Introdução ao Cálculo das Probabilidades e Combinatória (Livro)

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    ro b ab ilid ad e s eCombina t 6 r i a 1. In t ro d uca oa o ca lcu lo d a sp r o b a b i l i d a d e s

    1.1. Ex pe rie n cia a le a t6 riaAcon t e c imen t o1.2. Le i d o s g ra n d e s rn im e ro s

    rP_ ;;;;;;;;;;;;;;(o n ce ito fre quencis ta d ep robab i l i d ade

    1.3. Aco n te cim e n to s e quipr ov a ve isL e i de L a pla ce

    I ~

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    In tr o duca o a o ca lcu lo d as pro b a b i l id ad es

    1.1. Experiencia aleatoria. Acontedmento

    Exper ienc ia aleat6ria e aque la que , repe tida va r ie s vezes em cond icoes iden ticas , p roduzresu ltados que nao se podem p reve r com ce rteza .N uma exper iencia a le a t6 ria , c h ama - se :Espaco amostra l o u e sp ac o dos resu lt ados ao con jun to de todos os resu lta dos poss ive isde um a exper ienda a le at6 ria . 0 e sp ac o a mo stra l c os tu ma re pre se nta r-s e p or Q ou S .Acontecimento e q ua lq ue r s ub co nju nto d o e sp aco a rn os tra l,Se 0 e sp ac o a m os tra l tiv er n e l emen tos , 0 num ero de acon tec im en tos que se podem fo rm are 2n, o u s eja :# 0 = n == ? # < ! P (0) = 2 n, sendo C J P (0) 0 con jun to das pa rte s do con jun to O .

    1 ; . ' :~ C ons ide re 0 la nca rnen to de um a m oeda ao a r.1 .1 . Ind ique 0 e sp ac o d os re su lta do s O .1 .2 . Q ua is o s subcon jun tos de O ?1 .3 . D e fina u rn acon tec im en to assoc iad o a cada subcon jun to de O .

    1 .1 . R ep resen tando po r e II cara II e po r E "escudo ", tem os que :0= [ e , E }

    1 .2 . C om o # 0 = 2 , 0 nu rne ro de pa rtes de 0 e 4 .< ! P ( O ) = [ e f ) , ( C ) , ( e , E ) , ( E ) )o con jun to das pa rte s de 0 e um con jun to de con jun tos .

    1 .3 . , _ _ , . "na o sa ir ca ra nem escudo "( E ) ,_ _ ,. s air e s cu d o"(C ) ,_ _,.s air c ara "( e , E ) ,_ _,.s air c ara o u e sc ud o."

    ~~ l.anca -se um dado com as fa ces num e radas 1 , 2 , 3 ,4 , 5 e 6 .2 .1 . D e fina 0 espaco am os tra l O .2 .2 . Q ua is as pa rte s de O ? Ind ique um acon te c im en to asso c iado a cada pa rte de O ?

    2.1 . 0 = {1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 }2 .2 . # 0= 6 == ? # < ! P ( O ) = 64 , _ _ , . sa ir 7(1 ) ,_ _ ,. air 1

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    E x pe rie n cia a le at or ic . A co n te ci m e nto

    1 2 ]- ? s air 2(3 ) -? sa ir 3(4 ) - ? sa ir 4(5 ) -? sa ir 516 ]-? sa ir 611 ,2 ) -? sa ir m enor que 311 , 3 ) - i> sa ir fm pa r m enor que 41 1, 4) -i> sa ir d iv iso r d e 4 d ife re nte d e 21 1, 5 ) -i> sa ir d iv iso r d e 511 , 6) -? sa ir m enor que 2 ou m a io r que 512 , 3) -? sa ir m a io r que 1 e m eno r que 412 , 4) -i> sa ir pa r m eno r que 512 , 5 ]- i> sa ir 2 ou 512 , 6 ) -i> sa ir p a r e d ife ren te de 413 ,4 ) -? sa ir m a io r que 2 e m eno r que 513 , 5 ) - ? sa ir p rim o m aio r que 21 3, 6 ) -? sa ir mu l t p l o de 31 4, 5 ) -i> sa ir m aio r q ue t res e m eno r que 614 , 6 ) -? sa ir p a r m aio r que tres15 , 6) -? sa ir m aio r que 411 , 2 , 3 ]- i> sa ir m eno r que 41 1, 2 , 4 ]- i> sa ir d iv iso r d e 411 , 2 , 5 ) -i> sa ir p r im o d ife ren te de 3 e 111 , 2 , 6 ]- i> sa ir d iv iso r de 6 e d ife ren te de 311 ,3 ,4 ) -i> sa ir 1 ou 3 ou 411 ,3 ,5 ) -i> sa ir lo u 3 ou 511 , 3, 6 ]-? sa ir d iv iso r de 6 d ife ren te de 211,4,5 ] - " ' sa i r lou4ou511 , 4 , 6 ) _ ,. s a ir 1 ou 4 ou 611 ,5 ,6 ) -'" sa ir lou 5 ou 612 , 3, 4 ]- i> sa ir m a io r que 1 e m eno r que 512 , 3, 5 ) -i> sa ir 2 ou 3 ou 512 , 3 , 6 ]_ " sa ir d iv iso r de 6 d ife ren te de 112 , 4, 5 ) -i> sa ir 2 , 4 ou 512 , 4, 6 ]_ " sa ir pa r12 , 5, 6 ]_ " sa ir 2 , 5 ou 613 , 4, 5 ]_ " sa ir m a io r que 2 e m e llo r que 613 , 4, 6 ]- i> sa ir 3 ou 4 ou 613 , 5 , 6 ]_ " sa ir 3 , 5 ou 614 , 5 , 6 ]-'" sa ir m aio r que 311 ,2 ,3 , 4 ]-? sa ir m ello r que 511 , 2, 3 , 5 ]-> sa ir p r im o ou 111 , 2, 3 , 6 ]-'" sa ir m ello r que 4 ou m aio r que 511 ,2 ,4 , 5 ]-? sa ir 1 , 2 ,4 ou 511 ,2 ,4 ,6 ]-> sa ir 1 ou pa r[1 , 2 , 5 , 6 ]-? sa ir 1 , 2 , 5 ou 611 ,3 ,4 ,5 ]-'" sa ir 1 , 3 , 4 ou 51 1, 3 ,4 ,6 ]-" 'sa ir 1 , 3 ,4o u6[1 ,3 ,5 , 6 ]-? sa ir 1 , 3 , 5 ou 6[1 ,4 , 5 , 6 ]-? sa ir 1 ou m a io r que 3

    I 7

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    1 2, 3 , 4 , 5 j-? sa ir m aie r q ue 1 e m eno r que 61 2, 3 , 4 , 6 j-? sair 6 ou m aie r que 1 e rneno r que 51 2 , 3 , 5 , 6 ) -? sa ir 6 o u sa ir p rirn o1 2 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir m aie r que 1 e d ife ren te de 31 3 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir m aie r que 21 1,2 ,3 ,4 , 5 j-? sa ir d ife re nte d e 61 1,2 ,3 ,4 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 5[1 ,2 ,3 ,5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 4[2 , 3 ,4 , 5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 11 1 , 3 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir d ife re nte de 2[1 ,2 ,4 ,5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 31 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 j-? sa ir rn eno r que 7 .l.a nc arn -s e e rn s irn ulta ne o d ois d ad os :- u rn te traed rico com as face s nu rne radas 1 , 2 , 3 e 4 ;- um r u bko co rn a s fa ces num eradas 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 .

    3 . 1 . Def ina 0 e sp aco d os re su lta do s d e n .3 . 2 . Represen t e 0 co nju nto a sso cia do a ca da u rn d os a co nte cim en to s:

    A : "A so rna das pon tua coes dos do is dados e 5 . uB : "A som a das pon tua roe s e posi t iva."C : "0 p rodu to das pon tua coes e 2 1 . "D : "O s do is d ad os te rn a rne sm a po ntua cao .'

    3 . 1 . n= [ (1 ,1 ) , (1 , 2 ) , (1 ,3 ), (1 , 4 ) , (1 ,5 ), (1 , 6 ), (2 ,1 ), (2 , 2 ), (2 , 3 ), (2 ,4 ), (2 , 5 ) , (2 , 6 ) , (3 ,1 ) ,(3 , 2 ), (3 , 3 ), (3 , 4 ), (3 , 5 ), (3 , 6 ), (4 , 1) , (4 , 2 ), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (4 , 5 ), (4 , 6 ))

    3 .2 . A = [ (1 , 4 ), (2 , 3 ), (3 , 2 ), (4 , 1) }B = nC=D = [(1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ), (4 , 4 )}

    Aconte c imen to e lementa r e 0 que e re pre se nta do p or u m co nju nto s in gu la r.Aconte c imen to cer to e 0 q ue e re pre se nta do p elo e sp aco a mo stra l.Aconte c imen to impossi ve l e 0 que e re pre se nta do p elo co nju nto va zio ( ).o E xis te d ua lid ad e e ntre a s o pe ra co es co m a co nte cirn en to s e a s o pe ra co es co rn o s co nju nto s.

    ";;"; , ; A c o n te c ir ne n to Con j un t ocer t o Di r n p o s s l v e l ( / )c o n ju n ca o ( a II b ) in terseccao (A n B )

    I ' ; d is ju n~ ao (a v b ) r eun iao (A U B )'; 1

    n eq aca o (~ a) o u a co n- c omp i emen t a r Ate c im e n to c o ntr a r iol ; , ~ ~ (-a ) = a A =Ar ;: - (a II b ) = -a v -b -- - - \"l , . ~ (A n B ) = A U B-(a v b ) = -a II -b (A U B )" ; A n B i ::'_"",::::"Lc,:

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    E xp er ie n ci a a le at or ia , Aco r i t e c ime n t o

    Dois acontec imentos A e B d i z e r n - s e incompativeis se e 5 6 s e A n B = ( p .Dois acontec imentos A e B d i z e r n - s e compativeis se e s6 s e A n B q ) .Dois acontec imentos A e B d ize rn -se contraries se e 56 se A = B (o u A = B ).No ta 1: A e B sao acon tec irnen tos con tra r ie s se e 56 se AnB o f . ( / ) e AUB = [), (A e B sao u rnap artka o c orn ple ta d o u niv ers e m .N ota 2 : S e do is a con tec im en tos sao con tra rie s , sao incom pa tlve is (m as 0 in ve rs o n ao s e v eri-f ica).

    ;\ n[ D uas u r n a s A e B te rn bo las azu is , ve rrne lhas e p re tas . E sco lhe -se a lea to r ia rnen te u rna u rna e ,d e s eg uid a, re tira -se u rn a b ola d a u rn a.

    1.1. Def ina 0 e spaco arnost ra l .1 .2 . D e fin a cada um do s a con te c imen t o s .

    A : "A u rna esco lh ida e A ."B : "A urna esco lh ida e B ."C : "A bo la ex tra ida e verme lha . "D : "A u rna esco lh ida nao e A ."E : "A u rn a e sco lh id a e A e a bo la e xtra ld a e ver rne lha . "F : "A urna esco lh ida e A ou a bo la ex tra ida e ver rne lha . "G : "A u rn a e sc olh id a e A e a bo la ex tra ida na o e verme lha . "

    ,oi" .

    1.1.

    azB~ve

    "

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    un i d a de In tr o duca o a o ca lculo d as pro ba b i l id ad es

    2 .1 . A :" sa ir 5 " e u m a co nte cim en to e le me nta r, p ois 0 subco njun to de 0 = [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) a sso -d ad o a e ste a co nte cim e n to e [ 5 ) , que e u m co nju nto s in gu la r ( 5 6 co m u m e le me nto ).

    2 . 2 . B : " sa i r 7 " e u m a co nte cim e nto im p o ss iv el, p o ls B = ( p .2 . 3 . e : "s a ir m eno rque 7 " e u m a co nte cim en to ce rto , p ols C = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = O .Lanc ;am - s e em s im u lta ne o d ois dados cub icos n um era do s d e 1 a 6.

    3 .1 . D e fin a 0 espac ; oamos t ra l .3 .2 . C ons id e re o s acon te c im en to s :

    A : "A so ma d as p on tu ac ;6 es e 2 " .B : "A so ma d as p on tu ac ;6 es e m eno r que 15 ".e : "0 p ro du to d as p on tu ac ;6 es e 32" .D : "A s p on tu ac ;6 es sa o ig ua is n os dois dados " .E : "0 p ro du to d as p on tu ac ;6 es e m eno r q ue 12 ".F : "A so m a d as p on tu ac ;6 es e m aio r que 8" .G=BnFH=BUF

    3 .2 .1 . In diq ue , ju stific an do , u m a co nte cim e nto e le m en ta r.3 .2 .2 . In diq ue u m a co nte cim en to im po ss iv e !.3