INTRODUÇÃO AO · 19 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA Licenciatura em Ciências ·...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

2INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VETORIAL

Fund

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atem

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a II

2.1 Introdução2.2 Funções vetoriais de uma variável2.3 Domínio e conjunto imagem2.4 Limites de funções vetoriais de uma variável2.5 Continuidade de funções vetoriais de uma variável2.6 Derivadas de funções vetoriais de uma variável2.7 Integrais de funções vetoriais de uma variável2.8 Vetor velocidade em coordenadas cartesianas2.9 Vetor posição a partir do vetor velocidade2.10 Vetor aceleração em coordenadas cartesianas2.11 Vetor velocidade a partir do vetor aceleração

19

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

2.1 IntroduçãoFunções podem adquirir uma natureza vetorial. O melhor exemplo, nesse caso, é o da força

agindo sobre uma partícula. Uma função vetorial é a rigor uma grandeza vetorial que depende

de uma, duas ou mais variáveis. Quando tais variáveis são as coordenadas do espaço e, eventu-

almente, função do tempo, tais funções são, usualmente, denominadas campos.

Neste tópico discutiremos apenas funções dependentes de uma variável. Para tais funções,

estenderemos os conceitos do cálculo diferencial e integral, tais como limites, derivadas e inte-

grais. Por ser restrito a uma variável apenas, trata-se de uma pequena introdução ao tema mais

geral, que considera especialmente os casos de funções vetoriais de várias variáveis.

2.2 Funções vetoriais de uma variávelUma função vetorial de uma variável mais geral possível, aqui representada por F

, depen-

dente de uma única variável independente, aqui designada por λ. Tal função tem três compo-

nentes. Assim escrevemos:

2.1

Onde Fx(λ), Fy(λ) e Fz(λ) são as componentes da função vetorial F

(λ).Por função vetorial entendemos que cada uma das suas componentes são funções da variável

independente λ.

Com isso, queremos dizer que o valor dessa variável no domínio da função (o conjunto de

valores da variável λ) corresponde a um e apenas um valor de cada uma das componentes.

O exemplo mais simples de função de uma variável é o raio vetor de posição especificando a

posição de um ponto sobre uma curva. Nesse

caso escrevemos:

2.2

( ) ( ) ( ) ( )x y zF F i F j F kλ = λ + λ + λ

( ) ( ) ( ) ( )r x i y j z kλ = λ + λ + λ

Figura 2.1: Uma função vetorial pode ser representada por uma curva no espaço tridimensional.

20

TÓPICO 2 Introdução ao Cálculo Vetorial


Quando um móvel se desloca ao longo de uma curva, a variável independente passa a ser o

tempo. Escrevemos, portanto, o vetor posição como função do tempo, como:

2.3

Assim, para cada instante de tempo associamos um vetor que especifica a posição do móvel

naquele instante.

Uma função vetorial de uma variável são aplicações que associam, mediante uma regra, um

ponto no espaço (pertencente ao domínio da função) a um ponto, e apenas um ponto, no

espaço tridimensional 3.Uma tal função vetorial descreve uma curva no espaço tridimensional.

Considere o seguinte exemplo:

2.4

Observa-se que no plano xy a curva é uma circunferência de raio 5. Ademais, notamos que

2.5

Enquanto que

2.6

Assim, a cada volta, representada pela variação de

2π na variável angular, o vetor varia por uma quanti-

dade fixa de

2.7

Reconhecemos assim que a curva 2.4 é uma hélice

circular, a qual é apresentada na Figura 2.2.

( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +

( ) 5cos 5sen 0,4r i j kθ = θ + θ + θ

Figura 2.2: Hélice circular.

( )0 5r i j= +

( ) ( )2 5 0,4 2r n i j n kπ = + + π

( )(2 ) 0,4 2r k∆ π = π

21



2.3 Domínio e conjunto imagemO domínio de uma função vetorial da forma geral 2.3 é um subconjunto do eixo real ,

obtido de forma a levar em conta as três componentes da função vetorial. Assim, se o domínio

das funções componentes é dado por conjuntos designados por:

2.8

O domínio da função será o conjunto em dado pela intersecção deles. Ou seja,

2.9

Exemplos

• ExEmplo 1:Determine o domínio da função vetorial

2.10

→ Solução:Analisemos o domínio de cada uma das componentes da função. De 2.10, segue que o domínio da componente x é a união de dois conjuntos:

2.11

Onde cada um deles é o conjunto de números reais à exceção do elemento x = 2, isto é:

2.12

D(Fx), D(Fy) e D(Fz)

( ) ( ) ( ) ( ) x y zD F D F D F D F= ∩ ∩

( ) 22 sen log(9 )2

xV x i xj x kx+

= + + −−

1 2( ) ( ) ( )x x xD F D F D F=

] [] [

1

2

( ) ,2

( ) 2,x

x

D F

D F

= −∞

= ∞

22



O domínio da função seno, a componente Fy da função vetorial, é dado por

2.13

Enquanto que o domínio da componente Fz é dado pelo conjunto:

2.14

A intersecção dos conjuntos 2.12, 2.13 e 2.14, que é o domínio da função vetorial dada em 2.10, pode ser escrita como a união de dois conjuntos:

2.15

Onde

2.16

2.4 Limites de funções vetoriais de uma variávelPodemos estender o conceito de limite de funções de uma variável para funções vetoriais.

Assim quando dizemos que para λ0 pertencente ao domínio da função vetorial,

2.17

Isso significa que

2.18

2.19

Quando tais limites existem.

( )yD F =

] [( ) 3,3zD F = −

1 2( ) ( ) ( )D F D F D F=

] [] [

1

2

( ) 3,2

( ) 2,3x

D F

D F

= −

=

( )0

0lim F Fλ→λ

λ =

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

lim

lim

lim

x x

y y

z z

F F

F F

F F

λ→λ

λ→λ

λ→λ

λ =

λ =

λ =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0

0 0 0

lim lim lim lim

x y z

x y z

F F i F j F k

F i F j F k

λ→λ λ→λ λ→λ λ→λλ = λ + λ + λ

= + +

23



Podemos ainda definir os limites laterais, à esquerda e à direita de λ0. De acordo com essa

definição, temos:

2.20

Se tais limites existem.

Exemplos

• ExEmplo 2:Determine o limite, quando x → 3, da função

2.21

→ Solução:Como sabemos,

2.22

Uma vez que os dois últimos limites são simples, e que o limite da componente x é dado por:

2.23

Obtemos o resultado do limite:

2.24

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

lim lim lim lim

=

lim lim lim lim

=

x y z

x y z

x y z

F F i F j F k

F i F j F k

F F i F j F k

F

+ + + +

− − − −

λ→λ λ→λ λ→λ λ→λ

+ + +

λ→λ λ→λ λ→λ λ→λ

λ = λ + λ + λ

+ +

λ = λ + λ + λ

0 0 0x y zi F j F k− − −+ +

( ) 32

3 69

xF x i x j x kx−

= + + +−

( ) ( ) ( )323 3 3 3

3lim lim lim lim 69x x x x

xF x i x j x kx→ → → →

− = + + + −

( ) ( ) ( )23 3 3

3 3 1 1lim lim lim9 3 3 3 6x x x

x xx x x x→ → →

− −= = =

− − + +

( )3

1lim 27 36x

F x i j k→

= + +

24



2.5 Continuidade de funções vetoriais de uma variável

Se os limites laterais das componentes, à direita e à esquerda, são iguais para um determinado

valor de x, então a função vetorial tem um limite para esse valor, o qual é igual ao valor comum.

Portanto, se isso acontecer para as três componentes, a função vetorial é contínua nesse ponto.

Assim, escrevemos

2.25

Se, e somente se, as três condições seguintes são satisfeitas

2.26

2.6 Derivadas de funções vetoriais de uma variávelDefinindo a variação média de uma função vetorial F

, num intervalo de valores de Δλ,

como o quociente entre a variação da função e a variação da variável independente:

2.27

A derivada de uma função vetorial é dada pelo limite:

2.28

( )0

0lim F Fλ→λ

λ =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

lim lim

lim lim

lim lim

x x

y y

z z

F F

F F

F F

+ −

+ −

+ −

λ→λ λ→λ

λ→λ λ→λ

λ→λ λ→λ

λ = λ

λ = λ

λ = λ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = y yx x z z

F F FF

F FF F F Fi j k

∆ λ λ + ∆λ − λλ = =

∆λ ∆λλ + ∆λ − λλ + ∆λ − λ λ + ∆λ − λ

+ +∆λ ∆λ ∆λ

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim limdF F F Fd ∆λ→ ∆λ→

λ ∆ λ λ + ∆λ − λ= =

λ ∆λ ∆λ

25



E, portanto,

2.29

Ou seja, as componentes da derivada de uma função vetorial são iguais às derivadas das

suas componentes.

A derivada segunda de uma função vetorial, por sua vez, é obtida a partir da derivada

segunda das suas componentes. Ou seja:

2.30

Derivadas de ordens mais altas podem ser obtidas como extensão da derivada segunda.

2.7 Integrais de funções vetoriais de uma variávelPodemos definir a integral de uma função vetorial. Suas componentes são dadas pelas inte-

grais das suas componentes. Ou seja, a integral indefinida da função vetorial é dada por:

2.31

Onde G

(λ) é a antederivada da função vetorial F

(λ). Ou seja,

2.32

E C

é um vetor constante. Um vetor onde cada uma das suas componentes é constante.

Assim, as integrais indefinidas das componentes são as antiderivadas delas. Escrevemos

2.33

( ) ( ) ( ) ( )yx zdFdF dF dFi j k

d d d dλλ λ λ

= + +λ λ λ λ

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2 2 2 2yx zd Fd F d F d F

i j kd d d d

λλ λ λ= + +

λ λ λ λ

( ) ( )F d G Cλ λ = λ +∫

( ) ( )dGF

dλ

= λλ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x x x

y y y

z z z

F d G C

F d G C

F d G C

λ λ = λ +

λ λ = λ +

λ λ = λ +

∫∫∫

26



2.8 Vetor velocidade em coordenadas cartesianasUma das principais aplicações do cálculo vetorial de

funções de uma variável é a cinemática. A seguir, discuti-

remos a cinemática para sistemas cartesianos.

Na cinemática vetorial, procuramos definir as grande-

zas vetoriais velocidade e aceleração a partir do conceito

de derivadas de vetores, a começar do vetor posição. Para

tal, definimos primeiramente o vetor deslocamento entre

dois instantes de tempo diferindo por Δt como a diferença

entre os vetores de posição entre esses instantes. Ou seja:

2.34

A velocidade média, v(t), é definida como o quociente entre o vetor deslocamento e o

intervalo de tempo que a ele corresponde:

2.35

O vetor velocidade é definido como a taxa de variação instantânea do vetor posição. Isto é:

2.36

Tendo em vista que os vetores de base são vetores constantes, obtemos que num referen-

cial cartesiano o vetor velocidade é determinado derivando-se o vetor posição em relação ao

tempo. Assim se escreve:

2.37

Assim, as componentes do vetor velocidade no sistema cartesiano são dadas por:

2.38

Figura 2.3: Vetor deslocamento.

( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ −

( ) ( ) ( )( )r t r t t r t

v tt t

∆ + ∆ −= =

∆ ∆

( ) ( ) ( )0

( ) limt

dr t r t t r tv t

dt tδ →

+ ∆ −= =

∆

dx dy dzv i j kdt dt dt

= + +

x y zdx dy dzv v vdt dt dt

= = =

27



Exemplos

• ExEmplo 3:Um móvel se movimenta ao longo de uma hélice circular de tal modo que a cada instante de tempo t sua posição é caracterizada pela função vetorial:

2.39

Determine sua velocidade como função do tempo.

→ Solução:Por definição, a velocidade é a taxa de variação instantânea do vetor posição. No caso em apreço, temos que a derivada do vetor posição é dada por:

2.40

Assim, a velocidade do móvel em função do tempo é:

2.41

2.9 Vetor posição a partir do vetor velocidade

Pode-se determinar o vetor posição a partir do conhecimento da dependência do vetor

velocidade com o tempo. Escrevemos o vetor posição como uma integral do vetor velocidade:

2.42

( ) ( ) ( ) ( )10cos 10sen 2r t t i t j t k= + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

10cos 10sen 2

= 10sen 10cos 2

dr t d t d t d ti j k

dt dt dt dtt i t j k

= + +

− + +

( ) ( ) ( ) = 10sen 10cos 2v t t i t j k− + +

( ) ( )r t C v t dt+ = ∫

28



Assim, em termos de integrais definidas, obtemos, para instantes de tempo t1 e t2, com t2 > t1,

2.43

O resultado 2.43 pode ser derivado diretamente da diferencial do vetor posição, a qual é

dada por:

2.44

Integrando-se agora cada membro de 2.44 no intervalo entre os tempos t1 e t2, com t2 > t1, obtemos:

2.45

Que é o resultado 2.43.

Exemplos

• ExEmplo 4:Determine o vetor posição, a qualquer tempo, de um móvel cuja velocidade vetorial como função do tempo é dada por:

2.46

Discuta a questão das condições iniciais.

→ Solução:De acordo com a expressão 2.37, o vetor de posição num instante de tempo é dado pela integral indefinida do vetor velocidade. Nesse caso, temos:

2.47

( ) ( ) ( )2

12 1

t

tr t r t v t dt− = ∫

( ) ( )dr t v t dt=

( ) ( )2

2

11

tt

tt

r t v t dt= ∫

( ) ( ) ( )2 = 3t 10cos tv t i t j e k−+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 10cos tr t C v t dt t dt i tdt j e dt k−+ = = + +∫ ∫ ∫ ∫

29



Efetuando cada uma das integrais explicitamente, obtemos:

2.48

Como se pode determinar o vetor constante C

? Isso nos remete ao problema das condições iniciais. É um problema clássico da mecânica. Sabe-se que a determinação precisa da posição de um objeto em movimento depende das condições prevalecentes no instante inicial. Sem essa informação a solução não está completa. Admitamos que no instante inicial, o qual admitimos como o instante t0, a partícula esteja num ponto cujo vetor posição seja dado por:

2.49

Este é um dado do problema, sem o qual não há como especificar a posição da partícula. Da equação 2.48, segue que:

2.50

E, portanto a constante C

depende do instante inicial e da posição inicial, de acordo com a expressão:

2.51

Substituindo-se em 2.50, obtemos:

2.52

Esse resultado pode ser derivado a partir da integral definida 2.43. Tomando, para simplificar as contas, t0 = 0, obtemos da expressão acima e das condições iniciais:

2.53

E esse é o resultado quando levamos em conta as condições iniciais especificadas.

( ) ( ) ( ) ( )3 10sen tr t C t i t j e k−+ = + −

( )0 3 2 1r t i j k= + −

( ) ( ) ( ) ( )030 0 010sen tr t C t i t j e k−+ = + −

( ) ( ) ( ) ( )030 0 010sen tC r t t i t j e k−= − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )03 30 0 010sen 10sen ttr t r t t t i t t j e e k−−− = − + − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

3

3

0 10sen 1

=3 2 1 10sen 1

= 3 10sen 2

t

t

t

r t r t i t j e k

i j k t i t j e k

t i t j e k

−

−

−

= + + − −

+ − + + − −

+ + + −

30



2.10 Vetor aceleração em coordenadas cartesianasCom o intuito de definir o vetor aceleração, consideremos a variação de velocidade.

Definimos dois instantes de tempo diferindo por Δt. Tal variação é dada pela diferença entre os

vetores velocidades entre esses instantes. Ou seja:

2.54

A aceleração média, a(t), é definida como o quociente entre a diferença de velocidades e

intervalo de tempo associado a ela:

2.55

O vetor aceleração é definido como a taxa de variação instantânea do vetor velocidade. Isto é:

2.56

Assim, o vetor aceleração é dado pela taxa de variação instantânea do vetor velocidade:

2.57

Observando que os vetores de base são vetores constantes, obtemos que num referencial

cartesiano o vetor aceleração é determinado derivando-se as componentes do vetor velocidade

com respeito ao tempo:

2.58

( ) ( )v v t t v t∆ = + ∆ −

( ) ( ) ( )( )v t v t t v t

v tt t

∆ + ∆ −= =

∆ ∆

( ) ( ) ( ) ( )0 0

( ) lim limt t

dv t v t v t t v ta t

dt t t∆ → ∆ →

∆ + ∆ −= = =

∆ ∆

( )( )dv t

a tdt

=

yx zdvdv dv dva i j kdt dt dt dt

= = + +

31



Como resultado, as componentes do vetor aceleração podem ser escritas, no sistema

cartesiano, de duas formas equivalentes,

2.59

ou seja:

2.60

onde o símbolo d²/dt² significa derivar duas vezes a mesma função.

2.11 Vetor velocidade a partir do vetor aceleração

Pode-se determinar o vetor velocidade a partir do conhecimento da dependência do vetor

aceleração com o tempo. Escrevemos o vetor velocidade como uma integral do vetor velocidade:

2.61

Assim, em termos de integrais def inidas, obtemos a velocidade no instante de tempo t2,

considerando-se que dispomos do conhecimento da velocidade no instante de tempo t0

(o instante inicial, com t2 > t0),

2.62

2

2

2

2

2

2

xx

yy

zz

dv d xvdt dtdv d yvdt dt

dv d zvdt dt

= =

= =

= =

2 2 2

2 2 2( ) d x d y d za t i j kdt dt dt

= + +

( ) ( )v t D a t dt+ = ∫

( ) ( ) ( )2

0

2 0

t

t

v t v t a t dt= + ∫

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