Introdução à Integrais – Antiderivação

Aula 02 – Matemática II – AgronomiaProf. Danilene Donin Berticelli

Como podemos usar a inflação para prever preços futuros?

Como usar o conhecimento de taxa de crescimento de uma população para

estimar o número futuro de habitantes?

Qual será a velocidade de um corpo que se move em linha reta com

aceleração conhecida?

Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da

própria grandeza.

Esse processo é chamado antiderivação.

A Família de AntiderivadaSe a derivada de 𝐹 for 𝑓, dizemos que 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓. Por exemplo:

𝑥² Derivada: 2𝑥𝑥² é uma

antiderivada de 2𝑥

𝑥2 + 1 𝑥² + 2 𝑥2 + 3 Derivada: 2𝑥

Observe que 2𝑥 tem várias antiderivadas:

Se C for uma constante, temos:

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 𝐶 = 2𝑥 + 0 = 2𝑥

Portanto, qualquer função sob a forma 𝑥² + 𝐶 é uma antiderivada de 2𝑥. A função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 tem uma família de antiderivadas.

A visualização gráfica das antiderivadas

0

2

4

6

8

10

12

14

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x²

x²+1

x²+2

x²+3

A Integral IndefinidaSe 𝐹(𝑥) é uma antiderivada da função contínua 𝑓(𝑥), todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) têm a forma 𝐹(𝑥) + 𝐶, onde 𝐶 é uma constante.

Representamos a família de todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) usando a simbologia:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Que é chamado de Integral Indefinida de 𝑓(𝑥). A integral é indefinida porque envolve uma constante C que pode assumir qualquer valor.

3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝐶

Símbolo de Integral Variável de Integração

Integrando Constante de integração

Integral Indefinida

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

𝑑𝐹

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Regra da Constante: 𝒌𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪 para C constante.

Regra da Potência: 𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪 para qualquer 𝑛 ≠ −1

Regra do Logaritmo: 𝟏

𝒙𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 para qualquer 𝑥 ≠ 0

Regra da Exponencial: 𝒆𝒌𝒙𝒅𝒙 =𝟏

𝒌𝒆𝒌𝒙 + 𝑪 para qualquer k constante ≠ 0.

Regras para Integrar Funções Comuns

𝑥𝑛𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

para n = -1

Exemplos:Determinar as seguintes integrais:

a) 5𝑑𝑥

b) 𝑥20𝑑𝑥

c) 1

𝑥𝑑𝑥

d) 2

𝑥𝑑𝑥

e) 𝑒−3𝑥𝑑𝑥

Exercícios:Calcule as seguintes integrais:

A. 6𝑥 𝑑𝑥

B. (𝑥2−4𝑥 + 7)𝑑𝑥

C. (𝑥 + 𝑒𝑥)𝑑𝑥

D. 𝑥3𝑑𝑥

E. (𝑥2+1

𝑥²)𝑑𝑥

F. 1+𝑦²

𝑦𝑑𝑦

G. 12

𝑥𝑑𝑥

Problemas Práticos1. Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x

e cuja curva passa pelo ponto (1, 4).

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Problemas práticos de valor inicialEquação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou maisderivadas. As equações diferenciais são muito usadas emmodelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicaçõespráticas do cálculo.

Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução deuma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica.como o exemplo anterior.

Outros exemplos2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q + 400 reais por unidade, onde qé o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é deR$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades?

Custo marginal representa o acréscimo de custo total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma

unidade na quantidade produzida).

3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada umaobservação está variando a uma taxa dada por

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 200𝑒0,1𝑡 + 150𝑒−0,03𝑡

Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qualserá a população após 12 horas mais tarde?

4. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendidosdurante um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo dearmazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total doarmazenamento durante os próximos 5 meses?

5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metrospor segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa nofreio, que distância o carro percorre até parar?

Tabela de integraisIntegrais Exemplos

(1) 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

(2) 1

𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

(3) 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

(4) 𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln|a|+ 𝐶

(5) 𝑒k𝑥𝑑𝑥 =1

𝑘𝑒k𝑥 + 𝐶

(6) 𝑐 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

(7) 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

3 𝑑𝑥 =

2

𝑥𝑑𝑥 =

𝑥5 𝑑𝑥 =

3𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒5𝑥 𝑑𝑥 =

3(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =

[ 𝑥2 + 3𝑥 − 2 ] 𝑑𝑥 =