somando-se as infinitas parcelas vdA de forma a varrer toda a área A. Matematicamente, escreve-se que

∫=A

dAvQ .

dQ = dVol/dt dQ= dA.ds/dt = v.dA

� ∫=A

dAvQ .

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Podem ocorrer casos que v não seja perpendicular à área dA. Portanto é necessário ampliar o conceito de vazão para considerar tais casos. Para tal, define-se um vetor área, de forma que ele tenha um módulo igual ao valor da área,l direção perpendicular a essa área e sentido voltado para fora da área, conforme esquematizado na figura seguinte. Esse vetor fará um ângulo θ com o vetor velocidade, conforme ilustrado na figura seguinte.

Fig. xx – Vetor velocidade não é perpendicular à área e vetor área

infinitesimal. Nesse caso, a vazão é definida como o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor área definido anteriormente, ou seja:

AdvdQrr

.=

Pela definição de produto escalar entre dois vetores, resulta:

θcos..dAvdQ =

Onde v é o módulo do vetor velocidade, dA é o módulo do vetor área e θ o menor ângulo entre as direções dos dois vetores anteriormente referidos. Lembrando que a componente da velocidade na direção da tangente é denominada de velocidade tangencial, pode-se escrever que:

θcos.vvt =

Logo, a vazão elementar em uma área dA será calculada como:

dAvdAvdQ t== .cos. θ Para o caso de uma área finita, podemos calcular a vazão através dela pela aplicação das seguintes expressões:

∫∫ ==AA

dAvAdvQ .cos.. θrr

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Unidades de vazão: Em todo sistema coerente de unidades, se uma relação prevalece entre grandezas, ela também ocorre entre suas unidades. Assim,

U(Q) = U(Vol)/U(t) U(Q) = m3/s �SI e Sistema técnico = cm3/s � CGS = ft3/sec � Sistema Inglês Absoluto e Sist. Inglês Técnico Essas são as unidades usuais para medida da vazão. Entretanto outras podem ser utilizadas, dependendo do valor da vazão. Vazões podem ser expressas em m3/h, l/s, m3/dia, ml/s, etc. Ressalta-se que no Sistema Inglês, a vazão é sempre expressa em ft3/s, também denominada de cfs (cubic feet for second).

b) Vazão em massa: m& ou Qm É a massa de fluido que atravessa uma dada seção transversal ao escoamento na unidade de tempo. Para uma área A, matematicamente se escreve:

Qm = m& = m/∆t Quando a vazão em massa varia com o tempo, deve-se passar ao limite da relação acima quando ∆t tende para zero, de forma que:

t

mmQ

tm ∆

==→∆ 0

lim&

O limite acima é exatamente a definição de derivada da massa em relação ao tempo, logo, na prática, apesar da definição acima, usa-se a seguinte expressão para o cálculo da vazão em massa:

Caso v não seja perpendicular a dA:

θcos... dAvAdvdQ ==rr

dAvdAvdQ t== .cos. θ

ou

∫∫ ==AA

dAvAdvQ .cos.. θrr

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dt

dmmQm == &

Mas, conforme definição anterior, substituindo dm = ρ.dVol, tem-se:

AvQdt

dVol

dt

dmmQm ...

. ρρρ ===== &

Em uma área elementar, dA, a vazão em massa é um infinitésimo de primeira ordem e dVol é um infinitésimo de ordem superior, de forma que:

dAvdt

dAds

dt

dVol

dt

dmmddQm ..

..

. ρρρ ===== &

Resumindo, o cálculo da vazão em massa que atravessa uma área elementar, dA, perpendicular ao escoamento, será:

dAvmddQm ..ρ== &

Quando v não é perpendicular a dA, a vazão em massa será calculada por:

AdvmddQm

rr& ..ρ==

Para uma área, A, finita, basta somar as infinitas parcelas acima, para se encontrar a vazão em massa total, de forma que:

∫==Am AdvmQ

rr& ..ρ

Ou

∫==Am dAvmQ θρ cos&

Unidades de vazão em massa: Como a relação entre grandezas também prevalece entre as unidades em todo sistema coerente de unidades, escreve-se que:

U(Q) = U(Vol)/U(t)

U(Qm) = kg/s �SI = utm/s � Sistema técnico = g/s � CGS = lb/sec � Sistema Inglês Absoluto e = slugg/séc � Sistema Inglês Técnico Essas são as unidades usuais para medida da vazão.

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c) Vazão em peso: G Por definição é o peso de fluido que atravessa uma dada seção normal ao escoamento na unidade de tempo.

t

PG

∆=

No caso de G variar com o tempo tem-se:

∫==∆

=→∆ At

Advgdt

dP

t

PG

rr..lim

0ρ

É uma grandeza pouco utilizada nos escoamentos de líquidos.

d) Velocidade média: V Em muitos escoamentos que ocorrem na prática, é usual falar-se em uma velocidade que representa tal escoamento: a velocidade média. Com freqüência, os escoamentos têm as suas equações expressas em termos da velocidade média. Portanto, define-se a velocidade média como sendo a relação entre a vazão e a área da seção transversal ao escoamento onde ela ocorre. Assim, escreve-se:

A

QV =

Como

∫=AvdAQ ,

tem-se que

A

QvdA

AV

A== ∫

1

No caso geral, quando o vetor velocidade do escoamento não for perpendicular à área, velocidade média será calculada pela seguinte equação:

∫=A

AdvA

Vrr

.1

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EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO 1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser

de 450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual deveria ser o diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 mm e 450 mm.

SOLUÇÃO

Q =A.V, sendo A = π.D2/4. A = π.D2/4 = Q/V. D2 =4.Q/V/π. D2 = 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558 D = 0,389 m ou D =389 mm. Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido.

2. Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devida ao uso de uma

coluna de distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, qual será a velocidade do escoamento da água?

SOLUÇÃO

Q =A.V, sendo A = π.D2/4. V =Q / A = 4.Q/(π.D2). V =4*0,0075/(3,142*0,0602) V= 2,65 m/s Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm.