Introdu˘c~ao a probabilidade - ufjf.br ão-à-probabilidade-  · PDF file...

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  • Introducao a probabilidade

    Joaquim [email protected]

    www.ufjf.br/joaquim_neto

    Departamento de Estatstica - ICEUniversidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)

    Versao 1.1

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 1 / 55

    www.ufjf.br/joaquim_neto

  • Sumario

    1 Informacoes geraisContatoReferencias Bibliograficas

    2 Introducao a probabilidadePre-requisitos e notacoesEspaco amostralEventosDefinicao classicaDefinicao frequentistaDefinicao geometrica de probabilidadeConjuntos disjuntos 2 a 2Conjunto das partesAxiomas de probabilidadeEspaco de probabilidadeResultados

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 1 / 55

  • Informacoes gerais

    3 Probabilidade condicionalTeorema da MultiplicacaoParticoesTeorema da Probabilidade TotalTeorema de Bayes

    4 IndependenciaIndependencia para dois eventosIndependencia 2 a 2 e independencia mutua

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 2 / 55

  • Informacoes gerais

    Informacoes gerais

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 2 / 55

  • Informacoes gerais Contato

    Contato

    [email protected]

    Site pessoalhttp://www.ufjf.br/joaquim_neto

    Site do Departamento de Estatstica (UFJF)http://www.ufjf.br/estatistica

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 3 / 55

    mailto:[email protected]://www.ufjf.br/joaquim_netohttp://www.ufjf.br/estatistica

  • Informacoes gerais Referencias Bibliograficas

    Referencias Bibliograficas

    Badize, M., Jacques, A., Petitpas, M. & Pichard, J.-F.(1996)Le jeu du franc-carreau une activite probabiliste au college.Rouen: IREM de Rouen.

    Barry, R. James(1981)Probabilidade: um curso em cvel intermediario.Rio de Janeiro: Instituto de Matematica Pura e Aplicada (Projeto Euclides).

    Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A.(2005)Estatstica Basica, 5a ed. edn.Sao Paulo: Saraiva.

    Degroot, M. H. & Schervish, M. J.(2001)Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn.Addison Wesley.

    Meyer, P. L.(2000)Probabilidade: Aplicacoes a Estatstica, 2 ed. edn.LTC.

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  • Introducao a probabilidade

    Introducao a probabilidade

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  • Introducao a probabilidade Pre-requisitos e notacoes

    Pre-requisitos e notacoes

    Pre-requisitos:

    Teoria dos conjuntosMetodos de contagemFuncao

    Notacao:

    #A denota o numero de elementos do conjunto A. denota o conjunto vazio.

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  • Introducao a probabilidade Espaco amostral

    Espaco amostral

    Definicao 1: Suponhamos um experimento realizado sob certas condicoes fixas. O espacoamostral do experimento e um conjunto que contem representacoes de todos os resultadospossveis, onde por resultado possvel, entende-se resultado elementar e indivisvel doexperimento. deve satisfazer as seguintes condicoes:

    A todo resultado possvel corresponde um, e somente um, elemento .Resultados distintos correspondem a elementos distintos em , ou seja, nao poderepresentar mais de um resultado.

    Resultados possveis

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  • Introducao a probabilidade Espaco amostral

    Exemplo 1: Considere um experimento que consiste em arremessar dois dados e observar osnumeros obtidos nas faces voltadas para cima. Defina um espaco amostral para esteexperimento.

    Solucao:

    Nao e difcil encontrar quem defina = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como espaco amostral desteexperimento. No entanto, esta definicao esta incorreta, pois no experimento sao arremessadosdois dados e nao um. Lembre-se que o espaco amostral deve conter representacoes de todos osresultados possveis do experimento. Um espaco amostral para este experimento e

    = {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6),(2, 1), (2, 2), ..., (2, 6),

    (3, 1), (3, 2), ..., (3, 6),

    (4, 1), (4, 2), ..., (4, 6),

    (5, 1), (5, 2), ..., (5, 6),

    (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}.

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  • Introducao a probabilidade Espaco amostral

    Exemplo 2: Considere um experimento que consiste em selecionar ao acaso a altura de umhabitante do estado de Minas Gerais. Quais os resultados possveis deste experimento? Supondoque nao exista uma altura maxima, talvez seja razoavel assumir = (0,). Evidentemente,este conjunto contem todos os resultados possveis e tambem resultados impossveis, tais como1 milhao ou 1 bilhao de metros. Outros candidatos para seriam, por exemplo, os intervalos(0, 3) e [1/10, 3].

    Exemplo 3: Considere um experimento que consiste em escolher aleatoriamente um ponto docrculo de raio unitario centrado na origem do sistema cartesiano. Neste caso, temos

    = {(x , y) R2 : x2 + y2 1}.

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  • Introducao a probabilidade Eventos

    Eventos

    Quando se realiza um experimento, ha certos eventos que ocorrem ou nao. Por exemplo, aojogar um dado e observar o resultado, alguns eventos sao:

    observar um numero par,

    observar o numero 2 e

    observar um numero maior ou igual a 4.

    Todo evento associado a um experimento pode ser identificado a um subconjunto do espacoamostral . Reciprocamente, todo subconjunto A de pode ser associado a um evento. Assim,podemos associar

    o conjunto {2, 4, 6} ao evento observar um numero par eo conjunto {4, 5, 6} ao evento observar um numero maior ou igual a 4.

    Definicao 2: Seja o espaco amostral do experimento. Todo subconjunto A sera chamadoevento. e o evento certo e e o evento impossvel. Se , o evento {} e ditoelementar (ou simples).

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  • Introducao a probabilidade Eventos

    Definicao 3: O complementar de um evento A, denotado por Ac , e o conjunto formado peloselementos de que nao pertencem a A. Assim, Ac = { : / A}.

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  • Introducao a probabilidade Definicao classica

    Definicao classica

    Se e finito, a definicao classica da probabilidade P(A) de um evento A e dada por

    P (A) =#A

    #=

    numero de elementos de A

    numero de elementos de .

    Esta definicao basea-se no conceito de resultados equiprovaveis, ou melhor, no princpio daindiferenca. Por exemplo, em um experimento que consiste em lancar um dado e observar oresultado, podemos usar = {1, 2, ..., 6} e, diante da indiferenca entre os resultados, temosP(i) = 1

    6, i .

    Exemplo 4: Suponhamos um experimento que consiste em retirar uma carta em um baralho.Usando a definicao classica de probabilidade, qual e a probabilidade de tirar um 7?

    Solucao:

    Seja = {A, 2, ..., J,K} o espaco amostral e A = {7, 7, 7, 7} o eventode interesse. Assim,

    P(A) =#A

    #=

    4

    52.

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  • Introducao a probabilidade Definicao frequentista

    Definicao frequentista de probabilidade

    Outro metodo de definir a probabilidade P(A) de um evento A e usando o limite da frequenciarelativa da ocorrencia de A em n repeticoes independentes do experimento, com n tendendo aoinfinito, ou seja,

    P (A) = limn

    1

    n(

    numero de ocorrencias de A em n realizacoesindependentes do experimento

    ).

    Esta e a definicao frequentista de probabilidade.

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 13 / 55

  • Introducao a probabilidade Definicao frequentista

    0 1000 2000 3000 4000 5000

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Nmero de realizaes

    Nm

    ero

    de s

    uces

    sos

    / nm

    ero

    de r

    ealiz

    ae

    s

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    Figura: Numero de arremessos de uma moeda honesta versos proporcoes de coroas obtidas.

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 14 / 55

  • Introducao a probabilidade Definicao frequentista

    1 3 50.

    00.

    8

    10 arremesos

    Resultados

    Pro

    por

    es

    1 3 5

    0.0

    0.8

    100 arremesos

    Resultados

    Pro

    por

    es

    1 3 5

    0.0

    0.8

    200 arremesos

    Resultados

    Pro

    por

    es

    1 3 50.

    00.

    8

    1000 arremesos

    Resultados

    Pro

    por

    es

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    Figura: Proporcao de resultados em 10, 100, 200 e 1000 arremessos de um dado.

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  • Introducao a probabilidade Definicao geometrica de probabilidade

    Definicao geometrica de probabilidade

    Consideremos um experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso em uma regiao Rp . Podemos definir a probabilidade P(A) de um evento A como

    P (A) =volume de A

    volume de .

    Naturalmente, em espacos unidimensionais (p = 1) o volume e substitudo por comprimento eem espacos bidimensionais (p = 2), por area.

    Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versao 1.1 16 / 55

  • Introducao a probabilidade Definicao geometrica de probabilidade

    Exemplo 5: O jogo de franc-carreau foi estudado pela primeira vez em 1733 pelo naturalista ematematico frances Georges-Louis Leclerc e e apresentado por Badize et al. (1996) como umaproposicao para introducao as probabilidades. O jogo consiste em lancar uma moeda em umpiso de azulejos de forma quadrada. Os jogadores entao apostam se a moeda ira pararcompletamente sobre um unico azulejo, posicao chamada franc-carreau, ou sobrepor algumtrecho do