Introdução à Robótica

Introdução à RobóticaIntrodução à RobóticaPROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO

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PPEE – Sala 206 – 2102 3460

Aula Número: 02

CinemáticaCinemáticaPosição de um Corpo RígidoMatriz de RotaçãoComposição de Matrizes de RotaçãoÂngulos de Euler

Curso de “Introdução à Robótica” – Apresentação: 02 – Prof. André Marcato

• Manipulador: cadeia de corpos rígidos (ELOS ou LINKS) conectados através JUNTAS (ou JOINTS) de revolução ou prismáticas. Uma extremidade do manipulador é limitada por uma base. Na outra extremidade é acoplado do efetuador (end-effector)

• O movimento resultante da estrutura é obtido pelos movimentos elementares de cada ELO (LINK) em relação ao anterior.

• É necessário descrever a posição e orientação do efetuador (ou ferramenta).

• Objetivo: Derivar a equação cinemática direta (baseado em algebra linear) e tratar o problema cinemático inverso. Posição e orientação do efetuador como função das variáveis JUNTAS

(JOINTS) Estruturas cinemáticas: cadeia fechada e cadeia aberta Espaço operacional x Espaço de Juntas Técnica de calibração dos parâmetros do manipulador cinemático Dada a posição do orientador qual o valor das variáveis JUNTAS (JOINTS)

Introdução


Pose de Um Corpo Rígido (1)

• Um corpo rígido é completamente descrito no espaço pela sua posição e orientação (pose) em relação a um sistema de coordenadas (frame).

O-xyz

frame de referência ortonormal

x, y, z: Vetores unitários dos eixos do frame

0

0

1

x

0

1

0

y

1

0

0

z

Corpo Rígido

Posição de Um Ponto O’ do corpo rígido em relação ao frame de

referência O-xyz.

z

y

x

o

o

o

'

'

'

o'


Pose de Um Corpo Rígido (2)

• Para descrever a orientação do corpo rígido, é necessário considerar um frame ortonormal acoplado ao mesmo e expressar seus vetores unitários em relação ao frame de referência.

• Seja O’-x’y’z’ um frame com origem em O’ e x’, y’ e z’ são os vetores unitários dos eixos deste frame.

• Estes vetores podem ser expressos em relação ao frame de referência O-xyz através das equações:

Os componentes de cada vetor unitário são os ângulos diretoresângulos diretores dos

eixos do frame O’-x’y’z’ em relação ao frame de

referência O-xyz


Matriz de Rotação (1)

xzyx

T

z

y

x

xxxx

x

x

x

'

1

0

0

'''

1

0

0

'

'

'


Matriz de Rotação (2) - Propriedades z'y'x'R

33

33

x

x

T

T

T

T z'y'x'

z'

y'

x'

RR

z'z'y'z'x'z'

z'y'y'y'x'y'

z'x'y'x'x'x'

z'y'x'

z'

y'

x'

RRTTT

TTT

TTT

x

x

T

T

T

T33

33

100

010

001

RRT

11

11

11

Matriz Homogênea


Rotações Elementares (1)

• Considere as frames que podem ser obtidas via rotações elementares da frame de referência em torno de um dos seus eixos. Positivas: Se realizadas no sentido horário

• Suponha que a frame de referência (O-xyz) seja rotacionada por um ângulo em torno de eixo z para gerar a frame O’-x’y’z’



• Os vetores unitários da nova frame podem ser descritos por:

zyxz'

zyxy'

zyxx'

100

0cossin

0cos

sen

• Logo, a matriz de rotação da frame O’-x’y’z’ em relação a frame O-xyz (obtida através de uma rotação em torno do eixo z é:



• De maneira análoga, pode ser mostrado que as rotações através de um ângulo em torno do eixo y e através de um ângulo em torno do eixo x são respectivamente dadas por:

• Observa-se também que:


Representação de um Vetor (1)

• Considere o caso no qual a origem da frame de um corpo rígido coincide com a frame de referência

• o’ = 0, onde 0 denota um vetor nulo 3x1.

• Em relação ao frame de referência, um ponto P no espaço pode ser representado por:

• Ou, em relação ao frame O-x’y’z’:


Representação de um Vetor (2)

• Considerando que p e p’ são representações do mesmo ponto P, tem-se:

• A matriz de rotação R representa a matriz de transformação de vetor de coordenadas no frame O-x’y’z’ para o mesmo vetor no frame O-xyz.


Exemplo 2.1 (1)

• Considere dois frames com origem comum rotacionados entre si por um ângulo em torno do eixo z.

• Seja p e p’ os vetores de coordenadas do ponto P, expressos nos frames O-xyz e O-x’y’z’.

• Utilizando relações geométricas, a relação entre as coordenadas do ponto P nas duas frames é:


Exemplo 2.1. (2)

cos, xp

sin, yp

sincos ,, yxx ppp


Exemplo 2.1. (3)

cos, yp

sin, xp

cossin ,, yxy ppp


Exemplo 2.1. (4)


Rotação de um Vetor• A matriz de rotação pode ser também interpretada como um

operador matricial que permite a rotação de um vetor por um dado ângulo em torno de um eixo arbitrário no espaço.

• Seja p’ um vetor no frame de referência O-xyz, o produto Rp’ produz um vetor p com o mesmo módulo mas rotacionado em relação a p’ de acordo com a matriz R.

• A igualdade do módulo dos dois vetores pode ser provada observando que pTp = p’TRTRp’. Módulo ou Norma de um vetor: TTT Rp'p'R IRRRR 1T

p'p'pp TT

222 zyxa


Exemplo 2.2. (1)

• Considere o vetor p que é obtido pela rotação do vetor p’ no plano xy em torno de um ângulo sobre o eixo z do frame de referência.

• Seja (p’x, p’y, p’z) as coordenadas do vetor p’.

• O vetor p tem as seguintes componentes:


Exemplo 2.2. (2)

cosxp

sinyp

sincos yx ppp


Exemplo 2.2. (3)

cos'xp

sin'yp

sincos'' yx ppp


Exemplo 2.2. (4)

p'p

sin'cos'sincos yxyx pppp

cossincossin'sinsincoscos' yx pp

cos'sin'sinsin'cos'cos yxyx pppp


Resumo: Propriedades Matriz Rotação

• Descreve a orientação mútua entre dois frames coordenados. Seus vetores coluna são os ângulos diretores dos eixos do frame rotacionado em relação ao frame original.

• Representa a transformação de coordenadas entre um ponto expresso em dois frames distintos (com origem comum).

• É o operador que permite a rotação de um vetor no mesmo frame.

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